Cum să găsiți valorile unei expresii pentru a. Expresii cu puteri. Modalități raționale de a calcula valorile expresiilor

Acest articol discută cum să găsiți valorile expresiilor matematice. Să începem cu expresii numerice simple și apoi să luăm în considerare cazurile pe măsură ce complexitatea lor crește. La sfârșit dăm o expresie care conține denumiri de litere, paranteze, rădăcini, speciale semne matematice, grade, funcții etc. Conform tradiției, vom oferi întregii teorii exemple abundente și detaliate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cum se află valoarea unei expresii numerice?

Expresiile numerice, printre altele, ajută la descrierea stării unei probleme în limbajul matematic. Deloc expresii matematice poate fi fie foarte simplu, format dintr-o pereche de numere și simboluri aritmetice, fie foarte complex, care conține funcții, puteri, rădăcini, paranteze etc. Ca parte a unei sarcini, este adesea necesar să găsiți sensul unei anumite expresii. Cum se face acest lucru va fi discutat mai jos.

Cele mai simple cazuri

Acestea sunt cazurile în care expresia nu conține decât numere și operații aritmetice. Pentru a găsi cu succes valorile unor astfel de expresii, veți avea nevoie de cunoștințe despre ordinea efectuării operațiilor aritmetice fără paranteze, precum și de capacitatea de a efectua operații cu numere diferite.

Dacă expresia conține doar numere și semne aritmetice „+”, „·”, „-”, „÷”, atunci acțiunile sunt efectuate de la stânga la dreapta în următoarea comandă: Mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să dăm exemple.

Exemplul 1: valoarea unei expresii numerice

Trebuie să găsiți valorile expresiei 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Să facem mai întâi înmulțirea și împărțirea. Primim:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Acum efectuăm scăderea și obținem rezultatul final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplul 2: valoarea unei expresii numerice

Să calculăm: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Mai întâi efectuăm conversia fracțiilor, împărțirea și înmulțirea:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Acum să facem niște adunări și scăderi. Să grupăm fracțiile și să le aducem la un numitor comun:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Valoarea necesară a fost găsită.

Expresii cu paranteze

Dacă o expresie conține paranteze, acestea definesc ordinea operațiilor în expresia respectivă. Acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi, apoi toate celelalte. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplul 3: valoarea unei expresii numerice

Să găsim valoarea expresiei 0,5 · (0,76 - 0,06).

Expresia conține paranteze, așa că mai întâi efectuăm operația de scădere în paranteze și abia apoi înmulțirea.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Sensul expresiilor care conțin paranteze în paranteze se găsește după același principiu.

Exemplul 4: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Vom efectua acțiuni începând de la cele mai interioare paranteze, trecând la cele exterioare.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Când găsiți semnificațiile expresiilor cu paranteze, principalul lucru este să urmăriți succesiunea acțiunilor.

Expresii cu rădăcini

Expresiile matematice ale căror valori trebuie să le găsim pot conține semne rădăcină. Mai mult decât atât, expresia în sine poate fi sub semnul rădăcinii. Ce să faci în acest caz? Mai întâi trebuie să găsiți valoarea expresiei sub rădăcină și apoi să extrageți rădăcina din numărul obținut ca rezultat. Dacă este posibil, este mai bine să scăpați de rădăcinile din expresiile numerice, înlocuind din cu valori numerice.

Exemplul 5: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei cu rădăcini - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Mai întâi, calculăm expresiile radicale.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Acum puteți calcula valoarea întregii expresii.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Adesea, găsirea sensului unei expresii cu rădăcini necesită adesea mai întâi convertirea expresiei originale. Să explicăm acest lucru cu încă un exemplu.

