Găsiți Odz online cu o soluție detaliată. Domeniul definiției este constant. Domeniul funcției exponențiale

O funcție este un model. Să definim X ca un set de valori ale unei variabile independente // independent înseamnă orice.

O funcție este o regulă cu ajutorul căreia, pentru fiecare valoare a variabilei independente din mulțimea X, se poate găsi o valoare unică a variabilei dependente. // adică pentru fiecare x există un y.

Din definiție rezultă că există două concepte - o variabilă independentă (pe care o notăm cu x și poate lua orice valoare) și o variabilă dependentă (pe care o notăm cu y sau f (x) și se calculează din funcție când înlocuim x).

DE EXEMPLU y=5+x

1. Independent este x, ceea ce înseamnă că luăm orice valoare, fie x=3

2. Acum să calculăm y, ceea ce înseamnă y=5+x=5+3=8. (y depinde de x, pentru că orice înlocuim cu x, obținem y)

Se spune că variabila y depinde funcțional de variabila x și se notează după cum urmează: y = f (x).

DE EXEMPLU.

1.y=1/x. (numit hiperbolă)

2. y=x^2. (numită parabolă)

3.y=3x+7. (numită linie dreaptă)

4. y= √ x. (numită ramură parabolă)

Variabila independentă (pe care o notăm cu x) se numește argumentul funcției.

Domeniul funcției

Setul tuturor valorilor pe care le ia un argument de funcție se numește domeniul funcției și se notează D(f) sau D(y).

Se consideră D(y) pentru 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) și (0;+∞) //întreaga mulțime numere reale, cu excepția zero.

2. D (y)= (∞; +∞)//tot numărul de numere reale

3. D (y)= (∞; +∞)//tot numărul de numere reale

4. D (y) = .

Toate acestea arată cât de important este să ai ODZ.

Exemplul 3

Aflați expresia ODZ x 3 + 2 x y − 4 .

Soluţie

Orice număr poate fi cubit. Această expresie nu are o fracție, deci valorile lui x și y pot fi oricare. Adică ODZ este orice număr.

Răspuns: x și y – orice valoare.

Exemplul 4

Aflați ODZ a expresiei 1 3 - x + 1 0.

Soluţie

Se poate observa că există o fracție la care numitorul este zero. Aceasta înseamnă că pentru orice valoare a lui x vom obține împărțirea la zero. Aceasta înseamnă că putem concluziona că această expresie este considerată nedeterminată, adică nu are nicio răspundere juridică.

Răspuns: ∅ .

Exemplul 5

Aflați ODZ a expresiei date x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Soluţie

Prezența unei rădăcini pătrate înseamnă că această expresie trebuie să fie mai mare sau egală cu zero. Dacă este negativ, nu are sens. Aceasta înseamnă că este necesar să scrieți o inegalitate de forma x + 2 · y + 3 ≥ 0. Adică acesta este intervalul dorit de valori acceptabile.

Răspuns: mulțime de x și y, unde x + 2 y + 3 ≥ 0.

Exemplul 6

Determinați expresia ODZ de forma 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Soluţie

Prin condiție, avem o fracție, deci numitorul ei nu ar trebui să fie egal cu zero. Obținem că x + 1 - 1 ≠ 0. Expresia radicală are întotdeauna sens atunci când este mai mare sau egală cu zero, adică x + 1 ≥ 0. Deoarece are un logaritm, expresia sa trebuie să fie strict pozitivă, adică x 2 + 3 > 0. Baza logaritmului trebuie să aibă și o valoare pozitivă și diferită de 1, apoi adăugăm condițiile x + 8 > 0 și x + 8 ≠ 1. Rezultă că ODZ dorit va lua forma:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Cu alte cuvinte, se numește un sistem de inegalități cu o variabilă. Soluția va conduce la următoarea notație ODZ [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Răspuns: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

De ce este important să luați în considerare DPD atunci când conduceți schimbarea?

În timpul transformărilor de identitate, este important să găsiți ODZ. Există cazuri în care nu apare existența ODZ. Pentru a înțelege dacă o expresie dată are o soluție, trebuie să comparați VA variabilelor expresiei inițiale și VA a celei rezultate.

Transformări de identitate:

poate să nu afecteze DL;
poate duce la extinderea sau adăugarea de DZ;
poate îngusta DZ.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 7

Dacă avem o expresie de forma x 2 + x + 3 · x, atunci ODZ ei este definită pe întregul domeniu de definiție. Chiar și atunci când aducem termeni similari și simplificăm expresia, ODZ nu se schimbă.

Exemplul 8

Dacă luăm exemplul expresiei x + 3 x − 3 x, atunci lucrurile stau diferit. Avem o expresie fracțională. Și știm că împărțirea la zero este inacceptabilă. Atunci ODZ are forma (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Se vede că zero nu este o soluție, așa că îl adăugăm cu o paranteză.

Să luăm în considerare un exemplu cu prezența unei expresii radicale.

Exemplul 9

Dacă există x - 1 · x - 3, atunci ar trebui să acordați atenție ODZ, deoarece trebuie scrisă ca inegalitatea (x - 1) · (x - 3) ≥ 0. Este posibil să se rezolve prin metoda intervalului, atunci aflăm că ODZ va lua forma (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . După transformarea x - 1 · x - 3 și aplicarea proprietății rădăcinilor, avem că ODZ poate fi completat și totul poate fi scris sub forma unui sistem de inegalități de forma x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Când o rezolvăm, constatăm că [ 3 , + ∞) . Aceasta înseamnă că ODZ se scrie complet după cum urmează: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Transformările care îngustează DZ trebuie evitate.

Exemplul 10

Să luăm în considerare un exemplu de expresie x - 1 · x - 3, când x = - 1. Când înlocuim, obținem că - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Dacă transformăm această expresie și o aducem la forma x - 1 · x - 3, atunci când calculăm constatăm că 2 - 1 · 2 - 3 expresia nu are sens, deoarece expresia radicală nu ar trebui să fie negativă.

Ar trebui să adere la transformări identice pe care ODZ nu se va schimba.

Dacă există exemple care se extind pe el, atunci ar trebui adăugat la DL.

Exemplul 11

Să ne uităm la exemplul de fracții de forma x x 3 + x. Dacă anulăm cu x, atunci obținem acel 1 x 2 + 1. Apoi ODZ se extinde și devine (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Mai mult, atunci când calculăm, lucrăm deja cu a doua fracție simplificată.

În prezența logaritmilor, situația este ușor diferită.

Exemplul 12

Dacă există o expresie de forma ln x + ln (x + 3), aceasta se înlocuiește cu ln (x · (x + 3)), pe baza proprietății logaritmului. Din aceasta putem vedea că ODZ de la (0 , + ∞) la (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Prin urmare, pentru a determina ODZ ln (x · (x + 3)) este necesar să se efectueze calcule pe ODZ, adică mulțimea (0, + ∞).

La rezolvare, este întotdeauna necesar să se acorde atenție structurii și tipului expresiei date de condiție. Dacă zona de definire este găsită corect, rezultatul va fi pozitiv.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Există un număr infinit de funcții în matematică. Și fiecare are propriul său caracter.) Pentru a lucra cu o mare varietate de funcții de care aveți nevoie singur o abordare. Altfel, ce fel de matematică este aceasta?!) Și există o astfel de abordare!

Când lucrăm cu orice funcție, o prezentăm cu set standardîntrebări. Și primul, cel mai mult întrebare importantă- Acest domeniul functiei. Uneori, această zonă se numește setul de valori valide ale argumentelor, zona pentru specificarea unei funcții etc.

Care este domeniul unei funcții? Cum să-l găsesc? Aceste întrebări par adesea complexe și de neînțeles... Deși, de fapt, totul este extrem de simplu. Puteți vedea singur citind această pagină. Merge?)

Ei bine, ce să spun... Doar respect.) Da! Domeniul natural al unei funcții (care este discutat aici) chibrituri cu ODZ de expresii incluse în funcție. În consecință, sunt căutați după aceleași reguli.

Acum să ne uităm la un domeniu nu în întregime natural al definiției.)

Restricții suplimentare privind domeniul de aplicare al unei funcții.

Aici vom vorbi despre restricțiile impuse de sarcină. Acestea. Sarcina conține câteva condiții suplimentare pe care le-a venit compilatorul. Sau restricțiile apar din însăși metoda de definire a funcției.

În ceea ce privește restricțiile în sarcină, totul este simplu. De obicei, nu este nevoie să cauți nimic, totul este deja spus în sarcină. Permiteți-mi să vă reamintesc că restricțiile scrise de autorul sarcinii nu se anulează limitele fundamentale ale matematicii. Trebuie doar să vă amintiți să țineți cont de condițiile sarcinii.

De exemplu, această sarcină:

Găsiți domeniul unei funcții:

pe multimea numerelor pozitive.

Am găsit domeniul natural de definire a acestei funcții mai sus. Aceasta zona:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

În metoda verbală de specificare a unei funcții, trebuie să citiți cu atenție condiția și să găsiți restricții asupra X-urilor acolo. Uneori ochii caută formule, dar cuvintele fluieră pe lângă conștiință da...) Exemplu din lecția anterioară:

Funcția este specificată de condiția: fiecare valoare a argumentului natural x este asociată cu suma cifrelor care alcătuiesc valoarea lui x.

De remarcat aici că vorbim numai despre valorile naturale ale lui X. Apoi D(f) scris instantaneu:

D(f): x ∈ N

După cum puteți vedea, domeniul unei funcții nu este un concept atât de complicat. Găsirea acestei regiuni se reduce la examinarea funcției, scrierea unui sistem de inegalități și rezolvarea acestui sistem. Desigur, există tot felul de sisteme, simple și complexe. Dar...

o voi deschide secret mic. Uneori, o funcție pentru care trebuie să găsiți domeniul de definiție pare pur și simplu intimidantă. Vreau să palid și să plâng.) Dar de îndată ce notez sistemul inegalităților... Și, deodată, sistemul se dovedește a fi elementar! Mai mult, de multe ori, cu cât funcția este mai îngrozitoare, cu atât sistemul este mai simplu...

Morala: ochii se tem, capul decide!)

Cum se găsește domeniul unei funcții? Elevii de gimnaziu trebuie adesea să se ocupe de această sarcină.

Părinții ar trebui să-și ajute copiii să înțeleagă această problemă.

Specificarea unei funcții.

Să ne amintim termenii fundamentali ai algebrei. În matematică, o funcție este dependența unei variabile de alta. Putem spune că aceasta este o lege matematică strictă care leagă două numere într-un anumit fel.

În matematică, la analiza formulelor, variabilele numerice sunt înlocuite cu simboluri alfabetice. Cele mai utilizate sunt x (“x”) și y (“y”). Variabila x se numește argument, iar variabila y este numită variabilă dependentă sau funcție a lui x.

Exista diferite căi stabilirea dependențelor variabile.

Să le enumerăm:

Tip analitic.
Vedere tabelară.
Afișaj grafic.

Metoda analitică este reprezentată de formula. Să ne uităm la exemple: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Formula y=2x+3 este tipică pentru o funcție liniară. Înlocuind în formula dată valoare numerica argument, obținem valoarea lui y.

Metoda tabulară este un tabel format din două coloane. Prima coloană este alocată pentru valorile X, iar în coloana următoare sunt înregistrate datele jucătorului.

Metoda grafică este considerată cea mai vizuală. Un grafic este o afișare a mulțimii tuturor punctelor dintr-un plan.

Pentru a construi un grafic, se folosește un sistem de coordonate carteziene. Sistemul este format din două drepte perpendiculare. Pe axe sunt așezate segmente de unitate identice. Numărarea se face din punctul central de intersecție a liniilor drepte.

Variabila independentă indică linie orizontală. Se numește axa absciselor. Linia verticală (axa y) afișează valoarea numerică a variabilei dependente. Punctele sunt marcate la intersecția perpendicularelor pe aceste axe. Conectând punctele între ele, obținem o linie continuă. Este baza programului.

Tipuri de dependențe variabile

Definiție.

ÎN vedere generala dependenţa se prezintă sub formă de ecuaţie: y=f(x). Din formula rezultă că pentru fiecare valoare a numărului x există un anumit număr u. Valoarea jocului, care corespunde numărului x, se numește valoarea funcției.

Toate valorile posibile pe care le dobândește variabila independentă formează domeniul de definire al funcției. În consecință, întregul set de numere ale variabilei dependente determină intervalul de valori al funcției. Domeniul definiției sunt toate valorile argumentului pentru care f(x) are sens.

Sarcina inițială în studierea legilor matematice este de a găsi domeniul definiției. Acest termen trebuie definit corect. În caz contrar, toate calculele ulterioare vor fi inutile. La urma urmei, volumul valorilor este format pe baza elementelor primului set.

Sfera unei funcții depinde direct de constrângeri. Limitările sunt cauzate de incapacitatea de a efectua anumite operații. Există, de asemenea, limite pentru utilizarea valorilor numerice.

În absența restricțiilor, domeniul de definiție este întregul spațiu al numerelor. Semnul infinitului are un simbol orizontal cifra opt. Întregul set de numere este scris astfel: (-∞; ∞).

ÎN anumite cazuri tabloul de date este format din mai multe subseturi. Domeniul de aplicare al intervalelor numerice sau al spațiilor depinde de tipul de lege a modificării parametrilor.

Iată o listă de factori care influențează restricțiile:

proporționalitate inversă;
rădăcină aritmetică;
exponentiarea;
dependență logaritmică;
forme trigonometrice.

Dacă există mai multe astfel de elemente, atunci căutarea restricțiilor este împărțită pentru fiecare dintre ele. Cea mai mare problema reprezintă identificarea punctelor critice și a golurilor. Soluția problemei va fi să unim toate submulțimile numerice.

Set și subset de numere

Despre seturi.

Domeniul de definiție este exprimat ca D(f), iar semnul de unire este reprezentat prin simbolul ∪. Toate intervalele numerice sunt incluse în paranteze. Dacă limita site-ului nu este inclusă în set, atunci se plasează o paranteză semicirculară. În caz contrar, când un număr este inclus într-un subset, se folosesc paranteze pătrate.

Proporționalitatea inversă este exprimată prin formula y=k/x. Graficul funcției este o linie curbă formată din două ramuri. Se numește în mod obișnuit o hiperbolă.

Deoarece funcția este exprimată ca o fracție, găsirea domeniului de definiție se reduce la analiza numitorului. Este bine cunoscut faptul că în matematică împărțirea la zero este interzisă. Rezolvarea problemei se reduce la egalarea numitorului la zero și la găsirea rădăcinilor.

Iată un exemplu:

Dat: y=1/(x+4). Găsiți domeniul definiției.

Echivalăm numitorul cu zero.
x+4=0
Găsirea rădăcinii ecuației.
x=-4
Definiți setul tuturor valori posibile argument.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Răspuns: Domeniul funcției sunt toate numerele reale, cu excepția -4.

Valoarea unui număr sub semnul rădăcinii pătrate nu poate fi negativă. În acest caz, definirea unei funcții cu rădăcină se reduce la rezolvarea unei inegalități. Expresia radicală trebuie să fie mai mare decât zero.

Zona de definire a rădăcinii este legată de paritatea indicatorului de rădăcină. Dacă indicatorul este divizibil cu 2, atunci expresia are sens numai dacă este pozitivă. Un număr impar al indicatorului indică admisibilitatea oricărei valori a expresiei radicale: atât pozitivă, cât și negativă.

Inegalitățile sunt rezolvate în același mod ca și ecuațiile. Există o singură diferență. După înmulțirea ambelor părți ale inegalității cu un număr negativ, semnul trebuie inversat.

Dacă Rădăcină pătrată este la numitor, atunci ar trebui să impunem condiție suplimentară. Valoarea numărului nu trebuie să fie zero. Inegalitatea trece în categoria inegalităților stricte.

Funcții logaritmice și trigonometrice

Forma logaritmică are sens pentru numerele pozitive. Astfel, domeniul definirii funcţie logaritmică similar cu funcția rădăcină pătrată, cu excepția zero.

Să luăm în considerare un exemplu de dependență logaritmică: y=log(2x-6). Găsiți domeniul definiției.

2x-6>0
2x>6
x>6/2

Răspuns: (3; +∞).

Domeniul de definiție al lui y=sin x și y=cos x este mulțimea tuturor numerelor reale. Există restricții pentru tangentă și cotangentă. Ele sunt asociate cu împărțirea după cosinusul sau sinusul unui unghi.

Tangenta unui unghi este determinată de raportul dintre sinus și cosinus. Să indicăm valorile unghiului la care valoarea tangentei nu există. Funcția y=tg x are sens pentru toate valorile argumentului, cu excepția x=π/2+πn, n∈Z.

Domeniul de definiție al funcției y=ctg x este întreaga mulțime de numere reale, excluzând x=πn, n∈Z. Dacă argumentul este egal cu numărul π sau cu un multiplu al lui π, sinusul unghiului egal cu zero. În aceste puncte (asimptote) cotangenta nu poate exista.

Primele sarcini de identificare a domeniului de definire încep în lecțiile din clasa a VII-a. Când este introdus pentru prima dată în această secțiune a algebrei, elevul ar trebui să înțeleagă clar subiectul.

Trebuie remarcat faptul că acest termen va însoți studentul, iar apoi studentul, pe toată perioada de studiu.

În matematică există un număr destul de mic functii elementare, al cărui domeniu de aplicare este limitat. Toate celelalte funcții „complexe” sunt doar combinații și combinații ale acestora.

1. Funcție fracțională - restricție asupra numitorului.

2. Rădăcină de grad egal - o restricție asupra expresiei radicale.

3. Logaritmi - restricții pe baza logaritmului și a expresiei sublogaritmice.

3. Trigonometric tg(x) și ctg(x) - restricție asupra argumentului.

Pentru tangentă:

4. Funcții trigonometrice inverse.

arcsinus	arc cosinus	Arctangent, Arctangent

În continuare, următoarele exemple sunt rezolvate pe tema „Domeniul de definire a funcțiilor”.

Exemplul 1

Exemplul 2

Exemplul 3

Exemplul 4

Exemplul 5

Exemplul 6

Exemplul 7

Exemplul 8

Exemplul 9

Exemplul 10

Exemplul 11

Exemplul 12

Exemplul 13

Exemplul 14

Exemplul 15

Exemplul 16

Un exemplu de găsire a domeniului de definire a funcției nr. 1

Găsirea domeniului de definire al oricărei funcții liniare, i.e. functii de gradul I:

y = 2x + 3 - ecuația definește o dreaptă pe un plan.

Să ne uităm cu atenție la funcție și să ne gândim la ce valori numerice putem înlocui în ecuație în loc de variabila x?

Să încercăm să înlocuim valoarea x=0

Deoarece y = 2 0 + 3 = 3 - a primit o valoare numerică, prin urmare funcția există pentru valoarea dată a variabilei x=0.

Să încercăm să înlocuim valoarea x=10

întrucât y = 2·10 + 3 = 23 - funcția există pentru valoarea dată a variabilei x = 10.

Să încercăm să înlocuim valoarea x=-10

întrucât y = 2·(-10) + 3 = -17 - funcția există pentru valoarea dată a variabilei x = -10.

Ecuația definește o linie dreaptă pe un plan, iar o linie dreaptă nu are nici început, nici sfârșit, de aceea există pentru orice valoare a lui x.

Rețineți că, indiferent de valorile numerice pe care le înlocuim într-o funcție dată în loc de x, vom obține întotdeauna valoarea numerică a variabilei y.

Prin urmare, funcția există pentru orice valoare x ∈ R, sau o scriem astfel: D(f) = R

Forme de scriere a răspunsului: D(f)=R sau D(f)=(-∞:+∞)sau x∈R sau x∈(-∞:+∞)

Să conchidem:

Pentru orice funcție de forma y = ax + b, domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale.

Un exemplu de găsire a domeniului de definire a funcției nr. 2

O functie de forma:

y = 10/(x + 5) - ecuația hiperbolei

Când aveți de-a face cu o funcție fracțională, amintiți-vă că nu puteți împărți la zero. Prin urmare, funcția va exista pentru toate valorile lui x care nu sunt

setați numitorul la zero. Să încercăm să înlocuim câteva valori arbitrare ale lui x.

La x = 0 avem y = 10/(0 + 5) = 2 - funcția există.

Pentru x = 10 avem y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- funcția există.

La x = -5 avem y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - funcția nu există în acest moment.

Acestea. Dacă funcţie dată fracțional, atunci este necesar să echivalăm numitorul cu zero și să găsim un punct în care funcția nu există.

În cazul nostru:

x + 5 = 0 → x = -5 - în acest moment funcția dată nu există.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Pentru claritate, să-l descriem grafic:

Pe grafic vedem de asemenea că hiperbola se apropie cât mai mult de dreapta x = -5, dar nu atinge însăși valoarea -5.

Vedem că funcția dată există în toate punctele axei reale, cu excepția punctului x = -5

Formulare de înregistrare a răspunsurilor: D(f)=R\(-5) sau D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) sau X ∈ R\(-5) sau X ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Dacă funcția dată este fracțională, atunci prezența unui numitor impune condiția ca numitorul să nu fie egal cu zero.

Un exemplu de găsire a domeniului de definire a funcției nr. 3

Să luăm în considerare un exemplu de găsire a domeniului de definire al unei funcții cu rădăcină de grad par:

Deoarece putem extrage doar rădăcina pătrată dintr-un număr nenegativ, prin urmare, funcția de sub rădăcină este nenegativă.

2x - 8 ≥ 0

Să rezolvăm o inegalitate simplă:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Funcția specificată există numai pentru valorile găsite ale lui x ≥ 4 sau D(f)=)