Στην αρχική σύνθεση, το PLP μπορεί να επιτρέπει διάφορες μορφές εγγραφής. Έτσι, σε ορισμένα προβλήματα απαιτείται η μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης, σε άλλα απαιτείται η ελαχιστοποίησή της. ορισμένοι γραμμικοί περιορισμοί μπορεί να έχουν τη μορφή ισοτήτων, άλλοι - ανισότητες κ.λπ.

Για τη διασφάλιση της ομοιομορφίας στην καταγραφή των ΠΑΠ, τα λεγόμενα κανονική μορφήεγγραφές.

Το ZLP λέγεται ότι είναι γραμμένο σε κανονική μορφή εάν έχει την ακόλουθη μορφή:

Ας σημειώσουμε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά της κανονικής μορφής:

1) απαιτείται η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης.

2) όλοι οι γραμμικοί περιορισμοί, εκτός από τις απαιτήσεις της μη αρνητικότητας των μεταβλητών, έχουν τη μορφή ισοτήτων.

Απαιτήσεις μη αρνητικότητας επιβάλλονται σε όλες τις μεταβλητές.

Ας δείξουμε ότι οποιοδήποτε ZLP μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή.

1) Εάν στο ZLP απαιτείται μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης f, τότε ορίζουμε g = - f και απαιτούν ελαχιστοποίηση της συνάρτησης g. Το αποτέλεσμα θα είναι ένα νέο ZLP, το οποίο είναι ισοδύναμο με το αρχικό με την έννοια ότι κάθε βέλτιστη λύση στο αρχικό πρόβλημα θα είναι η βέλτιστη λύση στο νέο πρόβλημα και το αντίστροφο.

2) Ας υποθέσουμε ότι το ZLP έχει έναν γραμμικό περιορισμό της μορφής

Ας αντικαταστήσουμε αυτόν τον περιορισμό με τους ακόλουθους δύο περιορισμούς:

Οπου z - μια νέα μεταβλητή που εισάγεται στη συνάρτηση αντικειμενικού με συντελεστή 0 (με άλλα λόγια, η μεταβλητή z δεν εισάγεται στη συνάρτηση στόχου). Η τιμή της μεταβλητής z μπορεί να αγνοηθεί μετά την επίλυση ενός νέου προβλήματος.

Ομοίως, ο περιορισμός προβολής αντικαθίσταται από δύο περιορισμούς:

3) Ας υποθέσουμε ότι στο ZLP δεν υπόκεινται όλες οι μεταβλητές στην απαίτηση της μη αρνητικότητας. Στη συνέχεια, κάθε μεταβλητή , το οποίο δεν υπόκειται στην απαίτηση της μη αρνητικότητας, μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο μη αρνητικών μεταβλητών:

Κάθε εμφάνιση μιας μεταβλητής στην αντικειμενική συνάρτηση ή τους περιορισμούς την αντικαθιστούμε με τη διαφορά
. Έχοντας λύσει το νέο πρόβλημα χρησιμοποιώντας την (2.6), επιστρέφουμε στις προηγούμενες μεταβλητές.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις τεχνικές, οποιοδήποτε ZLP ανάγεται σε κανονική μορφή.

Παράδειγμα. Μείωση σε κανονική μορφή

Ας κάνουμε τα βήματα που περιγράφονται.

Τώρα παίρνουμε το ZLP σε κανονική μορφή:

2.7. Η έννοια του σχεδίου υποστήριξης.

Αφήστε το VLP να δοθεί σε κανονική μορφή (2.3 - 2.5). Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα των εξισώσεων (2.4) ανάγεται σε μορφή Jordan με μη αρνητικές δεξιές πλευρές:

(2.6)

Οπου
.

Εξισώνοντας τις ελεύθερες μεταβλητές με μηδέν, παίρνουμε τη βασική λύση του συστήματος (2.4)

Λόγω των συνθηκών
το σύνολο των τιμών των μεταβλητών (2.7) ικανοποιεί επίσης τους περιορισμούς (2.5). Επομένως (2.6) είναι αποδεκτή απόφαση της ΣΔΙΤ.

Η αποδεκτή λύση (2.7) ονομάζεται βασική επιτρεπτήαπόφαση ή βασικό σχέδιο του ZLP.Σε αυτή την περίπτωση λένε ότι οι μεταβλητές
αποτελούν αποδεκτή βάση.

Αποδεικνύεται ότι εάν το ODR απεικονίζεται γεωμετρικά, τότε κάθε σχέδιο στήριξης του ZLP αντιστοιχεί στην κορυφή του πολυέδρου. Επομένως, το παρακάτω θεώρημα είναι αληθές.

Εάν το ZLP είναι επιλύσιμο, τότε υπάρχει ένα βέλτιστο σχέδιο υποστήριξης.

3. Απλή μέθοδος επίλυσης προβλημάτων

3.1. Γενικά χαρακτηριστικά και κύρια στάδια της μεθόδου simplex

Οι ιδρυτές της μεθόδου simplex είναι ο Σοβιετικός μαθηματικός L.V. Kantorovich και τον Αμερικανό μαθηματικό J. Dantzig.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex, μπορείτε να λύσετε οποιοδήποτε πρόβλημα ή να ανακαλύψετε τη μη επίλυσή του. Πολλές ειδικές κατηγορίες προβλημάτων μπορούν να λυθούν με άλλες μεθόδους που είναι πιο αποτελεσματικές για αυτές τις κατηγορίες. Ωστόσο, το πλεονέκτημα της μεθόδου simplex είναι η ευελιξία της. Για όλους σχεδόν τους υπολογιστές, έχουν αναπτυχθεί τυπικά προγράμματα για την επίλυση ZLP χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex.

Ας περιγράψουμε τη γενική ιδέα της μεθόδου simplex.

Πιστεύουμε ότι το ZLP είναι γραμμένο σε κανονική μορφή και η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να ελαχιστοποιηθεί. Όπως ήδη γνωρίζουμε, το βέλτιστο σχέδιο θα πρέπει να αναζητηθεί ανάμεσα στα βασικά σχέδια του ZLP. Η μέθοδος simplex δεν περνά από όλα τα σχέδια αναφοράς (πράγμα που συχνά θα ήταν αδύνατο λόγω του τεράστιου αριθμού τους), αλλά, ξεκινώντας από κάποιο αρχικό σχέδιο αναφοράς, προχωρά διαδοχικά σε άλλα σχέδια αναφοράς με μείωση της αντικειμενικής συνάρτησης. Η μέθοδος Simplex σταματά να λειτουργεί όταν είτε βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο αναφοράς είτε διαπιστωθεί η μη επιλυσιμότητα του προβλήματος.

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex, μπορούν να διακριθούν τα ακόλουθα στάδια:

1) φέρνοντας το ZLP σε κανονική μορφή.

2) φέρνοντας το σύστημα γραμμικών εξισώσεων στη μορφή Jordan με μη αρνητικές δεξιές πλευρές ενώ ταυτόχρονα ελέγχεται η μη επιλυτότητα του ZLP λόγω της ασυνέπειας του συστήματος γραμμικών περιορισμών.

3) μελέτη του σχεδίου αναφοράς για βελτιστοποίηση.

4) μελέτη του ZLP για μη αποφασιστικότητα λόγω του απεριόριστου από κάτω στο ODD της αντικειμενικής συνάρτησης.

5) μετάβαση σε ένα νέο, «καλύτερο» σχέδιο αναφοράς.

προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού

2.1. Ορισμός και μορφές καταγραφής

Στην περίπτωση που όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις και όλες οι μεταβλητές ικανοποιούν τη συνθήκη μη αρνητικότητας, το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται κανονικός.Μπορεί να παρουσιαστεί σε μορφή συντεταγμένων, διανυσμάτων ή μήτρας.

α) το κανονικό πρόβλημα LP σε μορφή συντεταγμένων έχει τη μορφή:

,
.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το σύμβολο άθροισης:

,

,

,
,
.

β) το κανονικό πρόβλημα LP σε διανυσματική μορφή έχει τη μορφή: ,

,

Οπου
;
;

,
;;
.

γ) το κανονικό πρόβλημα LP σε μορφή πίνακα έχει τη μορφή:

,
,

Οπου
,,.

2.2. Μείωση του γενικού γραμμικού προβλήματος

προγραμματισμός σε κανονική μορφή

Κατά τη σύνταξη μαθηματικών μοντέλων οικονομικών προβλημάτων, οι περιορισμοί διαμορφώνονται κυρίως σε συστήματα ανισοτήτων. Επομένως, είναι απαραίτητο να μπορούμε να μεταβούμε από αυτά σε συστήματα εξισώσεων. Για παράδειγμα, θεωρήστε τη γραμμική ανισότητα

και προσθέστε στην αριστερή του πλευρά μια συγκεκριμένη τιμή
τέτοια που η ανισότητα μετατρέπεται σε ισότητα.

Μη αρνητική μεταβλητή
ονομάζεται πρόσθετη μεταβλητή. Το παρακάτω θεώρημα παρέχει τη βάση για την πιθανότητα ενός τέτοιου μετασχηματισμού.

Θεώρημα 2.2.1.Κάθε απόφαση
η ανισότητα (2.2.1) αντιστοιχεί σε μια μοναδική λύση της εξίσωσης (2.2.2) και της ανισότητας
, και, αντιστρόφως, σε κάθε λύση της εξίσωσης (2.2.2)γ
αντιστοιχεί στη λύση
ανισότητες (2.2.1).

Απόδειξη.Αφήνω
λύση ανισότητας (2.2.1). Τότε. Ας πάρουμε έναν αριθμό
. Είναι ξεκάθαρο ότι
. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (2.2.2), παίρνουμε

Το πρώτο μέρος του θεωρήματος έχει αποδειχθεί.

Έστω τώρα ένα διάνυσμα ικανοποιεί την εξίσωση (2.2.2) με
, δηλαδή, απορρίπτοντας τη μη αρνητική τιμή στην αριστερή πλευρά της τελευταίας ισότητας
, λαμβάνουμε κ.λπ.

Έτσι, το αποδεδειγμένο θεώρημα καθιερώνει στην πραγματικότητα τη δυνατότητα να φέρει οποιοδήποτε πρόβλημα LP σε κανονική μορφή. Για να γίνει αυτό, αρκεί να εισάγουμε σε κάθε περιορισμό που έχει τη μορφή ανισότητας τη δική του πρόσθετη μη αρνητική μεταβλητή. Επιπλέον, στις ανισώσεις της μορφής (1.2.1) αυτές οι μεταβλητές θα εμφανίζονται με το πρόσημο «+» και στις ανισώσεις της μορφής (1.2.2) – με το πρόσημο «–». Πρόσθετες μεταβλητές εισάγονται στην αντικειμενική συνάρτηση με μηδενικούς συντελεστές και επομένως δεν επηρεάζουν την τιμή της.

Σχόλιο. Στο μέλλον, θα παρουσιάσουμε τη μέθοδο simplex για το κανονικό πρόβλημα LP κατά τη μελέτη της αντικειμενικής συνάρτησης για ένα ελάχιστο. Σε εκείνα τα προβλήματα που πρέπει να βρεις το μέγιστο
, αρκεί να εξετάσουμε τη συνάρτηση
, βρείτε την ελάχιστη τιμή του και, στη συνέχεια, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο, καθορίστε την επιθυμητή μέγιστη τιμή
.

3. Γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων

γραμμικός προγραμματισμός

3.1. Γενικές έννοιες, παραδείγματα

Σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν μόνο δύο μεταβλητές στο πρόβλημα LP, η γραφική μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για επίλυση. Ας είναι απαραίτητο να βρεθεί η μέγιστη (ελάχιστη) τιμή της συνάρτησης
υπό περιορισμούς

(3.1.1)

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη δυνατότητα γραφικής απεικόνισης της περιοχής των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβλημα, δηλ. ικανοποιώντας το σύστημα (3.1.1) και την εύρεση της βέλτιστης λύσης μεταξύ τους. Η περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα κατασκευάζεται ως τομή (κοινό μέρος) των περιοχών λύσης καθενός από τους δεδομένους περιορισμούς (3.1.1). Καθένα από αυτά ορίζει ένα ημιεπίπεδο με όριο
,
. Προκειμένου να προσδιοριστεί ποιο από τα δύο ημιεπίπεδα είναι το πεδίο της λύσης, αρκεί να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται στη γραμμή στην ανισότητα: εάν ικανοποιείται, τότε το πεδίο της λύσης είναι το ημιεπίπεδο που περιέχει αυτό το σημείο, αλλά αν η ανισότητα δεν ικανοποιηθεί, τότε το πεδίο της λύσης είναι ένα μισό επίπεδο που δεν περιέχει το δεδομένο σημείο.

Η τομή αυτών των ημιεπίπεδων σχηματίζει μια ορισμένη περιοχή που ονομάζεται πολύγωνο λύσης, το οποίο είναι ένα κυρτό σύνολο. (Υποθέστε ότι το σύστημα των περιορισμών είναι συνεπές και το πολύγωνο των λύσεών του είναι περιορισμένο.) Για να βρεθεί η βέλτιστη μεταξύ των εφικτών λύσεων, χρησιμοποιούνται γραμμές επιπέδου και ευθείες γραμμές αναφοράς.

Γραμμή επιπέδουονομάζεται ευθεία γραμμή στην οποία συναρτάται η αντικειμενική παίρνει σταθερή τιμή. Η εξίσωση γραμμής επιπέδου έχει τη μορφή

, Πού
. Όλες οι γραμμές επιπέδου είναι παράλληλες μεταξύ τους. Το κανονικό τους
.

Γραμμή αναφοράςονομάζεται γραμμή επιπέδου που έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με την περιοχή των εφικτών λύσεων, σε σχέση με την οποία η περιοχή αυτή βρίσκεται σε ένα από τα ημιεπίπεδα (Εικ. 1).

Αξίες
αύξηση προς την κατεύθυνση του διανύσματος
.
Επομένως, είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τη γραμμή επιπέδου προς την κατεύθυνση αυτού του διανύσματος παράλληλη με τον εαυτό του στη γραμμή αναφοράς 1 μεγάλο προς την κατεύθυνση αυτού του διανύσματος παράλληλη με τον εαυτό του στη γραμμή αναφοράς 2).

στη μέγιστη εργασία και στην αντίθετη κατεύθυνση - στην ελάχιστη εργασία (μέχρι τη γραμμή αναφοράς
υπό περιορισμούς

Ας δώσουμε τη λύση στο Παράδειγμα 1.1. Θυμηθείτε ότι πρέπει να βρούμε το μέγιστο της συνάρτησης

Διάλυμα. Κατασκευάζουμε μια περιοχή με εφικτές λύσεις. Αριθμούμε τους περιορισμούς του προβλήματος. Σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 2), κατασκευάζουμε μια ευθεία γραμμή

, που αντιστοιχεί στον περιορισμό (1). Βρίσκουμε ποιο από τα ημιεπίπεδα στα οποία αυτή η ευθεία διαιρεί ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων είναι το πεδίο των λύσεων της ανισότητας (1). Για να γίνει αυτό, αρκεί να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται στη γραμμή στην ανισότητα. Αφού είναι ίσιο
δεν διέρχεται από την προέλευση, υποκατάστατο
στον πρώτο περιορισμό. Παίρνουμε μια αυστηρή ανισότητα
. Ως εκ τούτου, το σημείο

και το πεδίο της λύσης του περιορισμού (2). Βρίσκουμε το κοινό μέρος των ημιεπιπέδων των λύσεων, λαμβάνοντας υπόψη περιορισμούς (3). Τονίζουμε την προκύπτουσα περιοχή των εφικτών λύσεων σε σκούρο χρώμα στο Σχ. 2.

Χτίζοντας μια επίπεδη γραμμή
και διάνυσμα
, που δείχνει την κατεύθυνση αύξησης της συνάρτησης και κάθετα στη γραμμή

.
Γραμμή επιπέδου
κινείται παράλληλα με τον εαυτό του προς την κατεύθυνση
στη γραμμή αναφοράς. Διαπιστώνουμε ότι η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο στο σημείο σημείο τομής γραμμών Και
. Επίλυση συστήματος εξισώσεων αυτών των γραμμών
, παίρνουμε τις συντεταγμένες του σημείου
,
. Επομένως, α

βέλτιστη λύση.
Παράδειγμα 3.1. Βρείτε το ελάχιστο μιας συνάρτησης

με σύστημα περιορισμών
Διάλυμα. Κατασκευάζουμε την περιοχή των εφικτών λύσεων (βλ. Εικ. 3), διάνυσμα
και μία από τις γραμμές επιπέδου
. Μετακινήστε τη γραμμή επιπέδου προς την αντίθετη κατεύθυνση

, αφού λύνεται το πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου συνάρτησης. Η γραμμή αναφοράς σε αυτή την περίπτωση διέρχεται από το σημείο Α (Εικ. 3), οι συντεταγμένες του οποίου θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος
Ετσι,

. Ας υπολογίσουμε.
Σχόλιο. Στην πραγματικότητα, εξαρτάται από τον τύπο του τομέα των εφικτών λύσεων και την αντικειμενική συνάρτηση

Ένα πρόβλημα LP μπορεί να έχει μία μόνο λύση, άπειρο αριθμό λύσεων ή καμία λύση.
υπό περιορισμούς

Παράδειγμα 3.2. Βρείτε το ελάχιστο μιας συνάρτησης
Διάλυμα. Κατασκευάζουμε την περιοχή των εφικτών λύσεων (βλ. Εικ. 3), διάνυσμα Διάλυμα. Κατασκευάζοντας την περιοχή των εφικτών λύσεων, την κανονική των γραμμών στάθμης , που έχει κοινά σημεία με αυτή την περιοχή. Μετακίνηση της γραμμής επιπέδου προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κανονική κατεύθυνση
, αφού λύνεται το πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου συνάρτησης. Κανονικό επίπεδο γραμμών και το κανονικό της οριακής γραμμής
, προς την κατεύθυνση της οποίας κινούνται οι ευθείες στάθμης, είναι παράλληλες, αφού οι συντεταγμένες τους είναι ανάλογες . Επομένως, η γραμμή αναφοράς συμπίπτει με την οριακή γραμμή σημείο τομής γραμμών περιοχή εφικτών λύσεων και διέρχεται από δύο γωνιακά σημεία αυτής της περιοχής

(Εικ. 4).
Το πρόβλημα έχει άπειρο αριθμό βέλτιστων λύσεων, που είναι σημεία του τμήματος
,
.

;
;

,
;
,
;

;
.

Αυτά τα σημεία

βρίσκουμε λύνοντας τα αντίστοιχα συστήματα εξισώσεων:
Ας υπολογίσουμε.
,
.

Απάντηση:

στο
Παράδειγμα 3.3. Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Διάλυμα. Κατασκευάζουμε την περιοχή των εφικτών λύσεων, την κανονική

και μία από τις γραμμές επιπέδου. Σε αυτό το πρόβλημα είναι απαραίτητο να βρεθεί το μέγιστο της αντικειμενικής συνάρτησης, άρα η γραμμή επιπέδου

βρίσκουμε λύνοντας τα αντίστοιχα συστήματα εξισώσεων:
.

κινηθείτε προς την κατεύθυνση του κανονικού. Λόγω του γεγονότος ότι προς αυτή την κατεύθυνση το εύρος των εφικτών λύσεων δεν περιορίζεται, η γραμμή στάθμης πηγαίνει στο άπειρο (Εικ. 5).

Το πρόβλημα δεν έχει λύση λόγω του απεριόριστου χαρακτήρα της αντικειμενικής συνάρτησης.

: Προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού (LPP)

1. Γραμμικός προγραμματισμός

2. Είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού

Γραμμικός προγραμματισμός

Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι ένας κλάδος του μαθηματικού προγραμματισμού που χρησιμοποιείται στην ανάπτυξη μεθόδων εύρεσης του άκρου γραμμικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών κάτω από γραμμικούς πρόσθετους περιορισμούς που επιβάλλονται στις μεταβλητές.

Ανάλογα με το είδος των προβλημάτων που επιλύουν, οι μέθοδοι LP χωρίζονται σε καθολικές και ειδικές. Χρησιμοποιώντας καθολικές μεθόδους, μπορούν να λυθούν τυχόν προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού (LPP). Οι ειδικοί λαμβάνουν υπόψη τα χαρακτηριστικά του μοντέλου προβλήματος, την αντικειμενική του λειτουργία και το σύστημα περιορισμών.

Το κύριο χαρακτηριστικό των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού είναι ότι το άκρο της αντικειμενικής συνάρτησης βρίσκεται στο όριο της περιοχής των εφικτών λύσεων.

Σχήμα 1 - Ακρότατο της αντικειμενικής συνάρτησης

Το μαθηματικό μοντέλο του ZLP είναι γραμμένο ως εξής:

max (ή min) Z=z(X),(1)

Η ODR μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή ανισοτήτων.

Το διάνυσμα X = (x 1, x 2, .... x p) είναι ένα διάνυσμα ελέγχου ή ένα εφέ ελέγχου.

Ένα αποδεκτό σχέδιο Χ, στο οποίο το κριτήριο βελτιστοποίησης Z=z(X) φτάνει σε μια ακραία τιμή, ονομάζεται βέλτιστο και συμβολίζεται με X*, η ακραία τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης με Z*=z(X*).

Τύποι προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού

Οι μέθοδοι γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιούνται ευρέως σε βιομηχανικές επιχειρήσεις κατά τη βελτιστοποίηση του προγράμματος παραγωγής, τη διανομή του σε εργαστήρια και σε χρονικά διαστήματα, κατά τη φόρτωση ποικιλιών εξοπλισμού, τον σχεδιασμό ροών φορτίου, τον καθορισμό του σχεδίου κύκλου εργασιών κ.λπ.

Ο πιο συνηθισμένος τύπος εργασιών είναι το πρόβλημα της βέλτιστης χρήσης των πόρων.Αφήστε μια συγκεκριμένη μονάδα παραγωγής (συνεργείο, επιχείρηση, ένωση κ.λπ.), βάσει των συνθηκών της αγοράς, των τεχνικών δυνατοτήτων και των διαθέσιμων πόρων, να είναι σε θέση να παράγει n διαφορετικούς τύπους προϊόντων, γνωστών με τους αριθμούς j.

Κατά την παραγωγή προϊόντων, η επιχείρηση περιορίζεται από τους διαθέσιμους πόρους, η ποσότητα των οποίων θα συμβολίζεται με m, και το διάνυσμα των πόρων B = (b 1, b 2, ..., b t). Είναι επίσης γνωστοί οι τεχνολογικοί συντελεστές a ij, οι οποίοι δείχνουν τον ρυθμό κατανάλωσης του i-ου πόρου για την παραγωγή μιας μονάδας του j-ου προϊόντος. Η απόδοση της παραγωγής της μονάδας j προϊόντων χαρακτηρίζεται από το κέρδος p j.

Απαιτείται ο καθορισμός του σχεδίου παραγωγής X = (x 1, x 2, ..., x p), μεγιστοποιώντας το κέρδος της επιχείρησης με δεδομένους πόρους.

Η αντικειμενική συνάρτηση μοιάζει με αυτό

υπό περιορισμούς

Συχνά η γκάμα προϊόντων καθορίζεται από έναν ανώτερο οργανισμό, δηλαδή οι όγκοι του πρέπει να περιέχονται εντός ορισμένων ορίων D σε j και D σε j: τότε ορίζεται ο ακόλουθος περιορισμός:

Το μοντέλο του προβλήματος της βέλτιστης χρήσης των πόρων βασίζεται μοντέλα για τη βελτιστοποίηση του ετήσιου προγράμματος παραγωγής της επιχείρησης. Το μοντέλο περιλαμβάνει περιορισμούς στο χρόνο λειτουργίας του εξοπλισμού.

Διατηρώντας τον ίδιο συμβολισμό, γράφουμε μέσω b j και c j, αντίστοιχα, την τιμή πώλησης και το κόστος ανά μονάδα του jου προϊόντος. Ως κριτήρια βελτιστοποίησης μπορούν να ληφθούν τα ακόλουθα:

1) μέγιστο κέρδος

2) ελάχιστο κόστος παραγωγής

3) μέγιστη παραγωγή σε όρους αξίας (έσοδα από πωλήσεις προϊόντων)

Παράδειγμα. Η επιχείρηση μπορεί να παράγει τέσσερις τύπους προϊόντων 1, 2, 3 και 4. Οι πωλήσεις οποιουδήποτε όγκου είναι εγγυημένες. Κατά τη διάρκεια του τριμήνου, η επιχείρηση έχει εργατικό δυναμικό 100 βάρδιες, ημικατεργασμένα προϊόντα βάρους 260 κιλών και εξοπλισμό μηχανημάτων 370 βάρδιες μηχανών. Τα ποσοστά κατανάλωσης πόρων και το κέρδος ανά μονάδα κάθε τύπου προϊόντος παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.

Απαραίτητος:

α) να συντάξει ένα μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος του προσδιορισμού του σχεδίου παραγωγής στο οποίο επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος·

β) να λύσει το πρόβλημα με την απαίτηση ότι ο αριθμός των μονάδων του τρίτου προϊόντος είναι 3 φορές μεγαλύτερος από τον αριθμό των μονάδων του πρώτου.

γ) ανακαλύψτε τη βέλτιστη ποικιλία υπό πρόσθετες συνθήκες: παράγετε το πρώτο προϊόν τουλάχιστον 25 μονάδες, το τρίτο - όχι περισσότερο από 30, και το δεύτερο και το τέταρτο - σε αναλογία 1:3.

Πίνακας 1

Αρχικά στοιχεία

Μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος:

αντικειμενική συνάρτηση:

μέγιστο: Z=40x 1 +50x 2 +100x 3 +80x 4

με περιορισμούς:

α) για εργατικούς πόρους:

2,5x 1 +2,5x 2 +2x 3 +1,5x 4 ? 100;

για ημικατεργασμένα προϊόντα:

4x 1 +10x 2 +4x 3 +6x 4 ? 260;

για εργαλειομηχανές:

8x 1 +7x 2 +4x 3 +10x 4 ? 370;

συνθήκη μη αρνητικότητας:

β) η πρόσθετη απαίτηση για τη διαμόρφωση θα εκφραστεί από τη συνθήκη

3x 1 =x 3, δηλαδή 3x 1 x 3 =0;

γ) ας παρουσιάσουμε τις οριακές συνθήκες και τις συνθήκες διαμόρφωσης ως εξής: x 1 ?

x 3;30, 3*x 2 = x 4.

Το πρόβλημα της παραγγελίας ή της φόρτωσης εναλλάξιμων ομάδων εξοπλισμού. Μιλάμε για διανομή παραγγελιών μεταξύ m (i=1,..., m) επιχειρήσεων (καταστήματα, μηχανές, εκτελεστές) με διαφορετικά παραγωγικά και τεχνολογικά χαρακτηριστικά, αλλά εναλλάξιμα ως προς την εκπλήρωση παραγγελιών. Απαιτείται η κατάρτιση ενός σχεδίου τοποθέτησης παραγγελιών στο οποίο η εργασία θα ολοκληρωνόταν και ο δείκτης απόδοσης θα έφτανε σε ακραία τιμή.

Ας διατυπώσουμε το πρόβλημα μαθηματικά. Έστω n τύποι προϊόντων πρέπει να παράγονται χρησιμοποιώντας m ομοιογενείς ομάδες εξοπλισμού. Το σχέδιο παραγωγής για κάθε τύπο προϊόντος για μια ορισμένη περίοδο καθορίζεται από ένα σύνολο x j (j = 1,2, ... p). Η ισχύς κάθε τύπου εξοπλισμού είναι περιορισμένη και ίση με b i. Ο τεχνολογικός πίνακας A=||a ij || είναι γνωστός, όπου a ij είναι ο αριθμός των μονάδων του j-ου προϊόντος που παράγονται ανά μονάδα χρόνου στον i-ο εξοπλισμό. Ο πίνακας C είναι ένας πίνακας κόστους, όπου c ij είναι το κόστος που σχετίζεται με την παραγωγή μιας μονάδας j-ου προϊόντος σε i-ο εξοπλισμό. Το X είναι ένα διάνυσμα του όγκου εξόδου.

Το μοντέλο προβλήματος θα έχει την ακόλουθη μορφή:

αντικειμενική λειτουργία - ελαχιστοποίηση του κόστους για την υλοποίηση όλων των παραγγελιών

με περιορισμούς:

α) με ισχύ εξοπλισμού

β) για παραγωγή

γ) συνθήκη μη αρνητικότητας

Αυτό το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα διανομής ή διανομής.

Εάν για ορισμένους τύπους προϊόντων επιτρέπεται η υπέρβαση του προγράμματος, τότε ο περιορισμός (β) θα λάβει τη μορφή

Τα ακόλουθα μπορούν επίσης να ληφθούν ως κέρδος στόχος:

α) μέγιστο κέρδος

β) ελάχιστο κόστος χρόνου μηχανής

Επειδή Οποιοδήποτε μοντέλο περιέχει απλοποιητικές προϋποθέσεις για τη σωστή εφαρμογή των ληφθέντων αποτελεσμάτων, είναι απαραίτητη μια σαφής κατανόηση της ουσίας αυτών των απλοποιήσεων, η οποία, τελικά, μας επιτρέπει να βγάλουμε ένα συμπέρασμα σχετικά με το παραδεκτό ή το απαράδεκτό τους. Η πιο σημαντική απλούστευση στα εξεταζόμενα μοντέλα είναι η υπόθεση μιας ευθέως αναλογικής (γραμμικής) σχέσης μεταξύ των όγκων κατανάλωσης πόρων και των όγκων παραγωγής, η οποία καθορίζεται χρησιμοποιώντας τα πρότυπα κόστους a ij . Προφανώς, αυτή η υπόθεση δεν τηρείται πάντα. Έτσι, οι όγκοι κατανάλωσης πολλών πόρων (για παράδειγμα, πάγια στοιχεία ενεργητικού) αλλάζουν απότομα - ανάλογα με τις αλλαγές στο πρόγραμμα παραγωγής X. Άλλες απλοποιητικές προϋποθέσεις περιλαμβάνουν υποθέσεις σχετικά με την ανεξαρτησία των τιμών j από τους όγκους x j, η οποία ισχύει μόνο για ορισμένα όρια της αλλαγής τους. Είναι επίσης σημαντικό να γνωρίζετε αυτά τα «ευάλωτα» σημεία επειδή υποδεικνύουν θεμελιώδεις κατευθύνσεις για τη βελτίωση του μοντέλου.

Έντυπα καταγραφής ΠΑΠ

Υπάρχουν 3 μορφές καταγραφής PAP:

1) με τη μορφή συναρτήσεων

max(ή min)Z=,max(ή min)Z=,

2) διανυσματική μορφή

(βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων)

υπό περιορισμούς

A 1 x 1 +A 2 x 2 +..+A n x n = B

Πού είναι τα διανύσματα

C = (C 1, C 2 .. C n), X = (X 1, X 2 .. X n), και.

3) μορφή μήτρας

υπό περιορισμούς

όπου C = (c 1, c 2,...c n),

Κανονική μορφή προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού

Εάν όλοι οι περιορισμοί σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι εξισώσεις και επιβάλλονται συνθήκες μη αρνητικότητας σε όλες τις μεταβλητές x j, τότε ονομάζεται πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε κανονική μορφή ή πρόβλημα κανονικού γραμμικού προγραμματισμού (CLP).

υπό περιορισμούς

Για να μεταβείτε από το ZLP στο CLLP, είναι απαραίτητο να μεταβείτε από τους περιορισμούς ανισότητας σε περιορισμούς ισότητας και να αντικαταστήσετε μεταβλητές που δεν υπακούουν στις συνθήκες μη αρνητικότητας.

Κανόνες για τη μεταφορά του ZLP σε κανονική μορφή:

1) εάν η δεξιά πλευρά των περιορισμών είναι αρνητική, τότε αυτός ο περιορισμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί με -1.

2) εάν υπάρχουν ανισότητες μεταξύ των περιορισμών, τότε με την εισαγωγή πρόσθετων μη αρνητικών μεταβλητών μετατρέπονται σε ισότητες.

3) εάν κάποια μεταβλητή xk δεν έχει περιορισμούς πρόσημου, τότε αντικαθίσταται στη συνάρτηση αντικειμενικού και σε όλους τους περιορισμούς από τη διαφορά μεταξύ δύο νέων μη αρνητικών μεταβλητών: xk=x * k - xl, όπου l είναι ο συνοπτικός δείκτης, x * k>=, xl >=0.

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας το φέρουμε στην κανονική μορφή:

Ας εισάγουμε μεταβλητές ισοπέδωσης x 4, x 5, x 6 σε κάθε εξίσωση του συστήματος των περιορισμών. Το σύστημα θα γραφτεί με τη μορφή ισοτήτων και στην πρώτη και τρίτη εξίσωση του συστήματος περιορισμών, οι μεταβλητές x 4, x 6 εισάγονται στην αριστερή πλευρά με το σύμβολο «+» και στη δεύτερη εξίσωση x. Το 5 εισάγεται με το σύμβολο «-».

Οι ελεύθεροι όροι στην κανονική μορφή πρέπει να είναι θετικοί για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε τις δύο τελευταίες εξισώσεις με -1:

Στην κανονική μορφή γραφής προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, όλες οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται στο σύστημα περιορισμών πρέπει να είναι μη αρνητικές. Ας υποθέσουμε ότι

Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στο σύστημα των περιορισμών και την αντικειμενική συνάρτηση και γράφοντας τις μεταβλητές σε αύξουσα σειρά δείκτη, λαμβάνουμε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού που παρουσιάζεται σε κανονική μορφή:

βελτιστοποίηση απλού γραμμικού προγραμματισμού

Πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού της μορφής ax = b όπου a είναι ο πίνακας συντελεστών, b το διάνυσμα περιορισμού.
Παράδειγμα:

Σε κάθε πρόβλημα LP, οι τιμές των μεταβλητών αναζητούνται υπό την προϋπόθεση ότι:

• αυτές οι τιμές ικανοποιούσαν κάποιο σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή ανισοτήτων.
• Σε αυτές τις τιμές, η αντικειμενική συνάρτηση θα μετατραπεί σε ένα ελάχιστο ή μέγιστο.

Οδηγίες. Επιλέξτε τον αριθμό των μεταβλητών και τον αριθμό των σειρών (αριθμός περιορισμών). Η λύση που προκύπτει αποθηκεύεται σε ένα αρχείο Word.

Μία από τις καθολικές μεθόδους LP είναι η μέθοδος simplex, η οποία, ωστόσο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν το πρόβλημα LP έχει κανονική μορφή.

Ορισμός. Το πρόβλημα LP έχει κανονική μορφή εάν όλοι οι περιορισμοί συστήματος αποτελούνται μόνο από εξισώσεις (εκτός από τις ανισότητες που εκφράζουν τη μη αρνητικότητα των μεταβλητών) και η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να ελαχιστοποιηθεί.
Ένα παράδειγμα τέτοιου προβλήματος LP σε κανονική μορφή είναι το Πρόβλημα 1 - ένα πρόβλημα ισορροπημένης μεταφοράς με ένα σύστημα περιορισμών (1) και μια αντικειμενική συνάρτηση (2).
Ωστόσο, στα περισσότερα οικονομικά προβλήματα, τις περισσότερες φορές το σύστημα περιορισμών περιλαμβάνει αρχικά όχι μόνο εξισώσεις, αλλά και ανισότητες.

Δήλωση.Οποιοδήποτε γενικό πρόβλημα LP μπορεί να μειωθεί σε κανονική μορφή.
Η μείωση του γενικού προβλήματος LP σε κανονική μορφή επιτυγχάνεται με την εισαγωγή νέων (ονομάζονται πρόσθετες) μεταβλητές.
Το σύστημα των περιορισμών (3) αυτού του προβλήματος αποτελείται από τέσσερις ανισότητες. Με την εισαγωγή πρόσθετων μεταβλητών y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0, μπορούμε να πάμε στο σύστημα περιορισμών:

Αυτές οι πρόσθετες μεταβλητές yέχω ένα απολύτως σαφές οικονομικό νόημα, δηλαδή, σημαίνουν το ποσό του αχρησιμοποίητου χρόνου εργασίας (χρόνος διακοπής λειτουργίας του μηχανήματος εγώ-ο τύπος).
Για παράδειγμα, εάν οι μηχανές του πρώτου τύπου δούλευαν και για τις 18 ώρες, τότε x + y = 18, επομένως, y 1 = 0. Επιτρέπουμε όμως την πιθανότητα ατελούς χρήσης του χρόνου λειτουργίας της πρώτης μηχανής x + y<18. В этом случае yΤο 1 παίρνει θετική τιμή και μπορεί να θεωρηθεί ως αχρησιμοποίητο χρονικό όριο. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τη λύση αυτού του προβλήματος από την παράγραφο 3.3.2, x = 12, y= 6, μπορούμε να συμπεράνουμε από το σύστημα περιορισμών (3.9) ότι y 1 = y 2 = y 3 = 0, και y 4 = 12 – 6 = 6. Δηλαδή μηχανές πρώτου, δεύτερου, τρίτου τύπου χρησιμοποιούν πλήρως τον χρόνο εργασίας τους. Αλλά το τέταρτο μηχάνημα είναι μόνο μισό φορτωμένο, 6 ώρες, και, δεδομένου του βέλτιστου σχεδίου, είναι σε αδράνεια. Ίσως, μετά από τέτοια συμπεράσματα, ο επικεφαλής της επιχείρησης να θέλει να το φορτώσει με άλλες εργασίες, να το νοικιάσει για αυτή τη φορά κ.λπ.
Έτσι, εισάγοντας πρόσθετες μεταβλητές, μπορούμε να μειώσουμε οποιονδήποτε περιορισμό τύπου ανισότητας σε μια εξίσωση.

Ας εξετάσουμε το πρόβλημα του μείγματος. Το σύστημα περιορισμών έχει τη μορφή:
Οι ανισότητες στράφηκαν προς το "περισσότερο", επομένως, εισάγοντας πρόσθετες μεταβλητές y 1, y 2, y 3 ≥ 0, πρέπει να αφαιρεθούν από την αριστερή πλευρά για να εξισωθούν με τη δεξιά. Λαμβάνουμε ένα σύστημα περιορισμών σε κανονική μορφή:
Οι μεταβλητές y i θα έχουν επίσης οικονομική λογική. Εάν θυμάστε το πρακτικό περιεχόμενο του προβλήματος, τότε η μεταβλητή y 1 θα σημαίνει την ποσότητα της περίσσειας ουσίας Α στο μείγμα, y 2 θα σημαίνει την ποσότητα της περίσσειας ουσίας ΣΕστο μείγμα y 3 – πλεόνασμα ΜΕστο μείγμα.
Η εργασία εύρεσης της μέγιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να μειωθεί στην εύρεση της ελάχιστης για τη συνάρτηση - φάλόγω της προφανείας της πρότασης max F = –min (– F). Κοιτάξτε την εικόνα: αν κάποια στιγμή x= x 0 λειτουργία y= φά(x) φτάνει στο μέγιστο και μετά η συνάρτηση y= –φά(x), συμμετρικό προς αυτό σε σχέση με τον άξονα ΒΟΔΙ, στο ίδιο σημείο xΤο 0 θα φτάσει στο ελάχιστο και φάμέγιστο = – (– φά min) σε x = x 0 .

Σύναψη.Για να αναπαραστήσουμε το πρόβλημα LP σε κανονική μορφή είναι απαραίτητο:

• να μετατρέψει τις ανισότητες που περιλαμβάνονται στο σύστημα περιορισμών του προβλήματος σε εξισώσεις εισάγοντας πρόσθετες μεταβλητές.
• αν η αντικειμενική συνάρτηση φά→max (μεγιστοποιεί), αντικαθίσταται από τη συνάρτηση – φά→ min (το οποίο ελαχιστοποιείται).

Καθήκοντα MP

Ο γενικός ZLP ονομάζεται <,=,>=)bi (i=1,n) (2) με την επιφύλαξη xj>

Συμμετρικός < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > Κανονικός μικτός.

min f(x) = -max(-f(x))

<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>

Γεωμετρική ερμηνεία της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών του ZLP. Γεωμετρική διατύπωση του ZLP.

Έστω το πρόβλημα f=c1x1+c2x2-max (1).

a11x1+a12x2<=b1 }

am1x1+am2x2<=bm}

x1>=0, x2>=0 (3)

Το σχέδιο του προβλήματος (x1,x2) είναι ένα σημείο στο επίπεδο. Κάθε ανισότητα με-εμείς 2 παραστάσεις. είναι μισό αεροπλάνο. Ένα ημιεπίπεδο είναι ένα κυρτό σύνολο. Κυρτόςονομάζεται ένα σύνολο στο οποίο τα σημεία του τμήματος που συνδέει (x1 και x2) που ανήκουν σε αυτό το σύνολο ανήκουν επίσης στο σύνολο. Το C-ma 2 αντιπροσωπεύει την τομή ημιεπίπεδων. Κατά τη διέλευση μπορείτε να πάρετε:

1) κυρτή πολυγωνική κλειστή περιοχή.

2) κυρτή ανοιχτή πολυγωνική περιοχή

3) ενιαίο σημείο

4) κενό σετ

5) ακτίνα και τμήμα

Γεωμετρική ερμηνεία της αντικειμενικής συνάρτησης:Η συνάρτηση 1 είναι μια οικογένεια παράλληλων ευθειών, οι οποίες ονομάζονται γραμμές επιπέδου (γραμμές σταθερής τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης). Οι επιμέρους παράγωγοι της συνάρτησης ως προς τα x1 και x2 δείχνουν το ρυθμό αύξησης της αντικειμενικής συνάρτησης κατά τις συντεταγμένες των αξόνων. Διάνυσμα κλίσηςδείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης της αντικειμενικής συνάρτησης Για το πρόβλημα 1-3, το διάνυσμα κλίσης = (c1;c2) φεύγει από το σημείο (0,0) και κατευθύνεται στο σημείο με συντεταγμένες (c1;c2). Το διάνυσμα κλίσης είναι κάθετο στις γραμμές επιπέδου. Η τομή ημιεπίπεδων συνήθως ονομάζεται περιοχή αποδεκτών λύσεων (ADD).

Το κύριο θεώρημα του LP. Σχηματικό διάγραμμα της λύσης του ZLP, το οποίο προκύπτει από αυτό το θεώρημα.

Εάν το ZLP έχει μια λύση, τότε η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει σε μια ακραία τιμή σε τουλάχιστον ένα από τα ακραία σημεία του πολυεδρικού σχεδίου. Εάν η αντικειμενική συνάρτηση φτάσει σε μια ακραία τιμή σε περισσότερα από ένα ακραία σημεία, τότε φτάνει σε μια και την ίδια τιμή σε οποιοδήποτε σημείο, που είναι ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός τους. Όταν επιλύετε το ZLP με μη αυτόματο τρόπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε μια καταχώρηση σε πίνακα.

BP		SP -Xm+1 -Xm+2 -Xn
x1	b1o	b11 b12 b1n-m
x2	b2o	b21 b22 b2n-m
xm	bm	bm1 bm2 bmn-m
φά	γιούχα	bo1 bo2 bon-m

Αλγόριθμος της μεθόδου simplex.

1. Φέρτε το μοντέλο προβλήματος σε κανονική μορφή.

2. Βρείτε το αρχικό σχέδιο αναφοράς.

3. γράψτε το πρόβλημα με απλά λόγια. τραπέζι;

5. μετάβαση σε ένα νέο σχέδιο αναφοράς, σε ένα νέο σύμπτωμα. τραπέζι. Για να μεταβείτε σε ένα νέο σχέδιο αναφοράς, αρκεί να αντικαταστήσετε μια βασική μεταβλητή με μια δωρεάν. Η μεταβλητή που περιλαμβάνεται στη βάση και η αντίστοιχη στήλη ανάλυσης καθορίζονται από το μεγαλύτερο απόλυτο αρνητικό στοιχείο της γραμμής f. Η μεταβλητή που εξαιρεί από τη βάση και η αντίστοιχη γραμμή επίλυσης καθορίζονται από τον μικρότερο λόγο simplex, δηλ. τη σχέση των στοιχείων της στήλης μονάδας με το αντίστοιχο στοιχείο της στήλης ανάλυσης. Η αναλογία simplex είναι μια μη αρνητική ποσότητα. Στη διασταύρωση της γραμμής ανάλυσης και της στήλης ανάλυσης υπάρχει ένα στοιχείο επίλυσης, ως προς το οποίο ο μετασχηματισμός του απλού γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο. κανόνας: 1. τα στοιχεία της επιτρεπόμενης συμβολοσειράς χωρίζονται στο επιτρεπόμενο στοιχείο. 2. Τα στοιχεία της στήλης ανάλυσης χωρίζονται στο στοιχείο ανάλυσης και αλλάζουν το πρόσημά τους στο αντίθετο. 3. Τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα αναδιατάσσονται σύμφωνα με τον κανόνα του ορθογωνίου:

bij δις bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi

Το δεύτερο θεώρημα δυαδικότητας.

εάν ένα από τα διπλά προβλήματα έχει ένα βέλτιστο σχέδιο, τότε το άλλο είναι επίσης επιλύσιμο, δηλ. έχει οπτικό σχέδιο. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ακραίες τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων συμπίπτουν (j=από 1 έως n) Σcjxj*= (i=από 1 έως m)Σbiyi* εάν είναι στο πρωτότυπο. πρόβλημα, η αντικειμενική συνάρτηση δεν περιορίζεται στο σύνολο των σχεδίων, τότε στο διπλό πρόβλημα το σύστημα περιορισμών είναι ασυνεπές.

Θεώρημα για την κατάταξη του πίνακα TK.

Η κατάταξη του πίνακα Α του προβλήματος μεταφοράς είναι κατά ένα μικρότερη από τον αριθμό των εξισώσεων: r(A)=m+n-1.

39. Αλγόριθμος για την κατασκευή του αρχικού σχεδίου αναφοράς του ZLP.

Για να βρείτε το αρχικό σχέδιο αναφοράς, μπορούμε να προτείνουμε τα εξής αλγόριθμος:

1. γράψτε το πρόβλημα με τη μορφή πίνακα Jordan έτσι ώστε όλα τα στοιχεία της στήλης των ελεύθερων όρων να είναι μη αρνητικά, π.χ. ικανοποιήθηκε η ανισότητα aio>=0 (i=1,m). Οι εξισώσεις στις οποίες οι ελεύθεροι όροι είναι αρνητικοί πολλαπλασιάζονται πρώτα με -1.

		-x1….. -xn
0=	α1ο	α11…. a1n
…..	…..	………………………..
0=	amo	πμ1…..πμ
f=		-γ1…. -cn

Μεταμορφώστε τον πίνακα χρησιμοποιώντας τα βήματα εξάλειψης Jordan, αντικαθιστώντας τα μηδενικά στην αριστερή στήλη με το αντίστοιχο x. Ταυτόχρονα, σε κάθε βήμα επιτρεπτή μπορεί να επιλεγείοποιαδήποτε στήλη περιέχει τουλάχιστον ένα θετικό στοιχείο. Η σειρά επίλυσης καθορίζεται από τον μικρότερο από τους λόγους των ελεύθερων όρων προς τα αντίστοιχα θετικά στοιχεία της στήλης επίλυσης. Εάν, κατά τη διαδικασία εξάλειψης, συναντηθεί μια σειρά 0, της οποίας όλα τα στοιχεία είναι μηδέν και ο ελεύθερος όρος είναι μη μηδενικός, τότε το σύστημα των εξισώσεων περιορισμού δεν έχει λύσεις. Αν συναντήσουμε μια σειρά 0 στην οποία, εκτός από τον ελεύθερο όρο, δεν υπάρχουν άλλα θετικά στοιχεία, τότε το σύστημα των περιοριστικών εξισώσεων δεν έχει μη αρνητικές λύσεις, εάν η οικογένεια των περιοριστικών εξισώσεων άρθρωση, τότε μετά από έναν ορισμένο αριθμό βημάτων όλα τα μηδενικά στην αριστερή στήλη θα αντικατασταθούν από το x και έτσι θα ληφθεί μια ορισμένη βάση και, κατά συνέπεια, ένα αντίστοιχο σχέδιο αναφοράς.

40. Αλγόριθμος για την κατασκευή του βέλτιστου σχεδίου αναφοράς του ZLP.

Το αρχικό σχέδιο υποστήριξης του Ho εξετάζεται ως προς τη βέλτιστη.

Εάν δεν υπάρχουν αρνητικά στοιχεία στη σειρά f (χωρίς να υπολογίζεται ο ελεύθερος όρος), το σχέδιο - είναι βέλτιστο. Εάν επίσης δεν υπάρχουν μηδενικά στοιχεία στη σειρά f, τότε υπάρχει μόνο ένα βέλτιστο σχέδιο. αν μεταξύ των στοιχείων υπάρχει τουλάχιστον ένα μηδέν, τότε υπάρχει άπειρος αριθμός βέλτιστων σχεδίων. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο στη γραμμή f και δεν υπάρχουν θετικά στοιχεία στην αντίστοιχη στήλη, τότε η αντικειμενική συνάρτηση δεν περιορίζεται στην εφικτή περιοχή. Το πρόβλημα δεν λύνεται. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο στη γραμμή f και σε κάθε στήλη με ένα τέτοιο στοιχείο υπάρχει τουλάχιστον ένα θετικό στοιχείο, τότε μπορείτε να μετακινηθείτε σε ένα νέο σχέδιο αναφοράς που είναι πιο κοντά στο βέλτιστο. Για να γίνει αυτό, η στήλη με ένα αρνητικό στοιχείο στη γραμμή f λαμβάνεται ως επιτρεπτικός; Καθορίζουν τη συμβολοσειρά επίλυσης από την ελάχιστη σχέση απλού και εκτελούν το βήμα εξάλειψης Jordan. Το προκύπτον σχέδιο αναφοράς εξετάζεται και πάλι ως προς τη βέλτιστη. Αυτό επαναλαμβάνεται μέχρι να βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο αναφοράς ή να εξακριβωθεί η μη επιλυσιμότητα του προβλήματος.

Αλγόριθμος της μεθόδου Gomori.

1. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex, βρίσκεται το βέλτιστο σχέδιο για το πρόβλημα. Εάν όλα τα στοιχεία ενός βέλτιστου σχεδίου είναι ακέραιοι, τότε είναι βέλτιστο. Διαφορετικά, μεταβείτε στο βήμα 2

2. Μεταξύ των μη ακέραιων στοιχείων, θα πρέπει να επιλέξετε αυτό του οποίου το κλασματικό μέρος είναι το μεγαλύτερο και, χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη γραμμή του πίνακα simplex, να διατυπώσετε τη σωστή αποκοπή χρησιμοποιώντας τον τύπο

(n-m,s=1)∑ (αkm+1)Xm+1≥(βk)

3. Μετατρέψτε τη διατυπωμένη ανισότητα σε ισοδύναμη μηδενική ισότητα και συμπεριλάβετέ την σε έναν πίνακα απλού με ένα μη ακέραιο βέλτιστο σχέδιο

4. Το προκύπτον εκτεταμένο πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex. Εάν το σχέδιο που προκύπτει δεν είναι ακέραιος, προχωρήστε στο βήμα 2.

Εάν κατά τη διαδικασία επίλυσης εμφανίζεται μια γραμμή με έναν μη ακέραιο ελεύθερο όρο και άλλους ακέραιους συντελεστές, τότε η αντίστοιχη εξίσωση δεν έχει λύση σε ακέραιους αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, το αρχικό πρόβλημα είναι επίσης άλυτο σε ακέραιους αριθμούς, η μέθοδος του Gomori έχει περιορισμένη εφαρμογή. Με τη βοήθειά του, καλό είναι να λύσετε μικρά προβλήματα, γιατί... ο αριθμός των αλληλεπιδράσεων μπορεί να είναι πολύ μεγάλος.

Διάφορες μορφές σημειογραφίας του ZLP (γενική, κανονική, συμμετρική)

Καθήκοντα MP: προσδιορισμός του βέλτιστου σχεδίου, προσδιορισμός του βέλτιστου όγκου παραγωγής, προσδιορισμός του βέλτιστου συνδυασμού καλλιεργειών, σχηματισμός του βέλτιστου πακέτου περιουσιακών στοιχείων, μεγιστοποίηση τραπεζικών κερδών κ.λπ.

Ο γενικός ZLP ονομάζεται πρόβλημα μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης).γραμμική συνάρτηση f=Σcj*xj-max(min) (1) κάτω από γραμμικούς περιορισμούς ∑aij *xj(=<,=,>=)bi (i=1,n) (2) παρέχεται xj>=0(j=1,n1), xj-αυθαίρετο (j=n1+1,n)(3) όπου cj,aij, δισταθεροί αριθμοί .

ΣυμμετρικόςΗ μορφή γραφής του ZLP ονομάζεται πρόβλημα μεγιστοποίησης της συνάρτησης (1) κάτω από γραμμικούς περιορισμούς σε προσημασμένες ανισότητες< либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком >ή = και μη αρνητικές μεταβλητές. ΚανονικόςΗ μορφή γραφής του ZLP ονομάζεται πρόβλημα της μέγιστης συνάρτησης (1) κάτω από γραμμικούς περιορισμούς ισοτήτων και μη αρνητικών μεταβλητών. Οποιαδήποτε άλλη μορφή ονομάζεται μικτός.

min f(x) = -max(-f(x))

Η μετατροπή μιας ανίσωσης σε εξίσωση και αντίστροφα γίνεται με βάση το Λήμμα: για κάθε λύση x1...xn της ανίσωσης a1x1+...+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) και αντίστροφα. Κάθε λύση x1…xn,xn+1 της εξίσωσης 6 και της ανίσωσης 7 αντιστοιχεί σε μια λύση x1…xn της ανίσωσης 5.

Για να μετακινηθείτε από τη φόρμα πίσω sim στην πίσω κανονική φόρμα, πρέπει να εισαγάγετε ισορροπία (εξισορροπητικές) μεταβλητές.Αυτό βασίζεται στο θεώρημα της ανισότητας: οποιαδήποτε ανισότητα μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξίσωση ή απλή ανισότητα.