Exemplul 6: Valoarea unei expresii numerice

Ce este 3 + 1 3 - 1 - 1

După cum puteți vedea, nu avem posibilitatea de a înlocui rădăcina cu o valoare exactă, ceea ce complică procesul de numărare. Cu toate acestea, în acest caz, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Prin urmare:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresii cu puteri

Dacă o expresie conține puteri, valorile acestora trebuie calculate înainte de a continua cu toate celelalte acțiuni. Se întâmplă ca exponentul sau baza gradului în sine să fie expresii. În acest caz, se calculează mai întâi valoarea acestor expresii, apoi valoarea gradului.

Exemplul 7: Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Să începem să calculăm în ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Tot ce rămâne este să efectuați operația de adăugare și să aflați semnificația expresiei:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

De asemenea, este adesea recomandabil să simplificați o expresie folosind proprietățile unui grad.

Exemplul 8: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea următoarei expresii: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenții sunt din nou astfel încât valorile lor numerice exacte nu pot fi obținute. Să simplificăm expresia originală pentru a-i găsi valoarea.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expresii cu fracții

Dacă o expresie conține fracții, atunci când se calculează o astfel de expresie, toate fracțiile din ea trebuie reprezentate ca fracții obișnuite și valorile lor trebuie calculate.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții conțin expresii, atunci se calculează mai întâi valorile acestor expresii și se notează valoarea finală a fracției în sine. Operațiile aritmetice sunt efectuate în ordinea standard. Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplul 9: Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei care conține fracții: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

După cum puteți vedea, există trei fracții în expresia originală. Să le calculăm mai întâi valorile.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Să rescriem expresia noastră și să îi calculăm valoarea:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Adesea, atunci când găsiți sensul expresiilor, este convenabil să reduceți fracțiile. Există o regulă nerostită: înainte de a-i găsi valoarea, cel mai bine este să simplificați la maximum orice expresie, reducând toate calculele la cele mai simple cazuri.

Exemplul 10: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm expresia 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nu putem extrage complet rădăcina lui cinci, dar putem simplifica expresia originală prin transformări.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Expresia originală ia forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Să calculăm valoarea acestei expresii:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresii cu logaritmi

Când logaritmii sunt prezenți într-o expresie, valoarea lor este calculată de la început, dacă este posibil. De exemplu, în expresia log 2 4 + 2 · 4, puteți nota imediat valoarea acestui logaritm în loc de log 2 4 și apoi efectuați toate acțiunile. Obținem: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Expresiile numerice pot fi găsite și sub semnul logaritm în sine și la baza acestuia. În acest caz, primul lucru de făcut este să le găsiți semnificațiile. Să luăm expresia log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Avem:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Dacă este imposibil să se calculeze valoarea exactă a logaritmului, simplificarea expresiei ajută la găsirea valorii acestuia.

Exemplul 11: Valoarea unei expresii numerice

Să găsim valoarea expresiei log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Prin proprietatea logaritmilor:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Folosind din nou proprietățile logaritmilor, pentru ultima fracție din expresie obținem:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Acum puteți continua la calcularea valorii expresiei originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expresii cu funcții trigonometrice

Se întâmplă ca expresia să conțină funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă și cotangente, precum și funcțiile inverse ale acestora. Valoarea este calculată înainte ca toate celelalte operații aritmetice să fie efectuate. În caz contrar, expresia este simplificată.

Exemplul 12: Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Mai întâi calculăm valorile funcții trigonometrice incluse în expresie.

sin - 5 π 2 = - 1

Înlocuim valorile în expresie și calculăm valoarea acesteia:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Valoarea expresiei a fost găsită.

