Η λειτουργία είναι ομοιόμορφα συνεχής στο σετ. Ομοιόμορφα συνεχής λειτουργία

Σχόλιο

Η επιλογή του δ στον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας εξαρτάται από το ε, αλλά όχι από το Χ 1 ,Χ 2 .

Ιδιότητες

Λειτουργία ομοιόμορφα συνεχής στο σετ Μ, είναι συνεχής σε αυτό. Το αντίστροφο, σε γενικές γραμμές, δεν είναι αλήθεια. Για παράδειγμα, η συνάρτηση

είναι συνεχής σε ολόκληρο τον τομέα του ορισμού, αλλά δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής, αφού για οποιοδήποτε src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> μπορείτε να καθορίσετε ένα τμήμα αυθαίρετα μικρού μήκους όπως ότι στα άκρα της οι τιμές της συνάρτησης θα διαφέρουν περισσότερο από ό,τι σε Ένα άλλο παράδειγμα: συνάρτηση

είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, αλλά δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής, αφού

Για οποιοδήποτε src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> μπορείτε να επιλέξετε ένα τμήμα αυθαίρετα μικρού μήκους έτσι ώστε η διαφορά στις τιμές της συνάρτησης φά(Χ) = Χ 2 στα άκρα του τμήματος θα υπάρχουν περισσότερα. Ειδικότερα, στο τμήμα τείνει η διαφορά στις τιμές συνάρτησης

δείτε επίσης

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Εξίσου μετριασμένη κλίμακα
Εξίσου μετριασμένη κλίμακα

Δείτε τι είναι η "Ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση" σε άλλα λεξικά:

Συνεχής λειτουργία- Αυτό το άρθρο αφορά μια συνάρτηση συνεχούς αριθμού. Για συνεχείς αντιστοιχίσεις σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών, δείτε τη συνεχή χαρτογράφηση. Μια συνεχής συνάρτηση είναι μια συνάρτηση χωρίς «άλματα», δηλαδή αυτή που έχει μικρές αλλαγές... ... Wikipedia

ΣΥΝΕΧΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ- μία από τις κύριες έννοιες μαθηματική ανάλυση. Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορίζεται σε ένα ορισμένο υποσύνολο E πραγματικών αριθμών, δηλ. Η συνάρτηση f καλείται συνεχής σε ένα σημείο (ή, πιο αναλυτικά, συνεχής σε ένα σημείο πάνω από το σύνολο Ε), εάν για... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Απόλυτα συνεχής λειτουργία- Μια συνάρτηση ονομάζεται απολύτως συνεχής συνάρτηση σε ένα πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα εάν είναι τέτοια ώστε για οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο ασυνάρτητων διαστημάτων το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ... Wikipedia

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ- μια συνάρτηση που είναι ένα επαναλαμβανόμενο σημείο δυναμικών μετατοπίσεων. συστήματα. Ισοδύναμος ορισμός: συνάρτηση όπου το S είναι μετρικό. χώρος, που ονομάζεται επαναλαμβανόμενο εάν έχει ένα προσυμπαγές σύνολο τιμών, είναι ομοιόμορφα συνεχές και για κάθε... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Σχεδόν περιοδική συνάρτηση- μια συνάρτηση της οποίας οι τιμές, όταν προστίθενται σωστά επιλεγμένοι σταθεροί αριθμοί (σχεδόν τελείες) στο όρισμα, επαναλαμβάνονται περίπου. Πιο συγκεκριμένα: συνεχής λειτουργία f (x), που ορίζεται για όλα πραγματικές αξίεςΧ,… … Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

ΕΠΙΛΕΚΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ- συνάρτηση του ορίσματος t, που αντιστοιχεί μοναδικά σε κάθε παρατήρηση μιας τυχαίας διαδικασίας. υπάρχουν πολλά στοιχειώδη γεγονότα εδώ. Συχνά χρησιμοποιούνται ισοδύναμα V. f. όρους υλοποίηση, τροχιά. Η τυχαία διαδικασία χαρακτηρίζεται από κνησμό... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΙΑΝΟΜΗΣ- οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή X είναι συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής x, λαμβάνοντας για κάθε x μια τιμή ίση με την πιθανότητα της ανισότητας X Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ- μια συνάρτηση που ικανοποιεί ένα σύστημα με πραγματικούς συντελεστές που είναι συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών x y Με συμβολισμό, το αρχικό σύστημα γράφεται με τη μορφή Εάν οι συντελεστές A και B του συστήματος (1) σε ολόκληρο το επίπεδο Ecomplex... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ- μια πραγματική συνάρτηση που ορίζεται στο πεδίο του Ευκλείδειου χώρου που έχει συνεχείς μερικές παραγώγους της 1ης και 2ης τάξης στο D και είναι μια λύση στην εξίσωση Laplace όπου είναι οι καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες του σημείου x. Μερικές φορές αυτός ο ορισμός... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Πολυυποαρμονική λειτουργία- Η συνάρτηση Plurisubharmononic είναι μια συνάρτηση με πραγματική αξία μιγαδικών μεταβλητών στον τομέα του μιγαδικού χώρου, που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες... Wikipedia

Μια συνάρτηση $%f(x)$% λέγεται ότι είναι συνεχής στο σημείο $%x_0$% εάν $$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.

Και σε τι διαφέρει από την τακτική συνέχεια;>

Η κανονική (σημειακή) συνέχεια είναι μια τοπική ιδιότητα μιας συνάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι εκτελείται σε συγκεκριμένο σημείο. Σημειώστε ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης δίνεται ακριβώς σε ένα σημείο. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι υπάρχουν συναρτήσεις που είναι συνεχείς όχι μόνο σε ένα σημείο, αλλά και σε κάποιο σύνολο (για παράδειγμα, $%f(x)=\sin x$% είναι συνεχής σε $%\mathbb(R )$% ). Αυτό δεν ακυρώνει την τοπική φύση της συνέχειας, δηλαδή σημαίνει απλώς ότι αν ελέγξουμε το $%\sin x$% για συνέχεια σε κάθε μεμονωμένο σημείο $%\mathbb(R)$%, τότε η συνάρτηση θα το ικανοποιήσει στο συγκεκριμένο σημείο. Εφόσον σε κάθε σημείο $%x_0$% του συνόλου $%\mathbb(R)$% ικανοποιείται η συνθήκη για τη συνέχεια της συνάρτησης $%\sin x$% στο σημείο $%x_0$%, η συνάρτηση είναι ονομάζεται συνεχής σε αυτό το σύνολο. Επιπλέον, όταν μελετήσαμε τη συνέχεια της συνάρτησης σε κάθε ξεχωριστό σημείο, εμείς (δεδομένου $%\varepsilon$%) για αυτό το σημείο πήραμε $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. Αυτό είναι για διαφορετικά σημείατα σύνολα θα έχουν ως αποτέλεσμα (γενικά μιλώντας) διαφορετικά δέλτα. Έτσι, υπάρχει μια ανομοιομορφία στην ιδιότητα μιας συνάρτησης "να είναι συνεχής" σε σχέση με το δέλτα: χονδρικά, στο σημείο $%x_1$% η συνάρτηση είναι συνεχής με ένα δέλτα και στο σημείο $%x_2$% - με άλλο δέλτα.

Πώς να καταλάβετε δ>0, εάν η συνάρτηση είναι συνεχής, τότε για οποιοδήποτε έψιλον πρέπει να υπάρχει δέλτα.>

Σωστά το σημείωσες Ανη λειτουργία είναι συνεχής, τότε για οποιοδήποτε έψιλον υπάρχει δέλτα. Ωστόσο, στην πράξη η κατάσταση είναι συχνά έτσι - σας δίνεται μια συνάρτηση (για παράδειγμα, $%y=3+x$%) και ένα σημείο (για παράδειγμα, $%x_0=2$%). Το ερώτημα είναι, θα είναι η συνάρτηση $%f$% συνεχής στο σημείο $%x_0$%; Πώς να μάθετε; Ο πιο βασικός τρόπος είναι να ελέγξουμε αν ικανοποιείται ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Δηλαδή, θα σας δώσω διαφορετικά epsilon ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% κ.ο.κ.) και θα επιλέξετε για μένα ένα τέτοιο δέλτα ανάλογα από αυτό το έψιλον και το σημείο x είναι μηδέν, ότι ο ορισμός εκπληρώνεται. Εάν, αφού απαριθμήσω όλα τα θετικά έψιλον για εσάς (αυτό δεν θα είναι εύκολο, αλλά παρόλα αυτά), αποδειχθεί ότι έχετε βρει ένα τέτοιο δέλτα για κάθε έψιλον, τότε θα συμφωνήσουμε ότι η συνάρτηση σε αυτό το σημείο είναι συνεχής. Εάν κάποια στιγμή σας πω ένα τέτοιο έψιλον (για παράδειγμα, $%\varepsilon=1/1000$%), για το οποίο δεν μπορείτε να βρείτε ένα δέλτα ώστε να ικανοποιείται ο ορισμός, τότε η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι συνεχής σε αυτό το σημείο ( δεν ικανοποιεί τον ορισμό της συνέχειας).

