Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul online. Sisteme numerice. Transfer de la un sistem la altul

Operațiile aritmetice în sistemele numerice poziționale sunt efectuate folosind un singur algoritm. Astfel, adăugarea numerelor binare are loc conform algoritmului clasic de „coloană” cu transferul unui număr care este multiplu de doi câte unul la următoarea cifră.

Să luăm în considerare acest algoritm folosind exemplul a două numere binare 1010101 2 și 110111 2:

Rezultatul adunării arată ca 10001100 2. Să verificăm rezultatul adunării transformând toate numerele în sistem zecimal notaţie:

1010101 2 =85 10 , 110111 2 =55 10 , 10001100 2 =140 10 , 85 10 +55 10 =140 10 .

Sistemul binar, care stă la baza aritmeticii computerizate, este foarte greoaie și incomod pentru uz uman. Prin urmare, programatorii folosesc doi multipli ai sistemului numeric binar: octal și hexazecimal. În cazul sistemului hexazecimal, cifrele arabe lipsesc și primele șase majuscule ale alfabetului latin sunt folosite ca numere. Sunt plasate exemple de scriere a numerelor naturale de la 1 la 16 în patru sisteme numerice masa 2.

Tabelul 2. Exemple de scriere a numerelor naturale de la 1 la 16

în patru sisteme numerice

Din Tabelele 2 Se poate observa că în sistemul binar, înregistrarea numerelor celui de-al doilea opt (de la 8 la 15) diferă de înregistrarea primelor opt (de la 0 la 7) prin prezența unei unități în a patra (dreapta). ) cifră. Algoritmul pentru conversia numerelor binare în numere octale „prin triade” se bazează pe acesta. Pentru a aplica acest algoritm, trebuie să împărțiți numărul binar în triple de cifre (numărând din dreapta) și să scrieți o cifră octală în loc de fiecare triplă:

10101101 2 → 10 101 101 → 255 8 .

Triplul din stânga poate fi incomplet (ca în exemplu, pentru a obține triple complete, puteți adăuga zerouri lipsă în stânga);

Să ne asigurăm că algoritmul este corect:

10101101 2 → 1*2 7 +1*2 5 +1*2 3 +2*2 1 +1*2 0 =173 10 ;

255 8 →2*2 6 +5*2 3 +5*2 0 =173 10 .

Pentru a converti numerele din octal în binar, se folosește algoritmul invers: cifre octale sunt înlocuite cu trei cifre binare(dacă este necesar, zerourile lipsă sunt adăugate în stânga):

325 8 → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101 2 .

Pentru a converti numerele din binar în hexazecimal, se folosește algoritmul „prin tetradă”. Șirul de cifre binare este împărțit în cvadruple, iar cifrele hexazecimale sunt scrise în schimb:

10101101 2 → 1010 1101 → AD 16.

Funcționează în același mod algoritm invers: cifrele hexazecimale sunt înlocuite cu cifre binare cvadruple.

Este mai ușor să convertiți de la octal la hexazecimal și înapoi folosind sistemul binar:

D5 16 → D 5 →1101 0101 → 11010101 2 → 11 010 101 → 325 8 .

Când efectuați sarcini de adăugare de numere din diferite sisteme de numere, acestea trebuie convertite într-un singur sistem de numere. Cel mai bine este să utilizați sistemul în care ar trebui să fie prezentat rezultatul.

Sarcina 14. (Task A6 versiunea demo 2004)

Calculați valoarea sumei în notație zecimală:

10 2 +10 8 +10 16 = ? 10

Soluţie.

Să convertim toate numerele în notație zecimală:

10 2 +10 8 +10 16 = (1*2 1 +0*2 0) + (1*8 1 +0*8 0) + (1*16 1 +0*16 0) = 2+8+16=26 10 .

Răspuns: 26.

Sarcina 15.

Aflați suma x+y dacă x=1110101 2 , y=1011011 2 . Exprimați răspunsul în notație octală.

Soluţie.

