Studierea unei funcții cu rădăcină, exemple de soluții. Domeniul de definire a funcției. Funcții logaritmice și trigonometrice

Orice expresie cu o variabilă are propriul său interval de valori valide, acolo unde există. ODZ trebuie întotdeauna luat în considerare la luarea deciziilor. Dacă este absent, este posibil să obțineți un rezultat incorect.

Acest articol va arăta cum să găsiți corect ODZ și să folosiți exemple. Se va discuta, de asemenea, importanța indicarii DZ la luarea unei decizii.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Valori variabile valide și nevalide

Această definiție este legată de valorile permise ale variabilei. Când introducem definiția, să vedem la ce rezultat va duce.

Începând din clasa a VII-a începem să lucrăm cu numere și expresii numerice. Definiții inițiale cu variabile sare la sensul expresiilor cu variabilele selectate.

Când există expresii cu variabile selectate, unele dintre ele pot să nu fie satisfăcute. De exemplu, o expresie de forma 1: a, dacă a = 0, atunci nu are sens, deoarece este imposibil de împărțit la zero. Adică, expresia trebuie să aibă valori care sunt potrivite în orice caz și vor da un răspuns. Cu alte cuvinte, au sens cu variabilele existente.

Definiția 1

Dacă există o expresie cu variabile, atunci are sens numai dacă valoarea poate fi calculată prin înlocuirea lor.

Definiția 2

Dacă există o expresie cu variabile, atunci nu are sens când, la înlocuirea lor, valoarea nu poate fi calculată.

Adică, aceasta implică o definiție completă

Definiția 3

Variabilele admisibile existente sunt acele valori pentru care expresia are sens. Și dacă nu are sens, atunci sunt considerate inacceptabile.

Pentru a clarifica cele de mai sus: dacă există mai multe variabile, atunci poate exista o pereche de valori adecvate.

Exemplul 1

De exemplu, luați în considerare o expresie de forma 1 x - y + z, unde există trei variabile. În caz contrar, îl puteți scrie ca x = 0, y = 1, z = 2, în timp ce o altă intrare are forma (0, 1, 2). Aceste valori sunt numite valide, ceea ce înseamnă că valoarea expresiei poate fi găsită. Obținem că 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Din aceasta vedem că (1, 1, 2) sunt inacceptabile. Înlocuirea are ca rezultat împărțirea la zero, adică 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Ce este ODZ?

Gama de valori acceptabile este un element important atunci când se evaluează expresii algebrice. Prin urmare, merită să acordați atenție acestui lucru atunci când faceți calcule.

Definiția 4

zona ODZ este setul de valori permise pentru o expresie dată.

Să ne uităm la un exemplu de expresie.

Exemplul 2

Dacă avem o expresie de forma 5 z - 3, atunci ODZ are forma (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Acesta este intervalul de valori valide care satisface variabila z pentru o anumită expresie.

Dacă există expresii de forma z x - y, atunci este clar că x ≠ y, z ia orice valoare. Aceasta se numește expresii ODZ. Trebuie luată în considerare pentru a nu obține împărțirea la zero la înlocuire.

Intervalul de valori admisibile și domeniul de definiție au același sens. Doar al doilea dintre ele este folosit pentru expresii, iar primul este folosit pentru ecuații sau inegalități. Cu ajutorul DL, expresia sau inegalitatea are sens. Domeniul de definire al funcției coincide cu intervalul de valori admisibile ale variabilei x pentru expresia f (x).

Cum să găsești ODZ? Exemple, soluții

Găsirea ODZ înseamnă găsirea tuturor valorilor valide potrivite pentru funcţie dată sau inegalitate. Nerespectarea acestor condiții poate duce la rezultate incorecte. Pentru a găsi ODZ, este adesea necesar să treci prin transformări într-o anumită expresie.

Există expresii în care calculul lor este imposibil:

dacă există împărțire la zero;
luarea rădăcinii unui număr negativ;
prezența unui indicator întreg negativ - numai pentru numere pozitive;
calcularea logaritmului unui număr negativ;
domeniul de definire a tangentei π 2 + π · k, k ∈ Z și cotangentei π · k, k ∈ Z;
aflarea valorii arcsinusului și arccosinusului unui număr pentru o valoare care nu aparține lui [-1; 1 ] .

