Γεωμετρική σημασία της κατάταξης μήτρας. Υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς

Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ένα σημαντικό αριθμητικό χαρακτηριστικό. Το πιο τυπικό πρόβλημα που απαιτεί την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα είναι ο έλεγχος της συνέπειας ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε την έννοια της κατάταξης μήτρας και θα εξετάσουμε μεθόδους εύρεσης της. Για να κατανοήσουμε καλύτερα το υλικό, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις σε πολλά παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Προσδιορισμός της κατάταξης ενός πίνακα και απαραίτητες πρόσθετες έννοιες.

Πριν εκφράσετε τον ορισμό της κατάταξης ενός πίνακα, θα πρέπει να έχετε μια καλή κατανόηση της έννοιας του ανηλίκου και η εύρεση των δευτερευόντων ενός πίνακα συνεπάγεται τη δυνατότητα υπολογισμού της ορίζουσας. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο, σας συνιστούμε να θυμηθείτε τη θεωρία του άρθρου, τις μεθόδους εύρεσης της ορίζουσας μιας μήτρας και τις ιδιότητες της ορίζουσας.

Ας πάρουμε έναν πίνακα Α τάξης. Έστω k κάποιος φυσικός αριθμός που δεν υπερβαίνει τον μικρότερο από τους αριθμούς m και n, δηλαδή, .

Ορισμός.

Μικρή kth σειράΟ πίνακας Α είναι η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης, που αποτελείται από στοιχεία του πίνακα Α, τα οποία βρίσκονται σε προεπιλεγμένες k σειρές και k στήλες και διατηρείται η διάταξη των στοιχείων του πίνακα Α.

Με άλλα λόγια, εάν στον πίνακα A διαγράψουμε (p–k) σειρές και (n–k) στήλες και από τα υπόλοιπα στοιχεία δημιουργήσουμε έναν πίνακα, διατηρώντας τη διάταξη των στοιχείων του πίνακα A, τότε η ορίζουσα του ο προκύπτων πίνακας είναι μια ελάσσονα τάξης k του πίνακα Α.

Ας δούμε τον ορισμό ενός δευτερεύοντος πίνακα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Εξετάστε τη μήτρα .

Ας γράψουμε μερικά δευτερεύοντα πρώτου βαθμού αυτού του πίνακα. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε την τρίτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη του πίνακα Α, τότε η επιλογή μας αντιστοιχεί σε δευτερεύον πρώτης τάξης . Με άλλα λόγια, για να λάβουμε αυτό το δευτερεύον, διαγράψαμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά, καθώς και την πρώτη, τρίτη και τέταρτη στήλη από τον πίνακα A, και δημιουργήσαμε μια ορίζουσα από το υπόλοιπο στοιχείο. Αν επιλέξουμε την πρώτη γραμμή και την τρίτη στήλη του πίνακα A, τότε παίρνουμε ένα δευτερεύον .

Ας παρουσιάσουμε τη διαδικασία απόκτησης των θεωρούμενων ανηλίκων πρώτης τάξης
Και .

Έτσι, τα δευτερεύοντα πρώτης τάξης ενός πίνακα είναι τα ίδια τα στοιχεία του πίνακα.

Ας δείξουμε αρκετούς ανηλίκους δεύτερης τάξης. Επιλέξτε δύο σειρές και δύο στήλες. Για παράδειγμα, πάρτε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά και την τρίτη και τέταρτη στήλη. Με αυτή την επιλογή έχουμε ανήλικο δεύτερης τάξης . Αυτό το δευτερεύον θα μπορούσε επίσης να συντεθεί διαγράφοντας την τρίτη σειρά, την πρώτη και τη δεύτερη στήλη από τον πίνακα A.

Ένα άλλο δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο του πίνακα Α είναι το .

Ας παρουσιάσουμε την κατασκευή αυτών των ανηλίκων δεύτερης τάξης
Και .

Παρομοίως, μπορούν να βρεθούν δευτερεύοντα ανήλικα τρίτης τάξης του πίνακα Α. Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο τρεις σειρές στον πίνακα Α, τις επιλέγουμε όλες. Αν επιλέξουμε τις τρεις πρώτες στήλες αυτών των σειρών, παίρνουμε ένα δευτερεύον τρίτης τάξης

Μπορεί επίσης να κατασκευαστεί διαγράφοντας την τελευταία στήλη του πίνακα A.

Ένα άλλο δευτερεύον τρίτης τάξης είναι

που προκύπτει διαγράφοντας την τρίτη στήλη του πίνακα Α.

Εδώ είναι μια εικόνα που δείχνει την κατασκευή αυτών των ανηλίκων τρίτης τάξης
Και .

Για έναν δεδομένο πίνακα Α δεν υπάρχουν δευτερεύουσες τάξεις υψηλότερες από την τρίτη, αφού .

Πόσα ελάσσονα της kth τάξης υπάρχουν σε έναν πίνακα A τάξης;

Ο αριθμός των δευτερευόντων της τάξης k μπορεί να υπολογιστεί ως , όπου Και - τον αριθμό των συνδυασμών από p έως k και από n έως k, αντίστοιχα.

Πώς να κατασκευάσετε όλα τα ελάσσονα τάξης k του πίνακα Α τάξης p κατά n;

Θα χρειαστούμε πολλούς αριθμούς σειρών μήτρας και πολλούς αριθμούς στηλών. Γράφουμε τα πάντα συνδυασμοί στοιχείων p κατά k(θα αντιστοιχούν στις επιλεγμένες σειρές του πίνακα Α κατά την κατασκευή ενός ελάσσονος τάξης k). Σε κάθε συνδυασμό αριθμών σειρών προσθέτουμε διαδοχικά όλους τους συνδυασμούς n στοιχείων των k αριθμών στηλών. Αυτά τα σύνολα συνδυασμών αριθμών σειρών και αριθμών στηλών του πίνακα Α θα βοηθήσουν στη σύνθεση όλων των δευτερευόντων της τάξης k.

Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα.

Λύση.

Δεδομένου ότι η σειρά της αρχικής μήτρας είναι 3 επί 3, το σύνολο των δευτερευόντων δευτερολέπτων θα είναι .

Ας γράψουμε όλους τους συνδυασμούς των αριθμών 3 έως 2 σειρών του πίνακα A: 1, 2; 1, 3 και 2, 3. Όλοι οι συνδυασμοί από 3 έως 2 αριθμούς στηλών είναι 1, 2. 1, 3 και 2, 3.

Ας πάρουμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά του πίνακα Α. Επιλέγοντας την πρώτη και τη δεύτερη στήλη, την πρώτη και την τρίτη στήλη, τη δεύτερη και την τρίτη στήλη για αυτές τις σειρές, λαμβάνουμε τα δευτερεύοντα, αντίστοιχα

Για την πρώτη και την τρίτη σειρά, με παρόμοια επιλογή στηλών, έχουμε

Απομένει να προσθέσετε την πρώτη και δεύτερη, πρώτη και τρίτη, δεύτερη και τρίτη στήλη στη δεύτερη και τρίτη σειρά:

Έτσι, βρέθηκαν και τα εννέα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα Α.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στον προσδιορισμό της κατάταξης του πίνακα.

Ορισμός.

Κατάταξη μήτραςείναι η υψηλότερη τάξη του μη μηδενικού ελάσσονος του πίνακα.

Η κατάταξη του πίνακα A συμβολίζεται ως Rank(A) . Μπορείτε επίσης να βρείτε τους χαρακτηρισμούς Rg(A) ή Rang(A) .

Από τους ορισμούς της κατάταξης πίνακα και του δευτερεύοντος πίνακα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα είναι ίση με το μηδέν και η κατάταξη ενός μη μηδενικού πίνακα δεν είναι μικρότερη από ένα.

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα εξ ορισμού.

Έτσι, η πρώτη μέθοδος για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα είναι μέθοδος απαρίθμησης ανηλίκων. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στον προσδιορισμό της κατάταξης του πίνακα.

Ας πρέπει να βρούμε την κατάταξη ενός πίνακα Α τάξης.

Ας περιγράψουμε εν συντομία αλγόριθμοςεπίλυση αυτού του προβλήματος με απαρίθμηση ανηλίκων.

Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του πίνακα που είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον ίση με ένα (αφού υπάρχει ένα δευτερεύον πρώτης τάξης που δεν είναι ίσο με μηδέν).

Στη συνέχεια εξετάζουμε τους ανηλίκους δεύτερης τάξης. Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με ένα. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό δευτερεύον της δεύτερης τάξης, τότε προχωράμε στην απαρίθμηση των δευτερευόντων δευτερολέπτων τρίτης τάξης και η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον ίση με δύο.

Ομοίως, εάν όλα τα ανήλικα τρίτης τάξης είναι μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι δύο. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα δευτερεύον τρίτης τάξης εκτός από το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον τρεις και προχωράμε στην απαρίθμηση δευτερευόντων δευτερευόντων τετάρτων.

Σημειώστε ότι η κατάταξη του πίνακα δεν μπορεί να υπερβαίνει τον μικρότερο από τους αριθμούς p και n.

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα .

Λύση.

Δεδομένου ότι ο πίνακας δεν είναι μηδενικός, η κατάταξή του δεν είναι μικρότερη από ένα.

Ανήλικο δεύτερης τάξης είναι διαφορετική από το μηδέν, επομένως, η κατάταξη του πίνακα Α είναι τουλάχιστον δύο. Προχωράμε στην απαρίθμηση ανηλίκων τρίτης τάξης. Σύνολο αυτών πράγματα.

Όλα τα ανήλικα τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι δύο.

Απάντηση:

Κατάταξη(Α) = 2 .

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων.

Υπάρχουν άλλες μέθοδοι για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα που σας επιτρέπουν να αποκτήσετε το αποτέλεσμα με λιγότερη υπολογιστική εργασία.

Μια τέτοια μέθοδος είναι μέθοδος δευτερεύουσας ακμής.

Ας ασχοληθούμε έννοια του ελάσσονος άκρου.

Λέγεται ότι ένα δευτερεύον M ok της (k+1) ης τάξης του πίνακα A συνορεύει με ένα μικρότερο M της τάξης k του πίνακα A εάν ο πίνακας που αντιστοιχεί στον δευτερεύοντα M ok «περιέχει» τον πίνακα που αντιστοιχεί στον ελάσσονα Μ .

Με άλλα λόγια, ο πίνακας που αντιστοιχεί στο συνοριακό δευτερεύον M λαμβάνεται από τον πίνακα που αντιστοιχεί στο συνοριακό δευτερεύον M ok διαγράφοντας τα στοιχεία μιας γραμμής και μιας στήλης.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη μήτρα και πάρτε μια δεύτερη παραγγελία ανήλικο. Ας γράψουμε όλα τα συνοριακά ανήλικα:

Η μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων δικαιολογείται από το ακόλουθο θεώρημα (παρουσιάζουμε τη διατύπωσή του χωρίς απόδειξη).

Θεώρημα.

Αν όλα τα ελάσσονα που συνορεύουν με την kth τάξης ελάσσονα ενός πίνακα Α τάξης p επί n είναι ίσα με μηδέν, τότε όλα τα ελάσσονα της τάξης (k+1) του πίνακα A είναι ίσα με μηδέν.

Έτσι, για να βρείτε την κατάταξη μιας μήτρας δεν είναι απαραίτητο να περάσετε από όλα τα ανήλικα που είναι επαρκώς οριοθετημένα. Ο αριθμός των δευτερευόντων που συνορεύουν με το δευτερεύον της kth τάξης ενός πίνακα Α τάξης , βρίσκεται από τον τύπο . Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περισσότερα δευτερεύοντα δευτερεύοντα που συνορεύουν με το μικρότερο της k-ης τάξης του πίνακα Α από ό,τι υπάρχουν (k + 1) δευτερεύουσες τάξεις του πίνακα A. Ως εκ τούτου, στις περισσότερες περιπτώσεις, η χρήση της μεθόδου της οριοθέτησης ανηλίκων είναι πιο επικερδής από την απλή απαρίθμηση όλων των ανηλίκων.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της κατάταξης του πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων. Ας περιγράψουμε εν συντομία αλγόριθμοςαυτή τη μέθοδο.

Εάν ο πίνακας Α είναι μη μηδενικός, τότε ως δευτερεύον πρώτης τάξης λαμβάνουμε οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα Α που είναι διαφορετικό από το μηδέν. Ας δούμε τα συνοριακά ανήλικα του. Εάν είναι όλα ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με ένα. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό συνοριακό δευτερεύον (η σειρά του είναι δύο), τότε προχωράμε στην εξέταση των συνοριακών του δευτερευόντων. Αν είναι όλα μηδέν, τότε Rank(A) = 2. Εάν τουλάχιστον ένα συνοριακό δευτερεύον είναι μη μηδενικό (η σειρά του είναι τρία), τότε θεωρούμε τα συνοριακά ελάσσονά του. Και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, Rank(A) = k αν όλα τα συνοριακά δευτερεύοντα της (k + 1) ης τάξης του πίνακα A είναι ίσα με μηδέν, ή Rank(A) = min(p, n) εάν υπάρχει μη- μηδέν ελάσσονα που συνορεύει με ελάσσονα τάξης (min( p, n) – 1) .

Ας δούμε τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων για να βρούμε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων.

Λύση.

Εφόσον το στοιχείο a 1 1 του πίνακα Α είναι μη μηδενικό, το λαμβάνουμε ως δευτερεύον πρώτης τάξης. Ας ξεκινήσουμε την αναζήτηση για ένα δευτερεύον όριο που είναι διαφορετικό από το μηδέν:

Βρίσκεται μια ελάσσονα ακμής δεύτερης τάξης, διαφορετική από το μηδέν. Ας δούμε τα συνοριακά ανήλικα του (τους πράγματα):

Όλοι οι ανήλικοι που συνορεύουν με τον δευτερεύοντα δευτερεύοντα αριθμό είναι ίσοι με μηδέν, επομένως, η κατάταξη του πίνακα Α είναι ίση με δύο.

Απάντηση:

Κατάταξη(Α) = 2 .

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα χρησιμοποιώντας συνοριακούς ανηλίκους.

Λύση.

Ως μη μηδενικό δευτερεύον της πρώτης τάξης, παίρνουμε το στοιχείο a 1 1 = 1 του πίνακα A. Ο περιβάλλων ανήλικος δεύτερης τάξης όχι ίσο με μηδέν. Αυτό το ανήλικο συνορεύει με ένα ανήλικο τρίτης τάξης
. Δεδομένου ότι δεν είναι ίσο με μηδέν και δεν υπάρχει ούτε ένα οριακό δευτερεύον για αυτό, η κατάταξη του πίνακα Α είναι ίση με τρία.

Απάντηση:

Κατάταξη (Α) = 3 .

Εύρεση της κατάταξης χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα (μέθοδος Gauss).

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα.

Οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί πίνακα ονομάζονται στοιχειώδεις:

αναδιάταξη σειρών (ή στηλών) ενός πίνακα.
πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης) ενός πίνακα με έναν αυθαίρετο αριθμό k, διαφορετικό από το μηδέν.
προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k.

Ο πίνακας Β ονομάζεται ισοδύναμος με τον πίνακα Α, αν το Β λαμβάνεται από το Α χρησιμοποιώντας πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών. Η ισοδυναμία των πινάκων συμβολίζεται με το σύμβολο "~", δηλαδή γράφεται A ~ B.

Η εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα βασίζεται στη δήλωση: εάν ο πίνακας Β λαμβάνεται από τον πίνακα Α χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών, τότε Rank(A) = Rank(B) .

Η εγκυρότητα αυτής της δήλωσης προκύπτει από τις ιδιότητες της ορίζουσας του πίνακα:

Κατά την αναδιάταξη των γραμμών (ή στηλών) ενός πίνακα, η ορίζοντή του αλλάζει πρόσημο. Αν είναι ίσο με μηδέν, τότε όταν οι σειρές (στήλες) αναδιατάσσονται, παραμένει ίσο με μηδέν.
Όταν πολλαπλασιάζονται όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης) ενός πίνακα με έναν αυθαίρετο αριθμό k εκτός από το μηδέν, η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει είναι ίση με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα πολλαπλασιαζόμενη επί k. Εάν η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι ίση με μηδέν, τότε αφού πολλαπλασιαστούν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης με τον αριθμό k, η ορίζουσα του προκύπτοντος πίνακα θα είναι επίσης ίση με μηδέν.
Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας ορισμένης σειράς (στήλης) ενός πίνακα τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με έναν ορισμένο αριθμό k, δεν αλλάζουν την ορίζουσα του.

Η ουσία της μεθόδου των στοιχειωδών μετασχηματισμώνσυνίσταται στη μείωση του πίνακα του οποίου η κατάταξη πρέπει να βρούμε σε τραπεζοειδή (σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, σε ανώτερο τριγωνικό) χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Γιατί γίνεται αυτό; Η κατάταξη των πινάκων αυτού του τύπου είναι πολύ εύκολο να βρεθεί. Είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο. Και επειδή η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει κατά την εκτέλεση στοιχειωδών μετασχηματισμών, η τιμή που προκύπτει θα είναι η κατάταξη του αρχικού πίνακα.

Δίνουμε απεικονίσεις πινάκων, μία από τις οποίες θα πρέπει να ληφθεί μετά από μετασχηματισμούς. Η εμφάνισή τους εξαρτάται από τη σειρά της μήτρας.

Αυτές οι εικόνες είναι πρότυπα στα οποία θα μετασχηματίσουμε τον πίνακα Α.

Ας περιγράψουμε αλγόριθμος μεθόδου.

Ας χρειαστεί να βρούμε την κατάταξη ενός μη μηδενικού πίνακα Α τάξης (το p μπορεί να είναι ίσο με n).

Ετσι, . Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα Α με . Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε έναν ισοδύναμο πίνακα, που τον δηλώνουμε A (1):

Στα στοιχεία της δεύτερης σειράς του προκύπτοντος πίνακα Α (1) προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί . Στα στοιχεία της τρίτης γραμμής προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί . Και ούτω καθεξής μέχρι τη γραμμή p-th. Ας πάρουμε έναν ισοδύναμο πίνακα, τον συμβολίζουμε με Α (2):

Εάν όλα τα στοιχεία του προκύπτοντος πίνακα που βρίσκονται σε σειρές από το δεύτερο έως το p-th είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι ίση με ένα και, κατά συνέπεια, η κατάταξη του αρχικού πίνακα είναι ίση σε ένα.

Εάν στις γραμμές από το δεύτερο έως το p-th υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο, τότε συνεχίζουμε να πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς. Επιπλέον, ενεργούμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, αλλά μόνο με το τμήμα του πίνακα Α (2) που σημειώνεται στο σχήμα.

Αν , τότε αναδιατάσσουμε τις σειρές και (ή) τις στήλες του πίνακα A (2) έτσι ώστε το «νέο» στοιχείο να γίνει μη μηδενικό.

ΣτοιχειώδηςΟι ακόλουθοι μετασχηματισμοί πίνακα ονομάζονται:

1) μετάθεση οποιωνδήποτε δύο σειρών (ή στηλών),

2) πολλαπλασιάζοντας μια γραμμή (ή στήλη) με έναν μη μηδενικό αριθμό,

3) προσθέτοντας σε μια σειρά (ή στήλη) μια άλλη σειρά (ή στήλη), πολλαπλασιασμένη με έναν ορισμένο αριθμό.

Οι δύο πίνακες καλούνται ισοδύναμος, εάν ένα από αυτά λαμβάνεται από το άλλο χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Οι ισοδύναμοι πίνακες δεν είναι, γενικά, ίσοι, αλλά οι τάξεις τους είναι ίσες. Αν οι πίνακες Α και Β είναι ισοδύναμοι, τότε γράφεται ως εξής: A ~ B.

ΚανονικόςΈνας πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο στην αρχή της κύριας διαγωνίου υπάρχουν πολλά στη σειρά (ο αριθμός των οποίων μπορεί να είναι μηδέν) και όλα τα άλλα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, για παράδειγμα,

Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών και στηλών, οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να αναχθεί σε κανονική. Η κατάταξη ενός κανονικού πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των μονάδων στην κύρια διαγώνιο του.

Παράδειγμα 2Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Α=

και να το φέρει σε κανονική μορφή.

Λύση.Από τη δεύτερη γραμμή, αφαιρέστε την πρώτη και αναδιατάξτε αυτές τις γραμμές:

Τώρα από τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή αφαιρούμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί 2 και 5, αντίστοιχα:

;

αφαιρέστε την πρώτη από την τρίτη γραμμή. παίρνουμε μια μήτρα

Β = ,

ο οποίος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα Α, αφού λαμβάνεται από αυτόν χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχειωδών μετασχηματισμών. Προφανώς, η κατάταξη του πίνακα Β είναι 2, και επομένως r(A)=2. Ο πίνακας Β μπορεί εύκολα να αναχθεί σε κανονικό. Αφαιρώντας την πρώτη στήλη, πολλαπλασιαζόμενη με κατάλληλους αριθμούς, από όλες τις επόμενες, μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς, εκτός από την πρώτη, και τα στοιχεία των υπόλοιπων σειρών δεν αλλάζουν. Στη συνέχεια, αφαιρώντας τη δεύτερη στήλη, πολλαπλασιαζόμενη με κατάλληλους αριθμούς, από όλους τους επόμενους, μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της δεύτερης σειράς, εκτός από τη δεύτερη, και λαμβάνουμε τον κανονικό πίνακα:

Θεώρημα Kronecker - Capelli- κριτήριο συμβατότητας για σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων:

Προκειμένου ένα γραμμικό σύστημα να είναι συνεπές, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα αυτού του συστήματος να είναι ίση με την κατάταξη του κύριου πίνακα του.

Απόδειξη (συνθήκες συμβατότητας συστήματος)

Ανάγκη

Αφήνω Σύστημαάρθρωση

Τότε υπάρχουν αριθμοί τέτοιοι που . Επομένως, η στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα. Από το γεγονός ότι η κατάταξη ενός πίνακα δεν θα αλλάξει εάν μια γραμμή (στήλη) διαγραφεί ή προστεθεί από το σύστημα των γραμμών (στήλων) του, που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων σειρών (στήλων), προκύπτει ότι .

Επάρκεια Αφήστε .Ας πάρουμε μερικά βασικά ελάσσονα στον πίνακα. Αφού, τότε θα είναι επίσης το βασικό ελάσσονα του πίνακα. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα της βάσης

ανήλικος

, η τελευταία στήλη του πίνακα θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών βάσης, δηλαδή των στηλών του πίνακα. Επομένως, η στήλη των ελεύθερων όρων του συστήματος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα. ΣυνέπειεςΑριθμός βασικών μεταβλητών

συστήματα Σύστημαίσο με τη βαθμίδα του συστήματος.

Αρθρωση

θα οριστεί (η λύση του είναι μοναδική) αν η κατάταξη του συστήματος είναι ίση με τον αριθμό όλων των μεταβλητών του.15 . 2 Ομοιογενές σύστημα εξισώσεων

Προσφορά

Ομοιογενές σύστημα εξισώσεωνείναι πάντα κοινή.

Απόδειξη

θα οριστεί (η λύση του είναι μοναδική) αν η κατάταξη του συστήματος είναι ίση με τον αριθμό όλων των μεταβλητών του.15 . 3 . Για αυτό το σύστημα, το σύνολο των αριθμών , , , είναι μια λύση.

Ομοιογενές σύστημα εξισώσεωνΣε αυτή την ενότητα θα χρησιμοποιήσουμε τη σημείωση μήτρας του συστήματος: .

Το άθροισμα των λύσεων σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι μια λύση σε αυτό το σύστημα. Μια λύση πολλαπλασιαζόμενη με έναν αριθμό είναι επίσης μια λύση.

. Αφήστε τα να λειτουργήσουν ως λύσεις στο σύστημα. Στη συνέχεια και. Αφήστε .

Επειτα15 . 1 Από τότε - η λύση.

Πράγματι, πολλαπλασιάζοντας μια μη μηδενική λύση με διάφορους αριθμούς, θα λάβουμε διαφορετικές λύσεις.

Ορισμός15 . 5 Θα πούμε ότι οι λύσεις μορφή συστημάτων θεμελιώδες σύστημα λύσεων, εάν στήλες σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα και οποιαδήποτε λύση στο σύστημα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των στηλών.

Προσδιορισμός της κατάταξης ενός πίνακα

Θεωρήστε έναν πίνακα \(A\) του τύπου \((m,n)\). Έστω, για βεβαιότητα, \(m \leq n\). Ας πάρουμε τις γραμμές \(m\) και επιλέξτε \(m\) στήλες του πίνακα \(A\), στην τομή αυτών των γραμμών και στηλών παίρνουμε έναν τετράγωνο πίνακα τάξης \(m\), ο προσδιοριστής του οποίου λέγεται μικρή παραγγελία \(m\) πίνακες \(A\). Εάν αυτό το δευτερεύον είναι διαφορετικό από το 0, καλείται βασικό μικρό και λένε ότι η κατάταξη του πίνακα \(A\) είναι ίση με \(m\). Εάν αυτή η ορίζουσα είναι ίση με 0, τότε επιλέγονται άλλες στήλες \(m\), στη τομή τους υπάρχουν στοιχεία που σχηματίζουν μια άλλη ελάσσονα τάξης \(m\). Εάν το δευτερεύον είναι 0, συνεχίζουμε τη διαδικασία. Εάν μεταξύ όλων των πιθανών δευτερευόντων της τάξης \(m\) δεν υπάρχουν μη μηδενικά, επιλέγουμε \(m-1\) γραμμές και στήλες από τον πίνακα \(A\), στη διασταύρωση τους έναν τετράγωνο πίνακα τάξης \(m- 1\) εμφανίζεται , η ορίζουσα του ονομάζεται δευτερεύουσα τάξης \(m-1\) του αρχικού πίνακα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία, αναζητούμε ένα μη μηδενικό δευτερεύον, περνώντας από όλα τα πιθανά ανήλικα, μειώνοντας τη σειρά τους.

Ορισμός.

Το μη μηδενικό ελάσσονα ενός δεδομένου πίνακα της υψηλότερης τάξης ονομάζεται βασικό μικρό του αρχικού πίνακα, η σειρά του ονομάζεται τάξη Οι πίνακες \(A\), οι γραμμές και οι στήλες, στην τομή των οποίων υπάρχει μια ελάσσονα βάσης, ονομάζονται σειρές και στήλες βάσης. Η κατάταξη ενός πίνακα συμβολίζεται με \(rang(A)\).

Από αυτόν τον ορισμό ακολουθούν απλές ιδιότητες της κατάταξης ενός πίνακα: είναι ακέραιος και η κατάταξη ενός μη μηδενικού πίνακα ικανοποιεί τις ανισότητες: \(1 \leq rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Πώς θα αλλάξει η κατάταξη του πίνακα αν διαγραφεί μια σειρά; Προσθήκη κάποιας γραμμής;

Ελενξε την απάντηση

1) Η κατάταξη μπορεί να μειωθεί κατά 1.

2) Η κατάταξη μπορεί να αυξηθεί κατά 1.

Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία στηλών μήτρας

Έστω \(A\) ένας πίνακας τύπου \((m,n)\). Εξετάστε τις στήλες του πίνακα \(A\) - αυτές είναι στήλες με αριθμούς \(m\) η καθεμία. Ας τα συμβολίσουμε \(A_1,A_2,...,A_n\). Έστω \(c_1,c_2,...,c_n\) κάποιοι αριθμοί.

Ορισμός.

Η στήλη \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός στηλών \(A_1,A_2,...,A_n\), αριθμών \( c_1,c_2 ,...,c_n\) ονομάζονται συντελεστές αυτού του γραμμικού συνδυασμού.

Ορισμός.

Έστω οι στήλες \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\). Αν υπάρχουν αριθμοί \(c_1,c_2,...,c_p\) τέτοιοι που

1. δεν είναι όλοι αυτοί οι αριθμοί ίσοι με μηδέν,

2. γραμμικός συνδυασμός \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) είναι ίσος με τη στήλη μηδέν (δηλαδή μια στήλη της οποίας όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά), τότε λέμε ότι οι στήλες Τα \( A_1, A_2, ..., A_p\) εξαρτώνται γραμμικά. Εάν για ένα δεδομένο σύνολο στηλών δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί \(c_1,c_2,...,c_n\), οι στήλες ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες.

Παράδειγμα. Εξετάστε 2-στήλες

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \δεξιά), \] τότε για οποιουσδήποτε αριθμούς \(c_1,c_2\) έχουμε: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Αυτός ο γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με τη στήλη μηδέν εάν και μόνο εάν και οι δύο αριθμοί \(c_1,c_2\) είναι ίσοι με μηδέν. Έτσι, αυτές οι στήλες είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Δήλωση. Για να εξαρτώνται γραμμικά οι στήλες είναι απαραίτητο και αρκετό η μία από αυτές να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Έστω οι στήλες \(A_1,A_2,...,A_m\) γραμμικά εξαρτημένες, π.χ. για ορισμένες σταθερές \(\λάμδα _1, \λάμδα _2,...,\λάμδα _m\), δεν είναι όλες ίσες με 0, ισχύει το εξής: \[ \άθροισμα _(k=1)^m\λάμδα _kA_k=0 \ ] (στη δεξιά πλευρά είναι η στήλη μηδέν). Έστω, για παράδειγμα, \(\λάμδα _1 \neq 0\). Τότε \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] δηλ. η πρώτη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Το θεώρημα ελάσσονος βάσης

Θεώρημα.

Για οποιονδήποτε μη μηδενικό πίνακα \(A\) ισχύει το εξής:

1. Οι στήλες βάσης είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

2. Οποιαδήποτε στήλη μήτρας είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών βάσης της.

(Το ίδιο ισχύει και για τα έγχορδα).

Έστω, για βεβαιότητα, \((m,n)\) ο τύπος του πίνακα \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) και η ελάσσονα βάσης βρίσκεται στο πρώτο \(r \) πίνακες γραμμών και στηλών \(A\). Έστω \(s\) οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ 1 και \(m\), \(k\) οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ 1 και \(n\). Θεωρήστε ένα ελάσσονα της ακόλουθης μορφής: \[ D=\left| \begin(array)(cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\lddos & \lddots & \lddos & \lddots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(πίνακας) \right| , \] δηλ. Αντιστοιχίσαμε τη \(s-\)η στήλη και τη \(k-\)η σειρά στη βασική ελάσσονα. Εξ ορισμού της κατάταξης ενός πίνακα, αυτή η ορίζουσα ισούται με μηδέν (αν επιλέξαμε \(s\leq r\) ή \(k \leq r\), τότε αυτή η δευτερεύουσα σημασία έχει 2 ίδιες στήλες ή 2 ίδιες σειρές, αν \(s>r\) και \(k>r\) - εξ ορισμού της κατάταξης, ένα μικρό μέγεθος μεγαλύτερο από \(r\) γίνεται μηδέν). Ας επεκτείνουμε αυτήν την ορίζουσα κατά μήκος της τελευταίας γραμμής, παίρνουμε: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks)=0. \quad \quad(16) \]

Εδώ οι αριθμοί \(A_(kp)\) είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων από την κάτω σειρά \(D\). Οι τιμές τους δεν εξαρτώνται από το \(k\), γιατί σχηματίζονται χρησιμοποιώντας στοιχεία από τις πρώτες γραμμές \(r\). Σε αυτήν την περίπτωση, η τιμή \(A_(ks)\) είναι μια βασική ελάσσονα, διαφορετική από το 0. Ας υποδηλώσουμε \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Ας ξαναγράψουμε το (16) σε νέο συμβολισμό: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] ή, διαιρώντας με \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Αυτή η ισότητα ισχύει για οποιαδήποτε τιμή του \(k\), οπότε \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. ................................. \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Άρα, η \(s-\)th στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των πρώτων \(r\) στηλών. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σχόλιο.

Από το θεώρημα ελάσσονος βάσης προκύπτει ότι η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του (που είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών).

Συμπέρασμα 1.

Αν η ορίζουσα είναι μηδέν, τότε έχει μια στήλη που είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων στηλών.

Συμπέρασμα 2.

Εάν η κατάταξη ενός πίνακα είναι μικρότερη από τον αριθμό των στηλών, τότε οι στήλες του πίνακα εξαρτώνται γραμμικά.

Υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα και εύρεση του ελάσσονος βάσης

Ορισμένοι μετασχηματισμοί πίνακα δεν αλλάζουν την κατάταξή του. Τέτοιοι μετασχηματισμοί μπορούν να ονομαστούν στοιχειώδεις. Τα αντίστοιχα γεγονότα μπορούν εύκολα να επαληθευτούν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζόντων και προσδιορίζοντας την κατάταξη ενός πίνακα.

1. Αναδιάταξη στηλών.

2. Πολλαπλασιασμός των στοιχείων οποιασδήποτε στήλης με έναν μη μηδενικό παράγοντα.

3. Προσθήκη οποιασδήποτε άλλης στήλης σε μια στήλη, πολλαπλασιαζόμενη με έναν αυθαίρετο αριθμό.

4. Διασταύρωση της στήλης μηδέν.

Το ίδιο ισχύει και για τα έγχορδα.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους μετασχηματισμούς, η μήτρα μπορεί να μετατραπεί στη λεγόμενη "τραπεζοειδή" μορφή - μια μήτρα με μόνο μηδενικά κάτω από την κύρια διαγώνιο. Για έναν "τραπεζοειδή" πίνακα, η κατάταξη είναι ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων στην κύρια διαγώνιο και η βασική ελάσσονα είναι η ελάσσονα του οποίου η διαγώνιος συμπίπτει με το σύνολο των μη μηδενικών στοιχείων στην κύρια διαγώνιο του μετασχηματισμένου πίνακα.

Παράδειγμα. Εξετάστε τη μήτρα

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(πίνακας) \δεξιά). \] Θα το μετατρέψουμε χρησιμοποιώντας τους παραπάνω μετασχηματισμούς. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

Εδώ κάνουμε διαδοχικά τα ακόλουθα βήματα: 1) αναδιατάσσουμε τη δεύτερη γραμμή προς τα πάνω, 2) αφαιρούμε την πρώτη γραμμή από την υπόλοιπη με έναν κατάλληλο παράγοντα, 3) αφαιρούμε τη δεύτερη γραμμή από την τρίτη 4 φορές, προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή στο τέταρτο, 4) διαγράψτε τις μηδενικές γραμμές - την τρίτη και την τέταρτη . Ο τελικός μας πίνακας έχει αποκτήσει το επιθυμητό σχήμα: υπάρχουν μη μηδενικοί αριθμοί στην κύρια διαγώνιο και μηδενικά κάτω από την κύρια διαγώνιο. Μετά από αυτό, η διαδικασία σταματά και ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων στην κύρια διαγώνιο είναι ίσος με την κατάταξη του πίνακα. Το βασικό δευτερεύον είναι οι δύο πρώτες σειρές και οι δύο πρώτες στήλες. Στη διασταύρωση τους υπάρχει ένας πίνακας τάξης 2 με μη μηδενική ορίζουσα. Ταυτόχρονα, επιστρέφοντας κατά μήκος της αλυσίδας των μετασχηματισμών, μπορείτε να εντοπίσετε από πού προήλθε αυτή ή εκείνη η σειρά (αυτή ή εκείνη η στήλη) στον τελικό πίνακα, δηλ. προσδιορίστε τις βασικές σειρές και στήλες στον αρχικό πίνακα. Σε αυτήν την περίπτωση, οι δύο πρώτες σειρές και οι δύο πρώτες στήλες αποτελούν τη βασική ελάσσονα.

«Αν θέλετε να μάθετε να κολυμπάτε, τότε μπείτε με τόλμη στο νερό και αν θέλετε να μάθετε για την επίλυση προβλημάτων, Οτι λύσε τα.»
D. Polya (1887-1985)

(Μαθηματικός. Συνέβαλε πολύ στη διάδοση των μαθηματικών. Έγραψε αρκετά βιβλία για το πώς να λύνουμε προβλήματα και πώς να διδάσκουμε την επίλυση προβλημάτων.)

Εξετάστε τη μήτρα

Ας τονίσουμε σε αυτό k-σειρέςΚαι κ-στήλες (k≤(min(m,n))). Από τα στοιχεία που βρίσκονται στη διασταύρωση των επιλεγμένων γραμμών και στηλών, θα συνθέσουμε μια ορίζουσα kthΣειρά. Όλες αυτές οι ορίζουσες ονομάζονται ανηλίκους αυτού του πίνακα.

Ας εξετάσουμε όλα τα πιθανά δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα ΕΝΑ, διαφορετικό από το μηδέν.

Κατάταξη μήτρας ΕΝΑείναι η μεγαλύτερη τάξη του μη μηδενικού ελάσσονος αυτού του πίνακα.

Εάν όλα τα στοιχεία ενός πίνακα είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη αυτού του πίνακα λαμβάνεται ίση με μηδέν.

Ένας ανήλικος του οποίου η σειρά καθορίζει την κατάταξη του πίνακα καλείται βασικός.

Ένας πίνακας μπορεί να έχει πολλά βασικά δευτερεύοντα.

Κατάταξη μήτρας ΕΝΑσυμβολίζεται με r(A). Αν r(A)=r(B), μετά οι πίνακες ΕΝΑΚαι ΣΕλέγονται ισοδύναμος. Γράφουν Α̴∼Β.

Ιδιότητες κατάταξης πίνακα:

Όταν ένας πίνακας μεταφέρεται, η κατάταξή του δεν αλλάζει.
Εάν διαγράψετε τη μηδενική γραμμή (στήλη) από τον πίνακα, η κατάταξη του πίνακα δεν θα αλλάξει.
Η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει κατά τους μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα.

Με τον όρο στοιχειώδεις μετασχηματισμοί εννοούμε:

Αναδιάταξη σειρών μήτρας.
Πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.
Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό.

Κατά τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν στοιχειώδεις μετασχηματισμοί, η μέθοδος αναγωγής του πίνακα σε σταδιακή μορφή και η μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων.

Μέθοδος για τη μείωση ενός πίνακα σε ένα βήμαΗ ιδέα είναι ότι με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών αυτός ο πίνακας ανάγεται σε έναν πίνακα βημάτων.

Ο πίνακας ονομάζεται πάτησε , εάν σε κάθε γραμμή του το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο βρίσκεται στα δεξιά από το προηγούμενο (δηλαδή, λαμβάνονται βήματα, το ύψος κάθε βήματος πρέπει να είναι ίσο με ένα).

Παραδείγματα πινάκων βημάτων:

Παραδείγματα πινάκων εκτός κλιμακίου:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Βρείτε την κατάταξη του πίνακα:

ΛΥΣΗ:

Ας αναγάγουμε αυτόν τον πίνακα σε έναν βηματικό πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

1. Αλλάξτε την πρώτη και την τρίτη γραμμή.

2. Παίρνουμε μηδενικά κάτω από ένα στην πρώτη στήλη.

Προσθέτοντας την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με (-3) στη δεύτερη γραμμή, την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με (-5) στην τρίτη γραμμή και την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με (-3) στην τέταρτη γραμμή, παίρνουμε

Για να γίνει πιο σαφές πού αλλού πρέπει να λάβετε μηδενικά, ας σχεδιάσουμε βήματα στον πίνακα. (Η μήτρα θα κλιμακωθεί εάν υπάρχουν μηδενικά παντού κάτω από τα βήματα)

3. Προσθέτοντας τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη με (-1) στην τρίτη γραμμή και τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη με (-1) στην τέταρτη γραμμή, παίρνουμε μηδενικά κάτω από τα βήματα της δεύτερης στήλης.

Αν σχεδιάσουμε ξανά τα βήματα, θα δούμε ότι ο πίνακας είναι βαθμιδωμένος.

Ο βαθμός της είναι r=3(ο αριθμός των σειρών του πίνακα βημάτων, σε καθεμία από τις οποίες τουλάχιστον ένα στοιχείο είναι διαφορετικό από το μηδέν). Επομένως, η κατάταξη αυτού του πίνακα r=3.

Η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

(Οι ρωμαϊκοί αριθμοί υποδεικνύουν τους αριθμούς των γραμμών)

Απάντηση: r=3.

Μικρή παραγγελία k+1, που περιέχει ένα μικρό της παραγγελίας κπου ονομάζεται συνορεύει με τον ανήλικο.

Μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκωνβασίζεται στο γεγονός ότι η κατάταξη ενός δεδομένου πίνακα είναι ίση με την τάξη ενός δευτερεύοντος αυτού του πίνακα που είναι μη μηδενική, και όλα τα ανήλικα που συνορεύουν με αυτόν είναι ίσα με μηδέν.

Έστω A ένας πίνακας μεγεθών m\ φορές n και k ένας φυσικός αριθμός που δεν υπερβαίνει τα m και n: k\leqslant\min\(m;n\). Μικρή kth σειράΟ πίνακας A είναι ο προσδιοριστής ενός πίνακα k-ης τάξης που σχηματίζεται από τα στοιχεία στη τομή αυθαίρετα επιλεγμένων k σειρών και k στηλών του πίνακα A. Όταν υποδηλώνουμε δευτερεύοντες δείκτες, θα υποδεικνύουμε τους αριθμούς των επιλεγμένων σειρών ως άνω δείκτες και τους αριθμούς των επιλεγμένων στηλών ως κατώτερους δείκτες, ταξινομώντας τους με αύξουσα σειρά.

Παράδειγμα 3.4.Γράψτε ανηλίκους διαφορετικών τάξεων του πίνακα

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Λύση.Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις 3\φορές4. Έχει: 12 ανηλίκους 1ης τάξης, για παράδειγμα, ανήλικα M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 ανήλικοι 2ης τάξης, για παράδειγμα, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 ανήλικοι τρίτης τάξης, για παράδειγμα,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Σε έναν πίνακα Α με διαστάσεις m\ φορές n, καλείται η ελάσσονα r-ης τάξης βασικός, αν είναι μη μηδενικό και όλα τα δευτερεύοντα της τάξης (r+1)-ro είναι ίσα με μηδέν ή δεν υπάρχουν καθόλου.

Κατάταξη μήτραςονομάζεται η τάξη του βασικού ελάσσονος. Δεν υπάρχει ελάσσονος βάσης σε μηδενικό πίνακα. Επομένως, η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα είναι, εξ ορισμού, ίση με μηδέν. Η κατάταξη του πίνακα Α συμβολίζεται με \όνομα χειριστή(rg)A.

Παράδειγμα 3.5.Βρείτε όλα τα βασικά ανήλικα και την κατάταξη μήτρας

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Λύση.Όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν, καθώς αυτοί οι ορίζοντες έχουν μηδενική τρίτη σειρά. Επομένως, μόνο ένα δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο που βρίσκεται στις δύο πρώτες σειρές του πίνακα μπορεί να είναι βασικό. Περνώντας από 6 πιθανά ανήλικα, επιλέγουμε μη μηδενικά

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Καθένα από αυτά τα πέντε ανήλικα είναι ένα βασικό. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι 2.

Σημειώσεις 3.2

1. Αν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα kth τάξης σε έναν πίνακα είναι ίσα με μηδέν, τότε τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα υψηλότερης τάξης είναι επίσης ίσα με μηδέν. Πράγματι, επεκτείνοντας την ελάσσονα της τάξης (k+1)-ro σε οποιαδήποτε σειρά, λαμβάνουμε το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων αυτής της σειράς κατά δευτερεύοντα της kth τάξης και είναι ίσα με μηδέν.

2. Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με την υψηλότερη τάξη του μη μηδενικού δευτερεύοντος αυτού του πίνακα.

3. Εάν ένας τετράγωνος πίνακας είναι μη ενικός, τότε η κατάταξή του είναι ίση με τη σειρά του. Εάν ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ενικός, τότε η κατάταξή του είναι μικρότερη από τη σειρά του.

4. Οι ονομασίες χρησιμοποιούνται και για την κατάταξη \όνομα χειριστή(Rg)A,~ \όνομα χειριστή(rang)A,~ \όνομα χειριστή(κατάταξη)A.

5. Κατάταξη μήτρας μπλοκορίζεται ως η κατάταξη ενός κανονικού (αριθμητικού) πίνακα, δηλ. ανεξάρτητα από τη δομή του μπλοκ του. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατάταξη ενός πίνακα μπλοκ δεν είναι μικρότερη από τις τάξεις των μπλοκ του: \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B)\geqslant\όνομα χειριστή(rg)AΚαι \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B)\geqslant\όνομα χειριστή(rg)B, αφού όλα τα δευτερεύοντα του πίνακα A (ή B ) είναι επίσης ελάσσονα του πίνακα μπλοκ (A\mid B) .

Θεωρήματα με βάση το ελάσσονα και την κατάταξη του πίνακα

Ας εξετάσουμε τα κύρια θεωρήματα που εκφράζουν τις ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των στηλών (γραμμών) ενός πίνακα.

Θεώρημα 3.1 με βάση το δευτερεύον.Σε έναν αυθαίρετο πίνακα Α, κάθε στήλη (σειρά) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών (γραμμών) στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα.

Πράγματι, χωρίς απώλεια γενικότητας, υποθέτουμε ότι σε έναν πίνακα Α μεγέθους m\ φορές n το βασικό ελάσσονα βρίσκεται στις πρώτες r σειρές και στις πρώτες r στήλες. Εξετάστε την ορίζουσα

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

που προκύπτει με την αντιστοίχιση των αντίστοιχων στοιχείων της ης σειράς και της kth στήλης στο βασικό μινόρε του πίνακα Α. Σημειώστε ότι για οποιαδήποτε 1\leqslant s\leqslant mκαι αυτή η ορίζουσα ισούται με μηδέν. Αν s\leqslant r ή k\leqslant r , τότε η ορίζουσα D περιέχει δύο ίδιες γραμμές ή δύο ίδιες στήλες. Αν s>r και k>r, τότε η ορίζουσα D είναι ίση με μηδέν, αφού είναι δευτερεύουσα τάξης (r+l)-ro. Επεκτείνοντας την ορίζουσα κατά μήκος της τελευταίας γραμμής, παίρνουμε

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

όπου D_(r+1\,j) είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων της τελευταίας σειράς. Σημειώστε ότι D_(r+1\,r+1)\ne0 αφού πρόκειται για δευτερεύουσα βάση. Να γιατί

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Οπου \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Γράφοντας την τελευταία ισότητα για s=1,2,\ldots,m, παίρνουμε

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

εκείνοι. kth στήλη (για οποιαδήποτε 1\leqslant k\leqslant n) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του βασικού δευτερεύοντος, το οποίο έπρεπε να αποδείξουμε.

Το θεώρημα ελάσσονος βάσης χρησιμεύει για να αποδείξει τα ακόλουθα σημαντικά θεωρήματα.

Προϋπόθεση για την ορίζουσα να είναι μηδέν

Θεώρημα 3.2 (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να είναι η ορίζουσα μηδέν).Για να είναι μια ορίζουσα ίση με το μηδέν, είναι απαραίτητο και αρκετό μια από τις στήλες της (μία από τις σειρές της) να είναι γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών (γραμμών).

Πράγματι, η αναγκαιότητα προκύπτει από το θεώρημα ελάσσονος βάσης. Αν η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης n είναι ίση με μηδέν, τότε η κατάταξή του είναι μικρότερη από n, δηλ. τουλάχιστον μία στήλη δεν περιλαμβάνεται στη βασική ελάσσονα. Τότε αυτή η επιλεγμένη στήλη, από το Θεώρημα 3.1, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα. Προσθέτοντας, εάν χρειάζεται, σε αυτόν τον συνδυασμό και άλλες στήλες με μηδενικούς συντελεστές, προκύπτει ότι η επιλεγμένη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών του πίνακα. Η επάρκεια προκύπτει από τις ιδιότητες της ορίζουσας. Αν, για παράδειγμα, η τελευταία στήλη A_n της ορίζουσας \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)εκφράζεται γραμμικά μέσα από τα υπόλοιπα

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

στη συνέχεια προσθέτοντας στη στήλη A_n A_1 πολλαπλασιασμένη με (-\lambda_1), στη συνέχεια στη στήλη A_2 πολλαπλασιασμένη με (-\lambda_2) κ.λπ. στήλη A_(n-1) πολλαπλασιαζόμενη επί (-\λάμδα_(n-1)) παίρνουμε την ορίζουσα \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)με μηδενική στήλη ίση με μηδέν (ιδιότητα 2 της ορίζουσας).

Αμετάβλητη κατάταξη πίνακα κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς

Θεώρημα 3.3 (για το αμετάβλητο της κατάταξης κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς). Κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών (γραμμών) ενός πίνακα, η κατάταξή του δεν αλλάζει.

Πράγματι, ας είναι. Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού των στηλών του πίνακα Α λάβαμε τον πίνακα Α". Εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου Ι (μετάθεση δύο στηλών), τότε οποιοδήποτε δευτερεύον (r+l)-ro της τάξης του πίνακα Α" είναι είτε ίσο με το αντίστοιχο δευτερεύον (r+l )-ro της τάξης του πίνακα Α, είτε διαφέρει από αυτόν ως προς το πρόσημο (ιδιότητα 3 της ορίζουσας). Εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου II (πολλαπλασιάζοντας τη στήλη με τον αριθμό \λάμδα\ne0 ), τότε οποιαδήποτε δευτερεύουσα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A" είναι είτε ίση με την αντίστοιχη ελάσσονα (r+l) -ro της τάξης του πίνακα A ή διαφορετικός από αυτόν παράγοντας \λάμδα\ne0 (ιδιότητα 6 της ορίζουσας εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου III (προσθήκη σε μια στήλη άλλη στήλη πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό \Λάμδα). ελάσσονα της (r+1) ης τάξης του πίνακα Α" είναι είτε ίση με την αντίστοιχη δευτερεύουσα. (r+1)-η τάξη του πίνακα Α (ιδιότητα 9 της ορίζουσας), είτε είναι ίση με το άθροισμα των δύο δευτερεύουσες (r+l)-ro της τάξης του πίνακα Α (ιδιότητα 8 της ορίζουσας). Επομένως, κάτω από έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό οποιουδήποτε τύπου, όλα τα δευτερεύοντα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A" είναι ίσα με μηδέν, αφού όλα τα δευτερεύοντα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A είναι ίση με μηδέν, έχει αποδειχθεί ότι κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στηλών ο πίνακας κατάταξης δεν μπορεί να αυξηθεί, δεδομένου ότι οι μετασχηματισμοί αντίστροφοι προς τους στοιχειώδεις είναι στοιχειώδεις, η κατάταξη του πίνακα δεν μπορεί να μειωθεί κάτω από τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών, δηλ. απέδειξε ότι η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει υπό στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των σειρών.

Συμπέρασμα 1. Εάν μια σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων σειρών του (στήλες), τότε αυτή η σειρά (στήλη) μπορεί να διαγραφεί από τον πίνακα χωρίς να αλλάξει η κατάταξή του.

Πράγματι, μια τέτοια συμβολοσειρά μπορεί να μηδενιστεί χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς και μια μηδενική συμβολοσειρά δεν μπορεί να συμπεριληφθεί στη βασική ελάσσονα.

Συμπέρασμα 2. Εάν ο πίνακας μειωθεί στην απλούστερη μορφή (1.7), τότε

\όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)\Λάμδα=r\,.

Πράγματι, ο πίνακας της απλούστερης μορφής (1.7) έχει ελάσσονα βάσης της τάξης r.

Συμπέρασμα 3. Κάθε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας είναι στοιχειώδης, με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.

Πράγματι, αν το Α είναι ένας μη ενικός τετραγωνικός πίνακας νης τάξης, τότε \όνομα χειριστή(rg)A=n(βλ. παράγραφο 3 των σχολίων 3.2). Επομένως, φέρνοντας τον πίνακα A στην απλούστερη μορφή (1.7) με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε τον πίνακα ταυτότητας \Lambda=E_n , αφού \όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)\Λάμδα=n(βλ. Συμπέρασμα 2). Επομένως, ο πίνακας Α είναι ισοδύναμος με τον πίνακα ταυτότητας E_n και μπορεί να ληφθεί από αυτόν ως αποτέλεσμα ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών. Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας Α είναι στοιχειώδης.

Θεώρημα 3.4 (σχετικά με την κατάταξη του πίνακα). Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων σειρών αυτού του πίνακα.

