Conceptul de funcție complexă a mai multor variabile. Funcțiile mai multor variabile

FUNCȚIILE MAI MULTOR VARIABILE

1. CONCEPTE DE BAZĂ

Fie: z - o valoare variabilă cu un interval de modificări R; R - linie numerică; D - zona pe planul de coordonate R2.

Orice mapare D->R se numește funcție a două variabile cu domeniul D și scris z = f(x;y).

Cu alte cuvinte:

Dacă fiecare pereche (x; y) de două variabile independente din domeniul D, conform unei reguli, este asociată cu o anumită valoare z din R, atunci valoare variabilă z se numește funcție a două variabile independente x și y cu domeniul D și scris

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Exemplul 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Domeniul de definiție este o parte a planului situată în interiorul unui cerc cu raza r = 3, cu centrul la origine, vezi figura.

Exemplul 3. Găsiți și desenați domeniul unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A FUNCȚIEI A DOI

VARIABILE

2.1.Graficul unei funcţii a două variabile

Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu și o regiune D pe planul xOy. În fiecare punct M(x;y) din această zonă restabilim o perpendiculară pe planul xOy și trasăm pe ea valoarea z = f(x;y). Amplasarea geometrică a punctelor obținute

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Acestea sunt cercuri centrate la origine, raza R = C1/2 și ecuația

x2 + y2 = R2, vezi figura.

Liniile de nivel ne permit să reprezentăm suprafața luată în considerare, ceea ce dă cercuri concentrice atunci când sunt secționate de planuri z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> și găsiți .

Soluţie. Să folosim metoda secțiunii.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– în plan – o parabolă.

– în plan – parabolă.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – cerc.

Suprafața necesară este un paraboloid de revoluție.

Distanţă între două puncte arbitrare iar spațiul (euclidian) se numește număr

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> se numește cerc deschis raza centrată în punctul r.

Se numește un cerc deschis cu raza ε cu centrul în punctul A - ε - împrejurimi punctul A.

3 sarcină

Găsiți și descrieți grafic domeniul de definiție al funcției:

Desenați linii de nivel de funcție:

3. LIMITA UNEI FUNCȚII DE DOUĂ VARIABILE

Noțiuni de bază analiză matematică, introdus pentru o funcție a unei variabile, se extinde la funcțiile mai multor variabile.

Definiție:

Un număr constant A se numește limita unei funcții a două variabile z = f(x;y) pentru x -> x0, y -> y0, dacă pentru oricare

ε >0 există δ >0 astfel încât |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Acest fapt este indicat după cum urmează:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Pentru o funcție a două variabile, tendința către un punct limită în plan poate apărea conform număr infinit direcții (și nu neapărat în linie dreaptă), și de aceea cerința existenței unei limite pentru o funcție de două (sau mai multe) variabile este „mai strânsă” în comparație cu o funcție a unei variabile.

Exemplul 1. Găsi .

Soluţie. Lasă dorința de a ajunge la punctul de limitare http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Apoi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> depinde de.

Exemplul 2. Găsi .

Soluţie. Pentru orice linie dreaptă limita este aceeași:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Apoi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (restul este prin analogie).

Definiție. Numărul este sunat limită funcții pentru și , dacă pentru astfel încât inegalitățile și implică inegalitatea . Acest fapt este scris pe scurt după cum urmează:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

unde este punctul limită http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> cu domeniul definiției și lăsați – punctul limită al mulțimii, adică punctul către care tind argumentele XȘi la.

Definiția 1. Ei spun că funcția este continuă într-un punct dacă:

1) ;

2) , adică .

Să formulăm definiția continuității într-o formă echivalentă..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> este continuă într-un punct dacă egalitatea este valabilă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> să dăm un increment arbitrar. Funcția va primi o creștere parțială cu X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> este o funcție a unei variabile. În mod similar,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> se numește continuă într-un punct peste o variabilă (peste o variabilă) dacă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Teorema.Dacă funcţiaeste definită într-o anumită vecinătate a unui punct și este continuă în acest punct, apoi este continuă în acest punct în fiecare dintre variabile.

Afirmația inversă nu este adevărată.

EXEMPLU Să demonstrăm că funcția

continuu la punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > în punctul corespunzător incrementului http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, ceea ce înseamnă că este continuă într-un punct al variabilei.

În mod similar, se poate dovedi continuitatea într-un punct în raport cu o variabilă.

Să arătăm că nu există limită. Fie ca un punct să se apropie de un punct de-a lungul unei drepte care trece prin punct. Apoi primim

.

Astfel, apropiindu-ne de punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, obtinem valori limita diferite. Rezulta ca limita acestui funcția nu există la punct, ceea ce înseamnă funcția http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Alte denumiri

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Alte denumiri

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Soluţie. Avem:

,

Exemplul 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Diferențiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile

Diferențiale parțiale ale funcției z = f(x, y) față de variabilele x și y sunt determinate, respectiv, de formulele x(x;y) și f"y(x;y) există în punctul ( x0;y0) și în unele din vecinătatea sa și sunt continue în acest punct, apoi, prin analogie cu o funcție a unei variabile, se stabilește o formulă pentru creșterea completă a unei funcții a două variabile

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

unde http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Cu alte cuvinte, funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în punctul (x, y) dacă incrementul său Δz este echivalent cu funcția:

Expresie

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Ținând cont de faptul că Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> este diferențiabilă la punct, apoi este continuă în acest punct.

Afirmația inversă este falsă, adică continuitatea este doar o condiție necesară, dar nu suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții. Să o arătăm.

EXEMPLU Să găsim derivatele parțiale ale funcției http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Formulele rezultate își pierd sensul în punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> nu are derivate parțiale la punctul. De fapt, . Această funcție a unei variabile, după cum se știe, nu are o derivată în punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> nu nu există în acest punct. În mod similar, nu există o derivată parțială. , este evident continuu in punctul .

Deci, am arătat că o funcție continuă poate să nu aibă derivate parțiale. Rămâne de stabilit legătura dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale.

5.4. Relația dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale.

Teorema 1. O condiție necesară pentru diferențiere.

Dacă funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în punctul M(x, y), atunci are derivate parțiale față de fiecare variabilă și în punctul M.

Teorema inversă nu este adevărată, adică existența derivatelor parțiale este necesară, dar nu este o condiție suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții.

Teorema 2. Condiție suficientă pentru diferențiere. Dacă funcția z = f(x, y) are derivate parțiale continue în punctul , atunci este diferențiabilă în punctul (și diferența sa totală în acest punct este exprimată prin formula http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

Exemplul 2. Calculați 3.021,97

3 sarcină

Calculați aproximativ folosind diferența:

5.6. Reguli de diferențiere a funcțiilor complexe și implicite. Derivată completă.

Cazul 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Funcțiile u și v sunt funcții continue ale argumentelor x, y.

Astfel, funcția z este o funcție complexă a argumentelor x și y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Să presupunem că funcțiile f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) au derivate parțiale continue în raport cu toate argumentele lor.