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu funcții trigonometrice, aceasta trebuie mai întâi convertită. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 13: Valoarea unei expresii numerice

Trebuie să găsim valoarea expresiei cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pentru conversie vom folosi formulele trigonometrice pentru cosinusul unui unghi dublu și cosinusul unei sume.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Cazul general al unei expresii numerice

În general, o expresie trigonometrică poate conține toate elementele descrise mai sus: paranteze, puteri, rădăcini, logaritmi, funcții. Să formulăm regula generala găsirea semnificaţiilor unor astfel de expresii.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

Rădăcini, puteri, logaritmi etc. sunt înlocuite cu valorile lor.
Acțiunile din paranteze sunt efectuate.
Acțiunile rămase sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta. Mai întâi - înmulțirea și împărțirea, apoi - adunarea și scăderea.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 14: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Expresia este destul de complexă și greoaie. Nu întâmplător am ales un astfel de exemplu, încercând să încadrăm în el toate cazurile descrise mai sus. Cum să găsim sensul unei astfel de expresii?

Se știe că atunci când se calculează valoarea unei forme fracționale complexe, valorile numărătorului și numitorului fracției se găsesc mai întâi separat, respectiv. Vom transforma și simplifica secvențial această expresie.

Mai întâi de toate, să calculăm valoarea expresiei radicalului 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea sinusului și expresia care este argumentul funcției trigonometrice.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Acum puteți afla valoarea sinusului:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Calculăm valoarea expresiei radicalului:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Cu numitorul fracției totul este mai simplu:

Acum putem scrie valoarea întregii fracții:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Ținând cont de acest lucru, scriem întreaga expresie:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Rezultat final:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

În acest caz am putut calcula valori exacte rădăcini, logaritmi, sinusuri etc. Dacă acest lucru nu este posibil, puteți încerca să scăpați de ele prin transformări matematice.

Calcularea valorilor expresiei folosind metode raționale

Valorile numerice trebuie calculate în mod consecvent și precis. Acest proces poate fi raționalizat și accelerat folosind diverse proprietăți ale operațiilor cu numere. De exemplu, se știe că un produs este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Ținând cont de această proprietate, putem spune imediat că expresia 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 este egală cu zero. În același timp, nu este deloc necesar să efectuați acțiunile în ordinea descrisă în articolul de mai sus.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale. Fără a efectua nicio acțiune, puteți comanda ca valoarea expresiei 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 să fie și ea zero.

O altă tehnică de accelerare a procesului este utilizarea transformărilor de identitate, cum ar fi gruparea termenilor și factorilor și scăderea multiplicator comun din paranteze. O abordare rațională a calculului expresiilor cu fracții este de a reduce aceleași expresii în numărător și numitor.

De exemplu, luați expresia 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Fără a efectua operațiile din paranteze, ci prin reducerea fracției, putem spune că valoarea expresiei este 1 3 .

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Pentru a găsi valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile, trebuie să înlocuiți valorile stabilite litere și variabile, apoi calculați valoarea expresiei numerice rezultate.

Exemplul 15: Valoarea unei expresii cu variabile

Calculați valoarea expresiei 0, 5 x - y dat x = 2, 4 și y = 5.

Înlocuim valorile variabilelor în expresie și calculăm:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Uneori puteți transforma o expresie astfel încât să obțineți valoarea acesteia indiferent de valorile literelor și variabilelor incluse în ea. Pentru a face acest lucru, trebuie să scăpați de literele și variabilele din expresie, dacă este posibil, folosind transformări identice, proprietăți ale operațiilor aritmetice și toate celelalte metode posibile.

De exemplu, expresia x + 3 - x are evident valoarea 3, iar pentru a calcula această valoare nu este necesar să se cunoască valoarea variabilei x. Valoarea acestei expresii este egală cu trei pentru toate valorile variabilei x din intervalul său de valori permise.

Încă un exemplu. Valoarea expresiei x x este egală cu unu pentru toate x-urile pozitive.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Expresiile numerice sunt formate din numere, simboluri aritmetice și paranteze. Dacă o astfel de expresie conține variabile, se va numi algebrică. O expresie trigonometrică este o expresie în care o variabilă este conținută sub semnele funcțiilor trigonometrice. Probleme care implică determinarea valorilor expresiilor numerice, trigonometrice și algebrice sunt adesea întâlnite în curs școlar matematică.