Să găsim suma: 1110101 2 + 1011011 2:

1110101 2 + 1011011 2 = 11010000 2

Să convertim numărul rezultat din sistemul numeric binar în octal:

11 010 000 → 320 8 .

Răspuns: 320.

Sarcina 16.(Sarcina B1 a demonstrației din 2004)

Într-un sistem numeric cu o anumită bază, numărul 12 este scris ca 110. Găsiți această bază.

Soluţie.

Să notăm baza necesară cu n. Pe baza regulilor de scriere a numerelor în notații poziționale 110 n =n 2 +n 1 +0. Să facem o ecuație: n 2 +n=12, găsim rădăcinile: n 1 =-4, n 2 =3. Rădăcina n 1 = -4 nu este potrivită, deoarece baza sistemului numeric, prin definiție, este un număr natural mai mare decât unu. Să verificăm dacă rădăcina n=3 este potrivită:

110 3 =1*3 2 +1*3 1 +0=9+3=12 10

Răspuns: 3.

Exercițiu17 .

In clasa 1111 sunt 2 fete si 1100 2 baieti. Câți elevi sunt în clasă?

Soluţie.

1111 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 →8+4+2+1=15 10 .

1100 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 →8+4=12 10

15 10 +12 10 =27 10

Răspuns: Sunt 27 de elevi în clasă.

Exercițiu18 .

În grădină sunt 100 de pomi fructiferi, dintre care 33 sunt meri, 22 sunt peri, 16 sunt pruni și 5 sunt cireși. În ce sistem numeric sunt numărați copacii?

Soluţie.

100 x = 33 x + 22 x + 16 x + 5 x

1*x 2 =3*x 1 +3*x 0 +2*x 1 +2*x 0 + 1*x 1 +6*x 0 +5*x 0

x 2 =3x+3+2x+2+ 1x+6+5

D=b2 -4ac=36+4*16=36+64=100

x 1,2 =
= (6±10)/2

x 1 = - 2 – nu satisface sensul problemei,

x 2 = 8 – baza sistemului numeric dorit.

Răspuns: arborii sunt numărați în sistem de numere octale.

Exercițiu19 .

Separați prin virgule, în ordine crescătoare, indicați toate bazele sistemelor de numere în care numărul 17 se termină cu 2.

Soluţie.

Ultima cifră dintr-un număr este restul când numărul este împărțit la baza sistemului de numere. Deoarece 17-2=15, bazele necesare ale sistemelor numerice vor fi divizori ai lui 15, aceștia sunt: ​​3, 5, 15.

Să verificăm răspunsul nostru reprezentând numărul 17 în sistemele numerice corespunzătoare:

Calculatorul vă permite să convertiți numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Baza sistemului de numere nu poate fi mai mică de 2 și mai mare de 36 (10 cifre și 26 litere latine la urma urmelor). Lungimea numerelor nu trebuie să depășească 30 de caractere. A intra numere fracționare utilizați simbolul. sau, . Pentru a converti un număr dintr-un sistem în altul, introduceți numărul original în primul câmp, radix sistem original numărul în al doilea și baza sistemului numeric în care doriți să convertiți numărul în al treilea câmp, apoi faceți clic pe butonul „Obțineți înregistrare”.

Număr original scris în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3 6 -al-lea sistem de numere.

Vreau să scriu un număr 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -al-lea sistem de numere.

Obțineți intrare

Traduceri finalizate: 1363703

Sisteme numerice

Sistemele numerice sunt împărțite în două tipuri: poziționalȘi nu pozițional. Folosim sistemul arab, este pozițional, dar există și sistemul roman - nu este pozițional. În sistemele poziționale, poziția unei cifre într-un număr determină în mod unic valoarea acelui număr. Acest lucru este ușor de înțeles luând în considerare un număr ca exemplu.