Să setăm sarcina să calculeze http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Să dăm argumentului x un increment Δx, fixând valoarea argumentului y. Atunci funcții a două variabile u= φ(x, y) și

v= φ(x, y) va primi incremente parțiale Δxu și Δxv. În consecință, z=f(u, v) va primi incrementul complet definit în paragraful 5.2 (diferențiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Dacă xu→ 0, atunci Δxu → 0 și Δxv → 0 (datorită continuității funcțiilor u și v). Trecând la limita la Δx→ 0, obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

EXEMPLU

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Apoi folosind formula (*) obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Pentru a obține rezultatul final, în ultimele două formule, în loc de u și v, este necesar să se înlocuiască еx+y² și, respectiv, x2+y.

Cazul 2.

Funcțiile x și y sunt funcții continue.

Astfel, funcția z=f(x, y) depinde prin x și y de o variabilă independentă t, adică să presupunem că x și y nu sunt variabile independente, ci funcții ale variabilei independente t și definim derivata http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități cu Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Cazul 3.

Să presupunem acum că rolul variabilei independente t este jucat de variabila x, adică funcția z = f(x, y) depinde de variabila independentă x atât direct, cât și prin variabila y, care este functie continua din x.

Ținând cont de faptul că http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Derivată x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Găsirea derivatelor parțiale

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Regula dovedită pentru diferențierea funcțiilor complexe se aplică pentru a găsi derivata unei funcții implicite.

Derivată a unei funcții specificată implicit.

Să presupunem că ecuația

definește y ca o funcție implicită a lui x având derivată

y' = φ'(x)_

Substituind y = φ(x) în ecuația F(x, y) = 0, ar trebui să obținem identitatea 0 = 0, deoarece y = φ(x) este o soluție a acestei ecuații. Vedem, așadar, că constanta zero poate fi considerată ca o funcție complexă a lui x, care depinde de x atât direct, cât și prin y =φ(x).

Derivata fata de x a acestei constante trebuie sa fie zero; aplicând regula (***), obținem

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Prin urmare,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> este valabil atât pentru una, cât și pentru cealaltă funcție.

5.7. Diferenţial total de ordinul întâi. Invarianța formei unei diferențiale de ordinul întâi

Să înlocuim expresiile pentru http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> definite prin egalități (*) (vezi cazul 1 din clauza 5.6 „Reguli de diferențiere a funcțiilor complexe și implicite. Derivată totală”) în formula diferențială totală.

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Atunci formula pentru diferența totală de ordinul întâi a unei funcții a două variabile are forma

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Comparând ultima egalitate cu formula pentru prima diferenţială a unei funcţii de două variabile independente, putem spune că expresia pentru diferenţialul complet de ordinul întâi a unei funcţii de mai multe variabile are aceeaşi formă pe care ar avea-o dacă u şi v au fost variabile independente.

Cu alte cuvinte, forma primei diferenţiale este invariantă, adică nu depinde dacă variabilele u şi v sunt variabile independente sau depind de alte variabile.

EXEMPLU

Aflați diferența totală de ordinul întâi a unei funcții complexe

z=u2v3, u=x2 sin y, v=x3·ey.

Rezolvare Folosind formula pentru diferența totală de ordinul întâi, avem

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x sin y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Această expresie poate fi rescrisă astfel

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=

Proprietatea de invarianță a unui diferențial ne permite să extindem regula pentru găsirea diferențială a unei sume, a unui produs și a unui coeficient la cazul unei funcții a mai multor variabile:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Aceasta

funcția va fi omogenă de gradul trei pentru toate x, y și t reale. Aceeași funcție va fi orice polinom omogen în x și y de gradul al treilea, adică un astfel de polinom în fiecare termen a cărui suma exponenților xn este egală cu trei:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

sunt funcții omogene de gradele 1, 0 și respectiv (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Într-adevăr,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Presupunând t=1, găsim

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Derivate parțiale http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), în general

Cu alte cuvinte, sunt funcții ale variabilelor x și y. Prin urmare, derivate parțiale pot fi găsite din nou din ele. În consecință, există patru derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții a două variabile, deoarece fiecare dintre funcțiile și poate fi diferențiată atât în ​​raport cu x, cât și pe y.

Derivatele a doua parțiale se notează după cum urmează:

este derivata de ordinul al n-lea; aici funcția z a fost mai întâi diferențiată de p ori față de x, și apoi de n - p ori față de y.

Pentru o funcție a oricărui număr de variabile, derivatele parțiale de ordin superior sunt determinate în mod similar.

P R Și m e r 1. Calculați derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Exemplul 2. Calculați și http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Exemplul 3. Calculați dacă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy și f"yx sunt definite și continue în punctul M(x, y) și în unele din vecinătatea acestuia, apoi în acest punct

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Prin urmare,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Soluţie.

Derivatele mixte sunt egale.

5.10. Diferențiale de ordin superior ale unei funcțiinvariabile.

Diferenţial total d u funcțiile mai multor variabile sunt la rândul lor o funcție a acelorași variabile și putem determina diferența totală a acesteia ultima functie. Astfel, vom obține o diferențială de ordinul doi d2u a funcției originale și, care va fi și o funcție a acelorași variabile, iar diferența sa completă ne va conduce la o diferențială de ordinul trei d3u a funcției originale etc.

Să considerăm mai detaliat cazul funcției u=f(x, y) a două variabile x și y și să presupunem că variabilele x și y sunt variabile independente. A-prioriu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Calculând d3u exact în același mod, obținem

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Mai mult, această formulă trebuie înțeleasă astfel: suma dintre paranteze trebuie ridicată la puterea n, folosind Formula Binomială a lui Newton, după care exponenții y și http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> cu ghiduri cosinus cosα, cos β (α + β = 90°). Pe vector, se consideră punctul M1(x + Δx; y + Δy). La trecerea de la punctul M la punctul M1, funcția z = f(x; y) va primi un increment complet

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> tinzând spre zero (vezi figura).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

unde http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src="> și, prin urmare, obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> la Δs->0 se numește produs

funcția apă z = f(x; y) în punctul (x; y) în direcția vectorului și se notează

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Astfel, cunoscând derivatele parțiale ale funcției

z = f(x; y) puteți găsi derivata acestei funcții în orice direcție, iar fiecare derivată parțială este un caz special al derivatei direcționale.

EXEMPLU Aflați derivata unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

În consecință, funcția z = f(x;y) crește într-o direcție dată.

5. 12 . Gradient

Gradientul unei funcții z = f(x; y) este un vector ale cărui coordonate sunt derivatele parțiale corespunzătoare acestei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

adică..jpg" width="89" height="33 src=">

în punctul M(3;4).

Soluţie.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">

Când studiem multe modele în științe naturale și economie, se întâlnesc funcții a două (sau mai multe) variabile independente.

