7 în sistem zecimal. Conversia numerelor în diferite sisteme numerice
Metode de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul.
Conversia numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul: conversia numerelor întregi.
Pentru a converti un număr întreg dintr-un sistem numeric cu baza d1 în altul cu baza d2, trebuie să împărțiți secvențial acest număr și coeficientii rezultați la baza d2 a noului sistem până când obțineți un cât mai mic decât baza d2. Ultimul cât este cea mai semnificativă cifră a unui număr din noul sistem numeric cu baza d2, iar cifrele care îl urmează sunt resturi din împărțire, scrise în ordinea inversă a primirii lor. Efectuați operații aritmetice în sistemul numeric în care este scris numărul care este tradus.
Exemplul 1. Convertiți numărul 11(10) în sistemul numeric binar.
Răspuns: 11(10)=1011(2).
Exemplul 2. Convertiți numărul 122(10) în sistemul numeric octal.
Răspuns: 122(10)=172(8).
Exemplul 3. Convertiți numărul 500(10) în sistem numeric hexazecimal.
Răspuns: 500(10)=1F4(16).
Conversia numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul: conversia fracțiilor proprii.
Pentru a converti o fracție adecvată dintr-un sistem numeric cu baza d1 într-un sistem cu baza d2, este necesar să se înmulțească secvențial fracția originală și părțile fracționale ale produselor rezultate cu baza noului sistem de numere d2. Fracția corectă a unui număr în noul sistem numeric cu baza d2 se formează sub formă de părți întregi ale produselor rezultate, începând de la primul.
Dacă translația rezultă într-o fracție sub forma unei serii infinite sau divergente, procesul poate fi finalizat când este atinsă precizia necesară.
Atunci când traduceți numere mixte, este necesar să traduceți separat părțile întregi și fracționale într-un nou sistem conform regulilor de traducere a numerelor întregi și fracțiilor proprii și apoi să combinați ambele rezultate într-un număr mixt în noul sistem de numere.
Exemplul 1. Convertiți numărul 0,625(10) în sistemul numeric binar.
Răspuns: 0,625(10)=0,101(2).
Exemplul 2. Convertiți numărul 0,6(10) în sistemul de numere octale.
Răspuns: 0,6(10)=0,463(8).
Exemplul 2. Convertiți numărul 0,7(10) în sistem numeric hexazecimal.
Răspuns: 0.7(10)=0.B333(16).
Convertiți numere binare, octale și hexazecimale în sistemul numeric zecimal.
Pentru a converti un număr din sistemul P-ary într-unul zecimal, trebuie să utilizați următoarea formulă de extindere:
anan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Exemplu 1. Convertiți numărul 101.11(2) în sistemul numeric zecimal.
Răspuns: 101,11(2)= 5,75(10) .
Exemplul 2. Convertiți numărul 57.24(8) în sistemul numeric zecimal.
Răspuns: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Exemplul 3. Convertiți numărul 7A,84(16) în sistemul numeric zecimal.
Răspuns: 7A.84(16)= 122,515625(10) .
Conversia numerelor octale și hexazecimale în sistemul numeric binar și invers.
Pentru a converti un număr din sistemul de numere octale în binar, fiecare cifră a acestui număr trebuie scrisă ca un număr binar de trei cifre (triada).
Exemplu: scrieți numărul 16.24(8) în sistemul numeric binar.
Răspuns: 16,24(8)= 1110,0101(2) .
Pentru a converti un număr binar înapoi în sistemul de numere octale, trebuie să împărțiți numărul original în triade la stânga și la dreapta punctului zecimal și să reprezentați fiecare grup cu o cifră în sistemul de numere octale. Triadele extreme incomplete sunt completate cu zerouri.
Exemplu: scrieți numărul 1110.0101(2) în sistemul de numere octale.
Răspuns: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Pentru a converti un număr din sistemul numeric hexazecimal în sistemul binar, trebuie să scrieți fiecare cifră a acestui număr ca un număr binar de patru cifre (tetradă).
Exemplu: scrieți numărul 7A,7E(16) în sistemul numeric binar. 
Răspuns: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .
Notă: zerourile de început în stânga pentru numere întregi și în dreapta pentru fracții nu sunt scrise.
Pentru a converti un număr binar înapoi în sistemul numeric hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul original în tetrade la stânga și la dreapta punctului zecimal și să reprezentați fiecare grup cu o cifră în sistemul numeric hexazecimal. Triadele extreme incomplete sunt completate cu zerouri.
Exemplu: scrieți numărul 1111010.0111111(2) în sistemul numeric hexazecimal.
Să ne uităm la unul dintre cele mai importante subiecte din informatică -. În programa școlară, se dezvăluie mai degrabă „modest”, cel mai probabil din cauza lipsei de ore alocate acestuia. Cunoștințe pe această temă, în special pe traducerea sistemelor numerice, sunt o condiție prealabilă pentru promovarea cu succes a Examenului de stat unificat și admiterea la universități din facultățile relevante. Mai jos discutăm în detaliu concepte precum sisteme de numere poziționale și nepoziționale, sunt date exemple ale acestor sisteme de numere, sunt prezentate reguli pentru conversia numerelor zecimale întregi, fracțiilor zecimale adecvate și numerelor zecimale mixte în orice alt sistem de numere, conversia numerelor din orice sistem de numere în zecimal, conversia din sistemele de numere octale și hexazecimale în numere binar sistem. Există o mulțime de probleme pe această temă la examene. Capacitatea de a le rezolva este una dintre cerințele solicitanților. În curând: pentru fiecare subiect al secțiunii, pe lângă materialul teoretic detaliat, vor fi prezentate aproape toate opțiunile posibile sarcini pentru auto-studiu. În plus, veți avea posibilitatea de a descărca complet gratuit dintr-un serviciu de găzduire de fișiere soluții detaliate gata făcute la aceste probleme, ilustrând diverse modalități de a obține răspunsul corect.
sisteme de numere poziționale.
Sisteme numerice non-poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre nu depinde de localizarea acesteia în număr.
Sistemele numerice non-poziționale includ, de exemplu, romanul, unde în loc de numere există litere latine.
| eu | 1 unu) |
| V | 5 (cinci) |
| X | 10 (zece) |
| L | 50 (cincizeci) |
| C | 100 (o sută) |
| D | 500 (cinci sute) |
| M | 1000 (mii) |
Aici litera V reprezintă 5, indiferent de locația sa. Cu toate acestea, merită menționat faptul că, deși sistemul numeric roman este un exemplu clasic de sistem de numere non-pozițional, acesta nu este complet non-pozițional, deoarece Din acesta se scade numărul mai mic din fața celui mai mare:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
sisteme de numere poziționale.
Sisteme numerice poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre depinde de localizarea acesteia în număr.
De exemplu, dacă vorbim despre sistemul numeric zecimal, atunci în numărul 700 numărul 7 înseamnă „șapte sute”, dar același număr din numărul 71 înseamnă „șapte zeci”, iar în numărul 7020 - „șapte mii” .
Fiecare sistem de numere poziționale are propria baza. Un număr natural mai mare sau egal cu doi este ales ca bază. Este egal cu numărul de cifre utilizate într-un anumit sistem de numere.
- De exemplu:
- Binar- sistem de numere pozițional cu baza 2.
- Cuaternar- sistem de numere pozițional cu baza 4.
- De cinci ori- sistem de numere pozițional cu baza 5.
- Octal- sistem de numere pozițional cu baza 8.
- hexazecimal- sistem de numere pozițional cu baza 16.
Pentru a rezolva cu succes probleme la tema „Sisteme numerice”, elevul trebuie să cunoască pe de rost corespondența numerelor binare, zecimale, octale și hexazecimale până la 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Este util să știm cum se obțin numerele în aceste sisteme numerice. Puteți ghici că în octal, hexazecimal, ternar și altele sisteme de numere poziționale totul se întâmplă în același mod ca sistemul zecimal cu care suntem obișnuiți:
Se adaugă unul la număr și se obține un nou număr. Dacă locul unităților devine egal cu baza sistemului numeric, creștem numărul zecilor cu 1 etc.
Această „tranziție a unuia” este ceea ce îi sperie pe majoritatea studenților. De fapt, totul este destul de simplu. Tranziția are loc dacă cifra unităților devine egală cu baza numerelor, creștem numărul zecilor cu 1. Mulți, amintindu-și vechiul sistem zecimal bun, sunt instantaneu confuzi cu privire la cifrele din această tranziție, deoarece zecimale și, de exemplu, zecile binare sunt lucruri diferite.
Prin urmare, elevii plini de resurse își dezvoltă „propriile metode” (în mod surprinzător... lucrând) atunci când completează, de exemplu, tabele de adevăr, primele coloane (valori variabile) ale cărora sunt, de fapt, umplute cu numere binare în ordine crescătoare.
De exemplu, să ne uităm la introducerea numerelor sistem octal: Adăugăm 1 la primul număr (0), obținem 1. Apoi adăugăm 1 la 1, obținem 2 etc. la 7. Dacă adunăm unu la 7, obținem un număr egal cu baza sistemului numeric, adică. 8. Apoi trebuie să măriți locul zecilor cu unul (obținem zece octal - 10). Urmează, evident, numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Reguli pentru conversia de la un sistem numeric la altul.
1 Conversia numerelor zecimale întregi în orice alt sistem de numere.
Numărul trebuie împărțit la noua bază a sistemului de numere. Primul rest al diviziunii este prima cifră minoră a noului număr. Dacă câtul împărțirii este mai mic sau egal cu noua bază, atunci acesta (coeficientul) trebuie împărțit din nou la noua bază. Împărțirea trebuie continuată până când obținem un coeficient mai mic decât noua bază. Aceasta este cea mai mare cifră a noului număr (trebuie să vă amintiți că, de exemplu, în sistemul hexazecimal, după 9 există litere, adică dacă restul este 11, trebuie să îl scrieți ca B).
Exemplu („împărțire după colț”): Să transformăm numărul 173 10 în sistemul numeric octal.
Astfel, 173 10 =255 8
2 Conversia fracțiilor zecimale regulate în orice alt sistem numeric.
Numărul trebuie înmulțit cu noul sistem de numere de bază. Cifra care a devenit parte întreagă este cea mai mare cifră a părții fracționale a noului număr. pentru a obține următoarea cifră, partea fracțională a produsului rezultat trebuie din nou înmulțită cu o nouă bază a sistemului numeric până când are loc tranziția la întreaga parte. Continuăm înmulțirea până când partea fracțională este egală cu zero, sau până când ajungem la precizia specificată în problemă („... calculați cu o precizie de, de exemplu, două zecimale”).
Exemplu: Să transformăm numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.
Rezultatul a fost deja primit!
Sisteme numerice
Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe, pe care îl folosim în viața de zi cu zi, este pozițional, dar sistemul de numere roman nu este. În sistemele de numere poziționale, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:
Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Numărul 10 determină sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.
Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:
Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.
Câteva cuvinte despre sistemele numerice Un număr în sistemul numeric zecimal este format din multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din multe cifre. (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul numeric binar - dintr-un set de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - dintr-un set de cifre (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11, 12,13,14,15 În tabelul Tab.1 numerele sunt prezentate în diferite sisteme numerice.
| tabelul 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notaţie | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi convertiți din sistemul numeric zecimal în sistemul numeric necesar.
Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal
Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.
Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:
Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din sistemul numeric hexazecimal în SS zecimal. Soluţie:
Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15.
Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric
Pentru a converti numerele din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să convertiți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.
Partea întreagă a unui număr este convertită din SS zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - la 2, pentru SS 8-ari - la 8, pentru 16 -ary SS - cu 16 etc. ) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC.
Exemplu 4 . Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca urmare, construind un număr din resturile de împărțire (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare putem scrie:
159 10 =10011111 2 .
Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Când convertiți un număr dintr-un SS zecimal într-un SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din resturile de diviziune (de la dreapta la stânga) obținem un număr în SS octal: 1147 (Vezi fig. 2). Prin urmare putem scrie:
615 10 =1147 8 .
Exemplu 6 . Să convertim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, resturile sunt 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 la D. Prin urmare, numărul nostru numărul hexazecimal este 4CD9.
Pentru a converti fracții zecimale regulate (un număr real cu o parte întreagă zero) într-un sistem numeric cu baza s, este necesar să înmulțim succesiv acest număr cu s până când partea fracțională conține un zero pur sau obținem numărul necesar de cifre . Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).
Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.
Exemplu 7 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă zero, atunci se scrie un zero în stânga acestuia. Procesul de înmulțire continuă până când partea fracțională ajunge la zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .
Prin urmare putem scrie:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemplu 8 . Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, rezultatul este 0. În consecință, se obține următorul rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Exemplu 9 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem:
0,214 10 = 0,36C8B4 16 .
Exemplu 10 . Să convertim numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
A primit:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemplu 11 . Să convertim numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemplu 12 . Să convertim numărul 19673,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem.
1. Numărarea ordinală în diverse sisteme numerice.
În viața modernă, folosim sisteme de numere poziționale, adică sisteme în care numărul notat cu o cifră depinde de poziția cifrei în notația numărului. Prin urmare, în viitor vom vorbi doar despre ele, omițând termenul „pozițional”.
Pentru a învăța cum să convertim numerele dintr-un sistem în altul, vom înțelege cum are loc înregistrarea secvențială a numerelor folosind exemplul sistemului zecimal.
Deoarece avem un sistem de numere zecimal, avem 10 simboluri (cifre) pentru a construi numere. Începem să numărăm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numerele s-au terminat. Creștem adâncimea de biți a numărului și resetam cifra de ordin inferioară: 10. Apoi creștem din nou cifra de ordin inferioară până când toate cifrele dispar: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Creștem cifra de ordine superioară cu 1 și resetam cifra de ordin inferioară: 20. Când folosim toate cifrele pentru ambele cifre (obținem numărul 99), creștem din nou capacitatea de cifre a numărului și resetam cifre existente: 100. Și așa mai departe.
Să încercăm să facem același lucru în sistemele 2, 3 și 5 (introducem notația pentru al 2-lea sistem, pentru al 3-lea etc.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Dacă sistemul numeric are o bază mai mare de 10, atunci va trebui să introducem caractere suplimentare se obișnuiește să introduceți litere din alfabetul latin. De exemplu, pentru sistemul cu 12 cifre, pe lângă zece cifre, avem nevoie de două litere ( și ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Traducerea din sistemul numeric zecimal în oricare altul.
Pentru a converti un număr zecimal întreg pozitiv într-un sistem numeric cu o bază diferită, trebuie să împărțiți acest număr la bază. Împărțiți din nou câtul rezultat la bază și mai departe până când câtul este mai mic decât baza. Ca urmare, notează pe un rând ultimul coeficient și toate resturile, începând de la ultimul.
Exemplul 1. Să convertim numărul zecimal 46 în sistemul numeric binar.
Exemplul 2. Să convertim numărul zecimal 672 în sistemul de numere octale.
Exemplul 3. Să convertim numărul zecimal 934 în sistemul numeric hexazecimal.
3. Conversie din orice sistem numeric în zecimal.
Pentru a învăța cum să convertiți numerele din orice alt sistem în zecimal, să analizăm notația obișnuită a unui număr zecimal.
De exemplu, numărul zecimal 325 este de 5 unități, 2 zeci și 3 sute, adică.
Situația este exact aceeași în alte sisteme de numere, doar că vom înmulți nu cu 10, 100 etc., ci cu puterile bazei sistemului de numere. De exemplu, să luăm numărul 1201 în sistemul numeric ternar. Să numerotăm cifrele de la dreapta la stânga începând de la zero și să ne imaginăm numărul ca suma produselor unei cifre și trei la puterea cifrei numărului:
Aceasta este notația zecimală a numărului nostru, adică
Exemplul 4. Să convertim numărul octal 511 în sistemul numeric zecimal.
Exemplul 5. Să convertim numărul hexazecimal 1151 în sistemul numeric zecimal.
4. Conversia din sistemul binar la sistemul cu baza „puterea a doi” (4, 8, 16 etc.).
Pentru a converti un număr binar într-un număr cu o putere de două baze, este necesar să împărțiți secvența binară în grupuri în funcție de numărul de cifre egal cu puterea de la dreapta la stânga și să înlocuiți fiecare grup cu cifra corespunzătoare a noii sistem de numere.
De exemplu, să convertim numărul binar 1100001111010110 în sistemul octal. Pentru a face acest lucru, îl vom împărți în grupuri de 3 caractere începând din dreapta (din ), apoi vom folosi tabelul de corespondență și vom înlocui fiecare grup cu un număr nou:
Am învățat cum să construim un tabel de corespondență la pasul 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Acestea.
Exemplul 6. Să convertim numărul binar 1100001111010110 în hexazecimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Conversia dintr-un sistem cu „puterea a doi” de bază (4, 8, 16 etc.) în binar.
Această traducere este similară cu cea anterioară, făcută în sens invers: înlocuim fiecare cifră cu un grup de cifre în sistemul binar din tabelul de corespondență.
Exemplul 7. Să convertim numărul hexazecimal C3A6 în sistemul de numere binar.
Pentru a face acest lucru, înlocuiți fiecare cifră a numărului cu un grup de 4 cifre (din moment ce ) din tabelul de corespondență, completând grupul cu zerouri la început, dacă este necesar:
Regulă. Pentru a converti un număr dintr-un sistem numeric în altul, trebuie să împărțiți numărul inițial la baza noului sistem numeric. Împărțiți din nou câtul rezultat la baza noului sistem de numere și continuați împărțirea până atunci. până când câtul este mai mic decât baza noului sistem numeric. Resturile de împărțire rezultate, începând de la ultima, se scriu în ordine inversă. Aceasta va fi înregistrarea numărului în noul sistem de numere.
Exemplu. Convertiți numărul 135 din SS de 10 cifre în sisteme de numere cu 2 cifre, 8 cifre și hexazecimale.
| 1) | 2) | 3) | ||||||||||||||
Sarcina 2.
Convertiți următoarele numere în SS binar, octal și hexazecimal: 1275,973, 172
Conversia inversă a numerelor din orice SS în zecimală.
1) Pentru a converti un număr din orice SS în SS original (traducere inversă), trebuie să înmulțiți fiecare cifră a acestui număr cu baza SS inițială. pornind de la cifra zero de la dreapta la stânga și adăugați produsele. Dacă convertiți o fracție zecimală, ar trebui să aplicați regula pentru scrierea părților întregi și fracționale ale numărului.
2) Translația inversă a numerelor se efectuează conform formulei:
unde A este un număr dat,
g – baza SS a unui număr dat (=2 pentru 2-ary SS, pentru alte SS - similare),
m – numărul de cifre din partea întreagă a numărului.
n – numărul de cifre din partea fracțională a numărului,
a – valoarea cifrelor unui număr dat (partea fracțională a numărului este evidențiată cu albastru).
110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10
66 8 =6*8 1 +6*8 0 =48+6=54 10 9A 16 =9*16 1 +10*16 0 =144+10=154 10
13,4 8 =1*8 1 +3*8 0 +4*8 -1 =8+3+0,5=11,5 10 (acest număr este o fracție zecimală)
Sarcina 3.
Convertiți următoarele numere în SS zecimal:
101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2
125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8
A19BA 16 =2585726… 10 16A3 16 2BAFD 16
Translația numerelor cu o bază care este puterea lui 2 și translația inversă. Aceste sisteme includ sisteme de numere binare, octale și hexazecimale.
Regulă. Convertiți din SS binar în SS octal. Numărul binar este împărțit în grupuri de 3 cifre de la sfârșit (de la dreapta la stânga) și fiecare grup este convertit într-un număr într-un nou SS
10.000.101 2 =205 8
111.000.101.100 2 =7054 8
1.011.001.101 2 =1315 8
Regulă. Pentru conversia inversă, fiecare cifră octală este scrisă ca o triadă.
Regulă. De la SS binar la SS hexazecimal: similar, dar separat câte 4 cifre
0110.0110.1011 2 =66B 16
1011.1111.0111 2 =BF7 16
10.1010.0111.0001 2 =2A71 16
Regulă. Pentru conversia inversă, fiecare cifră hexazecimală este scrisă ca o tetradă.
Traducerea fracțiilor proprii și improprii în diferite SS. Dacă trebuie să convertiți o fracție, trebuie mai întâi să o transformați într-o zecimală și apoi să aplicați regulile de conversie a fracțiilor zecimale.
Regulă. Conversia fracțiilor zecimale mai mici de unu (fracții proprii).
1) este necesară separarea părții fracționale cu o linie verticală;
2) înmulțiți partea fracțională pe baza noului sistem de numere;
3) scrieți rezultatul strict sub numărul inițial, începând cu cifra cea mai puțin semnificativă; dacă obțineți un transfer la o parte întreagă, atunci scrieți-l în stânga liniei;
4) înmulțirea părții fracționale se efectuează până când se obține un număr cu precizia specificată sau nu există 0 în dreapta liniei.
0,728 10 =0,564 8
Sarcina 4. Convertiți următoarele fracții proprii din SS zecimal în SS binar, octal, hexazecimal: .