Instrucțiuni

Pentru a găsi valoarea unei expresii numerice, determinați ordinea operațiilor din exemplul dat. Pentru comoditate, marcați-l cu un creion deasupra semnelor corespunzătoare. Completează totul actiuni specificateîntr-o anumită ordine: operații între paranteze, exponențiere, înmulțire, împărțire, adunare, scădere. Numărul rezultat va fi valoarea expresiei numerice.

Exemplu. Găsiți valoarea expresiei (34 10+(489–296) 8):4–410. Stabiliți cursul acțiunii. Efectuați prima acțiune în parantezele interioare 489–296=193. Apoi, înmulțiți 193 8=1544 și 34 10=340. Următoarea acțiune: 340+1544=1884. Apoi, împărțiți 1884:4=461 și apoi scădeți 461–410=60. Ai găsit sensul acestei expresii.

Pentru a găsi valoarea expresie trigonometrică la un unghi cunoscut?, anterior . Pentru a face acest lucru, aplicați formulele trigonometrice adecvate. Calculați valorile date ale funcțiilor trigonometrice și înlocuiți-le în exemplu. Urmareste pasii.

Exemplu. Găsiți semnificația expresiei 2sin 30? ca 30? tg 30? ctg 30?. Simplificați această expresie. Pentru a face acest lucru, utilizați formula tg? ctg ?=1. Obține: 2sin 30? ca 30? 1=2sin 30? cos 30?. Se știe că sin 30?=1/2 și cos 30?=?3/2. Prin urmare, 2sin 30? cos 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. Ai găsit sensul acestei expresii.

Sensul unei expresii algebrice depinde de valoarea variabilei. Pentru a găsi valoarea unei expresii algebrice având în vedere variabilele, simplificați expresia. Înlocuiți anumite valori pentru variabile. A executa acțiunile necesare. Ca rezultat, veți primi un număr, care va fi valoarea expresiei algebrice pentru variabilele date.

Exemplu. Aflați valoarea expresiei 7(a+y)–3(2a+3y) cu a=21 și y=10. Simplificați această expresie și obțineți: a–2y. Înlocuiți valorile corespunzătoare ale variabilelor și calculați: a–2y=21–2 10=1. Aceasta este valoarea expresiei 7(a+y)–3(2a+3y) cu a=21 și y=10.

Notă

Există expresii algebrice care nu au sens pentru unele valori ale variabilelor. De exemplu, expresia x/(7–a) nu are sens dacă a=7, deoarece în acest caz, numitorul fracției devine zero.

eu. Expresiile în care numerele, simbolurile aritmetice și parantezele pot fi folosite împreună cu literele se numesc expresii algebrice.

Exemple de expresii algebrice:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Deoarece o literă dintr-o expresie algebrică poate fi înlocuită cu câteva numere diferite, litera se numește variabilă, iar expresia algebrică în sine este numită expresie cu o variabilă.

II. Dacă într-o expresie algebrică literele (variabilele) sunt înlocuite cu valorile lor și sunt efectuate acțiunile specificate, atunci numărul rezultat se numește valoarea expresiei algebrice.

Exemple. Găsiți sensul expresiei:

1) a + 2b -c cu a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| la x = -8; y = -5; z = 6.

Soluţie.

1) a + 2b -c cu a = -2; b = 10; c = -3,5. În loc de variabile, să le înlocuim valorile. Primim:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| la x = -8; y = -5; z = 6. Înlocuiți valorile indicate. Ne amintim că modulul unui număr negativ este egal cu numărul său opus, iar modulul unui număr pozitiv este egal cu acest număr însuși. Primim:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Valorile literei (variabilei) pentru care expresia algebrică are sens se numesc valori admisibile ale literei (variabilei).

Exemple. Pentru ce valori ale variabilei expresia nu are sens?