Definiție (pentru o funcție a două variabile).Lăsa X , Y Și Z - mulţimi. Dacă fiecare cuplu (X, y) elemente din mulţimi respectiv X Și Y în virtutea unor legi f se potrivește cu un singur element z din multi Z , atunci ei spun asta este dată o funcție a două variabile z = f(X, y) .

În general domeniul unei funcții a două variabile geometric poate fi reprezentat printr-un anumit set de puncte ( X; y) avion xOy .

Definițiile de bază referitoare la funcțiile mai multor variabile sunt o generalizare a corespunzătoare definiții pentru o funcție a unei variabile .

O multime de D numit domeniul functiei z, și setul E – multele sale sensuri. Variabile XȘi yîn raport cu funcţia z se numesc argumentele sale. Variabil z numită variabilă dependentă.

Valorile private ale argumentelor

corespunde valorii private a funcției

Domeniul unei funcții a mai multor variabile

Dacă funcția mai multor variabile (de exemplu, două variabile) dat de formula z = f(X, y) , Acea zona de definire a acestuia este mulțimea tuturor acestor puncte ale planului x0y, pentru care expresia f(X, y) are sens și acceptă valori reale. Din care sunt derivate reguli generale pentru domeniul unei funcții a mai multor variabile reguli generale Pentru domeniul de definire al unei funcții a unei variabile. Diferența este că pentru o funcție de doi zona variabilelor definiția este un anumit set de puncte pe plan, și nu o linie dreaptă, ca pentru o funcție a unei variabile. Pentru funcții de trei variabile, domeniul de definiție este setul corespunzător de puncte din spațiul tridimensional și pentru o funcție n variabile - setul corespunzător de puncte ale rezumatului n-spațiul dimensional.

Domeniul unei funcții a două variabile cu rădăcină n gradul

În cazul în care o funcție a două variabile este dată de formula și n - numar natural :

Dacă n este un număr par, atunci domeniul de definire al funcției este mulțimea de puncte ale planului corespunzătoare tuturor valorilor expresiei radicale care sunt mai mari sau egale cu zero, adică

Dacă n este un număr impar, atunci domeniul de definire al funcției este mulțimea oricăror valori, adică întregul plan x0y .

Domeniul unei funcții de putere a două variabile cu un exponent întreg

:

Dacă A- pozitiv, atunci domeniul de definire al funcției este întregul plan x0y ;

Dacă A- negativ, atunci domeniul de definire al funcției este mulțimea de valori diferite de zero: .

Domeniul unei funcții de putere a două variabile cu un exponent fracționar

În cazul în care funcția este dată de formula :

dacă este pozitiv, atunci domeniul de definire al funcției este mulțimea acelor puncte din plan la care ia valori mai mari sau egale cu zero: ;

dacă - este negativ, atunci domeniul de definire al funcției este mulțimea acelor puncte din plan la care ia valori mai mari decât zero: .

Domeniul de definire a unei funcții logaritmice a două variabile

Funcția logaritmică a două variabile este definit cu condiția ca argumentul său să fie pozitiv, adică domeniul definiției sale este mulțimea acelor puncte din plan la care ia valori mai mari decât zero: .

Domeniul de definire a funcțiilor trigonometrice a două variabile

Domeniul funcției - întregul avion x0y .

Domeniul funcției - întregul avion x0y .

Domeniul de definire al funcției este întregul plan x0y

Domeniul funcției - întregul avion x0y, cu excepția perechilor de numere pentru care ia valori.

Domeniul de definire a funcțiilor trigonometrice inverse a două variabile

Domeniul funcției .

Domeniul funcției - ansamblul punctelor din plan pentru care .

Domeniul funcției - întregul avion x0y .

Domeniul funcției - întregul avion x0y .

Domeniul de definire a unei fracții în funcție de două variabile

Dacă o funcție este dată de formulă, atunci domeniul de definiție al funcției este toate punctele planului în care .

Domeniul unei funcții liniare a două variabile

Dacă funcția este dată de o formulă de formă z = topor + de + c , atunci domeniul de definire al funcției este întregul plan x0y .

Exemplul 1.

Soluţie. Conform regulilor domeniului definiției, compunem o dublă inegalitate

Înmulțim întreaga inegalitate cu și obținem

Expresia rezultată specifică domeniul de definire a acestei funcții a două variabile.

Exemplul 2. Aflați domeniul unei funcții a două variabile.

Funcții ale multor variabile

§1. Conceptul de funcție a mai multor variabile.

Să fie n cantități variabile. Fiecare set
denotă un punct n- set dimensional
(P-vector dimensional).

Lasă seturile date
Și
.

AOD. Dacă fiecare punct
se potrivește cu numărul singular
, atunci spunem că este dată o funcție numerică n variabile:

.

se numește domeniul definiției,
- un set de valori ale unei funcții date.

Când n=2 în schimb
de obicei scrie X, y, z. Atunci funcția a două variabile are forma:

z= f(X, y).

De exemplu,
- funcţia a două variabile;

- funcţia a trei variabile;

Funcție liniară n variabile.

AOD. Graficul funcției n sunt numite variabile n- hipersuprafață dimensională în spațiu
, din care fiecare punct este specificat prin coordonate

De exemplu, un grafic al unei funcții a două variabile z= f(X, y) este o suprafață în spațiu tridimensional, fiecare punct al căruia este specificat prin coordonate ( X, y, z) , Unde
, Și
.

Deoarece nu este posibil să descriem un grafic al unei funcții de trei sau mai multe variabile, vom lua în considerare în principal (pentru claritate) funcțiile a două variabile.

Trasarea funcțiilor a două variabile este o sarcină destul de dificilă. Construcția așa-numitelor linii de nivel poate oferi un ajutor semnificativ în rezolvarea acestei probleme.

AOD. Linia de nivel a unei funcții a două variabile z= f(X, y) se numeste multimea punctelor din plan HOU, care sunt proiecția secțiunii graficului funcției printr-un plan paralel HOU.În fiecare punct al liniei de nivel funcția are aceeași valoare. Liniile de nivel sunt descrise de ecuație f(X, y)=c, Unde Cu– un anumit număr. Există infinit de linii de nivel și una dintre ele poate fi trasată prin fiecare punct al domeniului de definiție.

AOD. Funcția nivel de suprafață n variabile y= f (
) se numește hipersuprafață în spațiu
, în fiecare punct al căruia valoarea funcției este constantă și egală cu o anumită valoare Cu. Ecuația suprafeței de nivel: f (
)=s.

Exemplu. Reprezentați grafic o funcție a două variabile

.

.

Când c=1:
;
.

Cu c=4:
;
.

La c=9:
;
.

Liniile de nivel sunt cercuri concentrice, a căror rază scade odată cu creșterea z.

§2. Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.

Pentru funcțiile mai multor variabile, aceleași concepte sunt definite ca și pentru funcțiile unei variabile. De exemplu, puteți da definiții ale limitei și continuității unei funcții.

