Calculați valoarea unei expresii. Cum se află valoarea unei expresii numerice? Valoarea expresiei numerice

Formulă

Adunare, scădere, înmulțire, împărțire - operații aritmetice (sau operatii aritmetice ). Aceste operații aritmetice corespund semnelor operațiilor aritmetice:

+ (citit " la care se adauga") - semnul operațiunii de adăugare,

- (citit " minus") - semn operații de scădere,

∙ (citit " multiplica") - semn operatii de inmultire,

: (citit " divide„) este semnul operațiunii de împărțire.

Se numește o înregistrare formată din numere interconectate prin simboluri aritmetice expresie numerică. O expresie numerică poate conține și paranteze. De exemplu, intrarea 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) este o expresie numerică.

Rezultatul efectuării acțiunilor asupra numerelor în expresie numerică este numit valoarea unei expresii numerice. Efectuarea acestor acțiuni se numește calcularea valorii unei expresii numerice. Înainte de a scrie valoarea unei expresii numerice, pune semn egal„=". Tabelul 1 prezintă exemple de expresii numerice și semnificațiile acestora.

O înregistrare formată din numere și litere mici ale alfabetului latin interconectate prin semne de operații aritmetice se numește expresie literală. Această intrare poate conține paranteze. De exemplu, înregistrați un +b - 3 ∙c este o expresie literală. În loc de litere, puteți înlocui numere diferite. În acest caz, semnificația literelor se poate schimba, așa că literele din expresia literelor sunt numite și variabile.

Prin înlocuirea numerelor în loc de litere în expresia literală și calculând valoarea expresiei numerice rezultate, ei găsesc sensul unei expresii literale pentru valori date de litere(pentru valori date ale variabilelor). Tabelul 2 prezintă exemple de expresii de litere.

O expresie literală poate să nu aibă sens dacă înlocuirea valorilor literelor are ca rezultat o expresie numerică a cărei valoare nu poate fi găsită pentru numerele naturale. Această expresie numerică se numește incorect pentru numere naturale. Se mai spune că sensul unei astfel de expresii este „ nedefinit" pentru numerele naturale și expresia în sine "nu are sens". De exemplu, expresia literală a-b nu contează când a = 10 și b = 17. Într-adevăr, pentru numerele naturale, minuendul nu poate fi mai mic decât subtraend. De exemplu, dacă ai doar 10 mere (a = 10), nu poți oferi 17 dintre ele (b = 17)!

Tabelul 2 (coloana 2) prezintă un exemplu de expresie literală. Prin analogie, completați complet tabelul.

Pentru numerele naturale expresia este 10 -17 incorect (nu are sens), adică diferența 10 -17 nu poate fi exprimată ca număr natural. Un alt exemplu: nu poți împărți la zero, deci pentru orice număr natural b, câtul b: 0 nedefinit.

Legile matematice, proprietățile, unele reguli și relații sunt adesea scrise în formă literală (adică sub forma unei expresii literale). În aceste cazuri, se numește expresia literală formulă. De exemplu, dacă laturile unui heptagon sunt egale A,b,c,d,e,f,g, apoi formula (expresia literală) pentru calcularea perimetrului acestuia p are forma:

p =un +b+c +d+e+f+g

Cu a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, perimetrul heptagonului p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Cu a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, perimetrul celuilalt heptagon p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Bloc 1. Vocabular

Faceți un dicționar de termeni și definiții noi din paragraf. Pentru a face acest lucru, scrieți cuvinte din lista de termeni de mai jos în celulele goale. În tabel (la sfârșitul blocului), indicați numerele termenilor în conformitate cu numerele cadrelor. Este recomandat să revizuiți cu atenție din nou paragraful înainte de a completa celulele dicționarului.

1. Operatii: adunare, scadere, inmultire, impartire.

2. Semne „+” (plus), „-” (minus), „∙” (înmulțire, „ : " (divide).

3. O înregistrare formată din numere care sunt interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice și care poate conține și paranteze.

4. Rezultatul efectuării de acțiuni asupra numerelor în exprimare numerică.

5. Semnul care precede valoarea unei expresii numerice.

6. O înregistrare formată din cifre și litere mici ale alfabetului latin, interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice (pot fi prezente și paranteze).

7. Denumirea comună litere în expresie literală.

8. Valoarea unei expresii numerice, care se obține prin înlocuirea variabilelor într-o expresie literală.

9.O expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale nu poate fi găsită.

10. O expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale poate fi găsită.

11. Legi matematice, proprietăți, unele reguli și relații, scrise sub formă de litere.

12. Un alfabet ale cărui litere mici sunt folosite pentru a scrie expresii alfabetice.

Bloc 2. Potrivire

Potriviți sarcina din coloana din stânga cu soluția din dreapta. Scrieți răspunsul sub forma: 1a, 2d, 3b...

Blocul 3. Testul fațetelor. Expresii numerice și alfabetice

Testele fațete înlocuiesc colecțiile de probleme la matematică, dar diferă favorabil de ele prin faptul că pot fi rezolvate pe calculator, soluțiile pot fi verificate, iar rezultatul muncii poate fi aflat imediat. Acest test conține 70 de probleme. Dar puteți rezolva probleme la alegere, pentru aceasta există un tabel de evaluare, care indică sarcini simple și mai dificile. Mai jos este testul.

1. Dat un triunghi cu laturi c,d,m, exprimată în cm
2. Dat un patrulater cu laturi b,c,d,m, exprimat în m
3. Viteza mașinii în km/h este b, timpul de călătorie în ore este d
4. Distanța parcursă de turist în m ore este Cu km
5. Distanța parcursă de turist, deplasându-se cu viteză m km/h este b km
6. Suma a două numere este mai mare decât al doilea număr cu 15
7. Diferența este mai mică decât cea care se reduce cu 7
8. O linie de pasageri are două punți cu același număr de locuri pentru pasageri. În fiecare dintre rândurile punții m scaune, rânduri pe punte n mai mult decât locuri la rând
9. Petya are m ani, Masha are n ani și Katya este cu k ani mai mică decât Petya și Masha împreună
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Sensul acestei expresii
2. Expresia literală pentru perimetru este
3. Perimetrul exprimat în centimetri
4. Formula pentru distanța parcursă de o mașină
5. Formula pentru viteza v, miscare turistica
6. Formula pentru timpul t, mișcarea turistică
7. Distanța parcursă de mașină în kilometri
8. Viteza turiștilor în kilometri pe oră
9. Durata călătoriei turistice în ore
10. Primul număr este...
11. Subtraend este egal cu...
12. Expresie pentru cel mai mare număr pasageri, care pot transporta linia pt k zboruri
13. Cel mai mare număr de pasageri pe care îi poate transporta o aeronavă k zboruri
14. Expresie scrisă pentru vârsta Katya
15. Vârsta Katiei
16. Coordonata punctului B, dacă coordonata punctului C este t
17. Coordonata punctului D, dacă coordonata punctului C este t
18. Coordonata punctului A, dacă coordonata punctului C este t
19. Lungimea segmentului BD pe linia numerică
20. Lungimea segmentului CA pe linia numerică
21. Lungimea segmentului DA pe linia numerică

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Stabiliți cursul acțiunii. Efectuați prima acțiune în parantezele interioare 489–296=193. Apoi, înmulțiți 193∙8=1544 și 34∙10=340. Următoarea acțiune: 340+1544=1884. Apoi, împărțiți 1884:4=461 și apoi scădeți 461–410=60. Ai găsit sensul acestei expresii.

Exemplu. Aflați valoarea expresiei 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Simplificați această expresie. Pentru a face acest lucru, utilizați formula tg α∙ctg α=1. Obține: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Se știe că sin 30º=1/2 și cos 30º=√3/2. Prin urmare, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Ai găsit sensul acestei expresii.

Valoarea expresiei algebrice din . Pentru a găsi valoarea unei expresii algebrice având în vedere variabilele, simplificați expresia. Înlocuiți anumite valori pentru variabile. Parcurgeți pașii necesari. Ca rezultat, veți primi un număr, care va fi valoarea expresiei algebrice pentru variabilele date.

Exemplu. Aflați valoarea expresiei 7(a+y)–3(2a+3y) cu a=21 și y=10. Simplificați această expresie și obțineți: a–2y. Înlocuiți valorile corespunzătoare ale variabilelor și calculați: a–2y=21–2∙10=1. Aceasta este valoarea expresiei 7(a+y)–3(2a+3y) cu a=21 și y=10.

Notă

Există expresii algebrice care nu au sens pentru unele valori ale variabilelor. De exemplu, expresia x/(7–a) nu are sens dacă a=7, deoarece în acest caz, numitorul fracției devine zero.

Surse:

• găsiți cea mai mică valoare a expresiei
• Găsiți semnificațiile expresiilor pentru c 14

Învățarea simplificării expresiilor la matematică este pur și simplu necesară pentru a rezolva corect și rapid probleme și diverse ecuații. Simplificarea unei expresii presupune reducerea numărului de pași, ceea ce face calculele mai ușoare și economisește timp.

Instrucțiuni

Învață să calculezi puterile lui c. La înmulțirea puterilor c se obține un număr a cărui bază este aceeași, iar exponenții se adună b^m+b^n=b^(m+n). La împărțirea puterilor cu aceleași baze se obține puterea unui număr, a cărui bază rămâne aceeași, iar exponenții puterilor se scad, iar din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului b^m. : b^n=b^(m-n). La ridicarea unei puteri la o putere se obține puterea unui număr, a cărui bază rămâne aceeași, iar exponenții se înmulțesc (b^m)^n=b^(mn) La ridicarea la o putere, fiecare factor este ridicat la această putere (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Factorizați polinoamele, de ex. imaginați-le ca un produs al mai multor factori – și monomii. Scoateți factorul comun din paranteze. Învață formulele de bază pentru înmulțirea prescurtată: diferență de pătrate, diferență de pătrate, sumă, diferență de cuburi, cub de sumă și diferență. De exemplu, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Aceste formule sunt principalele în simplificare. Utilizați metoda izolării unui pătrat perfect într-un trinom de forma ax^2+bx+c.

Abreviați fracțiile cât mai des posibil. De exemplu, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Dar amintiți-vă că puteți reduce doar multiplicatorii. Dacă numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt înmulțite cu același număr, altul decât zero, atunci valoarea fracției nu se va modifica. Puteți converti expresiile în două moduri: înlănțuite și prin acțiuni. A doua metodă este de preferat, deoarece este mai ușor să se verifice rezultatele acțiunilor intermediare.

Este adesea necesar să extragi rădăcini în expresii. Rădăcini chiar gradul sunt extrase numai din expresii sau numere nenegative. Rădăcinile ciudate pot fi extrase din orice expresie.

Surse:

• simplificarea expresiilor cu puteri

Funcțiile trigonometrice au apărut pentru prima dată ca instrumente abstracte. calcule matematice dependențe de cantități colțuri ascuțiteîntr-un triunghi dreptunghic de la lungimile laturilor sale. Acum sunt foarte utilizate pe scară largă atât în ​​domeniul științific, cât și în cel tehnic al activității umane. Pentru calcule practice Pentru funcțiile trigonometrice din argumente date, puteți utiliza diferite instrumente - mai jos sunt descrise mai multe dintre cele mai accesibile.

Instrucțiuni

Utilizați, de exemplu, cel instalat implicit cu sistem de operare program de calculator. Se deschide selectând elementul „Calculator” din folderul „Utilități” din subsecțiunea „Standard”, plasat în secțiunea „Toate programele”. Această secțiune poate fi deschisă făcând clic pe butonul „Start” pentru a deschide meniul principal de operare. Dacă utilizați Versiunea Windows 7, apoi puteți introduce pur și simplu „Calculator” în câmpul „Găsiți programe și fișiere” din meniul principal, apoi faceți clic pe linkul corespunzător din rezultatele căutării.

Numărați cantitatea acțiunile necesareși gândiți-vă la ordinea în care ar trebui făcute. Daca ti se pare greu această întrebare, vă rugăm să rețineți că operațiile cuprinse între paranteze se execută mai întâi, apoi împărțirea și înmulțirea; iar scăderea se face ultima. Pentru a ușura reținerea algoritmului acțiunilor efectuate, în expresia de deasupra fiecărui semn de operator de acțiune (+,-,*,:), cu un creion subțire, notați numerele corespunzătoare executării acțiunilor.

Continuați cu primul pas, aderând la ordinea stabilită. Numără-ți în cap dacă acțiunile sunt ușor de realizat verbal. Dacă sunt necesare calcule (într-o coloană), scrieți-le sub expresie, indicând număr de serie actiuni.

Urmăriți în mod clar secvența acțiunilor efectuate, evaluați ce trebuie scăzut din ce, împărțit în ce etc. Foarte des, răspunsul din expresie se dovedește a fi incorect din cauza greșelilor făcute în în această etapă.

Trăsătură distinctivă expresia este prezența operațiilor matematice. Este indicat prin anumite semne (înmulțire, împărțire, scădere sau adunare). Secvența de efectuare a operațiilor matematice se corectează cu paranteze dacă este necesar. A efectua operații matematice înseamnă a găsi .

Ceea ce nu este o expresie

Nu orice notație matematică poate fi clasificată ca expresie.

Egalitățile nu sunt expresii. Nu contează dacă operațiile matematice sunt prezente în egalitate sau nu. De exemplu, a=5 este o egalitate, nu o expresie, dar 8+6*2=20, de asemenea, nu poate fi considerat o expresie, deși conține înmulțire. Acest exemplu aparține și categoriei de egalități.

Conceptele de expresie și egalitate nu se exclud reciproc; prima este inclusă în cea din urmă. Semnul egal leagă două expresii:
5+7=24:2

Această ecuație poate fi simplificată:
5+7=12

O expresie presupune întotdeauna că operațiile matematice pe care le reprezintă pot fi efectuate. 9+:-7 nu este o expresie, deși aici există semne de operații matematice, deoarece este imposibil să se efectueze aceste acțiuni.

Există și cele matematice care sunt expresii formal, dar nu au sens. Un exemplu de astfel de expresie:
46:(5-2-3)

Numărul 46 trebuie împărțit la rezultatul acțiunilor dintre paranteze și acesta egal cu zero. Nu puteți împărți la zero acțiunea este considerată interzisă.

Expresii numerice și algebrice

Există două tipuri de expresii matematice.

Dacă o expresie conține doar numere și simboluri ale operațiilor matematice, o astfel de expresie se numește numerică. Dacă într-o expresie, alături de numere, există variabile notate cu litere, sau nu există deloc numere, expresia este formată doar din variabile și simboluri ale operațiilor matematice, se numește algebrică.

Diferența fundamentală valoare numerică din algebric este că o expresie numerică are o singură valoare. De exemplu, valoarea expresiei numerice 56–2*3 va fi întotdeauna egală cu 50; nimic nu poate fi schimbat. O expresie algebrică poate avea mai multe valori, deoarece orice număr poate fi înlocuit. Deci, dacă în expresia b–7 înlocuim 9 cu b, valoarea expresiei va fi 2, iar dacă 200, va fi 193.

Surse:

• Expresii numerice și algebrice

Deci, dacă o expresie numerică este formată din numere și semnele +, −, · și:, atunci în ordine de la stânga la dreapta trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea, ceea ce vă va permite să găsiți valoarea dorită a expresiei.

Să dăm câteva exemple pentru clarificare.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 14−2·15:6−3.

Soluţie.

Pentru a găsi valoarea unei expresii, trebuie să efectuați toate acțiunile specificate în ea în conformitate cu ordinea acceptată de efectuare a acestor acțiuni. Mai întâi, în ordine de la stânga la dreapta, efectuăm înmulțirea și împărțirea, obținem 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Acum efectuăm și acțiunile rămase în ordine de la stânga la dreapta: 14−5−3=9−3=6. Așa am găsit valoarea expresiei originale, este egală cu 6.

Răspuns:

14−2·15:6−3=6.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei.

Soluţie.

ÎN în acest exemplu mai întâi trebuie să facem înmulțirea 2·(−7) și împărțirea cu înmulțirea în expresia . Amintindu-ne cum , găsim 2·(−7)=−14. Și pentru a efectua mai întâi acțiunile din expresie , apoi , și executați: .

Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: .

Dar dacă există o expresie numerică sub semnul rădăcinii? Pentru a obține valoarea unei astfel de rădăcini, trebuie mai întâi să găsiți valoarea expresiei radicale, respectând ordinea acceptată de a efectua acțiuni. De exemplu, .

În expresiile numerice, rădăcinile ar trebui să fie percepute ca niște numere și este indicat să înlocuiți imediat rădăcinile cu valorile lor, iar apoi să găsiți valoarea expresiei rezultate fără rădăcini, efectuând acțiunile în succesiunea acceptată.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei cu rădăcini.

Soluţie.

Mai întâi să găsim valoarea rădăcinii . Pentru a face acest lucru, în primul rând, calculăm valoarea expresiei radicale, avem −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Și în al doilea rând, găsim valoarea rădăcinii.

Acum să calculăm valoarea celei de-a doua rădăcini din expresia originală: .

În fine, putem găsi sensul expresiei originale prin înlocuirea rădăcinilor cu valorile lor: .

Răspuns:

Destul de des, pentru a găsi sensul unei expresii cu rădăcini, este mai întâi necesar să o transformăm. Să arătăm soluția exemplului.

Exemplu.

Care este sensul expresiei .

Soluţie.

Nu putem înlocui rădăcina lui trei cu valoarea ei exactă, ceea ce ne împiedică să calculăm valoarea acestei expresii în modul descris mai sus. Cu toate acestea, putem calcula valoarea acestei expresii efectuând transformări simple. Aplicabil formula diferenței pătrate: . Ținând cont, obținem . Astfel, valoarea expresiei originale este 1.

Răspuns:

.

Cu grade

Dacă baza și exponentul sunt numere, atunci valoarea lor este calculată prin determinarea gradului, de exemplu, 3 2 =3·3=9 sau 8 −1 =1/8. Există, de asemenea, intrări în care baza și/sau exponentul sunt niște expresii. În aceste cazuri, trebuie să găsiți valoarea expresiei în bază, valoarea expresiei în exponent și apoi să calculați valoarea gradului în sine.

Exemplu.

Aflați valoarea unei expresii cu puteri ale formei 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

Soluţie.

În expresia originală există două puteri 2 3·4−10 și (1−1/2) 3.5−2·1/4. Valorile acestora trebuie calculate înainte de a efectua alte acțiuni.

Să începem cu puterea 2 3·4−10. Indicatorul său conține o expresie numerică, să-i calculăm valoarea: 3·4−10=12−10=2. Acum puteți găsi valoarea gradului în sine: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Baza și exponentul (1−1/2) 3.5−2 1/4 conțin expresii le calculăm valorile pentru a găsi apoi valoarea exponentului. Avem (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Acum revenim la expresia originală, înlocuim gradele din ea cu valorile lor și găsim valoarea expresiei de care avem nevoie: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Răspuns:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

Este demn de remarcat faptul că există cazuri mai frecvente când este recomandabil să se efectueze un preliminar simplificarea expresiei cu puteri pe baza .

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Judecând după exponenții din această expresie, valori exacte Nu vei putea obține diplome. Să încercăm să simplificăm expresia originală, poate că acest lucru va ajuta să-i găsim sensul. Avem

Răspuns:

.

Puterile în expresii merg adesea mână în mână cu logaritmi, dar vom vorbi despre găsirea semnificației expresiilor cu logaritmi într-unul dintre.

Găsirea valorii unei expresii cu fracții

Expresiile numerice pot conține fracții în notația lor. Când trebuie să găsiți valoarea unei astfel de expresii, fracțiile, altele decât fracțiile, trebuie înlocuite cu valorile lor înainte de a continua cu restul pașilor.

Numătorul și numitorul fracțiilor (care sunt diferite de fracțiile obișnuite) pot conține atât numere, cât și expresii. Pentru a calcula valoarea unei astfel de fracții, trebuie să calculați valoarea expresiei din numărător, să calculați valoarea expresiei din numitor și apoi să calculați valoarea fracției în sine. Această ordine se explică prin faptul că fracția a/b, unde a și b sunt niște expresii, reprezintă în esență un coeficient de forma (a):(b), întrucât .

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți semnificația unei expresii cu fracții .

Soluţie.

Există trei fracții în expresia numerică originală Și . Pentru a găsi valoarea expresiei originale, trebuie mai întâi să înlocuim aceste fracții cu valorile lor. Hai să o facem.

Numătorul și numitorul unei fracții conțin numere. Pentru a găsi valoarea unei astfel de fracții, înlocuiți bara de fracțiuni cu un semn de divizare și efectuați această acțiune: .

În numărătorul fracției există o expresie 7−2·3, valoarea ei este ușor de găsit: 7−2·3=7−6=1. Prin urmare, . Puteți continua la găsirea valorii celei de-a treia fracții.

A treia fracție din numărător și numitor conține expresii numerice, prin urmare, mai întâi trebuie să calculați valorile acestora, iar acest lucru vă va permite să găsiți valoarea fracției în sine. Avem .

Rămâne să înlocuiți valorile găsite în expresia originală și să efectuați acțiunile rămase: .

Răspuns:

.

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor cu fracții, trebuie să efectuați simplificarea expresiilor fracţionale, bazat pe efectuarea de operații cu fracții și fracții reducătoare.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Rădăcina lui cinci nu poate fi extrasă complet, așa că pentru a găsi valoarea expresiei originale, să o simplificăm mai întâi. Pentru aceasta să scăpăm de iraționalitatea din numitor prima fracție: . După aceasta, expresia originală va lua forma . După scăderea fracțiilor, rădăcinile vor dispărea, ceea ce ne va permite să aflăm valoarea expresiei date inițial: .

Răspuns:

.

Cu logaritmi

Dacă o expresie numerică conține , și dacă este posibil să scapi de ele, atunci acest lucru se face înainte de a efectua alte acțiuni. De exemplu, la găsirea valorii expresiei log 2 4+2·3, logaritmul log 2 4 este înlocuit cu valoarea sa 2, după care acțiunile rămase sunt efectuate în ordinea obișnuită, adică log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Când există expresii numerice sub semnul logaritmului și/sau la baza acestuia, se găsesc mai întâi valorile acestora, după care se calculează valoarea logaritmului. De exemplu, luați în considerare o expresie cu un logaritm al formei . La baza logaritmului și sub semnul acestuia se află expresii numerice găsim valorile lor: . Acum găsim logaritmul, după care completăm calculele: .

Dacă logaritmii nu sunt calculați cu acuratețe, atunci simplificarea preliminară a acestuia folosind . În acest caz, trebuie să aveți o bună stăpânire a materialului articolului conversia expresiilor logaritmice.

Exemplu.

Aflați valoarea unei expresii cu logaritmi .

Soluţie.

Să începem prin a calcula log 2 (log 2 256) . Deoarece 256=2 8, atunci log 2 256=8, prin urmare, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmii log 6 2 și log 6 3 pot fi grupați. Suma logaritmilor log 6 2+log 6 3 este egală cu logaritmul produsului log 6 (2 3), astfel, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Acum să ne uităm la fracțiune. Pentru început, vom rescrie baza logaritmului la numitor sub forma unei fracții obișnuite ca 1/5, după care vom folosi proprietățile logaritmilor, care ne vor permite să obținem valoarea fracției:
.

Tot ce rămâne este să înlocuiți rezultatele obținute în expresia originală și să terminați de a găsi valoarea acesteia:

Răspuns:

Cum se află valoarea unei expresii trigonometrice?

Când o expresie numerică conține sau, etc., valorile acestora sunt calculate înainte de a efectua alte acțiuni. Dacă există expresii numerice sub semnul funcțiilor trigonometrice, atunci se calculează mai întâi valorile acestora, după care se găsesc valorile funcțiilor trigonometrice.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Trecând la articol, obținem și cosπ=−1 . Substituim aceste valori în expresia originală, aceasta ia forma . Pentru a-i găsi valoarea, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea, apoi să finalizați calculele: .

Răspuns:

.

Este de remarcat faptul că calcularea valorilor expresiilor cu sinusuri, cosinus etc. adesea necesită prealabil conversia unei expresii trigonometrice.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei trigonometrice .

Soluţie.

Să transformăm expresia originală folosind , în acest caz vom avea nevoie de formula cosinusului unghi dublu și formula cosinusului sumă:

Transformările pe care le-am făcut ne-au ajutat să găsim sensul expresiei.

Răspuns:

.

Caz general

În general, o expresie numerică poate conține rădăcini, puteri, fracții, unele funcții și paranteze. Găsirea valorilor unor astfel de expresii constă în efectuarea următoarelor acțiuni:

• primele rădăcini, puteri, fracții etc. sunt înlocuite cu valorile lor,
• acțiuni suplimentare între paranteze,
• iar în ordine de la stânga la dreapta se efectuează operațiile rămase - înmulțirea și împărțirea, urmate de adunare și scădere.

Acțiunile enumerate sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Forma acestei expresii este destul de complexă. În această expresie vedem fracții, rădăcini, puteri, sinus și logaritmi. Cum să-i găsim valoarea?

Deplasându-ne prin înregistrare de la stânga la dreapta, întâlnim o fracțiune din formular . Știm că atunci când lucrăm cu fracții tip complex, trebuie să calculăm separat valoarea numărătorului, separat numitorul și, în final, să găsim valoarea fracției.

La numărător avem rădăcina formei . Pentru a-i determina valoarea, mai întâi trebuie să calculați valoarea expresiei radicalului . Există un sinus aici. Putem găsi valoarea acesteia numai după calcularea valorii expresiei . Asta putem face: . Apoi de unde și de unde .

Numitorul este simplu: .

Prin urmare, .

După înlocuirea acestui rezultat în expresia originală, acesta va lua forma . Expresia rezultată conține gradul . Pentru a-i găsi valoarea, mai întâi trebuie să găsim valoarea indicatorului, avem .

Asa de, .

Răspuns:

.

Dacă nu este posibil să se calculeze valorile exacte ale rădăcinilor, puterilor etc., atunci puteți încerca să scăpați de ele folosind unele transformări și apoi să reveniți la calcularea valorii conform schemei specificate.

Modalități raționale de a calcula valorile expresiilor

Calcularea valorilor expresiilor numerice necesită consistență și acuratețe. Da, este necesar să respectați succesiunea de acțiuni înregistrate în paragrafele precedente, dar nu este nevoie să faceți acest lucru orbește și mecanic. Ceea ce înțelegem prin aceasta este că este adesea posibil să se raționalizeze procesul de găsire a sensului unei expresii. De exemplu, anumite proprietăți ale operațiilor cu numere pot accelera și simplifica semnificativ găsirea valorii unei expresii.

De exemplu, cunoaștem această proprietate a înmulțirii: dacă unul dintre factorii din produs este egal cu zero, atunci și valoarea produsului este egală cu zero. Folosind această proprietate, putem spune imediat că valoarea expresiei 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) este egal cu zero. Dacă am urma ordinea standard a operațiilor, ar trebui mai întâi să calculăm valorile expresiilor greoaie din paranteze, ceea ce ar dura mult timp, iar rezultatul ar fi totuși zero.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale: dacă scădeți un număr egal dintr-un număr, rezultatul este zero. Această proprietate poate fi considerată mai larg: diferența dintre două expresii numerice identice este zero. De exemplu, fără a calcula valoarea expresiilor din paranteze, puteți găsi valoarea expresiei (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), este egal cu zero, deoarece expresia originală este diferența dintre expresii identice.

Transformările de identitate pot facilita calculul rațional al valorilor expresiei. De exemplu, gruparea termenilor și factorilor poate fi utilă scoaterea factorului comun dintre paranteze nu este mai puțin utilizată. Deci valoarea expresiei 53·5+53·7−53·11+5 este foarte ușor de găsit după ce a luat factorul 53 din paranteze: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Calculul direct ar dura mult mai mult.

Pentru a încheia acest punct, să acordăm atenție unei abordări raționale a calculării valorilor expresiilor cu fracții - factorii identici din numărătorul și numitorul fracției sunt anulați. De exemplu, reducerea acelorași expresii în numărătorul și numitorul unei fracții vă permite să găsiți imediat valoarea acesteia, care este egală cu 1/2.

Găsirea valorii unei expresii literale și a unei expresii cu variabile

Semnificația unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru specific valorile stabilite litere și variabile. Acesta este, despre care vorbim despre găsirea valorii unei expresii literale pentru valorile de litere date sau despre găsirea valorii unei expresii cu variabile pentru valorile variabilelor selectate.

Regulă găsirea valorii unei expresii literale sau a unei expresii cu variabile pentru valorile date ale literelor sau valorile selectate ale variabilelor este după cum urmează: trebuie să înlocuiți valorile date ale literelor sau variabilelor în expresia originală și să calculați valoarea expresiei numerice rezultate este valoarea dorită.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 0,5·x−y la x=2,4 și y=5.

Soluţie.

Pentru a găsi valoarea necesară a expresiei, mai întâi trebuie să înlocuiți valorile date ale variabilelor în expresia originală și apoi să efectuați următorii pași: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Răspuns:

−3,8 .

Ca o notă finală, uneori efectuarea de transformări pe expresii literale și variabile va da valorile acestora, indiferent de valorile literelor și variabilelor. De exemplu, expresia x+3−x poate fi simplificată, după care va lua forma 3. Din aceasta putem concluziona că valoarea expresiei x+3−x este egală cu 3 pentru orice valoare a variabilei x din intervalul său de valori admisibile (APV). Un alt exemplu: valoarea expresiei este 1 pentru toate valorile pozitive ale lui x, deci aria valori acceptabile variabila x din expresia originală este un set de numere pozitive, iar în această regiune egalitatea este valabilă.

Bibliografie.

• Matematică: manual pentru clasa a 5-a. educatie generala instituții / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. a 21-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru invatamantul general instituții / [N. Da. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M.: Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.

O expresie numerică este o reprezentare a numerelor combinate cu operații aritmetice și paranteze. Când o expresie folosește variabile împreună cu numere și întreaga expresie este compusă cu sens, se numește expresie algebrică (literală). Dacă expresia conține directă, derivată, inversă și altele funcții trigonometrice, atunci expresia se numește trigonometrică. Un numar mare de exemple și probleme care folosesc diverse expresii sunt descrise în detaliu în curs școlar matematică.

Principalele lucruri de reținut:

1. Valoarea unei expresii numerice va fi numărul obţinut prin efectuarea operaţiilor aritmetice în această expresie. Principalul lucru este să efectuați în mod constant operații aritmetice. Pentru a simplifica întreaga operațiune, pașii pot fi numerotați. Dacă expresia conține paranteze, atunci în primul rând executăm acțiunea corespunzătoare semnului dintre paranteze. Exponentiarea va fi urmatorul pas. În continuare, efectuăm înmulțirea sau împărțirea cu prioritate și numai la sfârșit adunăm și scădem.

Acum să găsim valoarea expresiei numerice 5+20*(60-45). În primul rând, să „scăpăm” de paranteze. Efectuând acțiunea, obținem 60-45=15. Acum avem 5+20*15. Următoarea acțiune este înmulțirea 20*15=300. ȘI ultima actiune va fi o adăugare, o executăm și obținem rezultatul final 5+300=305.

2. Într-un unghi cunoscut? Lucrând cu expresii trigonometrice, veți avea nevoie de cunoștințe despre formulele trigonometrice de bază pentru a ajuta la simplificarea expresiei. Să aflăm valoarea expresiei cos 12? cos 18 - păcat 12? păcatul 18?. Pentru a simplifica această expresie folosim formula cos(? +?) = cos? ca? - păcat? păcat?, atunci obținem cos 12? cos 18 - păcat 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Expresii cu variabile. Trebuie amintit că valoarea unei expresii algebrice depinde direct de variabilă. Variabilele pot fi desemnate prin litere ale alfabetului grec sau latin. Când avem parametrii dați expresie algebrică, mai întâi trebuie să o simplificați. După aceasta, trebuie să înlocuiți variabilele date și să efectuați operații aritmetice. Ca urmare, cu variabilele date, vom obține un număr, care va fi valoarea expresiei algebrice. Să luăm în considerare un exemplu în care trebuie să găsiți valoarea expresiei 3(a+y)+2(3a+2y) pentru a=4 și y=5. Să simplificăm această expresie și să obținem 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Acum trebuie să înlocuiți valorile variabilelor și să calculați, rezultatul rezultat va fi valoarea expresiei. Deci, avem 9a+7y cu a=4 și y=5 obținem 36+35=71. Rețineți că expresiile algebrice nu au întotdeauna sens. De exemplu, o astfel de expresie 15:(b-4) are sens pentru orice b, cu excepția b =4.