Στην πραγματικότητα, ας \όνομα χειριστή(rg)A=r. Τότε ο πίνακας Α έχει r γραμμικά ανεξάρτητες σειρές. Αυτές είναι οι γραμμές στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα. Εάν ήταν γραμμικά εξαρτώμενα, τότε αυτό το δευτερεύον θα ήταν ίσο με μηδέν από το Θεώρημα 3.2, και η κατάταξη του πίνακα A δεν θα ήταν ίση με r. Ας δείξουμε ότι το r είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών, δηλ. οποιεσδήποτε σειρές p εξαρτώνται γραμμικά για το p>r. Πράγματι, σχηματίζουμε τον πίνακα B από αυτές τις σειρές p. Εφόσον ο πίνακας Β είναι μέρος του πίνακα Α, τότε \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον μία σειρά του πίνακα Β δεν περιλαμβάνεται στη βασική ελάσσονα αυτού του πίνακα. Τότε, με το θεώρημα ελάσσονος βάσης, ισούται με έναν γραμμικό συνδυασμό των σειρών στις οποίες βρίσκεται το ελάσσονα βάσης. Επομένως, οι σειρές του πίνακα Β εξαρτώνται γραμμικά. Έτσι, ο πίνακας Α έχει το πολύ r γραμμικά ανεξάρτητες σειρές.

Συμπέρασμα 1. Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων στηλών:

\όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)A^T.

Αυτή η δήλωση προκύπτει από το Θεώρημα 3.4 εάν την εφαρμόσουμε στις σειρές ενός μετατιθέμενου πίνακα και λάβουμε υπόψη ότι οι δευτερεύουσες δεν αλλάζουν κατά τη μεταφορά (ιδιότητα 1 της ορίζουσας).

Συμπέρασμα 2. Κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των σειρών ενός πίνακα, διατηρείται η γραμμική εξάρτηση (ή γραμμική ανεξαρτησία) οποιουδήποτε συστήματος στηλών αυτού του πίνακα.

Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε οποιεσδήποτε k στήλες ενός δεδομένου πίνακα A και ας συνθέσουμε τον πίνακα B από αυτές. Ας ληφθεί ο πίνακας Α" ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα Α και ο πίνακας Β" ως αποτέλεσμα των ίδιων μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα Β. Με το Θεώρημα 3.3 \όνομα χειριστή(rg)B"=\όνομα χειριστή(rg)B. Επομένως, εάν οι στήλες του πίνακα Β ήταν γραμμικά ανεξάρτητες, π.χ. k=\όνομα χειριστή(rg)B(βλ. Συμπέρασμα 1), τότε οι στήλες του πίνακα Β" είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητες, αφού k=\όνομα χειριστή(rg)B". Αν οι στήλες του πίνακα Β ήταν γραμμικά εξαρτημένες (k>\όνομα χειριστή(rg)B), τότε οι στήλες του πίνακα Β" εξαρτώνται επίσης γραμμικά (k>\όνομα χειριστή(rg)B"). Συνεπώς, για οποιεσδήποτε στήλες του πίνακα Α, η γραμμική εξάρτηση ή η γραμμική ανεξαρτησία διατηρείται κάτω από μετασχηματισμούς στοιχειωδών σειρών.

Σημειώσεις 3.3

1. Σύμφωνα με το Συμπέρασμα 1 του Θεωρήματος 3.4, η ιδιότητα των στηλών που υποδεικνύεται στο Συμπέρασμα 2 ισχύει επίσης για οποιοδήποτε σύστημα σειρών πινάκων εάν εκτελούνται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μόνο στις στήλες του.

2. Το συμπέρασμα 3 του Θεωρήματος 3.3 μπορεί να βελτιωθεί ως εξής: οποιοσδήποτε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς μόνο των γραμμών του (ή μόνο των στηλών του), μπορεί να αναχθεί σε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.

Στην πραγματικότητα, χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών, οποιοσδήποτε πίνακας Α μπορεί να αναχθεί στην απλοποιημένη μορφή \Λάμδα (Εικ. 1.5) (βλ. Θεώρημα 1.1). Δεδομένου ότι ο πίνακας A είναι μη ενικός (\det(A)\ne0), οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αυτό σημαίνει ότι οι στήλες του πίνακα \Λάμδα είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητες (Συνέπεια 2 του Θεωρήματος 3.4). Επομένως, η απλοποιημένη μορφή \Λάμδα ενός μη ενικού πίνακα Α συμπίπτει με την απλούστερη μορφή του (Εικ. 1.6) και είναι ο πίνακας ταυτότητας \Λάμδα=Ε (βλ. Συμπέρασμα 3 του Θεωρήματος 3.3). Έτσι, μετασχηματίζοντας μόνο τις σειρές ενός μη μοναδικού πίνακα, μπορεί να αναχθεί στον πίνακα ταυτότητας. Παρόμοιος συλλογισμός ισχύει για στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών ενός μη ενικού πίνακα.

Κατάταξη προϊόντος και άθροισμα πινάκων

Θεώρημα 3.5 (για την κατάταξη του γινομένου των πινάκων). Η κατάταξη του γινομένου των πινάκων δεν υπερβαίνει την κατάταξη των παραγόντων:

\όνομα χειριστή(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\όνομα χειριστή(rg)A,\όνομα χειριστή(rg)B\).

Πράγματι, έστω ότι οι πίνακες Α και Β έχουν μεγέθη m\ φορές p και p\ φορές n . Ας αντιστοιχίσουμε στον πίνακα Α τον πίνακα C=AB\colon\,(A\mid C). Φυσικά αυτό \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)(A\mid C), αφού το C είναι μέρος του πίνακα (A\mid C) (βλ. παράγραφο 5 των παρατηρήσεων 3.2). Σημειώστε ότι κάθε στήλη C_j, σύμφωνα με την πράξη πολλαπλασιασμού του πίνακα, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών A_1,A_2,\ldots,A_pμήτρες A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Μια τέτοια στήλη μπορεί να διαγραφεί από τον πίνακα (A\mid C) χωρίς να αλλάξει η κατάταξή της (Συμπέρασμα 1 του Θεωρήματος 3.3). Διασχίζοντας όλες τις στήλες του πίνακα C, παίρνουμε: \όνομα χειριστή(rg)(A\mid C)=\όνομα χειριστή(rg)A. Από εδώ, \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)(A\mid C)=\όνομα χειριστή(rg)A. Ομοίως, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η προϋπόθεση ικανοποιείται ταυτόχρονα \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)B, και βγάλτε ένα συμπέρασμα σχετικά με την εγκυρότητα του θεωρήματος.

Συνέπεια. Αν Ο Α είναι λοιπόν ένας μη ενικός τετραγωνικός πίνακαςΚαι \όνομα χειριστή(rg)(AB)= \όνομα χειριστή(rg)B, δηλ. η κατάταξη ενός πίνακα δεν αλλάζει όταν πολλαπλασιάζεται από αριστερά ή δεξιά με έναν μη ενικό τετράγωνο πίνακα.

Θεώρημα 3.6 για την κατάταξη των αθροισμάτων πινάκων. Η κατάταξη του αθροίσματος των πινάκων δεν υπερβαίνει το άθροισμα των βαθμών των όρων:

\όνομα χειριστή(rg)(A+B)\leqslant \όνομα χειριστή(rg)A+\όνομα χειριστή(rg)B.

Πράγματι, ας δημιουργήσουμε μια μήτρα (A+B\mid A\mid B). Σημειώστε ότι κάθε στήλη του πίνακα A+B είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών των πινάκων Α και Β. Να γιατί \όνομα χειριστή(rg)(A+B\mid A\mid B)= \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B). Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών στον πίνακα (A\mid B) δεν υπερβαίνει \όνομα χειριστή(rg)A+\όνομα χειριστή(rg)B,ένα \όνομα χειριστή(rg)(A+B)\leqslant \όνομα χειριστή(rg)(A+B\mid A\mid B)(βλ. ενότητα 5 των Παρατηρήσεων 3.2), λαμβάνουμε την ανισότητα που αποδεικνύεται.