AOD. Numărul A se numește limita unei funcții a două variabile z= f(X, y) la
,
si este desemnat
, dacă pentru orice număr pozitiv există un număr pozitiv , astfel încât dacă punctul
departe de punct
distanta mai mica , apoi cantitățile f(X, y) și A diferă cu mai puțin decât .

AOD. Dacă funcţia z= f(X, y) definit la punct
și are o limită în acest punct egală cu valoarea funcției
, atunci se numește continuu într-un punct dat.

.

§3. Derivate parțiale ale funcțiilor mai multor variabile.

Luați în considerare o funcție a două variabile
.

Să reparăm valoarea unuia dintre argumentele sale, de exemplu , punând
. Apoi funcția
există o funcție a unei variabile . Lasă-l să aibă o derivată la punct :

.

Această derivată se numește derivată parțială (sau derivată parțială de ordinul întâi) a funcției
De la punct
si este desemnata:
;
;
;
.

Diferența se numește increment parțial si este desemnat
:

Ținând cont de notațiile de mai sus, putem scrie

.

Definit în mod similar

.

Derivată parțială funcțiile mai multor variabile într-una dintre aceste variabile se numește limita raportului dintre creșterea parțială a unei funcții și creșterea variabilei independente corespunzătoare, atunci când această creștere tinde spre zero.

La găsirea derivatei parțiale cu privire la orice argument, celelalte argumente sunt considerate constante. Toate regulile și formulele de diferențiere a funcțiilor unei variabile sunt valabile pentru derivatele parțiale ale funcțiilor mai multor variabile.

Rețineți că derivatele parțiale ale unei funcții sunt funcții ale acelorași variabile. Aceste funcții, la rândul lor, pot avea derivate parțiale, care sunt numite derivate parțiale secunde(sau derivate parțiale de ordinul doi) ale funcției originale.

De exemplu, funcția
are patru derivate parțiale de ordinul doi, care sunt notate după cum urmează:

;
;

;
.

Și
- derivate parțiale mixte.

Exemplu. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi pentru o funcție

.

Soluţie.
,
.

,
.

,
.

Exercițiu.

1. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi pentru funcții

,
;

2. Pentru funcție
dovedeste asta
.

Diferenţial complet funcţiile multor variabile.

Cu modificări simultane ale valorilor XȘi la funcţie
se va modifica cu o sumă numită increment total al funcției z la punct
. La fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, se pune problema înlocuirii aproximative a incrementului
pe funcție liniară din
Și
. Rolul aproximării liniare este îndeplinit de diferenţial complet Caracteristici:

Diferenţial total de ordinul doi:

=
.

=
.

ÎN vedere generala diferenţial complet P-a ordinea are forma:

Derivată direcțională. Gradient.

Lasă funcția z= f(X, y) este definită în apropierea punctului M( X, y) Și - o anumită direcție specificată de vectorul unitar
. Coordonatele unui vector unitar sunt exprimate prin cosinusurile unghiurilor formate de vector și axele de coordonate și se numesc cosinus de direcție:

,

.

La mutarea punctului M( X, y) în această direcţie l exact
funcţie z va primi un spor

numită creșterea funcției într-o direcție dată l.

E dacă MM 1 =∆ l, Acea

T

când

DESPRE

etc. Derivat funcții z= f(X, y) către se numește limita raportului dintre incrementul funcției în această direcție și mărimea deplasării ∆ l deoarece acesta din urmă tinde spre zero:

Derivata direcțională caracterizează viteza de schimbare a unei funcții într-o direcție dată. Este evident că derivatele parțiale Și reprezintă derivate în direcții paralele cu axele Bou Și Oi. Este ușor să arăți asta

Exemplu. Calculați derivata unei funcții
în punctul (1;1) în direcția
.

AOD. Gradient funcții z= f(X, y) este un vector cu coordonatele egale cu derivatele parțiale:

.

Luați în considerare produsul scalar al vectorilor
Și
:

Este ușor să vezi asta
, adică derivata direcțională este egală cu produsul scalar al gradientului și vectorului direcție unitară .

Deoarece
, atunci produsul scalar este maxim atunci când vectorii au aceleași direcții. Astfel, gradientul unei funcții într-un punct specifică direcția celei mai rapide creșteri a funcției în acest punct, iar modulul gradientului este egal cu rata maximă de creștere a funcției.

Cunoscând gradientul unei funcții, se pot construi local linii de nivel de funcție.

Teorema. Să fie dată o funcție diferențiabilă z= f(X, y) iar la punct
gradientul funcției nu este zero:
. Apoi gradientul este perpendicular pe linia de nivel care trece prin punctul dat.

Astfel, dacă, pornind de la un anumit punct, construim gradientul funcției și o mică parte a liniei de nivel perpendiculară pe aceasta în punctele apropiate, atunci putem (cu o oarecare eroare) să construim linii de nivel.

Extremul local al unei funcții a două variabile

Lasă funcția
definită şi continuă într-o vecinătate a punctului
.

AOD. Punct
se numește punctul maxim local al funcției
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului , în care pentru orice punct
inegalitatea este valabilă:

.

Conceptul de minim local este introdus în mod similar.

Teoremă (condiție necesară pentru extremul local).

Pentru o funcție diferențiabilă
avea un extremum local la punctul respectiv
, este necesar ca toate derivatele sale parțiale de ordinul întâi să fie egale cu zero în acest punct:

Deci, punctele de prezență posibilă a unui extremum sunt acele puncte în care funcția este diferențiabilă și gradientul său este egal cu 0:
. Ca și în cazul unei funcții a unei variabile, astfel de puncte sunt numite staționare.

Până acum am considerat cel mai simplu model funcțional, în care funcţie depinde de singurul lucru argument. Dar atunci când studiem diferite fenomene ale lumii înconjurătoare, întâlnim adesea schimbări simultane în mai mult de două cantități și multe procese pot fi formalizate eficient funcţia mai multor variabile, Unde - argumente sau variabile independente. Să începem să dezvoltăm subiectul cu cel mai des întâlnit în practică. funcţiile a două variabile .

Funcția a două variabile numit lege, conform căreia fiecare pereche de valori variabile independente(argumente) din domeniul definirii corespunde valorii variabilei dependente (funcție).

Această funcție este desemnată după cum urmează:

Ori , sau altă scrisoare standard:

Deoarece perechea ordonată de valori „x” și „y” determină punct pe un avion, atunci funcția se scrie și prin , unde este un punct din planul cu coordonate . Această notație este utilizată pe scară largă în unele sarcini practice.

Sensul geometric al unei funcții a două variabile foarte simplu. Dacă o funcție a unei variabile corespunde unei anumite drepte pe un plan (de exemplu, parabola școlară familiară), atunci graficul unei funcții a două variabile este situat în spațiul tridimensional. În practică, cel mai adesea avem de-a face suprafaţă, dar uneori graficul unei funcții poate fi, de exemplu, o linii spațiale sau chiar un singur punct.

