Με b i - "ψάρι(α)", με i - "n(th)", λαμβάνουμε από αυτό μοντέλα p i - "ψάρι", z i - "μαγειρεμένο από ψάρι".

Κυψελωτό αυτόματο σύστημα

Ένα μοντέλο είναι κυψελωτά αυτόματα εάν μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα κυψελοειδές αυτόματο ή ένα σύστημα κυψελωτών αυτόματα.

Ένα κυψελωτό αυτόματο είναι ένα διακριτό δυναμικό σύστημα, ένα ανάλογο ενός φυσικού (συνεχούς) πεδίου. Η γεωμετρία των κυψελωτών αυτόματα είναι ανάλογο της ευκλείδειας γεωμετρίας. Ένα αδιαίρετο στοιχείο της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι ένα σημείο· στη βάση του κατασκευάζονται τμήματα, ευθείες, επίπεδα κ.λπ.

Ένα αδιαίρετο στοιχείο ενός πεδίου κυψελωτών αυτόματα είναι ένα κελί· στη βάση του, χτίζονται συστάδες κυψελών και διάφορες διαμορφώσεις κυτταρικών δομών. Ένα κυψελοειδές αυτόματο αντιπροσωπεύεται από ένα ενιαίο δίκτυο κυψελών («κελιά») αυτού του πεδίου. Η εξέλιξη ενός κυψελοειδούς αυτόματου ξεδιπλώνεται σε έναν διακριτό χώρο - ένα κυψελοειδές πεδίο.

Η αλλαγή των καταστάσεων σε ένα πεδίο κυψελωτών αυτόματα συμβαίνει ταυτόχρονα και παράλληλα, και ο χρόνος τρέχειδιακριτικά. Παρά τη φαινομενική απλότητα της κατασκευής τους, τα κυψελωτά αυτόματα μπορούν να επιδείξουν ποικίλη και πολύπλοκη συμπεριφορά αντικειμένων και συστημάτων.

Πρόσφατα, έχουν χρησιμοποιηθεί ευρέως σε πρίπλασμαόχι μόνο φυσικές, αλλά και κοινωνικοοικονομικές διαδικασίες.

Μοντέλα φράκταλ

Ένα μοντέλο ονομάζεται φράκταλ εάν περιγράφει την εξέλιξη του μοντελοποιημένου συστήματος με την εξέλιξη φράκταλ αντικειμένων.

Αν το φυσικό αντικείμενο είναι ομοιογενές (στερεό), δηλ. δεν υπάρχουν κοιλότητες σε αυτό, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πυκνότητά του δεν εξαρτάται από το μέγεθος. Για παράδειγμα, κατά την αύξηση μιας παραμέτρου αντικειμένου Rπριν 2Rη μάζα του αντικειμένου θα αυξηθεί κατά R 2φορές αν το αντικείμενο είναι κύκλος και μέσα R 3φορές, αν το αντικείμενο είναι μπάλα, δηλ. Υπάρχει σχέση μεταξύ μάζας και μήκους. Αφήνω n- διάσταση χώρου. Ένα αντικείμενο του οποίου η μάζα και το μέγεθος σχετίζονται ονομάζεται "συμπαγές". Η πυκνότητά του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εάν ένα αντικείμενο (σύστημα) ικανοποιεί τη σχέση M(R) ~ R f(n), όπου f(n)< n, то такой объект называется фрактальным.

Η πυκνότητά του δεν θα είναι ίδια για όλες τις τιμές του R, τότε κλιμακώνεται σύμφωνα με τον τύπο:

Αφού f(n) - n< 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.

Ένα παράδειγμα ενός μοντέλου φράκταλ είναι το σύνολο Cantor. Ας εξετάσουμε το τμήμα. Χωρίστε το σε 3 μέρη και πετάξτε το μεσαίο τμήμα. Χωρίζουμε πάλι τα υπόλοιπα 2 κενά σε τρία μέρη και πετάμε τα μεσαία κενά κ.λπ. Λαμβάνουμε ένα σύνολο που ονομάζεται σύνολο Cantor. Στο όριο λαμβάνουμε ένα αμέτρητο σύνολο απομονωμένων σημείων ( ρύζι. 1.4)

Ρύζι. 1.4. Σετ Cantor για 3 τμήματα

Γενετικοί αλγόριθμοι

Η ιδέα των γενετικών αλγορίθμων «εμφανίστηκε» σε συστήματα ζωντανής φύσης, στα οποία η εξέλιξη εκτυλίσσεται αρκετά γρήγορα.

Γενετικός αλγόριθμος - Πρόκειται για έναν αλγόριθμο που βασίζεται στην προσομοίωση γενετικών διαδικασιών για την ανάπτυξη του πληθυσμού σύμφωνα με τις αρχές της εξελικτικής δυναμικής.

Οι γενετικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης (πολλαπλών κριτηρίων), προβλημάτων αναζήτησης και ελέγχου.

Αυτοί οι αλγόριθμοι είναι προσαρμοστικοί, αναπτύσσουν λύσεις και αναπτύσσονται οι ίδιοι.

Ένας γενετικός αλγόριθμος μπορεί να κατασκευαστεί με βάση την ακόλουθη γενικευμένη διαδικασία:.

Αν και οι γενετικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση προβλημάτων που δεν μπορούν να λυθούν με άλλες μεθόδους, δεν εγγυώνται ότι θα βρεθεί μια βέλτιστη λύση, τουλάχιστον όχι σε εύλογο χρονικό διάστημα. Κριτήρια όπως «αρκετά καλό και αρκετά γρήγορο» είναι πιο κατάλληλα εδώ.

Το κύριο πλεονέκτημα της χρήσης τους είναι ότι επιτρέπουν την επίλυση σύνθετων προβλημάτων για τα οποία δεν έχουν ακόμη αναπτυχθεί σταθερές και αποδεκτές μέθοδοι, ειδικά στο στάδιο της επισημοποίησης και της δόμησης του συστήματος.

Οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι αποτελεσματικοί σε συνδυασμό με άλλους κλασικούς αλγόριθμους και ευρετικές διαδικασίες.

Στατικά και δυναμικά, διακριτά και συνεχή μοντέλα

Τα μοντέλα ταξινομούνται σύμφωνα με διάφορα κριτήρια.

Ένα μοντέλο ονομάζεται στατικό εάν δεν υπάρχει παράμετρος χρόνου μεταξύ των παραμέτρων που εμπλέκονται στην περιγραφή του. Ένα στατικό μοντέλο σε κάθε στιγμή του χρόνου παρέχει μόνο μια «φωτογραφία» του συστήματος, το κομμάτι του.

Παράδειγμα.Ο νόμος του Νεύτωνα F=a*m είναι ένα στατικό μοντέλο σώματος που κινείται με επιτάχυνση α υλικό σημείομάζα m. Αυτό το μοντέλο δεν λαμβάνει υπόψη την αλλαγή στην επιτάχυνση από το ένα σημείο στο άλλο.

Ένα μοντέλο είναι δυναμικό εάν μεταξύ των παραμέτρων του υπάρχει μια παράμετρος χρόνου, δηλ. εμφανίζει το σύστημα (διεργασίες στο σύστημα) με την πάροδο του χρόνου.

Παράδειγμα.Το δυναμικό μοντέλο του νόμου του Νεύτωνα θα μοιάζει με αυτό:

Ένα μοντέλο είναι διακριτό εάν περιγράφει τη συμπεριφορά του συστήματος μόνο σε διακριτές χρονικές στιγμές.

Παράδειγμα.Αν θεωρήσουμε μόνο t=0, 1, 2, …, 10 (sec), τότε το μοντέλο

ή η αριθμητική ακολουθία: S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g μπορεί να χρησιμεύσει ως διακριτό μοντέλο της κίνησης ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα.

Ένα μοντέλο είναι συνεχές εάν περιγράφει τη συμπεριφορά του συστήματος για όλα τα χρονικά σημεία σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο.

Παράδειγμα.Μοντέλο S=gt2/2, 0< t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Ένα μοντέλο είναι προσομοίωση εάν προορίζεται να δοκιμάσει ή να μελετήσει πιθανές διαδρομές ανάπτυξης και συμπεριφοράς ενός αντικειμένου μεταβάλλοντας ορισμένες ή όλες τις παραμέτρους του μοντέλου.

Παράδειγμα.Ας περιγραφεί ως αναλογία το μοντέλο του οικονομικού συστήματος για την παραγωγή αγαθών δύο τύπων 1 και 2, στην ποσότητα x1 και x2 μονάδες και το κόστος κάθε μονάδας αγαθών a1 και a2 στην επιχείρηση:

a1x1 + a2x2 = S,

όπου S είναι το συνολικό κόστος όλων των προϊόντων που παράγονται από την επιχείρηση (τύποι 1 και 2). Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μοντέλο προσομοίωσης, με την οποία είναι δυνατός ο προσδιορισμός (μεταβολή) του συνολικού κόστους S ανάλογα με ορισμένες αξίες των όγκων και του κόστους των παραγόμενων αγαθών.

Μοντέλα, τύποι μοντέλων και χρήσεις τους

Ένα από τα βασικά στοιχεία που είναι απαραίτητα για αποτελεσματική λύσησύνθετες εργασίες είναι η κατασκευή και η κατάλληλη χρήση του μοντέλου. Το μοντέλο είναι μια αναπαράσταση ενός αντικειμένου ή συστήματος σε κάποια μορφή που είναι διαφορετική από τη μορφή της πραγματικής του ύπαρξης.

Προφανώς τα μοντέλα μπορούν να δεχτούν τα περισσότερα διαφορετικά σχήματακαι καταγράφονται σε διάφορους βαθμούς μαθηματικής λεπτομέρειας. Το επίπεδο πολυπλοκότητας που κάνει ένα μοντέλο χρήσιμο καθορίζεται από τη χρήση για την οποία προορίζεται.

Στην καθημερινή πρακτική, όταν εργάζονται με συστήματα, χρησιμοποιούν θεωρητικά (υποκειμενικά) μοντέλα στα οποία δεν υπάρχουν καθόλου μαθηματικά. Παραδείγματα τέτοιων μοντέλων περιλαμβάνουν αλγόριθμους λειτουργίας, κανόνες διαχείρισης συστήματος κ.λπ.

Οι αριθμητικοί πίνακες και (ή) γραφήματα είναι κατάλληλοι για την περιγραφή των ιδιοτήτων ορισμένων αντικειμένων και συστημάτων. Τέτοιες περιγραφές ονομάζονται συνήθως γραφικά μοντέλα. Για παράδειγμα, γραμμικά συστήματα αυτόματο έλεγχο(ACS) μπορεί να αναπαρασταθεί από τις παλμικές τους αντιδράσεις, τις αντιδράσεις σε ένα μόνο άλμα ή χαρακτηριστικά συχνότητας. Αντίστοιχες γραφικές αναπαραστάσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στο σχεδιασμό και την έρευνα συστημάτων αυτόματου ελέγχου.

Πιο πολύπλοκες εφαρμογές χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα στα οποία οι σχέσεις που περιγράφουν τις σχέσεις μεταξύ μεταβλητών αντικειμένων καθορίζονται με τη μορφή συγκεκριμένων εξισώσεων. Επομένως, τέτοια μοντέλα ονομάζονται μερικές φορές αναλυτικά μοντέλα. Τα μαθηματικά μοντέλα είναι τυποποιημένες μαθηματικές περιγραφές που αντικατοπτρίζουν, με την απαιτούμενη ακρίβεια, τις διεργασίες που συμβαίνουν στο υπό μελέτη αντικείμενο. Τα μαθηματικά μοντέλα μπορούν να εξοπλιστούν με ένα σύνολο επεξηγηματικών επιθέτων (γραμμικό, μη γραμμικό, διακριτό, συνεχές, ντετερμινιστικό, στοχαστικό κ.λπ.) ανάλογα με τον τύπο των εξισώσεων που μελετώνται.