Toate acestea arată cât de important este să ai ODZ.

Exemplul 3

Aflați expresia ODZ x 3 + 2 x y − 4 .

Soluţie

Orice număr poate fi cubit. Această expresie nu are o fracție, deci valorile lui x și y pot fi oricare. Adică ODZ este orice număr.

Răspuns: x și y – orice valoare.

Exemplul 4

Aflați ODZ al expresiei 1 3 - x + 1 0.

Soluţie

Se poate observa că există o fracție la care numitorul este zero. Aceasta înseamnă că pentru orice valoare a lui x vom obține împărțirea la zero. Aceasta înseamnă că putem concluziona că această expresie este considerată nedefinită, adică nu are nicio răspundere suplimentară.

Răspuns: ∅ .

Exemplul 5

Aflați ODZ a expresiei date x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Soluţie

Disponibilitate rădăcină pătrată indică faptul că această expresie trebuie să fie mai mare sau egală cu zero. Dacă este negativ, nu are sens. Aceasta înseamnă că este necesar să scrieți o inegalitate de forma x + 2 · y + 3 ≥ 0. Adică, acesta este intervalul dorit de valori acceptabile.

Răspuns: mulțime de x și y, unde x + 2 y + 3 ≥ 0.

Exemplul 6

Determinați expresia ODZ de forma 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Soluţie

Prin condiție, avem o fracție, deci numitorul ei nu ar trebui să fie egal cu zero. Obținem că x + 1 - 1 ≠ 0. Expresia radicală are întotdeauna sens atunci când este mai mare sau egală cu zero, adică x + 1 ≥ 0. Deoarece are un logaritm, expresia sa trebuie să fie strict pozitivă, adică x 2 + 3 > 0. Baza logaritmului trebuie să aibă și o valoare pozitivă și diferită de 1, apoi adăugăm condițiile x + 8 > 0 și x + 8 ≠ 1. Rezultă că ODZ dorit va lua forma:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Cu alte cuvinte, se numește un sistem de inegalități cu o variabilă. Soluția va conduce la următoarea notație ODZ [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Răspuns: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

De ce este important să luați în considerare DPD atunci când conduceți schimbarea?

În timpul transformărilor de identitate, este important să găsiți ODZ. Există cazuri în care nu apare existența ODZ. Pentru a înțelege dacă o expresie dată are o soluție, trebuie să comparați VA variabilelor expresiei inițiale și VA a celei rezultate.

Transformări de identitate:

poate să nu afecteze DL;
poate duce la extinderea sau adăugarea DZ;
poate îngusta DZ.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 7

Dacă avem o expresie de forma x 2 + x + 3 · x, atunci ODZ este definită pe întregul domeniu de definiție. Chiar și atunci când aducem termeni similari și simplificăm expresia, ODZ nu se schimbă.

Exemplul 8

Dacă luăm exemplul expresiei x + 3 x − 3 x, atunci lucrurile stau diferit. Avem o expresie fracțională. Și știm că împărțirea la zero este inacceptabilă. Atunci ODZ are forma (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Se vede că zero nu este o soluție, așa că îl adăugăm cu o paranteză.

Să luăm în considerare un exemplu cu prezența unei expresii radicale.

Exemplul 9

Dacă există x - 1 · x - 3, atunci ar trebui să acordați atenție ODZ, deoarece trebuie scrisă ca inegalitatea (x - 1) · (x - 3) ≥ 0. Este posibil să se rezolve prin metoda intervalului, atunci aflăm că ODZ va lua forma (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . După transformarea x - 1 · x - 3 și aplicarea proprietății rădăcinilor, avem că ODZ poate fi completat și totul poate fi scris sub forma unui sistem de inegalități de forma x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Când o rezolvăm, constatăm că [ 3 , + ∞) . Aceasta înseamnă că ODZ se scrie complet după cum urmează: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Transformările care îngustează DZ trebuie evitate.

Exemplul 10

Să luăm în considerare un exemplu de expresie x - 1 · x - 3, când x = - 1. Când înlocuim, obținem că - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Dacă transformăm această expresie și o aducem la forma x - 1 · x - 3, atunci când calculăm constatăm că 2 - 1 · 2 - 3 expresia nu are sens, deoarece expresia radicală nu ar trebui să fie negativă.

Este necesar să se adere la transformări identice pe care ODZ nu se va schimba.

Dacă există exemple care se extind pe el, atunci ar trebui adăugat la DL.

Exemplul 11

Să ne uităm la exemplul de fracții de forma x x 3 + x. Dacă anulăm cu x, atunci obținem acel 1 x 2 + 1. Apoi ODZ se extinde și devine (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Mai mult, atunci când calculăm, lucrăm deja cu a doua fracție simplificată.

În prezența logaritmilor, situația este ușor diferită.

Exemplul 12

Dacă există o expresie de forma ln x + ln (x + 3), aceasta se înlocuiește cu ln (x · (x + 3)), pe baza proprietății logaritmului. Din aceasta putem vedea că ODZ de la (0 , + ∞) la (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Prin urmare, pentru a determina ODZ ln (x · (x + 3)) este necesar să se efectueze calcule pe ODZ, adică mulțimea (0, + ∞).

La rezolvare, este întotdeauna necesar să se acorde atenție structurii și formei expresiei date. Dacă zona de definire este găsită corect, rezultatul va fi pozitiv.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În primul rând, să învățăm cum să găsim domeniul de definire a sumei funcţiilor. Este clar că o astfel de funcție are sens pentru toate astfel de valori ale variabilei pentru care au sens toate funcțiile care alcătuiesc suma. Prin urmare, nu există nicio îndoială cu privire la validitatea următoarei afirmații:

Dacă funcția f este suma n funcții f 1, f 2, …, f n, adică funcția f este dată de formula y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) ), atunci domeniul de definire al funcției f este intersecția domeniilor de definiție ale funcțiilor f 1, f 2, ..., f n. Să scriem asta ca .

Să fim de acord să folosim în continuare înregistrări ca ultima, prin care înțelegem , scrise în interior bretele ondulate, sau îndeplinirea simultană a oricăror condiții. Acest lucru este convenabil și rezonează destul de natural cu semnificația sistemelor.

Exemplu.

Este dată funcția y=x 7 +x+5+tgx și trebuie să-i găsim domeniul de definiție.

Soluţie.

Funcția f este reprezentată prin suma a patru funcții: f 1 - funcție putere cu exponentul 7, f 2 - funcție putere cu exponentul 1, f 3 - functie constantaşi f 4 - funcţii tangente.

Privind tabelul de zone pentru definirea principalelor functii elementare, aflăm că D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , iar domeniul lui definiția tangentei este mulțimea tuturor numere reale cu excepția numerelor .

Domeniul de definire al funcției f este intersecția domeniilor de definire a funcțiilor f 1, f 2, f 3 și f 4. Este destul de evident că acesta este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția numerelor .

Răspuns:

multimea tuturor numerelor reale cu exceptia .

Să trecem la găsirea domeniul de definire a unui produs de funcții. În acest caz, se aplică o regulă similară:

Dacă funcția f este produsul n funcții f 1, f 2, ..., f n, adică funcția f este dată de formula y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), atunci domeniul de definire al funcției f este intersecția domeniilor de definiție ale funcțiilor f 1, f 2, ..., f n. Asa de, .

Acest lucru este de înțeles, în zona indicată sunt definite toate funcțiile produsului și, prin urmare, funcția f în sine.

Exemplu.

Y=3·arctgx·lnx .

Soluţie.

Structura părții din dreapta a formulei care definește funcția poate fi considerată ca f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), unde f 1 este o funcție constantă, f 2 este funcția arctangentă și f 3 este o funcție logaritmică cu baza e.

Știm că D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) și D(f 3)=(0, +∞) . Apoi .