Suntem bine familiarizați cu exemplul elementar al unei suprafețe din curs geometrie analitică- Acest avion. Presupunând că , ecuația poate fi ușor rescrisă ca forma functionala:

Cel mai important atribut al unei funcții de 2 variabile este deja enunțat domeniu.

Domeniul unei funcții a două variabile numit set toata lumea perechile pentru care există valoarea.

Grafic, domeniul definiției este întregul avion sau o parte a acestuia. Astfel, domeniul de definire al funcției este întregul plan de coordonate – din motivul că pentru orice punct există valoare.

Dar un astfel de aranjament inactiv nu se întâmplă întotdeauna, desigur:

Ca două variabile?

Luand in considerare diverse concepte funcții ale mai multor variabile, este util să trasăm analogii cu conceptele corespunzătoare de funcții ale unei variabile. În special, atunci când vă dați seama domeniul definirii am plătit Atentie speciala pentru acele funcții care conțin fracții, rădăcini chiar gradul, logaritmi, etc. Totul este exact la fel aici!

Sarcina de a găsi domeniul de definire a unei funcții a două variabile cu aproape 100% probabilitate va fi întâlnită în lucrarea dvs. tematică, așa că voi analiza un număr decent de exemple:

Exemplul 1

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: deoarece numitorul nu poate merge la zero, atunci:

Răspuns: întregul plan de coordonate cu excepția punctelor aparținând dreptei

Da, da, este mai bine să scrieți răspunsul în acest stil. Domeniul de definire a unei funcții a două variabile este rar notat cu un simbol mult mai des pe care îl folosesc descriere verbalăși/sau desen.

Daca prin conditie necesar faceți un desen, atunci ar fi necesar să reprezentați planul de coordonate și linie punctata face o linie dreaptă. Linia punctată indică faptul că linia Exclusîn domeniul definiţiei.

După cum vom vedea puțin mai târziu, în exemplele mai dificile nu puteți face deloc fără un desen.

Exemplul 2

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă:

Răspuns: semiplan

Imagine grafică aici este și primitiv: desenăm un sistem de coordonate carteziene, solid trageți o linie dreaptă și umbriți partea de sus semiplan. Linia continuă indică faptul că inclusîn domeniul definiţiei.

Atenţie! Dacă nu înțelegeți NIMIC din al doilea exemplu, vă rugăm să studiați/repetați lecția în detaliu Inegalități liniare– fără el va fi foarte greu!

Miniatura pentru decizie independentă:

Exemplul 3

Găsiți domeniul unei funcții

Soluție pe două rânduri și răspuns la sfârșitul lecției.

Să continuăm să ne încălzim:

Exemplul 4

Și înfățișează-l pe desen

Soluţie: este ușor de înțeles că aceasta este formularea problemei cere execuția desenului (chiar dacă domeniul de definire este foarte simplu). Dar mai întâi, analitică: radicalul expresiei trebuie să fie nenegativ: și, având în vedere că numitorul nu poate merge la zero, inegalitatea devine strictă:

Cum se determină zona pe care o definește inegalitatea? Recomand același algoritm de acțiuni ca în soluție inegalități liniare.

Mai întâi desenăm linia, care este setat egalitatea corespunzătoare. Ecuația determină cerc centrat la originea unei raze care împarte planul de coordonate în Două părți - „interiorul” și „exterior” cercului. Din moment ce avem inegalitate strict, atunci cercul în sine nu va fi inclus cu siguranță în domeniul definiției și, prin urmare, trebuie trasat linie punctata.

Acum hai să o luăm arbitrar punct de avion, neaparținând cerc și înlocuiți coordonatele sale în inegalitate. Cel mai simplu mod, desigur, este să alegeți originea:

Primit falsă inegalitate, astfel, punct nu satisface inegalitate Mai mult, această inegalitate nu este satisfăcută de niciun punct aflat în interiorul cercului și, prin urmare, domeniul dorit de definiție este partea sa exterioară. Zona de definiție este în mod tradițional hașurată:

Oricine poate lua orice punct aparținând zonei umbrite și să se asigure că coordonatele acestuia satisfac inegalitatea. Apropo, inegalitatea opusă dă cerc centrat la origine, raza .

Răspuns: partea exterioară a cercului

Să revenim la sensul geometric al problemei: am găsit domeniul de definiție și l-am umbrit, ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că în fiecare punct al zonei umbrite există o valoare „zet” și grafic funcția este urmatoarea suprafaţă:

Desenul schematic arată clar că această suprafață este situată pe alocuri de mai sus avion (octanți aproape și departe de noi), in unele locuri - sub avion (octanții din stânga și din dreapta în raport cu noi). Suprafața trece și prin axe. Dar comportamentul funcției ca atare nu este foarte interesant pentru noi acum - ceea ce este important este că toate acestea se întâmplă exclusiv în domeniul definiţiei. Dacă luăm orice punct aparținând cercului, atunci nu va exista nicio suprafață acolo (deoarece nu există „zet”), după cum demonstrează spațiul rotund din mijlocul imaginii.

Vă rog să înțelegeți bine acest exemplu, pentru că în el eu in detaliu a explicat însăși esența problemei.

Următoarea sarcină este pe care o puteți rezolva singur:

Exemplul 5

O scurtă soluție și desen la sfârșitul lecției. În general, în subiectul luat în considerare printre Liniile de ordinul 2 cel mai popular este cercul, dar, ca opțiune, pot „împinge” problema elipsă, hiperbolă sau parabolă.

Să mergem în sus:

Exemplul 6

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă: iar numitorul nu poate fi egal cu zero: . Astfel, domeniul de definire este specificat de sistem.

Ne ocupăm de prima condiție folosind schema standard discutată în lecție. Inegalități liniare: trageți o dreaptă și determinați semiplanul care corespunde inegalității. Pentru că inegalitatea nestrict, atunci linia dreaptă în sine va fi și ea o soluție.

Cu a doua condiție a sistemului, totul este și simplu: ecuația specifică axa ordonatelor și, din moment ce , atunci ar trebui exclusă din domeniul definiției.

Să desenăm desenul, fără a uita că linia continuă indică intrarea sa în zona de definire, iar linia punctată indică excluderea sa din această zonă:

De remarcat că aici suntem deja forţat face un desen. Și această situație este tipică - în multe sarcini, o descriere verbală a zonei este dificilă și, chiar dacă o descrii, cel mai probabil vei fi prost înțeles și vei fi forțat să descrii zona.

Răspuns: domeniu:

Apropo, un astfel de răspuns fără desen pare cu adevărat umed.

Să o repetăm ​​din nou sens geometric rezultatul obținut: în zona umbrită există un grafic al funcției, care reprezintă suprafața spațiului tridimensional. Această suprafață poate fi situată deasupra/sub plan, sau poate intersecta planul - în acest caz, toate acestea sunt paralele cu noi. Însuși faptul existenței suprafeței este important și este important să găsim corect regiunea în care aceasta există.

Exemplul 7

Găsiți domeniul unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu aproximativ de sarcină finală la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca funcții aparent simple să producă o soluție departe de a fi pripită:

Exemplul 8

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: folosind formula diferenței pătrate, să factorizăm expresia radicală: .

Produsul a doi factori este nenegativ , Când ambii multiplicatorii sunt nenegativi: SAU Când ambii nepozitiv: . Aceasta este o caracteristică tipică. Astfel, trebuie să rezolvăm două sisteme de inegalități liniareȘi COMBINA zonele primite. Într-o situație similară, în loc de algoritm standard Metoda științifică, sau mai degrabă, practică, funcționează mult mai rapid =)

Desenăm linii drepte care împart planul de coordonate în 4 „colțuri”. Luăm un punct aparținând „colțului” superior, de exemplu, un punct și înlocuim coordonatele acestuia în ecuațiile primului sistem: . Se obțin inegalitățile corecte, ceea ce înseamnă că soluția sistemului este toate„colț” de sus. Umbrire.

Acum luăm punctul aparținând „colțului” drept. Rămâne al 2-lea sistem, în care înlocuim coordonatele acestui punct: . A doua inegalitate nu este adevărată, prin urmare, si tot„colțul” din dreapta nu este o soluție pentru sistem.

O poveste similară este cu „colțul din stânga”, care, de asemenea, nu este inclus în domeniul de aplicare al definiției.

Și în cele din urmă, înlocuim coordonatele punctului experimental al „colțului” inferior în al doilea sistem: . Ambele inegalități sunt adevărate, ceea ce înseamnă că soluția sistemului este si tot„colțul” inferior, care ar trebui să fie și umbrit.

În realitate, desigur, nu este nevoie să o descriem atât de detaliat - toate acțiunile comentate sunt ușor de realizat oral!

Răspuns: domeniul definirii este Uniune solutii de sistem .

După cum ați putea ghici, fără un desen, un astfel de răspuns este puțin probabil să funcționeze, iar această circumstanță vă obligă să luați o riglă și un creion, chiar dacă condiția nu a cerut acest lucru.

Și asta e nebunia ta:

Exemplul 9

Găsiți domeniul unei funcții

Un elev bun ratează întotdeauna logaritmii:

Exemplul 10

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: argumentul logaritmului este strict pozitiv, deci domeniul de definire este dat de sistem.

Inegalitatea indică semiplanul drept și exclude axa.

Cu a doua condiție situația este mai complicată, dar și transparentă. Să ne amintim sinusoid. Argumentul este „Igrek”, dar acest lucru nu ar trebui să mă încurce – Igrek, deci Igrek, Zyu, deci Zyu. Unde este sinusul mai mare decat zero? Sinusul este mai mare decât zero, de exemplu, pe interval. Deoarece funcția este periodică, există infinit de astfel de intervale și în formă restrânsă soluția inegalității poate fi scrisă după cum urmează:
, unde este un întreg arbitrar.

Un număr infinit de intervale, desigur, nu poate fi descris, așa că ne vom limita la interval și vecinii săi:

Să completăm desenul, fără a uita că, conform primei condiții, domeniul nostru de activitate se limitează strict la semiplanul drept:

hmm... s-a dovedit a fi un fel de desen fantomă... o bună reprezentare a matematicii superioare...

Răspuns:

Următorul logaritm este al tău:

Exemplul 11

Găsiți domeniul unei funcții

În timpul soluției va trebui să construiți parabolă, care va împărți avionul în 2 părți - „interiorul” situat între ramuri și partea exterioară. Metoda de găsire a piesei necesare a apărut în mod repetat în articol Inegalități liniareși exemplele anterioare din această lecție.

Rezolvare, desen și răspuns la sfârșitul lecției.

Nucile finale ale paragrafului sunt dedicate „arcelor”:

Exemplul 12

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: Argumentul arcsinus trebuie să fie în următoarele limite:

Apoi sunt doi capabilități tehnice: cititori mai pregătiți similari cu ultimele exemple ale lecției Domeniul unei funcții a unei variabile pot „rula” inegalitatea dublă și pot lăsa „Y” la mijloc. Pentru manechine, recomand convertirea „locomotivei” într-un echivalent sistem de inegalități:

Sistemul este rezolvat ca de obicei - construim linii drepte și găsim semiplanurile necesare. Ca urmare:

Vă rugăm să rețineți că aici limitele sunt incluse în zona de definire și liniile drepte sunt desenate ca linii continue. Acest lucru trebuie întotdeauna monitorizat cu atenție pentru a evita o greșeală gravă.

Răspuns: domeniul definiției reprezintă soluția sistemului

Exemplul 13

Găsiți domeniul unei funcții

Soluția eșantion utilizează o tehnică avansată - conversia inegalităților duble.

În practică, uneori întâlnim și probleme care implică găsirea domeniului de definire a unei funcții a trei variabile. Domeniul de definire a unei funcții de trei variabile poate fi Toate spațiu tridimensional sau o parte a acestuia. În primul caz funcția este definită pentru orice puncte din spațiu, în al doilea - numai pentru acele puncte care aparțin unui obiect spațial, cel mai adesea - corp. Poate fi un paralelipiped dreptunghiular, elipsoid, "interior" cilindru parabolic etc. Sarcina de a găsi domeniul de definire a unei funcții de trei variabile constă de obicei în găsirea acestui corp și realizarea unui desen tridimensional. Cu toate acestea, astfel de exemple sunt destul de rare. (am gasit doar cateva bucati), și, prin urmare, mă voi limita doar la acest paragraf de prezentare generală.

Linii de nivel

Pentru a înțelege mai bine acest termen, vom compara axa cu înălţime: cu cât valoarea „Z” este mai mare, cu atât înălțimea este mai mare, cu atât valoarea „Z” este mai mică, cu atât înălțimea este mai mică. Înălțimea poate fi, de asemenea, negativă.

O funcție din domeniul său de definire este un grafic spațial pentru o definiție și o mai mare claritate, vom presupune că aceasta este o suprafață trivială; Ce sunt liniile de nivel? Figurat vorbind, liniile de nivel sunt „felii” orizontale ale suprafeței la diferite înălțimi. Aceste „felii” sau, mai corect, secțiuni efectuate cu avioane, după care sunt proiectate în plan .

Definiție: o linie de nivel de funcție este o dreaptă pe plan în fiecare punct al căruia funcția menține o valoare constantă: .

Astfel, liniile de nivel ajută să ne dăm seama cum arată o anumită suprafață - și ajută fără a construi un desen tridimensional! Sa luam in considerare sarcina specifica:

Exemplul 14

Găsiți și trasați mai multe linii de nivel ale unui grafic al funcției

Soluţie: Examinăm forma unei suprafețe date folosind linii de nivel. Pentru comoditate, să extindem intrarea „înapoi în față”:

Evident, în acest caz, „zet” (înălțimea) evident nu poate lua valori negative (deoarece suma pătratelor este nenegativă). Astfel, suprafața este situată în semi-spațiul superior (deasupra planului).

