7 σε δεκαδικό σύστημα. Μετατροπή αριθμών σε διαφορετικά συστήματα αριθμών
Μέθοδοι μετατροπής αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε άλλο: μετατροπή ακεραίων.
Για να μετατρέψετε έναν ακέραιο από ένα σύστημα αριθμών με βάση d1 σε άλλο με βάση d2, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό και τα πηλίκα που προκύπτουν με τη βάση d2 του νέου συστήματος μέχρι να λάβετε ένα πηλίκο μικρότερο από τη βάση d2. Το τελευταίο πηλίκο είναι το πιο σημαντικό ψηφίο ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με βάση d2 και τα ψηφία που ακολουθούν είναι υπολείμματα από τη διαίρεση, γραμμένα με την αντίστροφη σειρά της λήψης τους. Εκτελέστε αριθμητικές πράξεις στο σύστημα αριθμών στο οποίο είναι γραμμένος ο αριθμός που μεταφράζεται.
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 11(10) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 11(10)=1011(2).
Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 122(10) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 122(10)=172(8).
Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 500(10) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 500(10)=1F4(16).
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε ένα άλλο: μετατροπή κατάλληλων κλασμάτων.
Για να μετατρέψετε ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα αριθμών με βάση d1 σε σύστημα με βάση d2, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά το αρχικό κλάσμα και τα κλασματικά μέρη των προϊόντων που προκύπτουν με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών d2. Το σωστό κλάσμα ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με βάση d2 σχηματίζεται με τη μορφή ακέραιων μερών των γινομένων που προκύπτουν, ξεκινώντας από το πρώτο.
Εάν η μετάφραση έχει ως αποτέλεσμα ένα κλάσμα με τη μορφή άπειρης ή αποκλίνουσας σειράς, η διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί όταν επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.
Κατά τη μετάφραση μικτών αριθμών, είναι απαραίτητο να μεταφράσετε ξεχωριστά τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη σε ένα νέο σύστημα σύμφωνα με τους κανόνες για τη μετάφραση ακεραίων και κατάλληλων κλασμάτων και στη συνέχεια να συνδυάσετε και τα δύο αποτελέσματα σε έναν μικτό αριθμό στο νέο σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,625(10) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 0,625(10)=0,101(2).
Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,6(10) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 0,6(10)=0,463(8).
Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,7(10) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 0,7(10)=0,B333(16).
Μετατρέψτε δυαδικούς, οκταδικούς και δεκαεξαδικούς αριθμούς σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα P-ary σε δεκαδικό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο επέκτασης:
άναν-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 101.11(2) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 101.11(2)= 5.75(10) .
Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 57.24(8) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 7A,84(16) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 7A.84(16)= 122.515625(10) .
Μετατροπή οκταδικών και δεκαεξαδικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών και αντίστροφα.
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό, κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού πρέπει να γραφτεί ως τριψήφιος δυαδικός αριθμός (τριάδα).
Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 16.24(8) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 16.24(8)= 1110.0101(2) .
Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό ξανά στο οκταδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τριάδες αριστερά και δεξιά της υποδιαστολής και να αναπαραστήσετε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο σύστημα οκταδικών αριθμών. Οι ακραίες ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.
Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1110.0101(2) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Απάντηση: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να γράψετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού ως τετραψήφιο δυαδικό αριθμό (τετράδα).
Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 7A,7E(16) στο δυαδικό σύστημα αριθμών. 
Απάντηση: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .
Σημείωση: τα μηδενικά που αρχίζουν στα αριστερά για ακέραιους αριθμούς και στα δεξιά για τα κλάσματα δεν γράφονται.
Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό ξανά στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τετράδια αριστερά και δεξιά της υποδιαστολής και να αναπαραστήσετε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Οι ακραίες ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.
Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1111010.0111111(2) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Ας δούμε ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην επιστήμη των υπολογιστών -. Στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, αποκαλύπτεται μάλλον «σεμνά», πιθανότατα λόγω της έλλειψης ωρών που του διατίθενται. Γνώσεις για αυτό το θέμα, ειδικά για μετάφραση αριθμητικών συστημάτων, αποτελούν προϋπόθεση για την επιτυχή επιτυχία των Ενιαίων Κρατικών Εξετάσεων και την εισαγωγή στα ΑΕΙ των αρμόδιων σχολών. Παρακάτω συζητάμε αναλυτικά έννοιες όπως π.χ συστήματα αριθμών θέσης και μη, δίνονται παραδείγματα αυτών των συστημάτων αριθμών, παρουσιάζονται κανόνες για τη μετατροπή ακέραιων δεκαδικών αριθμών, σωστά δεκαδικά κλάσματα και μικτές δεκαδικούς αριθμούς σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών, μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, μετατροπή από οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών σε δυαδικό αριθμό Σύστημα. Υπάρχουν πολλά προβλήματα σε αυτό το θέμα στις εξετάσεις. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι μία από τις απαιτήσεις για τους αιτούντες. Προσεχώς: Για κάθε θέμα της ενότητας, εκτός από το αναλυτικό θεωρητικό υλικό, θα παρουσιαστούν σχεδόν όλες οι πιθανές επιλογές καθήκονταγια αυτοδιδασκαλία. Επιπλέον, θα έχετε την ευκαιρία να κατεβάσετε εντελώς δωρεάν από μια υπηρεσία φιλοξενίας αρχείων έτοιμες αναλυτικές λύσεις σε αυτά τα προβλήματα, που παρουσιάζουν διάφορους τρόπους για να λάβετε τη σωστή απάντηση.
συστήματα αριθμών θέσης.
Συστήματα αριθμών χωρίς θέση- συστήματα αριθμών στα οποία η ποσοτική τιμή ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό.
Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, το ρωμαϊκό, όπου αντί για αριθμούς υπάρχουν λατινικά γράμματα.
| Εγώ | 1 (ένα) |
| V | 5 (πέντε) |
| Χ | 10 (δέκα) |
| μεγάλο | 50 (πενήντα) |
| ντο | 100 (εκατό) |
| ρε | 500 (πεντακόσια) |
| Μ | 1000 (χιλιάδες) |
Εδώ το γράμμα V σημαίνει 5 ανεξάρτητα από τη θέση του. Ωστόσο, αξίζει να αναφέρουμε ότι, αν και το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών είναι ένα κλασικό παράδειγμα ενός μη θεσιακού συστήματος αριθμών, δεν είναι εντελώς μη θέσιο, επειδή Ο μικρότερος αριθμός μπροστά από τον μεγαλύτερο αφαιρείται από αυτόν:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| ΜΙ | 1001 (1000+1=1001) |
συστήματα αριθμών θέσης.
Συστήματα θέσεων αριθμών- συστήματα αριθμών στα οποία η ποσοτική τιμή ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό.
Για παράδειγμα, αν μιλάμε για το δεκαδικό σύστημα αριθμών, τότε στον αριθμό 700 ο αριθμός 7 σημαίνει "επτακόσια", αλλά ο ίδιος αριθμός στον αριθμό 71 σημαίνει "επτά δεκάδες" και στον αριθμό 7020 - "επτά χιλιάδες" .
Καθε σύστημα αριθμών θέσηςέχει το δικό του βάση. Ως βάση επιλέγεται ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του δύο. Είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιούνται σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών.
- Για παράδειγμα:
- Δυάδικος- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 2.
- Τετραδικός- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 4.
- Πεντάπτυχο- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 5.
- Οκτάεδρος- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 8.
- Δεκαεξαδικό- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 16.
Για την επιτυχή επίλυση προβλημάτων στο θέμα «Αριθμητικά συστήματα», ο μαθητής πρέπει να γνωρίζει από καρδιάς την αντιστοιχία δυαδικών, δεκαδικών, οκταδικών και δεκαεξαδικών αριθμών μέχρι το 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ΕΝΑ |
| 11 | 1011 | 13 | σι |
| 12 | 1100 | 14 | ντο |
| 13 | 1101 | 15 | ρε |
| 14 | 1110 | 16 | μι |
| 15 | 1111 | 17 | φά |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς λαμβάνονται οι αριθμοί σε αυτά τα συστήματα αριθμών. Μπορείτε να μαντέψετε ότι σε οκταδικό, δεκαεξαδικό, τριαδικό και άλλα συστήματα αριθμών θέσηςόλα συμβαίνουν με τον ίδιο τρόπο όπως το δεκαδικό σύστημα που έχουμε συνηθίσει:
Ένα προστίθεται στον αριθμό και προκύπτει ένας νέος αριθμός. Αν το μοναδιαίο μέρος γίνει ίσο με τη βάση του αριθμητικού συστήματος, αυξάνουμε τον αριθμό των δεκάδων κατά 1 κ.λπ.