Στη διαδικασία της μοντελοποίησης μηχανών, το μοντέλο του συστήματος είναι ένα πρόγραμμα υπολογιστή. Ένα πρόγραμμα που περιγράφει τη συμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων μπορεί να είναι μια συλλογή αλληλεπιδρώντων υπορουτίνων και πινάκων αναζήτησης. Η επισημοποίηση ενός τέτοιου συνόλου με τη μορφή κάποιου μαθηματικού μοντέλου μπορεί να είναι ένα δύσκολο έργο. Τέτοιες ηλεκτρονικές αναπαραστάσεις ονομάζονται μοντέλα λογισμικού (ή μηχανής). Τέτοια μοντέλα παίζουν πλέον μεγάλο ρόλο στη διαδικασία υιοθέτησης βέλτιστες λύσειςσε πολύπλοκα συστήματα.

Τα μοντέλα μπορούν να ταξινομηθούν με διάφορους τρόπους. Ωστόσο, κανένα από αυτά δεν είναι απολύτως ικανοποιητικό, αν και το καθένα εξυπηρετεί έναν συγκεκριμένο σκοπό. Ας υποδείξουμε μερικές τυπικές εναλλακτικές ομάδες μοντέλων:

Φυσική (φυσική) και μαθηματική (συμβολική).

Στατική και δυναμική.

Ντετερμινιστική και στοχαστική;

Διακριτή και συνεχής.

Γραμμική και μη γραμμική.

Επικεντρώθηκε και διανεμήθηκε.

Σταθερό και μη.

Τα φυσικά μοντέλα είναι μοντέλα στα οποία οι ιδιότητες ενός πραγματικού αντικειμένου αντιπροσωπεύονται από μια ιδιότητα του ίδιου αντικειμένου (μοντέλο) ή κάποια άλλη ιδιότητα ενός αντικειμένου παρόμοιας συμπεριφοράς.

Τα μαθηματικά μοντέλα είναι εκείνα που χρησιμοποιούν σύμβολα αντί για φυσικές συσκευές για να αναπαραστήσουν μια διαδικασία.

Ένα μαθηματικό μοντέλο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύνολο μεγεθών που περιγράφουν τη διαδικασία λειτουργίας ενός πραγματικού αντικειμένου:

α) ένα σύνολο ελεγχόμενων επιρροών εισόδου στο αντικείμενο

β) ένα σύνολο μη ελεγχόμενων επιρροών εισόδου

γ) ένα σύνολο εσωτερικών (δικών) παραμέτρων ενός αντικειμένου

δ) ένα σύνολο χαρακτηριστικών εξόδου του αντικειμένου ( μεταβλητές κατάστασης)

Η δομή του προσομοιωμένου αντικειμένου έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 4.1

Οι μεταβλητές εισόδου είναι ανεξάρτητες (εξωγενείς) και οι μεταβλητές εξόδου είναι εξαρτημένες (ενδογενείς).

Η διαδικασία λειτουργίας ενός αντικειμένου περιγράφεται χρονικά από τον τελεστή F, ο οποίος μετατρέπει τις ανεξάρτητες μεταβλητές σε εξαρτημένες

(4.1)

Το σύνολο των εξαρτήσεων των χαρακτηριστικών εξόδου ενός αντικειμένου από το χρόνο ονομάζεται τροχιά εξόδου.

Η εξάρτηση (1.1) ονομάζεται νόμος της λειτουργίας του αντικειμένου. Γενικά, ο νόμος λειτουργίας ενός αντικειμένου μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή συνάρτησης, λειτουργικών, λογικών συνθηκών, σε αλγοριθμικές και πινακικές μορφές ή με τη μορφή κανόνα λεκτικής αντιστοιχίας.

Είναι πολύ σημαντικό για την περιγραφή και τη μελέτη ενός αντικειμένου έννοια ενός λειτουργικού αλγορίθμου, η οποία νοείται ως μέθοδος για την απόκτηση χαρακτηριστικών εξόδου λαμβάνοντας υπόψη τις επιρροές εισόδου.

Είναι προφανές ότι ο ίδιος νόμος λειτουργίας μπορεί να εφαρμοστεί με διαφορετικούς τρόπους, δηλ. χρησιμοποιώντας πολλούς διαφορετικούς αλγόριθμους λειτουργίας.

Οι σχέσεις (1.1) είναι μια μαθηματική περιγραφή της συμπεριφοράς του αντικειμένου μοντελοποίησης σε χρόνο t, δηλ. αντικατοπτρίζουν τις δυναμικές του ιδιότητες. Επομένως, μαθηματικά μοντέλα αυτού του τύπου ονομάζονται δυναμικός . Περιγράφουν αλλαγές στις παραμέτρους με την πάροδο του χρόνου, για παράδειγμα:

(4.2)

Ένας μηχανικός πολύ συχνά πρέπει να αντιμετωπίσει τέτοια μοντέλα κατά την ανάπτυξη νέων τεχνολογικές διαδικασίες, προϊόντα, μέσα και συστήματα αυτόματου ελέγχου. Ουσιαστικά, κάθε σχεδιαστικό πρόβλημα που περιλαμβάνει τον υπολογισμό των ροών ενέργειας ή την κίνηση των σωμάτων καταλήγει τελικά στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

Στατικόςτα μοντέλα περιγράφουν διαδικασίες που δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου, δηλ. συμπεριφορά αντικειμένου σε σταθερές καταστάσεις

(4.3)

Τα στατικά μοντέλα χρησιμοποιούνται, κατά κανόνα, για τη βελτιστοποίηση σχεδιασμού ενός αντικειμένου.