Soluţie.Știm că nu poți împărți la zero, prin urmare, fiecare dintre aceste expresii nu va avea sens având în vedere valoarea literei (variabilei) care transformă numitorul fracției la zero!

În exemplul 1) această valoare este a = 0. Într-adevăr, dacă înlocuiți 0 în loc de a, atunci va trebui să împărțiți numărul 6 la 0, dar acest lucru nu se poate face. Răspuns: expresia 1) nu are sens când a = 0.

În exemplul 2) numitorul lui x este 4 = 0 la x = 4, prin urmare, această valoare x = 4 nu poate fi luată. Răspuns: expresia 2) nu are sens când x = 4.

În exemplul 3) numitorul este x + 2 = 0 când x = -2. Răspuns: expresia 3) nu are sens când x = -2.

În exemplul 4) numitorul este 5 -|x| = 0 pentru |x| = 5. Și din moment ce |5| = 5 și |-5| = 5, atunci nu puteți lua x = 5 și x = -5. Răspuns: expresia 4) nu are sens la x = -5 și la x = 5.
IV. Se spune că două expresii sunt identic egale dacă pentru oricare valori acceptabile variabile, valorile corespunzătoare acestor expresii sunt egale.

Exemplu: 5 (a – b) și 5a – 5b sunt, de asemenea, egale, deoarece egalitatea 5 (a – b) = 5a – 5b va fi adevărată pentru orice valoare a și b. Egalitatea 5 (a – b) = 5a – 5b este o identitate.

Identitate este o egalitate care este valabilă pentru toate valorile admisibile ale variabilelor incluse în ea. Exemple de identități deja cunoscute de tine sunt, de exemplu, proprietățile adunării și înmulțirii și proprietatea distributivă.

Înlocuirea unei expresii cu o altă expresie identică egală se numește o transformare de identitate sau pur și simplu o transformare a unei expresii. Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.

Exemple.

A) convertiți expresia în egală identic folosind proprietatea distributivă a înmulțirii:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Soluţie. Să ne amintim proprietatea distributivă (legea) înmulțirii:

(a+b)c=ac+bc(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea: pentru a înmulți suma a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr și adăugați rezultatele rezultate).
(a-b) c=a c-b c(legea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea: pentru a înmulți diferența a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți minuendul și scădeți separat cu acest număr și scădeți al doilea din primul rezultat).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformați expresia în identic egală, folosind proprietățile (legile) comutative și asociative ale adunării:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Soluţie. Să aplicăm legile (proprietățile) adunării:

a+b=b+a(comutativ: rearanjarea termenilor nu schimbă suma).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinativ: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a doi termeni, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Convertiți expresia în egală identică folosind proprietățile (legile) comutative și asociative ale înmulțirii:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Soluţie. Să aplicăm legile (proprietățile) înmulțirii:

a·b=b·a(comutativ: rearanjarea factorilor nu schimbă produsul).
(a b) c=a (b c)(combinativ: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Dacă o expresie algebrică este dată sub forma unei fracții reductibile, atunci folosind regula pentru reducerea unei fracții se poate simplifica, i.e. înlocuiți-l cu o expresie identică, mai simplă.

Exemple. Simplificați folosind reducerea fracțiilor.

Soluţie. A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul acesteia la același număr (expresie), altul decât zero. Fracția 10) se va reduce cu 3b; fracția 11) se va reduce cu A iar fracția 12) se va reduce cu 7n. Primim:

Expresiile algebrice sunt folosite pentru a crea formule.

O formulă este o expresie algebrică scrisă ca o egalitate și care exprimă relația dintre două sau mai multe variabile. Exemplu: formula de cale pe care o cunoști s=v t(s - distanța parcursă, v - viteza, t - timpul). Amintește-ți ce alte formule știi.

Pagina 1 din 1 1

Expresie numerică– aceasta este orice înregistrare de numere, simboluri aritmetice și paranteze. O expresie numerică poate consta pur și simplu dintr-un număr. Amintiți-vă că operațiile aritmetice de bază sunt „adunare”, „scădere”, „înmulțire” și „împărțire”. Aceste acțiuni corespund semnelor „+”, „-”, „∙”, „:”.