Deoarece condiția nu spune la ce înălțimi specifice trebuie să fie „tăiate” liniile de nivel, suntem liberi să alegem mai multe valori „Z” la discreția noastră.

Examinăm suprafața la înălțime zero, pentru a face acest lucru punem valoarea în egalitate :

Soluția acestei ecuații este punctul. Adică când linia de nivel reprezintă un punct.

Ne ridicăm la o unitate de înălțime și ne „tăiem” suprafața avion (se înlocuiește în ecuația de suprafață):

Prin urmare, pentru înălțime, linia de nivel este un cerc centrat într-un punct cu raza unitară.

iti amintesc ca toate „feliile” sunt proiectate pe plan, și de aceea notez două, nu trei, coordonate pentru puncte!

Acum luăm, de exemplu, un avion și „tăiem” suprafața studiată cu el (substituiîn ecuația de suprafață):

Prin urmare, pentru inaltimelinia de nivel este un cerc centrat în punctul de rază.

Și, să construim o altă linie de nivel, să zicem :

–cerc centrat într-un punct cu raza 3.

Liniile de nivel, așa cum am subliniat deja, sunt situate pe plan, dar fiecare linie este semnată - la ce înălțime corespunde:

Nu este greu de înțeles că alte linii de nivel ale suprafeței luate în considerare sunt, de asemenea, cercuri, iar cu cât urcăm mai sus (creștem valoarea „Z”), cu atât raza devine mai mare. Prin urmare, suprafața în sine Este un castron nesfârșit cu fundul ovoid, al cărui vârf se află pe un plan. Acest „castron”, împreună cu axa, „ie iese direct la tine” de pe ecranul monitorului, adică te uiți în fundul lui =) Și asta nu este fără motiv! Numai eu îl turnez pe drum atât de letal =) =)

Răspuns: liniile de nivel ale unei suprafețe date sunt cercuri concentrice ale formei

Notă : când se obţine un cerc degenerat de rază (punct) zero

Însuși conceptul de linie de nivel provine din cartografie. Pentru a parafraza expresia matematică stabilită, putem spune că linia de nivel este locație geografică puncte aceeasi inaltime . Luați în considerare un anumit munte cu linii de nivel de 1000, 3000 și 5000 de metri:

Figura arată clar că versantul din stânga sus al muntelui este mult mai abrupt decât versantul din dreapta jos. Astfel, liniile de nivel vă permit să reflectați terenul pe o hartă „plată”. Apropo, aici valorile negative de altitudine dobândesc, de asemenea, o semnificație foarte specifică - la urma urmei, unele zone ale suprafeței Pământului sunt situate sub nivelul zero al oceanelor lumii.

) am întâlnit deja în mod repetat derivate parțiale ale funcțiilor complexe precum și exemple mai dificile. Deci despre ce mai poți vorbi?! ...Și totul este ca în viață - nu există o complexitate care să nu poată fi complicată =) Dar matematica este scopul pentru care este matematică, pentru a încadra diversitatea lumii noastre într-un cadru strict. Și uneori acest lucru se poate face cu o singură propoziție:

În general, funcția complexă are forma , Unde, cel puțin unul de litere reprezintă funcţie, care poate depinde de arbitrar numărul de variabile.

Opțiunea minimă și cea mai simplă este funcția complexă de mult familiară a unei variabile, al cărui derivat am învățat cum să găsim semestrul trecut. De asemenea, aveți abilitățile de a diferenția funcții (uitați-vă la aceleași funcții ) .

Astfel, acum ne va interesa tocmai cazul. Datorită varietății mari de funcții complexe, formulele generale pentru derivatele lor sunt foarte greoaie și greu de digerat. În acest sens, mă voi limita exemple concrete, din care poți înțelege principiu general găsirea acestor derivate:

Exemplul 1

Având în vedere o funcție complexă unde . Necesar:
1) găsiți derivata acesteia și notați diferența totală de ordinul 1;
2) se calculează valoarea derivatei la .

Soluţie: În primul rând, să ne uităm la funcția în sine. Ni se oferă o funcție în funcție de și , care la rândul său sunt functii o variabila:

În al doilea rând, să acordăm o atenție deosebită sarcinii în sine - ni se cere să găsim derivat, adică nu vorbim de derivate parțiale, pe care suntem obișnuiți să le găsim! Din moment ce funcţia depinde de fapt de o singură variabilă, atunci cuvântul „derivat” înseamnă derivat total. Cum să o găsesc?

Primul lucru care îmi vine în minte este înlocuirea directă și diferențierea ulterioară. Să înlocuim a functiona:
, după care nu există probleme cu derivata dorită:

Și, în consecință, diferența totală:

Această soluție este corectă din punct de vedere matematic, dar o mică nuanță este că atunci când problema este formulată așa cum este formulată, nimeni nu se așteaptă la o asemenea barbarie de la tine =) Dar serios, poți găsi cu adevărat vina aici. Imaginați-vă că o funcție descrie zborul unui bondar, iar funcțiile imbricate se modifică în funcție de temperatură. Efectuarea unei substituiri directe , primim doar informație privată , care caracterizează zborul, să zicem, doar pe vreme caldă. Mai mult, dacă unei persoane care nu cunoaște bondari i se prezintă rezultatul final și chiar i se spune ce este această funcție, atunci nu va învăța niciodată nimic despre legea fundamentală a zborului!

Așadar, în mod complet neașteptat, fratele nostru zgomotos ne-a ajutat să înțelegem semnificația și importanța formulei universale:

Obișnuiți-vă cu notația „cu două etaje” pentru derivate - în sarcina luată în considerare, ei sunt cei utilizați. În acest caz, ar trebui să fie unul foarte îngrijiteîn intrare: derivate cu simboluri directe „de” sunt derivate complete, iar derivatele cu pictograme rotunjite sunt derivate parțiale. Să începem cu ultimele:

Ei bine, cu „cozile” totul este în general elementar:

Să înlocuim derivatele găsite în formula noastră:

Când o funcție este propusă inițial într-un mod complicat, va fi logic (și acest lucru este explicat mai sus!) lăsați rezultatele așa cum sunt:

În același timp, în răspunsurile „sofisticate” este mai bine să vă abțineți chiar de la simplificări minime (aici, de exemplu, se roagă să fie eliminate 3 minusuri)- și ai mai puțină muncă, iar prietenul tău blănos este bucuros să revizuiască sarcina mai ușor.

Cu toate acestea, o verificare brută nu va fi de prisos. Să înlocuim în derivata găsită și efectuează simplificări:


(la ultimul pas pe care l-am folosit formule trigonometrice , )

Ca urmare, s-a obținut același rezultat ca și în cazul metodei soluției „barbare”.

