Μέθοδος Lagrange (μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών). Μοντελοποίηση δυναμικών συστημάτων (μέθοδος Lagrange και προσέγγιση γραφήματος Bond)

ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE

Μια μέθοδος για την αναγωγή μιας τετραγωνικής μορφής σε ένα άθροισμα τετραγώνων, που υποδείχθηκε το 1759 από τον J. Lagrange. Ας δοθεί

από μεταβλητές x 0 , Χ 1 ,..., x n. με συντελεστές από το γήπεδο κχαρακτηριστικά Απαιτείται να φέρουμε αυτό το έντυπο στο κανονικό. μυαλό

χρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών. Το L. m αποτελείται από τα ακόλουθα. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν είναι όλοι οι συντελεστές της μορφής (1) ίσοι με μηδέν. Επομένως, δύο περιπτώσεις είναι πιθανές.

1) Για κάποιους σολ,διαγώνιος Στη συνέχεια

όπου η μορφή f 1 (x) δεν περιέχει μεταβλητή x g . 2) Αν τα πάντα Αλλά Οτι

όπου η μορφή f 2 (x) δεν περιέχει δύο μεταβλητές x gΚαι x h .Οι μορφές κάτω από τα τετράγωνα σημάδια στο (4) είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Εφαρμόζοντας μετασχηματισμούς της μορφής (3) και (4), η μορφή (1) μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων ανάγεται στο άθροισμα των τετραγώνων των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμικών μορφών. Χρησιμοποιώντας μερικές παραγώγους, οι τύποι (3) και (4) μπορούν να γραφτούν με τη μορφή

Αναμμένο.: G a n t m a k h e r F. R., Theory of matrices, 2nd ed., M., 1966; K u r o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; Alexandrov P. S., Lectures on analytical geometry..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Μαθηματική εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Δείτε τι είναι η "ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE" σε άλλα λεξικά:

Μέθοδος Lagrange- Η μέθοδος Lagrange είναι μια μέθοδος για την επίλυση ενός αριθμού τάξεων μαθηματικών προβλημάτων προγραμματισμού με την εύρεση του σημείου σέλας (x*, λ*) της συνάρτησης Lagrange, το οποίο επιτυγχάνεται εξισώνοντας με το μηδέν τις μερικές παραγώγους αυτής της συνάρτησης ως προς το ... ... Οικονομικό και μαθηματικό λεξικό

Μέθοδος Lagrange- Μια μέθοδος για την επίλυση ενός αριθμού τάξεων μαθηματικών προβλημάτων προγραμματισμού με την εύρεση του σημείου σέλας (x*, ?*) της συνάρτησης Lagrange, η οποία επιτυγχάνεται εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους αυτής της συνάρτησης ως προς το xi και το μηδέν . Βλέπε Lagrangian. (Χ, y) = ντο Και φά 2 (x, y) = C 2 στην επιφάνεια XOΥ.

Αυτό οδηγεί σε μια μέθοδο για την εύρεση των ριζών του συστήματος. μη γραμμικές εξισώσεις:

Προσδιορίστε (τουλάχιστον κατά προσέγγιση) το διάστημα ύπαρξης μιας λύσης στο σύστημα των εξισώσεων (10) ή της εξίσωσης (11). Εδώ είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο τύπος των εξισώσεων που περιλαμβάνονται στο σύστημα, το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις εξισώσεις τους κ.λπ. Μερικές φορές χρησιμοποιείται η επιλογή μιας αρχικής προσέγγισης της λύσης.

Καταγράψτε τη λύση της εξίσωσης (11) για τις μεταβλητές x και y στο επιλεγμένο διάστημα ή κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων φά 1 (Χ, y) = Γ, και φά 2 (x,y) = C 2 (σύστημα(10)).

Εντοπίστε τις υποτιθέμενες ρίζες του συστήματος εξισώσεων - βρείτε πολλές ελάχιστες τιμές από τον πίνακα που καταγράφει τις ρίζες της εξίσωσης (11) ή προσδιορίστε τα σημεία τομής των καμπυλών που περιλαμβάνονται στο σύστημα (10).

4. Βρείτε τις ρίζες για το σύστημα των εξισώσεων (10) χρησιμοποιώντας το πρόσθετο Εύρεση λύσης.

Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange.

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange είναι μια από τις μεθόδους που σας επιτρέπει να λύσετε προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού.

Ο μη γραμμικός προγραμματισμός είναι ένας κλάδος του μαθηματικού προγραμματισμού που μελετά μεθόδους για την επίλυση ακραίων προβλημάτων με μια μη γραμμική αντικειμενική συνάρτηση και μια περιοχή εφικτών λύσεων που ορίζονται από μη γραμμικούς περιορισμούς. Στην οικονομία, αυτό αντιστοιχεί στο γεγονός ότι τα αποτελέσματα (αποτελεσματικότητα) αυξάνονται ή μειώνονται δυσανάλογα με τις αλλαγές στην κλίμακα χρήσης των πόρων (ή, το ίδιο, στην κλίμακα παραγωγής): για παράδειγμα, λόγω της κατανομής του κόστους παραγωγής σε επιχειρήσεις σε μεταβλητές και ημι-σταθερές· λόγω κορεσμού της ζήτησης για αγαθά, όταν κάθε επόμενη μονάδα είναι πιο δύσκολο να πουληθεί από την προηγούμενη κ.λπ.

Το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού τίθεται ως το πρόβλημα της εύρεσης του βέλτιστου μιας συγκεκριμένης αντικειμενικής συνάρτησης

F(x 1,…x n), φά (Χ) → μέγ

όταν πληρούνται οι προϋποθέσεις

g j (x 1 ,…x n)≥0, σολ (Χ) ≤ σι , Χ ≥ 0

Οπου Χ-διάνυσμα των απαιτούμενων μεταβλητών.

φά (Χ) -αντικειμενική λειτουργία;

σολ (Χ) - συνάρτηση περιορισμού (συνεχώς διαφοροποιήσιμη).

σι - διάνυσμα σταθερών περιορισμών.

Η λύση σε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού (συνολικό μέγιστο ή ελάχιστο) μπορεί να ανήκει είτε στο όριο είτε στο εσωτερικό του αποδεκτού συνόλου.

Σε αντίθεση με ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, σε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού το βέλτιστο δεν βρίσκεται απαραίτητα στο όριο της περιοχής που ορίζεται από τους περιορισμούς. Με άλλα λόγια, το καθήκον είναι να επιλέξετε τέτοιες μη αρνητικές τιμές μεταβλητών, που υπόκεινται σε ένα σύστημα περιορισμών με τη μορφή ανισοτήτων, κάτω από το οποίο επιτυγχάνεται το μέγιστο (ή το ελάχιστο) μιας δεδομένης συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή δεν προσδιορίζονται οι μορφές ούτε της αντικειμενικής συνάρτησης ούτε των ανισοτήτων. Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές περιπτώσεις: η αντικειμενική συνάρτηση είναι μη γραμμική, αλλά οι περιορισμοί είναι γραμμικοί. η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική και οι περιορισμοί (τουλάχιστον ένας από αυτούς) είναι μη γραμμικοί. τόσο η αντικειμενική συνάρτηση όσο και οι περιορισμοί είναι μη γραμμικοί.

Το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού βρίσκεται στις φυσικές επιστήμες, τη μηχανική, τα οικονομικά, τα μαθηματικά, τις επιχειρηματικές σχέσεις και την κυβέρνηση.





Ο μη γραμμικός προγραμματισμός, για παράδειγμα, σχετίζεται με ένα βασικό οικονομικό πρόβλημα. Έτσι, στο πρόβλημα της κατανομής περιορισμένων πόρων, είτε η αποδοτικότητα είτε, εάν μελετάται ο καταναλωτής, η κατανάλωση μεγιστοποιείται παρουσία περιορισμών που εκφράζουν τις συνθήκες σπανιότητας πόρων. Σε μια τέτοια γενική διατύπωση, η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος μπορεί να είναι αδύνατη, αλλά σε συγκεκριμένες εφαρμογές η ποσοτική μορφή όλων των συναρτήσεων μπορεί να προσδιοριστεί άμεσα. Για παράδειγμα, μια βιομηχανική επιχείρηση παράγει πλαστικά προϊόντα. Η παραγωγική αποδοτικότητα εδώ μετριέται με το κέρδος και οι περιορισμοί ερμηνεύονται ως διαθέσιμη εργασία, χώρος παραγωγής, παραγωγικότητα εξοπλισμού κ.λπ.

Η μέθοδος κόστους-αποτελεσματικότητας εντάσσεται επίσης στο σχήμα του μη γραμμικού προγραμματισμού. Αυτή η μέθοδος αναπτύχθηκε για χρήση στη λήψη αποφάσεων στην κυβέρνηση. Μια κοινή λειτουργία της αποτελεσματικότητας είναι η ευημερία. Εδώ προκύπτουν δύο προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού: το πρώτο είναι η μεγιστοποίηση του αποτελέσματος με περιορισμένο κόστος, το δεύτερο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους υπό την προϋπόθεση ότι το αποτέλεσμα είναι πάνω από ένα ορισμένο ελάχιστο επίπεδο. Αυτό το πρόβλημα συνήθως μοντελοποιείται καλά χρησιμοποιώντας μη γραμμικό προγραμματισμό.

Τα αποτελέσματα της επίλυσης ενός προβλήματος μη γραμμικού προγραμματισμού είναι χρήσιμα στη λήψη κυβερνητικών αποφάσεων. Η λύση που προκύπτει, φυσικά, συνιστάται, επομένως είναι απαραίτητο να εξεταστούν οι υποθέσεις και η ακρίβεια του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού πριν ληφθεί μια τελική απόφαση.

Τα μη γραμμικά προβλήματα είναι πολύπλοκα, συχνά απλοποιούνται οδηγώντας σε γραμμικά. Για να γίνει αυτό, θεωρείται συμβατικά ότι σε μια συγκεκριμένη περιοχή η αντικειμενική συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται ανάλογα με την αλλαγή στις ανεξάρτητες μεταβλητές. Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται μέθοδος τμηματικών γραμμικών προσεγγίσεων, ωστόσο, είναι εφαρμόσιμη μόνο σε ορισμένους τύπους μη γραμμικών προβλημάτων.

Τα μη γραμμικά προβλήματα υπό ορισμένες συνθήκες επιλύονται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Lagrange: με την εύρεση του σημείου σέλας του, βρίσκεται η λύση στο πρόβλημα. Μεταξύ των υπολογιστικών αλγορίθμων για επιστημονική έρευνα, μεγάλη θέση κατέχουν οι μέθοδοι gradient. Δεν υπάρχει καθολική μέθοδος για μη γραμμικά προβλήματα και, προφανώς, μπορεί να μην υπάρχει, καθώς είναι εξαιρετικά διαφορετικά. Τα πολυακραία προβλήματα είναι ιδιαίτερα δύσκολο να επιλυθούν.

Μία από τις μεθόδους που σας επιτρέπει να μειώσετε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού στην επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι η μέθοδος Lagrange των αόριστων πολλαπλασιαστών.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange, θεσπίζονται ουσιαστικά οι απαραίτητες συνθήκες για να επιτραπεί ο εντοπισμός των βέλτιστων σημείων σε προβλήματα βελτιστοποίησης με περιορισμούς ισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, το περιορισμένο πρόβλημα μετατρέπεται σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς όρους, το οποίο περιλαμβάνει ορισμένες άγνωστες παραμέτρους που ονομάζονται πολλαπλασιαστές Lagrange.

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange συνίσταται στη μείωση των προβλημάτων σε ένα ακρότατο υπό όρους σε προβλήματα στο ακρότατο άνευ όρων μιας βοηθητικής συνάρτησης - το λεγόμενο. Λειτουργίες Lagrange.

Για το πρόβλημα του άκρου μιας συνάρτησης φά(x 1, x 2,..., x n) υπό τις συνθήκες (εξισώσεις περιορισμού) φ Εγώ(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, Εγώ= 1, 2,..., Μ, η συνάρτηση Lagrange έχει τη μορφή

L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Πολλαπλασιαστές λ 1 , λ 2 , ..., λmπου ονομάζεται Πολλαπλασιαστές Lagrange.

Αν οι τιμές x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmη ουσία των λύσεων στις εξισώσεις που καθορίζουν τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης Lagrange, δηλαδή, για διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις είναι λύσεις στο σύστημα εξισώσεων

τότε, κάτω από αρκετά γενικές υποθέσεις, τα x 1 , x 2 , ..., x n παρέχουν ένα άκρο της συνάρτησης f.

Εξετάστε το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης n μεταβλητών που υπόκεινται σε έναν περιορισμό με τη μορφή ισότητας:

Ελαχιστοποίηση f(x 1, x 2… x n) (1)

υπό περιορισμούς h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Σύμφωνα με τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange, αυτό το πρόβλημα μετατρέπεται στο ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς:

ελαχιστοποίηση L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

όπου η συνάρτηση L(x;λ) ονομάζεται συνάρτηση Lagrange,

Το λ είναι μια άγνωστη σταθερά, η οποία ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange. Δεν υπάρχουν απαιτήσεις για το πρόσημο του λ.

Έστω, για μια δεδομένη τιμή λ=λ 0, το άνευ όρων ελάχιστο της συνάρτησης L(x,λ) ως προς το x επιτυγχάνεται στο σημείο x=x 0 και x 0 ικανοποιεί την εξίσωση h 1 (x 0)=0. . Στη συνέχεια, όπως είναι εύκολο να δούμε, το x 0 ελαχιστοποιεί το (1) λαμβάνοντας υπόψη το (2), αφού για όλες τις τιμές του x ικανοποιεί (2), h 1 (x)=0 και L(x,λ)=min f(x).

Φυσικά, είναι απαραίτητο να επιλέξετε την τιμή λ=λ 0 ώστε η συντεταγμένη του άνευ όρων ελάχιστου σημείου x 0 να ικανοποιεί την ισότητα (2). Αυτό μπορεί να γίνει εάν, θεωρώντας το λ ως μεταβλητή, βρείτε το άνευ όρων ελάχιστο της συνάρτησης (3) με τη μορφή συνάρτησης λ, και στη συνέχεια επιλέξετε την τιμή του λ στην οποία ικανοποιείται η ισότητα (2). Ας το επεξηγήσουμε αυτό με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Ελαχιστοποίηση f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

υπό τον περιορισμό h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Το αντίστοιχο πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς γράφεται ως εξής:

ελαχιστοποίηση L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Λύση. Εξισώνοντας τα δύο συστατικά της βαθμίδας L με μηδέν, λαμβάνουμε

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Για να ελέγξουμε αν το ακίνητο σημείο x° αντιστοιχεί στο ελάχιστο, υπολογίζουμε τα στοιχεία του πίνακα της Έσσης της συνάρτησης L(x;u), θεωρούμενα ως συνάρτηση του x,

που αποδεικνύεται θετική οριστική.

Αυτό σημαίνει ότι το L(x,u) είναι μια κυρτή συνάρτηση του x. Κατά συνέπεια, οι συντεταγμένες x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 καθορίζουν το συνολικό ελάχιστο σημείο. Η βέλτιστη τιμή του λ βρίσκεται αντικαθιστώντας τις τιμές x 1 0 και x 2 0 στην εξίσωση 2x 1 + x 2 =2, από την οποία 2λ+λ/2=2 ή λ 0 =4/5. Έτσι, το ελάχιστο υπό όρους επιτυγχάνεται στα x 1 0 =4/5 και x 2 0 =2/5 και ισούται με min f(x) = 4/5.

Κατά την επίλυση του προβλήματος από το παράδειγμα, θεωρήσαμε το L(x;λ) ως συνάρτηση δύο μεταβλητών x 1 και x 2 και, επιπλέον, υποθέσαμε ότι η τιμή της παραμέτρου λ επιλέχθηκε έτσι ώστε να ικανοποιηθεί ο περιορισμός. Αν η λύση του συστήματος

J=1,2,3,…,n

Το λ δεν μπορεί να ληφθεί με τη μορφή ρητών συναρτήσεων, τότε οι τιμές των x και λ βρίσκονται λύνοντας το ακόλουθο σύστημα που αποτελείται από n+1 εξισώσεις με n+1 αγνώστους:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Για να βρείτε όλες τις πιθανές λύσεις σε ένα δεδομένο σύστημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μεθόδους αριθμητικής αναζήτησης (για παράδειγμα, τη μέθοδο του Newton). Για καθεμία από τις λύσεις (), θα πρέπει να υπολογίσουμε τα στοιχεία του πίνακα της Έσσης της συνάρτησης L, θεωρούμενα ως συνάρτηση του x, και να βρούμε αν αυτός ο πίνακας είναι θετικός οριστικός (τοπικό ελάχιστο) ή αρνητικός ορισμένος (τοπικό μέγιστο ).

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange μπορεί να επεκταθεί στην περίπτωση όπου το πρόβλημα έχει αρκετούς περιορισμούς με τη μορφή ισοτήτων. Εξετάστε ένα γενικό πρόβλημα που απαιτεί

Ελαχιστοποίηση f(x)

υπό περιορισμούς h k =0, k=1, 2, ..., K.

Η συνάρτηση Lagrange έχει την ακόλουθη μορφή:

Εδώ λ 1 , λ 2 , ..., λκ-Πολλαπλασιαστές Lagrange, δηλ. άγνωστες παραμέτρους των οποίων οι τιμές πρέπει να καθοριστούν. Εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους του L ως προς το x προς το μηδέν, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους:

Εάν αποδειχθεί ότι είναι δύσκολο να βρεθεί μια λύση στο παραπάνω σύστημα με τη μορφή συναρτήσεων του διανύσματος λ, τότε μπορείτε να επεκτείνετε το σύστημα συμπεριλαμβάνοντας περιορισμούς με τη μορφή ισοτήτων

Η λύση του εκτεταμένου συστήματος, που αποτελείται από n + K εξισώσεις με n + K αγνώστους, προσδιορίζει το ακίνητο σημείο της συνάρτησης L. Στη συνέχεια εφαρμόζεται μια διαδικασία ελέγχου για ελάχιστο ή μέγιστο, η οποία πραγματοποιείται με βάση τον υπολογισμό τα στοιχεία του πίνακα της Έσσης της συνάρτησης L, θεωρούμενα ως συνάρτηση του x, παρόμοια με αυτή που έγινε στην περίπτωση ενός προβλήματος με έναν περιορισμό. Για ορισμένα προβλήματα, ένα εκτεταμένο σύστημα n+K εξισώσεων με n+K αγνώστους μπορεί να μην έχει λύσεις και η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange αποδεικνύεται ανεφάρμοστη. Θα πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι τέτοιες εργασίες είναι αρκετά σπάνιες στην πράξη.

Ας εξετάσουμε μια ειδική περίπτωση του γενικού προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού, υποθέτοντας ότι το σύστημα περιορισμών περιέχει μόνο εξισώσεις, δεν υπάρχουν προϋποθέσεις για τη μη αρνητικότητα των μεταβλητών και και είναι συνεχείς συναρτήσεις μαζί με τις μερικές παραγώγους τους. Επομένως, λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (7), λαμβάνουμε όλα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση (6) μπορεί να έχει ακραίες τιμές.

Αλγόριθμος για τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange

1. Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange.

2. Να βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης Lagrange ως προς τις μεταβλητές x J ,λ i και να τις εξισώσετε με μηδέν.

3. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (7), βρίσκουμε τα σημεία στα οποία η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος μπορεί να έχει ακρότατο.

4. Μεταξύ των ύποπτων σημείων για ένα άκρο, βρίσκουμε εκείνα στα οποία επιτυγχάνεται το άκρο και υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης (6) σε αυτά τα σημεία.

Παράδειγμα.

Αρχικά δεδομένα:Σύμφωνα με το σχέδιο παραγωγής, η εταιρεία χρειάζεται να παράγει 180 προϊόντα. Αυτά τα προϊόντα μπορούν να κατασκευαστούν με δύο τεχνολογικούς τρόπους. Κατά την παραγωγή προϊόντων x 1 με την 1η μέθοδο, το κόστος είναι 4x 1 +x 1 2 ρούβλια και όταν παράγει x 2 προϊόντα χρησιμοποιώντας την 2η μέθοδο, είναι 8x 2 +x 2 2 ρούβλια. Προσδιορίστε πόσα προϊόντα πρέπει να παραχθούν χρησιμοποιώντας κάθε μέθοδο, ώστε το κόστος παραγωγής να είναι ελάχιστο.

Η αντικειμενική συνάρτηση για το δηλωμένο πρόβλημα έχει τη μορφή
® ελάχυπό τις συνθήκες x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange
.
2. Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους ως προς τα x 1, x 2, λ και τις εξισώνουμε με μηδέν:

3. Λύνοντας το προκύπτον σύστημα εξισώσεων, βρίσκουμε x 1 =91,x 2 =89

4. Έχοντας κάνει αντικατάσταση στην αντικειμενική συνάρτηση x 2 =180-x 1, λαμβάνουμε μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, δηλαδή f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Υπολογίζουμε ή 4x 1 -364=0 ,

οπότε έχουμε x 1 * =91, x 2 * =89.

Απάντηση: Ο αριθμός των προϊόντων που κατασκευάζονται με την πρώτη μέθοδο είναι x 1 =91, με τη δεύτερη μέθοδο x 2 =89, ενώ η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι ίση με 17.278 ρούβλια.