Desigur, pentru a obține o expresie numerică, înregistrarea numerelor și a simbolurilor aritmetice trebuie să aibă sens. Deci, de exemplu, o astfel de intrare 5: + ∙ nu poate fi numită expresie numerică, deoarece este un set aleatoriu de simboluri care nu are sens. Dimpotrivă, 5 + 8 ∙ 9 este deja o expresie numerică reală.

Valoarea unei expresii numerice.

Să spunem imediat că dacă efectuăm acțiunile indicate în expresia numerică, atunci ca rezultat vom obține un număr. Acest număr este numit valoarea unei expresii numerice.

Să încercăm să calculăm ce vom obține ca urmare a efectuării acțiunilor din exemplul nostru. După ordinea în care se efectuează operațiile aritmetice, mai întâi efectuăm operația de înmulțire. Înmulțim 8 cu 9. Obținem 72. Acum adunăm 72 și 5. Obținem 77.
Deci, 77 - sens expresie numerică 5 + 8 ∙ 9.

Egalitatea numerică.

Puteți scrie astfel: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Aici am folosit semnul „=" („Egal”) pentru prima dată. Se numește o astfel de notație în care două expresii numerice sunt separate prin semnul „=”. egalitate numerică. În plus, dacă valorile părților din stânga și din dreapta ale egalității coincid, atunci egalitatea se numește credincios. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – egalitate corectă.
Dacă scriem 5 + 8 ∙ 9 = 100, atunci aceasta va fi deja falsă egalitate, deoarece valorile părților stânga și dreaptă ale acestei egalități nu mai coincid.

De remarcat că în exprimarea numerică putem folosi și paranteze. Parantezele afectează ordinea în care sunt efectuate acțiunile. Deci, de exemplu, să ne modificăm exemplul adăugând paranteze: (5 + 8) ∙ 9. Acum trebuie mai întâi să adunăm 5 și 8. Obținem 13. Și apoi înmulțim 13 cu 9. Obținem 117. Astfel, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – sens expresie numerică (5 + 8) ∙ 9.

Pentru a citi corect o expresie, trebuie să determinați care acțiune este efectuată ultima pentru a calcula valoarea unei anumite expresii numerice. Astfel, dacă ultima actiune scădere, expresia se numește „diferență”. În consecință, dacă ultima acțiune este sumă - „sumă”, împărțire – „cot”, înmulțire – „produs”, exponențiere – „putere”.

De exemplu, expresia numerică (1+5)(10-3) arată astfel: „produsul sumei numerelor 1 și 5 și diferența numerelor 10 și 3”.

Exemple de expresii numerice.

Iată un exemplu de expresie numerică mai complexă:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Această expresie numerică folosește numere prime, fracții ordinare și zecimale. Se mai folosesc semne de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Linia de fracție înlocuiește și semnul de împărțire. În ciuda complexității aparente, găsirea valorii acestei expresii numerice este destul de simplă. Principalul lucru este să poți efectua operații cu fracții, precum și să faci calcule cu atenție și precizie, respectând ordinea în care sunt efectuate acțiunile.

În paranteză avem expresia $\frac(1)(4)+3.75$ . Transformați fracția zecimală 3,75 într-o fracție comună.

3,75 USD=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Asa de, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

În continuare, în numărătorul fracției \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] avem expresia 1,25+3,47+4,75-1,47. Pentru a simplifica această expresie, aplicăm legea comutativă a adunării, care spune: „Suma nu se modifică prin schimbarea locurilor termenilor”. Adică 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

În numitorul fracției expresia $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Primim $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1 $

Când expresiile numerice nu au sens?