Răspuns:

Domeniul de definiție al funcției y=3·arctgx·lnx este mulțimea tuturor numerelor pozitive reale.

Să ne concentrăm separat pe găsirea domeniului de definire al unei funcții specificate prin formula y=C·f(x), unde C este un număr real. Este ușor de arătat că domeniul de definire al acestei funcții și domeniul de definire al funcției f coincid. Într-adevăr, funcția y=C·f(x) este produsul dintre o funcție constantă și o funcție f. Domeniul unei funcții constante este mulțimea tuturor numerelor reale, iar domeniul unei funcții f este D(f) . Atunci domeniul de definiție al funcției y=C f(x) este , care este ceea ce trebuia arătat.

Deci, domeniile de definiție ale funcțiilor y=f(x) și y=C·f(x), unde C este un număr real, coincid. De exemplu, domeniul rădăcinii este , devine clar că D(f) este mulțimea tuturor x din domeniul funcției f 2 pentru care f 2 (x) este inclus în domeniul funcției f 1 .

Prin urmare, domeniul de definire a unei funcții complexe y=f 1 (f 2 (x)) este intersecția a două mulțimi: mulțimea tuturor astfel de x care x∈D(f 2) și mulțimea tuturor astfel de x pentru care f 2 (x)∈D(f 1) . Adică în notația pe care am adoptat-o (acesta este în esență un sistem de inegalități).

Să ne uităm la câteva exemple de soluții. Nu vom descrie procesul în detaliu, deoarece acesta depășește scopul acestui articol.

Exemplu.

Aflați domeniul de definiție al funcției y=lnx 2 .

Soluţie.

Funcția originală poate fi reprezentată ca y=f 1 (f 2 (x)), unde f 1 este un logaritm cu baza e și f 2 este functie de putere cu un indicator de 2.

Revenind la domeniile cunoscute de definire a principalelor funcții elementare, avem D(f 1)=(0, +∞) și D(f 2)=(−∞, +∞) .

Apoi

Deci am găsit domeniul de definire al funcției de care aveam nevoie, este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția zero.

Răspuns:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Exemplu.

Care este domeniul unei funcții ?

Soluţie.

Această funcție complex, poate fi considerat ca y=f 1 (f 2 (x)), unde f 1 este o funcție de putere cu exponent și f 2 este funcția arcsinus și trebuie să găsim domeniul său de definiție.

Să vedem ce știm: D(f 1)=(0, +∞) și D(f 2)=[−1, 1] . Rămâne să găsim intersecția mulțimilor de valori x astfel încât x∈D(f 2) și f 2 (x)∈D(f 1) :

Pentru arcsinx>0, amintiți-vă proprietățile funcției arcsinus. Arcsinusul crește pe întregul domeniu al definiției [−1, 1] și ajunge la zero la x=0, prin urmare, arcsinx>0 pentru orice x din intervalul (0, 1] .

Să revenim la sistem:

Astfel, domeniul necesar de definire al funcției este semi-intervalul (0, 1).

Răspuns:

(0, 1] .

Acum să trecem la funcții complexe de forma generală y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Domeniul de definire al funcției f în acest caz se găsește ca .

Exemplu.

Găsiți domeniul unei funcții .

Soluţie.

O funcție complexă dată poate fi scrisă ca y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), unde f 1 – sin, f 2 – funcție rădăcină de gradul al patrulea, f 3 – log.

Știm că D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= ∪ ∪

În metoda verbală de specificare a unei funcții, trebuie să citiți cu atenție condiția și să găsiți restricții asupra X-urilor acolo. Uneori ochii caută formule, dar cuvintele fluieră pe lângă conștiință da...) Exemplu din lecția anterioară:

Funcția este specificată de condiția: fiecare valoare a argumentului natural x este asociată cu suma cifrelor care alcătuiesc valoarea lui x.

De remarcat aici că vorbim numai despre valorile naturale ale lui X. Apoi D(f) inregistrat instantaneu:

D(f): x ∈ N

După cum puteți vedea, domeniul de aplicare al unei funcții nu este așa concept complex. Găsirea acestei regiuni se reduce la examinarea funcției, scrierea unui sistem de inegalități și rezolvarea acestui sistem. Desigur, există tot felul de sisteme, simple și complexe. Dar...