Όταν η συνθήκη |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>

Σε αυτό το απόφθεγμα σου, αντικατέστησα την ομοιόμορφη συνέχεια με τη συνηθισμένη συνέχεια (φαίνεται ότι πρέπει πρώτα να την αντιμετωπίσεις). Σημειώστε ότι για να αναγνωριστεί μια συνάρτηση ως ασυνεχής (όχι συνεχής), είναι απαραίτητο αυτό ορισμός της συνέχειας(που βρίσκεται στην αρχή του μηνύματος) δεν εκτελέστηκε. Και όχι μόνο κάποιο κομμάτι αυτού του ορισμού, αλλά το όλο θέμα. Αντί να οριστεί σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να εκτελεστεί λογική άρνηση. Ο μνημονικός κανόνας για τη σύνταξη μιας άρνησης είναι ο εξής: πρέπει να αντικαταστήσετε όλους τους ποσοτικούς δείκτες "υπάρχει" (εικονίδιο $%\exists$%) και "for any" (εικονίδιο $%\forall$%) με τα αντίθετά τους (δηλ. Το $%\exists$% θα πρέπει να αντικατασταθεί με το $ %\forall$%, και το $%\forall$% θα πρέπει να αντικατασταθεί με το $%\exists$%). Πρέπει επίσης να αλλάξετε το πρόσημο της τελευταίας ανισότητας στο αντίθετο (σε αυτήν την περίπτωση $%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Η συνάρτηση $%f(x)$% είναι ασυνεχής (δηλαδή, όχι συνεχής) στο σημείο $%x_0$% εάν $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x -x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Από αυτό βλέπουμε ότι το κριτήριό σας για την έλλειψη συνέχειας (συνθήκη $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Για να το καταλάβετε καλύτερα, είναι χρήσιμο να αναλύσετε ανεξάρτητα μερικά βασικά παραδείγματα σχετικά με αυτό το θέμα (για παράδειγμα, εξετάστε μια πολύ απλή συνάρτηση για συνέχεια στο σημείο $%x_0$% και εάν είναι συνεχής εκεί, τότε υποδείξτε ρητά $% \delta (x_0,\varepsilon)$%, και αν είναι ασυνεχές, τότε υποδείξτε το $%\varepsilon$% για το οποίο εκτελείται η άρνηση, κ.λπ.). Αφού εξοικειωθείτε με τον ορισμό της συνέχειας και την άρνησή της (γενικά και στη γλώσσα $%\varepsilon$%-$%\delta$% ειδικότερα), η μετάβαση στην ομοιόμορφη συνέχεια θα είναι πολύ πιο εύκολη. Και, φυσικά, πρέπει να διαβάσετε για τη συνέχεια και την ομοιόμορφη συνέχεια σε ένα εγχειρίδιο ανάλυσης. Ο σύνδεσμος που παρείχατε περιέχει ορισμένα υλικά που θυμίζουν περισσότερο κίνητρο για εξετάσεις, όπου η ομοιόμορφη συνέχεια εξηγείται σε μία γραμμή. Το πώς μπορεί κανείς να κατακτήσει αυτό (και άλλες έννοιες) στα μαθηματικά σε αυτήν τη μορφή είναι εντελώς ασαφές για μένα.
ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ. Ζητάμε από τους άλλους συμμετέχοντες να ελέγξουν αυτή την απάντηση (για να δουν αν τα έχω αναφέρει όλα σωστά), αφού είναι μεθοδολογικού χαρακτήρα.

Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο διάστημα (απαγορευμένη ή ανοιχτή), τότε αυτό, όπως ήδη γνωρίζουμε, σημαίνει ότι για οποιοδήποτε σημείο αυτού του διαστήματος για ένα προκαθορισμένο e> 0 υπάρχει g> 0 τέτοιο ώστε από την ανισότητα

x 0 - x< д

ακολουθεί η ανισότητα

f(x 0) - f(x)<

ώστε μόνο τα σημεία x να βρίσκονται επίσης σε αυτό το διάστημα.

Έτσι, είναι σαφές ότι το q εξαρτάται από το e Επιπλέον, για διαφορετικά σημεία του διαστήματος και το ίδιο είναι, ο αριθμός q μπορεί επίσης να αποδειχθεί διαφορετικός, δηλ. Το d δεν εξαρτάται μόνο από το e, αλλά και από το x0. Τότε το γεγονός ότι μεταξύ των τιμών του d για διαφορετικά σημεία του διαστήματος και ταυτόχρονα είναι η μικρότερη τιμή του d είναι θεμελιώδους σημασίας, δεν υπάρχει κάτι τέτοιο. Στην πρώτη περίπτωση, για ένα δεδομένο e > 0, μπορεί κανείς να βρει την τιμή q κοινή για όλα τα σημεία του διαστήματος και μετά λένε ότι η συνάρτηση στο διάστημα που εξετάζεται είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Ορισμός. Μια συνάρτηση λέγεται ότι είναι ομοιόμορφα συνεχής σε ένα δεδομένο διάστημα εάν, πρώτον, ορίζεται σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος, και δεύτερον, εάν ισχύει η ακόλουθη συνθήκη: για κάθε αυθαίρετα μικρό e> 0 μπορούμε να συσχετίσουμε ένα τέτοιο e> 0, από την ανισότητα x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.

Ο ορισμός της ομοιόμορφης συνέχειας μιας συνάρτησης υπονοεί ότι η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής σε κάποιο διάστημα και συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος. Η αντίστροφη πρόταση, όπως φαίνεται από το παράδειγμα μιας συνάρτησης στο pivinterval (0, 1], δεν είναι πάντα αληθής.

Θεώρημα Cantor (για την ομοιόμορφη συνέχεια μιας συνάρτησης). Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα τμήμα [a, b], τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό το τμήμα.

Απόδειξη. Ας έχουμε έναν αυθαίρετα μικρό αριθμό e > 0. Ας χωρίσουμε το τμήμα [a, b] σε έναν πεπερασμένο αριθμό m μερών έτσι ώστε οι ταλαντώσεις της δεδομένης συνεχούς συνάρτησης στο (a, b] σε καθένα από τα ληφθέντα μέρη του τα τμήματα

[a, c 1 ], [c 1 , c 2 ], [c 2 , c 3 ],…….., [c i , c i+1 ], ……., [a, b],

ήταν λιγότερο από. Δεδομένου ότι υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός τμημάτων, τότε τα μήκη τους είναι πεπερασμένοι αριθμοί, και επομένως μεταξύ αυτών υπάρχει ο μικρότερος, τον οποίο συμβολίζουμε με d Τώρα πάρτε οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 στο τμήμα [a, b]. ώστε η απόσταση μεταξύ τους να είναι μικρότερη:

x 2 - x 1< д (95)

Τέτοια δύο σημεία μπορούν να βρίσκονται είτε στο ίδιο ιδιωτικό τμήμα είτε σε γειτονικά ιδιωτικά τμήματα. Στην πρώτη περίπτωση

f(x 2) - f(x 1)< , (96)

Στη δεύτερη περίπτωση, αν υποδηλώσουμε το κοινό άκρο γειτονικών ιδιωτικών τμημάτων με c i, λαμβάνουμε:

f(x 2) - f(x 1) =|f(x 2) - f(με i)+ f(με i) - f(x 1)|?,

f(x 2) - f(x 1)< (97)

Έτσι, στην πρώτη περίπτωση, η ανισότητα (96) προκύπτει από την ανισότητα (95), και στη δεύτερη, η ανισότητα (97) προκύπτει από την ανισότητα (95). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

(Αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο για τμήματα και όχι για διαστήματα και μισά διαστήματα.)

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα (0, a), αλλά δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό, γιατί υπάρχει ένας αριθμός >0 τέτοιος ώστε να υπάρχουν τιμές x 1 και x 2 έτσι ώστε f(x 1) - f(x 2)>, - οποιοσδήποτε αριθμός με την προϋπόθεση ότι τα x 1 και x 2 είναι κοντά στο μηδέν.