Cu b i - „pește(a)”, cu i - „n(th)”, obținem din aceasta modele p i - „pește”, z i - „gătit din pește”.

Sistem de automate celulare

Un model este automate celulare dacă poate fi reprezentat printr-un automat celular sau un sistem de automate celulare.

Un automat celular este un sistem dinamic discret, un analog al unui câmp fizic (continuu). Geometria automatelor celulare este un analog al geometriei euclidiene. Un element indivizibil al geometriei euclidiene este un punct pe baza acestuia se construiesc segmente, drepte, plane etc.

Un element indivizibil al unui câmp de automate celulare este o celulă pe baza sa, se construiesc grupuri de celule și diferite configurații ale structurilor celulare. Un automat celular este reprezentat de o rețea uniformă de celule („celule”) din acest câmp. Evoluția unui automat celular se desfășoară într-un spațiu discret - un câmp celular.

Schimbarea stărilor într-un câmp de automate celulare are loc simultan și în paralel și timpul curge discret. În ciuda simplității aparente a construcției lor, automatele celulare pot demonstra un comportament divers și complex al obiectelor și sistemelor.

Recent au fost utilizate pe scară largă în modelare nu numai procesele fizice, ci și socio-economice.

Modele fractale

Un model se numește fractal dacă descrie evoluția sistemului modelat prin evoluția obiectelor fractale.

Dacă obiectul fizic este omogen (solid), i.e. nu există cavități în el, atunci putem presupune că densitatea sa nu depinde de dimensiune. De exemplu, la creșterea unui parametru de obiect R inainte de 2R masa obiectului va crește cu R 2 ori dacă obiectul este un cerc și în R 3 ori, dacă obiectul este o minge, adică Există o relație între masă și lungime. Lăsa n- dimensiunea spatiului. Un obiect a cărui masă și dimensiune sunt legate se numește „compact”. Densitatea sa poate fi calculată folosind formula:

Dacă un obiect (sistem) satisface relația M(R) ~ R f(n), unde f(n)< n, то такой объект называется фрактальным.

Densitatea sa nu va fi aceeași pentru toate valorile lui R, apoi este scalată conform formulei:

Deoarece f(n) - n< 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.

Un exemplu de model fractal este setul Cantor. Să luăm în considerare segmentul. Împărțiți-l în 3 părți și aruncați segmentul din mijloc. Împărțim din nou cele 2 goluri rămase în trei părți și aruncăm golurile din mijloc etc. Obținem o mulțime numită mulțime Cantor. În limită obținem un set nenumărat de puncte izolate ( orez. 1.4)

Orez. 1.4. Set Cantor pentru 3 divizii

Algoritmi genetici

Ideea algoritmilor genetici a fost „văzută” în sistemele naturii vii, în care evoluția se desfășoară destul de repede.

Algoritm genetic - Acesta este un algoritm bazat pe simularea procedurilor genetice pentru dezvoltarea populației în conformitate cu principiile dinamicii evolutive.

Algoritmii genetici sunt utilizați pentru a rezolva probleme de optimizare (multi-criteria), probleme de căutare și control.

Acești algoritmi sunt adaptativi, dezvoltă soluții și se dezvoltă singuri.

Un algoritm genetic poate fi construit pe baza următoarei proceduri generalizate:.

Deși algoritmii genetici pot fi folosiți pentru a rezolva probleme care nu pot fi rezolvate prin alte metode, ei nu garantează că se va găsi o soluție optimă, cel puțin nu într-un timp rezonabil. Criterii precum „suficient de bun și suficient de rapid” sunt mai potrivite aici.

Principalul avantaj al utilizării lor este că permit rezolvarea unor probleme complexe pentru care nu au fost încă dezvoltate metode stabile și acceptabile, mai ales în stadiul de formalizare și structurare a sistemului.

Algoritmii genetici sunt eficienți în combinație cu alți algoritmi clasici și proceduri euristice.

Modele statice și dinamice, discrete și continue

Modelele sunt clasificate în funcție de diferite criterii.

Un model se numește static dacă nu există niciun parametru de timp printre parametrii implicați în descrierea lui. Un model static în fiecare moment de timp oferă doar o „fotografie” a sistemului, felia sa.