Exemplul 1. Să luăm numărul 5921 în sistemul numeric zecimal. Să numerotăm numărul de la dreapta la stânga începând de la zero:

Numărul 5921 se poate scrie sub următoarea formă: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Numărul 10 este o caracteristică care definește sistemul numeric. Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Exemplul 2. Luați în considerare realul numar decimal 1234.567. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la punctul zecimal la stânga și la dreapta:

Numărul 1234.567 se poate scrie sub următoarea formă: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Cel mai într-un mod simplu convertirea unui număr dintr-un sistem numeric în altul înseamnă mai întâi convertirea numărului într-un sistem numeric zecimal, iar apoi rezultatul rezultat în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Pentru a converti un număr din orice sistem numeric în zecimal, este suficient să îi numerotați cifrele, începând cu zero (cifra din stânga punctului zecimal) în mod similar cu exemplele 1 sau 2. Să găsim suma produselor cifrelor a numărului de baza sistemului numeric la puterea poziției acestei cifre:

1. Convertiți numărul 1001101.1101 2 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Răspuns: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convertiți numărul E8F.2D 16 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Răspuns: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem numeric, părțile întregi și fracționale ale numărului trebuie convertite separat.

Conversia unei părți întregi a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

O parte întreagă este convertită dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a unui număr la baza sistemului de numere până când se obține un rest întreg care este mai mic decât baza sistemului de numere. Rezultatul traducerii va fi o înregistrare a restului, începând cu ultima.

3. Convertiți numărul 273 10 în sistemul numeric octal.
Soluţie: 273 / 8 = 34 și restul 1. 34 / 8 = 4 și restul 2. 4 este mai mic decât 8, deci calculul este complet. Înregistrarea din solduri va arăta astfel: 421
Examinare: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultatul este același. Aceasta înseamnă că traducerea a fost făcută corect.
Răspuns: 273 10 = 421 8

Să luăm în considerare translația fracțiilor zecimale regulate în diferite sisteme numerice.

Conversia părții fracționale a unui număr din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Amintiți-vă că se numește o fracție zecimală adecvată numar real cu parte întreagă zero. Pentru a converti un astfel de număr într-un sistem numeric cu baza N, trebuie să înmulțiți succesiv numărul cu N până când partea fracțională ajunge la zero sau se obține numărul necesar de cifre. Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă nu este luată în considerare în continuare, deoarece este introdusă succesiv în rezultat.

4. Convertiți numărul 0,125 10 în sistemul numeric binar.
Soluţie: 0,125·2 = 0,25 (0 este partea întreagă, care va deveni prima cifră a rezultatului), 0,25·2 = 0,5 (0 este a doua cifră a rezultatului), 0,5·2 = 1,0 (1 este a treia cifră a rezultatului și, deoarece partea fracțională este zero, atunci translația este finalizată).
Răspuns: 0.125 10 = 0.001 2

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este parte importantă aritmetica masinii. Să luăm în considerare regulile de bază ale traducerii.

1. Pentru traducere număr binarîn zecimală este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor unui număr și puterea corespunzătoare a lui 2, și să îl calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:

Tabelul 4. Puterile numărului 2

Exemplu.

2. Pentru a converti un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să îl calculați conform regulilor zecimale aritmetic:

Când traduceți, este convenabil să folosiți tabelul puterilor opt:

Tabelul 5. Puterile numărului 8

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

3. Pentru a converti un număr hexazecimal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 16, și să îl calculați conform regulile de aritmetică zecimală:

Când traduceți, este convenabil de utilizat blitz-ul puterilor numărului 16:

Tabelul 6. Puterile numărului 16

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

4. Pentru a converti un număr zecimal în sistem binar, acesta trebuie împărțit succesiv la 2 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 1 Un număr din sistemul binar este scris ca o secvență a rezultatului ultimei diviziuni și a resturilor din împărțirea în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric binar.

5. Pentru a converti un număr zecimal în sistem octal trebuie împărțit succesiv la 8 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 7. Un număr în sistemul octal se scrie ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și resturile divizării în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul de numere octale.