Συνήθως, ένα δυναμικό μοντέλο καθορίζεται με τη μορφή διαφορικών εξισώσεων και ένα στατικό μοντέλο με τη μορφή αλγεβρικών ή υπερβατικών εξισώσεων.

Τα μοντέλα στα οποία υπάρχει μια άκαμπτη σύνδεση μεταξύ των μεταβλητών ονομάζονται ντετερμινιστική . Τέτοια μοντέλα δεν περιέχουν τυχαίους παράγοντες και οι τιμές των μεταβλητών εξόδου καθορίζονται μοναδικά από τις τιμές των μεταβλητών εισόδου.

ΣτοχαστικήΤο (πιθανολογικό) μοντέλο αντανακλά την επίδραση τυχαίων παραγόντων. Επομένως, δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ των μεταβλητών εισόδου και εξόδου. λειτουργική εξάρτηση(ντετερμινιστικό μοντέλο), αλλά πιθανολογικό. Συνήθως, οι μεταβλητές κατάστασης ενός αντικειμένου εκτιμώνται με όρους μαθηματικών προσδοκιών και οι επιρροές εισόδου εκτιμώνται με όρους πιθανοτικών νόμων κατανομής.

Συνεχήςτο μοντέλο περιγράφει συνεχείς αλλαγές σε μεταβλητές αντικειμένων για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο, για παράδειγμα:

Διακεκριμένοςτο μοντέλο περιγράφει τη σχέση μεταξύ των μεταβλητών του αντικειμένου σε διακριτές χρονικές στιγμές, για παράδειγμα: πού είναι η αρχή του j-ου σταδίου της μοντελοποίησης αντικειμένου. - το τέλος του, δηλ. η κατάσταση ενός αντικειμένου τη στιγμή του χρόνου καθορίζεται από τη γνωστή κατάστασή του τη στιγμή, υπό την προϋπόθεση ότι γνωστά και παραμένουν σταθερά.

U γραμμικός μοντέλο υπάρχει μια αναλογική σχέση μεταξύ των μεταβλητών εισόδου και εξόδου. Τα μοντέλα που δεν πληρούν αυτή την προϋπόθεση είναι μη γραμμικό .

Καλείται ένα δυναμικό μοντέλο που περιγράφει την αλλαγή στις μεταβλητές του αντικειμένου μόνο στο χρόνο δυναμικό μοντέλοΜε εστιασμένη παραμέτρους (η επιθυμητή τιμή εξαρτάται μόνο από μία μεταβλητή).

Αυτά τα μοντέλα περιέχουν μία ή περισσότερες παραγώγους μεταβλητών κατάστασης και είναι συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις. Μπορούν να γραφτούν με τη μορφή:

Το πλήρες μαθηματικό μοντέλο, μαζί με τη διαφορική εξίσωση (1.4) κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, περιέχει επίσης ορισμένα πρόσθετες προϋποθέσεις(για παράδειγμα, οι τιμές των επιθυμητών μεταβλητών y ) την αρχική χρονική στιγμή t0, που ονομάζεται αρχικές συνθήκες :

Σε πολλά πρακτικά προβλήματα, η επιθυμητή ποσότητα εξαρτάται από πολλές μεταβλητές. Στην περίπτωση αυτή, το μαθηματικό μοντέλο περιέχει μερικές παραγώγους και καλείται μοντέλο με κατανεμημένες παραμέτρους .

Εάν μία από τις ανεξάρτητες μεταβλητές είναι ο χρόνος t, τότε ένα τέτοιο μοντέλο παρέχει μια περιγραφή της δυναμικής της διαδικασίας τόσο στο χρόνο όσο και στο χώρο. Ένα πλήρες μαθηματικό μοντέλο περιέχει μια μερική διαφορική εξίσωση, αρχικές συνθήκες και οριακές συνθήκες εάν το μαθηματικό μοντέλο ορίζεται σε περιορισμένο χώρο. Ένα παράδειγμα τέτοιου μοντέλου είναι το μοντέλο θερμικής αγωγιμότητας ή διάχυσης (παραβολική εξίσωση):

, (4.5)

όπου y είναι μια παράμετρος κατάστασης (θερμοκρασία ή συγκέντρωση). t - χρόνος; x - χωρική συντεταγμένη (πάχος υλικού). Το a είναι μια σταθερά, υπό δεδομένες αρχικές και οριακές συνθήκες.

Επί του παρόντος, είναι δύσκολο να ονομάσουμε έναν τομέα ανθρώπινης δραστηριότητας στον οποίο τα μοντέλα και οι μέθοδοι μοντελοποίησης δεν θα χρησιμοποιούνται στον ένα ή τον άλλο βαθμό. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα στον τομέα της διαχείρισης διάφορα συστήματα, όπου οι κύριες διαδικασίες είναι η λήψη αποφάσεων με βάση τις πληροφορίες που λαμβάνονται.

Η ιδέα της αναπαράστασης ενός αντικειμένου ή συστήματος χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο είναι έτσι γενικού χαρακτήρα, ότι είναι δύσκολο να δοθεί μια πλήρης ταξινόμηση όλων των λειτουργιών του μοντέλου. Μπορούμε να δώσουμε τουλάχιστον τους ακόλουθους λόγους για το εύρος εφαρμογής των μοντέλων στη μηχανική πρακτική:

Ελεγχος σύνθετα αντικείμενακαι συστήματα (τεχνικά, οικονομικά, κοινωνικά, κ.λπ.)·

Σχεδιασμός τεχνικών αντικειμένων και συστημάτων.

Πρόβλεψη και διάγνωση με χρήση μοντέλου αντικειμένου.

Δημιουργία εργαλείων κατάρτισης και κατάρτισης.