Să ne uităm la un alt exemplu. În numitorul fracției $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ valoarea expresiei $3\centerdot 3-9$ este 0. Și, după cum știm, împărțirea la zero este imposibilă. Prin urmare, fracția $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nu are sens. Se spune că expresiile numerice care nu au nici un sens nu au „sens”.

Dacă folosim litere în plus față de numere în expresie numerică, atunci vom avea

De regulă, copiii încep să studieze algebra în școala elementară. După ce stăpânesc principiile de bază ale lucrului cu numere, rezolvă exemple cu una sau mai multe variabile necunoscute. Găsirea semnificației unei astfel de expresii poate fi destul de dificilă, dar dacă o simplificați folosind cunoștințele din școala elementară, totul se va rezolva rapid și ușor.

Care este sensul unei expresii

O expresie numerică este o notație algebrică formată din numere, paranteze și semne, dacă are sens.

Cu alte cuvinte, dacă este posibil să găsim sensul unei expresii, atunci intrarea nu este lipsită de sens și invers.

Exemple de următoarele intrări sunt construcții numerice valide:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

Un singur număr va reprezenta, de asemenea, o expresie numerică, cum ar fi numărul 18 din exemplul de mai sus.
Exemple de construcții de numere incorecte care nu au sens:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

Exemplele numerice incorecte sunt doar o grămadă de simboluri matematice și nu au sens.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

Deoarece astfel de exemple conțin semne aritmetice, putem concluziona că ele ne permit să producem calcule aritmetice. Pentru a calcula semnele sau, cu alte cuvinte, pentru a găsi sensul unei expresii, este necesar să se efectueze manipulările aritmetice adecvate.

Ca exemplu, luați în considerare următoarea construcție: (120-30)/3=30. Numărul 30 va fi valoarea expresiei numerice (120-30)/3.

Instrucțiuni:

Conceptul de egalitate numerică

O egalitate numerică este o situație în care două părți ale unui exemplu sunt separate prin semnul „=”. Adică, o parte este complet egală (identică) cu cealaltă, chiar dacă este afișată sub forma altor combinații de simboluri și numere.
De exemplu, orice construcție precum 2+2=4 poate fi numită egalitate numerică, deoarece chiar dacă părțile sunt schimbate, semnificația nu se va schimba: 4=2+2. Același lucru este valabil și pentru construcțiile mai complexe care implică paranteze, împărțire, înmulțire, operații cu fracții și așa mai departe.

Cum să găsiți corect valoarea unei expresii

Pentru a găsi corect valoarea unei expresii, este necesar să se efectueze calcule în funcție de o anumită ordine de acțiuni. Această ordine este predată în lecțiile de matematică, iar mai târziu în orele de algebră în școală primară. Este cunoscut și sub numele de pași aritmetici.

Etape aritmetice:

Prima etapă este adunarea și scăderea numerelor.
A doua etapă este cea în care se efectuează împărțirea și înmulțirea.
A treia etapă – numerele sunt pătrate sau cuburi.

Respectând următoarele reguli, puteți determina întotdeauna corect sensul unei expresii:

Efectuați acțiuni începând cu al treilea pas, terminând cu primul, dacă în exemplu nu există paranteze. Adică, mai întâi pătrat sau cub, apoi împărțiți sau înmulțiți și abia apoi adăugați și scădeți.
În construcțiile cu paranteze, executați mai întâi acțiunile din paranteze, apoi urmați ordinea descrisă mai sus. Dacă există mai multe paranteze, utilizați și procedura de la primul paragraf.
În exemple sub formă de fracție, aflați mai întâi rezultatul la numărător, apoi la numitor, apoi împărțiți primul la al doilea.

Găsirea sensului unei expresii nu este dificilă dacă dobândești cunoștințe de bază cursuri inițiale algebră și matematică. Ghidându-te de informațiile descrise mai sus, poți rezolva orice problemă, chiar și de complexitate crescută.

Aflați parola de la VK, cunoscând autentificarea