6. Pentru a converti un număr zecimal în sistem hexazecimal trebuie împărțit succesiv la 16 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 15. Un număr în hexazecimal se scrie ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei împărțiri și resturile împărțirii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric hexazecimal.

Întâlnim sistemul de numere binar când studiem discipline de calculator. La urma urmei, pe baza acestui sistem sunt construite procesorul și unele tipuri de criptare. Există algoritmi speciali pentru scrierea unui număr zecimal în sistemul binar și invers. Dacă cunoașteți principiul construirii unui sistem, nu va fi dificil să operați în el.

Principiul construirii unui sistem de zerouri si unu

Sistemul de numere binare este construit folosind două cifre: zero și unu. De ce exact aceste numere? Acest lucru se datorează principiului construcției semnalelor care sunt utilizate în procesor. La cel mai scăzut nivel, semnalul ia doar două valori: fals și adevărat. Prin urmare, era obișnuit să se desemneze absența unui semnal, „fals”, cu zero, iar prezența acestuia, „adevărat”, cu unu. Această combinație este ușor de implementat din punct de vedere tehnic. Numerele din sistemul binar sunt formate în același mod ca și în sistemul zecimal. Când o cifră atinge limita superioară, este resetată la zero și se adaugă o nouă cifră. Acest principiu este folosit pentru a trece printr-un zece în sistemul zecimal. Astfel, numerele sunt formate din combinații de zerouri și unu, iar această combinație se numește „sistem de numere binar”.

Cum se scrie un număr binar ca număr zecimal?

Există servicii online care convertesc numerele în binare și invers, dar este mai bine să poți să o faci singur. Când este tradus, sistemul binar este notat cu indicele 2, de exemplu, 101 2. Fiecare număr din orice sistem poate fi reprezentat ca o sumă de numere, de exemplu: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - în sistemul zecimal. Numărul este reprezentat și în binar. Să luăm un număr arbitrar 101 și să îl luăm în considerare. Are 3 cifre, așa că aranjam numărul astfel: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, unde indicele 10 denotă sistemul zecimal.

Cum se scrie un număr prim în binar?

Este foarte ușor de convertit la sistemul de numere binar împărțind numărul la doi. Este necesar să se împartă până când este posibil să o completezi complet. De exemplu, luați numărul 871. Începem să împărțim, asigurându-ne că notăm restul:

871:2=435 (restul 1)

435:2=217 (restul 1)

217:2=108 (restul 1)

Răspunsul este scris pe baza resturilor rezultate în direcția de la sfârșit la început: 871 10 =101100111 2. Puteți verifica corectitudinea calculelor folosind traducerea inversă descrisă mai devreme.

De ce trebuie să cunoașteți regulile de traducere?

Sistemul de numere binare este utilizat în majoritatea disciplinelor legate de electronica microprocesorului, codare, transmisie și criptare a datelor și în diverse domenii ale programarii. Cunoașterea elementelor de bază ale traducerii de la orice sistem în binar îl va ajuta pe programator să dezvolte diverse microcircuite și să controleze funcționarea procesorului și a altor sisteme similare în mod programatic. Sistemul de numere binare este necesar și pentru implementarea metodelor de transmitere a pachetelor de date pe canale criptate și crearea de proiecte software client-server pe baza acestora. ÎN curs şcolarÎn informatică, elementele de bază ale traducerii în sistemul binar și invers sunt materialul de bază pentru studierea programării în viitor și crearea de programe simple.

1. Numărarea ordinală în diverse sisteme Socoteala

ÎN viața modernă folosim sisteme de pozitionare notație, adică sisteme în care numărul notat cu o cifră depinde de poziția cifrei în notația numărului. Prin urmare, în viitor vom vorbi doar despre ele, omițând termenul „pozițional”.

Pentru a învăța cum să convertim numerele dintr-un sistem în altul, vom înțelege cum are loc înregistrarea secvențială a numerelor folosind exemplul sistemului zecimal.