Îl voi deschide secret mic. Uneori, o funcție pentru care trebuie să găsiți domeniul de definiție pare pur și simplu intimidantă. Vreau să palid și să plâng.) Dar de îndată ce notez sistemul inegalităților... Și, deodată, sistemul se dovedește a fi elementar! Mai mult, de multe ori, cu cât funcția este mai îngrozitoare, cu atât sistemul este mai simplu...

Morala: ochii se tem, capul decide!)

Cum se găsește domeniul unei funcții? Elevii de gimnaziu trebuie adesea să se ocupe de această sarcină.

Părinții ar trebui să-și ajute copiii să înțeleagă această problemă.

Specificarea unei funcții.

Să ne amintim termenii fundamentali ai algebrei. În matematică, o funcție este dependența unei variabile de alta. Putem spune că aceasta este o lege matematică strictă care leagă două numere într-un anumit fel.

În matematică, la analiza formulelor, variabilele numerice sunt înlocuite cu simboluri alfabetice. Cele mai frecvent utilizate sunt x (“x”) și y (“y”). Variabila x se numește argument, iar variabila y se numește variabilă dependentă sau funcție a lui x.

Exista diferite căi stabilirea dependențelor variabile.

Să le enumerăm:

Tip analitic.
Vedere tabelară.
Afișaj grafic.

Metoda analitică este reprezentată de formula. Să ne uităm la exemple: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Formula y=2x+3 este tipică pentru funcție liniară. Înlocuind în formula dată valoare numerica argument, obținem valoarea lui y.

Metoda tabulară este un tabel format din două coloane. Prima coloană este alocată pentru valorile X, iar în coloana următoare sunt înregistrate datele jucătorului.

Metoda grafică este considerată cea mai vizuală. Un grafic este o afișare a setului tuturor punctelor dintr-un plan.

Pentru a construi un grafic, se folosește un sistem de coordonate carteziene. Sistemul este format din două drepte perpendiculare. Pe axe sunt așezate segmente de unitate identice. Numărarea se face din punctul central de intersecție a liniilor drepte.

Variabila independentă indică linie orizontală. Se numește axa absciselor. Linia verticală (axa y) afișează valoarea numerică a variabilei dependente. Punctele sunt marcate la intersecția perpendicularelor pe aceste axe. Conectând punctele între ele, obținem o linie continuă. Este baza programului.

Tipuri de dependențe variabile

Definiție.

ÎN vedere generala dependenţa se prezintă sub formă de ecuaţie: y=f(x). Din formula rezultă că pentru fiecare valoare a numărului x există un anumit număr u. Valoarea jocului, care corespunde numărului x, se numește valoarea funcției.

Toate valorile posibile pe care le dobândește variabila independentă formează domeniul funcției. În consecință, întregul set de numere ale variabilei dependente determină intervalul de valori al funcției. Domeniul definiției sunt toate valorile argumentului pentru care f(x) are sens.

Sarcina inițială în studierea legilor matematice este de a găsi domeniul definiției. Acest termen trebuie definit corect. În caz contrar, toate calculele ulterioare vor fi inutile. La urma urmei, volumul valorilor este format pe baza elementelor primului set.

Sfera unei funcții depinde direct de constrângeri. Limitările sunt cauzate de incapacitatea de a efectua anumite operații. Există, de asemenea, limite pentru utilizarea valorilor numerice.

În absența restricțiilor, domeniul de definiție este întregul spațiu al numerelor. Semnul infinitului are un simbol orizontal cifra opt. Întregul set de numere este scris astfel: (-∞; ∞).

ÎN anumite cazuri tabloul de date este format din mai multe subseturi. Sfera de aplicare a intervalelor numerice sau a spațiilor depinde de tipul de lege a modificării parametrilor.

Iată o listă de factori care influențează restricțiile:

proporționalitate inversă;
rădăcină aritmetică;
exponentiarea;
dependență logaritmică;
forme trigonometrice.

Dacă există mai multe astfel de elemente, atunci căutarea restricțiilor este împărțită pentru fiecare dintre ele. Cea mai mare problema reprezintă identificarea punctelor critice și a golurilor. Soluția problemei va fi să unim toate submulțimile numerice.

Set și subset de numere

Despre seturi.

Domeniul de definiție este exprimat ca D(f), iar semnul de unire este reprezentat prin simbolul ∪. Toate intervalele numerice sunt incluse în paranteze. Dacă limita site-ului nu este inclusă în set, atunci se plasează o paranteză semicirculară. În caz contrar, atunci când un număr este inclus într-un subset, se folosesc paranteze pătrate.

Proporționalitatea inversă este exprimată prin formula y=k/x. Graficul funcției este o linie curbă formată din două ramuri. Se numește în mod obișnuit o hiperbolă.

Deoarece funcția este exprimată ca o fracție, găsirea domeniului de definiție se reduce la analiza numitorului. Este bine cunoscut faptul că în matematică împărțirea la zero este interzisă. Rezolvarea problemei se reduce la egalarea numitorului la zero și la găsirea rădăcinilor.

Iată un exemplu:

Dat: y=1/(x+4). Găsiți domeniul definiției.

Echivalăm numitorul cu zero.
x+4=0
Găsirea rădăcinii ecuației.
x=-4
Definiți setul tuturor valori posibile argument.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Răspuns: Domeniul funcției sunt toate numerele reale, cu excepția -4.

Valoarea unui număr sub semnul rădăcinii pătrate nu poate fi negativă. În acest caz, definirea unei funcții cu o rădăcină se reduce la rezolvarea unei inegalități. Expresia radicală trebuie să fie mai mare decât zero.

Zona de definire a rădăcinii este legată de paritatea indicatorului de rădăcină. Dacă indicatorul este divizibil cu 2, atunci expresia are sens numai dacă este pozitivă. Un număr impar al indicatorului indică admisibilitatea oricărei valori a expresiei radicale: atât pozitivă, cât și negativă.

Inegalitățile sunt rezolvate în același mod ca și ecuațiile. Există o singură diferență. După înmulțirea ambelor părți ale inegalității cu un număr negativ, semnul trebuie inversat.

Dacă rădăcina pătrată este la numitor, atunci ar trebui să impuneți condiție suplimentară. Valoarea numărului nu trebuie să fie zero. Inegalitatea trece în categoria inegalităților stricte.

Funcții logaritmice și trigonometrice

Forma logaritmică are sens pentru numerele pozitive. Astfel, domeniul funcției logaritmice este similar cu funcția rădăcină pătrată, cu excepția zero.

Să luăm în considerare un exemplu de dependență logaritmică: y=log(2x-6). Găsiți domeniul definiției.

2x-6>0
2x>6
x>6/2

Răspuns: (3; +∞).

Domeniul de definiție al lui y=sin x și y=cos x este mulțimea tuturor numerelor reale. Există restricții pentru tangentă și cotangentă. Ele sunt asociate cu împărțirea după cosinusul sau sinusul unui unghi.

Tangenta unui unghi este determinată de raportul dintre sinus și cosinus. Să indicăm valorile unghiului la care valoarea tangentei nu există. Funcția y=tg x are sens pentru toate valorile argumentului, cu excepția x=π/2+πn, n∈Z.

Domeniul de definiție al funcției y=ctg x este întreaga mulțime de numere reale, excluzând x=πn, n∈Z. Dacă argumentul este egal cu numărul π sau cu un multiplu al lui π, sinusul unghiului egal cu zero. În aceste puncte (asimptote) cotangenta nu poate exista.

Primele sarcini de identificare a domeniului de definire încep în lecțiile din clasa a VII-a. Când este introdus pentru prima dată în această secțiune a algebrei, elevul ar trebui să înțeleagă clar subiectul.

Trebuie remarcat faptul că acest termen va însoți studentul, iar apoi studentul, pe toată perioada de studiu.