Integrare - MT1205: Analiză matematică pentru economiști - Informatică de afaceri. Rezolvarea integralelor online

Sub iraţionalînțelegeți o expresie în care variabila independentă %%x%% sau polinomul %%P_n(x)%% de gradul %%n \in \mathbb(N)%% este inclusă sub semn radical(din latină radix- rădăcină), adică ridicat la o putere fracționată. Prin înlocuirea unei variabile, unele clase de integranți care sunt iraționale în raport cu %%x%% pot fi reduse la expresii raționale cu privire la o nouă variabilă.

Conceptul de funcție rațională a unei variabile poate fi extins la mai multe argumente. Dacă pentru fiecare argument %%u, v, \dotsc, w%% la calcularea valorii unei funcții sunt furnizate doar operații aritmetice și creșterea la o putere întreagă, atunci vorbim de o funcție rațională a acestor argumente, care este de obicei notat %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Argumentele unei astfel de funcții pot fi ele însele funcții ale variabilei independente %%x%%, inclusiv radicali de forma %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. De exemplu, funcția rațională $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ cu %%u = x, v = \sqrt(x)%% și %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% este o funcție rațională a lui $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ din %%x%% și radicalii %%\sqrt(x)%% și %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, în timp ce funcția %%f(x)%% va fi o funcție irațională (algebrică) a unei variabile independente %%x%%.

Să considerăm integralele de forma %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Astfel de integrale sunt raționalizate prin înlocuirea variabilei %%t = \sqrt[n](x)%%, apoi %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Exemplul 1

Găsiți %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Integrandul argumentului dorit se scrie in functie de radicali de gradul %%2%% si %%3%%. Deoarece cel mai mic multiplu comun al %%2%% și %%3%% este %%6%%, această integrală este o integrală de tip %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% și poate fi raționalizat prin înlocuirea %%\sqrt(x) = t%%. Atunci %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Prin urmare, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Să luăm %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% și $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\dreapta) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(matrice) $$

Integrale de forma %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% sunt un caz special de iraționalități liniare fracționale, i.e. integrale de forma %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, unde %% ad - bc \neq 0%%, care poate fi raționalizat prin înlocuirea variabilei %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, apoi %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Atunci $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Exemplul 2

Găsiți %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Să luăm %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, apoi %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Prin urmare, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Să considerăm integralele de forma %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. În cele mai simple cazuri, astfel de integrale se reduc la integrale tabelare dacă, după izolarea pătratului complet, se face o schimbare de variabile.

Exemplul 3

Găsiți integrala %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Având în vedere că %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, luăm %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, atunci $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(array) $$

În cazuri mai complexe, pentru a găsi integrale de forma %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% sunt folosite

Să ne amintim anii noștri fericiți de școală. Pionierii lecțiilor de matematică, atunci când au început să studieze rădăcinile, în primul rând s-au familiarizat cu rădăcina pătrată. Vom merge pe aceeași cale.

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită

Analizând integrandul, ajungi la concluzia tristă că nu seamănă deloc cu integralele de tabel. Acum, dacă toate aceste lucruri ar fi la numărător, ar fi simplu. Sau nu ar exista rădăcină dedesubt. Sau un polinom. Nici unul metode de integrare a fracțiilor Nici ei nu ajută. Ce să fac?

Tehnica principală de rezolvare a integralelor iraționale este o schimbare a variabilei, care ne va scăpa de TOATE rădăcinile din integrand.

Rețineți că această înlocuire este puțin ciudată, implementarea sa tehnică diferă de metoda de înlocuire „clasică”, care a fost discutată în lecție Metoda înlocuirii în integrală nedefinită.

În acest exemplu, trebuie să înlocuiți X = t 2, adică în loc de „X” sub rădăcină vom avea t 2. De ce înlocuirea? Pentru că, și ca urmare a înlocuirii, rădăcina va dispărea.