Αυτή η «μετάβαση του ενός» είναι που φοβίζει τους περισσότερους μαθητές. Στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ απλά. Η μετάβαση συμβαίνει εάν το ψηφίο των μονάδων γίνει ίσο με βάση αριθμών, αυξάνουμε τον αριθμό των δεκάδων κατά 1. Πολλοί, ενθυμούμενοι το παλιό καλό δεκαδικό σύστημα, μπερδεύονται αμέσως με τα ψηφία σε αυτήν τη μετάβαση, επειδή οι δεκαδικές και, για παράδειγμα, οι δυαδικές δεκάδες είναι διαφορετικά πράγματα.
Ως εκ τούτου, οι πολυμήχανοι μαθητές αναπτύσσουν «δικές τους μεθόδους» (παραδόξως... δουλεύουν) όταν συμπληρώνουν, για παράδειγμα, πίνακες αλήθειας, οι πρώτες στήλες (μεταβλητές τιμές) των οποίων στην πραγματικότητα είναι γεμάτες με δυαδικούς αριθμούς σε αύξουσα σειρά.
Για παράδειγμα, ας δούμε τη λήψη αριθμών οκταδικό σύστημα: Προσθέτουμε 1 στον πρώτο αριθμό (0), παίρνουμε 1. Μετά προσθέτουμε 1 στο 1, παίρνουμε 2 κ.λπ. στο 7. Αν προσθέσουμε ένα στο 7, παίρνουμε έναν αριθμό ίσο με τη βάση του συστήματος αριθμών, δηλ. 8. Στη συνέχεια, πρέπει να αυξήσετε το μέρος των δεκάδων κατά ένα (παίρνουμε το οκταδικό δέκα - 10). Ακολουθούν, προφανώς, οι αριθμοί 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Κανόνες μετατροπής από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.
1 Μετατροπή ακέραιων δεκαδικών αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Ο αριθμός πρέπει να διαιρεθεί με νέα βάση αριθμητικού συστήματος. Το πρώτο υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το πρώτο δευτερεύον ψηφίο του νέου αριθμού. Αν το πηλίκο της διαίρεσης είναι μικρότερο ή ίσο με τη νέα βάση, τότε αυτό (το πηλίκο) πρέπει να διαιρεθεί ξανά με τη νέα βάση. Η διαίρεση πρέπει να συνεχιστεί μέχρι να πάρουμε πηλίκο μικρότερο από τη νέα βάση. Αυτό είναι το υψηλότερο ψηφίο του νέου αριθμού (πρέπει να θυμάστε ότι, για παράδειγμα, στο δεκαεξαδικό σύστημα, μετά το 9 υπάρχουν γράμματα, δηλαδή εάν το υπόλοιπο είναι 11, πρέπει να το γράψετε ως Β).
Παράδειγμα ("διαίρεση ανά γωνία"): Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 173 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Έτσι, 173 10 = 255 8
2 Μετατροπή κανονικών δεκαδικών κλασμάτων σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Ο αριθμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τη βάση του νέου αριθμητικού συστήματος. Το ψηφίο που έχει γίνει το ακέραιο μέρος είναι το υψηλότερο ψηφίο του κλασματικού μέρους του νέου αριθμού. Για να λάβετε το επόμενο ψηφίο, το κλασματικό μέρος του προκύπτοντος γινομένου πρέπει και πάλι να πολλαπλασιαστεί με μια νέα βάση του συστήματος αριθμών μέχρι να πραγματοποιηθεί η μετάβαση στο ολόκληρο μέρος. Συνεχίζουμε τον πολλαπλασιασμό έως ότου το κλασματικό μέρος ισούται με μηδέν ή μέχρι να φτάσουμε στην ακρίβεια που καθορίζεται στο πρόβλημα («... υπολογίστε με ακρίβεια, για παράδειγμα, δύο δεκαδικά ψηφία»).
Παράδειγμα: Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,65625 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!
Αριθμητικά συστήματα
Υπάρχουν συστήματα αριθμών θέσης και μη. Το αραβικό σύστημα αριθμών, το οποίο χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή, είναι θέσιο, αλλά το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών δεν είναι. Στα συστήματα αριθμών θέσης, η θέση ενός αριθμού καθορίζει μοναδικά το μέγεθος του αριθμού. Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του αριθμού 6372 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε αυτόν τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:
Τότε ο αριθμός 6372 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Ο αριθμός 10 καθορίζει το σύστημα αριθμών (στην περίπτωση αυτή είναι το 10). Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.
Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1287.923. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από το μηδέν, θέση του αριθμού από την υποδιαστολή αριστερά και δεξιά:
Τότε ο αριθμός 1287.923 μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Γενικά, ο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
C n μικρό n +C n-1 · μικρό n-1 +...+C 1 · μικρό 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
όπου C n είναι ένας ακέραιος στη θέση του n, D -k - κλασματικός αριθμός στη θέση (-k), μικρό- σύστημα αριθμών.
Λίγα λόγια για τα συστήματα αριθμών Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), στο οκταδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1, 2,3,4,5,6,7), στο δυαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1), στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), όπου τα A,B,C,D,E,F αντιστοιχούν στους αριθμούς 10,11, 12,13,14,15 Στον πίνακα Πίν.1 παρουσιάζονται αριθμοί σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.
| Τραπέζι 1 | |||
|---|---|---|---|
| Σημειογραφία | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ΕΝΑ |
| 11 | 1011 | 13 | σι |
| 12 | 1100 | 14 | ντο |
| 13 | 1101 | 15 | ρε |
| 14 | 1110 | 16 | μι | 15 | 1111 | 17 | φά |
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Για να μετατρέψετε αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, ο ευκολότερος τρόπος είναι πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, να μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.
Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), μπορείτε να μετατρέψετε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από δυαδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Παράδειγμα2. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από οκταδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:
Παράδειγμα 3 . Μετατρέψτε τον αριθμό AB572.CDF από δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαδικό SS. Λύση:
Εδώ ΕΝΑ-αντικαταστάθηκε από 10, σι- στις 11, ντο- στα 12, φά- έως 15.
Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών
Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, πρέπει να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος του αριθμού και το κλασματικό μέρος του αριθμού ξεχωριστά.
Το ακέραιο μέρος ενός αριθμού μετατρέπεται από δεκαδικό SS σε άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών (για δυαδικό SS - με 2, για 8-ary SS - με 8, για 16 -ary SS - κατά 16, κ.λπ. ) έως ότου ληφθεί ένα ολόκληρο υπόλειμμα, μικρότερο από το βασικό CC.
Παράδειγμα 4 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159 από δεκαδικό SS σε δυαδικό SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, ο αριθμός 159 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 79 και το υπόλοιπο 1. Επιπλέον, ο αριθμός 79 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 39 και το υπόλοιπο 1, κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά), λαμβάνουμε έναν αριθμό σε δυαδικό SS: 10011111 . Επομένως μπορούμε να γράψουμε:
159 10 =10011111 2 .
Παράδειγμα 5 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 615 από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Όταν μετατρέπετε έναν αριθμό από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό με το 8 έως ότου λάβετε ένα ακέραιο υπόλοιπο μικρότερο από το 8. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά) παίρνουμε ένας αριθμός σε οκταδικό SS: 1147 (βλ. Εικ. 2). Επομένως μπορούμε να γράψουμε:
615 10 =1147 8 .
Παράδειγμα 6 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Όπως φαίνεται από το σχήμα 3, διαιρώντας διαδοχικά τον αριθμό 19673 με το 16, τα υπόλοιπα είναι 4, 12, 13, 9. Στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, ο αριθμός 12 αντιστοιχεί στο C, ο αριθμός 13 στο D. Επομένως, ο δεκαεξαδικός αριθμός είναι 4CD9.
Για να μετατρέψετε κανονικά δεκαδικά κλάσματα (πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος) σε σύστημα αριθμών με βάση s, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό με το s έως ότου το κλασματικό μέρος περιέχει ένα καθαρό μηδέν ή να λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων . Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό προκύπτει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε αυτό το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται υπόψη (περιλαμβάνονται διαδοχικά στο αποτέλεσμα).
Ας δούμε τα παραπάνω με παραδείγματα.
Παράδειγμα 7 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.
| 0.214 | ||
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Όπως φαίνεται από το Σχ. 4, ο αριθμός 0,214 πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας αριθμός με ακέραιο μέρος διαφορετικό από το μηδέν, τότε το ακέραιο μέρος γράφεται χωριστά (στα αριστερά του αριθμού). και ο αριθμός γράφεται με μηδενικό ακέραιο μέρος. Αν από τον πολλαπλασιασμό προκύπτει ένας αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος, τότε γράφεται ένα μηδέν στα αριστερά του. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται έως ότου το κλασματικό μέρος φτάσει σε ένα καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Γράφοντας έντονους αριθμούς (Εικ. 4) από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε τον απαιτούμενο αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 0. 0011011 .
Επομένως μπορούμε να γράψουμε:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Παράδειγμα 8 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.
| 0.125 | ||
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Για να μετατρέψετε τον αριθμό 0,125 από δεκαδικό SS σε δυαδικό, αυτός ο αριθμός πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Στο τρίτο στάδιο, το αποτέλεσμα είναι 0. Κατά συνέπεια, προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα:
0.125 10 =0.001 2 .
Παράδειγμα 9 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.
| 0.214 | ||
| Χ | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| Χ | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| Χ | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| Χ | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| Χ | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| Χ | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Ακολουθώντας τα παραδείγματα 4 και 5, παίρνουμε τους αριθμούς 3, 6, 12, 8, 11, 4. Αλλά στο δεκαεξαδικό SS, οι αριθμοί 12 και 11 αντιστοιχούν στους αριθμούς C και B. Επομένως, έχουμε:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Παράδειγμα 10 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,512 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό SS.
| 0.512 | ||
| Χ | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| Χ | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| Χ | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| Χ | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| Χ | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| Χ | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Πήρα:
0.512 10 =0.406111 8 .
Παράδειγμα 11 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159.125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 4) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 8). Συνδυάζοντας περαιτέρω αυτά τα αποτελέσματα έχουμε:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Παράδειγμα 12 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε ξεχωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 6) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 9). Περαιτέρω, συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα παίρνουμε.
1. Τακτική μέτρηση σε διάφορα συστήματα αριθμών.
Στη σύγχρονη ζωή, χρησιμοποιούμε συστήματα αριθμών θέσης, δηλαδή συστήματα στα οποία ο αριθμός που συμβολίζεται με ένα ψηφίο εξαρτάται από τη θέση του ψηφίου στη σημειογραφία του αριθμού. Ως εκ τούτου, στο μέλλον θα μιλήσουμε μόνο για αυτούς, παραλείποντας τον όρο «θέσιο».
Για να μάθουμε πώς να μετατρέπουμε αριθμούς από ένα σύστημα σε άλλο, θα καταλάβουμε πώς γίνεται η διαδοχική εγγραφή αριθμών χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του δεκαδικού συστήματος.
Εφόσον έχουμε δεκαδικό σύστημα αριθμών, έχουμε 10 σύμβολα (ψηφία) για να κατασκευάσουμε αριθμούς. Αρχίζουμε να μετράμε: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Οι αριθμοί τελείωσαν. Αυξάνουμε το βάθος bit του αριθμού και επαναφέρουμε το ψηφίο χαμηλής τάξης: 10. Στη συνέχεια αυξάνουμε ξανά το ψηφίο χαμηλής τάξης μέχρι να φύγουν όλα τα ψηφία: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Αυξάνουμε το ψηφίο υψηλής τάξης κατά 1 και επαναφέρουμε το ψηφίο χαμηλής τάξης: 20. Όταν χρησιμοποιήσουμε όλα τα ψηφία και για τα δύο ψηφία (παίρνουμε τον αριθμό 99), αυξάνουμε ξανά τη χωρητικότητα του αριθμού και επαναφέρουμε το υπάρχοντα ψηφία: 100. Και ούτω καθεξής.
Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε το ίδιο στο 2ο, 3ο και 5ο σύστημα (εισάγουμε τη σημειογραφία για το 2ο σύστημα, για το 3ο κ.λπ.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Εάν το σύστημα αριθμών έχει βάση μεγαλύτερη από 10, τότε θα πρέπει να εισάγουμε πρόσθετους χαρακτήρες· συνηθίζεται να εισάγουμε γράμματα του λατινικού αλφαβήτου. Για παράδειγμα, για το 12ψήφιο σύστημα, εκτός από δέκα ψηφία, χρειαζόμαστε δύο γράμματα ( και ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Μετατροπή από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο.
