Μέθοδος Simplex για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Μέθοδος Simplex για την επίλυση LLP. Γενική ιδέα της μεθόδου simplex
Ενας από καθολικές μεθόδουςείναι μια απλή μέθοδος. Στη μέθοδο simplex, πραγματοποιείται μια κατευθυνόμενη απαρίθμηση των σχεδίων υποστήριξης, με την έννοια ότι κατά τη μετάβαση από το ένα σχέδιο υποστήριξης στο άλλο αντικειμενική λειτουργίααυξάνει. Αφήστε την εργασία να γραφτεί κανονική μορφή:
f=(n; j=1)ΣCj*Xj (μέγ.)
(n;j=1)Σaij*xj=aio (i=1,m)
Xj>=0 (j=1,n)
Εάν το πρόβλημα είναι επιλύσιμο, τότε το βέλτιστο σχέδιό του συμπίπτει με τουλάχιστονμε μία από τις λύσεις αναφοράς των εξισώσεων c-we. Είναι αυτό το βασικό σχέδιο που βρίσκεται με τη μέθοδο simplex ως αποτέλεσμα μιας διατεταγμένης απαρίθμησης κατόψεων βάσης. Η διάταξη γίνεται κατανοητή με την έννοια ότι κατά τη μετάβαση από το ένα σχέδιο αναφοράς στο άλλο, οι αντίστοιχες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης αυξάνονται. Επομένως, ονομάζεται η μέθοδος simplex σχέδιο διαδοχικής βελτίωσης m-house.
Γενική ιδέααπλή.μέθοδοςείναι ότι το σύμβολο. Το md χωρίζεται σε 2 στάδια:
1. εύρεση του αρχικού σχεδίου αναφοράς.
2. διαδοχική βελτίωση μέχρι την εύρεση της βέλτιστης, στην οποία η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της.
8. Σημάδι βελτιστοποίησης του βασικού σχεδίου του LLP.
Σημάδι του σχεδίου βάσηςείναι η μη αρνητικότητα των στοιχείων της στήλης των ελεύθερων όρων, χωρίς να υπολογίζονται τα στοιχεία της γραμμής f. Σημάδι του βέλτιστου σχεδίου- εάν μέσα πίνακας simplexπεριέχει ένα σχέδιο αναφοράς, όλα τα στοιχεία της σειράς f που είναι μη αρνητικά (χωρίς να υπολογίζεται ο ελεύθερος όρος boo), τότε αυτό το σχέδιο αναφοράς είναι βέλτιστο. Αν στον λόγο f=boo-(n-m;j=1)Σboj*Xj+m η τιμή όλων των ελεύθερων μεταβλητών είναι ίση με μηδέν, τότε η αντικειμενική συνάρτηση θα είναι ίση με τον ελεύθερο όρο f(vectorXo)=boo. Με αύξηση των αξιών του δωρεάν μεταβλητή συνάρτησηθα αρχίσει να μειώνεται, επομένως, με το σχέδιο Ho, η συνάρτηση παίρνει μια ακραία τιμή.
9. Εύρεση του αρχικού βασικού σχεδίου του LLP.
Για να βρείτε την αρχική γραμμή βάσης, μπορείτε να προτείνετε τα ακόλουθα αλγόριθμος:
1. γράψτε το πρόβλημα με τη μορφή πίνακα Jordan έτσι ώστε όλα τα στοιχεία της στήλης των ελεύθερων όρων να είναι μη αρνητικά, π.χ. εκπληρώθηκε η ανισότητα aio>=0 (i=1,m). Αυτές οι εξισώσεις s-we στις οποίες οι ελεύθεροι όροι είναι αρνητικοί πολλαπλασιάζονται προκαταρκτικά με -1.
| -x1 ….. -xn | ||
| 0= | α1ο | α11.... a1n |
| ….. | ….. | ……………………….. |
| 0= | amo | πμ1…..πμ |
| f= | -γ1.... -cn |
Μεταμορφώστε τον πίνακα στα βήματα εξάλειψης του Jordan, αντικαθιστώντας τα μηδενικά στην αριστερή στήλη με τα αντίστοιχα x. Ωστόσο, σε κάθε βήμα επιτρεπτική μπορεί να επιλεγείοποιαδήποτε στήλη περιέχει τουλάχιστον ένα θετικό στοιχείο. Η συμβολοσειρά επίλυσης καθορίζεται από τον μικρότερο από τους λόγους των ελεύθερων όρων προς τα αντίστοιχα θετικά στοιχεία της στήλης ανάλυσης. Εάν συναντηθεί μια συμβολοσειρά 0 κατά τη διαδικασία εξάλειψης, όλα τα στοιχεία που είναι μηδενικά, και ο ελεύθερος όρος είναι μη μηδενικός, τότε οι εξισώσεις περιορισμού c-ma δεν έχουν λύσεις. Εάν, ωστόσο, υπάρχει μια σειρά 0 στην οποία, εκτός από τον ελεύθερο όρο, δεν υπάρχουν άλλα θετικά στοιχεία, τότε οι εξισώσεις περιορισμού c-ma δεν έχουν μη αρνητικές λύσεις Αν οι εξισώσεις περιορισμού c-ma άρθρωση, τότε μετά από έναν ορισμένο αριθμό βημάτων όλα τα μηδενικά στην αριστερή στήλη θα αντικατασταθούν από το x και έτσι προκύπτει μια συγκεκριμένη βάση και, κατά συνέπεια, το σχέδιο στήριξης που αντιστοιχεί σε αυτό.
10. Εύρεση του βέλτιστου βασικού σχεδίου LLP.
Ο αρχικός σχεδιασμός αναφοράς του Ho εξετάζεται για βελτιστοποίηση.
Εάν δεν υπάρχουν αρνητικά στοιχεία στη σειρά f (εκτός από τον ελεύθερο όρο), το σχέδιο - είναι βέλτιστο. Εάν δεν υπάρχουν επίσης μηδενικά στοιχεία στη σειρά f, τότε το βέλτιστο σχέδιο είναι μοναδικό. εάν μεταξύ των στοιχείων υπάρχει τουλάχιστον ένα μηδέν, τότε υπάρχει άπειρος αριθμός βέλτιστων σχεδίων. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο στη γραμμή f και δεν υπάρχουν θετικά στοιχεία στην αντίστοιχη στήλη, τότε η αντικειμενική συνάρτηση δεν περιορίζεται σε επιτρεπόμενη περιοχή. Το έργο είναι άλυτο. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο στη γραμμή f και τουλάχιστον ένα θετικό στοιχείο σε κάθε στήλη με ένα τέτοιο στοιχείο, τότε μπορούμε να προχωρήσουμε σε ένα νέο. σχέδιο αναφοράςπιο κοντά στο βέλτιστο. Για να γίνει αυτό, η στήλη με το αρνητικό στοιχείο στη γραμμή f λαμβάνεται ως επιτρεπτικός; προσδιορίστε τη συμβολοσειρά επίλυσης από την ελάχιστη αναλογία Simplex και κάντε το βήμα εξάλειψης Jordan. Το προκύπτον βασικό σχέδιο εξετάζεται και πάλι ως προς τη βέλτιστη. Αυτό επαναλαμβάνεται μέχρι να βρεθεί το βέλτιστο βασικό σχέδιο ή να διαπιστωθεί ότι το πρόβλημα είναι άλυτο.
11. Σημάδι απεριόριστης λειτουργίας της αντικειμενικής συνάρτησης στο σύνολο των κατόψεων και μια γεωμετρική απεικόνιση.
Ένα σημάδι του απεριόριστου της αντικειμενικής συνάρτησης είναι η λήψη κατά τη διαδικασία αναζήτησης του βέλτιστου σχεδίου μιας στήλης με ένα αρνητικό στοιχείο στη γραμμή f, η οποία δεν περιέχει ούτε ένα θετικό στοιχείο.
12. Σημάδι απείρου του συνόλου βέλτιστων σχεδίων και γεωμετρική απεικόνιση.
Σημάδι του απείρου του συνόλου των σχεδίων είναι η παρουσία στη σειρά f ενός απλού m-tse που περιέχει το βέλτιστο σχέδιο, τουλάχιστον ένα μηδενικό στοιχείο, χωρίς να υπολογίζεται το ελεύθερο μέλος. Αφήστε το βέλτιστο σχέδιο X1* να βρεθεί, με ένα μηδενικό στοιχείο στη σειρά f. Ένα άλλο βέλτιστο σχέδιο X2* μπορεί να βρεθεί επιλέγοντας τη στήλη με το μηδενικό στοιχείο στη σειρά f ως ανάλυση. Το υπόλοιπο της επιλογής. τα σχέδια μπορούν να οριστούν ως γραμμικός συνδυασμός:
X1*= λX1*+(1-λ)X2* 0=<λ<=λ
Κρατική και Δημοτική Υπηρεσία του Κουρσκ
Τμήμα «Ασφάλειας Πληροφοριών και Τεχνόσφαιρας»
Εκθεση ΙΔΕΩΝ
κατά πειθαρχία "Μέθοδοι βέλτιστων λύσεων"
σχετικά με το θέμα "Η ιδέα της μεθόδου simplex"
Ολοκληρώθηκε: φοιτητής 2ου έτους
Ειδικότητες "Οικονομικά"
Moskaleva O. S.
Έλεγχος: Υποψήφιος Φυσικομαθηματικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής Poghosyan S. L.
Κουρσκ - 2012
Εισαγωγή………………………………………………………………………..3
1. Η ιδέα της μεθόδου simplex………………………………………………………..4
2. Εφαρμογή της μεθόδου simplex με παράδειγμα……………………………6
3. Πίνακας υλοποίησης απλής μεθόδου simplex ……………….10
Συμπέρασμα………………………………………………………………….15
Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας………………………………..…….16
Εισαγωγή.
Η μέθοδος Simlex είναι ένα τυπικό παράδειγμα επαναληπτικών υπολογισμών που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των περισσότερων προβλημάτων βελτιστοποίησης.
ΣΕ υπολογιστικό κύκλωμαΗ μέθοδος simplex υλοποιεί μια διατεταγμένη διαδικασία στην οποία, ξεκινώντας από κάποιο αρχικό αποδεκτό γωνιακό σημείο (συνήθως η αρχή), γίνονται διαδοχικές μεταβάσεις από το ένα αποδεκτό ακραίο σημείο στο άλλο μέχρι να βρεθεί ένα σημείο που αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση.
Η ιδέα της μεθόδου simplex
Εξετάστε μια καθολική μέθοδο για την επίλυση ενός προβλήματος κανονικού γραμμικού προγραμματισμού, με nμεταβλητές και Μπεριορισμοί ισότητας, γνωστοί ως μέθοδος simplex.
Το σύνολο των σχεδίων για το κανονικό πρόβλημα είναι ένα κυρτό πολυεδρικό σύνολο με πεπερασμένο αριθμό γωνιακών σημείων. Και αν αυτό το πρόβλημα έχει μια βέλτιστη λύση, τότε επιτυγχάνεται τουλάχιστον σε ένα γωνιακό σημείο.
Οποιοδήποτε γωνιακό σημείο συνδέεται με το βασικό σχέδιο του προβλήματος, στο οποίο οι μεταβλητές είναι ίσες με μηδέν και οι υπόλοιπες μεταβλητές αντιστοιχούν σε γραμμικά ανεξάρτητες στήλες του πίνακα συνθηκών. Αυτές οι γραμμικά ανεξάρτητες στήλες σχηματίζουν έναν μη μοναδικό βασικό πίνακα.
Η απαρίθμηση όλων των γωνιακών σημείων είναι υπολογιστικά δαπανηρή και επομένως δεν είναι αποτελεσματική. Το 1947, ο J. Dantzig πρότεινε μια διατεταγμένη διαδικασία για την απαρίθμηση γωνιακών σημείων, στην οποία, για να βρεθεί η βέλτιστη λύση, αρκεί να μελετηθεί μόνο ένα μικρό μέρος τους. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται μέθοδο simplex.
Ο J. Dantzig πρότεινε να αντικατασταθεί μόνο ένα διάνυσμα στον βασικό πίνακα όταν μετακινείται από το ένα ακραίο σημείο στο άλλο. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας μετάβασης, πρέπει να εξαιρέσουμε μία από τις βασικές μεταβλητές - να την κάνουμε μη βασική (ίση με μηδέν) και στη θέση της να εισάγουμε μια νέα μεταβλητή μεταξύ των μη βασικών (μηδέν) - να την κάνουμε βασική (θετική ).
Αποδεικνύεται ότι, γεωμετρικά, μια τέτοια αντικατάσταση οδηγεί σε μετάβαση από ένα γωνιακό σημείο σε ένα γειτονικό (παρακείμενο) σημείο που συνδέεται με το προηγούμενο σημείο με μια κοινή άκρη.
Από όλα τα γειτονικά σημεία, επιλέγεται αυτό στο οποίο η αντικειμενική συνάρτηση αυξάνεται περισσότερο. Δεδομένου ότι ο αριθμός των γωνιακών σημείων είναι πεπερασμένος, μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό μεταβάσεων, θα βρεθεί η κορυφή με τη μεγαλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ή η αντικειμενική συνάρτηση θα είναι απεριόριστη σε ένα απεριόριστο σύνολο σχεδίων.
Το γενικό σχήμα της μεθόδου simplex αποτελείται από τα ακόλουθα κύρια βήματα: βήμα 0. Ορισμός της αρχικής βάσης και του αντίστοιχου αρχικού γωνιακού σημείου (βασικό σχέδιο).
βήμα 1. Έλεγχος του τρέχοντος βασικού σχεδίου για βελτιστοποίηση . Εάν πληρούται το κριτήριο της βέλτιστης, Οτι το σχέδιο είναι βέλτιστο και η λύση είναι πλήρης. Σε διαφορετική περίπτωσημεταβείτε στο βήμα 2.
βήμα 2. Εύρεση μεταβλητής που εισάγεται στη βάση. (Από την προϋπόθεση της αύξησης της αντικειμενικής συνάρτησης).
βήμα 3. Εύρεση μεταβλητής που εξαιρείται από τη σύνθεση των βασικών μεταβλητών (Από την προϋπόθεση διατήρησης των περιορισμών του προβλήματος).
βήμα 4 . Εύρεση των συντεταγμένων του νέου βασικού σχεδίου (παρακείμενο γωνιακό σημείο). Μεταβείτε στο βήμα 1.
Τα επαναλαμβανόμενα βήματα 1-4 αποτελούν μία επανάληψη της μεθόδου simplex.
Από αυτό το σχήμα προκύπτει ότι, πρώτον, για να ξεκινήσει κανείς τη λειτουργία της μεθόδου simplex, πρέπει να έχει κάποιο γωνιακό σημείο - το αρχικό βασικό σχέδιο, και δεύτερον, πρέπει να μπορεί να εξετάσει το τρέχον γωνιακό σημείο για βέλτιστο τρόπο χωρίς να υπολογίζει όλες τις γειτονικές κορυφές . Αυτά τα προβλήματα επιλύονται εύκολα εάν το κανονικό πρόβλημα LP έχει κάποια ειδική μορφή.
Ορισμός. Θα πούμε ότι το κανονικό πρόβλημα LP έχει "προτιμώμενη μορφή" εάν: τα σωστά μέρη των εξισώσεων; ο πίνακας συνθηκών περιέχει έναν υπομήτρα ταυτότητας μεγέθους.
Με άλλα λόγια, σε οποιαδήποτε εξίσωση υπάρχει μια μεταβλητή με συντελεστή ίσο με ένα, το οποίο απουσιάζει στις υπόλοιπες εξισώσεις. Η πρώτη συνθήκη δεν είναι επαχθής, αφού σε περίπτωση αρνητικής δεξιάς πλευράς κάποιας εξίσωσης, αρκεί να πολλαπλασιαστεί με (-1). Στο πρόβλημα του προτιμώμενου τύπου, το αρχικό βασικό σχέδιο είναι πολύ εύκολο να βρεθεί.
Εφαρμογή της μεθόδου simplex με παράδειγμα
Θα δείξουμε την εφαρμογή της μεθόδου simplex χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Εξετάστε το κανονικό πρόβλημα LP
| f(x) = Χ 1 + 2Χ 2 + 0Χ 3 + 0Χ 4 > Μέγιστη | ||
| -Χ 1 + 2Χ 2 + x 3 = 4, | ||
| 3Χ 1 + 2Χ 2 + x 4 = 12, | ||
| xj? 0, j = 1,2,3,4. | ||
Πίνακας συνθηκών ΕΝΑ = (ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , ΕΝΑ 3 , ΕΝΑ 4), όπου
Διάνυσμα στόχου ντο =(c1, c2, c3, c4) = (1, 2, 0, 0); δεξιά μέρη διάνυσμα σι=(σι 1 ,σι 2) = (4, 12).
Βήμα 0Εύρεση του γωνιακού σημείου εκκίνησης (βασικό σχέδιο).
Το πρόβλημα έχει μια προτιμώμενη μορφή, αφού οι δεξιές πλευρές των εξισώσεων είναι θετικές και οι στήλες του πίνακα συνθηκών ΕΝΑ 3, ΕΝΑ 4 σχηματίζουν έναν υπομήτρα ταυτότητας. Άρα ο αρχικός βασικός πίνακας = (ΕΝΑ 3 ,Α4); Χ 3 Και Χ 4 - βασικές μεταβλητές, Χ 1 Και Χ 2 - μη βασικές μεταβλητές, γ Β = (ντο 3, ντο 4) = = (0, 0).
Το αρχικό βασικό σχέδιο έχει τη μορφή x 0 =(0, 0, Χ 3 , Χ 4) = (0, 0, 4, 12); f(xo) = 0.
Βήμα 1.Έλεγχος του βασικού σχεδίου για βελτιστοποίηση.
Υπολογισμός εκτιμήσεων simplex για μη βασικές μεταβλητές χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.1)
? 1 = 1 >-γ 1 = 0 (-1) + 0 3 - 1 = -1 .
? 2 = 2 >-γ 2 = 0 2 + 0 2 - 2 = -2 .
Δεδομένου ότι οι εκτιμήσεις είναι αρνητικές, το σχέδιο Χ- όχι βέλτιστη. Θα αναζητήσουμε ένα νέο βασικό σχέδιο (παρακείμενο γωνιακό σημείο) με μεγάλη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.
Βήμα 2. Εύρεση μεταβλητής που εισάγεται στη βάση.
Η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να αυξηθεί εισάγοντας μία από τις μη βασικές μεταβλητές στις βασικές μεταβλητές (κάνοντάς την θετική) Χ 1 ή Χ 2 , αφού και οι δύο εκτιμήσεις ? ι x2.
Βήμα 3Ορισμός μεταβλητής που προκύπτει από τη βάση.
Αφού εισαγάγετε τη μεταβλητή στη βάση x2το νέο σχέδιο θα μοιάζει
x" =(0, Χ 2, Χ 3 , Χ 4).
Αυτό το σχέδιο δεν είναι βασικό, καθώς περιέχει μόνο μία μηδενική συντεταγμένη, επομένως πρέπει να κάνετε το μηδέν (εξαιρείται από τη βάση) μία από τις μεταβλητές Χ 3 ή Χ 4 . Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σχεδίου x" =(0, Χ 2, Χ 3 ,Χ 4) στους περιορισμούς του προβλήματος. Παίρνω
2Χ 2 + x 3 = 4,
2Χ 2 + Χ 4 = 12.