Dacă în loc de rădăcina pătrată am avut-o în integrand, atunci am fi făcut înlocuirea. Dacă ar fi fost acolo, l-ar fi realizat și așa mai departe.

Bine, ne vom transforma în. Ce se întâmplă cu polinomul? Nu există dificultăți: dacă , atunci .

Rămâne de văzut în ce se va transforma diferența. Acest lucru se face astfel:

Ne luăm înlocuitorul și agățați diferențele pe ambele părți:

(o vom descrie cât mai detaliat posibil).

Formatul soluției ar trebui să arate cam așa:

.

Să înlocuim: .

.

(1) Efectuăm înlocuirea după înlocuire (cum, ce și unde este deja luat în considerare).

(2) Luăm constanta în afara integralei. Numătorul și numitorul se reduc cu t.

(3) Integrala rezultată este tabelară o pregătim pentru integrare selectând pătratul;

(4) Integrați peste tabel folosind formula

.

(5) Efectuăm înlocuirea inversă. Cum se face? Ne amintim de ce am dansat: dacă, atunci.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Cumva s-a dovedit că în exemplele 1, 2 există un numărător „gol” cu o diferenţială singuratică. Să reparăm situația.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

O analiză preliminară a integrandului arată din nou că nu există o cale ușoară. Și, prin urmare, trebuie să scapi de rădăcină.

Să înlocuim: .

In spate sub rădăcină notăm ÎNTREAGA expresie. Înlocuirea din exemplele anterioare nu este potrivită aici (mai precis, se poate face, dar nu va scăpa de rădăcină).

Agățăm diferențe pe ambele părți:

Am rezolvat numărătorul. Cu ce ​​să faci la numitor?

Luăm înlocuitorul nostru și exprimăm din el: .

Daca atunci.

(1) Efectuăm înlocuirea în conformitate cu înlocuirea efectuată.

(2) Pieptene numărătorul. Aici am ales să nu scot constanta din semnul integral (poți face acest lucru, nu va fi o eroare)

(3) Extindem numărătorul într-o sumă. Încă o dată, vă recomandăm insistent să citiți primul paragraf al lecției Integrarea unor fracții. Va exista o mulțime de demersuri cu descompunerea numărătorului într-o sumă în integrale iraționale, este foarte important să practicați această tehnică.

(4) Împărțiți numărătorul la numitor termen cu termen.

(5) Folosim proprietățile de liniaritate ale integralei nedefinite. În a doua integrală selectăm un pătrat pentru integrarea ulterioară conform tabelului.

(6) Integram conform tabelului. Prima integrală este destul de simplă, în a doua folosim formula tabelară a logaritmului mare .

(7) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă am efectuat o înlocuire, atunci înapoi: .

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur dacă nu ai lucrat cu atenție exemplele anterioare, vei face o greșeală! Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

În principiu, integrale cu mai multe identic rădăcini, de exemplu

etc. Ce să faci dacă integrandul are rădăcini diferit?

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Aici vine socoteala pentru numătorii goli. Când o astfel de integrală este întâlnită, de obicei devine înfricoșătoare. Însă temerile sunt în zadar după ce se face o înlocuire potrivită, integrandu-ul devine mai simplu. Sarcina este următoarea: să efectuați o înlocuire cu succes pentru a scăpa imediat de TOATE rădăcinile.

Atunci când se administrează rădăcini diferite, este convenabil să adere la o anumită schemă de soluții.

Mai întâi, scriem funcția integrand pe o schiță și prezentăm toate rădăcinile sub forma:

Vom fi interesați numitori grade:

Nu există o modalitate universală de a rezolva ecuații iraționale, deoarece clasa lor diferă în cantitate. Articolul va evidenția tipuri caracteristice de ecuații cu substituție folosind metoda integrării.

Pentru a utiliza metoda integrării directe, este necesar să se calculeze integrale nedefinite de tipul ∫ k x + b p d x , unde p este o fracție rațională, k și b sunt coeficienți reali.