Διεξαγωγή αριθμητικών πειραμάτων σε μοντέλο προσομοίωσης του αντικειμένου.

Μαθηματική μοντελοποίησηείναι αναπόσπαστο μέροςόλους τους τεχνικούς και φυσικούς επιστημονικούς κλάδους. Πράγματι, το κύριο καθήκον της τεχνολογίας είναι να βρει, χρησιμοποιώντας ένα μαθηματικό μοντέλο, μια καλή σχεδιαστική λύση, τη βέλτιστη διαχείριση εγκαταστάσεων, την καλύτερη κατανομή πόρων, το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής κ.λπ.

Τα μαθηματικά μοντέλα είναι επίσης ισχυρά οργανικά μέσαεπίλυση προβλημάτων μοντελοποίησης προσομοίωσης και πρόβλεψης (πρόβλεψης) της συμπεριφοράς μοντελοποιημένων αντικειμένων σε διάφορες καταστάσεις, που συχνά προκύπτουν όχι μόνο στην τεχνολογία, αλλά και στην οικονομία, την οικολογία, τη βιολογία και άλλα γνωστικά πεδία. Τα μοντέλα χρησιμοποιούνται ευρέως ως εργαλεία επαγγελματικής κατάρτισης και εκπαίδευσης ατόμων που πρέπει να είναι σε θέση να αντιμετωπίσουν κάθε είδους απρόοπτα πριν προκύψει μια πραγματική κρίσιμη κατάσταση. Τέτοιες εφαρμογές μοντέλων όπως μοντέλα πλήρους κλίμακας ή διαστημικά μοντέλα είναι ευρέως γνωστές. αεροσκάφος, χρησιμοποιείται για την εκπαίδευση αστροναυτών, προσομοιωτές για εκπαίδευση οδηγών, επιχειρηματικά παιχνίδια για την εκπαίδευση του προσωπικού λήψης αποφάσεων.

Η χρήση μοντέλων καθιστά δυνατή τη διεξαγωγή ελεγχόμενων πειραμάτων σε καταστάσεις όπου ο πειραματισμός σε πραγματικά αντικείμενα είναι πρακτικά αδύνατος ή οικονομικά μη πρακτικός. Όταν πειραματίζεστε με το μοντέλο πολύπλοκο σύστημαΜπορούμε συχνά να μάθουμε περισσότερα για τους εσωτερικούς αλληλεπιδρούντες παράγοντες από όσα θα μπορούσαμε να μάθουμε από τα πειράματα πραγματικό σύστημα. Αυτό καθίσταται δυνατό λόγω της παρατηρησιμότητας των μεταβλητών δομικών στοιχείων του μοντέλου, λόγω του γεγονότος ότι μπορούμε να ελέγξουμε τη συμπεριφορά του υπό διάφορες εξωτερικές επιρροές και να αλλάξουμε εύκολα τις παραμέτρους του.

Συνοψίζοντας τα παραπάνω, σημειώνουμε ότι ένα μοντέλο μπορεί να χρησιμεύσει για την επίτευξη ενός από τους δύο κύριους στόχους: είτε περιγραφικό, εάν το μοντέλο χρησιμεύει για την εξήγηση και (ή) καλύτερη κατανόηση του αντικειμένου, είτε ρυθμιστικό, όταν το μοντέλο επιτρέπει σε κάποιον να προβλέψει και (ή ) αναπαράγουν τα χαρακτηριστικά του αντικειμένου που καθορίζουν τη συμπεριφορά του.

(1) Συστήματα και στοιχεία συστήματος

ACS - αποτελείται από ένα αντικείμενο ελέγχου, συσκευές ελέγχου που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους (SAP). Ένα αντικείμενο ελέγχου (CO) είναι μια συσκευή της οποίας ο απαιτούμενος τρόπος λειτουργίας πρέπει να υποστηρίζεται από το σύστημα. Μια συσκευή ελέγχου είναι μια συσκευή που επηρεάζει ένα ελεγχόμενο αντικείμενο προκειμένου να διατηρήσει τον τρόπο λειτουργίας του. Ένα σύστημα είναι μια συλλογή στοιχείων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Μια ιδιότητα ενός συστήματος διαφέρει από το σύνολο των στοιχείων που το αποτελούν. Κατά την ανάλυση και τη σύνθεση συστημάτων, χρησιμοποιείται μια μαθηματική περιγραφή του συστήματος ελέγχου. Υπάρχουν 2 τρόποι ζευγαρώματος. περιγραφές του συστήματος ελέγχου: 1) κλασικό - στην περίπτωση αυτή, όλα τα στοιχεία του συστήματος περιγράφονται χρησιμοποιώντας ξεχωριστές εξισώσεις χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σχέση μεταξύ των στοιχείων. 2) συστημικό - στην περίπτωση αυτή, όλα τα στοιχεία των συστημάτων θεωρούνται σε έναν πεπερασμένο αριθμό υποσυστημάτων και λαμβάνονται υπόψη λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση μεταξύ του στοιχείου. Το σύστημα μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά με 3 τρόπους: 1) αναλυτικό - χρησιμοποιώντας διαφορικό. ή γραμμική? 2) γραφικό – διαγράμματα, γραφήματα. 3) πίνακας - ένα γράφημα σε έναν πίνακα.

(2) Ταξινόμηση αυτοκινούμενων όπλων

Τα γραμμικά συστήματα είναι συστήματα που περιγράφονται γραμμική εξίσωση. Τα μη γραμμικά συστήματα περιγράφονται με μη γραμμικές εξισώσεις, δηλ. διαφορικός. Συνεχή συστήματα - κατάσταση που δίνεται στα πάντα συνεχές σετ. Διακριτά συστήματα – συστήματα, τιμές ποσοτήτων παραγωγής που υπάρχουν ή καθορίζονται σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή . Συνεχές-διακεκριμένο σύστημα, στο οποίο η τιμή εξόδου σε μια συγκεκριμένη περιοχή είναι μια συνεχής τιμή και στο διάστημα t 1 -t 2 είναι μια διακριτή τιμή . Σταθερά συστήματα είναι συστήματα που περιγράφονται με εξισώσεις με σταθερές παραμέτρους (οι παράμετροι δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου). Μη στάσιμο - περιγράφεται με εξισώσεις με μεταβλητές παραμέτρους. SSP – συστήματα με αθροιστικές παραμέτρους – συστήματα που περιγράφονται από συνηθισμένες μερικές διαφορικές εξισώσεις. Μονοδιάστατα – συστήματα στα οποία η ποσότητα εξόδου είναι μία . Πολυδιάστατο - έχουν πολλές τιμές εξόδου . Στατική – χωρίς αδρανειακά συστήματα, δηλ. σταθερά στο χρόνο . Δυναμική - η ποσότητα εισόδου αλλάζει με την πάροδο του χρόνου· τέτοιες ποσότητες χαρακτηρίζονται από μια δυναμική διαδικασία . Ντετερμινιστικό – συστήματα χωρίς εξωτερικές επιρροές. Στοχαστική (πιθανή ή τυχαία) - τέτοια συστήματα χαρακτηρίζονται από πολλές καταστάσεις και όλες εξαρτώνται από εξωτερικές επιρροές.

(3) Επιπτώσεις στο σύστημα (μεταβλητές του συστήματος εξισώσεων).

Η ενέργεια αναφοράς ή η ενέργεια εισόδου x(t) είναι η ενέργεια που σχεδιάζεται. Δράση ελέγχου (U(t)) – η επιρροή καθορίζεται από την εξίσωση ελέγχου και επηρεάζει τα υποκείμενα του ελέγχου. Ενοχλητικές επιπτώσεις f(t) – η επίπτωση δεν έχει προγραμματιστεί, π.χ. τυχαίες (παράμετροι περιβάλλον). Έξοδος y(t) – ελέγχεται από μια μεταβλητή, αυτή η τιμή χαρακτηρίζει τις παραμέτρους των αντικειμένων ελέγχου. Το εσωτερικό x(t) καθορίζεται από την επίδραση ορισμένων συστημάτων σε άλλα.

(4) Μαθηματικά μοντέλα συνεχών δυναμικών συστημάτων.

Πριν προχωρήσετε στο μαθηματικό μοντέλο των αυτοκινούμενων όπλων, είναι απαραίτητο να το συνθέσετε λειτουργικό διάγραμμα. Σε ένα τέτοιο σχήμα, κάθε στοιχείο του ACS αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο ορθογώνιο με τον προσδιορισμό αυτού του συγκεκριμένου στοιχείου. Η ενέργεια εισόδου παρέχεται στον αθροιστή, λαμβάνοντας υπόψη την επεξεργασία σφαλμάτων, από την ενέργεια εισόδου προκύπτει η κύρια ενέργεια g(t). Έχοντας φτάσει στη συσκευή ελέγχου, δημιουργώντας μια ενέργεια ελέγχου u(t) και φτάνοντας στο αντικείμενο ελέγχου. Στο αντικείμενο ελέγχου λαμβάνοντας υπόψη εξωτερική επιρροήΤο j(t) παράγει την έξοδο y(t). Το σφάλμα ελέγχου, το οποίο l(t) αποστέλλεται στον ενεργοποιητή, ο οποίος είναι σχεδιασμένος να αλλάζει τις καταστάσεις διάλυσης. Αυτό το σύστημαείναι κλειστό. Το κάτω μέρος ονομάζεται ανατροφοδότηση, το οποίο μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Στο επόμενο στάδιο της σύνταξης ενός μαθηματικού μοντέλου, το λειτουργικό διάγραμμα μετατρέπεται σε μπλοκ διάγραμμα, το οποίο αποτελείται επίσης από ορθογώνια, αλλά αντί να ορίζει ένα στοιχείο του συστήματος, γράφεται σε αυτό η εξίσωση κατάστασης ή λειτουργίας αυτού του συνδέσμου. Δομικό σχήμαείναι μαθηματικό μοντέλοσυστήματα ελέγχου. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις χρονικά μεταβαλλόμενες καταστάσεις ενός συστήματος ή στοιχείου ονομάζονται δυναμικές εξισώσεις. Τις περισσότερες φορές, τα συστήματα περιγράφονται χρησιμοποιώντας διαφορικές εξισώσεις.

(5)Μέθοδος μικρής απόκλισης.

Κατά τη μελέτη ενός μη γραμμικού συστήματος εξισώσεων, η λύση μπορεί να ληφθεί μόνο σε καθαρή μορφή, επομένως, για να ληφθεί μια αναλυτική λύση μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, χρησιμοποιείται γραμμικοποίηση. Γραμμικοποίηση είναι η αντικατάσταση μη γραμμικών εξισώσεων με κατά προσέγγιση γραμμικές εξισώσεις (μέθοδος μικρής απόκλισης). Σκεφτείτε κάποιο στοιχείο . Αφήστε τις διεργασίες να πραγματοποιηθούν μεταξύ των ποσοτήτων εισόδου και εξόδου, οι οποίες περιγράφονται από μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής . Ας υποδηλώσουμε τη σταθερή κατάσταση του αντικειμένου με x 0, y 0 και απόκλιση από αυτό το κράτος x' και y'. τότε η ποσότητα εισόδου θα αναπαρασταθεί: x=x 0 +x’; y+y 0 +y’. Γενικά, οι ποσότητες εισόδου και εξόδου μπορούν να είναι συναρτήσεις του χρόνου, τότε η ποσότητα εξόδου θα αντιπροσωπεύεται από: . Στην περιοχή του σημείου x 0, y 0, επεκτείνουμε τη συνάρτηση F(x,y,t) σε μια σειρά Taylor: , όπου R είναι το σύνολο των όρων της σειράς, η σειρά της παραγώγου της οποίας είναι μεγαλύτερη από την πρώτη. Εάν η απόκλιση από την τιμή της σταθερής κατάστασης είναι μικρή, μπορείτε να πάρετε (*), όπου . Στην περίπτωση που η απόκλιση από τη σταθερή κατάσταση είναι 0, η εξίσωση θα μοιάζει (**). Αφαιρώντας το (**) από το (*) παίρνουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση , που ονομάζεται εξίσωση στις αποκλίσεις. Αυτή η εξίσωση περιγράφει την κατάσταση του αντικειμένου ελέγχου για μικρές αποκλίσεις.

(6) Μέθοδος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων.

1) αναλυτικό, λάβετε τη λύση σε ρητή μορφή. Με βάση αυτή την απόφασηΜπορείτε να μελετήσετε την αντίδραση ενός αντικειμένου σε οποιαδήποτε επιρροή εισόδου. 2) αριθμητική, η λύση της εξίσωσης είναι μια αριθμητική λύση υπό δεδομένες αρχικές συνθήκες. 3) ποιοτική, που χρησιμοποιείται κυρίως στη θεωρία ελέγχου και χωρίς ρητή λύση, προκύπτουν διάφορες ποιοτικές εκτιμήσεις (χρόνος διαδικασίας μετάβασης, εύρος ζώνης). Στάδια επίλυσης διαφορικών εξισώσεων: 1) χρησιμοποιώντας την αρχική διαφορική εξίσωση, συνθέτουν τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος. 2) βρείτε τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. 3) καταγράψτε γενικές λύσειςδιαφορικές εξισώσεις και χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες καθορίζουν τους συντελεστές της ποσότητας παραγωγής. 4) μια συγκεκριμένη λύση προστίθεται στη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Ωστόσο, η εύρεση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, η τάξη της οποίας είναι υψηλότερη από τον τρίτο βαθμό, δεν είναι αναλυτικά δυνατή, επομένως, χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για την εύρεση των ριζών, γεγονός που περιπλέκει τη μελέτη του συστήματος στο σύνολό του.

Το σύστημα μπορεί να είναι διακριτό ή συνεχές σε εισόδους, εξόδους και χρόνο, ανάλογα με το αν τα σύνολα είναι διακριτά ή συνεχή U, Y, Tαντίστοιχα. Με τον όρο διακριτό εννοούμε ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο. Με τον όρο συνεχής εννοούμε ένα σύνολο αντικειμένων για τα οποία ένα κατάλληλο μοντέλο είναι ένα τμήμα, ακτίνα ή ευθεία γραμμή, δηλ. σύνολο συνδεδεμένων αριθμών. Εάν ένα σύστημα έχει πολλές εισόδους και εξόδους, αυτό σημαίνει ότι τα αντίστοιχα σύνολα U, Tβρίσκονται σε πολυδιάστατους χώρους, δηλ. η συνέχεια και η διακριτικότητα νοούνται συνιστώσα προς συνιστώσα.

Η ευκολία ενός αριθμητικού συνόλου ως μοντέλου πραγματικών συλλογών αντικειμένων έγκειται στο γεγονός ότι πολλές σχέσεις ορίζονται φυσικά σε αυτό, επισημοποιώντας τις πραγματικές σχέσεις μεταξύ πραγματικών αντικειμένων. Για παράδειγμα, οι σχέσεις εγγύτητας και σύγκλισης επισημοποιούν τις έννοιες της ομοιότητας και της ομοιότητας των αντικειμένων και μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση απόστασης (μετρική) d(x, y)(Για παράδειγμα, d(x, y) = |x - y|). Τα αριθμητικά σύνολα ταξινομούνται: η σχέση σειράς ακολουθίας ( x ≤ y) επισημοποιεί την προτίμηση ενός αντικειμένου έναντι ενός άλλου. Τέλος, οι αντίστοιχες πράξεις ορίζονται σε στοιχεία αριθμητικών συνόλων, για παράδειγμα, γραμμικά: x + y, x*y. Εάν παρόμοιες λειτουργίες έχουν νόημα και για πραγματικά αντικείμενα στην είσοδο και στην έξοδο, τότε προκύπτουν φυσικά απαιτήσεις για τα μοντέλα (1) – (3): να είναι συνεπείς με αυτές τις λειτουργίες, να αποθηκεύονται τα αποτελέσματά τους. Έτσι, φτάνουμε, για παράδειγμα, σε γραμμικά μοντέλα: y = au + b, dy/dt= ay + buκ.λπ., που είναι τα απλούστερα μοντέλα πολλών διαδικασιών.

Κατά κανόνα, η διακριτικότητα του συνόλου Uσυνεπάγεται διακριτικότητα Υ. Επιπλέον, για στατικά συστήματαη διάκριση μεταξύ συνεχούς και διακριτού χρόνου εξαφανίζεται. Επομένως, η ταξινόμηση των ντετερμινιστικών συστημάτων σύμφωνα με τα κριτήρια «στατικό-δυναμικό», «διακριτό-συνεχές» περιλαμβάνει έξι κύριες ομάδες, που αντιπροσωπεύονται από στον πίνακα 2, όπου για κάθε ομάδα υποδεικνύονται η μαθηματική συσκευή για την περιγραφή συστημάτων, μέθοδοι αριθμητικής ανάλυσης και εκτίμησης των παραμέτρων τους, μέθοδοι σύνθεσης (βελτιστοποίησης), καθώς και τυπικοί τομείς εφαρμογής.

πίνακας 2

ΜΟΝΤΕΛΑ ΝΤΕΤΕΜΙΝΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Σημείωση:U - πολλές εισόδους,Υ - πολλές εξόδους συστήματος

Μοντέλα κατάστασης δυναμικών συστημάτων

Μοντέλα γενική εικόνα

Τον πιο σημαντικό ρόλο στην περιγραφή των δυναμικών συστημάτων παίζει η έννοια του κράτους. Μια κατάσταση είναι ένα σύνολο μεγεθών (διάνυσμα) που καθορίζουν (μαζί με την επιρροή εισόδου) τη μελλοντική συμπεριφορά του συστήματος.

Γενικά, οι εξισώσεις κατάστασης είναι συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης ή εξισώσεων διαφοράς μαζί με εξισώσεις για μεγέθη εξόδου. Η αρχική κατάσταση αντιπροσωπεύει τη «μνήμη» του παρελθόντος του συστήματος. Το μοντέλο κατάστασης ενός συνεχούς δυναμικού συστήματος γράφεται στη μορφή

(4)

(5)

Οπου u 1 , …, u m- μεταβλητές εισόδου, y 1 , …, y l- μεταβλητές εξόδου, Χ 1 , …, x n-μεταβλητές κατάστασης. Εισάγοντας διανυσματικό συμβολισμό, μπορούμε να γράψουμε (5) σε πιο συμπαγή μορφή:

(6)

Οπου , , .

Για τα μοντέλα καταστάσεων, ισχύει το ακόλουθο γεγονός: οποιοδήποτε μη γραμμικό δυναμικό σύστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνδεση γραμμικών δυναμικών και μη γραμμικών στατικών ζεύξεων.

Ακόμα περισσότερο γενική μορφήΟι περιγραφές των δυναμικών συστημάτων είναι μοναδικά διαφορικά (αλγεβρικά-διαφορικά) συστήματα

(7)

ειδική περίπτωση των οποίων είναι τα σιωπηρά συστήματα

(8)

Γραμμικά μοντέλα

Συχνά, αντί για (5), χρησιμοποιούνται απλοποιημένα MM, με βάση το γεγονός ότι οι διαδικασίες στο σύστημα προχωρούν, αποκλίνοντας ελάχιστα από κάποια λεγόμενη τροχιά αναφοράς που ικανοποιεί τις εξισώσεις

Τότε μπορούμε να γράψουμε κατά προσέγγιση γραμμικό μοντέλοσε αποκλίσεις από αυτό το καθεστώς:

(10)

Εάν η λειτουργία σχεδίασης είναι σταθερή, π.χ. δεν εξαρτάται από το χρόνο, τότε οι συντελεστές στο (10) επίσης δεν εξαρτώνται από το χρόνο: Α(τ)=Α, B(t)=Bκαι τα λοιπά. Τέτοια συστήματα ονομάζονται ακίνητα. Ιδιαίτερα συχνά στην πράξη υπάρχουν σταθερά γραμμικά συνεχή συστήματα που περιγράφονται με απλούστερες εξισώσεις

, y = Cx. (11)

Πίνακες Α, Β, Γείναι παράμετροι του μοντέλου (11).

Εάν η γραμμικοποίηση οδηγεί σε μεγάλα σφάλματα, τότε προσπαθούν, αν είναι δυνατόν, να επιλέξουν ένα MM που είναι γραμμικό ως προς τις παραμέτρους:

Οπου ΕΝΑ- πίνακας παραμέτρων παραγγελίας n×N, είναι μια μη γραμμική συνάρτηση. Αυτή η κλάση περιλαμβάνει, ειδικότερα, διγραμμικά αντικείμενα.

Τα παραπάνω ισχύουν και για τις εξισώσεις συστημάτων διακριτού χρόνου. Εξισώσεις διακριτό σύστημαστη γενική περίπτωση έχουν τη μορφή

, . (12)

Ένα διακριτό ανάλογο γραμμικών εξισώσεων σταθερό σύστημα(20) είναι οι εξισώσεις:

(13)

Μαζί με τις εξισώσεις κατάστασης, χρησιμοποιούνται ευρέως μοντέλα σε μεταβλητές εισόδου-εξόδου και μοντέλα που περιγράφονται από συναρτήσεις μεταφοράς. Για συνεχή χρόνο, η εξίσωση εισόδου-εξόδου έχει τη μορφή

A(p)y(t)=B(p)u(t),(14)

Οπου p = d/dt- σύμβολο χρονικής διαφοροποίησης, , και στο (14) πάντα Μ< n . Κλασματική ορθολογική συνάρτηση που ονομάζεται μετάδοσησυνάρτηση του συστήματος (14), και το πολυώνυμο Α(λ)- αυτήν χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Αν η εξίσωση (14) προκύπτει από το (11), τότε

(15)

Ισχύουν επίσης στην περίπτωση που η είσοδος και η έξοδος του συστήματος (11) είναι διανύσματα, και - μήτρα. Χρησιμοποιώντας το (15), μπορούμε να δείξουμε ότι αντικαθιστώντας τις μεταβλητές κατάστασης στο (11) από τον τύπο , όπου Τ- μη ειδικό n×nμήτρα (απόκ Τ= 0), δεν οδηγεί σε αλλαγή λειτουργία μεταφοράς(15). Αυτό σημαίνει ότι η αντίστροφη μετάβαση από την περιγραφή «εισόδου-εξόδου» στις εξισώσεις καταστάσεων (11) είναι διφορούμενη: ενώ διατηρείται η συνάρτηση μεταφοράς, η βάση στον χώρο καταστάσεων μπορεί να επιλεγεί με διαφορετικούς τρόπους. Στην πράξη, χρησιμοποιούνται αρκετά τυπικές μεθόδουςμετάβαση από τη συνάρτηση μεταφοράς στις εξισώσεις κατάστασης. Αυτές οι μέθοδοι αντιστοιχούν στις λεγόμενες κανονικές αναπαραστάσεις του συστήματος. Ας περιγράψουμε ένα από αυτά, που οδηγεί σε ένα ελεγχόμενο κανονική αναπαράσταση. Αντί της (13), εισάγονται δύο εξισώσεις.