Deoarece avem un sistem de numere zecimal, avem 10 simboluri (cifre) pentru a construi numere. Începem să numărăm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numerele s-au terminat. Creștem adâncimea de biți a numărului și resetam cifra de ordin inferioară: 10. Apoi creștem din nou cifra de ordin inferioară până când toate cifrele dispar: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Creștem cifra de ordine superioară cu 1 și resetam cifra de ordin inferioară: 20. Când folosim toate cifrele pentru ambele cifre (obținem numărul 99), creștem din nou capacitatea de cifre a numărului și resetam cifre existente: 100. Și așa mai departe.

Să încercăm să facem același lucru în sistemele 2, 3 și 5 (introducem notația pentru al 2-lea sistem, pentru al 3-lea etc.):

Dacă sistemul numeric are o bază mai mare de 10, atunci va trebui să introducem caractere suplimentare se obișnuiește să introduceți litere din alfabetul latin. De exemplu, pentru sistemul cu 12 cifre, pe lângă zece cifre, avem nevoie de două litere ( și ):

2. Conversia din sistemul numeric zecimal în oricare altul.

Pentru a converti un număr zecimal întreg pozitiv într-un sistem numeric cu o bază diferită, trebuie să împărțiți acest număr la bază. Împărțiți din nou câtul rezultat la bază și mai departe până când câtul este mai mic decât baza. Ca urmare, notează pe un rând ultimul coeficient și toate resturile, începând de la ultimul.

Exemplul 1. Să convertim numărul zecimal 46 în sistemul numeric binar.

Exemplul 2. Să convertim numărul zecimal 672 în sistemul de numere octale.

Exemplul 3. Să convertim numărul zecimal 934 în sistemul numeric hexazecimal.

3. Conversie din orice sistem numeric în zecimal.

Pentru a învăța cum să convertiți numerele din orice alt sistem în zecimal, să analizăm notația obișnuită pentru un număr zecimal.
De exemplu, numărul zecimal 325 este de 5 unități, 2 zeci și 3 sute, adică.

Situația este exact aceeași în alte sisteme de numere, doar că vom înmulți nu cu 10, 100 etc., ci cu puterile bazei sistemului de numere. De exemplu, să luăm numărul 1201 în sistemul numeric ternar. Să numerotăm cifrele de la dreapta la stânga începând de la zero și să ne imaginăm numărul ca fiind suma produselor unei cifre și trei la puterea cifrei numărului:

Aceasta este notația zecimală a numărului nostru, adică

Exemplul 4. Să trecem la sistemul numeric zecimal număr octal 511.

Exemplul 5. Să trecem la sistemul numeric zecimal număr hexazecimal 1151.

4. Conversia de la sistemul binar la sistemul cu baza „puterea a doi” (4, 8, 16 etc.).

Pentru a converti un număr binar într-un număr cu baza „puterii a doi”, este necesar să împărțiți secvența binară în grupuri în funcție de numărul de cifre egal cu puterea de la dreapta la stânga și să înlocuiți fiecare grup cu cifra corespunzătoare. sistem nou Socoteala

De exemplu, să convertim numărul binar 1100001111010110 în sistemul octal. Pentru a face acest lucru, îl vom împărți în grupuri de 3 caractere începând din dreapta (din ), apoi vom folosi tabelul de corespondență și vom înlocui fiecare grup cu un număr nou:

Am învățat cum să construim un tabel de corespondență la pasul 1.

Acestea.

Exemplul 6. Să convertim numărul binar 1100001111010110 în hexazecimal.

5. Conversia dintr-un sistem cu „puterea a doi” de bază (4, 8, 16 etc.) în binar.

Această traducere este similară cu cea anterioară, realizată în reversul: Înlocuim fiecare cifră cu un grup de cifre binare din tabelul de căutare.

Exemplul 7. Să convertim numărul hexazecimal C3A6 în sistemul de numere binar.

Pentru a face acest lucru, înlocuiți fiecare cifră a numărului cu un grup de 4 cifre (din moment ce ) din tabelul de corespondență, completând grupul cu zerouri la început, dacă este necesar: