Ορισμός μεταβλητής κατάστασης. Μέθοδος μεταβλητής κατάστασης
Οι εξισώσεις κατάστασης ενός ηλεκτρικού κυκλώματος είναι οποιοδήποτε σύστημα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει την κατάσταση (τρόπο) ενός δεδομένου κυκλώματος. Για παράδειγμα, το σύστημα εξισώσεων του Kirchhoff είναι εξισώσεις κατάστασης για το κύκλωμα για το οποίο αποτελείται.
Με μια στενότερη έννοια, στα μαθηματικά, οι εξισώσεις κατάστασης είναι ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης που επιλύονται σε σχέση με παραγώγους (μορφή Cauchy). Το σύστημα εξισώσεων κατάστασης σε γενικευμένη μορφή έχει τη μορφή:
Το ίδιο σύστημα εξισώσεων σε μορφή πίνακα:
ή σε μορφή γενικευμένου πίνακα:
Το σύστημα εξισώσεων κατάστασης της μορφής Cauchy επιλύεται με τη μέθοδο της αριθμητικής ολοκλήρωσης (μέθοδος Eulerian ή μέθοδος Runge-Kutta) σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας ένα τυπικό πρόγραμμα, το οποίο θα πρέπει να βρίσκεται στο τυπικό πακέτο προγράμματος. Ελλείψει τέτοιου προγράμματος στο πακέτο, μπορεί εύκολα να μεταγλωττιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο αλγόριθμο (μέθοδος Euler) για το kth βήμα:
Τιμές παραγώγων στο kth βήμα:
Τιμές μεταβλητών στο kth βήμα:
Για τον προσδιορισμό των τιμών των μεταβλητών και των παραγώγων τους στο 1ο βήμα της ολοκλήρωσης, χρησιμοποιούνται οι τιμές τους τη στιγμή t=0, δηλ. οι αρχικές τους συνθήκες x1(0), x2(0)...xn(0).
Οι εξισώσεις κατάστασης της μορφής Cauchy για ένα δεδομένο κύκλωμα μπορούν να ληφθούν από το σύστημα των εξισώσεων Kirchhoff μετασχηματίζοντας τις. Για το σκοπό αυτό: α) από το σύστημα των εξισώσεων Kirchhoff, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης, εξαιρούνται οι «έξτρα» μεταβλητές που έχουν εξαρτημένες αρχικές συνθήκες και αφήνονται οι μεταβλητές iL(t) και uC(t), οι οποίες δεν αλλάζουν απότομα. και έχουν ανεξάρτητες αρχικές συνθήκες iL (0) και uC(0). β) οι υπόλοιπες εξισώσεις λύνονται ως προς τις παραγώγους και ανάγονται σε μορφή Cauchy.
Στην περίπτωση σύνθετων κυκλωμάτων, οι εξισώσεις κατάστασης των μορφών Cauchy μπορούν να κατασκευαστούν με τοπολογικές μεθόδους χρησιμοποιώντας πίνακες σύνδεσης [A] και [B].
Η ακολουθία υπολογισμού της μεταβατικής διαδικασίας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μεταβλητής κατάστασης μοιάζει με αυτό:
1. Το κύκλωμα υπολογίζεται σε σταθερή κατάσταση πριν από την εναλλαγή και προσδιορίζονται οι ανεξάρτητες αρχικές συνθήκες iL(0) και uC(0).
2. Ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων συντάσσεται σύμφωνα με τους νόμους του Kirchhoff για το κύκλωμα μετά τη μεταγωγή.
3. Με την εξάλειψη των «επιπλέον» μεταβλητών, το σύστημα των εξισώσεων Kirchhoff μετατρέπεται σε σύστημα εξισώσεων Cauchy και συντάσσονται πίνακες συντελεστών.
4. Επιλέγεται ο εκτιμώμενος χρόνος (διάρκεια της διαδικασίας μετάβασης) και ο αριθμός των βημάτων ολοκλήρωσης N.
5. Το πρόβλημα επιλύεται σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας ένα τυπικό πρόγραμμα. Η συνάρτηση εξόδου λαμβάνεται με τη μορφή γραφικού διαγράμματος x=f(t) ή με τη μορφή πίνακα συντεταγμένων συναρτήσεων για δεδομένα χρονικά σημεία.
Παράδειγμα. Για το διάγραμμα στο Σχ. 74.1 με τις δεδομένες παραμέτρους των στοιχείων (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C), υπολογίστε τη μεταβατική διαδικασία και προσδιορίστε τη συνάρτηση uab(t).
1. Το κύκλωμα υπολογίζεται σε σταθερή κατάσταση εναλλασσόμενου ρεύματος πριν από την ενεργοποίηση και προσδιορίζονται οι αρχικές συνθήκες i1(0), i2(0), uC(0).
2. Ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων συντάσσεται σύμφωνα με τους νόμους του Kirchhoff:
3. Το σύστημα των εξισώσεων Kirchhoff μετατρέπεται σε σύστημα εξισώσεων Cauchy.
Για το σκοπό αυτό, από το (1) εκφράζουμε
και κάνουμε αντικατάσταση στο (1) και (2), και από το (4) κάνουμε αντικατάσταση στο (1). Τότε παίρνουμε:
Ας εισάγουμε κάποια σημειογραφία.
Μελέτη θεωρητικού υλικού από εκπαιδευτική βιβλιογραφία: ; και απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:
1. Ποιες μεταβλητές σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα θεωρούνται συνήθως μεταβλητές κατάστασης;
2. Πόσα συστήματα εξισώσεων υπάρχουν κατά την επίλυση ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των μεταβλητών κατάστασης;
3. Ποιες εξαρτήσεις καθορίζονται στο πρώτο και το δεύτερο σύστημα εξισώσεων κατά την επίλυση του προβλήματος με τη μέθοδο των μεταβλητών κατάστασης;
4. Ποιο από τα δύο συστήματα είναι σύστημα αλγεβρικών διαφορικών εξισώσεων;
5. Ποιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τη λήψη εξισώσεων κατάστασης και εξισώσεων παραμέτρων εξόδου;
Κατά τον υπολογισμό της μεταβατικής διαδικασίας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταβλητής κατάστασης, συνιστάται η ακόλουθη σειρά:
1. Επιλέξτε μεταβλητές κατάστασης. Στα κυκλώματα που προτείνονται για υπολογισμό, πρόκειται για τάσεις σε χωρητικά στοιχεία και ρεύματα σε επαγωγικά πηνία.
2. Δημιουργήστε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων για τις πρώτες παραγώγους μεταβλητών κατάστασης.
Για να το κάνετε αυτό, περιγράψτε το κύκλωμα μετά την εναλλαγή χρησιμοποιώντας τους νόμους του Kirchhoff και λύστε το σε σχέση με τις πρώτες παραγώγους των μεταβλητών κατάστασης και ανάλογα με τις μεταβλητές και τις πηγές emf. (στα προτεινόμενα σχήματα η πηγή emf είναι η μόνη).
Σε μορφή πίνακα, αυτό το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης θα έχει τη μορφή:
, (8.1)
πού είναι η στήλη των παραγώγων, ;
Χ– διάνυσμα - στήλη μεταβλητών κατάστασης.
Σε κυκλώματα δεύτερης τάξης:
– τετραγωνικός πίνακας τάξης n, που καθορίζεται από την τοπολογία του ηλεκτρικού κυκλώματος και τις παραμέτρους των στοιχείων του. Σε αλυσίδες δεύτερης τάξης, αυτός ο πίνακας έχει τάξη 2´2.
Το Matrix είναι ένας ορθογώνιος πίνακας τάξης, όπου n– παραγγελία αλυσίδας.
Ο πίνακας - στήλη - καθορίζεται από τις πηγές emf. και πηγές ρευμάτων κυκλώματος και καλείται διάνυσμα εισερχόμενων ποσοτήτων.
3. Να συνθέσετε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων για τις απαιτούμενες μεταβλητές, οι οποίες καλούνται τα Σαββατοκυρίακα. Αυτά είναι ρεύματα σε οποιουσδήποτε κλάδους του κυκλώματος (εκτός από το ρεύμα) και τάσεις σε οποιοδήποτε στοιχείο του κυκλώματος (εκτός από την τάση). Οι προκύπτουσες αλγεβρικές εξισώσεις δημιουργούν συνδέσεις μεταξύ των μεταβλητών εξόδου, αφενός, και των μεταβλητών κατάστασης και των πηγών τάσης και ρεύματος του κυκλώματος, αφετέρου. Σε μορφή πίνακα, αυτό το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων έχει τη μορφή
,
πού είναι το διάνυσμα των μεγεθών παραγωγής;
– πίνακες που καθορίζονται από την τοπολογία του ηλεκτρικού κυκλώματος, τις παραμέτρους των στοιχείων του και τον αριθμό των αναζητούμενων μεταβλητών.
V. N. Nepopalov
Μέθοδος μεταβλητής κατάστασης
Φροντιστήριο
Τσελιάμπινσκ 2003
UDC 621.3.011(075.8)
Nepopalov V. N. Μέθοδος μεταβλητών κατάστασης: Σχολικό βιβλίο. – Nizhnevartovsk, Εκδοτικός οίκος. 2003.– 26 σελ.
Εξετάζεται η μέθοδος των μεταβλητών κατάστασης για τον υπολογισμό των μεταβατικών διεργασιών σε γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα. Το εγχειρίδιο προορίζεται να βοηθήσει τους μαθητές να εργαστούν ανεξάρτητα στο μάθημα «Πρόσθετα κεφάλαια ηλεκτρολόγων μηχανικών».
1. Κανονική μορφή εξισώσεων της κατάστασης 4
2. Λήψη της κανονικής μορφής των εξισώσεων της κατάστασης 5
3. Παραδείγματα απόκτησης της κανονικής μορφής των εξισώσεων της κατάστασης 6
4. Επίλυση εξισώσεων κατάστασης με την κλασική μέθοδο 9
5. Χρήση στοιχείων της θεωρίας πινάκων για την επίλυση εξισώσεων της κατάστασης 15
6. Εφαρμογή στον υπολογισμό των μεταβατικών διεργασιών 22
7. Ερωτήσεις τεστ 24
Μέθοδος μεταβλητής κατάστασης
Οι μεταβλητές κατάστασης θα οριστούν ως εκείνες που ορίζονται τη χρονική στιγμή t 0 ένα σύνολο λειτουργιών (τάσεις, συνδέσεις ροής, ρεύματα ή φορτία), οι τιμές των οποίων, μαζί με αυτές που καθορίζονται γιαt t 0 επιρροές εισόδου, επαρκεί για τον ξεκάθαρο προσδιορισμό των συναρτήσεων εξόδου για οποιαδήποτε χρονική στιγμήt t 0 .
Ως μεταβλητές κατάστασης του ηλεκτρικού κυκλώματος, μπορείτε να επιλέξετε ένα συγκεκριμένο σύνολο τάσεων, φορτίων, ρευμάτων ή συνδέσεων ροής, που ορίζονται αυστηρά για τη χρονική στιγμή, δηλαδή τη στιγμή αμέσως μετά τη μεταγωγή. Αυτή η περίσταση περιορίζει τη δυνατότητα επιλογής μεταβλητών κατάστασης σε τάσεις ή φορτία στους πυκνωτές και τα ρεύματα ή τις συνδέσεις ροής σε επαγωγές, καθώς οι τιμές αυτών των ποσοτήτων δεν αλλάζουν τη στιγμή της μεταγωγής t 0:
,
,
,
.
Ο αριθμός των ποσοτήτων που καθορίζουν τον αριθμό των μεταβλητών κατάστασης είναι ίσος με τον αριθμό των ανεξάρτητων φυσικών αρχικών συνθηκών.
1. Κανονική μορφή εξισώσεων κατάστασης
Μεταβλητές κατάστασης κάθε φορά tκαθορίζονται
μήτρα-στήλη 
, διάσταση 
Χρησιμοποιώντας μεταβλητές κατάστασης, ένα μαθηματικό μοντέλο ενός γραμμικού ηλεκτρικού κυκλώματος, με παραμέτρους ανεξάρτητες από το χρόνο, προσδιορίζεται από ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων:
και αλγεβρικές εξισώσεις:
Οπου Χ(t) – μήτρα-στήλη μεταβλητών κατάστασης με διάσταση 
;
μήτρα-στήλη παραγόμενων μεταβλητών κατάστασης.
φά(t) – μήτρα-στήλη καθορισμένων μεταβλητών εισόδου ή ενεργειών εισόδου.
Υ(t)– μήτρα-στήλη μεταβλητών εξόδου.
ΕΝΑ,ΣΕ,ΜΕ,ρε– πίνακες γνωστών ποσοτήτων και, ΕΝΑ– τετραγωνικός πίνακας τάξης n. Διαστάσεις πινάκων ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ, ρεκαθορίζεται από τις συνθήκες μιας συγκεκριμένης εργασίας.
Διαφορικές εξισώσεις της μορφής
θα ονομάσουμε την κανονική μορφή των εξισώσεων κατάστασης, και αλγεβρικές εξισώσεις της μορφής
εξισώσεις συναρτήσεων εξόδου.
2. Λήψη της κανονικής μορφής των εξισώσεων κατάστασης
Για να λάβετε την κανονική μορφή των εξισώσεων κατάστασης
1. Σχεδιάστε ένα κατευθυνόμενο γράφημα ενός διαγράμματος ηλεκτρικού κυκλώματος. Δημιουργήστε ένα κανονικό δέντρο για αυτό το γράφημα. Σε ένα κανονικό δέντρο είναι απαραίτητο να συμπεριληφθεί όλα τα κλαδιά με δοχεία και πηγές ε. δ.σ. Εάν αυτό δεν είναι αρκετό για να αποκτήσετε ένα δέντρο, προσθέστε κλαδιά με αντιστάσεις, εάν αυτό δεν αρκεί για να αποκτήσετε ένα δέντρο, προσθέστε κλαδιά με επαγωγές. Οι συνδέσεις (χορδίες) του γραφήματος πρέπει να είναι διακλαδώσεις με επαγωγικές επαγωγές, πηγές ρεύματος και κλάδους αντίστασης που δεν περιλαμβάνονται στο δέντρο του γραφήματος.
2. Για κάθε κλάδο του δέντρου, καθορίστε μια ενότητα που περιλαμβάνει μόνο έναν κλάδο του δέντρου και ένα συγκεκριμένο σύνολο συνδέσεων γραφήματος (κορδές). Ο αριθμός των ανεξάρτητων τμημάτων είναι ίσος με τον αριθμό των κλαδιών του δέντρου: σι t q - 1, όπου - qαριθμός κόμβων. Γράψτε τις εξισώσεις Kirchhoff για τα ρεύματα κάθε κύριου τμήματος και εκφράστε τα ρεύματα των κλαδιών του δέντρου μέσω των ρευμάτων των κλαδιών της χορδής. Οι κύριες εξισώσεις είναι αυτές που περιλαμβάνουν τα ρεύματα των πυκνωτών (αν υπάρχουν).
3. Για κάθε σύνδεση, καθορίστε ένα περίγραμμα που περιλαμβάνει μόνο μία σύνδεση και ένα συγκεκριμένο σύνολο κλαδιών δέντρου. Ο αριθμός των ανεξάρτητων κυκλωμάτων είναι ίσος με τον αριθμό των συνδέσεων: σι μεγάλο b – q+ 1, όπου σι– αριθμός διακλαδώσεων του γραφήματος. Γράψτε τις εξισώσεις σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff για κάθε κύκλωμα και εκφράστε τις τάσεις στις επαγωγές (εάν υπάρχουν) ως προς τις τάσεις σε άλλα στοιχεία. Εάν οι συνδέσεις είναι διακλαδώσεις με πηγές ρεύματος, τότε κατά τη σύνταξη εξισώσεων κατάστασης, οι εξισώσεις σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff δεν γράφονται για αυτά τα κυκλώματα. Οι κύριες εξισώσεις είναι αυτές που περιλαμβάνουν τάσεις στις επαγωγές.
4. Χρησιμοποιώντας τις υπόλοιπες εξισώσεις, εξαιρέστε τις τάσεις και τα ρεύματα των κλάδων αντίστασης από τις κύριες εξισώσεις. Εκφράστε τα ρεύματα στους πυκνωτές και τις τάσεις στις επαγωγές μέσω των τάσεων στους πυκνωτές και τα ρεύματα στις επαγωγές.
5. Αντικαταστήστε τις εξισώσεις των στοιχείων στις βασικές εξισώσεις:
;
.
6. Μετατρέψτε το προκύπτον σύστημα στην κανονική μορφή των εξισώσεων κατάστασης.
7. Να γράψετε αλγεβρικές εξισώσεις συναρτήσεων εξόδου.
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ένα αυτόματο σύστημα ελέγχου, ανεξάρτητα από τη φύση των μονάδων που το συνθέτουν, μπορεί να περιγραφεί με παρόμοιες διαφορικές εξισώσεις (2.1). Αυτές οι μέθοδοι σχετίζονται με τις λεγόμενες εξωτερικές περιγραφές του συστήματος. Αντίθετα, η εσωτερική περιγραφή δίνεται σε μεταβλητές κατάστασης, που χρησιμοποιούνται κατά προτίμηση για εκείνα τα συστήματα που έχουν περισσότερες από μία εισόδους και εξόδους. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβλητές κατάστασης του συστήματος νοούνται ως ένα σύνολο μεταβλητών, οι παράγωγοι πρώτης τάξης των οποίων περιλαμβάνονται στο μαθηματικό μοντέλο του αυτόματου συστήματος ελέγχου. Από την άλλη πλευρά, οι μεταβλητές κατάστασης νοούνται ως ένα σύνολο μεταβλητών των οποίων οι τιμές, μαζί με την επιρροή εισόδου, καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό της μελλοντικής κατάστασης του συστήματος και των τιμών εξόδου. Ένα μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος σε μεταβλητές κατάστασης είναι βολικό για ανάλυση υπολογιστή.
Έστω ένα γραμμικό σύστημα να χαρακτηρίζεται από ένα διάνυσμα κατάστασης 
, που αποτελείται από n-μεταβλητές κατάστασης. Τα σήματα ελέγχου εισόδου λαμβάνονται στην είσοδο του συστήματος 
. Το σύστημα περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις κατάστασης σε διανυσματική μορφή:
(3.2)
όπου και είναι πίνακες που αποτελούνται από σταθερούς συντελεστές, έχουν τη μορφή:
, 
.
Εκτός από την εξίσωση (3.2), η ακόλουθη εξίσωση πίνακα μπορεί να κατασκευαστεί για το σύστημα:
(3.3)
Εδώ 
-–
διάνυσμα των ποσοτήτων παραγωγής. Οι πίνακες σταθερών μεγεθών έχουν τη μορφή
.
Επίλυση συστημάτων των εξισώσεων (3.2) και (3.3) για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t = t 0ας βρούμε χρόνο t>t 0, δηλαδή, καθορίζει τη μελλοντική κατάσταση του συστήματος και καθιστά επίσης δυνατό τον προσδιορισμό των τιμών εξόδου.
Το διάνυσμα μπορεί να εξαλειφθεί από το σύστημα των εξισώσεων (3.2) και (3.3). Στην περίπτωση αυτή, ο μετασχηματισμός «εισόδου-εξόδου» μπορεί να περιγραφεί με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις n-ης τάξης με σταθερούς συντελεστές στη μορφή (2.1).
Όλοι οι τύποι περιγραφών που εξετάζονται είναι στενά αλληλένδετοι, επομένως, γνωρίζοντας μία από αυτές, μπορείτε να αποκτήσετε τις υπόλοιπες. Για παράδειγμα, η σχέση μεταξύ των πινάκων , , περιγραφής στον χώρο καταστάσεων και της μιγαδικής συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Δ(α)δίνεται από την εξίσωση
W(s)= (sE-) -1
Οπου μικρό- Χειριστής Laplace, μι μήτρα ταυτότητας.
Ελεγχιμότητα και παρατηρησιμότητα
Στον n-διάστατο χώρο των καταστάσεων, κάθε κατάσταση του συστήματος αντιστοιχεί σε μια ορισμένη θέση του αντιπροσωπευτικού σημείου, που καθορίζεται από τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης (i = 1, 2,... n).
Αφήστε δύο σύνολα και δίνονται στο χώρο κατάστασης. Το υπό εξέταση σύστημα θα είναι ελεγχόμενο εάν υπάρχει έλεγχος 
, που ορίζεται σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα 0
Το σύστημα ονομάζεται παρατηρήσιμο εάν στο σχηματισμό του διανύσματος των συντεταγμένων εξόδου 
εμπλέκονται όλα τα συστατικά του διανύσματος των μεταβλητών κατάστασης. Εάν κανένα από τα διανυσματικά συστατικά δεν επηρεάζει τον σχηματισμό της εξόδου του συστήματος, τότε ένα τέτοιο σύστημα θα είναι μη παρατηρήσιμο.
Η ανάλυση ελέγχου και παρατηρησιμότητας πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας μήτρες ελέγχουΚαι παρατηρησιμότηταή χρησιμοποιώντας ελεγχιμότητα γραμμάριαΚαι παρατηρησιμότητα.
Με βάση τους πίνακες , , σχηματίζουμε δύο βοηθητικούς πίνακες
R = [ , , ..., n -1 ], ρε= [ , ,…, n -1 ]
Πίνακες RΚαι ρεκαλούνται αναλόγως πίνακα ελέγχουΚαι μήτρα παρατηρησιμότηταςσυστήματα. Στο MATLAB μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας τις εντολές ctrbΚαι παρατηρώ.
Προκειμένου το σύστημα (3.2) να είναι ελεγχόμενο, είναι επίσης απαραίτητο
αρκεί ο πίνακας ελέγχου δυνατότητας να έχει πλήρη κατάταξη rankR = n.
Προκειμένου το σύστημα (3.2) να είναι παρατηρήσιμο, είναι απαραίτητο και αρκετό ο πίνακας παρατηρησιμότητας να έχει πλήρη κατάταξη κατάταξηD=n.
Στην περίπτωση συστημάτων με μία είσοδο και μία έξοδο μήτρας RΚαι ρετετράγωνο, επομένως, για να ελέγξουμε τη δυνατότητα ελέγχου και παρατηρησιμότητας, αρκεί να υπολογίσουμε τις ορίζουσες των πινάκων R και D. Εάν δεν είναι ίσοι με μηδέν, τότε οι πίνακες έχουν πλήρη κατάταξη.
Διάλεξη 4. Αξιολόγηση της λειτουργίας του ACS
Αξιολόγηση στατικών ιδιοτήτων
Ανάλογα με τις διεργασίες που συμβαίνουν στο ACS, διακρίνονται δύο τρόποι λειτουργίας του ACS και των στοιχείων τους: δυναμικός και στατικός.
Η διαδικασία μετάβασης αντιστοιχεί στον δυναμικό τρόπο λειτουργίας των συστημάτων αυτόματου ελέγχου και των στοιχείων τους. Το TAU αφιερώνει τον περισσότερο χρόνο σε αυτή τη λειτουργία. Στη δυναμική λειτουργία, οι ποσότητες που καθορίζουν την κατάσταση των αυτοκινούμενων όπλων και των στοιχείων τους αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου. Παραπάνω παρουσιάστηκαν μαθηματικά μοντέλα συστημάτων αυτόματου ελέγχου σε δυναμική λειτουργία με τη μορφή διαφορικών εξισώσεων nου (2.1) ή με τη μορφή εξισώσεων κατάστασης (3.2, 3.3).
Αντίθετα, η διαδικασία σταθερής κατάστασης σε ένα ACS αντιστοιχεί σε έναν στατικό τρόπο λειτουργίας, στον οποίο οι ποσότητες που χαρακτηρίζουν την κατάσταση του ACS δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου. Για την αξιολόγηση του ACS σε στατική (σταθερή) λειτουργία, χρησιμοποιείται ένας δείκτης που ονομάζεται ακρίβεια ελέγχου. Αυτός ο δείκτης καθορίζεται από τα στατικά χαρακτηριστικά των αυτοκινούμενων όπλων.
Ρύζι. 4.1. Στατικά χαρακτηριστικά στατικών και στατικών συστημάτων
Το στατικό χαρακτηριστικό του ACS αντιπροσωπεύει την εξάρτηση της τιμής σταθερής κατάστασης της παραμέτρου εξόδου – y 0από την παράμετρο εισόδου – u 0με συνεχή διαταραχή ή εξάρτηση της παραμέτρου εξόδου - y 0σε σταθερή κατάσταση από ενόχληση– φάσε σταθερή παράμετρο εισόδου. Οι στατικές εξισώσεις των αυτοκινούμενων όπλων έχουν τη μορφή 
ή 
. Γενικά, οι εξισώσεις μπορεί να είναι μη γραμμικές. Ας εξετάσουμε τα στατικά χαρακτηριστικά των στοιχείων ή του ACS στο σύνολό του (Εικ. 4.1) κατασκευασμένα σύμφωνα με τη δεύτερη εξίσωση. Εάν η τιμή σταθερής κατάστασης του σφάλματος στο σύστημα εξαρτάται από την τιμή σταθερής κατάστασης της διαταραχής φά, τότε το σύστημα ονομάζεται στατικό (Εικ. 4.1, α), και αν δεν εξαρτάται, τότε είναι αστατικό (Εικ. 4.1, β).
Το σχετικό στατικό σφάλμα ή στατικότητα του συστήματος είναι ίσο με
Επίσης, ο στατισμός μπορεί να χαρακτηριστεί από έναν στατικό συντελεστή ίσο με την εφαπτομένη της κλίσης του στατικού χαρακτηριστικού (Εικ. 3.1, α).
Η αποτελεσματικότητα του στατικού ελέγχου ενός συστήματος αυτόματου ελέγχου σε σταθερή κατάσταση εκτιμάται από τον λεγόμενο βαθμό ακρίβειας ελέγχου, ίσο με τον λόγο του απόλυτου στατικού σφάλματος ενός μη αυτοματοποιημένου αντικειμένου ελέγχου (χωρίς ελεγκτή) προς το απόλυτο στατικό σφάλμα του αυτόματου συστήματος.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα στατικό σφάλμα είναι ανεπιθύμητο, τότε αλλάζουν σε αστατική ρύθμιση ή εισάγουν αντισταθμιστικά αποτελέσματα στις διαταραχές.
Η μέθοδος της μεταβλητής κατάστασης (ονομάζεται επίσης μέθοδος χώρου κατάστασης) βασίζεται σε δύο εξισώσεις γραμμένες σε μορφή πίνακα.
Η δομή της πρώτης εξίσωσης καθορίζεται από το γεγονός ότι συνδέει τον πίνακα των παραγώγων για πρώτη φορά μεταβλητών κατάστασης με τους πίνακες των ίδιων των μεταβλητών κατάστασης και τις εξωτερικές επιρροές και, που θεωρούνται ως π.χ. δ.σ. και ρεύματα πηγής.
Η δεύτερη εξίσωση είναι αλγεβρική στη δομή της και συνδέει τον πίνακα των μεγεθών εξόδου y με τους πίνακες των μεταβλητών κατάστασης και των εξωτερικών επιρροών και.
Όταν ορίζουμε μεταβλητές κατάστασης, σημειώνουμε τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Ως μεταβλητές κατάστασης στα ηλεκτρικά κυκλώματα, θα πρέπει κανείς να επιλέξει ρεύματα σε επαγωγές και τάσεις στους πυκνωτές και όχι σε όλες τις επαγωγές και όχι σε όλους τους πυκνωτές, αλλά μόνο σε ανεξάρτητους, δηλαδή σε αυτούς που καθορίζουν τη γενική σειρά του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων του κυκλώματος.
2. Οι διαφορικές εξισώσεις του κυκλώματος ως προς τις μεταβλητές κατάστασης γράφονται σε κανονική μορφή, δηλ. αναπαριστώνται ως λυμένες ως προς τις πρώτες παραγώγους των μεταβλητών κατάστασης ως προς το χρόνο.
Σημειώστε ότι μόνο όταν επιλέγετε ρεύματα k σε ανεξάρτητες επαγωγές και τάσεις σε ανεξάρτητους πυκνωτές ως μεταβλητές κατάστασης, η πρώτη εξίσωση της μεθόδου μεταβλητής κατάστασης θα έχει τη δομή που υποδεικνύεται παραπάνω.
Εάν ως μεταβλητές κατάστασης επιλέξουμε ρεύματα σε κλάδους με πυκνωτές ή ρεύματα σε κλάδους με αντιστάσεις, καθώς και τάσεις σε επαγωγές ή τάσεις σε αντιστάσεις, τότε η πρώτη εξίσωση της μεθόδου των μεταβλητών κατάστασης μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί σε κανονική μορφή, δηλ. ως προς τα πρώτα παράγωγα ως προς το χρόνο αυτά τα μεγέθη. Ωστόσο, η δομή των δεξιών πλευρών τους δεν θα ανταποκρίνεται στον ορισμό που δίνεται παραπάνω, καθώς θα περιλαμβάνουν επίσης έναν πίνακα πρώτων παραγώγων εξωτερικών επιρροών
3. Ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης είναι ίσος με τη σειρά του συστήματος διαφορικών εξισώσεων του υπό μελέτη ηλεκτρικού κυκλώματος.
4. Η επιλογή των ρευμάτων και των τάσεων ως μεταβλητές κατάστασης είναι επίσης βολική γιατί αυτές οι ποσότητες, σύμφωνα με τους νόμους της εναλλαγής (§ 13-1), τη στιγμή της εναλλαγής δεν αλλάζουν απότομα, δηλαδή είναι ίδιες για χρονικές στιγμές
5. Οι μεταβλητές κατάστασης ονομάζονται έτσι γιατί σε κάθε χρονική στιγμή ορίζουν την ενεργειακή κατάσταση του ηλεκτρικού κυκλώματος, αφού η τελευταία καθορίζεται από το άθροισμα των παραστάσεων
6. Η αναπαράσταση εξισώσεων σε κανονική μορφή είναι πολύ βολική κατά την επίλυσή τους σε αναλογικούς υπολογιστές και για προγραμματισμό κατά την επίλυσή τους σε ψηφιακούς υπολογιστές. Επομένως, μια τέτοια αναπαράσταση είναι πολύ σημαντική κατά την επίλυση αυτών των εξισώσεων χρησιμοποιώντας σύγχρονη τεχνολογία υπολογιστών.
Ας δείξουμε το παράδειγμα του κυκλώματος στο Σχ. 14-14, πώς συντάσσονται οι εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των μεταβλητών κατάστασης.
Αρχικά, λαμβάνουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση πίνακα της μεθόδου και στη συνέχεια το γράφουμε σε μορφή πίνακα. Ο αλγόριθμος για τη σύνθεση αυτών των εξισώσεων για οποιοδήποτε ηλεκτρικό κύκλωμα είναι ο ακόλουθος. Πρώτον, οι εξισώσεις γράφονται χρησιμοποιώντας τους νόμους του Kirchhoff ή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του ρεύματος βρόχου. τότε επιλέγονται οι μεταβλητές κατάστασης και διαφοροποιώντας τις αρχικές εξισώσεις και εξαλείφοντας άλλες μεταβλητές, παίρνουμε
Αρχίζουν οι εξισώσεις της μεθόδου των μεταβλητών κατάστασης. Αυτός ο αλγόριθμος είναι πολύ παρόμοιος με αυτόν που χρησιμοποιείται στην κλασική μέθοδο υπολογισμού μεταβατικών διεργασιών για τη λήψη μιας προκύπτουσας διαφορικής εξίσωσης για μία από τις μεταβλητές
Σε ειδικές περιπτώσεις, όταν δεν υπάρχουν χωρητικά κυκλώματα στο κύκλωμα, δηλαδή κυκλώματα, των οποίων όλοι οι κλάδοι περιέχουν χωρητικότητες και δεν υπάρχουν κόμβοι με συνδεδεμένους κλάδους, σε καθένα από τους οποίους περιλαμβάνονται επαγωγές, μπορεί να καθοριστεί ένας άλλος αλγόριθμος. Χωρίς να σταθούμε σε αυτό, σημειώνουμε μόνο ότι βασίζεται στην αντικατάσταση δοχείων με πηγές π.χ. δ.σ., επαγωγές – πηγές ρεύματος και εφαρμογή της μεθόδου υπέρθεσης.
Για το κύκλωμα εικ. 14-14 σύμφωνα με τους νόμους του Kirchhoff
(14-36)
Προσδιορίζοντας από την πρώτη εξίσωση, αντικαθιστώντας την τρίτη, αντικαθιστώντας και παρουσιάζοντας την προκύπτουσα διαφορική εξίσωση σε κανονική μορφή σε σχέση με λαμβάνουμε:
Λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση (14-36) για το , αντικαθιστώντας σύμφωνα με την πρώτη εξίσωση (14-36) και αντικαθιστώντας το , παίρνουμε:
Προσθέτοντας όρο με τον όρο (14-38) πολλαπλασιασμένο με την εξίσωση (14-37) και προσδιορίζοντας από το αποτέλεσμα που προκύπτει, έχουμε:
Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις (14-39) και (14-37) σε μορφή πίνακα:
(14-4°)
όπου για το υπό εξέταση κύκλωμα έχουμε:
(14-42a)
Στη γενική περίπτωση, η πρώτη εξίσωση της μεθόδου των μεταβλητών κατάστασης σε μορφή πίνακα θα γραφεί ως
(14-43)
Οι πίνακες Α και Β στα γραμμικά κυκλώματα εξαρτώνται μόνο από τις παραμέτρους του κυκλώματος, δηλαδή είναι σταθερές τιμές. Στην περίπτωση αυτή, το Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης και ονομάζεται κύριος πίνακας του κυκλώματος, ο πίνακας Β είναι γενικά ορθογώνιος, το μέγεθος ονομάζεται πίνακας της σύνδεσης μεταξύ της εισόδου του κυκλώματος και των μεταβλητών κατάστασης, οι πίνακες είναι πίνακες του στήλες ή διανύσματα μεταβλητών κατάστασης (μέγεθος και εξωτερικές διαταραχές (μέγεθος)
Στο υπό εξέταση παράδειγμα, ο πίνακας Β αποδείχθηκε ότι είναι τετράγωνος δεύτερης τάξης, καθώς ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης είναι ίσος με τον αριθμό των εξωτερικών διαταραχών
Ας προχωρήσουμε στη σύνταξη της δεύτερης εξίσωσης της μεθόδου Μπορείτε να επιλέξετε οποιαδήποτε από τις τιμές ως έξοδο. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τρεις τιμές ως έξοδο
Οι τιμές τους θα γραφτούν μέσω μεταβλητών κατάστασης και εξωτερικών διαταραχών απευθείας από τις εξισώσεις (14 36)
(14-44)
ή σε μορφή μήτρας
ή για συντομία
(14-46)
όπου για το εξεταζόμενο κύκλωμα
και στη γενική περίπτωση η δεύτερη εξίσωση της μεθόδου των μεταβλητών κατάστασης
Οι πίνακες C και D εξαρτώνται μόνο από τις παραμέτρους του κυκλώματος. Στη γενική περίπτωση, πρόκειται για ορθογώνιες μήτρες αντίστοιχα μεγεθών και το C ονομάζεται μήτρα σύνδεσης μεταξύ των μεταβλητών κατάστασης και της εξόδου του κυκλώματος, ο πίνακας άμεσης σύνδεσης μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του κυκλώματος (ή του συστήματος).
Για έναν αριθμό φυσικών συστημάτων, το D είναι μηδενικός πίνακας και ο δεύτερος όρος στο (14-48) γίνεται μηδέν, αφού δεν υπάρχει άμεση φυσική σύνδεση μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του συστήματος.
Αν πάρουμε, για παράδειγμα, το ρεύμα i και την τάση ως μεταβλητές κατάστασης και παρουσιάσουμε διαφορικές εξισώσεις για αυτές σε κανονική μορφή, τότε (παραλείποντας όλους τους ενδιάμεσους μετασχηματισμούς) η πρώτη από τις εξισώσεις της μεθόδου σε μορφή πίνακα θα έχει τη μορφή:
Έτσι, πράγματι, η πρώτη εξίσωση της μεθόδου της μεταβλητής κατάστασης θα έχει τη μορφή (14-43) σε μορφή μήτρας μόνο όταν επιλέγουμε ρεύμα και τάση ως μεταβλητές κατάστασης
Προχωρώντας στην επίλυση της διαφορικής εξίσωσης του πίνακα (14-43), σημειώνουμε αρχικά ότι απλοποιείται ιδιαίτερα εάν ο τετράγωνος υποκείμενος πίνακας της τάξης Α είναι διαγώνιος. Τότε όλες οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (14-43) αποσυνδέονται, δηλαδή, οι παράγωγοι των μεταβλητών κατάστασης εξαρτώνται η καθεμία μόνο από τη δική της μεταβλητή κατάστασης.
Ας εξετάσουμε πρώτα τη λύση της διαφορικής εξίσωσης γραμμικού ανομοιογενούς πίνακα (14-43) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τελεστή, τη μετασχηματίζουμε σύμφωνα με τον Laplace:
όπου η μήτρα-στήλη των αρχικών τιμών των μεταβλητών κατάστασης, δηλ.
(14-53)
που τη στιγμή της αλλαγής δεν αλλάζουν απότομα, είναι δεδομένες και ίσες με τις τιμές τους τη στιγμή
Ας ξαναγράψουμε (14-51):
όπου είναι ο πίνακας ταυτότητας της τάξης.
Για να λάβουμε έναν πίνακα εικόνων μεταβλητών κατάστασης, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές (14-54) στα αριστερά με τον αντίστροφο πίνακα
Επιστρέφοντας στα πρωτότυπα χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, παίρνουμε:
Από τη μέθοδο χειριστή είναι γνωστό ότι
Κατ' αναλογία, γράφοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace σε μορφή πίνακα, θα έχουμε:
όπου είναι ο πίνακας μετάβασης της κατάστασης του συστήματος, που αλλιώς ονομάζεται θεμελιώδης.
Έτσι, βρίσκουμε το πρωτότυπο του πρώτου όρου στη δεξιά πλευρά (14-56)
Ο αντίστροφος πίνακας προσδιορίζεται με διαίρεση του συνδεδεμένου ή του αμοιβαίου πίνακα με την ορίζουσα του κύριου πίνακα:
όπου η εξίσωση
(14-61)
παριστάνει τη χαρακτηριστική εξίσωση του υπό μελέτη κυκλώματος.
Το πρωτότυπο του δεύτερου όρου στη δεξιά πλευρά (14-56) βρίσκεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνέλιξης σε μορφή πίνακα
αν βάλεις
Στη συνέχεια με βάση (14-62)-(14-64)
και η γενική λύση της εξίσωσης διαφορικού ανομοιογενούς πίνακα (14-43) με βάση τα (14-56), (14-59) και (14-65) θα έχει τη μορφή:
(14-66)
Ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά του (14-66) αντιπροσωπεύει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης ή την αντίδραση του κυκλώματος στη μηδενική είσοδο, δηλαδή αντιπροσωπεύει την πρώτη συνιστώσα των ελεύθερων διεργασιών στο κύκλωμα που προκαλείται από τις μη μηδενικές αρχικές τιμές των μεταβλητών κατάστασης του κυκλώματος, και επομένως είναι μια λύση στην εξίσωση. Ο δεύτερος όρος αντιπροσωπεύει το συστατικό της αλυσιδωτής αντίδρασης, δηλαδή στη μηδενική κατάσταση της αλυσίδας.
Ονομάζουμε μηδενική κατάσταση ενός κυκλώματος τέτοια κατάσταση όταν οι αρχικές τιμές όλων των μεταβλητών κατάστασης είναι ίσες με μηδέν. Με άλλα λόγια, ο δεύτερος όρος (14-66) αντιπροσωπεύει το άθροισμα της εξαναγκασμένης αντίδρασης της αλυσίδας που προκύπτει υπό την επίδραση εξωτερικών επιρροών και το δεύτερο συστατικό των ελεύθερων διεργασιών
Ισότητα (14-66) σημαίνει ότι η αντίδραση του κυκλώματος είναι ίση με το άθροισμα των αντιδράσεων σε μηδενική είσοδο και μηδενική κατάσταση.
Με βάση τα (14-48) και (14-66) για τις ποσότητες παραγωγής που έχουμε.
Εάν η κατάσταση του κυκλώματος προσδιορίζεται όχι τη στιγμή , αλλά τη στιγμή , τότε οι ισότητες (14-66) και (14-67) γενικεύονται:
(14-68)
Παράδειγμα 14-5. Για μια διακλαδισμένη αλυσίδα δεύτερης τάξης, έχουν συνταχθεί εξισώσεις κατάστασης
υπό μη μηδενικές αρχικές συνθήκες και με μία μόνο πηγή e. δ.σ.
Βρείτε μεταβλητές κατάστασης.
Λύση. Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις κατάστασης σε μορφή πίνακα
Ας βρούμε πρώτα τα πρώτα ελεύθερα στοιχεία των μεταβλητών κατάστασης στη μηδενική είσοδο Για να το κάνουμε αυτό, θα δημιουργήσουμε έναν πίνακα
Για να βρείτε τον συνημμένο ή τον αμοιβαίο πίνακα, αντικαταστήστε κάθε στοιχείο στον προηγούμενο πίνακα με το αλγεβρικό του συμπλήρωμα
Το μεταφέρουμε βρίσκοντας τον συνημμένο ή τον αμοιβαίο πίνακα:
Ας βρούμε την ορίζουσα του πίνακα
Με βάση το (14-60), ο αντίστροφος πίνακας θα είναι ίσος με:
Ας το υποβάλουμε στον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι για αυτό πρέπει να υποβάλουμε κάθε στοιχείο του στον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace. Με βάση το (14-73), λαμβάνουμε τον πίνακα μετάβασης της κατάστασης του κυκλώματος
Για παράδειγμα,
Για τον πίνακα μετάβασης της κατάστασης συστήματος λαμβάνουμε:
Για τις πρώτες ελεύθερες συνιστώσες των μεταβλητών κατάστασης θα έχουμε
Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν, βρίσκουμε τις απαιτούμενες τιμές των μεταβλητών κατάστασης:
Δεδομένου ότι η λύση της εξίσωσης (14-43) λήφθηκε παραπάνω και δόθηκε με τον τύπο (14-66), στη συνέχεια για να ελέγξετε την ορθότητα της λύσης (14-66) και να υπολογίσετε τον πίνακα των μεταβλητών κατάστασης με τη βοήθειά της, μπορείτε πρώτα απευθείας αντικαταστήστε το (14-66) σε (14-43) βεβαιωθείτε ότι το τελευταίο μετατρέπεται σε ταυτότητα. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται μόνο πρώτα να υπολογίσετε διαφοροποιώντας το (14-66). Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε:
Τώρα δεν είναι δύσκολο να επαληθευτεί άμεσα ότι το (14-66) είναι πράγματι μια λύση στη διαφορική εξίσωση του πίνακα
Σημειώστε ότι ο πίνακας μετάβασης της κατάστασης του συστήματος em επιτρέπει σε κάποιον να βρει στον χώρο καταστάσεων, δηλαδή σε ένα χώρο του οποίου ο αριθμός των διαστάσεων είναι ίσος με τον αριθμό των συστατικών του διανύσματος των μεταβλητών κατάστασης, η κίνηση να ξεκινά από κάποια αρχική θέση (στο ή στο ) και το διάνυσμα περιέχει σημαντικές πληροφορίες, αφού περιγράφει ταυτόχρονα όλες τις μεταβλητές κατάστασης, δηλαδή συναρτήσεις του χρόνου.
