Η έννοια μιας σύνθετης συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΡΚΕΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Έστω: z - τιμή μεταβλητής με εύρος αλλαγών R; R - αριθμητική γραμμή. D - περιοχή στο επίπεδο συντεταγμένων R2.

Οποιαδήποτε αντιστοίχιση D->R ονομάζεται συνάρτηση δύο μεταβλητών με πεδίο ορισμού D και γράφεται z = f(x;y).

Με άλλα λόγια:

Εάν κάθε ζεύγος (x; y) δύο ανεξάρτητων μεταβλητών από τον τομέα D, σύμφωνα με κάποιον κανόνα, συσχετίζεται με μια συγκεκριμένη τιμή z από το R, τότε μεταβλητή τιμή z ονομάζεται συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών x και y με πεδίο ορισμού D και γραμμένο

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Παράδειγμα 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Το πεδίο ορισμού είναι ένα τμήμα του επιπέδου που βρίσκεται μέσα σε έναν κύκλο ακτίνας r = 3, με το κέντρο στην αρχή, βλέπε σχήμα.

Παράδειγμα 3.Βρείτε και σχεδιάστε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΩΝ ΔΥΟ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

2.1.Γράφημα συνάρτησης δύο μεταβλητών

Ας εξετάσουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα και μια περιοχή D στο επίπεδο xOy. Σε κάθε σημείο M(x;y) από αυτή την περιοχή επαναφέρουμε μια κάθετη στο επίπεδο xOy και σχεδιάζουμε την τιμή z = f(x;y) πάνω της. Γεωμετρική θέση των σημείων που λήφθηκαν

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Αυτοί είναι κύκλοι με κέντρο την αρχή, την ακτίνα R = C1/2 και την εξίσωση

x2 + y2 = R2, βλέπε σχήμα.

Οι γραμμές στάθμης μας επιτρέπουν να αναπαραστήσουμε την επιφάνεια που εξετάζουμε, η οποία δίνει ομόκεντρους κύκλους όταν τεμαχίζεται με επίπεδα z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> και βρείτε .

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του τμήματος.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– στο αεροπλάνο – μια παραβολή.

– στο αεροπλάνο – παραβολή.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – κύκλος.

Η απαιτούμενη επιφάνεια είναι ένα παραβολοειδές περιστροφής.

Απόσταση ανάμεσα σε δύο αυθαίρετα σημείακαι ο (ευκλείδειος) χώρος ονομάζεται αριθμός

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> ονομάζεται ανοιχτός κύκλος ακτίνα με κέντρο στο σημείο r.

Ονομάζεται ανοιχτός κύκλος ακτίνας ε με κέντρο το σημείο Α - ε - περιβαλλοντας ΧΩΡΟΣ σημείο Α.

3 εργασία

Βρείτε και απεικονίστε γραφικά το πεδίο ορισμού της συνάρτησης:

Σχεδιάστε γραμμές επιπέδου συνάρτησης:

3. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μαθηματική ανάλυση, που εισάγεται για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, επεκτείνεται σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών.

Ορισμός:

Ένας σταθερός αριθμός Α ονομάζεται το όριο μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών z = f(x;y) για x -> x0, y -> y0, εάν για οποιαδήποτε

ε >0 υπάρχει δ >0 τέτοιο ώστε |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Το γεγονός αυτό υποδεικνύεται ως εξής:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, η τάση σε ένα οριακό σημείο στο επίπεδο μπορεί να συμβεί σύμφωνα με άπειρος αριθμόςκατευθύνσεις (και όχι απαραίτητα σε ευθεία γραμμή), και επομένως η απαίτηση για ύπαρξη ορίου για μια συνάρτηση δύο (ή περισσότερων) μεταβλητών είναι «πιο σφιχτή» σε σύγκριση με μια συνάρτηση μιας μεταβλητής.

Παράδειγμα 1.Εύρημα .

Λύση.Αφήστε την επιθυμία να φτάσει στο οριακό σημείο http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Τότε

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> εξαρτάται από.

Παράδειγμα 2.Εύρημα .

Λύση.Για κάθε ευθεία το όριο είναι το ίδιο:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Στη συνέχεια

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (τα υπόλοιπα είναι κατ' αναλογία).

Ορισμός.Ο αριθμός καλείται όριοσυναρτήσεις για και , εάν για τέτοια ώστε οι ανισότητες και συνεπάγονται την ανισότητα . Το γεγονός αυτό γράφεται εν συντομία ως εξής:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

πού είναι το οριακό σημείο http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> με τον τομέα ορισμού και ας – οριακό σημείο του συνόλου, δηλαδή το σημείο στο οποίο τείνουν τα ορίσματα ΧΚαι στο.

Ορισμός 1.Λένε τη λειτουργία είναι συνεχής σε ένα σημείο αν:

1) ;

2) , δηλ. .

Ας διατυπώσουμε τον ορισμό της συνέχειας σε ισοδύναμη μορφή..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> είναι συνεχής σε ένα σημείο αν ισχύει η ισότητα

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> ας δώσουμε μια αυθαίρετη προσαύξηση. Η συνάρτηση θα λάβει μια μερική αύξηση κατά Χ

Το http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο πάνω από μια μεταβλητή (πάνω από μια μεταβλητή) αν

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Θεώρημα.Εάν η συνάρτησηορίζεται σε μια συγκεκριμένη γειτονιά ενός σημείου και είναι συνεχής σε αυτό το σημείο, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο σε καθεμία από τις μεταβλητές.

Η αντίστροφη δήλωση δεν είναι αληθινή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΑς αποδείξουμε ότι η συνάρτηση

συνεχής στο σημείο http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > στο σημείο που αντιστοιχεί στην προσαύξηση http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, που σημαίνει ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο της μεταβλητής.

Ομοίως, μπορεί κανείς να αποδείξει τη συνέχεια σε ένα σημείο σε σχέση με μια μεταβλητή.

Ας δείξουμε ότι δεν υπάρχει όριο. Αφήστε ένα σημείο να πλησιάσει ένα σημείο κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από το σημείο. Μετά παίρνουμε

.

Έτσι, προσεγγίζοντας το σημείο http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, λαμβάνουμε διαφορετικές οριακές τιμές. Συνεπάγεται ότι το όριο αυτού η συνάρτηση δεν υπάρχει στο σημείο, πράγμα που σημαίνει τη συνάρτηση http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Άλλες ονομασίες

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Άλλες ονομασίες

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Λύση. Εχουμε:

,

Παράδειγμα 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Παράδειγμα 3.Να βρείτε μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Παράδειγμα 4.Να βρείτε μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Διαφορικά πρώτης τάξης μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών

Οι μερικές διαφορικές της συνάρτησης z = f(x, y) ως προς τις μεταβλητές x και y καθορίζονται, αντίστοιχα, από τους τύπους x(x;y) και f"y(x;y) που υπάρχουν στο σημείο ( x0;y0) και σε κάποια γειτονιά του και είναι συνεχείς σε αυτό το σημείο, τότε, κατ' αναλογία με μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, καθιερώνεται ένας τύπος για την πλήρη αύξηση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

όπου http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Με άλλα λόγια, η συνάρτηση z = f(x, y) είναι διαφορίσιμη στο σημείο (x, y) εάν η αύξησή της Δz είναι ισοδύναμη με τη συνάρτηση:

Εκφραση

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι Δx = dx, Δy=dy:

Το http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> είναι διαφοροποιήσιμο στο σημείο, τότε είναι συνεχές σε αυτό το σημείο.

Η αντίστροφη πρόταση είναι ψευδής, δηλαδή, η συνέχεια είναι μόνο μια απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής συνθήκη για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης. Ας το δείξουμε.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΑς βρούμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Οι τύποι που προκύπτουν χάνουν το νόημά τους στο σημείο http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> δεν έχει μερικά παράγωγα στο σημείο. Στην πραγματικότητα, . Αυτή η συνάρτηση μιας μεταβλητής, όπως είναι γνωστό, δεν έχει παράγωγο στο σημείο http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> δεν υπάρχει στο σημείο Ομοίως, δεν υπάρχει μερική παράγωγος. , είναι προφανώς συνεχής στο σημείο .

Έτσι, δείξαμε ότι μια συνεχής συνάρτηση μπορεί να μην έχει μερικές παραγώγους. Απομένει να εδραιωθεί η σύνδεση μεταξύ της διαφοροποίησης και της ύπαρξης μερικών παραγώγων.

5.4. Σχέση διαφοροποίησης και ύπαρξης μερικών παραγώγων.

Θεώρημα 1.Απαραίτητη προϋπόθεση για διαφοροποίηση.

Αν η συνάρτηση z = f(x, y) είναι διαφορίσιμη στο σημείο M(x, y), τότε έχει μερικές παραγώγους ως προς κάθε μεταβλητή και στο σημείο Μ.

Το αντίστροφο θεώρημα δεν είναι αληθές, δηλαδή η ύπαρξη μερικών παραγώγων είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής συνθήκη για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης.

Θεώρημα 2.Επαρκής προϋπόθεση για διαφοροποίηση. Εάν η συνάρτηση z = f(x, y) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους στο σημείο , τότε είναι διαφορίσιμη στο σημείο (και η συνολική της διαφορά σε αυτό το σημείο εκφράζεται με τον τύπο http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

Παράδειγμα 2.Υπολογίστε 3.021,97

3 εργασία

Υπολογίστε κατά προσέγγιση χρησιμοποιώντας το διαφορικό:

5.6. Κανόνες για τη διαφοροποίηση σύνθετων και άρρητων συναρτήσεων. Πλήρης παράγωγος.

Περίπτωση 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Οι συναρτήσεις u και v είναι συνεχείς συναρτήσεις των ορισμάτων x, y.

Έτσι, η συνάρτηση z είναι μια σύνθετη συνάρτηση των ορισμάτων x και y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Ας υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς όλα τα ορίσματά τους.

Ας ορίσουμε την εργασία να υπολογίσει http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Ας δώσουμε στο όρισμα x μια αύξηση Δx, καθορίζοντας την τιμή του ορίσματος y. Τότε συναρτήσεις δύο μεταβλητών u= φ(x, y) και

v= φ(x, y) θα λάβει μερικές προσαυξήσεις Δxu και Δxv. Συνεπώς, το z=f(u, v) θα λάβει την πλήρη αύξηση που ορίζεται στην παράγραφο 5.2 (διαφορές πρώτης τάξης μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Αν xu→ 0, τότε Δxu → 0 και Δxv → 0 (λόγω της συνέχειας των συναρτήσεων u και v). Περνώντας στο όριο στο Δx→ 0, παίρνουμε:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο (*) παίρνουμε:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Για να προκύψει το τελικό αποτέλεσμα, στους δύο τελευταίους τύπους, αντί για u και v, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τα x+y² και x2+y, αντίστοιχα.

Περίπτωση 2.

Οι συναρτήσεις x και y είναι συνεχείς συναρτήσεις.

Έτσι, η συνάρτηση z=f(x, y) εξαρτάται μέσω των x και y από μία ανεξάρτητη μεταβλητή t, δηλαδή ας υποθέσουμε ότι οι x και y δεν είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής t, και ας ορίσουμε την παράγωγο http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Περίπτωση 3.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο ρόλος της ανεξάρτητης μεταβλητής t παίζεται από τη μεταβλητή x, δηλαδή ότι η συνάρτηση z = f(x, y) εξαρτάται από την ανεξάρτητη μεταβλητή x τόσο άμεσα όσο και μέσω της μεταβλητής y, η οποία είναι συνεχής λειτουργίααπό x.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Παράγωγο x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Εύρεση μερικών παραγώγων

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Ο αποδεδειγμένος κανόνας για τη διαφοροποίηση μιγαδικών συναρτήσεων εφαρμόζεται για την εύρεση της παραγώγου μιας άρρητης συνάρτησης.

Παράγωγο συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά.

Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση

ορίζει το y ως μια άρρητη συνάρτηση του x που έχει παράγωγο

y' = φ'(x)_

Αντικαθιστώντας το y = φ(x) στην εξίσωση F(x, y) = 0, θα έπρεπε να λάβουμε την ταυτότητα 0 = 0, αφού το y = φ(x) είναι μια λύση αυτής της εξίσωσης. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η σταθερά μηδέν μπορεί να θεωρηθεί ως μιγαδική συνάρτηση του x, η οποία εξαρτάται από το x τόσο άμεσα όσο και μέσω του y =φ(x).

Η παράγωγος ως προς το x αυτής της σταθεράς πρέπει να είναι μηδέν. εφαρμόζοντας τον κανόνα (***), παίρνουμε

F'x(x, y) + F'y(x, y) y' = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Ως εκ τούτου,

Το http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> ισχύει τόσο για τη μία όσο και για την άλλη συνάρτηση.

5.7. Συνολικό διαφορικό πρώτης τάξης. Αμετάβλητο της μορφής διαφορικού πρώτης τάξης

Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις για http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> που ορίζονται από ισότητες (*) (βλ. περίπτωση 1 στην ενότητα 5.6 "Κανόνες διαφοροποίησης μιγαδικών και άρρητων συναρτήσεων. Ολική παράγωγος") στον ολικό διαφορικό τύπο.

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Τότε ο τύπος για το ολικό διαφορικό πρώτης τάξης μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών έχει τη μορφή

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Συγκρίνοντας την τελευταία ισότητα με τον τύπο για το πρώτο διαφορικό μιας συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μεταβλητών, μπορούμε να πούμε ότι η έκφραση για το πλήρες διαφορικό πρώτης τάξης μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών έχει την ίδια μορφή που θα είχε αν u και v ήταν ανεξάρτητες μεταβλητές.

Με άλλα λόγια, η μορφή του πρώτου διαφορικού είναι αμετάβλητη, δηλαδή δεν εξαρτάται από το αν οι μεταβλητές u και v είναι ανεξάρτητες μεταβλητές ή εξαρτώνται από άλλες μεταβλητές.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Βρείτε το ολικό διαφορικό πρώτης τάξης μιας μιγαδικής συνάρτησης

z=u2v3, u=x2 αμαρτία y, v=x3·ey.

Λύση Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το ολικό διαφορικό πρώτης τάξης, έχουμε

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x αμαρτ y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Αυτή η έκφραση μπορεί να ξαναγραφτεί έτσι

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=

Η ιδιότητα αμετάβλητου ενός διαφορικού μας επιτρέπει να επεκτείνουμε τον κανόνα για την εύρεση του διαφορικού ενός αθροίσματος, προϊόντος και πηλίκου στην περίπτωση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Αυτό

η συνάρτηση θα είναι ομοιογενής του τρίτου βαθμού για όλα τα πραγματικά x, y και t. Η ίδια συνάρτηση θα είναι οποιοδήποτε ομοιογενές πολυώνυμο σε x και y του τρίτου βαθμού, δηλαδή ένα τέτοιο πολυώνυμο σε κάθε όρο του οποίου το άθροισμα των εκθετών xn είναι ίσο με τρία:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

είναι ομοιογενείς συναρτήσεις βαθμών 1, 0 και (- 1) αντίστοιχα..jpg" width="36" height="15">. Πράγματι,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Υποθέτοντας t=1, βρίσκουμε

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Μερικά παράγωγα http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), γενικά

Με άλλα λόγια, είναι συναρτήσεις των μεταβλητών x και y. Επομένως, μπορούν να βρεθούν και πάλι μερικές παράγωγοι από αυτά. Συνεπώς, υπάρχουν τέσσερις μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, αφού καθεμία από τις συναρτήσεις και μπορεί να διαφοροποιηθεί ως προς το x και το y.

Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι συμβολίζονται ως εξής:

είναι η παράγωγος nης τάξης. Εδώ η συνάρτηση z διαφοροποιήθηκε αρχικά p φορές ως προς το x, και στη συνέχεια n - p φορές ως προς το y.

Για μια συνάρτηση οποιουδήποτε αριθμού μεταβλητών, μερικοί παράγωγοι υψηλότερης τάξης προσδιορίζονται ομοίως.

Π R Και Μ μι r 1.Υπολογίστε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης μιας συνάρτησης

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Παράδειγμα 2.Υπολογίστε και http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Παράδειγμα 3.Υπολογίστε εάν

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy και f"yx ορίζονται και είναι συνεχείς στο σημείο M(x, y) και σε κάποια γειτονιά του, στη συνέχεια σε αυτό το σημείο

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Ως εκ τούτου,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Λύση.

Τα μικτά παράγωγα είναι ίσα.

5.10. Διαφορικά υψηλότερων τάξεων μιας συνάρτησηςnμεταβλητές.

Ολικό διαφορικό δ uσυναρτήσεις πολλών μεταβλητών είναι με τη σειρά τους συνάρτηση των ίδιων μεταβλητών και μπορούμε να προσδιορίσουμε τη συνολική διαφορά αυτής τελευταία λειτουργία. Έτσι, θα λάβουμε ένα διαφορικό δεύτερης τάξης d2u της αρχικής συνάρτησης και, το οποίο θα είναι επίσης συνάρτηση των ίδιων μεταβλητών, και το πλήρες διαφορικό του θα μας οδηγήσει σε ένα διαφορικό τρίτης τάξης d3u της αρχικής συνάρτησης κ.λπ.

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την περίπτωση της συνάρτησης u=f(x, y) δύο μεταβλητών x και y και ας υποθέσουμε ότι οι μεταβλητές x και y είναι ανεξάρτητες μεταβλητές. Α-πριό

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Υπολογίζοντας το d3u με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, παίρνουμε

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Επιπλέον, αυτός ο τύπος πρέπει να γίνει κατανοητός ως εξής: το άθροισμα στις παρενθέσεις πρέπει να αυξηθεί στην ισχύ n, χρησιμοποιώντας τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα, μετά τον οποίο οι εκθέτες y και http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> με οδηγούς συνημίτονα cosα, cos β (α + β = 90°). Στο διάνυσμα, θεωρήστε το σημείο M1(x + Δx, y + Δy). Κατά τη μετακίνηση από το σημείο M στο σημείο M1, η συνάρτηση z = f(x; y) θα λάβει μια πλήρη αύξηση

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> τείνει στο μηδέν (βλ. εικόνα).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

όπου http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, και επομένως παίρνουμε:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> για Δs->0 ονομάζεται προϊόν

συνάρτηση νερού z = f(x; y) στο σημείο (x; y) προς την κατεύθυνση του διανύσματος και συμβολίζεται

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Έτσι, γνωρίζοντας τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης

z = f(x; y) μπορείτε να βρείτε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης προς οποιαδήποτε κατεύθυνση και κάθε μερική παράγωγος είναι μια ειδική περίπτωση της κατευθυντικής παραγώγου.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΝα βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

Κατά συνέπεια, η συνάρτηση z = f(x;y) αυξάνεται σε μια δεδομένη κατεύθυνση.

5. 12 . Βαθμίδα

Η διαβάθμιση μιας συνάρτησης z = f(x; y) είναι ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες είναι οι αντίστοιχες μερικές παράγωγοι αυτής της συνάρτησης

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

δηλαδή.jpg" width="89" height="33 src=">

στο σημείο Μ(3;4).

Λύση.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">

Κατά τη μελέτη πολλών προτύπων στις φυσικές επιστήμες και τα οικονομικά, συναντά κανείς συναρτήσεις δύο (ή περισσότερων) ανεξάρτητων μεταβλητών.

Ορισμός (για συνάρτηση δύο μεταβλητών).Αφήνω Χ , Υ Και Ζ - πλήθη. Αν κάθε ζευγάρι (Χ, y) στοιχεία από σύνολα αντίστοιχα Χ Και Υ δυνάμει κάποιου νόμου φά ταιριάζει με ένα και μόνο στοιχείο z από πολλούς Ζ , μετά το λένε αυτό δίνεται συνάρτηση δύο μεταβλητών z = φά(Χ, y) .