Exemplul 1

Găsiți și calculați antiderivatele funcției y = 1 3 x - 1 3 .

Soluţie

Conform regulii de integrare, este necesar să se aplice formula ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, iar tabelul cu antiderivate indică faptul că există o soluție gata făcută pentru această funcție . Înțelegem asta

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + C

Răspuns:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Există cazuri când este posibil să se folosească metoda de subsumare a unui semn diferențial. Aceasta se rezolvă prin principiul găsirii integralelor nedefinite de forma ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , când valoarea lui p este considerată o fracție rațională.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Soluţie

Rețineți că d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Atunci este necesar să subsumăm semnul diferențial folosind tabele de antiderivate. Obținem că

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Răspuns:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Rezolvarea integralelor nedefinite implică o formulă de forma ∫ d x x 2 + p x + q, unde p și q sunt coeficienți reali. Apoi trebuie să selectați un pătrat complet de sub rădăcină. Înțelegem asta

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Aplicând formula situată în tabelul integralelor nedefinite, obținem:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Apoi se calculează integrala:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită de forma ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Soluţie

Pentru a calcula, trebuie să scoateți numărul 2 și să-l plasați în fața radicalului:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Selectați un pătrat complet în expresie radicală. Înțelegem asta

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Atunci obținem o integrală nedefinită de forma 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Răspuns: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrarea funcțiilor iraționale se realizează într-un mod similar. Aplicabil pentru funcțiile de forma y = 1 - x 2 + p x + q.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Soluţie

Mai întâi trebuie să derivați pătratul numitorului expresiei de sub rădăcină.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Integrala tabelului are forma ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, atunci obținem că ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Răspuns:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Procesul de găsire a funcțiilor iraționale antiderivate de forma y = M x + N x 2 + p x + q, unde M, N, p, q existenți sunt coeficienți reali și sunt similari cu integrarea fracțiilor simple de al treilea tip . Această transformare are mai multe etape:

însumând diferenţialul sub rădăcină, izolând pătratul complet al expresiei sub rădăcină, folosind formule tabulare.

Exemplul 5

Aflați antiderivatele funcției y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Soluţie

Din condiția avem că d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x și x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, atunci (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Să calculăm integrala: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Răspuns:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Căutarea integralelor nedefinite ale funcției ∫ x m (a + b x n) p d x se realizează folosind metoda substituției.

Pentru a rezolva este necesar să introducem noi variabile:

1. Când p este un număr întreg, atunci x = z N este considerat, iar N este numitorul comun pentru m, n.
2. Când m + 1 n este un număr întreg, atunci a + b x n = z N și N este numitorul lui p.
3. Când m + 1 n + p este un număr întreg, atunci variabila a x - n + b = z N este necesară, iar N este numitorul numărului p.

Exemplul 6

Aflați integrala definită ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Se obține că ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Rezultă că m = - 1, n = 1, p = - 1 2, atunci m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 este un număr întreg. Puteți introduce o nouă variabilă de forma - 9 + 2 x = z 2. Este necesar să se exprimă x în termeni de z. Ca rezultat, obținem asta

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Este necesar să se facă o înlocuire în integrala dată. Avem asta

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Răspuns:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Pentru a simplifica rezolvarea ecuațiilor iraționale, se folosesc metode de integrare de bază.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiția 1

Mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date $y=f(x)$, definite pe un anumit segment, se numește integrală nedefinită a unei funcții date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.

cometariu

Definiția 2 poate fi scrisă după cum urmează:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Nu orice funcție irațională poate fi exprimată ca o integrală prin funcții elementare. Cu toate acestea, majoritatea acestor integrale pot fi reduse folosind substituții la integrale ale funcțiilor raționale, care pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

eu

La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

Cu această substituție, fiecare putere fracțională a variabilei $x$ este exprimată printr-o putere întreagă a variabilei $t$. Ca urmare, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.

Exemplul 1

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Soluţie:

$k=4$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matrice)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Când găsiți o integrală de forma $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

unde $k$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Ca urmare a acestei substituții, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.

Exemplul 2

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \dreapta|+C\]

După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \dreapta|+C.\]

III

La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, se realizează așa-numita substituție Euler (una dintre cele trei substituții posibile este folosit).

Prima înlocuire a lui Euler

Pentru cazul $a>

Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(a) $, obținem

Exemplul 3

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire (cazul $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

A doua înlocuire a lui Euler

Pentru cazul $c>0$ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(c) $, obținem

Exemplul 4

Efectuați integrarea:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ După ce am făcut invers înlocuire, obținem rezultatul final:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( matrice)\]

A treia înlocuire a lui Euler

Această secțiune va discuta metoda de integrare a funcțiilor raționale. 7.1. Scurte informații despre funcțiile raționale Cea mai simplă funcție rațională este un polinom de gradul zeciuială, adică. o funcţie de forma unde sunt constante reale, iar a0 Ф 0. Polinomul Qn(x) al cărui coeficient a0 = 1 se numeşte redus. Un număr real b se numește rădăcina polinomului Qn(z) dacă Q„(b) = 0. Se știe că fiecare polinom Qn(x) cu coeficienți reali este descompus în mod unic în factori reali de forma în care p, q sunt coeficienți reali, iar factorii pătratici nu au rădăcini reale și, prin urmare, nu pot fi descompunabili în factori liniari reali. Combinând factori identici (dacă există) și presupunând, pentru simplitate, că polinomul Qn(x) este redus, putem scrie factorizarea acestuia sub forma în care sunt numere naturale. Deoarece gradul polinomului Qn(x) este egal cu n, atunci suma tuturor exponenților a, /3,..., A, adăugată la suma dublă a tuturor exponenților ω,..., q, este egală la n: Rădăcina a unui polinom se numește simplă sau simplă, dacă a = 1 și multiplă dacă a > 1; numărul a se numește multiplicitatea rădăcinii a. Același lucru este valabil și pentru alte rădăcini ale polinomului. O funcție rațională f(x) sau o fracție rațională este raportul a două polinoame și se presupune că polinoamele Pm(x) și Qn(x) nu au factori comuni. O fracție rațională este numită proprie dacă gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, adică. Dacă m n, atunci fracția rațională se numește fracție improprie, iar în acest caz, împărțind numărătorul la numitor conform regulii de împărțire a polinoamelor, se poate reprezenta sub forma în care sunt niște polinoame, iar ^^ este un fracție rațională. Exemplul 1. O fracție rațională este o fracție improprie. Împărțind la un „colț”, avem Prin urmare. Aici. și este o fracție adecvată. Definiție. Cele mai simple (sau elementare) fracții sunt fracții raționale din următoarele patru tipuri: unde sunt numere reale, k este un număr natural mai mare sau egal cu 2, iar trinomul pătrat x2 + px + q nu are rădăcini reale, deci -2 _2 este discriminantul său În algebră se demonstrează următoarea teoremă. Teorema 3. O fracție rațională propriu-zisă cu coeficienți reali, al cărei numitor Qn(x) are forma se descompune într-un mod unic în suma fracțiilor simple după regula Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție lui Euler În această expansiune există câteva constante reale, dintre care unele pot fi egale cu zero. Pentru a găsi aceste constante, partea dreaptă a egalității (I) este adusă la un numitor comun, iar apoi coeficienții la aceleași puteri ale lui x din numărătorii părților stângi și drepte sunt echivalați. Aceasta oferă un sistem de ecuații liniare din care se găsesc constantele necesare. . Această metodă de găsire a constantelor necunoscute se numește metoda coeficienților nedeterminați. Uneori este mai convenabil să folosiți o altă metodă de găsire a constantelor necunoscute, care constă în faptul că, după echivalarea numărătorilor, se obține o identitate față de x, în care argumentului x i se dau niște valori, de exemplu, valorile ​a rădăcinilor, rezultând ecuații pentru găsirea constantelor. Este convenabil mai ales dacă numitorul Q„(x) are doar rădăcini simple reale. Exemplul 2. Descompuneți fracția rațională în fracții mai simple. Descompunem numitorul în înmulțiri: Deoarece rădăcinile numitorului sunt reale și diferite, atunci, pe baza formulei (1), descompunerea fracției în cea mai simplă va avea forma: Reducerea dreptei onoare „a acelei egalități la numitor comun și echivalând numărătorii de pe laturile sale stânga și dreapta, obținem identitatea sau Găsim coeficienți necunoscuți A. 2?, C în două moduri. Prima cale Echivalarea coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x, t.v. cu (termen liber), și laturile stânga și dreapta ale identității, obținem un sistem liniar de ecuații pentru aflarea coeficienților necunoscuți A, B, C: Acest sistem are o soluție unică C A doua metodă. Deoarece rădăcinile numitorului sunt rupte la i 0, obținem 2 = 2A, de unde A * 1; g i 1, obținem -1 * -B, din care 5 * 1; x i 2, obținem 2 = 2C. de unde C» 1, iar expansiunea necesară are forma 3. Rehlozhnt nu cele mai simple fracții fracție rațională 4 Descompunem polinomul, care este în sens invers, în factori: . Numitorul are două rădăcini reale diferite: x\ = 0 multiplicitatea multiplicității 3. Prin urmare, descompunerea acestei fracții nu este cea mai simplă: Reducând partea dreaptă la un numitor comun, găsim sau Prima metodă. Echivalarea coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta ultimei identități. obținem un sistem liniar de ecuații Acest sistem are o soluție unică și expansiunea necesară va fi metoda a doua. În identitatea rezultată, punând x = 0, obținem 1 a A2, sau A2 = 1; câmp* gay x = -1, obținem -3 i B), sau Bj i -3. La înlocuirea valorilor găsite ale coeficienților A\ și B) și identitatea va lua forma sau Punând x = 0, iar apoi x = -I. constatăm că = 0, B2 = 0 și. aceasta înseamnă B\ = 0. Astfel, obținem din nou Exemplul 4. Extindeți fracția rațională 4 în fracții mai simple Numitorul fracției nu are rădăcini reale, deoarece funcția x2 + 1 nu dispare pentru nicio valoare reală a lui x. Prin urmare, descompunerea în fracții simple ar trebui să aibă forma De aici obținem sau. Echivalând coeficienții puterilor sinaxelor lui x în laturile stânga și dreapta ale ultimei egalități, vom avea unde găsim și, prin urmare, Trebuie remarcat că în unele cazuri descompunerea în fracții simple se pot obține mai rapid și mai ușor prin acțiune. într-un alt fel, fără a utiliza metoda coeficienților nedeterminați De exemplu, pentru a obține descompunerea fracției din exemplul 3, puteți adăuga și scădea la numărătorul 3x2 și împărțiți așa cum este indicat mai jos. 7.2. Integrarea fracțiilor simple, După cum sa menționat mai sus, orice fracție rațională improprie poate fi reprezentată ca suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise (§7), iar această reprezentare este unică. Integrarea unui polinom nu este dificilă, așa că luați în considerare problema integrării unei fracții raționale adecvate. Deoarece orice fracție rațională proprie poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple, integrarea ei se reduce la integrarea fracțiilor