Exemplu. Legea lui Newton F=a*m este un model static al unui corp care se deplasează cu accelerația a punct material masa m. Acest model nu ține cont de schimbarea accelerației de la un punct la altul.

Un model este dinamic dacă printre parametrii săi există un parametru de timp, adică. afișează sistemul (procesele din sistem) în timp.

Exemplu. Modelul dinamic al legii lui Newton va arăta astfel:

Un model este discret dacă descrie comportamentul sistemului numai la momente discrete de timp.

Exemplu. Dacă luăm în considerare doar t=0, 1, 2, …, 10 (sec), atunci modelul

sau succesiunea numerică: S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g poate servi ca model discret al mișcării unui corp în cădere liberă.

Un model este continuu dacă descrie comportamentul sistemului pentru toate punctele de timp pe o anumită perioadă de timp.

Exemplu. Model S=gt2/2, 0< t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Un model este simulare dacă este destinat să testeze sau să studieze posibilele căi de dezvoltare și comportament ale unui obiect prin modificarea unora sau a tuturor parametrilor modelului.

Exemplu. Fie ca modelul sistemului economic de producție de bunuri de două tipuri 1 și 2, în cantitatea x1 și x2 unități și costul fiecărei unități de bunuri a1 și a2 la întreprindere, să fie descris ca un raport:

a1x1 + a2x2 = S,

unde S este costul total al tuturor produselor produse de întreprindere (tipurile 1 și 2). Poate fi folosit ca model de simulare, prin care se poate determina (varia) costul total S în funcție de anumite valori ale volumelor și costurilor mărfurilor produse.

Modele, tipuri de modele și utilizări ale acestora

Unul dintre elementele principale necesare pentru solutie eficienta sarcini complexe este construirea și utilizarea adecvată a modelului. Modelul este o reprezentare a unui obiect sau a unui sistem într-o formă diferită de forma existenței sale reale.

Evident, modelele pot accepta cel mai mult forme diferiteși înregistrate în diferite grade de detaliu matematic. Nivelul de complexitate care face ca un model să fie util este determinat de utilizarea prevăzută.

În practica de zi cu zi, atunci când lucrează cu sisteme, ei folosesc modele speculative (subiective) în care nu există deloc matematică. Exemple de astfel de modele includ algoritmi de operare, reguli de management al sistemului etc.

Tabelele numerice și (sau) graficele sunt potrivite pentru descrierea proprietăților unor obiecte și sisteme. Astfel de descrieri sunt de obicei numite modele grafice. De exemplu, sisteme liniare control automat(ACS) pot fi reprezentate prin reacțiile lor de impuls, reacții la un singur salt sau caracteristicile de frecvență. Reprezentările grafice corespunzătoare sunt utilizate pe scară largă în proiectarea și cercetarea sistemelor de control automat.

Aplicațiile mai complexe folosesc modele matematice în care relațiile care descriu relațiile dintre variabilele obiect sunt specificate sub forma unor ecuații specifice. Prin urmare, astfel de modele sunt uneori numite modele analitice. Modelele matematice sunt descrieri matematice formalizate care reflectă, cu acuratețea cerută, procesele care au loc în obiectul studiat. Modelele matematice pot fi echipate cu un set de adjective explicative (liniare, neliniare, discrete, continue, deterministe, stocastice etc.) în funcție de tipul de ecuații studiate.

În procesul de modelare a mașinii, modelul sistemului este un program de calculator. Un program care descrie comportamentul sistemelor complexe poate fi o colecție de subrutine și tabele de căutare care interacționează. Formalizarea unui astfel de set sub forma unui model matematic poate fi o sarcină dificilă. Astfel de reprezentări computerizate sunt numite modele software (sau mașini). Astfel de modele joacă acum un rol important în procesul de adoptare solutii optimeîn sisteme complexe.

Modelele pot fi clasificate în diferite moduri. Cu toate acestea, niciuna dintre ele nu este complet satisfăcătoare, deși fiecare servește un scop specific. Să indicăm câteva grupuri alternative tipice de modele:

Fizice (naturale) și matematice (simbolice);

Static si dinamic;

Determinist și stocastic;

Discret și continuu;

Linear și neliniar;

Concentrat și distribuit;

Staționar și non-staționar.

Modelele fizice sunt modele în care proprietățile unui obiect real sunt reprezentate de o proprietate a aceluiași obiect (model) sau de o altă proprietate a unui obiect similar în comportament.

Modelele matematice sunt cele care folosesc mai degrabă simboluri decât dispozitive fizice pentru a reprezenta un proces.

Un model matematic poate fi reprezentat ca un set de mărimi care descriu procesul de funcționare a unui obiect real:

a) un set de influențe de intrare controlate asupra obiectului

b) un set de influențe de intrare necontrolate

c) un set de parametri interni (proprii) ai unui obiect

d) un set de caracteristici de ieșire ale obiectului ( variabile de stare)

Structura obiectului simulat are forma prezentată în Fig. 4.1

Variabilele de intrare sunt independente (exogene), iar variabilele de ieșire sunt variabile dependente (endogene).

Procesul de funcționare a unui obiect este descris în timp de operatorul F, care transformă variabile independente în variabile dependente

(4.1)

Setul de dependențe ale caracteristicilor de ieșire ale unui obiect în timp se numește traiectorie de ieșire.

Dependența (1.1) se numește legea funcționării obiectelor. În general, legea de funcționare a unui obiect poate fi specificată sub forma unei funcții, condiții funcționale, logice, în forme algoritmice și tabelare, sau sub forma unei reguli de corespondență verbală.

Este foarte important pentru descrierea și studiul unui obiect conceptul de algoritm de funcționare, care este înțeles ca o metodă de obținere a caracteristicilor de ieșire ținând cont de influențele de intrare.

Este evident că aceeași lege de funcționare poate fi implementată în moduri diferite, i.e. folosind mulți algoritmi de operare diferiți.

Relațiile (1.1) sunt o descriere matematică a comportamentului obiectului de modelare în timpul t, i.e. reflectă proprietățile sale dinamice. Prin urmare, se numesc modele matematice de acest tip dinamic . Ele descriu modificări ale parametrilor în timp, de exemplu:

(4.2)

Un inginer are de foarte multe ori de a face cu astfel de modele atunci când dezvoltă noi procese tehnologice, produse, mijloace și sisteme automate de control. În esență, orice problemă de proiectare care implică calculul fluxurilor de energie sau mișcarea corpurilor se reduce în cele din urmă la rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Static modelele descriu procese care nu se modifică în timp, de ex. comportamentul obiectului în stări de echilibru

(4.3)

Modelele statice sunt utilizate, de regulă, pentru optimizarea designului unui obiect.

De obicei, un model dinamic este specificat sub formă de ecuații diferențiale, iar un model static sub formă de ecuații algebrice sau transcendentale.

Se numesc modele în care există o legătură rigidă între variabile determinat . Astfel de modele nu conțin factori aleatori, iar valorile variabilelor de ieșire sunt determinate în mod unic de valorile variabilelor de intrare.

Stochastic modelul (probabilistic) reflectă influența factorilor aleatori. Prin urmare, nu există nicio diferență între variabilele de intrare și de ieșire. dependenta functionala(model determinist), dar probabilist. De obicei, variabilele de stare ale unui obiect sunt estimate în termeni de așteptări matematice, iar influențele de intrare sunt estimate în termeni de legi de distribuție probabilistică.

Continuu modelul descrie modificări continue ale variabilelor obiectului pe o anumită perioadă de timp, de exemplu:

Discret modelul descrie relația dintre variabilele obiectului în momente discrete în timp, de exemplu: unde este începutul etapei j-a a modelării obiectelor; - sfârșitul său, adică starea unui obiect în momentul de timp este determinată de starea lui cunoscută în momentul de față, cu condiția ca cunoscute și rămân constante.

U liniar model există o relație proporțională între variabilele de intrare și de ieșire. Modelele care nu îndeplinesc această condiție sunt neliniară .

Este numit un model dinamic care descrie schimbarea variabilelor obiectului numai în timp model dinamic Cu concentrat parametrii (valoarea dorită depinde doar de o variabilă).

Aceste modele conțin una sau mai multe derivate ale variabilelor de stare și sunt ecuații diferențiale obișnuite. Ele pot fi scrise sub forma:

Modelul matematic complet, împreună cu ecuația diferențială (1.4) la rezolvarea problemelor practice, conține și câteva conditii suplimentare(de exemplu, valorile variabilelor dorite y ) în momentul inițial al timpului t0, numit condiții inițiale :

În multe probleme practice, cantitatea dorită depinde de mai multe variabile. În acest caz, modelul matematic conține derivate parțiale și se numește model cu parametri distribuiți .

Dacă una dintre variabilele independente este timpul t, atunci un astfel de model oferă o descriere a dinamicii procesului atât în ​​timp, cât și în spațiu. Un model matematic complet conține o ecuație diferențială parțială, condiții inițiale și condiții la limită dacă modelul matematic este definit într-un spațiu limitat. Un exemplu de astfel de model este modelul de conductivitate termică sau de difuzie (ecuația parabolică):

, (4.5)

unde y este un parametru de stare (temperatura sau concentrația); t - timp; x - coordonata spatiala (grosimea materialului); a este o constantă, în condiții inițiale și la limită date.

În prezent, este dificil de a numi o zonă a activității umane în care modelele și metodele de modelare nu ar fi utilizate într-o măsură sau alta. Acest lucru este valabil mai ales în domeniul managementului diverse sisteme, unde principalele procese sunt luarea deciziilor pe baza informațiilor primite.

Ideea de a reprezenta un obiect sau sistem folosind un model este așa caracter general, că este dificil de dat o clasificare completă a tuturor funcțiilor modelului. Putem da cel puțin următoarele motive pentru domeniul de aplicare al modelelor în practica inginerească:

Control obiecte complexeși sisteme (tehnice, economice, sociale etc.);

Proiectare de obiecte si sisteme tehnice;

Predicție și diagnosticare folosind un model obiect;

Crearea de instrumente de instruire și formare;

Efectuarea de experimente numerice pe un model de simulare al obiectului.

Modelare matematică este parte integrantă toate disciplinele tehnice și științifice naturale. Într-adevăr, sarcina principală a tehnologiei este să găsească, folosind un model matematic, o soluție de proiectare bună, management optim al instalațiilor, cea mai bună alocare a resurselor, plan optim de producție etc.

Modelele matematice sunt, de asemenea, puternice mijloace instrumentale rezolvarea problemelor de modelare prin simulare și predicție (prognoză) a comportamentului obiectelor modelate în diverse situații, care apar adesea nu numai în tehnologie, ci și în economie, ecologie, biologie și alte domenii ale cunoașterii. Modelele sunt utilizate pe scară largă ca instrumente de formare profesională și educație a persoanelor care trebuie să fie capabile să facă față tuturor tipurilor de contingențe înainte de a apărea o situație critică reală. Asemenea aplicații ale modelelor precum modelele la scară completă sau modelele spațiale sunt cunoscute pe scară largă. aeronave, folosit pentru instruirea astronauților, simulatoare pentru antrenamentul șoferilor, jocuri de afaceri pentru pregătirea personalului decizional.

Utilizarea modelelor face posibilă efectuarea de experimente controlate în situații în care experimentarea pe obiecte reale este practic imposibilă sau nepractică din punct de vedere economic. La experimentarea cu modelul sistem complex de multe ori putem afla mai multe despre factorii săi de interacțiune interni decât am putea învăța din experimente sistem real. Acest lucru devine posibil datorită observabilității elementelor structurale variabile ale modelului, datorită faptului că putem controla comportamentul acestuia sub diferite influențe externe și îi putem modifica cu ușurință parametrii.

Rezumând cele de mai sus, observăm că un model poate servi pentru atingerea unuia dintre cele două obiective principale: fie descriptiv, dacă modelul servește la explicarea și (sau) înțelegerea mai bine a obiectului, fie prescriptiv, atunci când modelul permite să prezică și (sau ) reproduce caracteristicile obiectului care îi determină comportamentul.

(1) Sisteme și elemente de sistem

ACS - constă dintr-un obiect de control, dispozitive de control care interacționează între ele (SAP). Un obiect de control (CO) este un dispozitiv al cărui mod de operare necesar trebuie să fie suportat de sistem. Un dispozitiv de control este un dispozitiv care influențează un obiect controlat pentru a-și menține modul de funcționare. Un sistem este o colecție de elemente care interacționează între ele. O proprietate a unui sistem diferă de setul de elemente care o compun. La analizarea și sintetizarea sistemelor se folosește o descriere matematică a sistemului de control. Există 2 moduri de împerechere. descrieri ale sistemului de control: 1) clasic - în acest caz, toate elementele sistemului sunt descrise folosind ecuații separate, fără a ține cont de relația dintre elemente. 2) sistemic - în acest caz, toate elementele sistemelor sunt considerate într-un număr finit de subsisteme și sunt considerate ținând cont de relația dintre element. Sistemul poate fi descris matematic în 3 moduri: 1) analitic - folosind diferenţial. sau liniară; 2) grafic – diagrame, grafice; 3) tabular - un grafic într-un tabel.

(2) Clasificarea tunurilor autopropulsate

Sistemele liniare sunt sisteme care sunt descrise ecuație liniară. Sistemele neliniare sunt descrise prin ecuații neliniare, adică diferenţial. Sisteme continue - o stare care este dată tuturor set continuu. Sisteme discrete – sisteme, valori ale cantităților de ieșire care există sau sunt definite la un anumit moment în timp . Sistem continuu-discret, în care valoarea de ieșire într-o anumită zonă este o valoare continuă, iar în intervalul t 1 -t 2 este o valoare discretă . Sistemele staționare sunt sisteme care sunt descrise prin ecuații cu parametri constanți (parametrii nu se modifică în timp). Non-staționar - descris prin ecuații cu parametri variabili. SSP – sisteme cu parametrii concentrați – sisteme care sunt descrise prin ecuații cu diferențe parțiale obișnuite. Unidimensional – sisteme în care cantitatea de ieșire este una . Multidimensional - au mai multe valori de ieșire . Static – fără sisteme inerțiale, de ex. constantă în timp . Dinamic - cantitatea de intrare se modifică în timp, astfel de mărimi sunt caracterizate printr-un proces dinamic . Determinist – sisteme fără influențe externe. Stochastic (probabil sau aleatoriu) - astfel de sisteme sunt caracterizate de mai multe stări și toate depind de influențe externe.

(3) Impact asupra sistemului (variabile ale sistemului de ecuații).

Acțiunea de referință sau acțiunea de intrare x(t) este acțiunea care este planificată. Acțiunea de control (U(t)) – influența este determinată de ecuația de control și influențează subiecții controlului. Impacturi perturbatoare f(t) – impact neplanificat, de ex. aleatoriu (parametri mediu inconjurator). Ieșire y(t) – controlată de o variabilă, această valoare caracterizează parametrii obiectelor de control. x(t) intern este determinat de influența unor sisteme asupra altora.

(4) Modele matematice ale sistemelor dinamice continue.

Înainte de a continua cu modelul matematic al pistoalelor autopropulsate, este necesar să îl compuneți diagrama functionala. Într-o astfel de schemă, fiecărui element al ACS îi corespunde un anumit dreptunghi cu denumirea acestui element particular. Acțiunea de intrare este furnizată sumatorului, ținând cont de procesarea erorilor, din acțiunea de intrare se obține acțiunea principală g(t). Ajunși la dispozitivul de control, generând o acțiune de control u(t) și ajungând la obiectul de control. În obiectul de control luând în considerare influență externă j(t) produce ieșirea y(t). Eroarea de control, care l(t) este trimisă la actuator, care este conceput pentru a schimba stările de dizolvare. Acest sistem este închis. Partea inferioară se numește feedback, care poate fi pozitiv sau negativ. La următoarea etapă de compilare a unui model matematic, diagrama funcțională este convertită într-o diagramă bloc, care constă și din dreptunghiuri, dar în loc să desemneze un element al sistemului, ecuația de stare sau de funcționare a acestei legături este scrisă în ea. Schema structurala este model matematic sistem de control. Ecuațiile care descriu stările variabile în timp ale unui sistem sau element sunt numite ecuații dinamice. Cel mai adesea, sistemele sunt descrise folosind ecuații diferențiale.

(5) Metoda abaterii mici.

Când studiem un sistem neliniar de ecuații, soluția poate fi obținută numai în formă pură, prin urmare, pentru a obține o soluție analitică a ecuațiilor diferențiale neliniare, se folosește liniarizarea. Linializarea este înlocuirea ecuațiilor neliniare cu ecuații liniare aproximative (metoda abaterii mici). Luați în considerare un element . Lasă procesele să aibă loc între mărimile de intrare și de ieșire, care sunt descrise printr-o ecuație diferențială neliniară de forma . Să notăm starea staționară a obiectului cu x 0, y 0 și abaterea de la a acestui stat x’ și y’. atunci se va reprezenta cantitatea de intrare: x=x 0 +x’; y+y 0 +y’. În general, mărimile de intrare și de ieșire pot fi funcții de timp, atunci mărimea de ieșire va fi reprezentată de: . În vecinătatea punctului x 0, y 0, extindem funcția F(x,y,t) într-o serie Taylor: , unde R este mulțimea de termeni ai seriei, ordinul căruia derivată este mai mare decât primul. Dacă abaterea de la valoarea de echilibru este mică, puteți obține (*), unde . În cazul în care abaterea de la starea de echilibru este 0, ecuația va arăta ca (**). Scăzând (**) din (*) obținem o ecuație diferențială liniară , care se numește ecuația în abateri. Această ecuație descrie starea obiectului de control pentru abateri mici.

(6) Metoda de rezolvare a ecuațiilor diferențiale.

1) analitic, obțineți soluția în formă explicită. Bazat această decizie puteți studia reacția unui obiect la orice influență de intrare; 2)numerică, soluția ecuației este o soluție numerică în condiții inițiale date; 3) calitative, utilizate în principal în teoria controlului și fără a avea o soluție explicită, se obțin diverse estimări calitative (timp proces de tranziție, lățime de bandă). Etapele rezolvării ecuațiilor diferențiale: 1) folosind ecuația diferențială inițială, ele compun ecuația caracteristică a sistemului; 2) găsiți rădăcinile ecuației caracteristice; 3) scrieți solutii generale ecuațiile diferențiale și folosind condițiile inițiale determină coeficienții mărimii de ieșire; 4) la soluția generală a ecuației diferențiale se adaugă o soluție particulară. Cu toate acestea, găsirea rădăcinilor ecuației caracteristice, a cărei ordine este mai mare decât gradul al treilea, nu este posibilă din punct de vedere analitic, prin urmare, pentru găsirea rădăcinilor se folosesc metode numerice, ceea ce complică studiul sistemului în ansamblu.

Sistemul poate fi discret sau continuu în intrări, ieșiri și timp, în funcție de faptul că seturile sunt discrete sau continue U, Y, T respectiv. Prin discret înțelegem o mulțime finită sau numărabilă. Prin continuu intelegem un ansamblu de obiecte pentru care un model adecvat este un segment, raza sau linie dreapta, i.e. set de numere conectate. Dacă un sistem are mai multe intrări și ieșiri, aceasta înseamnă că seturile corespunzătoare U, T se află în spații multidimensionale, adică continuitatea și discretitatea sunt înțelese componentă cu componentă.

Comoditatea unei mulțimi numerice ca model de colecții reale de obiecte constă în faptul că pe ea sunt definite în mod natural mai multe relații, formalizând relațiile care apar efectiv între obiecte reale. De exemplu, relațiile de proximitate și convergență formalizează conceptele de asemănare și asemănare a obiectelor și pot fi specificate folosind funcția de distanță (metrică) d(x, y)(De exemplu, d(x, y) = |X y|). Mulțimile numerice sunt ordonate: relația de ordine a secvenței ( x ≤ y) formalizează preferința unui obiect față de altul. În cele din urmă, operațiile corespunzătoare sunt definite pe elemente de mulțimi numerice, de exemplu, cele liniare: x + y, X y. Dacă operațiuni similare au sens și pentru obiecte reale la intrare și la ieșire, atunci apar în mod natural cerințele pentru modele (1) – (3): să fie consecvente cu aceste operații, să le salveze rezultatele. Astfel, ajungem, de exemplu, la modele liniare: y = au + b, dy/dt= da + bu etc., care sunt cele mai simple modele ale multor procese.

De regulă, discretitatea setului U presupune discretie Y. În plus, pentru sisteme statice dispare distincţia dintre timpul continuu şi cel discret. Prin urmare, clasificarea sistemelor deterministe după criteriile „static-dinamic”, „discret-continuu” include șase grupe principale, reprezentate de în tabelul 2, unde pentru fiecare grupă sunt indicate aparatele matematice de descriere a sistemelor, metodele de analiză numerică și estimarea parametrilor acestora, metodele de sinteză (optimizare), precum și domeniile tipice de aplicare.

masa 2

MODELE DE SISTEM DETERMINISTICE

Notă:U - multe intrari,Y - multe iesiri de sistem

Modele de stare ale sistemelor dinamice

Modele vedere generala

Cel mai important rol în descrierea sistemelor dinamice îl joacă conceptul de stat. O stare este un set de mărimi (vector) care determină (împreună cu influența de intrare) comportamentul viitor al sistemului.

În general, ecuațiile de stare sunt sisteme de ecuații diferențiale sau diferențiale de ordinul întâi împreună cu ecuații pentru mărimile de ieșire. Starea inițială reprezintă „memoria” trecutului a sistemului. Modelul de stare al unui sistem dinamic continu este scris sub forma

(4)

(5)

Unde u 1 , …, u m- variabile de intrare, y 1 , …, y l- variabile de ieșire, X 1 , …, x n-variabile de stare. Introducând notația vectorială, putem scrie (5) într-o formă mai compactă:

(6)

Unde , , .

Pentru modelele de stare, următorul fapt este adevărat: orice sistem dinamic neliniar poate fi reprezentat ca o conexiune de legături dinamice liniare și statice neliniare.

Chiar mai mult forma generala descrierile sistemelor dinamice sunt sisteme diferențiale singulare (algebric-diferențiale).

(7)

un caz special din care sunt sistemele implicite

(8)

Modele liniare

Adesea, în loc de (5), se folosesc MM simplificate, pe baza faptului că procesele din sistem decurg, deviând puțin de la așa-numita traiectorie de referință care satisface ecuațiile

Apoi putem scrie o aproximație model liniarizatîn abaterile de la acest regim:

(10)

Dacă modul de proiectare este constant, de ex. nu depinde de timp, atunci coeficienții din (10) nu depind nici de timp: A(t)=A, B(t)=B etc. Astfel de sisteme sunt numite staționare. Mai ales adesea în practică există sisteme staționare liniare continue descrise prin ecuații mai simple

, y = Cx. (11)

Matrici A, B, C sunt parametri ai modelului (11).

Dacă liniarizarea duce la erori mari, atunci, dacă este posibil, încearcă să aleagă un MM liniar din punct de vedere al parametrilor:

Unde A- matricea parametrilor de ordine n×N, este o funcție neliniară. Această clasă include, în special, obiectele biliniare.

Cele de mai sus se aplică și ecuațiilor sistemelor de timp discrete. Ecuații sistem discretîn cazul general au forma

, . (12)

Un analog discret al ecuațiilor liniare sistem staționar(20) sunt ecuațiile:

(13)

Alături de ecuațiile de stare, sunt de asemenea utilizate pe scară largă modelele în variabilele de intrare-ieșire și modelele descrise de funcțiile de transfer. Pentru timp continuu, ecuația intrare-ieșire are forma

A(p)y(t)=B(p)u(t),(14)

Unde p = d/dt- simbol de diferențiere în timp, , , iar în (14) întotdeauna m< n . Funcție rațională fracțională numit transmitere funcția sistemului (14) și polinomul A(λ)- a ei polinom caracteristic. Dacă ecuația (14) se obține din (11), atunci

(15)

Ele sunt valabile și în cazul în care intrarea și ieșirea sistemului (11) sunt vectori și - matrice. Folosind (15), putem arăta că înlocuind variabilele de stare din (11) cu formula , unde T- nespecială n×n matrice (det T= 0), nu duce la schimbare funcție de transfer(15). Aceasta înseamnă că tranziția inversă de la descrierea „input-output” la ecuațiile de stare (11) este ambiguă: menținând funcția de transfer, baza în spațiul de stări poate fi aleasă în diferite moduri. În practică, se folosesc mai multe metode tipice trecerea de la funcția de transfer la ecuațiile de stare. Aceste metode corespund așa-numitelor reprezentări canonice ale sistemului. Să descriem una dintre ele, conducând la un controlat reprezentare canonică. În loc de (13), se introduc două ecuații.