Για να μετατρέψετε έναν θετικό ακέραιο δεκαδικό αριθμό σε ένα σύστημα αριθμών με διαφορετική βάση, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τη βάση. Διαιρέστε ξανά το πηλίκο που προκύπτει με τη βάση και περαιτέρω μέχρι το πηλίκο να είναι μικρότερο από τη βάση. Ως αποτέλεσμα, σημειώστε σε μια γραμμή το τελευταίο πηλίκο και όλα τα υπόλοιπα, ξεκινώντας από το τελευταίο.
Παράδειγμα 1.Ας μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 46 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 2.Ας μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 672 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 3.Ας μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 934 στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
3. Μετατροπή από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό.
Για να μάθουμε πώς να μετατρέπουμε αριθμούς από οποιοδήποτε άλλο σύστημα σε δεκαδικό, ας αναλύσουμε τη συνήθη σημειογραφία για έναν δεκαδικό αριθμό.
Για παράδειγμα, ο δεκαδικός αριθμός 325 είναι 5 μονάδες, 2 δεκάδες και 3 εκατοντάδες, δηλ.
Η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια και σε άλλα συστήματα αριθμών, μόνο που θα πολλαπλασιάσουμε όχι με το 10, το 100 κ.λπ., αλλά με τις δυνάμεις της βάσης του συστήματος αριθμών. Για παράδειγμα, ας πάρουμε τον αριθμό 1201 στο τριαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε τα ψηφία από τα δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν και ας φανταστούμε τον αριθμό μας ως το άθροισμα των γινομένων ενός ψηφίου και τρία στη δύναμη του ψηφίου του αριθμού:
Αυτός είναι ο δεκαδικός συμβολισμός του αριθμού μας, δηλ.
Παράδειγμα 4.Ας μετατρέψουμε τον οκταδικό αριθμό 511 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 5.Ας μετατρέψουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό 1151 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
4. Μετατροπή από το δυαδικό σύστημα στο σύστημα με βάση τη «δύναμη δύο» (4, 8, 16, κ.λπ.).
Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό σε έναν αριθμό με ισχύ δύο βάσεων, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τη δυαδική ακολουθία σε ομάδες σύμφωνα με τον αριθμό των ψηφίων ίσο με την ισχύ από δεξιά προς τα αριστερά και να αντικαταστήσετε κάθε ομάδα με το αντίστοιχο ψηφίο του νέου αριθμητικό σύστημα.
Για παράδειγμα, Ας μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό 1100001111010110 στο οκταδικό σύστημα. Για να γίνει αυτό, θα το χωρίσουμε σε ομάδες των 3 χαρακτήρων ξεκινώντας από τα δεξιά (από ), και στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα αντιστοιχίας και θα αντικαταστήσουμε κάθε ομάδα με έναν νέο αριθμό:
Μάθαμε πώς να δημιουργήσουμε έναν πίνακα αντιστοιχίας στο βήμα 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Εκείνοι.
Παράδειγμα 6.Ας μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό 1100001111010110 σε δεκαεξαδικό.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | ΕΝΑ |
| 1011 | σι |
| 1100 | ντο |
| 1101 | ρε |
| 1110 | μι |
| 1111 | φά |
5. Μετατροπή από σύστημα με βάση «δύναμη δύο» (4, 8, 16 κ.λπ.) σε δυαδικό.
Αυτή η μετάφραση είναι παρόμοια με την προηγούμενη, που γίνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση: αντικαθιστούμε κάθε ψηφίο με μια ομάδα ψηφίων στο δυαδικό σύστημα από τον πίνακα αντιστοιχίας.
Παράδειγμα 7.Ας μετατρέψουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό C3A6 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε κάθε ψηφίο του αριθμού με μια ομάδα 4 ψηφίων (από ) από τον πίνακα αντιστοιχίας, συμπληρώνοντας την ομάδα με μηδενικά στην αρχή εάν χρειάζεται:
Κανόνας.Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών. Διαιρέστε ξανά το πηλίκο που προκύπτει με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών και συνεχίστε τη διαίρεση μέχρι τότε. έως ότου το πηλίκο είναι μικρότερο από τη βάση του νέου συστήματος αριθμών. Τα υπόλοιπα διαίρεσης που προκύπτουν, ξεκινώντας από το τελευταίο, γράφονται με αντίστροφη σειρά. Αυτή θα είναι η καταγραφή του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα.Μετατρέψτε τον αριθμό 135 από δεκαδικό SS σε 2άρια, οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών.
| 1) | 2) | 3) | ||||||||||||||
Εργασία 2.
Μετατρέψτε τους παρακάτω αριθμούς σε δυαδικό, οκταδικό και δεκαεξαδικό SS: 1275,973, 172
Αντίστροφη μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε SS σε δεκαδικό.
1) Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από οποιοδήποτε SS στο αρχικό SS (αντίστροφη μετάφραση),πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού με τη βάση του αρχικού SS. ξεκινώντας από το μηδενικό ψηφίο από τα δεξιά προς τα αριστερά και προσθέστε τα προϊόντα. Εάν μετατρέπετε ένα δεκαδικό κλάσμα, θα πρέπει να εφαρμόσετε τον κανόνα για τη σύνταξη του ακέραιου και των κλασματικών μερών του αριθμού.
2) Η αντίστροφη μετάφραση των αριθμών πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:
όπου Α είναι ένας δεδομένος αριθμός,
g – Βάση SS ενός δεδομένου αριθμού (=2 για 2-ary SS,για άλλα SS - παρόμοια),
m – ο αριθμός των ψηφίων στο ακέραιο μέρος του αριθμού.
n – αριθμός ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού,
α – η τιμή των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού (το κλασματικό μέρος του αριθμού επισημαίνεται με μπλε χρώμα).
110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10
66 8 =6*8 1 +6*8 0 =48+6=54 10 9A 16 =9*16 1 +10*16 0 =144+10=154 10
13,4 8 =1*8 1 +3*8 0 +4*8 -1 =8+3+0,5=11,5 10 (αυτός ο αριθμός είναι δεκαδικό κλάσμα)
Εργασία 3.
Μετατρέψτε τους παρακάτω αριθμούς σε δεκαδικό SS:
101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2
125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8
A19BA 16 =2585726… 10 16A3 16 2BAFD 16
Μετάφραση αριθμών με βάση που είναι δύναμη 2 και αντίστροφη μετάφραση.Αυτά τα συστήματα περιλαμβάνουν δυαδικά, οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών.
Κανόνας. Μετατροπή από δυαδικό SS σε οκταδικό SS. Ο δυαδικός αριθμός χωρίζεται σε ομάδες των 3 ψηφίων από το τέλος (από δεξιά προς τα αριστερά) και κάθε ομάδα μετατρέπεται σε έναν αριθμό σε ένα νέο SS
10.000.101 2 =205 8
111.000.101.100 2 =7054 8
1.011.001.101 2 =1315 8
Κανόνας. Για την αντίστροφη μετατροπή, κάθε οκταδικό ψηφίο γράφεται ως τριάδα.
Κανόνας. Από δυαδικό SS σε δεκαεξαδικό SS: παρόμοια, αλλά χωριστά 4 ψηφία το καθένα
0110.0110.1011 2 =66B 16
1011.1111.0111 2 =BF7 16
10.1010.0111.0001 2 =2A71 16
Κανόνας. Για την αντίστροφη μετατροπή, κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο γράφεται ως τετράδιο.
Μετάφραση ορθών και ακατάλληλων κλασμάτων σε διαφορετικά ΣΣ.Εάν χρειάζεται να μετατρέψετε ένα κλάσμα, πρέπει πρώτα να το μετατρέψετε σε δεκαδικό και στη συνέχεια να εφαρμόσετε τους κανόνες για τη μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων.
Κανόνας. Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων μικρότερων του ενός (κατάλληλα κλάσματα).
1) είναι απαραίτητο να διαχωρίσετε το κλασματικό μέρος με μια κάθετη γραμμή.
2) πολλαπλασιάστε το κλασματικό μέρος με βάση το νέο σύστημα αριθμών.
3) γράψτε το αποτέλεσμα αυστηρά κάτω από τον αρχικό αριθμό, ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο. αν λάβετε μεταφορά σε ολόκληρο μέρος, τότε γράψτε το στα αριστερά της γραμμής.
4) Ο πολλαπλασιασμός του κλασματικού μέρους πραγματοποιείται έως ότου ληφθεί ένας αριθμός με την καθορισμένη ακρίβεια ή δεν υπάρχει 0 στα δεξιά της γραμμής.
0,728 10 =0,564 8
Εργασία 4.Μετατρέψτε τα ακόλουθα σωστά κλάσματα από δεκαδικό SS σε δυαδικό, οκταδικό, δεκαεξαδικό SS: .