Γενικά τομέας μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών γεωμετρικά μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα ορισμένο σύνολο σημείων ( Χ; y) αεροπλάνο xOy .

Οι βασικοί ορισμοί που σχετίζονται με συναρτήσεις πολλών μεταβλητών είναι μια γενίκευση των αντίστοιχων ορισμούς για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής .

Ενα μάτσο ρεπου ονομάζεται τομέα της συνάρτησης z, και το σετ μι – πολλές έννοιες του. Μεταβλητές ΧΚαι yσε σχέση με τη λειτουργία zονομάζονται επιχειρήματά του. Μεταβλητός zονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.

Ιδιωτικές αξίες επιχειρημάτων

αντιστοιχεί στην ιδιωτική αξία της συνάρτησης

Τομέας συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Αν συνάρτηση πολλών μεταβλητών (για παράδειγμα, δύο μεταβλητών) δίνεται από τον τύπο z = φά(Χ, y) , Οτι περιοχή ορισμού του είναι το σύνολο όλων αυτών των σημείων του επιπέδου x0y, για το οποίο η έκφραση φά(Χ, y) βγάζει νόημα και αποδέχεται πραγματικές αξίες. Οι γενικοί κανόνες για τον τομέα μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών προέρχονται από γενικοί κανόνεςΓια τομέας ορισμού μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Η διαφορά είναι ότι για μια συνάρτηση δύο περιοχή μεταβλητώνορισμός είναι ένα ορισμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο, και όχι μια ευθεία γραμμή, όπως για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής. Για λειτουργίες των τριώνμεταβλητές, το πεδίο ορισμού είναι το αντίστοιχο σύνολο σημείων στον τρισδιάστατο χώρο και για μια συνάρτηση nμεταβλητές - το αντίστοιχο σύνολο σημείων της περίληψης n-διαστατικός χώρος.

Τομέας συνάρτησης δύο μεταβλητών με ρίζα nου βαθμού

Στην περίπτωση που μια συνάρτηση δύο μεταβλητών δίνεται από τον τύπο και n - φυσικός αριθμός :

Αν nείναι ένας ζυγός αριθμός, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου που αντιστοιχεί σε όλες τις τιμές της ριζικής έκφρασης που είναι μεγαλύτερες ή ίσες με μηδέν, δηλαδή

Αν nείναι περιττός αριθμός, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο οποιωνδήποτε τιμών, δηλαδή ολόκληρο το επίπεδο x0y .

Τομέας συνάρτησης ισχύος δύο μεταβλητών με ακέραιο εκθέτη

:

Αν ένα- θετικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το επίπεδο x0y ;

Αν ένα- αρνητικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο τιμών που διαφέρουν από το μηδέν: .

Τομέας συνάρτησης ισχύος δύο μεταβλητών με κλασματικό εκθέτη

Στην περίπτωση που η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο :

εάν είναι θετικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο εκείνων των σημείων στο επίπεδο στο οποίο παίρνει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με μηδέν: ;

αν - είναι αρνητικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των σημείων στο επίπεδο στο οποίο παίρνει τιμές μεγαλύτερες από το μηδέν: .

Τομέας ορισμού λογαριθμικής συνάρτησης δύο μεταβλητών

Λογαριθμική συνάρτηση δύο μεταβλητών ορίζεται με την προϋπόθεση ότι το όρισμά του είναι θετικό, δηλαδή το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο εκείνων των σημείων στο επίπεδο στο οποίο παίρνει τιμές μεγαλύτερες από το μηδέν: .

Τομέας ορισμού τριγωνομετρικών συναρτήσεων δύο μεταβλητών

Τομέας συνάρτησης - ολόκληρο το αεροπλάνο x0y .

Τομέας συνάρτησης - ολόκληρο το αεροπλάνο x0y .

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το επίπεδο x0y

Τομέας συνάρτησης - ολόκληρο το αεροπλάνο x0y, εκτός από ζεύγη αριθμών για τα οποία παίρνει τιμές.

Πεδίο ορισμού αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων δύο μεταβλητών

Τομέας συνάρτησης .

Τομέας συνάρτησης - το σύνολο των σημείων στο επίπεδο για τα οποία .

Τομέας συνάρτησης - ολόκληρο το αεροπλάνο x0y .

Τομέας συνάρτησης - ολόκληρο το αεροπλάνο x0y .

Το πεδίο ορισμού ενός κλάσματος ως συνάρτηση δύο μεταβλητών

Εάν μια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλα τα σημεία του επιπέδου στα οποία .

Τομέας γραμμικής συνάρτησης δύο μεταβλητών

Αν η συνάρτηση δίνεται από τύπο της μορφής z = τσεκούρι + με + ντο , τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το επίπεδο x0y .

Παράδειγμα 1.

Λύση. Σύμφωνα με τους κανόνες για το πεδίο ορισμού, συνθέτουμε μια διπλή ανισότητα

Πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την ανισότητα και παίρνουμε

Η παράσταση που προκύπτει καθορίζει τον τομέα ορισμού αυτής της συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Παράδειγμα 2.Βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

§1. Η έννοια της συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Ας υπάρχει nμεταβλητές ποσότητες. Κάθε σετ
δηλώνει ένα σημείο n- σετ διαστάσεων
(Π-διάνυσμα διαστάσεων).

Αφήστε δεδομένα σύνολα
Και
.

ΕΑΒ. Αν κάθε σημείο
ταιριάζει με τον ενικό αριθμό
, τότε λέμε ότι δίνεται αριθμητική συνάρτηση nμεταβλητές:

.

ονομάζεται πεδίο ορισμού,
- ένα σύνολο τιμών μιας δεδομένης συνάρτησης.

Οταν n= 2 αντί
συνήθως γράφουν Χ, y, z. Τότε η συνάρτηση δύο μεταβλητών έχει τη μορφή:

z= φά(Χ, y).

Για παράδειγμα,
- συνάρτηση δύο μεταβλητών.

- συνάρτηση τριών μεταβλητών.

Γραμμική συνάρτηση nμεταβλητές.

ΕΑΒ. Γράφημα συνάρτησης nονομάζονται μεταβλητές n- διαστατική υπερεπιφάνεια στο διάστημα
, κάθε σημείο του οποίου προσδιορίζεται με συντεταγμένες

Για παράδειγμα, ένα γράφημα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών z= φά(Χ, y) είναι μια επιφάνεια σε τρισδιάστατο χώρο, κάθε σημείο της οποίας προσδιορίζεται με συντεταγμένες ( Χ, y, z) , Οπου
, Και
.

Δεδομένου ότι δεν είναι δυνατό να απεικονιστεί ένα γράφημα μιας συνάρτησης τριών ή περισσότερων μεταβλητών, θα εξετάσουμε κυρίως (για λόγους σαφήνειας) συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Η γραφική παράσταση συναρτήσεων δύο μεταβλητών είναι αρκετά δύσκολη υπόθεση. Η κατασκευή των λεγόμενων γραμμών επιπέδου μπορεί να προσφέρει σημαντική βοήθεια στην επίλυση αυτού του προβλήματος.

ΕΑΒ. Γραμμή επιπέδου συνάρτησης δύο μεταβλητών z= φά(Χ, y) ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου HOU, που είναι η προβολή της τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά επίπεδο παράλληλο HOU.Σε κάθε σημείο της γραμμής επιπέδου η συνάρτηση έχει την ίδια τιμή. Οι γραμμές επιπέδου περιγράφονται από την εξίσωση φά(Χ, y)=γ, Οπου Με– έναν ορισμένο αριθμό. Υπάρχουν άπειρες γραμμές επιπέδου και μία από αυτές μπορεί να σχεδιαστεί σε κάθε σημείο του τομέα ορισμού.

ΕΑΒ. Λειτουργία επιπέδου επιφάνειας nμεταβλητές y= φά (
) ονομάζεται υπερεπιφάνεια στο διάστημα
, σε κάθε σημείο του οποίου η τιμή της συνάρτησης είναι σταθερή και ίση με μια ορισμένη τιμή Με. Εξίσωση στάθμης επιφάνειας: φά (
)=s.

Παράδειγμα. Γράφημα μια συνάρτηση δύο μεταβλητών

.

.

Όταν c=1:
;
.

Με c=4:
;
.

Στο c=9:
;
.

Οι γραμμές επιπέδου είναι ομόκεντροι κύκλοι, η ακτίνα των οποίων μειώνεται με την αύξηση z.

§2. Όριο και συνέχεια συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, ορίζονται οι ίδιες έννοιες με τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Για παράδειγμα, μπορείτε να δώσετε ορισμούς του ορίου και της συνέχειας μιας συνάρτησης.

ΕΑΒ. Ο αριθμός Α ονομάζεται όριο μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών z= φά(Χ, y) στο
,
και ορίζεται
, εάν υπάρχει θετικός αριθμός υπάρχει θετικός αριθμός , τέτοια ώστε αν το σημείο
μακριά από το σημείο
λιγότερη απόσταση , μετά τις ποσότητες φά(Χ, y) και A διαφέρουν κατά λιγότερο από .

ΕΑΒ. Εάν η συνάρτηση z= φά(Χ, y) ορίζεται στο σημείο
και έχει όριο σε αυτό το σημείο ίσο με την τιμή της συνάρτησης
, τότε ονομάζεται συνεχής σε ένα δεδομένο σημείο.

.

§3. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

Θεωρήστε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών
.

Ας διορθώσουμε την τιμή ενός από τα ορίσματά του, για παράδειγμα , βάζοντας
. Στη συνέχεια η συνάρτηση
υπάρχει συνάρτηση μιας μεταβλητής . Αφήστε το να έχει παράγωγο στο σημείο :

.

Αυτή η παράγωγος ονομάζεται μερική παράγωγος (ή μερική παράγωγος πρώτης τάξης) της συνάρτησης
Με στο σημείο
και ορίζεται:
;
;
;
.

Η διαφορά ονομάζεται μερική αύξηση και ορίζεται
:

Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω σημειώσεις, μπορούμε να γράψουμε

.

Ορίζεται ομοίως

.

Μερική παράγωγοςσυναρτήσεις πολλών μεταβλητών σε μία από αυτές τις μεταβλητές ονομάζεται το όριο του λόγου της μερικής αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση της αντίστοιχης ανεξάρτητης μεταβλητής, όταν αυτή η αύξηση τείνει στο μηδέν.

Κατά την εύρεση της μερικής παραγώγου σε σχέση με οποιοδήποτε όρισμα, τα άλλα ορίσματα θεωρούνται σταθερά. Όλοι οι κανόνες και οι τύποι για τη διαφοροποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής ισχύουν για μερικές παραγώγους συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

Σημειώστε ότι οι μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης είναι συναρτήσεις των ίδιων μεταβλητών. Αυτές οι συναρτήσεις, με τη σειρά τους, μπορούν να έχουν μερικές παραγώγους, οι οποίες ονομάζονται δεύτερα επιμέρους παράγωγα(ή μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης) της αρχικής συνάρτησης.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση
έχει τέσσερις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης, οι οποίες συμβολίζονται ως εξής:

;
;

;
.

Και
- μικτά επιμέρους παράγωγα.

Παράδειγμα.Βρείτε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης για μια συνάρτηση

.

Λύση.
,
.

,
.

,
.

Ασκηση.

1. Βρείτε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης για συναρτήσεις

,
;

2. Για λειτουργία
αποδείξει ότι
.

Πλήρες διαφορικό συναρτήσεις πολλών μεταβλητών.

Με ταυτόχρονες αλλαγές τιμών ΧΚαι στολειτουργία
θα αλλάξει κατά ένα ποσό που ονομάζεται συνολική αύξηση της συνάρτησης z στο σημείο
. Ακριβώς όπως στην περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, προκύπτει το πρόβλημα της κατά προσέγγιση αντικατάστασης της αύξησης
επί γραμμική συνάρτησηαπό
Και
. Ο ρόλος της γραμμικής προσέγγισης εκτελείται από πλήρες διαφορικόΧαρακτηριστικά:

Συνολική διαφορά δεύτερης τάξης:

=
.

=
.

ΣΕ γενική εικόναπλήρες διαφορικό Π-η παραγγελία έχει τη μορφή:

Κατευθυντική παράγωγος. Βαθμίδα.

Αφήστε τη λειτουργία z= φά(Χ, y) ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου M( Χ, y) Και - κάποια κατεύθυνση που καθορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα
. Οι συντεταγμένες ενός μοναδιαίου διανύσματος εκφράζονται μέσω των συνημιτόνων των γωνιών που σχηματίζονται από το διάνυσμα και τους άξονες συντεταγμένων και ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης:

,

.

Όταν μετακινείτε το σημείο M( Χ, y) προς αυτή την κατεύθυνση μεγάλο ακριβώς
λειτουργία zθα λάβει προσαύξηση

ονομάζεται η αύξηση της συνάρτησης σε μια δεδομένη κατεύθυνση μεγάλο.

μι αν ΜΜ 1 =∆ μεγάλο, Οτι

Τ

πότε

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ

και τα λοιπά. Παράγωγο λειτουργίες z= φά(Χ, y) προς ονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς αυτή την κατεύθυνση προς το μέγεθος της μετατόπισης Δ μεγάλο καθώς το τελευταίο τείνει στο μηδέν:

Η κατευθυντική παράγωγος χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Προφανώς, τα επί μέρους παράγωγα Και αντιπροσωπεύουν παράγωγα σε κατευθύνσεις παράλληλες προς τους άξονες Βόδι Και Oy. Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό

Παράδειγμα. Υπολογίστε την παράγωγο μιας συνάρτησης
στο σημείο (1;1) προς την κατεύθυνση
.

ΕΑΒ. Βαθμίδαλειτουργίες z= φά(Χ, y) είναι ένα διάνυσμα με συντεταγμένες ίσες με μερικές παραγώγους:

.

Εξετάστε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων
Και
:

Είναι εύκολο να το δεις αυτό
, δηλ. η κατευθυντική παράγωγος είναι ίση με το βαθμωτό γινόμενο της βαθμίδας και του μοναδιαίου διανύσματος κατεύθυνσης .

Επειδή η
, τότε το βαθμωτό γινόμενο είναι μέγιστο όταν τα διανύσματα έχουν τις ίδιες κατευθύνσεις. Έτσι, η διαβάθμιση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο καθορίζει την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο και το μέτρο της βαθμίδας είναι ίσο με το μέγιστο ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης.

Γνωρίζοντας τη διαβάθμιση μιας συνάρτησης, μπορεί κανείς να κατασκευάσει τοπικά γραμμές επιπέδου συνάρτησης.

Θεώρημα. Ας δοθεί μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση z= φά(Χ, y) και στο σημείο
η κλίση της συνάρτησης δεν είναι μηδέν:
. Τότε η κλίση είναι κάθετη στη γραμμή στάθμης που διέρχεται από το δεδομένο σημείο.

Έτσι, αν, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο σημείο, κατασκευάσουμε τη διαβάθμιση της συνάρτησης και ένα μικρό μέρος της γραμμής στάθμης κάθετα σε αυτήν σε κοντινά σημεία, τότε μπορούμε (με κάποιο σφάλμα) να κατασκευάσουμε γραμμές επιπέδου.

Τοπικό άκρο συνάρτησης δύο μεταβλητών

Αφήστε τη λειτουργία
καθορισμένη και συνεχής σε κάποια γειτονιά του σημείου
.

ΕΑΒ. Τελεία
ονομάζεται τοπικό μέγιστο σημείο της συνάρτησης
, αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου , στην οποία για οποιοδήποτε σημείο
ισχύει η ανισότητα:

.

Παρομοίως εισάγεται η έννοια του τοπικού ελάχιστου.

Θεώρημα (απαραίτητη προϋπόθεση για τοπικό άκρο).

Για μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση
είχε τοπικό εξτρέμ στο σημείο
, είναι απαραίτητο όλες οι επιμέρους παράγωγοί της πρώτης τάξης σε αυτό το σημείο να είναι ίσες με μηδέν:

Άρα, τα σημεία πιθανής παρουσίας ενός άκρου είναι εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη και η κλίση της είναι ίση με 0:
. Όπως και στην περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, τέτοια σημεία ονομάζονται ακίνητα.

Μέχρι στιγμής εξετάσαμε το απλούστερο λειτουργικό μοντέλο, στο οποίο λειτουργίαεξαρτάται από το μόνο πράγμα διαφωνία. Αλλά όταν μελετάμε διάφορα φαινόμενα του γύρω κόσμου, συχνά συναντάμε ταυτόχρονες αλλαγές σε περισσότερες από δύο ποσότητες και πολλές διαδικασίες μπορούν να επισημοποιηθούν αποτελεσματικά συνάρτηση πολλών μεταβλητών, Οπου - επιχειρήματαή ανεξάρτητες μεταβλητές. Ας αρχίσουμε να αναπτύσσουμε το θέμα με το πιο συνηθισμένο στην πράξη. συναρτήσεις δύο μεταβλητών .

Συνάρτηση δύο μεταβλητώνπου ονομάζεται νόμος, σύμφωνα με την οποία κάθε ζεύγος τιμών ανεξάρτητες μεταβλητές(επιχειρήματα) από τομέα ορισμούαντιστοιχεί στην τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής (συνάρτησης).

Αυτή η λειτουργία ορίζεται ως εξής:

Είτε , είτε άλλο τυπικό γράμμα:

Αφού το διατεταγμένο ζεύγος τιμών "x" και "y" καθορίζει σημείο στο αεροπλάνο, τότε η συνάρτηση γράφεται επίσης μέσω , όπου είναι ένα σημείο στο επίπεδο με συντεταγμένες . Αυτή η σημείωση χρησιμοποιείται ευρέως σε ορισμένες πρακτικές εργασίες.

Γεωμετρική σημασία συνάρτησης δύο μεταβλητώνπολύ απλό. Εάν μια συνάρτηση μιας μεταβλητής αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη γραμμή σε ένα επίπεδο (για παράδειγμα, η γνωστή σχολική παραβολή), τότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών βρίσκεται σε τρισδιάστατο χώρο. Στην πράξη, τις περισσότερες φορές έχουμε να αντιμετωπίσουμε επιφάνεια, αλλά μερικές φορές το γράφημα μιας συνάρτησης μπορεί να είναι, για παράδειγμα, μια χωρική γραμμή ή ακόμη και ένα μόνο σημείο.

Γνωρίζουμε καλά το στοιχειώδες παράδειγμα μιας επιφάνειας από το μάθημα αναλυτική γεωμετρία- Αυτό επίπεδο. Υποθέτοντας ότι , η εξίσωση μπορεί εύκολα να ξαναγραφτεί ως λειτουργική μορφή:

Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό μιας συνάρτησης 2 μεταβλητών είναι το ήδη δηλωμένο τομέα.

Τομέας συνάρτησης δύο μεταβλητώνονομάζεται σετ Ολοιζεύγη για τα οποία υπάρχει η τιμή.

Γραφικά, το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το αεροπλάνο ή μέρος αυτού. Έτσι, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων -για τον λόγο ότι για κάθεσημείο υπάρχει τιμή.

Αλλά μια τέτοια αδράνεια δεν συμβαίνει πάντα, φυσικά:

Σαν δύο μεταβλητές;

Θεωρώντας διάφορες έννοιεςσυναρτήσεις πολλών μεταβλητών, είναι χρήσιμο να σχεδιάσουμε αναλογίες με τις αντίστοιχες έννοιες των συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ειδικότερα, όταν υπολογίζετε τομέα ορισμούπληρωσαμε Ιδιαίτερη προσοχήγια εκείνες τις συναρτήσεις που περιέχουν κλάσματα, ρίζες ακόμη και πτυχίο, λογάριθμοι κλπ. Όλα είναι ακριβώς τα ίδια εδώ!

Το έργο της εύρεσης του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών με σχεδόν 100% πιθανότητα θα συναντηθεί στη θεματική σας εργασία, επομένως θα αναλύσω έναν αξιοπρεπή αριθμό παραδειγμάτων:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: αφού ο παρονομαστής δεν μπορεί να πάει στο μηδέν, τότε:

Απάντηση: ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων εκτός από τα σημεία που ανήκουν στην ευθεία

Ναι, ναι, είναι καλύτερα να γράψετε την απάντηση με αυτό το στυλ. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών δηλώνεται σπάνια με οποιοδήποτε σύμβολο και χρησιμοποιείται πολύ πιο συχνά λεκτική περιγραφήκαι/ή σχέδιο.

Αν κατά συνθήκη απαιτείταικάντε ένα σχέδιο, τότε θα ήταν απαραίτητο να απεικονίσετε το επίπεδο συντεταγμένων και διακεκομμένη γραμμήκάντε μια ευθεία γραμμή. Η διακεκομμένη γραμμή δείχνει ότι η γραμμή Εξαιρείταιστον τομέα του ορισμού.

Όπως θα δούμε λίγο αργότερα, σε πιο δύσκολα παραδείγματα δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς σχέδιο καθόλου.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική:

Απάντηση: ημιεπίπεδο

Γραφική εικόναεδώ είναι επίσης πρωτόγονο: σχεδιάζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, στερεόςτραβήξτε μια ευθεία γραμμή και σκιάστε την κορυφή μισό αεροπλάνο. Η συμπαγής γραμμή δείχνει το γεγονός ότι περιλαμβάνεταιστον τομέα του ορισμού.

Προσοχή!Εάν δεν καταλαβαίνετε ΤΙΠΟΤΑ από το δεύτερο παράδειγμα, μελετήστε/επαναλάβετε το μάθημα λεπτομερώς Γραμμικές ανισότητες– χωρίς αυτόν θα είναι πολύ δύσκολο!

Μικρογραφία για ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 3

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση δύο γραμμών και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ας συνεχίσουμε το ζέσταμα:

Παράδειγμα 4

Και απεικονίστε το στο σχέδιο

Λύση: είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι αυτή είναι η διατύπωση του προβλήματος απαιτείεκτέλεση του σχεδίου (ακόμα και αν το πεδίο ορισμού είναι πολύ απλό). Αλλά πρώτα, αναλυτικά: η ρίζα της έκφρασης πρέπει να είναι μη αρνητική: και, δεδομένου ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να πάει στο μηδέν, η ανισότητα γίνεται αυστηρή:

Πώς να προσδιορίσετε την περιοχή που ορίζει η ανισότητα; Προτείνω τον ίδιο αλγόριθμο ενεργειών όπως στη λύση γραμμικές ανισότητες.

Πρώτα ζωγραφίζουμε γραμμή, το οποίο έχει οριστεί αντίστοιχη ισότητα. Η εξίσωση καθορίζει κύκλοςμε κέντρο στην αρχή μιας ακτίνας που χωρίζει το επίπεδο συντεταγμένων σε δύομέρη - "εσωτερικό" και "εξωτερικό" του κύκλου. Αφού έχουμε ανισότητα αυστηρός, τότε ο ίδιος ο κύκλος σίγουρα δεν θα περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού και επομένως πρέπει να σχεδιαστεί διακεκομμένη γραμμή.

Τώρα ας το πάρουμε αυθαίρετοςεπίπεδο σημείο, που δεν ανήκει σεκύκλο, και αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του στην ανισότητα. Ο ευκολότερος τρόπος, φυσικά, είναι να επιλέξετε την προέλευση:

Ελήφθη ψευδής ανισότητα, έτσι, σημείο δεν ικανοποιείανισότητα Επιπλέον, αυτή η ανισότητα δεν ικανοποιείται από κανένα σημείο που βρίσκεται μέσα στον κύκλο και, επομένως, το επιθυμητό πεδίο ορισμού είναι το εξωτερικό του μέρος. Η περιοχή ορισμού εκκολάπτεται παραδοσιακά:

Ο καθένας μπορεί να πάρει οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στη σκιασμένη περιοχή και να βεβαιωθεί ότι οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την ανισότητα. Παρεμπιπτόντως, η αντίθετη ανισότητα δίνει κύκλοςμε κέντρο στην αρχή, ακτίνα .

Απάντηση: εξωτερικό μέρος του κύκλου

Ας επιστρέψουμε στη γεωμετρική έννοια του προβλήματος: βρήκαμε το πεδίο ορισμού και το σκιάσαμε, τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σημείο της σκιασμένης περιοχής υπάρχει μια τιμή "zet" και γραφικά η συνάρτηση είναι το εξής επιφάνεια:

Το σχηματικό σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι αυτή η επιφάνεια βρίσκεται σε σημεία πάνω απόεπίπεδο (κοντά και μακριά οκτάρια από εμάς), σε μερικά μέρη - κάτω απόεπίπεδο (αριστερό και δεξί οκτάντ σε σχέση με εμάς). Η επιφάνεια περνά και από τους άξονες. Αλλά η συμπεριφορά της συνάρτησης ως τέτοιας δεν είναι πολύ ενδιαφέρουσα για εμάς τώρα - αυτό που είναι σημαντικό είναι αυτό όλα αυτά συμβαίνουν αποκλειστικά στο πεδίο του ορισμού. Αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στον κύκλο, τότε δεν θα υπάρχει επιφάνεια εκεί (αφού δεν υπάρχει "zet"), όπως αποδεικνύεται από τον στρογγυλό χώρο στη μέση της εικόνας.

Παρακαλώ κατανοήστε καλά αυτό το παράδειγμα, γιατί σε αυτό εγώ με περισσότερες λεπτομέρειεςεξήγησε την ίδια την ουσία του προβλήματος.

Την παρακάτω εργασία πρέπει να την λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 5

Μια σύντομη λύση και σχέδιο στο τέλος του μαθήματος. Γενικά, στο υπό εξέταση θέμα μεταξύ Γραμμές 2ης παραγγελίαςτο πιο δημοφιλές είναι ο κύκλος, αλλά, ως επιλογή, μπορούν να "σπρώξουν" στο πρόβλημα έλλειψη, υπερβολήή παραβολή.

Ας ανεβούμε:

Παράδειγμα 6

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική: και ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν: . Έτσι, το πεδίο ορισμού καθορίζεται από το σύστημα.

Αντιμετωπίζουμε την πρώτη συνθήκη χρησιμοποιώντας το τυπικό σχήμα που συζητήθηκε στο μάθημα. Γραμμικές ανισότητες: σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή και προσδιορίστε το ημιεπίπεδο που αντιστοιχεί στην ανίσωση. Γιατί η ανισότητα μη αυστηρή, τότε η ίδια η ευθεία θα είναι επίσης μια λύση.

Με τη δεύτερη συνθήκη του συστήματος, όλα είναι επίσης απλά: η εξίσωση καθορίζει τον άξονα τεταγμένων, και αφού , τότε θα πρέπει να εξαιρεθεί από το πεδίο ορισμού.

Ας σχεδιάσουμε το σχέδιο, χωρίς να ξεχνάμε ότι η συμπαγής γραμμή υποδηλώνει την είσοδό του στην περιοχή ορισμού και η διακεκομμένη γραμμή δείχνει την εξαίρεση από αυτήν την περιοχή:

Πρέπει να σημειωθεί ότι εδώ είμαστε ήδη αναγκαστικάκάντε ένα σχέδιο. Και αυτή η κατάσταση είναι χαρακτηριστική - σε πολλές εργασίες, μια λεκτική περιγραφή της περιοχής είναι δύσκολη, και ακόμα κι αν την περιγράψετε, πιθανότατα θα γίνετε ελάχιστα κατανοητοί και θα αναγκαστείτε να απεικονίσετε την περιοχή.

Απάντηση: τομέα:

Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια απάντηση χωρίς σχέδιο φαίνεται πραγματικά υγρή.

Ας το επαναλάβουμε ξανά γεωμετρική σημασίαληφθέν αποτέλεσμα: στη σκιασμένη περιοχή υπάρχει ένα γράφημα της συνάρτησης, το οποίο αναπαριστά επιφάνεια τρισδιάστατου χώρου. Αυτή η επιφάνεια μπορεί να βρίσκεται πάνω/κάτω από το επίπεδο, ή μπορεί να τέμνει το επίπεδο - σε αυτήν την περίπτωση, όλα αυτά είναι παράλληλα με εμάς. Το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης της επιφάνειας είναι σημαντικό, και είναι σημαντικό να βρεθεί σωστά η περιοχή στην οποία υπάρχει.

Παράδειγμα 7

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Ένα κατά προσέγγιση παράδειγμα τελικής εργασίας στο τέλος του μαθήματος.

Δεν είναι ασυνήθιστο οι φαινομενικά απλές λειτουργίες να παράγουν μια μακροπρόθεσμη λύση:

Παράδειγμα 8

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: χρησιμοποιώντας τύπος τετραγωνικής διαφοράς, ας παραγοντοποιήσουμε τη ριζική έκφραση: .

Το γινόμενο δύο παραγόντων είναι μη αρνητικό , Οταν και τα δυοΟι πολλαπλασιαστές είναι μη αρνητικοί: ΉΟταν και τα δυομη θετικό: . Αυτό είναι ένα τυπικό χαρακτηριστικό. Επομένως, πρέπει να λύσουμε δύο συστήματα γραμμικών ανισοτήτωνΚαι ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣλαμβανόμενες περιοχές. Σε παρόμοια κατάσταση, αντί για τυπικός αλγόριθμοςΗ μέθοδος του επιστημονικού, ή μάλλον, του πρακτικού poking λειτουργεί πολύ πιο γρήγορα =)

Σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές που χωρίζουν το επίπεδο συντεταγμένων σε 4 "γωνίες". Παίρνουμε κάποιο σημείο που ανήκει στην πάνω «γωνία», για παράδειγμα, ένα σημείο και αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στις εξισώσεις του 1ου συστήματος: . Λαμβάνονται οι σωστές ανισότητες, που σημαίνει ότι η λύση στο σύστημα είναι όλαπάνω γωνιά". Σκίαση.

Τώρα παίρνουμε το σημείο που ανήκει στη δεξιά "γωνία". Παραμένει το 2ο σύστημα, στο οποίο αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου: . Η δεύτερη ανισότητα δεν είναι αληθής, επομένως, και όλαη σωστή «γωνιά» δεν είναι λύση στο σύστημα.

Μια παρόμοια ιστορία είναι και με την αριστερή «γωνία», η οποία επίσης δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο εφαρμογής του ορισμού.

Και τέλος, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του πειραματικού σημείου της κάτω «γωνίας» στο 2ο σύστημα: . Και οι δύο ανισότητες είναι αληθείς, πράγμα που σημαίνει ότι η λύση στο σύστημα είναι και όλαη κάτω "γωνία", η οποία πρέπει επίσης να είναι σκιασμένη.

Στην πραγματικότητα, φυσικά, δεν χρειάζεται να το περιγράψουμε τόσο λεπτομερώς - όλες οι σχολιαζόμενες ενέργειες εκτελούνται εύκολα προφορικά!

Απάντηση: το πεδίο ορισμού είναι Ενωσηλύσεις συστήματος .

Όπως μπορείτε να μαντέψετε, μια τέτοια απάντηση είναι απίθανο να λειτουργήσει χωρίς σχέδιο, και αυτή η περίσταση σας αναγκάζει να σηκώσετε ένα χάρακα και ένα μολύβι, παρόλο που η κατάσταση δεν το απαιτούσε.

Και αυτό είναι το καρύδι σου:

Παράδειγμα 9

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Ένας καλός μαθητής πάντα χάνει τους λογάριθμους:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: το όρισμα του λογάριθμου είναι αυστηρά θετικό, επομένως το πεδίο ορισμού δίνεται από το σύστημα.

Η ανισότητα δείχνει το δεξιό ημιεπίπεδο και αποκλείει τον άξονα.

Με τη δεύτερη προϋπόθεση η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη, αλλά και διαφανής. Ας θυμηθούμε ημιτονοειδής. Το επιχείρημα είναι «Igrek», αλλά αυτό δεν πρέπει να με μπερδεύει – Igrek, so Igrek, Zyu, so Zyu. Πού είναι το ημίτονο μεγαλύτερο από το μηδέν; Το ημίτονο είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, για παράδειγμα, στο διάστημα. Εφόσον η συνάρτηση είναι περιοδική, υπάρχουν άπειρα πολλά τέτοια διαστήματα και σε συμπτυσσόμενη μορφή η λύση της ανισότητας μπορεί να γραφτεί ως εξής:
, όπου είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Ένας άπειρος αριθμός διαστημάτων, φυσικά, δεν μπορεί να απεικονιστεί, επομένως θα περιοριστούμε στο διάστημα και τους γείτονές του:

Ας ολοκληρώσουμε το σχέδιο, χωρίς να ξεχνάμε ότι σύμφωνα με την πρώτη προϋπόθεση, το πεδίο δραστηριότητάς μας περιορίζεται αυστηρά στο δεξί μισό επίπεδο:

χμ... αποδείχθηκε ότι ήταν ένα είδος σχεδίασης φαντασμάτων...μια καλή αναπαράσταση ανώτερων μαθηματικών...

Απάντηση:

Ο επόμενος λογάριθμος είναι δικός σας:

Παράδειγμα 11

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Κατά τη διάρκεια της λύσης θα πρέπει να χτίσετε παραβολή, το οποίο θα χωρίσει το επίπεδο σε 2 μέρη - το "μέσα" που βρίσκεται μεταξύ των κλαδιών και το εξωτερικό μέρος. Η μέθοδος εύρεσης του απαιτούμενου εξαρτήματος έχει εμφανιστεί επανειλημμένα στο άρθρο Γραμμικές ανισότητεςκαι προηγούμενα παραδείγματα σε αυτό το μάθημα.

Λύση, σχέδιο και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Τα τελευταία καρύδια της παραγράφου είναι αφιερωμένα στις «καμάρες»:

Παράδειγμα 12

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: Το όρισμα arcsine πρέπει να βρίσκεται εντός των εξής ορίων:

Μετά είναι δύο τεχνικές δυνατότητες: πιο έτοιμοι αναγνώστες παρόμοια με τα τελευταία παραδείγματα του μαθήματος Τομέας συνάρτησης μιας μεταβλητήςμπορούν να «κυλήσουν» τη διπλή ανισότητα και να αφήσουν το «Υ» στη μέση. Για τα ανδρείκελα, προτείνω να μετατρέψετε την "ατμομηχανή" σε αντίστοιχη σύστημα ανισοτήτων:

Το σύστημα λύνεται ως συνήθως - κατασκευάζουμε ευθείες γραμμές και βρίσκουμε τα απαραίτητα ημιεπίπεδα. Σαν άποτέλεσμα:

Σημειώστε ότι εδώ τα όρια περιλαμβάνονται στην περιοχή ορισμού και οι ευθείες γραμμές σχεδιάζονται ως συμπαγείς γραμμές. Αυτό πρέπει πάντα να παρακολουθείται προσεκτικά για να αποφευχθεί ένα σοβαρό λάθος.

Απάντηση: το πεδίο ορισμού αντιπροσωπεύει τη λύση του συστήματος

Παράδειγμα 13

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Η λύση του δείγματος χρησιμοποιεί μια προηγμένη τεχνική - μετατροπή διπλών ανισοτήτων.

Στην πράξη, μερικές φορές συναντάμε επίσης προβλήματα που αφορούν την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών μπορεί να είναι Ολατρισδιάστατο χώρο, ή μέρος αυτού. Στην πρώτη περίπτωση ορίζεται η συνάρτηση για κάθεσημεία στο χώρο, στο δεύτερο - μόνο για εκείνα τα σημεία που ανήκουν σε κάποιο χωρικό αντικείμενο, πιο συχνά - σώμα. Μπορεί να είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ελλειψοειδές, "μέσα" παραβολικός κύλινδροςκαι τα λοιπά. Το έργο της εύρεσης του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών συνήθως συνίσταται στην εύρεση αυτού του σώματος και στη δημιουργία ενός τρισδιάστατου σχεδίου. Ωστόσο, τέτοια παραδείγματα είναι αρκετά σπάνια. (Βρήκα μόνο μερικά κομμάτια), και επομένως θα περιοριστώ μόνο σε αυτήν την επισκόπηση της παραγράφου.

Γραμμές επιπέδου

Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτόν τον όρο, θα συγκρίνουμε τον άξονα με ύψος: όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή "Z", τόσο μεγαλύτερο είναι το ύψος, όσο χαμηλότερη είναι η τιμή "Z", τόσο μικρότερο είναι το ύψος. Το ύψος μπορεί επίσης να είναι αρνητικό.

Μια συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της είναι ένα χωρικό γράφημα για βεβαιότητα και μεγαλύτερη σαφήνεια, θα υποθέσουμε ότι πρόκειται για μια ασήμαντη επιφάνεια. Τι είναι οι γραμμές επιπέδου? Μεταφορικά μιλώντας, οι επίπεδες γραμμές είναι οριζόντιες «φέτες» της επιφάνειας σε διάφορα ύψη. Αυτές οι «φέτες» ή, πιο σωστά, ενότητεςπραγματοποιούνται με αεροπλάνα, μετά την οποία προβάλλονται στο αεροπλάνο .

Ορισμός: γραμμή επιπέδου συνάρτησης είναι μια γραμμή στο επίπεδο σε κάθε σημείο της οποίας η συνάρτηση διατηρεί σταθερή τιμή: .

Έτσι, οι γραμμές επιπέδου βοηθούν να καταλάβουμε πώς μοιάζει μια συγκεκριμένη επιφάνεια - και βοηθούν χωρίς την κατασκευή τρισδιάστατου σχεδίου! Ας σκεφτούμε συγκεκριμένη εργασία:

Παράδειγμα 14

Βρείτε και σχεδιάστε πολλές γραμμές επιπέδου ενός γραφήματος συνάρτησης

Λύση: Εξετάζουμε το σχήμα μιας δεδομένης επιφάνειας χρησιμοποιώντας γραμμές επιπέδου. Για ευκολία, ας επεκτείνουμε την καταχώριση "πίσω προς τα εμπρός":

Προφανώς, σε αυτή την περίπτωση το "zet" (ύψος) προφανώς δεν μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές (καθώς το άθροισμα των τετραγώνων είναι μη αρνητικό). Έτσι, η επιφάνεια βρίσκεται στον άνω μισό χώρο (πάνω από το επίπεδο).

Δεδομένου ότι η συνθήκη δεν λέει σε ποια συγκεκριμένα ύψη πρέπει να "κοπούν" οι γραμμές επιπέδου, είμαστε ελεύθεροι να επιλέξουμε αρκετές τιμές "Z" κατά την κρίση μας.

Εξετάζουμε την επιφάνεια σε μηδενικό ύψος, για να το κάνουμε αυτό βάζουμε την τιμή στην ισότητα :

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι το σημείο. Πότε δηλαδή η γραμμή επιπέδου αντιπροσωπεύει ένα σημείο.

Ανεβαίνουμε σε ένα μοναδιαίο ύψος και «κόβουμε» την επιφάνειά μας επίπεδο (αντικαταστήστε στην εξίσωση επιφάνειας):

Ετσι, για το ύψος, η γραμμή επιπέδου είναι ένας κύκλος με κέντρο σε ένα σημείο μοναδιαίας ακτίνας.

Σας το θυμίζω όλες οι «φέτες» προβάλλονται στο αεροπλάνο, και γι' αυτό γράφω δύο, όχι τρεις, συντεταγμένες για σημεία!

Τώρα παίρνουμε, για παράδειγμα, ένα αεροπλάνο και «κόβουμε» με αυτό την επιφάνεια που μελετάμε (υποκατάστατοστην εξίσωση επιφάνειας):

Ετσι, για ύψοςη γραμμή επιπέδου είναι ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο ακτίνας.

Και, ας φτιάξουμε μια άλλη γραμμή επιπέδου, ας πούμε για :

–κύκλος με κέντρο σε σημείο ακτίνας 3.

Οι γραμμές επιπέδου, όπως έχω ήδη τονίσει, βρίσκονται στο επίπεδο, αλλά κάθε γραμμή είναι υπογεγραμμένη - σε ποιο ύψος αντιστοιχεί:

Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι και άλλες γραμμές επιπέδου της υπό εξέταση επιφάνειας είναι επίσης κύκλοι και όσο πιο ψηλά ανεβαίνουμε (αυξάνουμε την τιμή "Z"), τόσο μεγαλύτερη γίνεται η ακτίνα. Ετσι, η ίδια η επιφάνειαΕίναι ένα ατελείωτο μπολ με ωοειδή πάτο, το πάνω μέρος του οποίου βρίσκεται σε ένα αεροπλάνο. Αυτό το «μπολ», μαζί με τον άξονα, «βγαίνει ακριβώς πάνω σου» από την οθόνη της οθόνης, δηλαδή κοιτάς τον πάτο του =) Και αυτό δεν είναι χωρίς λόγο! Μόνο εγώ το χύνω στο δρόμο τόσο φονικά =) =)

Απάντηση: οι γραμμές επιπέδου μιας δεδομένης επιφάνειας είναι ομόκεντροι κύκλοι της μορφής

Σημείωση : όταν προκύπτει ένας εκφυλισμένος κύκλος μηδενικής ακτίνας (σημείο).

Η ίδια η έννοια της γραμμής επιπέδου προέρχεται από τη χαρτογραφία. Για να παραφράσουμε την καθιερωμένη μαθηματική έκφραση, μπορούμε να πούμε ότι η γραμμή επιπέδου είναι γεωγραφική τοποθεσίασημεία ίδιο ύψος . Εξετάστε ένα ορισμένο βουνό με οριζόντιες γραμμές 1000, 3000 και 5000 μέτρων:

Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα ότι η πάνω αριστερή πλαγιά του βουνού είναι πολύ πιο απότομη από την κάτω δεξιά πλαγιά. Έτσι, οι γραμμές επιπέδου σάς επιτρέπουν να αντικατοπτρίζετε το έδαφος σε έναν «επίπεδο» χάρτη. Παρεμπιπτόντως, εδώ οι αρνητικές τιμές υψομέτρου αποκτούν επίσης ένα πολύ συγκεκριμένο νόημα - τελικά, ορισμένες περιοχές της επιφάνειας της Γης βρίσκονται κάτω από το μηδενικό επίπεδο των ωκεανών του κόσμου.

) έχουμε ήδη συναντήσει επανειλημμένα μερικές παραγώγους σύνθετων συναρτήσεων όπως και πιο δύσκολα παραδείγματα. Λοιπόν για τι άλλο μπορείτε να μιλήσετε;! ...Και όλα είναι όπως στη ζωή - δεν υπάρχει πολυπλοκότητα που να μην είναι περίπλοκη =) Αλλά τα μαθηματικά είναι αυτά για τα μαθηματικά, για να χωρέσουν την ποικιλομορφία του κόσμου μας σε ένα αυστηρό πλαίσιο. Και μερικές φορές αυτό μπορεί να γίνει με μία μόνο πρόταση:

Γενικά, η σύνθετη συνάρτηση έχει τη μορφή , Οπου, τουλάχιστον ένατων γραμμάτων αντιπροσωπεύει λειτουργία, το οποίο μπορεί να εξαρτάται από αυθαίρετοςαριθμός μεταβλητών.

Η ελάχιστη και απλούστερη επιλογή είναι η γνωστή σύνθετη συνάρτηση μιας μεταβλητής, του οποίου το παράγωγομάθαμε πώς να βρίσκουμε το τελευταίο εξάμηνο. Έχετε επίσης τις δεξιότητες να διαφοροποιήσετε τις λειτουργίες (Ρίξτε μια ματιά στις ίδιες λειτουργίες ) .

Έτσι, τώρα θα μας ενδιαφέρει μόνο η υπόθεση. Λόγω της μεγάλης ποικιλίας σύνθετων συναρτήσεων, οι γενικοί τύποι για τα παράγωγά τους είναι πολύ δυσκίνητοι και δύσκολο να χωνευτούν. Ως προς αυτό, θα περιοριστώ συγκεκριμένα παραδείγματα, από το οποίο μπορείτε να καταλάβετε γενική αρχήεύρεση αυτών των παραγώγων:

Παράδειγμα 1

Δίνεται μια σύνθετη συνάρτηση όπου . Απαιτείται:
1) Βρείτε την παράγωγό της και καταγράψτε την ολική διαφορά 1ης τάξης.
2) υπολογίστε την τιμή της παραγώγου στο .

Λύση: Αρχικά, ας δούμε την ίδια τη λειτουργία. Μας προσφέρεται μια λειτουργία ανάλογα με το και , το οποίο με τη σειρά του είναι λειτουργίεςμία μεταβλητή:

Δεύτερον, ας δώσουμε μεγάλη προσοχή στην ίδια την εργασία - πρέπει να βρούμε παράγωγο, δηλαδή δεν μιλάμε καθόλου για επιμέρους παράγωγα, που έχουμε συνηθίσει να βρίσκουμε! Από τη λειτουργία Στην πραγματικότητα εξαρτάται μόνο από μία μεταβλητή, τότε η λέξη "παράγωγο" σημαίνει ολικό παράγωγο. Πώς να τη βρεις;

Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό είναι η άμεση αντικατάσταση και περαιτέρω διαφοροποίηση. Ας αντικαταστήσουμε για να λειτουργήσει:
, μετά από το οποίο δεν υπάρχουν προβλήματα με την επιθυμητή παράγωγο:

Και, κατά συνέπεια, η συνολική διαφορά:

Αυτή η λύση είναι μαθηματικά σωστή, αλλά μια μικρή απόχρωση είναι ότι όταν το πρόβλημα διατυπώνεται όπως έχει διατυπωθεί, κανείς δεν περιμένει τέτοια βαρβαρότητα από εσάς =) Σοβαρά όμως, μπορείτε πραγματικά να βρείτε λάθος εδώ. Φανταστείτε ότι μια συνάρτηση περιγράφει το πέταγμα μιας μέλισσας και οι ένθετες λειτουργίες αλλάζουν ανάλογα με τη θερμοκρασία. Εκτέλεση άμεσης αντικατάστασης , παίρνουμε μόνο ιδιωτικές πληροφορίες , που χαρακτηρίζει την πτήση, ας πούμε, μόνο σε ζεστό καιρό. Επιπλέον, εάν σε ένα άτομο που δεν γνωρίζει τις μέλισσες παρουσιαστεί το τελικό αποτέλεσμα και ακόμη και πει ποια είναι αυτή η λειτουργία, τότε δεν θα μάθει ποτέ τίποτα για τον θεμελιώδη νόμο της πτήσης!

Έτσι, εντελώς απροσδόκητα, ο βουητός μας αδερφός μας βοήθησε να κατανοήσουμε το νόημα και τη σημασία της καθολικής φόρμουλας:

Εξοικειωθείτε με τον συμβολισμό "διώροφης" για τα παράγωγα - στην εργασία που εξετάζουμε, είναι αυτά που χρησιμοποιούνται. Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος πρέπει να είναι πολυ κομψοστο λήμμα: παράγωγα με άμεσα σύμβολα “de” είναι πλήρη παράγωγα, και τα παράγωγα με στρογγυλεμένα εικονίδια είναι μερικά παράγωγα. Ας ξεκινήσουμε με τα τελευταία:

Λοιπόν, με τις "ουρές" όλα είναι γενικά στοιχειώδη:

Ας αντικαταστήσουμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στον τύπο μας:

Όταν μια συνάρτηση προτείνεται αρχικά με περίπλοκο τρόπο, θα είναι λογικό (και αυτό εξηγείται παραπάνω!)αφήστε τα αποτελέσματα ως έχουν:

Ταυτόχρονα, στις «εξελιγμένες» απαντήσεις είναι προτιμότερο να αποφεύγουμε ακόμη και ελάχιστες απλοποιήσεις (εδώ, για παράδειγμα, ζητά να αφαιρεθεί 3 μείον)- και έχετε λιγότερη δουλειά και ο γούνινος φίλος σας είναι στην ευχάριστη θέση να αναθεωρήσει την εργασία ευκολότερα.

Ωστόσο, ένας πρόχειρος έλεγχος δεν θα είναι περιττός. Ας αντικαταστήσουμε στην ευρεθείσα παράγωγο και πραγματοποιήστε απλοποιήσεις:


(στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε τριγωνομετρικοί τύποι , )

Ως αποτέλεσμα, προέκυψε το ίδιο αποτέλεσμα με τη μέθοδο «βάρβαρης» λύσης.

Ας υπολογίσουμε την παράγωγο στο σημείο. Πρώτα είναι βολικό να μάθετε τις τιμές "διαμετακόμισης". (τιμές συνάρτησης ) :

Τώρα καταρτίζουμε τους τελικούς υπολογισμούς, οι οποίοι σε αυτήν την περίπτωση μπορούν να εκτελεστούν με διαφορετικούς τρόπους. Χρησιμοποιώ μια ενδιαφέρουσα τεχνική στην οποία ο 3ος και ο 4ος "όροφος" απλοποιούνται όχι σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες, αλλά μετασχηματίζονται ως το πηλίκο δύο αριθμών:

Και, φυσικά, θα ήταν αμαρτία να μην ελέγξετε χρησιμοποιώντας μια πιο συμπαγή σημειογραφία :

Απάντηση:

Συμβαίνει ότι το πρόβλημα προτείνεται σε μια «ημι-γενική» μορφή:

«Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης όπου »

Δηλαδή, δεν δίνεται η «κύρια» συνάρτηση, αλλά τα «ένθετα» της είναι αρκετά συγκεκριμένα. Η απάντηση πρέπει να δοθεί με τον ίδιο τρόπο:

Επιπλέον, η συνθήκη μπορεί να είναι ελαφρώς κρυπτογραφημένη:

«Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης »

Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεστε μόνος τουορίστε ένθετες συναρτήσεις με ορισμένα κατάλληλα γράμματα, για παράδειγμα, μέσω και χρησιμοποιήστε τον ίδιο τύπο:

Παρεμπιπτόντως, σχετικά με τους χαρακτηρισμούς των γραμμάτων. Έχω ήδη επανειλημμένα προτρέψει να μην «κολλάμε στα γράμματα» ως προς αυτό Σωσίβιο, και τώρα αυτό είναι ιδιαίτερα σχετικό! Αναλύοντας διάφορες πηγέςσχετικά με το θέμα, γενικά είχα την εντύπωση ότι οι συγγραφείς "τρελάθηκαν" και άρχισαν να ρίχνουν ανελέητα τους μαθητές στη θυελλώδη άβυσσο των μαθηματικών =) Συγχωρέστε με λοιπόν :))

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης , Αν

Οι άλλοι χαρακτηρισμοί δεν πρέπει να προκαλούν σύγχυση! Κάθε φορά που αντιμετωπίζετε μια εργασία όπως αυτή, πρέπει να απαντήσετε σε δύο απλές ερωτήσεις:

1) Από τι εξαρτάται η "κύρια" λειτουργία;Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση "zet" εξαρτάται από δύο συναρτήσεις ("y" και "ve").

2) Από ποιες μεταβλητές εξαρτώνται οι ένθετες συναρτήσεις;Σε αυτήν την περίπτωση, και τα δύο «ένθετα» εξαρτώνται μόνο από το «Χ».

Επομένως, δεν θα πρέπει να δυσκολευτείτε να προσαρμόσετε τη φόρμουλα σε αυτήν την εργασία!

Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Πρόσθετα παραδείγματα του πρώτου τύπου μπορούν να βρεθούν στο Το βιβλίο προβλημάτων του Ryabushko (IDZ 10.1)Λοιπόν, οδεύουμε προς συνάρτηση τριών μεταβλητών:

Παράδειγμα 3

Δίνεται μια συνάρτηση όπου .
Υπολογίστε την παράγωγο στο σημείο

Ο τύπος για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, όπως πολλοί μαντεύουν, έχει μια σχετική μορφή:

Αποφασίστε μόλις το μαντέψετε =)

Για κάθε περίπτωση, θα σας δώσω γενικός τύποςγια λειτουργία:
, αν και στην πράξη είναι απίθανο να δείτε κάτι μεγαλύτερο από το Παράδειγμα 3.

Επιπλέον, μερικές φορές είναι απαραίτητο να διαφοροποιηθεί μια "κομμένη" έκδοση - κατά κανόνα, μια συνάρτηση της φόρμας ή. Αφήνω αυτήν την ερώτηση για να τη μελετήσετε μόνοι σας - βρείτε μερικά απλά παραδείγματα, σκεφτείτε, πειραματιστείτε και εξάγετε συντομευμένους τύπους για παράγωγα.

Εάν κάτι εξακολουθεί να είναι ασαφές, παρακαλώ ξαναδιαβάστε σιγά σιγά και κατανοήστε το πρώτο μέρος του μαθήματος, γιατί τώρα η εργασία θα γίνει πιο περίπλοκη:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε τις μερικές παραγώγους μιας μιγαδικής συνάρτησης, όπου

Λύση: αυτή τη λειτουργίαέχει τη μορφή , και μετά από άμεση αντικατάσταση και παίρνουμε τη συνήθη συνάρτηση δύο μεταβλητών:

Αλλά ένας τέτοιος φόβος όχι μόνο δεν είναι αποδεκτός, αλλά δεν θέλει πια να διαφοροποιηθεί =) Επομένως, ας χρησιμοποιήσουμε έτοιμες φόρμουλες. Για να σας βοηθήσω να κατανοήσετε γρήγορα το μοτίβο, θα κάνω μερικές σημειώσεις:

Κοιτάξτε προσεκτικά την εικόνα από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς τα δεξιά….

Αρχικά, ας βρούμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης "κύρια":

Τώρα βρίσκουμε τις παράγωγες «Χ» των «γραμμών»:

και γράψτε την τελική παράγωγο «Χ»:

Ομοίως με το «παιχνίδι»:

Και

Μπορείτε να επιμείνετε σε ένα άλλο στυλ - βρείτε όλες τις "ουρές" ταυτόχρονα και στη συνέχεια γράψτε και τις δύο παράγωγες.

Απάντηση:

Σχετικά με την αντικατάσταση κατά κάποιο τρόπο δεν το σκέφτομαι καθόλου =) =), αλλά μπορείτε να τροποποιήσετε λίγο τα αποτελέσματα. Αν και πάλι γιατί; – απλώς δυσκολεύουν τον έλεγχο του καθηγητή.

Αν χρειαστεί, τότε πλήρες διαφορικόεδώ είναι γραμμένο σύμφωνα με τον συνηθισμένο τύπο, και, παρεμπιπτόντως, ακριβώς επάνω αυτό το βήμαΤα ελαφριά καλλυντικά γίνονται κατάλληλα:


Αυτό είναι... ...φέρετρο με ρόδες.

Λόγω της δημοτικότητας του τύπου σύνθετης λειτουργίας που εξετάζεται, υπάρχουν μερικές εργασίες για ανεξάρτητη λύση. Ένα απλούστερο παράδειγμα σε μια «ημι-γενική» μορφή είναι για την κατανόηση του ίδιου του τύπου;-):

Παράδειγμα 5

Να βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης, όπου

Και πιο περίπλοκο - με τη συμπερίληψη τεχνικών διαφοροποίησης:

Παράδειγμα 6

Βρείτε το πλήρες διαφορικό μιας συνάρτησης , Οπου

Όχι, δεν προσπαθώ καθόλου να "σε στείλω στο κάτω μέρος" - όλα τα παραδείγματα προέρχονται από πραγματική δουλειά, και «στην ανοιχτή θάλασσα» μπορείτε να συναντήσετε όποια γράμματα θέλετε. Σε κάθε περίπτωση, θα χρειαστεί να αναλύσετε τη λειτουργία (απαντώντας σε 2 ερωτήσεις – βλέπε παραπάνω), παρουσιάστε το σε γενική μορφή και τροποποιήστε προσεκτικά τους τύπους μερικών παραγώγων. Μπορεί τώρα να μπερδευτείτε λίγο, αλλά θα καταλάβετε την ίδια την αρχή της κατασκευής τους! Γιατί οι πραγματικές προκλήσεις μόλις ξεκινούν :)))

Παράδειγμα 7

Να βρείτε μερικές παραγώγους και να κατασκευάσετε το πλήρες διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης
, Οπου

Λύση: η συνάρτηση «κύρια» έχει τη μορφή και εξακολουθεί να εξαρτάται από δύο μεταβλητές – «x» και «y». Αλλά σε σύγκριση με το Παράδειγμα 4, έχει προστεθεί μια άλλη ένθετη συνάρτηση και επομένως οι τύποι μερικής παραγώγου επιμηκύνονται επίσης. Όπως και σε εκείνο το παράδειγμα, για καλύτερη οπτικοποίηση του μοτίβου, θα επισημάνω τις «κυριότερες» επιμέρους παραγώγους σε διαφορετικά χρώματα:

Και πάλι, μελετήστε προσεκτικά το ρεκόρ από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς τα δεξιά.

Δεδομένου ότι το πρόβλημα έχει διατυπωθεί σε μια «ημι-γενική» μορφή, όλη η εργασία μας περιορίζεται ουσιαστικά στην εύρεση μερικών παραγώγων των ενσωματωμένων συναρτήσεων:

Ένας μαθητής της πρώτης τάξης μπορεί να χειριστεί:

Και ακόμη και το πλήρες διαφορικό έγινε πολύ ωραίο:

Σκόπιμα δεν σας πρόσφερα κάποια συγκεκριμένη λειτουργία - έτσι ώστε η περιττή ακαταστασία να μην παρεμποδίζει την καλή κατανόηση του σχηματικό διάγραμμακαθήκοντα.

Απάντηση:

Αρκετά συχνά μπορείτε να βρείτε επενδύσεις «μεικτού μεγέθους», για παράδειγμα:

Εδώ η "κύρια" συνάρτηση, αν και έχει τη μορφή , εξακολουθεί να εξαρτάται τόσο από το "x" και από το "y". Επομένως, οι ίδιοι τύποι λειτουργούν - μόνο μερικές επιμέρους παράγωγοι θα είναι ίσες με μηδέν. Επιπλέον, αυτό ισχύει και για λειτουργίες όπως , στο οποίο κάθε «γραμμή» εξαρτάται από μία μεταβλητή.

Μια παρόμοια κατάσταση εμφανίζεται στα δύο τελευταία παραδείγματα του μαθήματος:

Παράδειγμα 8

Να βρείτε το συνολικό διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης σε ένα σημείο

Λύση: η συνθήκη διατυπώνεται με «δημοσιονομικό» τρόπο και πρέπει οι ίδιοι να ονομάσουμε τις ένθετες συναρτήσεις. Νομίζω ότι αυτή είναι μια καλή επιλογή:

Τα "ένθετα" περιέχουν ( ΠΡΟΣΟΧΗ!) ΤΡΙΑ γράμματα είναι το παλιό καλό "X-Y-Z", που σημαίνει ότι η "κύρια" συνάρτηση στην πραγματικότητα εξαρτάται από τρεις μεταβλητές. Μπορεί να ξαναγραφτεί επισήμως ως , και οι μερικές παράγωγοι σε αυτήν την περίπτωση προσδιορίζονται από τους ακόλουθους τύπους:

Σαρώνουμε, εμβαθύνουμε, καταγράφουμε….

Στο έργο μας: