Ηλεκτρονική αριθμομηχανή Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα (αντιπαράγωγο). Αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα – Υπερμάρκετ Γνώσης
Αυτό το μάθημα είναι το πρώτο σε μια σειρά βίντεο για την ενσωμάτωση. Σε αυτό θα αναλύσουμε τι είναι ένα αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης και επίσης θα μελετήσουμε τις στοιχειώδεις μεθόδους υπολογισμού αυτών των ίδιων των αντιπαραγώγων.
Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ: ουσιαστικά όλα καταλήγουν στην έννοια του παραγώγου, με την οποία θα πρέπει να είστε ήδη εξοικειωμένοι.
Θα σημειώσω αμέσως ότι αυτό είναι το πρώτο μάθημά μας νέο θέμα, σήμερα δεν θα υπάρχουν πολύπλοκοι υπολογισμοί και τύποι, αλλά αυτά που θα μάθουμε σήμερα θα αποτελέσουν τη βάση για πολύ πιο σύνθετους υπολογισμούς και κατασκευές κατά τον υπολογισμό μιγαδικών ολοκληρωμάτων και περιοχών.
Επιπλέον, όταν ξεκινάμε να μελετάμε την ολοκλήρωση και τα ολοκληρώματα ειδικότερα, υποθέτουμε σιωπηρά ότι ο μαθητής είναι ήδη τουλάχιστον εξοικειωμένος με τις έννοιες των παραγώγων και έχει τουλάχιστον βασικές δεξιότητες στον υπολογισμό τους. Χωρίς σαφή κατανόηση αυτού, δεν υπάρχει απολύτως τίποτα να κάνουμε στην ενσωμάτωση.
Ωστόσο, εδώ βρίσκεται ένα από τα πιο κοινά και ύπουλα προβλήματα. Το γεγονός είναι ότι, όταν αρχίζουν να υπολογίζουν τα πρώτα τους αντιπαράγωγα, πολλοί μαθητές τα μπερδεύουν με τα παράγωγα. Ως αποτέλεσμα, στις εξετάσεις και ανεξάρτητη εργασίαγίνονται ανόητα και προσβλητικά λάθη.
Επομένως, τώρα δεν θα δώσω έναν σαφή ορισμό του αντιπαραγώγου. Σε αντάλλαγμα, σας προτείνω να δείτε πώς υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ένα απλό συγκεκριμένο παράδειγμα.
Τι είναι ένα αντιπαράγωγο και πώς υπολογίζεται;
Γνωρίζουμε αυτόν τον τύπο:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Αυτή η παράγωγος υπολογίζεται απλά:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Ας δούμε προσεκτικά την έκφραση που προκύπτει και ας εκφράσουμε $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\αριστερά(((x)^(3)) \δεξιά))^(\prime )))(3)\]
Αλλά μπορούμε να το γράψουμε ως εξής, σύμφωνα με τον ορισμό μιας παραγώγου:
\[((x)^(2))=((\αριστερά(\frac(((x)^(3)))(3) \δεξιά))^(\prime ))\]
Και τώρα προσοχή: αυτό που μόλις σημειώσαμε είναι ο ορισμός του αντιπαραγώγου. Αλλά για να το γράψετε σωστά, πρέπει να γράψετε τα εξής:
Ας γράψουμε την παρακάτω έκφραση με τον ίδιο τρόπο:
Αν γενικεύσουμε αυτόν τον κανόνα, μπορούμε να εξαγάγουμε τον ακόλουθο τύπο:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Τώρα μπορούμε να διατυπώσουμε έναν σαφή ορισμό.
Αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης είναι μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με την αρχική συνάρτηση.
Ερωτήσεις σχετικά με την αντιπαράγωγη συνάρτηση
Θα φαινόταν ένας αρκετά απλός και κατανοητός ορισμός. Ωστόσο, μόλις το ακούσει, ο προσεκτικός μαθητής θα έχει αμέσως πολλές ερωτήσεις:
- Ας πούμε, εντάξει, αυτός ο τύπος είναι σωστός. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, με $n=1$, έχουμε προβλήματα: το "μηδέν" εμφανίζεται στον παρονομαστή και δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το "μηδέν".
- Ο τύπος περιορίζεται μόνο σε βαθμούς. Πώς να υπολογίσετε την αντιπαράγωγο, για παράδειγμα, του ημιτόνου, του συνημιτόνου και οποιασδήποτε άλλης τριγωνομετρίας, καθώς και των σταθερών.
- Υπαρξιακό ερώτημα: είναι πάντα δυνατό να βρεθεί αντιπαράγωγο; Αν ναι, τότε τι γίνεται με το αντιπαράγωγο του αθροίσματος, της διαφοράς, του προϊόντος κ.λπ.;
Θα απαντήσω αμέσως στην τελευταία ερώτηση. Δυστυχώς, το αντιπαράγωγο, σε αντίθεση με το παράγωγο, δεν λαμβάνεται πάντα υπόψη. Δεν υπάρχει τέτοιος καθολικός τύπος σύμφωνα με τον οποίο από οποιαδήποτε πρωτότυπο σχέδιοθα πάρουμε μια συνάρτηση που θα είναι ίση με αυτήν την παρόμοια κατασκευή. Όσο για τις δυνάμεις και τις σταθερές, θα μιλήσουμε για αυτό τώρα.
Επίλυση προβλημάτων με συναρτήσεις ισχύος
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Όπως βλέπουμε, αυτή τη φόρμουλαγια $((x)^(-1))$ δεν λειτουργεί. Τίθεται το ερώτημα: τι λειτουργεί τότε; Δεν μπορούμε να μετρήσουμε $((x)^(-1))$; Φυσικά μπορούμε. Ας θυμηθούμε πρώτα αυτό:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Τώρα ας σκεφτούμε: η παράγωγος της οποίας συνάρτηση είναι ίση με $\frac(1)(x)$. Προφανώς, κάθε μαθητής που έχει μελετήσει τουλάχιστον λίγο αυτό το θέμα θα θυμάται ότι αυτή η έκφραση είναι ίση με την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:
\[((\αριστερά(\ln x \δεξιά))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά τα εξής:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]
Πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον τύπο, όπως ακριβώς και την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος.
Τι γνωρίζουμε λοιπόν μέχρι στιγμής:
- Για μια συνάρτηση ισχύος - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Για μια σταθερά - $=const\to \cdot x$
- Μια ειδική περίπτωση μιας συνάρτησης ισχύος είναι $\frac(1)(x)\to \ln x$
Και αν αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε τις απλούστερες συναρτήσεις, πώς τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την αντιπαράγωγο ενός γινομένου ή ενός πηλίκου. Δυστυχώς, οι αναλογίες με το παράγωγο ενός προϊόντος ή ενός πηλίκου δεν λειτουργούν εδώ. Δεν υπάρχει τυπική φόρμουλα. Για ορισμένες περιπτώσεις υπάρχουν δύσκολα ειδικές φόρμουλες— θα τους γνωρίσουμε σε μελλοντικά μαθήματα βίντεο.
Ωστόσο, να θυμάστε: γενικός τύπος, παρόμοιος τύπος για τον υπολογισμό της παραγώγου πηλίκου και γινομένου δεν υπάρχει.
Επίλυση πραγματικών προβλημάτων
Εργασία Νο. 1
Ας το καθένα λειτουργίες ισχύοςΑς υπολογίσουμε ξεχωριστά:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Επιστρέφοντας στην έκφρασή μας, γράφουμε τη γενική κατασκευή:
Πρόβλημα Νο 2
Όπως είπα ήδη, τα πρωτότυπα των έργων και τα στοιχεία "to the point" δεν λαμβάνονται υπόψη. Ωστόσο, εδώ μπορείτε να κάνετε τα εξής:
Αναλύσαμε το κλάσμα στο άθροισμα δύο κλασμάτων.
Ας κάνουμε τα μαθηματικά:
Τα καλά νέα είναι ότι γνωρίζοντας τους τύπους για τον υπολογισμό των αντιπαραγώγων, μπορείτε ήδη να υπολογίσετε πιο πολύπλοκες δομές. Ωστόσο, ας πάμε παρακάτω και ας διευρύνουμε λίγο περισσότερο τις γνώσεις μας. Το γεγονός είναι ότι πολλές κατασκευές και εκφράσεις, οι οποίες, με την πρώτη ματιά, δεν έχουν καμία σχέση με το $((x)^(n))$, μπορούν να αναπαρασταθούν ως δύναμη με ορθολογικός δείκτης, και συγκεκριμένα:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Όλες αυτές οι τεχνικές μπορούν και πρέπει να συνδυαστούν. Οι εκφράσεις δύναμης μπορούν να είναι
- πολλαπλασιάζω (προσθήκη βαθμών).
- διαίρεση (αφαιρούνται οι μοίρες).
- πολλαπλασιάζω με μια σταθερά.
- και τα λοιπά.
Επίλυση εκφράσεων δύναμης με ορθολογικό εκθέτη
Παράδειγμα #1
Ας υπολογίσουμε κάθε ρίζα ξεχωριστά:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Συνολικά, ολόκληρη η κατασκευή μας μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Παράδειγμα Νο. 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \δεξιά))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Επομένως παίρνουμε:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Συνολικά, συλλέγοντας τα πάντα σε μια έκφραση, μπορούμε να γράψουμε:
Παράδειγμα Νο. 3
Αρχικά, σημειώνουμε ότι έχουμε ήδη υπολογίσει το $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Ας ξαναγράψουμε:
Ελπίζω να μην εκπλήξω κανέναν αν πω ότι αυτό που μόλις μελετήσαμε είναι μόνο οι απλούστεροι υπολογισμοί των αντιπαραγώγων, οι πιο στοιχειώδεις κατασκευές. Ας δούμε τώρα λίγο περισσότερο σύνθετα παραδείγματα, στο οποίο, εκτός από τα αντιπαράγωγα του πίνακα, θα πρέπει επίσης να θυμάστε το σχολικό πρόγραμμα σπουδών, δηλαδή, συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού.
Επίλυση πιο σύνθετων παραδειγμάτων
Εργασία Νο. 1
Ας θυμηθούμε τον τύπο για την τετραγωνική διαφορά:
\[((\αριστερά(a-b \δεξιά))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Ας ξαναγράψουμε τη συνάρτησή μας:
Τώρα πρέπει να βρούμε το πρωτότυπο μιας τέτοιας συνάρτησης:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3)))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3)))(4)\]
Ας τα βάλουμε όλα μαζί σε ένα κοινό σχέδιο:
Πρόβλημα Νο 2
Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να επεκτείνουμε τον κύβο διαφοράς. Ας θυμηθούμε:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((β)^(3))\]
Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός, μπορούμε να το γράψουμε ως εξής:
Ας μεταμορφώσουμε λίγο τη συνάρτησή μας:
Μετράμε όπως πάντα - για κάθε όρο ξεχωριστά:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\ έως \ln x\]
Ας γράψουμε την κατασκευή που προκύπτει:
Εργασία Νο. 3
Στην κορυφή έχουμε το τετράγωνο του αθροίσματος, ας το επεκτείνουμε:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\αριστερά(\sqrt(x) \δεξιά))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))(3)\]
Ας γράψουμε την τελική λύση:
Τώρα προσοχή! Κάτι πολύ σημαντικό, που συνδέεται με τη μερίδα του λέοντος στα λάθη και τις παρεξηγήσεις. Γεγονός είναι ότι μέχρι τώρα, μετρώντας αντιπαράγωγα χρησιμοποιώντας παραγώγους και φέρνοντας μετασχηματισμούς, δεν σκεφτήκαμε με τι ισούται η παράγωγος μιας σταθεράς. Αλλά η παράγωγος μιας σταθεράς είναι ίση με "μηδέν". Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να γράψετε τις ακόλουθες επιλογές:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Αυτό είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε: αν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι πάντα η ίδια, τότε η ίδια συνάρτηση έχει άπειρο αριθμό αντιπαραγώγων. Μπορούμε απλά να προσθέσουμε οποιουσδήποτε σταθερούς αριθμούς στα αντιπαράγωγά μας και να πάρουμε νέους.
Δεν είναι τυχαίο ότι στην εξήγηση των προβλημάτων που μόλις λύσαμε έγραφε «Γράψε γενική μορφήπρωτόγονοι». Εκείνοι. Υποτίθεται ήδη εκ των προτέρων ότι δεν υπάρχει ένας από αυτούς, αλλά ένα ολόκληρο πλήθος. Αλλά, στην πραγματικότητα, διαφέρουν μόνο στη σταθερή $C$ στο τέλος. Επομένως, στα καθήκοντά μας θα διορθώσουμε αυτά που δεν ολοκληρώσαμε.
Για άλλη μια φορά ξαναγράφουμε τις κατασκευές μας:
Σε τέτοιες περιπτώσεις, θα πρέπει να προσθέσετε ότι το $C$ είναι μια σταθερά - $C=const$.
Στη δεύτερη συνάρτησή μας έχουμε την ακόλουθη κατασκευή:
Και το τελευταίο:
Και τώρα πήραμε πραγματικά αυτό που απαιτούνταν από εμάς στην αρχική κατάσταση του προβλήματος.
Επίλυση προβλημάτων εύρεσης αντιπαραγώγων με δεδομένο σημείο
Τώρα που γνωρίζουμε για τις σταθερές και τις ιδιαιτερότητες της γραφής αντιπαραγώγων, είναι πολύ λογικό να προκύπτει ο επόμενος τύπος προβλήματος όταν, από το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων, απαιτείται να βρεθεί το ένα και μοναδικό που θα περνούσε από ένα δεδομένο σημείο . Τι είναι αυτό το καθήκον;
Το γεγονός είναι ότι όλα τα αντιπαράγωγα μιας δεδομένης συνάρτησης διαφέρουν μόνο στο ότι μετατοπίζονται κατακόρυφα κατά έναν ορισμένο αριθμό. Και αυτό σημαίνει ότι ανεξάρτητα από το σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων που πάρουμε, σίγουρα θα περάσει ένα αντιπαράγωγο και, επιπλέον, μόνο ένα.
Έτσι, τα προβλήματα που θα λύσουμε τώρα διατυπώνονται ως εξής: όχι απλώς βρείτε την αντιπαράγωγο, γνωρίζοντας τον τύπο της αρχικής συνάρτησης, αλλά επιλέξτε ακριβώς αυτό που διέρχεται από το δεδομένο σημείο, οι συντεταγμένες του οποίου θα δοθούν στο πρόβλημα δήλωση.
Παράδειγμα #1
Αρχικά, ας μετρήσουμε απλώς κάθε όρο:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
Τώρα αντικαθιστούμε αυτές τις εκφράσεις στην κατασκευή μας:
Αυτή η συνάρτηση πρέπει να περάσει από το σημείο $M\left(-1;4 \right)$. Τι σημαίνει ότι περνά από ένα σημείο; Αυτό σημαίνει ότι αν αντί για $x$ βάλουμε $-1$ παντού και αντί για $F\left(x \right)$ - $-4$, τότε θα πρέπει να λάβουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα. Ας το κάνουμε:
Βλέπουμε ότι έχουμε μια εξίσωση για $C$, οπότε ας προσπαθήσουμε να τη λύσουμε:
Ας γράψουμε τη λύση που αναζητούσαμε:
Παράδειγμα Νο. 2
Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να αποκαλύψουμε το τετράγωνο της διαφοράς χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Η αρχική κατασκευή θα γραφτεί ως εξής:
Τώρα ας βρούμε το $C$: αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Εκφράζουμε $C$:
Απομένει να εμφανιστεί η τελική έκφραση:
Επίλυση τριγωνομετρικών προβλημάτων
Ως τελευταία πινελιά σε αυτό που μόλις συζητήσαμε, προτείνω να εξετάσουμε δύο πιο σύνθετα προβλήματα που περιλαμβάνουν την τριγωνομετρία. Σε αυτές, με τον ίδιο τρόπο, θα χρειαστεί να βρείτε αντιπαράγωγα για όλες τις συναρτήσεις και, στη συνέχεια, να επιλέξετε από αυτό το σύνολο τη μοναδική που διέρχεται από το σημείο $M$ στο επίπεδο συντεταγμένων.
Κοιτάζοντας μπροστά, θα ήθελα να σημειώσω ότι η τεχνική που θα χρησιμοποιήσουμε τώρα για να βρούμε αντιπαράγωγα του τριγωνομετρικές συναρτήσεις, στην πραγματικότητα, είναι μια καθολική τεχνική για αυτοέλεγχο.
Εργασία Νο. 1
Ας θυμηθούμε τον ακόλουθο τύπο:
\[((\αριστερά(\κείμενο(tg)x \δεξιά))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Με βάση αυτό, μπορούμε να γράψουμε:
Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου $M$ στην έκφρασή μας:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Ας ξαναγράψουμε την έκφραση λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός:
Πρόβλημα Νο 2
Αυτό θα είναι λίγο πιο δύσκολο. Τώρα θα δείτε γιατί.
Ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο:
\[((\αριστερά(\κείμενο(ctg)x \δεξιά))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Για να απαλλαγείτε από το "μείον", πρέπει να κάνετε τα εξής:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Εδώ είναι το σχέδιό μας
Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου $M$:
Συνολικά, σημειώνουμε την τελική κατασκευή:
Μόνο αυτό ήθελα να σας πω σήμερα. Μελετήσαμε τον ίδιο τον όρο αντιπαράγωγα, πώς να τα υπολογίσουμε από στοιχειώδεις συναρτήσεις και επίσης πώς να βρούμε μια αντιπαράγωγο που διέρχεται από ένα συγκεκριμένο σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.
Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε τουλάχιστον λίγο αυτό το περίπλοκο θέμα. Σε κάθε περίπτωση, στα αντιπαράγωγα είναι το απροσδιόριστο και μη οριστικά ολοκληρώματα, οπότε είναι απολύτως απαραίτητο να τα καταμετρήσουμε. Αυτό είναι όλο για μένα. Τα λέμε!
ΕΝΑ)Άμεση ενσωμάτωση.
Εύρεση ολοκληρωμάτων συναρτήσεων με βάση την άμεση εφαρμογή των ιδιοτήτων αόριστων ολοκληρωμάτων και πίνακας βασικών τύπων ολοκλήρωσης. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα εύρεσης του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης με άμεση ολοκλήρωση.
Παράδειγμα:
∫(Χ–3) 2 d Χ= ∫(Χ 2 –6Χ+9)δ Χ= ∫Χ 2 d Χ- 6∫Χρε Χ+9∫d Χ=Χ 3 ∕3 -3Χ 2 +9Χ+S.
Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων, έχουμε να κάνουμε με ολοκληρώματα συναρτήσεων που δεν μπορούν να βρεθούν με άμεση ολοκλήρωση. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να γίνει αντικατάσταση (αντικαταστήστε τη μεταβλητή).
σι)Ολοκλήρωση με αντικατάσταση (μεταβλητή αντικατάσταση).
Η ολοκλήρωση με υποκατάσταση, ή όπως αποκαλείται συχνά, η μέθοδος μεταβλητής υποκατάστασης, είναι μια από τις πιο αποτελεσματικές και κοινές μεθόδους ολοκλήρωσης. Η μέθοδος αντικατάστασης είναι να πάμε από δεδομένο μεταβλητή ολοκλήρωσηςσε μια άλλη μεταβλητή προκειμένου να απλοποιηθεί η έκφραση του ολοκληρώματος και να μεταφερθεί σε έναν από τους πίνακες τύπους ολοκληρωμάτων. Στην περίπτωση αυτή, η επιλογή της αντικατάστασης αποφασίζεται από τον ερμηνευτή μεμονωμένα, γιατί Δεν υπάρχουν γενικοί κανόνες που να υποδεικνύουν ποια υποκατάσταση να γίνει σε μια δεδομένη περίπτωση.
Παράδειγμα:Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ μι 2x+3 d Χ.
Ας εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή t που σχετίζεται με Χμετά την εξάρτηση 2 Χ+ 3 =t.
Ας πάρουμε τα διαφορικά της αριστερής και της δεξιάς πλευράς αυτής της ισότητας: 2δ Χ=dt;d Χ=dt/2.
Τώρα αντί για 2 Χ+ 3 id ΧΑς αντικαταστήσουμε τις αξίες τους στο integrand. Τότε παίρνουμε: ∫ μι 2x+3 d Χ=∫μι t dt= μι t + C. Επιστρέφοντας στην προηγούμενη μεταβλητή, λαμβάνουμε τελικά την έκφραση:
∫μι 2x+3 d Χ=μι 2x+3 + Γ.
Για να βεβαιωθείτε ότι το ολοκλήρωμα λαμβάνεται σωστά, χρειάζεστε μια αντιπαράγωγη συνάρτηση μι 2x+ 3 διαφοροποιήστε και ελέγξτε αν θα υπάρξει Είναι η παράγωγός του ίση με τη συνάρτηση ολοκλήρωσης:
(μι 2x+ 3)" =μι 2x+ 3 (2 Χ+3)" =μι 2x+ 3 .
3. Ορισμένο ολοκλήρωμα και οι ιδιότητές του.
Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλούς τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Με τη βοήθειά του υπολογίζονται περιοχές που οριοθετούνται από καμπύλες, όγκοι αυθαίρετου σχήματος, ισχύς και έργο μεταβλητής δύναμης, η διαδρομή ενός κινούμενου σώματος, ροπές αδράνειας και πολλά άλλα μεγέθη.
ΣΕ 
Στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων, η έννοια ενός ορισμένου ολοκληρώματος εισάγεται κατά την επίλυση προβλημάτων προσδιορισμού της περιοχής ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. Έστω μια συνεχής συνάρτηση y =f( Χ) στο τμήμα [ μετα Χριστον]. Ένα σχήμα που οριοθετείται από την καμπύλη y=f( Χ) τεταγμένες ΕΝΑΩ, VΕΝΑ Πκαι το τμήμα [ μετα Χριστον] ο άξονας x ονομάζεται καμπυλόγραμμο τραπέζιο (Εικ. 1).
Ας θέσουμε στον εαυτό μας το καθήκον: να καθορίσουμε το εμβαδόν S ενός κυρτού τραπεζοειδούς ΕΝΑΑ ο Α Π V. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το τμήμα [ μετα Χριστον] επί Πόχι απαραίτητο ίσα μέρηκαι ορίστε τα σημεία διαίρεσης ως εξής: ΕΝΑ=ΧΟ < Χ 1 < Χ 2 ‹ … ‹ Χ Π = μέσα.
Από τα σημεία διαίρεσης επαναφέρουμε τις κάθετες στην τομή με την καμπύλη y = f( Χ). Έτσι, χωρίσαμε ολόκληρη την περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη σε Πστοιχειώδη καμπυλόγραμμα τραπεζοειδή. Ας ανακατασκευάσουμε από αυθαίρετα σημεία κάθε τμήματος Δ Χ Εγώ ordinatef(C Εγώ) μέχρι να τέμνεται με την καμπύλη y =f( Χ). Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε ένα κλιμακωτό σχήμα που αποτελείται από ορθογώνια με βάση Δ Χ Εγώ και ύψος f(C Εγώ). Δημοτική Πλατεία Εγώουτο ορθογώνιο θα είναι S Εγώ =f(C Εγώ)(Χ Εγώ -Χ Εγώ -1 ), και ολόκληρη την περιοχή Σ Πτο κλιμακωτό σχήμα που προκύπτει θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων:
μικρό Π=f(C o)( Χ 1 -Χ o) +f(C 1)( Χ 2 -Χ 1 ) + … +f(C Π- 1)(ΧΠ -Χ Π- 1).
Για να συντομεύσετε την καταχώριση αυτού του ποσού, εισαγάγετε το σύμβολο 
(σίγμα) – ένα σημάδι που σημαίνει το άθροισμα των ποσοτήτων. Επειτα
μικρό Π
=
.
Το ποσό αυτό S Π,που ονομάζεται ολοκληρωτικό άθροισμα, μπορεί να είναι είτε μεγαλύτερη είτε μικρότερη από την πραγματική τιμή μιας δεδομένης περιοχής. Η πλησιέστερη τιμή στην πραγματική τιμή της περιοχής θα είναι το όριο του αθροίσματος, με την προϋπόθεση ότι τα στοιχειώδη τμήματα θα συνθλίβονται ( p→
), και το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος Δ Χ Μέγιστηθα τείνει στο μηδέν, δηλαδή:
S=
(4)
Αυτό το αθροιστικό όριο (αν υπάρχει) καλείται οριστικό ολοκλήρωμααπό το functionf( Χ) στο τμήμα [ ΕΝΑ,V] και δηλώνουν: 
=
(5)
(διαβάζει «ορισμένο ολοκλήρωμα του ΕΝΑπριν Vεφ από χ δε χ»).
Αριθμοί ΕΝΑΚαι Vονομάζονται κατώτερο και ανώτερο όριο ολοκλήρωσης, αντίστοιχα, f( Χ) – υποολοκληρωτική συνάρτηση. Χ– μεταβλητή ολοκλήρωσης. Χρησιμοποιώντας τους τύπους (4) και (5) μπορούμε να γράψουμε. Ότι το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με το ολοκλήρωμα της συνάρτησης που περιορίζει το τραπεζοειδές, που λαμβάνεται από το διάστημα ολοκλήρωσης [ΕΝΑ,V]:
.
Το γεγονός αυτό εκφράζει τη γεωμετρική σημασία ενός ορισμένου ολοκληρώματος.
Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.
1. Το οριστικό ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από τον προσδιορισμό της μεταβλητής, δηλ.: 
=
.
2. Το οριστικό ολοκλήρωμα ενός αλγεβρικού αθροίσματος είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα ορισμένων ολοκληρωμάτων κάθε όρου:
=
f 1 ( Χ)ρε x +
f 2 ( Χ)ρε Χ+ ….
Παλαιότερα εμείς δεδομένη λειτουργία, με γνώμονα διάφορους τύπους και κανόνες, βρήκε το παράγωγό του. Το παράγωγο έχει πολλές χρήσεις: είναι η ταχύτητα κίνησης (ή, γενικότερα, η ταχύτητα οποιασδήποτε διαδικασίας). ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. χρησιμοποιώντας την παράγωγο, μπορείτε να εξετάσετε μια συνάρτηση για μονοτονία και ακρότατα. βοηθά στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης.
Αλλά μαζί με το πρόβλημα της εύρεσης της ταχύτητας σύμφωνα με έναν γνωστό νόμο της κίνησης, υπάρχει επίσης ένα αντίστροφο πρόβλημα - το πρόβλημα της επαναφοράς του νόμου της κίνησης σύμφωνα με μια γνωστή ταχύτητα. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα προβλήματα.
Παράδειγμα 1.Ένα υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή, η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο v=gt. Βρείτε το νόμο της κίνησης.
Λύση. Έστω s = s(t) ο επιθυμητός νόμος της κίνησης. Είναι γνωστό ότι s"(t) = v(t). Αυτό σημαίνει ότι για να λύσετε το πρόβλημα πρέπει να επιλέξετε μια συνάρτηση s = s(t), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με gt. Δεν είναι δύσκολο να μαντέψετε ότι \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Απάντηση: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Ας σημειώσουμε αμέσως ότι το παράδειγμα έχει λυθεί σωστά, αλλά ελλιπώς. Πήραμε \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Στην πραγματικότητα, το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις: οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά, μπορεί να χρησιμεύσει ως νόμος του κίνηση, αφού \(\αριστερά (\frac(gt^2)(2) +C \δεξιά)" = gt \)
Για να κάνουμε το πρόβλημα πιο συγκεκριμένο, έπρεπε να διορθώσουμε την αρχική κατάσταση: να υποδείξουμε τη συντεταγμένη ενός κινούμενου σημείου σε κάποια χρονική στιγμή, για παράδειγμα στο t = 0. Αν, ας πούμε, s(0) = s 0, τότε από το ισότητα s(t) = (gt 2)/2 + C παίρνουμε: s(0) = 0 + C, δηλ. C = s 0. Τώρα ο νόμος της κίνησης ορίζεται μοναδικά: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Στα μαθηματικά, στις αμοιβαία αντίστροφες πράξεις δίνονται διαφορετικά ονόματα και επινοούνται ειδικές σημειώσεις, για παράδειγμα: τετραγωνισμός (x 2) και εξαγωγή τετραγωνική ρίζα(\(\sqrt(x) \)), sine (sin x) και arcsine (arcsin x), κ.λπ. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση, ΕΝΑ αντίστροφη λειτουργία, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης μιας συνάρτησης από μια δεδομένη παράγωγο, - ενσωμάτωση.
Ο ίδιος ο όρος «παράγωγο» μπορεί να δικαιολογηθεί «στην καθημερινή ζωή»: η συνάρτηση y = f(x) «παράγει» νέο χαρακτηριστικό y" = f"(x). Η συνάρτηση y = f(x) λειτουργεί ως «γονέας», αλλά οι μαθηματικοί, φυσικά, δεν την αποκαλούν «γονέα» ή «παραγωγό» λένε ότι είναι, σε σχέση με τη συνάρτηση y" = f"( x) , κύρια εικόνα ή πρωτόγονη.
Ορισμός.Η συνάρτηση y = F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x) στο διάστημα X αν η ισότητα F"(x) = f(x) ισχύει για \(x \σε X\)
Στην πράξη, το διάστημα X συνήθως δεν προσδιορίζεται, αλλά υπονοείται (ως το φυσικό πεδίο ορισμού της συνάρτησης).
Ας δώσουμε παραδείγματα.
1) Η συνάρτηση y = x 2 είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 2x, αφού για κάθε x η ισότητα (x 2)" = 2x είναι αληθής
2) Η συνάρτηση y = x 3 είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 3x 2, αφού για κάθε x η ισότητα (x 3)" = 3x 2 είναι αληθής
3) Η συνάρτηση y = sin(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = cos(x), αφού για κάθε x η ισότητα (sin(x))" = cos(x) είναι αληθής
Κατά την εύρεση αντιπαραγώγων, καθώς και παραγώγων, δεν χρησιμοποιούνται μόνο τύποι, αλλά και ορισμένοι κανόνες. Σχετίζονται άμεσα με τους αντίστοιχους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων.
Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων του. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Κανόνας 1.Το αντιπαράγωγο ενός αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων.
Γνωρίζουμε ότι ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Κανόνας 2.Εάν το F(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για το f(x), τότε το kF(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για το kf(x).
Θεώρημα 1.Αν το y = F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x), τότε το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y = f(kx + m) είναι η συνάρτηση \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Θεώρημα 2.Αν το y = F(x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y = f(x) στο διάστημα X, τότε η συνάρτηση y = f(x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα έχουν τη μορφή y = F(x) + Γ.
Μέθοδοι ολοκλήρωσης
Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής (μέθοδος αντικατάστασης)
Η μέθοδος ολοκλήρωσης με υποκατάσταση περιλαμβάνει την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής ολοκλήρωσης (δηλαδή υποκατάστασης). Σε αυτήν την περίπτωση, το δεδομένο ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα νέο ολοκλήρωμα, το οποίο είναι πίνακας ή αναγώγιμο σε αυτό. Κοινές μέθοδοιδεν υπάρχει επιλογή αντικαταστάσεων. Η ικανότητα ορθού προσδιορισμού της υποκατάστασης αποκτάται μέσω της εξάσκησης.
Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \(\textstyle \int F(x)dx \). Ας κάνουμε την αντικατάσταση \(x= \varphi(t) \) όπου \(\varphi(t) \) είναι μια συνάρτηση που έχει συνεχή παράγωγο.
Στη συνέχεια, \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) και με βάση την ιδιότητα αμετάβλητης του τύπου ολοκλήρωσης για το αόριστο ολοκλήρωμα, λαμβάνουμε τον τύπο ολοκλήρωσης με αντικατάσταση:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Ενσωμάτωση εκφράσεων της μορφής \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Αν το m είναι περιττό, m > 0, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση sin x = t.
Αν το n είναι περιττό, n > 0, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση cos x = t.
Αν τα n και m είναι άρτια, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση tg x = t.
Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα
Ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα - εφαρμόζοντας τον ακόλουθο τύπο για ενσωμάτωση:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ή:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγα) ορισμένων συναρτήσεων
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Είδαμε ότι η παράγωγος έχει πολλές χρήσεις: η παράγωγος είναι η ταχύτητα κίνησης (ή, γενικότερα, η ταχύτητα οποιασδήποτε διαδικασίας). παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. χρησιμοποιώντας την παράγωγο, μπορείτε να εξετάσετε μια συνάρτηση για μονοτονία και ακρότατα. η παράγωγος βοηθά στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης.
Αλλά σε πραγματική ζωήπρέπει να αποφασίσουν και αντίστροφα προβλήματα: για παράδειγμα, μαζί με το πρόβλημα της εύρεσης της ταχύτητας σύμφωνα με έναν γνωστό νόμο κίνησης, υπάρχει επίσης το πρόβλημα της επαναφοράς του νόμου της κίνησης σύμφωνα με μια γνωστή ταχύτητα. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα προβλήματα.
Παράδειγμα 1.Ένα υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή, η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο u = tg. Βρείτε το νόμο της κίνησης.
Λύση.Έστω s = s(t) ο επιθυμητός νόμος της κίνησης. Είναι γνωστό ότι s"(t) = u"(t). Αυτό σημαίνει ότι για να λύσετε το πρόβλημα πρέπει να επιλέξετε λειτουργία s = s(t), του οποίου η παράγωγος είναι ίση με tg. Δεν είναι δύσκολο να το μαντέψει κανείς
Ας σημειώσουμε αμέσως ότι το παράδειγμα έχει λυθεί σωστά, αλλά ελλιπώς. Βρήκαμε ότι, στην πραγματικότητα, το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις: οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής 
μια αυθαίρετη σταθερά μπορεί να χρησιμεύσει ως νόμος κίνησης, αφού
Για να κάνουμε την εργασία πιο συγκεκριμένη, χρειαζόταν να διορθώσουμε την αρχική κατάσταση: να υποδείξουμε τη συντεταγμένη ενός κινούμενου σημείου σε κάποια χρονική στιγμή, για παράδειγμα, στο t=0. Αν, ας πούμε, s(0) = s 0, τότε από την ισότητα παίρνουμε s(0) = 0 + C, δηλ. S 0 = C. Τώρα ο νόμος της κίνησης ορίζεται μοναδικά:
Στα μαθηματικά, στις αμοιβαία αντίστροφες πράξεις δίνονται διαφορετικά ονόματα και επινοούνται ειδικοί συμβολισμοί: για παράδειγμα, τετραγωνισμός (x 2) και λήψη της τετραγωνικής ρίζας του ημιτόνου (sinх) και τόξο(arcsin x) κ.λπ. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται διαφοροποίηση και η αντίστροφη πράξη, δηλ. η διαδικασία εύρεσης συνάρτησης από μια δεδομένη παράγωγο - ολοκλήρωση.
Ο ίδιος ο όρος «παράγωγος» μπορεί να δικαιολογηθεί «στην καθημερινή ζωή»: η συνάρτηση y - f(x) «γεννά» μια νέα συνάρτηση y"= f"(x). ένας «γονέας» , αλλά οι μαθηματικοί, φυσικά, δεν το αποκαλούν «γονέα» ή «παραγωγό» λένε ότι αυτή, σε σχέση με τη συνάρτηση y"=f"(x), είναι η κύρια εικόνα, ή, μέσα σύντομη, το αντιπαράγωγο.
Ορισμός 1.Η συνάρτηση y = F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x) σε ένα δεδομένο διάστημα X αν για όλα τα x από το X ισχύει η ισότητα F"(x)=f(x).
Στην πράξη, το διάστημα X συνήθως δεν προσδιορίζεται, αλλά υπονοείται (ως το φυσικό πεδίο ορισμού της συνάρτησης).
Να μερικά παραδείγματα:
1) Η συνάρτηση y = x 2 είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 2x, αφού για όλα τα x η ισότητα (x 2)" = 2x είναι αληθής.
2) η συνάρτηση y - x 3 είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y-3x 2, αφού για όλα τα x ισχύει η ισότητα (x 3)" = 3x 2.
3) Η συνάρτηση y-sinх είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = cosx, αφού για όλα τα x ισχύει η ισότητα (sinx)" = cosx.
4) Η συνάρτηση είναι αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση στο διάστημα αφού για όλα τα x > 0 η ισότητα είναι αληθής
Γενικά, γνωρίζοντας τους τύπους για την εύρεση παραγώγων, δεν είναι δύσκολο να συντάξουμε έναν πίνακα τύπων για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Ελπίζουμε να καταλαβαίνετε πώς συντάσσεται αυτός ο πίνακας: η παράγωγος της συνάρτησης που είναι γραμμένη στη δεύτερη στήλη είναι ίση με τη συνάρτηση που είναι γραμμένη στο αντίστοιχη γραμμήπρώτη στήλη (δείτε το, μην είστε τεμπέλης, είναι πολύ χρήσιμο). Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση y = x 5 η αντιπαράγωγος, όπως θα καθορίσετε, είναι η συνάρτηση (δείτε την τέταρτη σειρά του πίνακα).
Σημειώσεις: 1. Παρακάτω θα αποδείξουμε το θεώρημα ότι αν y = F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x), τότε η συνάρτηση y = f(x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα έχουν τη μορφή y = F(x ) + C. Επομένως, θα ήταν πιο σωστό να προσθέσουμε τον όρο C παντού στη δεύτερη στήλη του πίνακα, όπου το C είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός.
2. Για λόγους συντομίας, μερικές φορές αντί για τη φράση «η συνάρτηση y = F(x) είναι αντιπαράγωγο της συνάρτησης y = f(x),» λένε ότι η F(x) είναι αντιπαράγωγος της f(x) .»
2. Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων
Κατά την εύρεση αντιπαραγώγων, καθώς και κατά την εύρεση παραγώγων, δεν χρησιμοποιούνται μόνο τύποι (παρατίθενται στον πίνακα στη σελ. 196), αλλά και ορισμένοι κανόνες. Σχετίζονται άμεσα με τους αντίστοιχους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων.
Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων του. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Κανόνας 1.Το αντιπαράγωγο ενός αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων.
Εφιστούμε την προσοχή σας στην κάπως «ελαφρότητα» αυτής της διατύπωσης. Στην πραγματικότητα, θα πρέπει να διατυπωθεί το θεώρημα: εάν οι συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x) έχουν αντιπαράγωγα στο διάστημα X, αντίστοιχα y-F(x) και y-G(x), τότε το άθροισμα των συναρτήσεων y = η f(x)+g(x) έχει μια αντιπαράγωγο στο διάστημα X, και αυτή η αντιπαράγωγος είναι η συνάρτηση y = F(x)+G(x). Συνήθως όμως, όταν διατυπώνουν κανόνες (και όχι θεωρήματα), φεύγουν μόνο λέξεις-κλειδιά- αυτό καθιστά πιο βολική την εφαρμογή του κανόνα στην πράξη
Παράδειγμα 2.Να βρείτε την αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y = 2x + cos x.
Λύση.Το αντιπαράγωγο για το 2x είναι x"· το αντιπαράγωγο για το cox είναι το sin x. Αυτό σημαίνει ότι το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y = 2x + cos x θα είναι η συνάρτηση y = x 2 + sin x (και γενικά οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής Υ = x 1 + sinx + C) .
Γνωρίζουμε ότι ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Κανόνας 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αντιπαραγώγου.
Παράδειγμα 3.
Λύση.α) Το αντιπαράγωγο για το sin x είναι -soz x. Αυτό σημαίνει ότι για τη συνάρτηση y = 5 sin x η αντιπαράγωγη συνάρτηση θα είναι η συνάρτηση y = -5 cos x.
β) Το αντιπαράγωγο για το cos x είναι το sin x. Αυτό σημαίνει ότι το αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης είναι η συνάρτηση
γ) Η αντιπαράγωγος για το x 3 είναι η αντιπαράγωγος για το x, η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 1 είναι η συνάρτηση y = x. Χρησιμοποιώντας τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων, βρίσκουμε ότι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 12x 3 + 8x-1 είναι η συνάρτηση
Σχόλιο.Όπως είναι γνωστό, το παράγωγο ενός προϊόντος δεν είναι ίσο με το γινόμενο των παραγώγων (ο κανόνας για τη διαφοροποίηση ενός προϊόντος είναι πιο σύνθετος) και το παράγωγο ενός πηλίκου δεν είναι ίσο με το πηλίκο των παραγώγων. Επομένως, δεν υπάρχουν κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου του προϊόντος ή του αντιπαραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων. Πρόσεχε!
Ας αποκτήσουμε έναν άλλο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων. Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης y = f(kx+m) υπολογίζεται από τον τύπο
Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Κανόνας 3.Αν το y = F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x), τότε το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y=f(kx+m) είναι η συνάρτηση
Πράγματι,
Αυτό σημαίνει ότι είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(kx+m).
Η έννοια του τρίτου κανόνα είναι η εξής. Εάν γνωρίζετε ότι η αντιπαράγωγος της συνάρτησης y = f(x) είναι η συνάρτηση y = F(x), και πρέπει να βρείτε την αντιπαράγωγο της συνάρτησης y = f(kx+m), τότε προχωρήστε ως εξής: πάρτε την ίδια συνάρτηση F, αλλά αντί για το όρισμα x, αντικαταστήστε την έκφραση kx+m. Επιπλέον, μην ξεχάσετε να γράψετε "συντελεστής διόρθωσης" πριν από το σύμβολο συνάρτησης
Παράδειγμα 4.Βρείτε αντιπαράγωγα για δεδομένες συναρτήσεις:
Λύση, α) Το αντιπαράγωγο για το sin x είναι -soz x; Αυτό σημαίνει ότι για τη συνάρτηση y = sin2x η αντιπαράγωγος θα είναι η συνάρτηση
β) Το αντιπαράγωγο για το cos x είναι το sin x. Αυτό σημαίνει ότι το αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης είναι η συνάρτηση
γ) Η αντιπαράγωγος για το x 7 σημαίνει ότι για τη συνάρτηση y = (4-5x) 7 η αντιπαράγωγος θα είναι η συνάρτηση
3. Αόριστο ολοκλήρωμα
Έχουμε ήδη σημειώσει παραπάνω ότι το πρόβλημα της εύρεσης αντιπαραγώγου για μια δεδομένη συνάρτηση y = f(x) έχει περισσότερες από μία λύσεις. Ας συζητήσουμε αυτό το θέμα με περισσότερες λεπτομέρειες.
Απόδειξη. 1. Έστω y = F(x) η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x) στο διάστημα X. Αυτό σημαίνει ότι για όλα τα x από το X ισχύει η ισότητα x"(x) = f(x). βρείτε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης της μορφής y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Άρα, (F(x)+C) = f(x). Αυτό σημαίνει ότι το y = F(x) + C είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y = f(x).
Έτσι, αποδείξαμε ότι αν η συνάρτηση y = f(x) έχει αντιπαράγωγο y=F(x), τότε η συνάρτηση (f = f(x) έχει άπειρα αντιπαράγωγα, για παράδειγμα, οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής y = Το F(x) +C είναι ένα αντιπαράγωγο.
2. Ας αποδείξουμε τώρα ότι ο υποδεικνυόμενος τύπος συναρτήσεων εξαντλεί ολόκληρο το σύνολο των αντιπαραγώγων.
Έστω y=F 1 (x) και y=F(x) δύο αντιπαράγωγα για τη συνάρτηση Y = f(x) στο διάστημα X. Αυτό σημαίνει ότι για όλα τα x από το διάστημα X ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση y = F 1 (x) -.F(x) και ας βρούμε την παράγωγό της: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Είναι γνωστό ότι αν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Χ είναι ταυτόσημη με μηδέν, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο διάστημα Χ (βλ. Θεώρημα 3 από § 35). Αυτό σημαίνει ότι F 1 (x) - F (x) = C, δηλ. Fx) = F(x)+C.
Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.
Παράδειγμα 5.Δίνεται ο νόμος της μεταβολής της ταχύτητας με το χρόνο: v = -5sin2t. Να βρείτε τον νόμο της κίνησης s = s(t), αν είναι γνωστό ότι τη χρονική στιγμή t=0 η συντεταγμένη του σημείου ήταν ίση με τον αριθμό 1,5 (δηλαδή s(t) = 1,5).
Λύση.Εφόσον η ταχύτητα είναι παράγωγος της συντεταγμένης σε συνάρτηση με το χρόνο, πρέπει πρώτα να βρούμε την αντιπαράγωγο της ταχύτητας, δηλ. αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση v = -5sin2t. Ένα από αυτά τα αντιπαράγωγα είναι η συνάρτηση και το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων έχει τη μορφή:
Για να βρούμε τη συγκεκριμένη τιμή της σταθεράς C, χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες, σύμφωνα με τις οποίες s(0) = 1,5. Αντικαθιστώντας τις τιμές t=0, S = 1,5 στον τύπο (1), παίρνουμε:
Αντικαθιστώντας την ευρεθείσα τιμή του C στον τύπο (1), παίρνουμε τον νόμο της κίνησης που μας ενδιαφέρει:
Ορισμός 2.Αν μια συνάρτηση y = f(x) έχει αντιπαράγωγο y = F(x) σε ένα διάστημα Χ, τότε το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων, δηλ. το σύνολο των συναρτήσεων της μορφής y = F(x) + C ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης y = f(x) και συμβολίζεται με:
(ανάγνωση: " αόριστο ολοκλήρωμαεφ από χ δε χ»).
Στην επόμενη παράγραφο θα μάθουμε ποιο είναι το κρυφό νόημα αυτού του χαρακτηρισμού.
Με βάση τον πίνακα των αντιπαραγώγων που είναι διαθέσιμος σε αυτήν την ενότητα, θα συντάξουμε έναν πίνακα με τα κύρια αόριστα ολοκληρώματα:
Με βάση τους παραπάνω τρεις κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων, μπορούμε να διατυπώσουμε τους αντίστοιχους κανόνες ολοκλήρωσης.
Κανόνας 1.Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων:
Κανόνας 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:
Κανόνας 3.Αν
Παράδειγμα 6.Βρείτε αόριστα ολοκληρώματα:
Λύση, α) Χρησιμοποιώντας τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα ολοκλήρωσης, λαμβάνουμε:
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους 3ης και 4ης ολοκλήρωσης:
Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
β) Χρησιμοποιώντας τον τρίτο κανόνα ολοκλήρωσης και τον τύπο 8, λαμβάνουμε:
γ) Για να βρούμε άμεσα ένα ολοκλήρωμα, δεν έχουμε ούτε τον αντίστοιχο τύπο ούτε τον αντίστοιχο κανόνα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μερικές φορές βοηθούν οι προηγούμενοι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί της έκφρασης που περιέχονται κάτω από το ολοκλήρωμα.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τριγωνομετρικό τύπο για τη μείωση του βαθμού:
Στη συνέχεια βρίσκουμε διαδοχικά:
Ο Α.Γ. Mordkovich Algebra 10η τάξη
Ημερολογιακός-θεματικός προγραμματισμός στα μαθηματικά, βίντεοστα μαθηματικά online, τα μαθηματικά στο σχολείο