Ας εκφράσουμε από εδώ τις βασικές μεταβλητές Χ 3 Και Χ 4 μέσω μιας μεταβλητής Χ 2 , εισάγεται στη βάση.
| Χ 3 = 4 - 2Χ 2, | ||
| Χ 4 = 12 - 2Χ 2 . | ||
Μεταβλητές λοιπόν Χ 3 Και Χ 4 πρέπει να είναι μη αρνητικό, έχουμε ένα σύστημα ανισοτήτων
| 4 - 2Χ 2 ? 0, | ||
| 12 - 2Χ 2 ? 0. | ||
Όσο μεγαλύτερη είναι η αξία Χ 2 , τόσο περισσότερο αυξάνεται η αντικειμενική συνάρτηση. Ας βρούμε τη μέγιστη τιμή της νέας βασικής μεταβλητής που δεν παραβιάζει τους περιορισμούς του προβλήματος, δηλαδή ικανοποιεί τις προϋποθέσεις (2.8), (2.9).
Ας ξαναγράψουμε τις τελευταίες ανισότητες στη μορφή
2Χ 2 ? 4,
2Χ 2 ? 12,
από όπου και η μέγιστη τιμή Χ 2 = min ( 4/2, 12/2 ) = 2. Αντικατάσταση αυτής της τιμής σε εκφράσεις (2.6), (2.7) για Χ 3 Και Χ 4 , παίρνουμε Χ 3 = 0. Εξ ου και x 3 αφαιρεθεί από τη βάση .
Βήμα 4Προσδιορισμός των συντεταγμένων της νέας γραμμής βάσης.
Η νέα βασική κάτοψη (παρακείμενο γωνιακό σημείο) έχει τη μορφή
Χ" = (0, Χ 2, 0, Χ 4)
Η βάση αυτού του σημείου αποτελείται από στήλες ΕΝΑ 2 και ΕΝΑ 4 , οπότε =( ΕΝΑ 2, ΕΝΑ 4). Αυτή η βάση δεν είναι ενιαία, αφού το διάνυσμα ΕΝΑ 2 = (2,2), και επομένως το πρόβλημα (2.2)-(2.5) δεν έχει προτιμώμενη μορφή σε σχέση με τη νέα βάση. Ας μετατρέψουμε τις συνθήκες του προβλήματος (2.3), (2.4) με τέτοιο τρόπο ώστε να πάρει την προτιμώμενη μορφή σε σχέση με τις νέες βασικές μεταβλητές Χ 2, Χ 4, δηλαδή ώστε η μεταβλητή Χ 2 συμπεριλήφθηκε στην πρώτη εξίσωση με συντελεστή ίσο με ένα, και δεν υπήρχε στη δεύτερη εξίσωση. Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις του προβλήματος
- Χ 1 + 2 Χ 2 + Χ 3 = 4, (Π 1)
3Χ 1 +2 Χ 2 + Χ 4 = 12. (Π 2)
Διαιρούμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή στο Χ 2 . Παίρνουμε μια νέα εξίσωση =σελ 1/2 ισοδύναμο με το πρωτότυπο
1/2 Χ 1 + Χ 2 + 1/2 Χ 3 = 2. ()
Χρησιμοποιούμε αυτήν την εξίσωση, την οποία θα ονομάσουμε επίλυση, για να εξαλείψουμε τη μεταβλητή Χ 2 από τη δεύτερη εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την εξίσωση επί 2 και αφαιρέστε από Π 2 . Παίρνω =σελ 2 - 2=σελ 2 -Π 1:
4 Χ 1 - Χ 3 + Χ 4 = 8. ()
Ως αποτέλεσμα, λάβαμε μια νέα "προτιμώμενη" αναπαράσταση του αρχικού προβλήματος σε σχέση με νέες βασικές μεταβλητές Χ 2 , Χ 4:
φά(Χ) = Χ 1 + 2 Χ 2 + 0 Χ 3 + 0 Χ 4 ? Μέγιστη
1/2 Χ 1 + x 2 + 1/2 Χ 3 = 2 ()
4 Χ 1 - Χ 3 + Χ 4 = 8 ()
xj? 0, j = 1,2,3,4
Αντικαθιστώντας εδώ την αναπαράσταση της νέας γραμμής βάσης Χ 1 = (0, Χ 2, 0, Χ 4), βρίσκουμε αμέσως τις συντεταγμένες του, αφού οι τιμές των βασικών μεταβλητών είναι ίσες με τα σωστά μέρη των εξισώσεων
Χ" = (0, 2, 0, 8); φά(Χ 1)=4.
Αυτό ολοκληρώνει την πρώτη επανάληψη της μεθόδου simplex. Περαιτέρω, η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος συνεχίζεται από το βήμα 1, το οποίο συνίσταται στον έλεγχο του σχεδίου που βρέθηκε για βελτιστοποίηση. Η λύση τελειώνει όταν όλες οι εκτιμήσεις simplex του τρέχοντος βασικού σχεδιασμού είναι μη αρνητικές.
Δεν θα πραγματοποιήσουμε τη δεύτερη επανάληψη σύμφωνα με το σχήμα της πρώτης, καθώς είναι πιο βολικό να διεξάγουμε όλους τους υπολογισμούς της μεθόδου simplex σε μορφή πίνακα.
Πίνακας υλοποίησης απλής μεθόδου simplex
Θα δείξουμε την υλοποίηση του πίνακα χρησιμοποιώντας το ίδιο παράδειγμα (2.2)-(2.5).
Βήμα 0. Η λύση ξεκινά με την κατασκευή ενός αρχικού πίνακα Simplex. Γέμισε πρώτα δεξί μέροςπίνακες από την τρίτη στήλη. Σε δυο κορυφαίες γραμμέςΤα ονόματα των μεταβλητών εργασιών γράφονται ( Χ 1, ...,Χ 4) και συντελεστές αντικειμενικής συνάρτησης για αυτές τις μεταβλητές. Παρακάτω γράφονται οι συντελεστές των εξισώσεων - στοιχεία του πίνακα συνθηκών ΕΝΑ, άρα κάτω από τη μεταβλητή Χ 1 που βρίσκεται στήλη ΕΝΑ 1 , κάτω από τη μεταβλητή Χ 2 - στήλη ΕΝΑ 2 και τα λοιπά. Η δεξιά πλευρά των περιορισμών εισάγεται στη δεξιά στήλη (αριθμοί β i > 0).
Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις στήλες του πίνακα συνθηκών που αποτελούν τη βάση της μονάδας - στο παράδειγμά μας, αυτό είναι ΕΝΑ 3 και ΕΝΑ 4 - και τις αντίστοιχες βασικές μεταβλητές τους Χ 3, Χ 4 γράψτε στη δεύτερη στήλη. Τέλος, στην πρώτη στήλη γράφουμε τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης για τις βασικές μεταβλητές.
Τραπέζι 1- Αρχικός πίνακας simplex
| Βασικές μεταβλητές | Τιμές βασικών μεταβλητών. ( x B \u003d β) |
|||||
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | |||
| x 3 | a 11 =-1 | |||||
| x4 | ||||||
| Γραμμή βαθμολογίας ? ι | ? 1 = -1 | ? 2 = -2 |
Δεδομένου ότι το πρόβλημα έχει μια προτιμώμενη μορφή, οι τιμές των βασικών μεταβλητών είναι ίσες με τα δεξιά μέρη των εξισώσεων που βρίσκονται στην τελευταία στήλη. Εφόσον οι μη βασικές μεταβλητές είναι μηδέν, το αρχικό βασικό σχέδιο είναι
Χ o = (0, 0, Χ 3 , Χ 4) = (0, 0, 4, 12).
Βήμα 1.Για να δοκιμάσετε το σχέδιο Χο για βελτιστοποίηση, υπολογίζουμε απλές εκτιμήσεις για μη βασικές μεταβλητές Χ 1 Και Χ 2 σύμφωνα με τον τύπο
? j = σι, A j > - c j .
? 1 = σι, ΕΝΑ 1 >-γ 1 = 0 (-1) + 0 3 - 1 = -1 .
Με υλοποίηση πίνακα για τον υπολογισμό της βαθμολογίας ? 1 πρέπει να βρείτε το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της πρώτης στήλης ( γ Β) στα αντίστοιχα στοιχεία της στήλης ΕΝΑ 1 με μια μη βασική μεταβλητή Χ 1 . Η βαθμολογία υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο. ? 2 , ως το γινόμενο κουκίδων της πρώτης στήλης ( γ Β) ανά στήλη με μεταβλητή x2.
? 2 = 2 >-γ 2 = 0 2 + 0 2 - 2 = -2 .
Οι βαθμολογίες του απλού καταγράφονται στην τελευταία σειρά του πίνακα του απλού, που ονομάζεται σειρά δέλτα. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν συμπληρώνονται μόνο τα κελιά με μη βασικές μεταβλητές, αλλά και τα βασικά κελιά. Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι για τις βασικές μοναδιαίες στήλες του πίνακα συνθηκών, οι εκτιμήσεις του simplex είναι ίσες με μηδέν. Στο τελευταίο κελί της γραμμής βαθμολογίας, γράφουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στο σημείο x o .Σημειώστε ότι, δεδομένου ότι οι μη βασικές συντεταγμένες του βασικού σχεδίου είναι ίσες με μηδέν, είναι βολικό να υπολογίσετε τη συνάρτηση στόχου χρησιμοποιώντας τον τύπο
φά(Χ)= γ Β, x B >,
πολλαπλασιάζοντας την πρώτη και την τελευταία στήλη του πίνακα κλιμακωτά.
Αφού ανάμεσα στις βαθμολογίες ? ιΥπάρχει αρνητικός , μετά το σχέδιο Χ o δεν είναι βέλτιστο και είναι απαραίτητο να βρεθεί ένα νέο βασικό σχέδιο αντικαθιστώντας μία από τις βασικές μεταβλητές με μια νέα από τις μη βασικές.
Βήμα 2Αφού και οι δύο εκτιμήσεις ? 1 Και ? 2 τότε οποιαδήποτε από τις μεταβλητές μπορεί να συμπεριληφθεί στη βάση Χ 1, Χ 2 . Εισάγουμε στη βάση μια μεταβλητή με τη μεγαλύτερη αρνητική εκτίμηση σε απόλυτη τιμή, δηλαδή Χ 2 .
Η στήλη του πίνακα simplex, στην οποία βρίσκεται η μεταβλητή που εισάγεται στη βάση, ονομάζεται η κύρια στήλη..
Στο παράδειγμα, η κύρια στήλη θα είναι όταν x 2 .
Βήμα 3Εάν όλα τα στοιχεία στην πρώτη στήλη είναι αρνητικά, τότε δεν υπάρχει λύση στο πρόβλημα και μέγ φά(Χ) ???. Στο παράδειγμα, όλα τα στοιχεία της κύριας στήλης είναι θετικά, επομένως, μπορείτε να βρείτε τη μέγιστη τιμή Χ 2 , κατά την οποία εξαφανίζεται μία από τις παλιές βασικές μεταβλητές. Θυμηθείτε ότι η μέγιστη τιμή x 2 = min(4/2, 12/2)=2.
Σύμφωνα με τον πίνακα, η τιμή αυτή υπολογίζεται ως η μικρότερη από τις αναλογίες των συνιστωσών της βασικής κάτοψης (από την τελευταία στήλη) προς την αντίστοιχη θετικόςστοιχεία της κύριας στήλης.
Η μικρότερη αναλογία βρίσκεται στη σειρά με τη βασική μεταβλητή x 3.Η μεταβλητή λοιπόν x 3εξαιρούνται από τις βασικές μεταβλητές ( Χ 3 = 0).
Η γραμμή που περιέχει τη μεταβλητή που πρέπει να εξαιρεθεί από τη βάση ονομάζεται κύρια γραμμή.
Στο παράδειγμα, η πρώτη γραμμή θα είναι η πρώτη γραμμή.
Το στοιχείο στη διασταύρωση της πρώτης σειράς και της κύριας στήλης ονομάζεται κύριο στοιχείο.
Στην περίπτωσή μας, το ηγετικό στοιχείο ένα 12 = 2.
Αυτί. 2- Αρχικός πίνακας simplex με πρώτη γραμμή και στήλη
| Βασικές αλλαγές. | Τιμές βασικών μεταβλητών. | Εξισώσεις |
|||||
| x2 | |||||||
| c3=0 | x 3 | -1 | 2 | 1 | 0 | 4 | |
| 2 | |||||||
| Γραμμή βαθμολογίας ? ι | ? 1 = -1 | ? 2 = -2 | |||||
Βήμα 4. Για να αποκτήσουμε ένα νέο βασικό σχέδιο, φέρνουμε το πρόβλημα σε μια νέα προτιμώμενη μορφή σε σχέση με τις νέες βασικές μεταβλητές.
Για να γίνει αυτό, κατασκευάζουμε ένα νέο πίνακα απλών, στη δεύτερη στήλη του οποίου, αντί της εξαιρούμενης μεταβλητής, x 3γράψτε μια νέα μεταβλητή βάσης x2και στην πρώτη στήλη ( με τον Β) αντί από 3γράφουμε τον συντελεστή της αντικειμενικής συνάρτησης για x2: c2=2. Στον νέο πίνακα simplex, η στήλη στο x2πρέπει γίνει ένα (το κύριο στοιχείο πρέπει να είναι ίσο με ένα και όλα τα άλλα στοιχεία πρέπει να πάνε στο μηδέν). Αυτό επιτυγχάνεται με τους ακόλουθους μετασχηματισμούς σειρών του πίνακα.
ένα.Όλα τα στοιχεία της κύριας γραμμής διαιρούνται με το κύριο στοιχείο και γράφονται στην ίδια γραμμή με ένα νέο Simplex πίνακες.
Λήφθηκε συμβολοσειρά p1"ας το πούμε άδεια.
σι.Στην υπόλοιπη δεύτερη σειρά, προσθέστε τη σειρά επίλυσης, πολλαπλασιασμένη με έναν τέτοιο αριθμό ώστε το στοιχείο στην πρώτη στήλη να μηδενιστεί.
p 2 "= p 2 + (- 2) p 1" = p 2 - p 1.
ντο.Συμπληρώστε την τελευταία γραμμή υπολογίζοντας τις βαθμολογίες ? j " = - - c j, Οπου c B ", A j "-τις αντίστοιχες στήλες του νέου πίνακα simplex και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης f(x)= .
Παίρνουμε το δεύτερο ταμπλό simplex με νέα βάση.
Πίνακας 3- Αποτέλεσμα της πρώτης επανάληψης
| Βασικές αλλαγές. | Τιμές βασικών μεταβλητών. | Εξισώσεις | ||||||
| -1/2 | ||||||||
| x4 | 4 | 0 | -1 | 1 | 8 | p 2 "=p 2 - p 1 | ||
| υπολογίζει ? j" | -2 | |||||||
Νέο βασικό σχέδιο Χ " = (0,x2, 0,x4) = (0, 2, 0, 8 ). Από το σκορ ? 1 = -2 μετά σχεδιάστε Χ " όχι βέλτιστη. Για να περάσουμε σε ένα νέο βασικό σχέδιο (γειτονικό γωνιακό σημείο), θα πραγματοποιήσουμε μια ακόμη επανάληψη της μεθόδου simplex.
Επειδή? 1 τότε η μεταβλητή εισάγεται στη βάση x 1. Η πρώτη στήλη που περιέχει x 1 -κύριος.
Βρίσκουμε την αναλογία των συνιστωσών του βασικού σχεδίου προς την αντίστοιχη θετικόςστοιχεία της πρώτης στήλης και πάρτε τη γραμμή με τη μικρότερη αναλογία ως πρώτη γραμμή. Στον πίνακα 2, στην πρώτη στήλη, μόνο το δεύτερο στοιχείο είναι μεγαλύτερο από το μηδέν (= 4), επομένως η δεύτερη γραμμή θα είναι η πρώτη, και το βασικό μεταβλητός x4να εξαιρεθεί από τη βάση.
Επιλέγουμε την πρώτη στήλη και την πρώτη γραμμή και στη διασταύρωση τους βρίσκουμε κύριο στοιχείο (= 4).
Κατασκευάζουμε έναν νέο (τρίτο) πίνακα simplex, αντικαθιστώντας τη βασική μεταβλητή σε αυτόν x4 επί x 1 , και μετασχηματίζοντας ξανά τις σειρές του πίνακα έτσι ώστε το κύριο στοιχείο να γίνει ίσο με ένα και τα υπόλοιπα στοιχεία της κύριας στήλης να μηδενιστούν. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε την πρώτη (δεύτερη) σειρά με 4 και στην πρώτη σειρά προσθέτουμε τη δεύτερη σειρά που προκύπτει, διαιρούμενη με 2. Η τελευταία σειρά υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους για εκτιμήσεις απλού ? ι"" = "", Aj""> - cj, Οπου γ Β"", Aj"" - αντίστοιχες στήλες του νέου πίνακα simplex. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στο νέο βασικό σχέδιο βρίσκεται από τον τύπο f(x"")= "", x Β"" >.
Πίνακας 4- Αποτέλεσμα της δεύτερης επανάληψης
| Βασικός αλλαγή. | Τιμές βασικών μεταβλητών. | εξισώσεις |
|||||
| σελ 1 "" = p1"+p2""/2 |
|||||||
| p2"" = p2"/4 |
|||||||
| υπολογίζει ? j "" | f(x"")= 8 | ||||||
Νέο βασικό σχέδιο Χ "" = (x 1 , x 2 , 0, 0) = (2, 3, 0, 0 ). Δεδομένου ότι όλες οι εκτιμήσεις είναι μη αρνητικές, το σχέδιο Χ ""- βέλτιστο σχέδιο.
Ετσι, Χ* = (2, 3, 0, 0 ), f(x*) = 8.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Εξετάζονται μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων γραμμικός προγραμματισμόςχρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι
μαθηματικό μοντέλοπάντα πιο φτωχό από το πραγματικό οικονομικό σύστημα. Περιγράφει αυτό το σύστημα μόνο κατά προσέγγιση, επισημαίνοντας κάποιες ιδιότητες και παραμελώντας άλλες. Για να αντισταθμιστεί αυτή η αδυναμία στα μαθηματικά οικονομικά, αναπτύσσονται αρκετοί τύποι μοντέλων, καθένα από τα οποία έχει σχεδιαστεί για να αντικατοπτρίζει μια συγκεκριμένη πλευρά της οικονομικής πραγματικότητας, έτσι ώστε, κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου οικονομικού προβλήματος, να μπορεί κανείς να επιλέξει το μοντέλο που του ταιριάζει καλύτερα.
ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ
1. Ashmanov S.A. Γραμμικός προγραμματισμός. - Μ.: Nauka, 1981.
2. Εισαγωγή φυσικών βασικών μεταβλητών. Κατασκευή τραπεζιού simplex. Ορισμός του μηδενικού σχεδίου.
Μέθοδος Simplex. Αλγόριθμος της μεθόδου simplex.
Μέθοδος Simplex- αλγόριθμος λύσης πρόβλημα βελτιστοποίησηςγραμμικός προγραμματισμός με επανάληψη πάνω από τις κορυφές ενός κυρτού πολυέδρου σε έναν πολυδιάστατο χώρο. Η μέθοδος αναπτύχθηκε από τον Αμερικανό μαθηματικό George Danzig το 1947.
Η ιδέα της μεθόδου simplex είναι ότι το αναφερόμενο περιγραφικό πρόβλημα μεταφράζεται σε μαθηματική μορφή. Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος περιέχει την εξίσωση της αντικειμενικής συνάρτησης που υποδεικνύει το επιθυμητό αποτέλεσμα - προσδιορίζοντας το ελάχιστο ή το μέγιστο της αντικειμενικής συνάρτησης. συστήματα γραμμικών περιορισμών που δίνονται από ισότητες ή ανισότητες. Η προκύπτουσα μαθηματική περιγραφή οδηγεί σε μορφή μήτρας. Στη συνέχεια, η μήτρα περιγραφή του προβλήματος ανάγεται στην κανονική μορφή. Μετά το σύστημα γραμμικές εξισώσειςανάγεται σε κανονική μορφή, προχωρήστε στην επίλυση του προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού. Ο αλγόριθμος για την επίλυση αυτού του προβλήματος αποτελείται από μια ακολουθία κατασκευής πινάκων. Κάθε βήμα της λύσης σας φέρνει πιο κοντά στην επίτευξη του επιθυμητού αποτελέσματος.
Στο υπολογιστικό σχήμα της μεθόδου simplex, εφαρμόζεται μια διατεταγμένη διαδικασία κατά την οποία, ξεκινώντας από κάποιο αρχικό αποδεκτό γωνιακό σημείο (συνήθως η αρχή), γίνονται διαδοχικές μεταβάσεις από το ένα αποδεκτό ακραίο σημείο στο άλλο μέχρι ένα σημείο που αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση. βρέθηκαν.
Αλγόριθμος μεθόδου Simplex
1. Φέρνουμε το σύστημα των περιορισμών στο κανονική μορφή(όταν το σύστημα είναι περιορισμένο). Επιπλέον, στο σύστημα είναι δυνατό να ξεχωρίσετε μια βάση μονάδας.
2. Βρείτε το πρωτότυπο σχέδιο αναφοράς(μη αρνητικές βασικές λύσεις του συστήματος εξισώσεων QZLP). Κάθε ένα από τα σχέδια αναφοράς καθορίζεται από ένα σύστημα m γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων που περιέχονται σε αυτό το σύστημα n διανυσμάτων ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 ,…, A n. Το ανώτερο όριο του αριθμού των βασικών σχεδίων που περιέχονται σε ένα δεδομένο πρόβλημα καθορίζεται από τον αριθμό των συνδυασμών Με nm);
3. Κτίριο πίνακας simplex (πίνακας simplexμια μήτρα που χρησιμεύει ως μέσο απαρίθμησης των εφικτών βασικών λύσεων ενός (μη εκφυλισμένου) προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού όταν αυτό επιλύεται με τη μέθοδο simplex. Σχηματίζεται από τον πίνακα των συντελεστών του συστήματος γραμμικών εξισώσεων προγραμματισμού, ανάγεται στην κανονική μορφή, ο διαδοχικός μετασχηματισμός του σύμφωνα με τον λεγόμενο αλγόριθμο simplex επιτρέπει σε περιορισμένο αριθμό βημάτων (επαναλήψεις) να ληφθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα - ένα σχέδιο που παρέχει μια ακραία τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης).
4. Στον πίνακα simplex, ελέγχουμε τα διανύσματα για αρνητικότητα, δηλ. υπολογίζει Zj - Сjγραμμένο στη γραμμή πρέπει να είναι ≤ 0 (τουλάχιστον), Zj – Cj ≥ 0(στο μέγιστο). Εάν οι εκτιμήσεις ικανοποιούν τις συνθήκες βελτιστοποίησης, τότε το πρόβλημα επιλύεται.
5. Εάν για ορισμένα διανύσματα παραβιάζονται οι συνθήκες βελτιστοποίησης, τότε είναι απαραίτητο να εισαχθεί ένα διάνυσμα στη βάση, το οποίο αντιστοιχεί σε:
max[θ 0 j (Zj – Сj)] ; min[θ 0 j (Zj – Сj)] ; θ 0 j = min, Οπου x i> 0
διανυσματικό στοιχείο θjπου αντιστοιχεί θ 0 jονομάζεται επιτρεπτική? η γραμμή και η στήλη στην οποία βρίσκεται ονομάζεται οδηγός, το διάνυσμα που βρίσκεται στη γραμμή οδηγού φεύγει από τη βάση.
6. Βρείτε τον συντελεστή επέκτασης για όλα τα διανύσματα στη νέα βάση. Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Giordano Gauss
Ας ελέγξουμε για το βέλτιστο βασικό σχέδιο. Εάν η εκτίμηση ικανοποιεί τις συνθήκες βελτιστοποίησης, τότε το πρόβλημα επιλύεται, εάν όχι, τότε εκτελούνται τα βήματα 5-7.
2. Εισαγωγή φυσικών βασικών μεταβλητών. Κατασκευή τραπεζιού simplex. Ορισμός του μηδενικού σχεδίου.
Η μέθοδος simplex είναι πιο αποτελεσματική στην επίλυση σύνθετων προβλημάτων και είναι μια επαναληπτική (βήμα προς βήμα) διαδικασία που ξεκινά με μηδέν(αναφορά) λύση (κορυφές n-διάστατο πολύεδρο). Περαιτέρω σε αναζήτηση η καλύτερη επιλογήΤο σχέδιο προϋποθέτει κίνηση κατά μήκος των γωνιακών σημείων (κορυφές του πολυεδρικού) έως ότου η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φτάσει τη μέγιστη (ελάχιστη) τιμή. Ας εξετάσουμε τον αλγόριθμο της μεθόδου simplex χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του προβλήματος του προγραμματισμού του κύκλου εργασιών με περιορισμένες πηγέςπρώτες ύλες.
Η εταιρεία υλοποιεί nεμπορευματικές ομάδες, έχοντας Μπεριορισμένους οικονομικούς πόρους σι i ≥0 (1 ≤ Εγώ≤ m). Γνωστό κόστος πόρων για το καθένα Εγώ- είδος παραγωγής και πώλησης μιας μονάδας αγαθών κάθε ομάδας, που παρουσιάζεται με τη μορφή μήτρας ( έναι) και το κέρδος που εισπράττει η επιχείρηση από την πώληση μιας μονάδας αγαθών ι-ομάδα που περιλαμβάνεται στην αντικειμενική συνάρτηση Ζ(Χ). Η μέθοδος γραμμικού προγραμματισμού δεν διαφέρει από το σύστημα (1) - (2):
Z(X) \u003d s 1 X 1 + s 2 X 2 + s 3 X 3 + ... + s n X n → max (min) (1)
a 11 X 1 + a 12 X 2 +…a 1n X n ≤ b 1,
a 21 X 1 + a 22 X 2 +…a 2n X n ≤ b 2 (2)
a m1 X 1 + a m2 X 2 +…a mn X n ≤ b m,
X 1 ≥0 X 2 ≥0 X 3 ≥0 …X n ≥0
Τα στάδια επίλυσης του προβλήματος με τη μέθοδο simplex περιλαμβάνουν:
1) Κατάρτιση σχεδίου μηδενικής αναφοράς. Εισάγουμε νέες μη αρνητικές (βασικές) μεταβλητές, λόγω των οποίων το σύστημα ανισώσεων (2) γίνεται σύστημα εξισώσεων:
a 11 X 1 + a 12 X 2 +…a 1n X n + X n+1 = b 1
a 21 X 1 + a 22 X 2 +…a 2n X n + X n+2 = b 2 (3)
……………………………………..
a m1 X 1 + a m2 X 2 +…a mn X n + X n+m = b m,
Αν πάρουμε τις μεταβλητές εισόδου ως διανύσματα στηλών, τότε είναι μονόκλινο (βασικός) διανύσματα. Σημειώστε ότι οι βασικές μεταβλητές έχουν απλή φυσική σημασία - είναι υπόλοιποένας συγκεκριμένος πόρος στην αποθήκη για ένα δεδομένο σχέδιο παραγωγής, επομένως αυτή η βάση ονομάζεται φυσικός. Επιλύουμε το σύστημα (3) σε σχέση με τις βασικές μεταβλητές:
X n+1 = b 1, -a 11 X 1 - a 12 X 2 -…a 1n X n
X n+2 = b 2 - a 21 X 1 - a 22 X 2 -…a 2n X n (4)
………………………………………..
X n+m = b m, - a m1 X 1 + a m2 X 2 +…a mn X n
Ξαναγράφουμε την αντικειμενική συνάρτηση στη φόρμα
Ζ(X) \u003d 0-(-s 1 X 1 -s 2 X 2 -s 3 X 3 - ... -s n X n) (5)
Υποθέτοντας ότι οι απαιτούμενες βασικές μεταβλητές X 1 = X 2 = X 3 = ... = X n = 0, λαμβάνουμε ένα σχέδιο μηδενικής αναφοράς X = (0, 0, ... 0, b 1 , b 2, b 3 ... b m), όπου Z(X) = 0 (όλοι οι πόροι σε απόθεμα, τίποτα δεν παράγεται). Βάζουμε το σχέδιο στον πίνακα simplex.
| Σχέδιο | Βάση | C i /C j | αξία X i | x1 | x2 | X n | Xn+1 | Xn+2 | X n+ 3 | Qmin |
| Xn+1 | β 1 | ένα 11 | ένα 12 | ένα 13 | β 1 / α 12 | |||||
| Xn+2 | β 2 | ένα 21 | ένα 22 | ένα 23 | b 2 / a 22 | |||||
| Xn+3 | β 3 | ένα 31 | ένα 32 | ένα 33 | β 3 / α 32 | |||||
| Z(X) = 0 | -Γ 1 | -Γ2 | -C3 | Δείκτης. γραμμή |
2) Από τους αρνητικούς συντελεστές της σειράς του δείκτη, επιλέξτε τον μεγαλύτερο ως προς απόλυτη τιμή, που ορίζει την κύρια στήλη και δείχνει ποια μεταβλητή στην επόμενη επανάληψη (βήμα) θα μετακινηθεί από την κύρια (δωρεάν) στη βασική (στην πραγματικότητα, επιλέγεται μια ομάδα προϊόντων της οποίας η εφαρμογή φέρνει μέγιστο εισόδημα). Στη συνέχεια, τα αποθέματα πρώτων υλών b i διαιρούνται με τους αντίστοιχους συντελεστές κόστους, τα αποτελέσματα εισάγονται στον πίνακα και καθορίζεται η ελάχιστη τιμή Q min (επιλέγεται ο πόρος, του οποίου το απόθεμα περιορίζει σοβαρότερα την παραγωγή της επιλεγμένης ομάδας εμπορευμάτων) . Αυτή η τιμή επιλέγει την πρώτη γραμμή και τη μεταβλητή X i , η οποία στο επόμενο βήμα (επανάληψη) θα αφήσει τη βάση και θα γίνει ελεύθερη.
3) Η μετάβαση σε νέο σχέδιο πραγματοποιείται ως αποτέλεσμα επανυπολογισμού του πίνακα simplex με τη μέθοδο Jordan-Gauss. Αρχικά, αντικαθιστούμε στη βάση X j με X i την προπορευόμενη στήλη. Ας διαιρέσουμε όλα τα στοιχεία της κύριας γραμμής με το στοιχείο επίλυσης (RE), με αποτέλεσμα να υπάρχει 1 στη θέση του RE στην προπορευόμενη γραμμή.
NE=SE - (A*B)/RE (6)
Το σχέδιο που προκύπτει αξιολογείται από τους συντελεστές της σειράς του δείκτη: εάν είναι όλοι θετικοί, τότε το σχέδιο είναι βέλτιστο, εάν όχι, τότε το σχέδιο μπορεί να βελτιωθεί εκτελώντας την επόμενη επανάληψη (βήμα).
Παράδειγμα. 20 χιλιάδες ρούβλια διατέθηκαν για την αγορά εξοπλισμού για τον χώρο παραγωγής. Ο εξοπλισμός μπορεί να τοποθετηθεί σε επιφάνεια που δεν υπερβαίνει τα 72 τ.μ. Μπορούν να παραγγελθούν δύο τύποι εξοπλισμού: τύπος Α, που απαιτεί επιφάνεια παραγωγής 6 τ.μ. και δίνει 6 χιλιάδες μονάδες. προϊόντα ανά βάρδια (τιμή 5.000 ρούβλια) και τύπου Β, που απαιτούν έκταση 12 τετραγωνικών μέτρων και δίνουν 3.000 μονάδες (τιμή 2.000 ρούβλια). Ποιο είναι το βέλτιστο σχέδιο απόκτησης εξοπλισμού που παρέχει μέγιστη απόδοσηοικόπεδο?
Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό του αγορασμένου εξοπλισμού τύπου Α και Β έως Χ 1 και Χ 2, αντίστοιχα.
Απόδοση τομής (αντικειμενική συνάρτηση): Z(X) =6X 1 +3X 2 .
Οι κύριοι περιορισμοί σχετίζονται
με μετρητά: 5X 1 + 2X 2 ≤ 20,
με την περιοχή του χώρου παραγωγής: 6X 1 + 12X 2 ≤ 72.
Εισάγουμε νέες βασικές μεταβλητές X 3 (το υπόλοιπο Χρήματαμετά την αγορά εξοπλισμού) και X 4 (υπόλοιπος χώρος μετά την τοποθέτηση του εξοπλισμού) και ξαναγράψτε τους περιορισμούς με τη μορφή συστήματος εξισώσεων:
5X 1 + 2X 2 + X 3 \u003d 20 (X 3 \u003d 20 - 5X 1 - 2X 2)
6X 1 + 12X 2 + X 4 \u003d 72 (X 4 \u003d 72 - 6X 1 - 12X 2)
Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση στόχου: Z(X) \u003d 6X 1 + 3X 2 + 0X 3 + 0X 4.
Καταρτίζουμε ένα σχέδιο αναφοράς (0ο): X \u003d (0, 0, 20, 72), δηλ. μέχρι στιγμής δεν έχει αποκτηθεί τίποτα (δεν έχουν δαπανηθεί χρήματα, οι χώροι είναι άδειοι). Σύνταξη πίνακα simplex
| Σχέδιο | Βάση | C i /C j | αξία X i | x1 | x2 | x3 | x4 | Qmin | |||
| x3 | 20/5=4 | ||||||||||
| x4 | 72/6=12 | ||||||||||
| Z(X) = 0 | - 6 | - 3 | Γραμμή ευρετηρίου | ||||||||
| → Χ 1 | 0,4 | 0,2 | 4/0,4=10 | ||||||||
| x4 | 9,6 | -1,2 | 48/9,6=5 | ||||||||
| Ζ(Χ)=6*4=24 | -0,6 | 1,2 | Γραμμή ευρετηρίου | ||||||||
| x1 | 0,25 | -1/24 | - | ||||||||
| → Χ 2 | -1/8 | 5/48 | - | ||||||||
| Ζ(Χ)=6*2+3*5=27 | 9/8 | 1/16 | Γραμμή ευρετηρίου | ||||||||
Προφανώς, η πρώτη στήλη αντιστοιχεί στο X 1 , αφού έχει τον μεγαλύτερο δείκτη 6. Βρείτε την ελάχιστη τιμή του Q min = 4 (το πιο αυστηρό όριο πόρων), ορίζοντας την πρώτη γραμμή, δείχνοντας ότι το X 3 προέρχεται από τις βασικές μεταβλητές , και αντί 1 εισάγεται το X. Υπολογίζουμε ξανά τα στοιχεία της πρώτης σειράς, διαιρώντας τα με το 5, και χρησιμοποιώντας τον τύπο (6) προσδιορίζουμε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς και της σειράς ευρετηρίου. Η συνάρτηση στόχος για το 1ο σχέδιο είναι Z(X) = 6*4+3*0 = 24.
Ωστόσο, ένας από τους συντελεστές της γραμμής δείκτη για τη στήλη X 2 παραμένει αρνητικός -0,6, επομένως αυτό το σχέδιο δεν είναι το βέλτιστο και απαιτείται μια ακόμη επανάληψη (βήμα) για τη βελτίωσή του. Επιλέγουμε την πρώτη 2η στήλη και, με την ελάχιστη τιμή Q min = 5, προσδιορίζουμε την πρώτη γραμμή με τη βασική μεταβλητή X 4 . Έχοντας πραγματοποιήσει τους ίδιους μετασχηματισμούς, προκύπτει το 2ο σχέδιο, το οποίο θα είναι βέλτιστο, αφού όλοι οι συντελεστές του δείκτη είναι θετικοί.
Ας αναλύσουμε τα ληφθέντα αποτελέσματα. Στο βέλτιστη λύσηη αντικειμενική συνάρτηση έχει μέγιστη αξία 27 χιλιάδες ρούβλια, ενώ και οι δύο πόροι αφαιρούνται από τη βάση, επομένως δαπανώνται πλήρως.
Ας βεβαιωθούμε για αυτό: 5*2+2*5 = 20 χιλιάδες ρούβλια, 6*2+12*5=72 τ.μ. Η επιθυμητή λύση X = (2; 5; 0; 0) Αυτό δεν συμβαίνει πάντα.
Διάλεξη Νο 10
Θέμα: Μέθοδος Simplexγια προβλήματα με τεχνητή βάση
Η μέθοδος λύσης simplex βασίζεται στην εισαγωγή πρόσθετων (βασικών) μεταβλητών που καθιστούν δυνατό τον σχηματισμό μήτρα ταυτότητας. Αν οι περιορισμοί του προβλήματος παριστάνονται ως ανισότητες:
a i1 X 1 + a i2 X 2 +…a σε X n ≥ b i (1)
ή εξισώσεις:
a i1 X 1 + a i2 X 2 +…a σε X n = b i (1*),
τότε είναι αδύνατο να αποκτήσετε το βασικό σχέδιο στην επιθυμητή μορφή. Σε αυτή την περίπτωση, για να ικανοποιηθούν οι ισότητες (1*), εισάγουμε τεχνητή βάση Υ i , και οι τεχνητές μεταβλητές δεν σχετίζονται άμεσα με το περιεχόμενο της εργασίας, αλλά σας επιτρέπουν να δημιουργήσετε ένα σχέδιο αναφοράς (έναρξης):
a i1 X 1 + a i2 X 2 +…a σε X n + Y i = b i (2)
Η αντικειμενική συνάρτηση κατά την επίλυση του προβλήματος στο μέγιστο θα γραφτεί με τη μορφή:
Z(X) =∑C j X j +(-M)∑Y i (3),
κατά την επίλυση παρόμοιων προβλημάτων τουλάχιστον:
Z(X)=∑C j X j +(M)∑Y i (3*),
όπου το M είναι ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός, ένα είδος ποινής για τη χρήση τεχνητών μεταβλητών.
Στην περίπτωση των ανισώσεων (1), εισάγουμε πρώτα πρόσθετες μεταβλητές X n + i με πρόσημο μείον. Ο πίνακας τους δεν θα είναι ενιαίος, επομένως εισάγουμε τεχνητές μεταβλητές Y i σε κάθε ανισότητα του συστήματος (1):
a i1 X 1 +a i2 X 2 +…a σε X n –X n+i +Y i =b i (4)
Η αντικειμενική συνάρτηση σε αυτή την περίπτωση είναι Z(X)=∑C j X j +0∑X n + i +(-M)∑Y i (για να βρούμε το μέγιστο). Εφαρμογή τεχνητή βάσηδίνει στη μέθοδο simplex μεγαλύτερη ευελιξία και επιτρέπει τη χρήση της για ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων.
Παράδειγμα . Προσδιορίστε τα μέγιστα και τα ελάχιστα κέρδη για την παραγωγή δύο τύπων προϊόντων Α και Β, εάν το κόστος παραγωγής και η κερδοφορία από την πώληση μιας μονάδας παραγωγής δίνονται στον πίνακα. Βασική προϋπόθεση είναι η πλήρης απασχόληση των εργαζομένων στην επιχείρηση.
Μαθηματικά, οι περιορισμοί εξόδου μπορούν να γραφτούν ως μικτό σύστημα:
1X 1 + 1X 2 ≤ 6,
2Χ 1 + 1Χ 2 = 8.
Ας εισαγάγουμε τη βασική μεταβλητή X 3 για την πρώτη ανισότητα και την τεχνητή μεταβλητή Y 1 για τη δεύτερη εξίσωση:
1X 1 + 1X 2 + X 3 \u003d 6,
2X 1 + 1X 2 + Y 1 \u003d 8.
Εκφράζουμε από το προκύπτον σύστημα των εξισώσεων X 3 και Y 1 και για να προσδιορίσουμε τη μέγιστη αντικειμενική συνάρτηση αντιπροσωπεύουμε:
Z(X)= 3X 1 + 2X 2 +0X 3 –MY 1 = 3X 1 + 2X 2 –M(8 -2X 1 –X 2)=
3X 1 + 2X 2 -8M +2MX 1 + MX 2 = (2M + 3)X 1 + (M + 2)X 2 -8M
Για το σχέδιο αναφοράς - X=(0,0,6,8). Ας φτιάξουμε έναν πίνακα simplex:
| Σχέδιο | Βάση | C i /C j | αξία X i | x1 | x2 | x3 | Υ 1 | Qmin |
| x3 | 6/1=6 | |||||||
| Υ 1 | -Μ | 8/2=4 | ||||||
| Ζ(Χ) = -8Μ | -2Μ-3 | -Μ-2 | Γραμμή ευρετηρίου | |||||
| x3 | 0,5 | -0,5 | 2/0,5=4 | |||||
| → Χ 1 | 0,5 | 0,5 | 4/0,5=8 | |||||
| Ζ(Χ) = 3*4=12 | - 0,5 | Μ+1,5 | Γραμμή ευρετηρίου | |||||
| → Χ 2 | -1 | - | ||||||
| x1 | -1 | - | ||||||
| Ζ(Χ)=3*2+2*4=14 | Μ+1 | Γραμμή ευρετηρίου |
Κατά κανόνα, η βελτίωση του σχεδίου αναφοράς ξεκινά με την εξαγωγή της τεχνητής μεταβλητής Υ 1 από τη βάση. τρίψιμο. , και οι συντελεστές της γραμμής του δείκτη είναι μη αρνητικοί. Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι σε αυτό το πρόβλημα, για βέλτιστο σχέδιοοι πόροι χρησιμοποιούνται πλήρως (2*1+4*1=6, 2*2+1*4=8).
Όταν βρίσκουμε την ελάχιστη απόδοση, διατυπώνουμε την αντικειμενική συνάρτηση διαφορετικά (+MY 1 εισάγεται ως όρος:
Z(X)= 3X 1 + 2X 2 +0X 3 +MY 1 = 3X 1 + 2X 2 +M(8 -2X 1 -X 2)=
3X 1 + 2X 2 +8M - 2MX 1 - MX 2 = (3 - 2M)X 1 + (2 - M)X 2 +8M
Ο σχεδιασμός αναφοράς είναι ο ίδιος, αλλά οι συντελεστές της γραμμής δείκτη στον πίνακα simplex είναι διαφορετικοί. Η πρώτη στήλη, όπως και πριν, επιλέγεται από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή του θετικού συντελεστή στο X 1, η πρώτη γραμμή καθορίζεται από την ελάχιστη τιμή Q min = 4. Στην πρώτη επανάληψη, μια τεχνητή μεταβλητή Y 1 προκύπτει από το βάση.
| Σχέδιο | Βάση | C i /C j | αξία X i | x1 | x2 | x3 | Υ 1 | Qmin | ||
| x3 | 6/1=6 | |||||||||
| Υ 1 | Μ | 8/2=4 | ||||||||
| Ζ(Χ) = 8Μ | 2Μ-3 | Μ-2 | Γραμμή ευρετηρίου | |||||||
| x3 | 0,5 | -0,5 | 2/0,5=4 | |||||||
| → Χ 1 | 0,5 | 0,5 | 4/0,5=8 | |||||||
| Ζ(Χ) = 3*4=12 | - 0,5 | -Μ+1,5 | Γραμμή ευρετηρίου | |||||||
Οι λαμβανόμενες αρνητικές τιμές των συντελεστών στη γραμμή δείκτη X i υποδεικνύουν τη βελτιστοποίηση του 1ου σχεδίου, ενώ το ελάχιστο εισόδημα είναι 12 χιλιάδες ρούβλια.
Παρέχεται μόνο με την απελευθέρωση των προϊόντων Α (τα προϊόντα Β δεν παράγονται), οι πρώτες ύλες δεν χρησιμοποιούνται πλήρως (το υπόλοιπο X 3 \u003d 2t), ενώ πληρούται η κύρια προϋπόθεση - οι εργαζόμενοι απασχολούνται πλήρως στην παραγωγή.
Διάλεξη Νο 11
Θέμα: Κλειστή εργασία μεταφοράς
1. Μαθηματική διατύπωση κλειστού έργο μεταφοράς. Προσδιορισμός του απαιτούμενου αριθμού αγνώστων.
2. Στάδια καθορισμού του σχεδίου επίλυσης του μεταφορικού προβλήματος.
Διάλεξη 3 Simplex πίνακες. Αλγόριθμος της μεθόδου simplex.
§ 3 ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
3.1. Γενική ιδέα της μεθόδου simplex. Γεωμετρική ερμηνεία
Η γραφική μέθοδος είναι εφαρμόσιμη σε μια πολύ στενή κατηγορία προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού: μπορεί να λύσει αποτελεσματικά προβλήματα που δεν περιέχουν περισσότερες από δύο μεταβλητές. Εξετάστηκαν τα κύρια θεωρήματα του γραμμικού προγραμματισμού, από τα οποία προκύπτει ότι εάν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει μια βέλτιστη λύση, τότε αντιστοιχεί σε τουλάχιστον ένα γωνιακό σημείο του πολυέδρου λύσης και συμπίπτει με τουλάχιστον μία από τις αποδεκτές βασικές λύσεις του σύστημα περιορισμού. Υποδείχθηκε ένας τρόπος επίλυσης οποιουδήποτε προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού: να απαριθμήσει έναν πεπερασμένο αριθμό εφικτών βασικών λύσεων του συστήματος των περιορισμών και να επιλέξει μεταξύ αυτών αυτή για την οποία η συνάρτηση στόχου λαμβάνει τη βέλτιστη απόφαση. Γεωμετρικά, αυτό αντιστοιχεί στην απαρίθμηση όλων των γωνιακών σημείων του πολυεδρικού διαλύματος. Μια τέτοια απαρίθμηση θα οδηγήσει τελικά σε μια βέλτιστη λύση (εάν υπάρχει), αλλά η πρακτική εφαρμογή της συνδέεται με τεράστιες δυσκολίες, αφού για πραγματικά προβλήματα ο αριθμός των εφικτών βασικών λύσεων, αν και πεπερασμένος, μπορεί να είναι εξαιρετικά μεγάλος.
Ο αριθμός των αποδεκτών βασικών λύσεων που πρέπει να απαριθμηθούν μπορεί να μειωθεί εάν η απαρίθμηση δεν γίνει τυχαία, αλλά λαμβάνοντας υπόψη τις αλλαγές στη γραμμική συνάρτηση, π.χ. φροντίζοντας ότι κάθε επόμενη λύσηήταν "καλύτερο" (ή τουλάχιστον "όχι χειρότερο") από το προηγούμενο όσον αφορά τις τιμές της γραμμικής συνάρτησης (αυξάνοντάς το όταν βρίσκουμε το μέγιστο, μειώνοντάς το όταν βρίσκουμε το ελάχιστο 
).
Μια τέτοια απαρίθμηση επιτρέπει σε κάποιον να μειώσει τον αριθμό των βημάτων για την εύρεση του βέλτιστου. Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα γραφικό παράδειγμα.
Αφήστε το εμβαδόν των εφικτών λύσεων να αντιπροσωπεύεται από ένα πολύγωνο ABCDE. Ας υποθέσουμε ότι το γωνιακό του σημείο ΕΝΑαντιστοιχεί στο αρχικό αποδεκτό βασικό διάλυμα. Μια τυχαία απαρίθμηση θα έπρεπε να δοκιμάσει πέντε εφικτές βασικές λύσεις που αντιστοιχούν στα πέντε γωνιακά σημεία του πολυγώνου. Ωστόσο, το σχέδιο δείχνει ότι μετά την κορυφή ΕΝΑσυμφέρει να πάτε στην επόμενη κορυφή ΣΕ,και μετά στο βέλτιστο σημείο ΜΕ.Αντί για πέντε, διασχίστηκαν μόνο τρεις κορυφές, βελτιώνοντας σταθερά τη γραμμική συνάρτηση.
Η ιδέα της διαδοχικής βελτίωσης της λύσης αποτέλεσε τη βάση μιας καθολικής μεθόδου για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού - μέθοδο simplex ή μέθοδο διαδοχικής βελτίωσης του σχεδίου.
Η γεωμετρική έννοια της μεθόδου simplex συνίσταται σε μια διαδοχική μετάβαση από τη μία κορυφή του πολυεδρικού περιορισμού (που ονομάζεται αρχική) στη γειτονική, στην οποία η γραμμική συνάρτηση παίρνει την καλύτερη (τουλάχιστον όχι τη χειρότερη) τιμή σε σχέση με την στόχος του προβλήματος? μέχρι να βρεθεί η βέλτιστη λύση - η κορυφή όπου επιτυγχάνεται η βέλτιστη τιμή της συνάρτησης στόχου (αν το πρόβλημα έχει πεπερασμένο βέλτιστο).
Η μέθοδος simplex προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Αμερικανό επιστήμονα J. Danzig το 1949, αλλά ήδη από το 1939, οι ιδέες της μεθόδου αναπτύχθηκαν από τον Ρώσο επιστήμονα L.V. Καντόροβιτς.
Η μέθοδος simplex, η οποία επιτρέπει την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, είναι καθολική. Επί του παρόντος, χρησιμοποιείται για υπολογισμούς υπολογιστών, αλλά απλά παραδείγματα που χρησιμοποιούν τη μέθοδο simplex μπορούν επίσης να επιλυθούν χειροκίνητα.
Για την εφαρμογή της μεθόδου simplex - διαδοχική βελτίωση της λύσης - είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε τρία βασικά στοιχεία:
τρόπο να καθοριστεί κάποια αρχική επιτρεπόμενη βασική λύσηκαθήκοντα;
τον κανόνα της μετάβασης στην καλύτερη (ακριβέστερα, όχι τη χειρότερη) λύση.
κριτήριο ελέγχου της βέλτιστης λύσης που βρέθηκε.
Για να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος simplex, το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να μειωθεί στην κανονική μορφή, δηλ. το σύστημα των περιορισμών πρέπει να παρουσιάζεται με τη μορφή εξισώσεων.
Η βιβλιογραφία περιγράφει με αρκετή λεπτομέρεια: εύρεση του αρχικού σχεδίου αναφοράς (αρχική εφικτή βασική λύση), επίσης χρήση της μεθόδου τεχνητής βάσης, εύρεση του βέλτιστου σχεδίου αναφοράς, επίλυση προβλημάτων με χρήση πινάκων simplex.
3.2. Αλγόριθμος της μεθόδου simplex.
Ας εξετάσουμε τη λύση του LLP με τη μέθοδο simplex και ας την παρουσιάσουμε σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης.
1. Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, συντάσσεται το μαθηματικό του μοντέλο.
2. Το μεταγλωττισμένο μοντέλο μετατρέπεται στην κανονική μορφή. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να ξεχωρίσει μια βάση με αρχικό σχέδιο αναφοράς.
3. Το κανονικό μοντέλο του προβλήματος είναι γραμμένο με τη μορφή απλού πίνακα έτσι ώστε όλοι οι ελεύθεροι όροι να είναι μη αρνητικοί. Εάν έχει επιλεγεί το αρχικό σχέδιο αναφοράς, μεταβείτε στο βήμα 5.
Πίνακας Simplex: ένα σύστημα περιοριστικών εξισώσεων και μια αντικειμενική συνάρτηση εισάγονται με τη μορφή εκφράσεων που επιλύονται σε σχέση με την αρχική βάση. Η γραμμή στην οποία εισάγονται οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης 
, που ονομάζεται 
–string ή αντικειμενική συμβολοσειρά συνάρτησης.
4. Βρείτε το αρχικό σχέδιο υποστήριξης εκτελώντας μετασχηματισμούς simplex με θετικά στοιχεία επίλυσης που αντιστοιχούν στις ελάχιστες αναλογίες simplex και χωρίς να λάβετε υπόψη τα σημάδια των στοιχείων 
– χορδές. Εάν κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών υπάρχει μια σειρά 0, της οποίας όλα τα στοιχεία, εκτός από τον ελεύθερο όρο, είναι μηδενικά, τότε το σύστημα των περιοριστικών εξισώσεων του προβλήματος είναι ασυνεπές. Αν, από την άλλη πλευρά, υπάρχει μια σειρά 0 στην οποία, εκτός από τον ελεύθερο όρο, δεν υπάρχουν άλλα θετικά στοιχεία, τότε το σύστημα των περιοριστικών εξισώσεων δεν έχει μη αρνητικές λύσεις.
Θα κληθεί η αναγωγή του συστήματος (2.55), (2.56) σε νέα βάση μετασχηματισμός simplex . Εάν ο μετασχηματισμός simplex θεωρείται ως επίσημη αλγεβρική πράξη, τότε μπορεί να φανεί ότι ως αποτέλεσμα αυτής της πράξης, οι ρόλοι ανακατανέμονται μεταξύ των δύο μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε κάποιο σύστημα γραμμικές συναρτήσεις: μια μεταβλητή πηγαίνει από εξαρτημένη σε ανεξάρτητη και η άλλη αντίστροφα - από ανεξάρτητη σε εξαρτημένη. Αυτή η πράξη είναι γνωστή στην άλγεβρα ως Βήμα αποβολής από την Ιορδανία.
5. Το αρχικό βασικό σχέδιο που βρέθηκε εξετάζεται ως προς τη βέλτιστη:
α) εάν μέσα 
-Η γραμμή δεν έχει αρνητικά στοιχεία (εκτός από τον ελεύθερο όρο), τότε το σχέδιο είναι βέλτιστο. Εάν δεν υπάρχουν μηδενικά, τότε το βέλτιστο σχέδιο είναι μοναδικό. εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μηδέν, τότε υπάρχει ένας άπειρος αριθμός βέλτιστων σχεδίων.
β) εάν 
–η σειρά έχει τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο, το οποίο αντιστοιχεί σε μια στήλη μη θετικών στοιχείων, λοιπόν 
;
γ) εάν μέσα 
-η σειρά έχει τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο και η στήλη της έχει τουλάχιστον ένα θετικό στοιχείο, τότε μπορείτε να μεταβείτε σε ένα νέο σχέδιο αναφοράς που είναι πιο κοντά στο βέλτιστο. Για να γίνει αυτό, η καθορισμένη στήλη πρέπει να αντιστοιχιστεί ως επίλυση, με την ελάχιστη αναλογία απλού, να βρείτε τη γραμμή επίλυσης και να εκτελέσετε έναν μετασχηματισμό απλού. Το ληφθέν βασικό σχέδιο επανεξετάζεται ως προς τη βέλτιστη. Η περιγραφόμενη διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να επιτευχθεί ένα βέλτιστο σχέδιο ή έως ότου το πρόβλημα είναι άλυτο.
Η στήλη των συντελεστών για μια μεταβλητή που περιλαμβάνεται στη βάση ονομάζεται επίλυση. Έτσι, επιλέγοντας μια μεταβλητή που εισάγεται στη βάση (ή επιλέγοντας μια στήλη επίλυσης) από το αρνητικό στοιχείο 
–strings, διασφαλίζουμε ότι η συνάρτηση αυξάνεται 
.
Λίγο πιο δύσκολο είναι να προσδιοριστεί η μεταβλητή που θα εξαιρεθεί από τη βάση. Για να γίνει αυτό, συνθέτουν τις αναλογίες των ελεύθερων μελών προς τα θετικά στοιχεία της στήλης επίλυσης (τέτοιες σχέσεις ονομάζονται simplex) και βρίσκουν τη μικρότερη μεταξύ τους, η οποία καθορίζει τη σειρά (επίλυση) που περιέχει την εξαιρούμενη μεταβλητή. Η επιλογή μιας μεταβλητής που θα εξαιρεθεί από τη βάση (ή η επιλογή μιας συμβολοσειράς επίλυσης) σύμφωνα με την ελάχιστη αναλογία simplex εγγυάται, όπως έχει ήδη καθιερωθεί, τη θετικότητα των στοιχείων βάσης στο νέο σχέδιο αναφοράς.
Στο βήμα 3 του αλγορίθμου, θεωρείται ότι όλα τα στοιχεία της στήλης των ελεύθερων όρων είναι μη αρνητικά. Αυτή η απαίτηση δεν είναι υποχρεωτική, αλλά εάν πληρούται, τότε όλοι οι επόμενοι μετασχηματισμοί simplex εκτελούνται μόνο με στοιχεία θετικής ανάλυσης, κάτι που είναι βολικό για υπολογισμούς. Εάν υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί στη στήλη των ελεύθερων μελών, τότε το στοιχείο επίλυσης επιλέγεται ως εξής:
1) σαρώστε τη συμβολοσειρά που αντιστοιχεί σε κάποιο αρνητικό ελεύθερο μέλος, για παράδειγμα 
–σειρά και επιλέξτε κάποιο αρνητικό στοιχείο σε αυτήν και η αντίστοιχη στήλη λαμβάνεται ως επίλυση (υποθέτουμε ότι οι περιορισμοί του προβλήματος είναι συμβατοί).
2) να σχηματίσετε τις αναλογίες των στοιχείων της στήλης των ελεύθερων μελών προς τα αντίστοιχα στοιχεία της στήλης διαχωρισμού που έχουν τα ίδια πρόσημα (αναλογίες απλών).
3) επιλέξτε τη μικρότερη από τις απλές σχέσεις. Θα καθορίσει τη συμβολοσειρά άδειας. Ας είναι, για παράδειγμα, R-γραμμή;
4) στη διασταύρωση των στηλών και των γραμμών επίλυσης, βρίσκεται ένα στοιχείο επίλυσης. Εάν το στοιχείο επιτρέπεται 
–string, τότε μετά τον μετασχηματισμό simplex ο ελεύθερος όρος αυτής της συμβολοσειράς θα γίνει θετικός. Διαφορετικά, στο επόμενο βήμα, στραφούμε ξανά στο 
-σειρά. Εάν το πρόβλημα είναι επιλύσιμο, τότε μετά από έναν ορισμένο αριθμό βημάτων δεν θα υπάρχουν αρνητικά στοιχεία στη στήλη των ελεύθερων όρων.
Εάν κάποια πραγματική κατάσταση παραγωγής είναι ντυμένη με τη μορφή LLP, τότε πρόσθετες μεταβλητές που πρέπει να εισαχθούν στο μοντέλο κατά τη διαδικασία μετατροπής του στην κανονική μορφή έχουν πάντα ένα συγκεκριμένο οικονομικό νόημα.