simple. Să luăm acum în considerare problema integrării lor. III. Pentru a găsi integrala celei mai simple fracții de al treilea tip, izolăm pătratul complet al binomului din trinomul pătrat: Deoarece al doilea termen este egal cu a2, unde și apoi facem substituția. Apoi, ținând cont de proprietățile liniare ale integralei, găsim: Exemplul 5. Aflați integrala 4 Funcția integrand este cea mai simplă fracție de al treilea tip, deoarece trinomul pătrat x1 + Ax + 6 nu are rădăcini reale (discriminantul său). este negativă: , iar numărătorul conține un polinom de gradul I Așadar, procedăm astfel: 1) selectați un pătrat perfect la numitor 2) faceți o înlocuire (aici 3) cu * o integrală Pentru a găsi integrala. cea mai simplă fracție a celui de-al patrulea tip, punem, ca mai sus, . Apoi obținem Integrala din dreapta notată cu A și o transformăm astfel: Integrala din dreapta este integrată de părți, presupunând de unde sau Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea iraționalelor funcții Prima substituție a lui Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler Am obținut așa-numita formulă recurentă, care ne permite să găsim integrala Jk pentru orice k = 2, 3,. .. . Într-adevăr, integrala J\ este tabelară: Introducând formula de recurență, găsim Cunoscând și punând A = 3, putem găsi ușor Jj și așa mai departe. În rezultatul final, înlocuind peste tot în loc de t și a expresiile lor în termeni de x și coeficienți p și q, obținem pentru integrala inițială expresia acesteia în termeni de x și numerele date M, LG, p, q. Exemplul 8. Nouă integrală „Funcția integrand este cea mai simplă fracție a celui de-al patrulea tip, deoarece discriminantul unui trinom pătrat este negativ, i.e. Aceasta înseamnă că numitorul nu are rădăcini reale, iar numărătorul este un polinom de gradul I. 1) Selectăm un pătrat complet la numitor 2) Facem o substituție: Integrala va lua forma: Punând în formula de recurență * = 2, a3 = 1. vom avea, și, prin urmare, integrala necesară este egală Revenind la variabila x, obținem în final 7.3. Caz general Din rezultatele paragrafelor. 1 și 2 din această secțiune urmează imediat o teoremă importantă. Teoremă! 4. Integrala nedefinită a oricărei funcții raționale există întotdeauna (pe intervale în care numitorul fracției Q„(x) φ 0) și se exprimă printr-un număr finit de funcții elementare, și anume, este o sumă algebrică, termenii dintre care pot fi doar înmulțite, fracții raționale, logaritmi naturali și arctangente. Deci, pentru a găsi integrala nedefinită a unei funcții fracționale-raționale, trebuie procedat în felul următor: 1) dacă fracția rațională este improprie, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor, întreaga parte este izolată, adică această funcție. este reprezentat ca suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise; 2) atunci numitorul fracției proprii rezultate se descompune în produsul factorilor liniari și pătratici; 3) această fracție proprie se descompune în suma fracțiilor simple; 4) folosind liniaritatea integralei și formulele pasului 2, integralele fiecărui termen se găsesc separat. Exemplul 7. Aflați integrala M Deoarece numitorul este un polinom de ordinul trei, funcția integrand este o fracție improprie. Subliniem întreaga parte din ea: Prin urmare, vom avea. Numitorul unei fracții propriu-zise are phi rădăcini reale diferite: și, prin urmare, descompunerea ei în fracții simple are forma De unde găsim. Dând argumentului x valori egale cu rădăcinile numitorului, aflăm din această identitate că: Prin urmare, integrala necesară va fi egală cu Exemplul 8. Aflați integrala 4 Integrandul este o fracție proprie, al cărei numitor are două rădăcini reale diferite: x - O multiplicitatea lui 1 și x = 1 a multiplicității 3, Prin urmare, extinderea integrandului în fracții simple are forma Aducerea laturii drepte a acestei egalități la un numitor comun și reducerea ambelor părți ale egalității prin acest numitor, obținem sau. Echivalăm coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x pe părțile din stânga și din dreapta acestei identități: De aici găsim. Înlocuind valorile găsite ale coeficienților în expansiune, vom avea integrând, găsim: Exemplul 9. Aflați integrala 4 Numitorul fracției nu are rădăcini reale. Prin urmare, expansiunea integrandului în fracții simple are forma Prin urmare sau Echivalând coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x de pe laturile din stânga și din dreapta acestei identități, vom avea de unde găsim și, deci, Observație. În exemplul dat, funcția integrand poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple într-un mod mai simplu și anume, la numărătorul fracției selectăm binarul care se află la numitor, iar apoi facem împărțirea termen cu termen. : §8. Integrarea funcțiilor iraționale O funcție de forma în care Pm și £?„ sunt polinoame de tip grad, respectiv, în variabilele uub2,... se numește funcție rațională a ubu2j... De exemplu, un polinom de gradul doi în două variabile u\ și u2 are forma în care - unele constante reale, iar Exemplul 1, Funcția este o funcție rațională a variabilelor r și y, deoarece reprezintă raportul dintre un polinom de gradul III și un polinom de al cincilea grad, dar nu este o funcție de tisă. În cazul în care variabilele, la rândul lor, sunt funcții ale variabilei x: atunci funcția ] se numește funcție rațională a funcțiilor din Exemplu. O funcție este o funcție rațională a lui r și rvdikvlv Pryaivr 3. O funcție a formei nu este o funcție rațională a lui x și a radicalului y/r1 + 1, dar este o funcție rațională a funcțiilor funcțiile nu sunt întotdeauna exprimate prin funcții elementare. De exemplu, integralele întâlnite adesea în aplicații nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare; aceste integrale se numesc integrale eliptice de primul și, respectiv, al doilea fel. Să luăm în considerare acele cazuri când integrarea funcţiilor iraţionale se poate reduce, cu ajutorul unor substituţii, la integrarea funcţiilor raţionale. 1. Să fie necesar să găsim integrala în care R(x, y) este o funcție rațională a argumentelor sale x și y; m £ 2 - număr natural; a, 6, c, d sunt constante reale care satisfac condiția ad - bc ^ O (pentru ad - be = 0, coeficienții a și b sunt proporționali cu coeficienții c și d și, prin urmare, relația nu depinde de x ; aceasta înseamnă că în acest caz funcția integrand va fi o funcție rațională a variabilei x, a cărei integrare a fost discutată mai devreme). Să facem o schimbare de variabilă în această integrală, punând. Deci exprimăm variabila x printr-o nouă variabilă. Avem x = - o funcție rațională a lui t. În continuare găsim sau, după simplificare, Prin urmare, unde A1 (t) este o funcție rațională a lui *, deoarece funadia rațională a unei funcții raționale, precum și produsul funcțiilor raționale, sunt funcții raționale. Știm să integrăm funcții raționale. Fie Atunci integrala necesară să fie egală cu At. IvYti integrală 4 O funcție integrand* este o funcție rațională a. Așadar, punem t = Atunci Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție a lui Euler A doua substituție a lui Euler A treia substituție a lui Euler Astfel, obținem Primar 5. Aflați integrala Numitorul comun al fracției exponenții lui x este egal cu 12, deci integrand funcția poate fi reprezentată sub forma 1 _ 1_ ceea ce arată că este o funcție rațională a: Ținând cont de aceasta, să punem. În consecință, 2. Se consideră intefe de forma în care funcția subintefală este de așa natură încât prin înlocuirea radicalului \/ax2 + bx + c în ea cu y, obținem o funcție R(x) y) - rațională față de ambele argumente x și y. Această integrală este redusă la integrala unei funcții raționale a unei alte variabile folosind substituțiile lui Euler. 8.1. Prima substituție a lui Euler Fie coeficientul a > 0. Să punem sau. Prin urmare găsim x ca o funcție rațională a lui u, ceea ce înseamnă. Astfel, substituția indicată se exprimă rațional în termeni de *. Prin urmare, vom avea o remarcă. Prima substituție lui Euler poate fi luată și sub forma Exemplul 6. Să găsim integrala Prin urmare, vom avea dx substituția lui Euler, arătați că Y 8.2. A doua substituție a lui Euler Fie trinomul ax2 + bx + c să aibă rădăcini reale diferite R] și x2 (coeficientul poate avea orice semn). În acest caz, presupunem Deoarece atunci obținem Deoarece x,dxn y/ax2 + be + c sunt exprimate rațional în termeni de t, atunci integrala inițială este redusă la integrala unei funcții raționale, adică unde Problemă. Folosind prima substituție a lui Euler, arătați că este o funcție rațională a lui t. Exemplul 7. Găsiți integrala dx M funcția ] - x1 are rădăcini reale diferite. Prin urmare, aplicăm cea de-a doua substituție a lui Euler. obținem 8,3. Al treilea Euler substascom Fie coeficientul c > 0. Facem o schimbare de variabilă punând. Rețineți că pentru a reduce integrala la integrala unei funcții raționale, prima și a doua substituție Euler sunt suficiente. De fapt, dacă discriminantul b2 -4ac > 0, atunci rădăcinile trinomului pătratic ax + bx + c sunt reale, iar în acest caz este aplicabilă a doua substituție Euler. Dacă, atunci semnul trinomului ax2 + bx + c coincide cu semnul coeficientului a și întrucât trinomul trebuie să fie pozitiv, atunci a > 0. În acest caz, prima substituție a lui Euler este aplicabilă. Pentru a găsi integrale de tipul indicat mai sus, nu este întotdeauna recomandabil să folosiți substituțiile lui Euler, deoarece pentru acestea este posibil să găsiți alte metode de integrare care să conducă la obiectiv mai rapid. Să luăm în considerare câteva dintre aceste integrale. 1. Pentru a găsi integrale de formă, izolați pătratul perfect din pătratul trinomului: unde După aceasta, faceți o înlocuire și obțineți unde coeficienții a și P au semne diferite sau ambii sunt pozitivi. Pentru, și de asemenea pentru a > 0, integrala se va reduce la un logaritm și, dacă da, la arcsinus. La. Găsiți integrul 4 Sokak atunci. presupunând, obținem Prmmar 9. Găsiți. Presupunând x -, vom avea 2. Integrala formei se reduce la integrala y de la pasul 1 după cum urmează. Având în vedere că derivata ()" = 2, o evidențiem la numărător: 4 Identificăm derivata expresiei radicalului în numărător. Deoarece (x, atunci vom avea, ținând cont de rezultatul exemplului 9, 3. Integrale de forma în care P„(x) este un polinom de grad n -lea, pot fi găsite prin metoda coeficienților nedeterminați, care constă în următoarele Să presupunem că egalitatea este Exemplul 10. Integrală puternică unde Qn-i (s) este un polinom de (n - 1) grad cu coeficienți nedeterminați: Pentru a găsi coeficienți | diferențiem ambele părți ale (1): Apoi reducem partea dreaptă a egalității (2) la un numitor comun egal cu. numitorul părții stângi, adică y/ax2 + bx + c, reducând ambele părți ale (2) prin care obținem identitatea în ambele părți ale cărora conțin polinoame de grad n Echivalând coeficienții pentru aceleași grade de x în partea stângă și dreaptă a (3), obținem n + 1 ecuații, din care găsim coeficienții necesari j4*(fc = 0,1,2,..., n ). din (1) și aflând integrala + c obținem răspunsul pentru această integrală. Exemplul 11. Aflați integrala Să punem Diferențierea ambelor culori ale egalității, vom avea Aducerea laturii drepte la un numitor comun și reducând ambele părți cu acesta, obținem identitatea sau. Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, ajungem la un sistem de ecuații din care găsim = Apoi găsim integrala din dreapta egalității (4): În consecință, integrala necesară va fi egală cu