Să calculăm derivata în punct. Mai întâi este convenabil să aflați valorile de „tranzit”. (valorile funcției ) :

Acum întocmim calculele finale, care în acest caz pot fi efectuate în moduri diferite. Folosesc o tehnică interesantă în care „etajele” 3 și 4 sunt simplificate nu conform regulilor obișnuite, ci sunt transformate ca câte a două numere:

Și, desigur, este un păcat să nu verifici folosind o notație mai compactă :

Răspuns:

Se întâmplă ca problema să fie propusă într-o formă „semi-generală”:

„Găsiți derivata funcției unde »

Adică, funcția „principală” nu este dată, dar „inserțiile” sale sunt destul de specifice. Răspunsul ar trebui dat în același stil:

Mai mult, condiția poate fi ușor criptată:

„Găsiți derivata funcției »

În acest caz aveți nevoie pe cont propriu desemnați funcții imbricate cu unele litere adecvate, de exemplu, prin și folosește aceeași formulă:

Apropo, despre desemnările literelor. Am îndemnat deja în mod repetat să nu „mă agățăm de litere” în ceea ce privește Colac de salvare, iar acum acest lucru este deosebit de relevant! Analizand diverse surse pe această temă, în general am avut impresia că autorii „au înnebunit” și au început să arunce fără milă studenții în abisul furtunos al matematicii =) Așa că iartă-mă :))

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții , Dacă

Alte denumiri nu ar trebui să încurce! De fiecare dată când întâmpinați o sarcină ca aceasta, trebuie să răspundeți la două întrebări simple:

1) De ce depinde funcția „principală”?În acest caz, funcția „zet” depinde de două funcții („y” și „ve”).

2) De ce variabile depind funcțiile imbricate?În acest caz, ambele „inserții” depind doar de „X”.

Așa că nu ar trebui să aveți nicio dificultate în adaptarea formulei la această sarcină!

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemple suplimentare de primul tip pot fi găsite în Cartea cu probleme a lui Ryabushko (IDZ 10.1), ei bine, ne îndreptăm spre funcţia a trei variabile:

Exemplul 3

Dată o funcție unde .
Calculați derivata în punct

Formula pentru derivata unei funcții complexe, după cum mulți presupun, are o formă înrudită:

Decide odată ce ai ghicit =)

Pentru orice eventualitate, îți dau formula generala pentru functie:
, deși în practică este puțin probabil să vedeți ceva mai lung decât Exemplul 3.

În plus, uneori este necesar să se diferențieze o versiune „trunchiată” - de regulă, o funcție a formei sau. Vă las această întrebare să o studiați singur - veniți cu câteva exemple simple, gândiți, experimentați și obțineți formule prescurtate pentru derivate.

Dacă ceva este încă neclar, vă rugăm să recitiți încet și să înțelegeți prima parte a lecției, deoarece acum sarcina va deveni mai complicată:

Exemplul 4

Găsiți derivatele parțiale ale unei funcții complexe, unde

Soluţie: această funcție are forma , iar după substituție directă și obținem funcția obișnuită a două variabile:

Dar o astfel de frică nu numai că nu este acceptată, dar nu se mai dorește să se diferențieze =) Prin urmare, să folosim formule gata preparate. Pentru a vă ajuta să înțelegeți rapid modelul, voi face câteva note:

Privește cu atenție poza de sus în jos și de la stânga la dreapta...

Mai întâi, să găsim derivatele parțiale ale funcției „principale”:

Acum găsim derivatele „X” ale „căptușelilor”:

și notează derivata finală „X”:

La fel și cu „jocul”:

Și

Puteți rămâne la un alt stil - găsiți toate „cozile” simultan și apoi notați ambele derivate.

Răspuns:

Despre înlocuire cumva nu mă gândesc deloc la asta =) =), dar poți modifica puțin rezultatele. Deși, din nou, de ce? – doar îngreunează verificarea profesorului.

Dacă este necesar, atunci diferenţial complet aici este scris după formula obișnuită și, de altfel, doar pe acest pas Cosmeticele ușoare devin potrivite:


Acesta este... ...un sicriu pe roți.

Datorită popularității tipului de funcție complexă luată în considerare, există câteva sarcini pentru o soluție independentă. Un exemplu mai simplu într-o formă „semi-generală” este pentru înțelegerea formulei în sine;-):

Exemplul 5

Aflați derivatele parțiale ale funcției, unde

Și mai complicat - cu includerea tehnicilor de diferențiere:

Exemplul 6

Găsiți diferența completă a unei funcții , Unde

Nu, nu încerc deloc să „te trimit în jos” - toate exemplele sunt luate din munca adevarata, iar „pe marea liberă” poți întâlni orice literă care îți place. În orice caz, va trebui să analizați funcția (răspunzând la 2 întrebări – vezi mai sus), prezentați-l în formă generală și modificați cu atenție formulele derivatelor parțiale. S-ar putea să fii puțin confuz acum, dar vei înțelege însuși principiul construcției lor! Pentru că adevăratele provocări abia încep :)))

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale și construiți diferența completă a unei funcții complexe
, Unde

Soluţie: funcția „principală” are forma și depinde în continuare de două variabile – „x” și „y”. Dar, în comparație cu Exemplul 4, a fost adăugată o altă funcție imbricată și, prin urmare, formulele derivatelor parțiale sunt, de asemenea, prelungite. Ca și în acel exemplu, pentru o mai bună vizualizare a modelului, voi evidenția derivatele parțiale „principale” în diferite culori:

Și din nou, studiați cu atenție înregistrarea de sus în jos și de la stânga la dreapta.

Deoarece problema este formulată într-o formă „semi-generală”, toată munca noastră se limitează în esență la găsirea derivatelor parțiale ale funcțiilor încorporate:

Un elev de clasa I se poate ocupa de:

Și chiar și diferența completă a ieșit destul de frumos:

Nu ți-am oferit în mod deliberat nicio funcție specifică - astfel încât dezordinea inutilă să nu interfereze cu o bună înțelegere a diagramă schematică sarcini.

Răspuns:

Destul de des puteți găsi investiții de „diferite dimensiuni”, de exemplu:

Aici funcția „principală”, deși are forma , depinde în continuare atât de „x” cât și de „y”. Prin urmare, aceleași formule funcționează - doar unele derivate parțiale vor fi egale cu zero. Mai mult, acest lucru este valabil și pentru funcții precum , în care fiecare „căptușeală” depinde de o variabilă.

O situație similară apare în ultimele două exemple ale lecției:

Exemplul 8

Aflați diferența totală a unei funcții complexe într-un punct

Soluţie: condiția este formulată într-un mod „bugetar” și trebuie să etichetăm singuri funcțiile imbricate. Cred că aceasta este o opțiune bună:

„Inserțiile” conțin ( ATENŢIE!) TREI litere sunt vechiul „X-Y-Z”, ceea ce înseamnă că funcția „principală” depinde de fapt de trei variabile. Poate fi rescris oficial ca , iar derivatele parțiale în acest caz sunt determinate de următoarele formule:

Scanăm, cercetăm, surprindem...

În sarcina noastră: