Η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ονομάζεται. Δείτε τις σελίδες όπου αναφέρεται ο όρος αντικειμενική συνάρτηση
Αντικειμενική λειτουργία- μια πραγματική ή ακέραια συνάρτηση πολλών μεταβλητών που υπόκειται σε βελτιστοποίηση (ελαχιστοποίηση ή μεγιστοποίηση) προκειμένου να λυθεί κάποιο πρόβλημα βελτιστοποίησης. Ο όρος χρησιμοποιείται στον μαθηματικό προγραμματισμό, την έρευνα λειτουργιών, τον γραμμικό προγραμματισμό, τη στατιστική θεωρία αποφάσεων και άλλους τομείς των μαθηματικών, κυρίως εφαρμοσμένου χαρακτήρα, αν και ο στόχος της βελτιστοποίησης μπορεί επίσης να είναι η λύση του ίδιου του μαθηματικού προβλήματος. Εκτός από την αντικειμενική συνάρτηση στο πρόβλημα βελτιστοποίησης, μπορούν να καθοριστούν περιορισμοί για μεταβλητές με τη μορφή ενός συστήματος ισοτήτων ή ανισοτήτων. Γενικά, τα ορίσματα της αντικειμενικής συνάρτησης μπορούν να καθοριστούν σε αυθαίρετα σύνολα.
Παραδείγματα
Ομαλές συναρτήσεις και συστήματα εξισώσεων
Το πρόβλημα της επίλυσης οποιουδήποτε συστήματος εξισώσεων
( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \left\((\begin(matrix)F_(1)(x_(1),x_(2),\lddots ,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots ,x_(M))=0\\\lddos \\F_(N)(x_(1),x_(2),\lddots ,x_(M))=0\end(μήτρα) )\σωστά.)
μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης
S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\lddots ,x_(M))\qquad (1))
Εάν οι συναρτήσεις είναι ομαλές, τότε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μεθόδους κλίσης.
Για οποιαδήποτε ομαλή αντικειμενική συνάρτηση, οι μερικές παράγωγοι σε σχέση με όλες τις μεταβλητές μπορούν να εξισωθούν με 0 (\displaystyle 0). Το βέλτιστο της αντικειμενικής συνάρτησης θα είναι μία από τις λύσεις σε ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων. Στην περίπτωση της συνάρτησης (1) (\displaystyle (1)), αυτό θα είναι ένα σύστημα εξισώσεων που χρησιμοποιεί τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (LSM). Κάθε λύση του αρχικού συστήματος είναι μια λύση του συστήματος των ελαχίστων τετραγώνων. Εάν το αρχικό σύστημα είναι ασυνεπές, τότε το σύστημα των ελαχίστων τετραγώνων, το οποίο έχει πάντα μια λύση, μας επιτρέπει να λάβουμε μια κατά προσέγγιση λύση του αρχικού συστήματος. Ο αριθμός των εξισώσεων στο σύστημα των ελαχίστων τετραγώνων συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων, γεγονός που μερικές φορές διευκολύνει τη λύση των κοινών αρχικών συστημάτων.
Γραμμικός προγραμματισμός
Ένα άλλο πολύ γνωστό παράδειγμα αντικειμενικής συνάρτησης είναι μια γραμμική συνάρτηση, η οποία προκύπτει σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Σε αντίθεση με την τετραγωνική αντικειμενική συνάρτηση, η βελτιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι δυνατή μόνο εάν υπάρχουν περιορισμοί με τη μορφή ενός συστήματος γραμμικών ισοτήτων ή ανισοτήτων.
Συνδυαστική βελτιστοποίηση
Ένα τυπικό παράδειγμα μιας συνδυαστικής αντικειμενικής συνάρτησης είναι η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του περιοδεύοντος πωλητή. Αυτή η συνάρτηση είναι ίση με το μήκος του κύκλου Hamiltonian στο γράφημα. Ορίζεται στο σύνολο των μεταθέσεων των n − 1 (\displaystyle n-1) κορυφών του γραφήματος και καθορίζεται από τον πίνακα των μηκών ακμών του γραφήματος. Η ακριβής λύση σε τέτοια προβλήματα συχνά καταλήγει στην απαρίθμηση επιλογών.
Κεφάλαιο 1. Δήλωση του κύριου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού
Γραμμικός προγραμματισμός
Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι ένας κλάδος του μαθηματικού προγραμματισμού που μελετά μεθόδους για την επίλυση ακραίων προβλημάτων που χαρακτηρίζονται από μια γραμμική σχέση μεταξύ μεταβλητών και ενός γραμμικού κριτηρίου. Τέτοια προβλήματα βρίσκουν εκτεταμένες εφαρμογές σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Η συστηματική μελέτη προβλημάτων αυτού του τύπου ξεκίνησε το 1939-1940. στα έργα του L.V. Καντόροβιτς.
Τα μαθηματικά προβλήματα του γραμμικού προγραμματισμού περιλαμβάνουν μελέτες συγκεκριμένων παραγωγικών και οικονομικών καταστάσεων, οι οποίες με τη μία ή την άλλη μορφή ερμηνεύονται ως προβλήματα σχετικά με τη βέλτιστη χρήση περιορισμένων πόρων.
Το εύρος των προβλημάτων που επιλύονται με τη χρήση μεθόδων γραμμικού προγραμματισμού είναι αρκετά ευρύ. Αυτά είναι, για παράδειγμα:
το πρόβλημα της βέλτιστης χρήσης των πόρων στον προγραμματισμό παραγωγής·
πρόβλημα μείγματος (σχεδιασμός σύνθεσης προϊόντος).
το πρόβλημα της εύρεσης του βέλτιστου συνδυασμού διαφορετικών τύπων προϊόντων για αποθήκευση σε αποθήκες (διαχείριση αποθεμάτων ή)·
εργασίες μεταφοράς (ανάλυση της τοποθεσίας της επιχείρησης, διακίνηση εμπορευμάτων).
Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι το πιο ανεπτυγμένο και ευρέως χρησιμοποιούμενο τμήμα του μαθηματικού προγραμματισμού (επιπλέον, αυτό περιλαμβάνει: ακέραιο, δυναμικό, μη γραμμικό, παραμετρικό προγραμματισμό). Αυτό εξηγείται ως εξής:
Τα μαθηματικά μοντέλα μεγάλου αριθμού οικονομικών προβλημάτων είναι γραμμικά σε σχέση με τις απαιτούμενες μεταβλητές.
Αυτό το είδος προβλήματος είναι σήμερα το πιο μελετημένο. Έχουν αναπτυχθεί ειδικές μέθοδοι για αυτό, με τη βοήθεια των οποίων επιλύονται αυτά τα προβλήματα, και αντίστοιχα προγράμματα υπολογιστών.
Πολλά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, έχοντας λυθεί, έχουν βρει ευρεία εφαρμογή.
Ορισμένα προβλήματα, τα οποία στην αρχική διατύπωση δεν είναι γραμμικά, μετά από έναν αριθμό πρόσθετων περιορισμών και παραδοχών μπορούν να γίνουν γραμμικά ή να περιοριστούν σε τέτοια μορφή ώστε να μπορούν να επιλυθούν με μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού.
Το οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο κάθε προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού περιλαμβάνει: μια αντικειμενική συνάρτηση, η βέλτιστη τιμή της οποίας (μέγιστη ή ελάχιστη) πρέπει να βρεθεί. περιορισμοί με τη μορφή συστήματος γραμμικών εξισώσεων ή ανισοτήτων· απαίτηση μη αρνητικότητας μεταβλητών.
Σε γενικές γραμμές, το μοντέλο γράφεται ως εξής:
αντικειμενική λειτουργία
(1.1) με περιορισμούς
(1.2) απαιτήσεις μη αρνητικότητας
(1.3) όπου Χ ι– μεταβλητές (άγνωστες).
- συντελεστές του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.
Το πρόβλημα είναι να βρεθεί η βέλτιστη τιμή της συνάρτησης (1.1) που υπόκειται στους περιορισμούς (1.2) και (1.3).
Το σύστημα των περιορισμών (1.2) ονομάζεται λειτουργικοί περιορισμοί του προβλήματος και οι περιορισμοί (1.3) ονομάζονται άμεσοι.
Ένα διάνυσμα που ικανοποιεί τους περιορισμούς (1.2) και (1.3) ονομάζεται αποδεκτή λύση (σχέδιο) ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Το σχέδιο στο οποίο η συνάρτηση (1.1) φτάνει τη μέγιστη (ελάχιστη) τιμή της ονομάζεται βέλτιστη.
1.2. Μέθοδος Simplex για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού
Η μέθοδος simplex αναπτύχθηκε και χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά για την επίλυση προβλημάτων το 1947 από τον Αμερικανό μαθηματικό J. Danzig.
Τα προβλήματα δισδιάστατου γραμμικού προγραμματισμού επιλύονται γραφικά. Για την περίπτωση N=3, μπορούμε να θεωρήσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο και η αντικειμενική συνάρτηση θα φτάσει τη βέλτιστη τιμή της σε μία από τις κορυφές του πολυέδρου.
Μια αποδεκτή λύση (αποδεκτό σχέδιο) ενός προβλήματος LP που δίνεται σε τυπική μορφή είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών (x1, x2, ..., xn) που ικανοποιεί τους περιορισμούς. είναι ένα σημείο στον ν-διάστατο χώρο.
Το σύνολο των αποδεκτών λύσεων σχηματίζει την περιοχή των αποδεκτών λύσεων (ADS) του προβλήματος LP. Το ODR είναι ένα κυρτό πολύεδρο (πολύγωνο).
Γενικά, όταν το πρόβλημα περιλαμβάνει N-άγνωστα, μπορούμε να πούμε ότι η περιοχή των εφικτών λύσεων που ορίζεται από το σύστημα περιοριστικών συνθηκών αντιπροσωπεύεται από ένα κυρτό πολύεδρο σε ν-διάστατο χώρο και η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης επιτυγχάνεται σε ένα ή περισσότερες κορυφές.
Βασική λύση είναι μια λύση στην οποία όλες οι ελεύθερες μεταβλητές είναι ίσες με μηδέν.
Μια λύση υποστήριξης είναι μια βασική μη αρνητική λύση. Η λύση υποστήριξης μπορεί να είναι μη εκφυλισμένη και εκφυλισμένη. Μια λύση αναφοράς ονομάζεται μη εκφυλισμένη εάν ο αριθμός των μη μηδενικών συντεταγμένων της είναι ίσος με την κατάταξη του συστήματος, διαφορετικά είναι εκφυλισμένη.
Μια αποδεκτή λύση στην οποία η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει την ακραία της τιμή ονομάζεται βέλτιστη και συμβολίζεται 
.
Είναι πολύ δύσκολο να λυθούν αυτά τα προβλήματα γραφικά όταν ο αριθμός των μεταβλητών είναι μεγαλύτερος από 3. Υπάρχει ένας καθολικός τρόπος επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, που ονομάζεται μέθοδος simplex.
Η μέθοδος simplex είναι μια καθολική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων LP, η οποία είναι μια επαναληπτική διαδικασία που ξεκινά με μία λύση και, αναζητώντας την καλύτερη επιλογή, κινείται κατά μήκος των γωνιακών σημείων της περιοχής των εφικτών λύσεων μέχρι να φτάσει στη βέλτιστη τιμή.
Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.
Η μέθοδος simplex βασίζεται στην ιδέα της διαδοχικής βελτίωσης της λύσης που προκύπτει.
Η γεωμετρική έννοια της μεθόδου simplex είναι μια διαδοχική μετάβαση από μια κορυφή του πολυεδρικού περιορισμού στη γειτονική, στην οποία η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει την καλύτερη (ή τουλάχιστον όχι τη χειρότερη) τιμή μέχρι να βρεθεί η βέλτιστη λύση - η κορυφή όπου η βέλτιστη τιμή επιτυγχάνεται συνάρτηση του στόχου (αν το πρόβλημα έχει ένα τελικό βέλτιστο).
Έτσι, έχοντας ένα σύστημα περιορισμών μειωμένο σε κανονική μορφή (όλοι οι λειτουργικοί περιορισμοί έχουν τη μορφή ισοτήτων), βρίσκουν οποιαδήποτε βασική λύση σε αυτό το σύστημα, φροντίζοντας μόνο να το βρουν όσο πιο απλά γίνεται. Εάν η πρώτη βασική λύση που βρέθηκε αποδειχθεί εφικτή, τότε ελέγχεται για βέλτιστη. Εάν δεν είναι βέλτιστη, τότε γίνεται μετάβαση σε μια άλλη, κατ' ανάγκη αποδεκτή, βασική λύση. Η μέθοδος simplex εγγυάται ότι με αυτή τη νέα λύση η αντικειμενική συνάρτηση, εάν δεν φτάσει στο βέλτιστο, θα την προσεγγίσει (ή τουλάχιστον δεν θα απομακρυνθεί από αυτήν). Το ίδιο γίνεται με μια νέα εφικτή βασική λύση μέχρι να βρεθεί μια λύση που είναι η βέλτιστη.
Η διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου simplex περιλαμβάνει την εφαρμογή των τριών βασικών στοιχείων της:
μια μέθοδος για τον προσδιορισμό οποιασδήποτε αρχικής εφικτής βασικής λύσης σε ένα πρόβλημα.
ο κανόνας της μετάβασης στην καλύτερη (ακριβέστερα, όχι χειρότερη) λύση.
κριτήριο ελέγχου της βέλτιστης λύσης που βρέθηκε.
Η μέθοδος simplex περιλαμβάνει μια σειρά από στάδια και μπορεί να διατυπωθεί με τη μορφή ενός σαφούς αλγορίθμου (μια σαφής οδηγία για την εκτέλεση διαδοχικών πράξεων). Αυτό σας επιτρέπει να προγραμματίσετε και να το εφαρμόσετε με επιτυχία σε έναν υπολογιστή. Προβλήματα με μικρό αριθμό μεταβλητών και περιορισμών μπορούν να λυθούν χειροκίνητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex.
6.1.Εισαγωγή
Βελτιστοποίηση. Μέρος 1
Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης σάς επιτρέπουν να επιλέξετε την καλύτερη επιλογή σχεδίασης από όλες τις πιθανές επιλογές. Τα τελευταία χρόνια, έχει δοθεί μεγάλη προσοχή σε αυτές τις μεθόδους, και ως αποτέλεσμα, έχουν αναπτυχθεί αρκετοί αλγόριθμοι υψηλής απόδοσης που καθιστούν δυνατή την εύρεση της βέλτιστης επιλογής σχεδίασης χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή. Αυτό το κεφάλαιο περιγράφει τα βασικά της θεωρίας βελτιστοποίησης, εξετάζει τις αρχές που διέπουν την κατασκευή αλγορίθμων για βέλτιστες λύσεις, περιγράφει τους πιο γνωστούς αλγόριθμους και αναλύει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους.
6.2.Βασικές αρχές της θεωρίας βελτιστοποίησης
Ο όρος «βελτιστοποίηση» στη βιβλιογραφία αναφέρεται σε μια διαδικασία ή μια ακολουθία λειτουργιών που επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει μια εκλεπτυσμένη λύση. Αν και ο απώτερος στόχος της βελτιστοποίησης είναι η εύρεση της καλύτερης ή «βέλτιστης» λύσης, συνήθως πρέπει να αρκεστούμε στη βελτίωση των γνωστών λύσεων αντί να τις τελειοποιήσουμε. Επομένως, η βελτιστοποίηση νοείται μάλλον ως επιθυμία για τελειότητα, η οποία μπορεί να μην επιτευχθεί.
Λαμβάνοντας υπόψη κάποιο αυθαίρετο σύστημα που περιγράφεται από m εξισώσεις με n αγνώστους, μπορούμε να διακρίνουμε τρεις κύριους τύπους προβλημάτων. Αν m=n, το πρόβλημα ονομάζεται αλγεβρικό. Αυτό το πρόβλημα έχει συνήθως μία λύση. Αν m>n, τότε το πρόβλημα είναι υπερκαθορισμένο και, κατά κανόνα, δεν έχει λύση. Τέλος, για τον μ
Πριν αρχίσουμε να συζητάμε θέματα βελτιστοποίησης, εισάγουμε έναν αριθμό ορισμών.
Παράμετροι σχεδίασης
Αυτός ο όρος υποδηλώνει παραμέτρους ανεξάρτητης μεταβλητής που καθορίζουν πλήρως και αναμφισβήτητα το πρόβλημα σχεδιασμού που επιλύεται. Οι παράμετροι σχεδιασμού είναι άγνωστες ποσότητες των οποίων οι τιμές υπολογίζονται κατά τη διαδικασία βελτιστοποίησης. Οποιεσδήποτε βασικές ή παράγωγες ποσότητες που χρησιμεύουν για την ποσοτική περιγραφή του συστήματος μπορούν να χρησιμεύσουν ως παράμετροι σχεδιασμού. Έτσι, αυτές μπορεί να είναι άγνωστες τιμές μήκους, μάζας, χρόνου, θερμοκρασίας. Ο αριθμός των παραμέτρων σχεδιασμού χαρακτηρίζει τον βαθμό πολυπλοκότητας ενός δεδομένου σχεδιαστικού προβλήματος. Συνήθως ο αριθμός των παραμέτρων σχεδιασμού συμβολίζεται με n και οι ίδιες οι παράμετροι σχεδιασμού με x με τους αντίστοιχους δείκτες. Έτσι, n παράμετροι σχεδιασμού αυτού του προβλήματος θα συμβολίζονται με
X1, x2, x3,...,xn.
Αντικειμενική λειτουργία
Είναι μια έκφραση της οποίας η τιμή ο μηχανικός προσπαθεί να κάνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη. Η αντικειμενική συνάρτηση σάς επιτρέπει να συγκρίνετε ποσοτικά δύο εναλλακτικές λύσεις. Από μαθηματική άποψη, η αντικειμενική συνάρτηση περιγράφει κάποια (n+1)-διάστατη επιφάνεια. Η τιμή του καθορίζεται από τις παραμέτρους σχεδιασμού
Μ=Μ(x 1, x 2,..., x n).
Παραδείγματα αντικειμενικών λειτουργιών που απαντώνται συχνά στην πρακτική της μηχανικής είναι το κόστος, το βάρος, η αντοχή, οι διαστάσεις, η απόδοση. Εάν υπάρχει μόνο μία παράμετρος σχεδιασμού, τότε η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί με μια καμπύλη στο επίπεδο (Εικ. 6.1). Εάν υπάρχουν δύο παράμετροι σχεδιασμού, τότε η αντικειμενική συνάρτηση θα απεικονιστεί ως επιφάνεια σε τρισδιάστατο χώρο (Εικ. 6.2). Με τρεις ή περισσότερες παραμέτρους σχεδίασης, οι επιφάνειες που καθορίζονται από την αντικειμενική συνάρτηση ονομάζονται υπερεπιφάνειες και δεν μπορούν να απεικονιστούν.
γάμο με συνηθισμένα μέσα. Οι τοπολογικές ιδιότητες της επιφάνειας της αντικειμενικής συνάρτησης παίζουν μεγάλο ρόλο στη διαδικασία βελτιστοποίησης, αφού από αυτές εξαρτάται η επιλογή του πιο αποδοτικού αλγορίθμου.
Η αντικειμενική συνάρτηση σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να λάβει τις πιο απροσδόκητες μορφές. Για παράδειγμα, δεν είναι πάντα δυνατό να το εκφράσουμε
Εικ. 1. Μονοδιάστατη αντικειμενική συνάρτηση.
Εικ. 6.2. Δισδιάστατη αντικειμενική συνάρτηση.
κλειστή μαθηματική μορφή, σε άλλες περιπτώσεις μπορεί
αντιπροσωπεύουν μια τμηματικά ομαλή λειτουργία. Για να καθορίσετε την αντικειμενική συνάρτηση, μερικές φορές μπορεί να χρειαστείτε έναν πίνακα τεχνικών δεδομένων (για παράδειγμα, έναν πίνακα της κατάστασης των υδρατμών) ή μπορεί να χρειαστεί να πραγματοποιήσετε ένα πείραμα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι παράμετροι σχεδίασης λαμβάνουν μόνο ακέραιες τιμές. Ένα παράδειγμα θα ήταν ο αριθμός των δοντιών σε ένα σύστημα μετάδοσης ή ο αριθμός των μπουλονιών σε μια φλάντζα. Μερικές φορές οι παράμετροι σχεδιασμού έχουν μόνο δύο έννοιες - ναι ή όχι. Ποιοτικές παράμετροι, όπως η ικανοποίηση που βιώνει ο αγοραστής που αγόρασε το προϊόν, η αξιοπιστία, η αισθητική, είναι δύσκολο να ληφθούν υπόψη στη διαδικασία βελτιστοποίησης, καθώς είναι σχεδόν αδύνατο να χαρακτηριστούν ποσοτικά. Ωστόσο, σε οποιαδήποτε μορφή και αν παρουσιάζεται η αντικειμενική συνάρτηση, πρέπει να είναι μια σαφής συνάρτηση των παραμέτρων σχεδιασμού.
Ορισμένα προβλήματα βελτιστοποίησης απαιτούν την εισαγωγή περισσότερων της μιας αντικειμενικών συναρτήσεων. Μερικές φορές το ένα από αυτά μπορεί να αποδειχθεί ασυμβίβαστο με το άλλο. Ένα παράδειγμα είναι ο σχεδιασμός του αεροσκάφους, όπου απαιτούνται ταυτόχρονα μέγιστη αντοχή, ελάχιστο βάρος και ελάχιστο κόστος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο σχεδιαστής πρέπει να εισαγάγει ένα σύστημα προτεραιοτήτων και να εκχωρήσει έναν συγκεκριμένο αδιάστατο πολλαπλασιαστή σε κάθε αντικειμενική συνάρτηση. Ως αποτέλεσμα, εμφανίζεται μια "συνάρτηση συμβιβασμού", η οποία επιτρέπει τη χρήση μιας σύνθετης αντικειμενικής συνάρτησης κατά τη διαδικασία βελτιστοποίησης.
Εύρεση ελάχιστου και μέγιστου
Ορισμένοι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης έχουν σχεδιαστεί για να βρίσκουν το μέγιστο, άλλοι - για να βρίσκουν το ελάχιστο. Ωστόσο, ανεξάρτητα από τον τύπο του ακραίου προβλήματος που επιλύεται, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο αλγόριθμο, καθώς το πρόβλημα ελαχιστοποίησης μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε πρόβλημα μέγιστης αναζήτησης αντιστρέφοντας το πρόσημο της αντικειμενικής συνάρτησης. Αυτή η τεχνική απεικονίζεται στο Σχ. 6.3.
Σχεδιασμός χώρου
Αυτό είναι το όνομα της περιοχής που ορίζεται από όλες τις n παραμέτρους σχεδίασης. Ο χώρος σχεδιασμού δεν είναι τόσο μεγάλος όσο μπορεί να φαίνεται, αφού συνήθως περιορίζεται από έναν αριθμό
συνθήκες που σχετίζονται με τη φυσική ουσία του προβλήματος. Οι περιορισμοί μπορεί να είναι τόσο ισχυροί που το πρόβλημα δεν θα έχει κανέναν
Εικ.6.3.Αλλαγή του πρόσημου της αντικειμενικής συνάρτησης στο αντίθετο
η μέγιστη εργασία μετατρέπεται σε μια ελάχιστη εργασία.
ικανοποιητική λύση. Οι περιορισμοί χωρίζονται σε δύο ομάδες: περιορισμούς - ισότητα και περιορισμούς - ανισότητα.
Περιορισμοί – Ισότητες
Οι περιορισμοί - ισότητες - είναι οι εξαρτήσεις μεταξύ των παραμέτρων σχεδιασμού που πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά την εξεύρεση λύσης. Αντικατοπτρίζουν τους νόμους της φύσης, την οικονομία, τη νομοθεσία, τις επικρατούσες προτιμήσεις και τη διαθεσιμότητα των απαραίτητων υλικών. Ο αριθμός των περιορισμών - ισοτήτων μπορεί να είναι οποιοσδήποτε. Μοιάζουν σαν
C 1 (x 1 , x 2 ,..., x n)=0,
C 2 (x 1, x 2,..., x n)=0,
..................
C j (x 1 , x 2 ,..., x n)=0.
Εάν οποιαδήποτε από αυτές τις σχέσεις μπορεί να επιλυθεί σε σχέση με μία από τις παραμέτρους σχεδιασμού, τότε αυτό επιτρέπει την εξαίρεση αυτής της παραμέτρου από τη διαδικασία βελτιστοποίησης. Αυτό μειώνει τον αριθμό των διαστάσεων του χώρου σχεδιασμού και απλοποιεί τη λύση του προβλήματος.
Περιορισμοί – ανισότητες
Αυτός είναι ένας ειδικός τύπος περιορισμού που εκφράζεται με ανισότητες. Σε γενικές γραμμές, μπορεί να υπάρχουν όσα από αυτά θέλετε, και όλα έχουν τη μορφή
z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,..., x n) Z 1
z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,..., x n) Z 2
.......................
z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι πολύ συχνά, λόγω περιορισμών, η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης επιτυγχάνεται όχι εκεί όπου η επιφάνειά της έχει μηδενική κλίση. Συχνά η καλύτερη λύση αντιστοιχεί σε ένα από τα όρια του χώρου σχεδιασμού.
Τοπικό βέλτιστο
Αυτό είναι το όνομα του σημείου στο χώρο σχεδιασμού στο οποίο η αντικειμενική συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή σε σύγκριση με τις τιμές της σε όλα τα άλλα σημεία στην άμεση γειτνίασή της.
Εικ. 6.4. Μια αυθαίρετη αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να έχει πολλές
τοπική βέλτιστη.
Στο Σχ. Το σχήμα 6.4 δείχνει μια μονοδιάστατη αντικειμενική συνάρτηση που έχει δύο τοπικά βέλτιστα. Συχνά ο χώρος σχεδιασμού περιέχει πολλά τοπικά βέλτιστα και πρέπει να ληφθεί μέριμνα ώστε να μην μπερδευτεί το πρώτο ως η βέλτιστη λύση στο πρόβλημα.
Παγκόσμια βέλτιστη
Το παγκόσμιο βέλτιστο είναι η βέλτιστη λύση για ολόκληρο τον χώρο σχεδιασμού. Είναι καλύτερη από όλες τις άλλες λύσεις που αντιστοιχούν στο τοπικό optima και είναι αυτό που αναζητά ο σχεδιαστής. Είναι πιθανό να υπάρχουν πολλά ίσα παγκόσμια βέλτιστα που βρίσκονται σε διαφορετικά σημεία του σχεδιαστικού χώρου. Το πώς τίθεται ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης φαίνεται καλύτερα με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 6.1
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο δοχείο με όγκο 1 m που προορίζεται για τη μεταφορά μη συσκευασμένων ινών. Είναι επιθυμητό να δαπανηθεί όσο το δυνατόν λιγότερο υλικό για την κατασκευή τέτοιων δοχείων (υποθέτοντας σταθερό πάχος τοιχώματος, αυτό σημαίνει ότι η επιφάνεια πρέπει να είναι ελάχιστη), καθώς θα είναι φθηνότερο. Προκειμένου το δοχείο να παραλαμβάνεται εύκολα από περονοφόρο ανυψωτικό, το πλάτος του πρέπει να είναι τουλάχιστον 1,5 m.
Ας διατυπώσουμε αυτό το πρόβλημα σε μια μορφή κατάλληλη για την εφαρμογή του αλγόριθμου βελτιστοποίησης.
Παράμετροι σχεδίασης: x 1, x 2, x 3.
Η αντικειμενική συνάρτηση (η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί) είναι η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του δοχείου:
A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), m2.
Περιορισμός - ισότητα:
Όγκος = x 1 x 2 x 3 = 1m3.
Περιορισμός - ανισότητα:
Προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού
Γραμμικός προγραμματισμός (LP)είναι ένας από τους κλάδους του μαθηματικού προγραμματισμού - ένας κλάδος που μελετά ακραία προβλήματα (βελτιστοποίησης) και αναπτύσσει μεθόδους για την επίλυσή τους.
Πρόβλημα βελτιστοποίησηςείναι ένα μαθηματικό πρόβλημα που συνίσταται στην εύρεση της βέλτιστης (δηλαδή, μέγιστης ή ελάχιστης) τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης και οι τιμές των μεταβλητών πρέπει να ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο εύρος αποδεκτών τιμών (APV).
Γενικά, η διατύπωση ενός ακραίου προβλήματος μαθηματικού προγραμματισμού συνίσταται στον προσδιορισμό της μεγαλύτερης ή της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης που ονομάζεται λειτουργία στόχου, κάτω από συνθήκες (περιορισμούς), όπου και δίνονται συναρτήσεις και δίνονται σταθερές τιμές. Στην περίπτωση αυτή, οι περιορισμοί με τη μορφή ισοτήτων και ανισοτήτων καθορίζουν το σύνολο (εμβαδόν) των αποδεκτών λύσεων (ADS) και ονομάζονται παραμέτρους σχεδιασμού.
Ανάλογα με το είδος των συναρτήσεων, τα προβλήματα μαθηματικού προγραμματισμού χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες (γραμμικός, μη γραμμικός, κυρτός, ακέραιος, στοχαστικός, δυναμικός προγραμματισμός κ.λπ.).
ΣΕ γενική εικόνατο πρόβλημα LP έχει την εξής μορφή:
, (5.1)
, , (5.2)
, 
, (5.3)
όπου , , δίνονται σταθερές τιμές.
Η συνάρτηση (5.1) ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. συστήματα (5.2), (5.3) – σύστημα περιορισμών. συνθήκη (5.4) – η συνθήκη της μη αρνητικότητας των παραμέτρων σχεδιασμού.
Το σύνολο των παραμέτρων σχεδιασμού που ικανοποιούν τους περιορισμούς (5.2), (5.3) και (5.4) ονομάζεται αποδεκτή λύσηή σχέδιο.
Η βέλτιστη λύσηή βέλτιστο σχέδιοΤο πρόβλημα LP ονομάζεται αποδεκτή λύση στην οποία η αντικειμενική συνάρτηση (5.1) παίρνει τη βέλτιστη (μέγιστη ή ελάχιστη) τιμή.
Τυπική εργασίαΤο LP είναι το πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης (ελάχιστης) τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης (5.1) υπό τις συνθήκες (5.2) και (5.4), όπου , , δηλ. εκείνοι. περιορισμοί μόνο με τη μορφή ανισοτήτων (5.2) και όλες οι παράμετροι σχεδιασμού ικανοποιούν την προϋπόθεση της μη αρνητικότητας και δεν υπάρχουν προϋποθέσεις με τη μορφή ισοτήτων:
,
, , (5.5)
.
Κανονική (κύρια) εργασίαΤο LP είναι το πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης (ελάχιστης) τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης (5.1) υπό τις συνθήκες (5.3) και (5.4), όπου , , δηλ. εκείνοι. περιορισμοί μόνο με τη μορφή ισοτήτων (5.3) και όλες οι παράμετροι σχεδιασμού ικανοποιούν την προϋπόθεση της μη αρνητικότητας και δεν υπάρχουν προϋποθέσεις με τη μορφή ανισοτήτων:
,
.
Το κανονικό πρόβλημα LP μπορεί επίσης να γραφτεί σε μορφή μήτρας και διανύσματος.
Η μορφή μήτρας του κανονικού προβλήματος LP έχει την ακόλουθη μορφή:
Διανυσματική μορφή του κανονικού προβλήματος LP.
Λειτουργία στόχου. Αν τα έσοδα από την πώληση ενός τραπεζιού είναι ίσα με ΜΕ 1 ρούβλι, στη συνέχεια από την πώληση των τραπεζιών στον τόμο Χ 1 τεμάχιο μηνιαίο εισόδημα
θα είναι ΜΕ 1 Χ 1 ρούβλια. Αντίστοιχα, τα μηνιαία έσοδα από την πώληση ντουλαπιών θα είναι ΜΕ 2 Χ 2 ρούβλια. Δηλώνει το συνολικό εισόδημα (σε ρούβλια) μέσω Ζ, μπορούμε να δώσουμε την ακόλουθη μαθηματική διατύπωση της αντικειμενικής συνάρτησης: προσδιορίστε τις (αποδεκτές) τιμές Χ 1, και Χ 2 μεγιστοποίηση του ποσού του συνολικού εισοδήματος Ζ = ΜΕ 1 Χ 1 + ΜΕ 2 Χ 2 =
| 2 |
| ∑ |
| j=1 |
ντοι Χι.
Περιορισμοί. Κατά την επίλυση του υπό εξέταση προβλήματος, πρέπει να λαμβάνονται υπόψη οι περιορισμοί στην κατανάλωση πόρων. Η ξυλεία χρησιμοποιείται για την κατασκευή τραπεζιών και ντουλαπιών. Πηγαίνει σε ένα τραπέζι ΕΝΑ 11 (m 3) ξυλεία, στη συνέχεια για τραπέζια σε ποσότητα ΧΑπαιτείται 1 τεμάχιο ΕΝΑ 11 Χ 1 (m 3) ξυλεία. Για να φτιάξετε ντουλάπια σε ποσότητα x 2 τεμάχια θα χρειαστείτε ΕΝΑ 12 Χ 2 (m 3) ξυλεία. Απαιτείται συνολική ξυλεία ΕΝΑ 11 Χ 1 + ΕΝΑ 12 Χ 2 (m 3). Η κατανάλωσή του δεν πρέπει να υπερβαίνει την ποσότητα σι 1 (m 3). Στη συνέχεια γράφουμε τον περιορισμό στην ξυλεία ως ανισότητα
Για μεταβλητές εργασίες Χ 1 και Χ 2 πρέπει να επιβληθούν οι προϋποθέσεις της μη αρνητικότητας και αδιαιρέτου, δηλ. ας θέσουμε περιορισμούς
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0,
Οπου Χ 1 , Χ 2 είναι ακέραιοι.
Έτσι, το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος μπορεί να γραφτεί ως εξής: προσδιορίστε τους μηνιαίους όγκους παραγωγής των πινάκων Χ 1 και ντουλάπια Χ 2 στο οποίο επιτυγχάνεται
Πρέπει να σημειωθεί ότι από τυπική άποψη, το μοντέλο αυτό είναι γραμμικό, γιατί όλες οι συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτό (περιορισμοί και αντικειμενική συνάρτηση) είναι γραμμικές. Αλλά η γραμμική φύση του κατασκευασμένου μοντέλου θα πρέπει να προϋποθέτει την παρουσία δύο ιδιοτήτων - της αναλογικότητας και της προσθετικότητας. Η αναλογικότητα συνεπάγεται μια ευθέως αναλογική σχέση μεταξύ μιας μεταβλητής και μιας αντικειμενικής συνάρτησης και της ποσότητας κατανάλωσης περιορισμένων πόρων. Για παράδειγμα, η άμεση αναλογικότητα δεν θα πραγματοποιηθεί εάν εισαγάγουμε μια εξάρτηση του εισοδήματος του εργοστασίου από το μέγεθος της παρτίδας των προϊόντων που πωλούνται. Η προσθετικότητα παρατηρείται στο γεγονός ότι οι συνιστώσες του εισοδήματος στην αντικειμενική συνάρτηση είναι ανεξάρτητες, το συνολικό εισόδημα είναι ίσο με το ποσό του εισοδήματος. Εάν ένα εργοστάσιο παράγει δύο συγκεκριμένους τύπους προϊόντων, η αύξηση των πωλήσεων του ενός εκ των οποίων επηρεάζει αρνητικά τον όγκο πωλήσεων του άλλου, τότε ένα τέτοιο μοντέλο δεν έχει την ιδιότητα της προσθετικότητας.
Για τον προσδιορισμό των μεταβλητών του υπό εξέταση μοντέλου, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι γραμμικού προγραμματισμού. Η βασική μέθοδος LP είναι η μέθοδος simplex που αναπτύχθηκε από τον G. Danzig. Το πρόβλημα LP μπορεί επίσης να λυθεί γραφικά. Μια γραφική αναπαράσταση της λύσης του προβλήματος θα βοηθήσει στην κατανόηση της ιδέας της μεθόδου simplex. Ας καθορίσουμε το πρόβλημα παρουσιάζοντας τα αρχικά δεδομένα στον πίνακα. 3.1 (τα δεδομένα δίνονται υπό όρους).
Πίνακας 3.1
| Πόροι | Κατανάλωση πόρων ανά μονάδα παραγωγής | Απόθεμα πόρων |
|
| Τραπέζι | ΝΤΟΥΛΑΠΑ ΡΟΥΧΩΝ |
||
| Ξυλεία (m 3) | 0,06 | 0,07 | 42 |
| Βίδες (kg) | 0,04 | 0,085 | 34 |
| Βαφή (kg) | 0,035 | 0,12 | 42 |
| Τιμή μονάδας (RUB) | 500 | 750 | - |
Ας γράψουμε το μοντέλο του προβλήματος με τα δεδομένα:
Στη συνέχεια, δεν θα λάβουμε υπόψη τον περιορισμό (3.5) και θα βρούμε μια λύση στο πρόβλημα στρογγυλοποιώντας τις μεταβλητές του προβλήματος που βρέθηκαν (3.0-3.4).
44 :: 45 :: 46 :: 47 :: Περιεχόμενο
47 :: 48 :: 49 :: 50 :: 51 :: Περιεχόμενο
3.2.2. Γραφική μέθοδος επίλυσης του προβλήματος
Για να προσδιορίσετε τη λύση ZLP με δύο μεταβλητές Ας κάνουμε τα εξής:
1. Ας κατασκευάσουμε ένα σύνολο εφικτών λύσεων στο πρόβλημα Ω. Αυτό το σύνολο Ω σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της τομής ημιεπίπεδων (περιορισμοί) (3.1-3.4). Στο Σχ. 3.2 το σύνολο των εφικτών λύσεων εμφανίζεται ως πεντάγωνο. Οι περιοχές στις οποίες ικανοποιούνται οι αντίστοιχοι περιορισμοί με τη μορφή ανισοτήτων υποδεικνύονται με βέλη που κατευθύνονται προς τις επιτρεπόμενες τιμές των μεταβλητών. Το προκύπτον πολύεδρο Ω ονομάζεται απλό. Εξ ου και το όνομα της μεθόδου για την εύρεση της βέλτιστης λύσης.
2. Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα διαβάθμισης C, που αποτελείται από παραγώγους της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τις μεταβλητές του προβλήματος, το οποίο δείχνει την κατεύθυνση αύξησης της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς αυτές τις μεταβλητές. C = ( ΜΕ 1 , ΜΕ 2) = (500.750). Η αρχή αυτού του διανύσματος βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες (0, 0) και το τέλος στο σημείο (500, 750). Μια σειρά παράλληλων διακεκομμένων γραμμών κάθετων στο διάνυσμα κλίσης σχηματίζει ένα σύνολο στόχου
Λειτουργεί σε αυθαίρετα επιλεγμένες τιμές Ζ. Στο Ζ= 0 η ευθεία (αντικειμενική συνάρτηση) διέρχεται από το σημείο (0, 0), και η αντικειμενική συνάρτηση Ζπαίρνει την ελάχιστη τιμή.
Ρύζι. 3 2 Γεωμετρική ερμηνεία του ZLP
3. Ας μετακινήσουμε την ευθεία γραμμή που χαρακτηρίζει το εισόδημα Ζ, προς την κατεύθυνση της διανυσματικής κλίσης (για το πρόβλημα μέγ Ζ) μέχρι να περάσει στην περιοχή των απαράδεκτων λύσεων. Στο Σχ. 3.2 είναι σαφές ότι η βέλτιστη λύση αντιστοιχεί στο σημείο X* = ( Χ 1 *, Χ 2 *). Εφόσον το σημείο X* είναι το σημείο τομής των ευθειών (3.1) και (3.2), οι τιμές Χ 1* και Χ 2 * προσδιορίζονται με την επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων:
Η επίλυση αυτού του συστήματος εξισώσεων δίνει το αποτέλεσμα Χ 1 * = 517,4 και Χ 2 * = 156,5. Η λύση που προκύπτει σημαίνει ότι ο μηνιαίος όγκος παραγωγής των τραπεζιών πρέπει να είναι 517 τεμάχια και τα ντουλάπια - 156 τεμάχια. Το εισόδημα που θα ληφθεί σε αυτή την περίπτωση θα είναι:
Ζ= 517 · 500 + 156 · 750 = 375.500 ρούβλια
PLP με πολλές μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά εάν στην κανονική του σημειογραφία ο αριθμός των αγνώστων nκαι τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων εξισώσεων Μπου σχετίζονται με τη σχέση n-m≤ 2. Ας γράψουμε την κανονική μορφή του ZLP που εξετάσαμε παραπάνω. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε νέες μεταβλητές Χ 3 , Χ 4 και Χ 5 .
Για ένα δεδομένο ZLP, ο αριθμός των μεταβλητών n= 5, και ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων εξισώσεων Μ= 3. Αυτό και άλλα ZLP σε κανονική μορφή μπορούν να λυθούν γραφικά αν n-m ≤ 2.
Ας επιλέξουμε οποιοδήποτε Μάγνωστα και εκφράστε το καθένα από αυτά μέσα από τα υπόλοιπα ( n-m) μεταβλητές. Στην περίπτωσή μας, είναι βολικό να παίρνουμε μεταβλητές Χ 3 , Χ 4 και Χ 5 και εκφράστε τα μέσα από Χ 1 και Χ 2 .
Λαμβάνοντας υπόψη τη μη αρνητικότητα όλων των μεταβλητών, συμπεριλαμβανομένων Χ 3 ≥ 0, Χ 4 ≥ 0 και Χ 5 ≥ 0, καθώς και η εξάρτηση του τελευταίου από δύο μεταβλητές Χ 1 και Χ 2, μπορείτε να δείξετε γραφικά τη λύση στο εκτεταμένο πρόβλημα με προβολή σε μεταβλητές Χ 1 και Χ 2. Μισό αεροπλάνο Χ 3 ≥ 0 (βλ. Εικ. 3.2) συμπίπτει με τον περιορισμό (3.1), μισό επίπεδο Χ 4 ≥ 0 - με περιορισμό (3.2) και το ημιεπίπεδο Χ 5 ≥ 0 - με περιορισμό (3.3). Βέλτιστο σημείο σε συντεταγμένες Χ 1 και ΧΤο 2 σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της τομής ημιεπίπεδων Χ 3 και Χ 4: Χ 1 * = 517,4; Χ 2 = 156,5. Αντίστοιχα, οι τιμές των μεταβλητών Χ 3 Ä ΧΤο 4 θα είναι μηδέν: Χ 3 * =0; Χ 4 * = 0. Τότε από το (3.9) προκύπτει ότι Χ 5 * = 42 - 0,035 517,4 - 0,12 156,5 = 5,1. Η λύση στο ZLP (3.6-3.10) θα είναι το διάνυσμα Χ* = (517.4; 156.5; 0; 0; 5.1).
Η γεωμετρική αναπαράσταση του ZLP αντικατοπτρίζει τα ακόλουθα:
1) το σύνολο των αποδεκτών λύσεων Ω είναι κυρτό.
2) η βέλτιστη λύση δεν υπάρχει εάν το σύνολο Ω είναι κενό ή απεριόριστο προς την κατεύθυνση της μετακίνησης της οικογένειας των υπερεπιπέδων στο επίπεδο του στόχου αναζήτησης του άκρου.
3) η λύση βρίσκεται σε ένα από τα γωνιακά σημεία (κορυφές) του συνόλου των αποδεκτών λύσεων Ω, που ονομάζονται βασικές.
4) για το κανονικό ZLP, οι βασικές λύσεις χαρακτηρίζονται από το διάνυσμα Χ - (Χ 1 , Χ 2 ,..., Χιδ), στο οποίο οι τιμές Μοι μεταβλητές είναι μη μηδενικές, όπου Μ- ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων εξισώσεων του προβλήματος (ο αριθμός των βασικών μεταβλητών του γωνιακού σημείου του συνόλου Ω).
Για τη βέλτιστη λύση X* του εξεταζόμενου παραδείγματος, οι βασικές μεταβλητές ήταν οι μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 και Χ 5 . Υπόλοιπες μεταβλητές ( n - m) ονομάζονται μη βασικά ή δωρεάν. Οι τιμές τους στο γωνιακό σημείο είναι μηδέν.
Λάβετε υπόψη ότι οποιαδήποτε βασική μεταβλητή μπορεί να εκφραστεί σε όρους μη βασικών και η βασική μεταβλητή στο μοντέλο (3.6)-(3.10) γράφεται μία φορά με συντελεστή 1.
Το παραπάνω πρόβλημα χρήσης πόρων έχει πολύ απλή διατύπωση και δομή. Μπορεί να περιλαμβάνει απαιτήσεις για τη λογιστική για την απελευθέρωση προϊόντων σε μια ορισμένη αναλογία, τη λογιστική για την πιθανή απελευθέρωσή τους χρησιμοποιώντας διάφορες τεχνολογίες, τον υπολογισμό του φορτίου του εξοπλισμού και άλλα. Όλες αυτές οι καταστάσεις περιγράφονται αρκετά καλά από μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού.
47 :: 48 :: 49 :: 50 :: 51 :: Περιεχόμενο
50 :: 51 :: 52 :: 53 :: 54 :: 55 :: 56 :: 57 :: 58 :: 59 :: 60 :: 61 :: Περιεχόμενο
3.2.3. Αλγεβρική (simplex) μέθοδος επίλυσης ZLP
Η γραφική μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος LP που συζητήθηκε παραπάνω μας επιτρέπει να κατανοήσουμε την ιδέα των μεθόδων βελτιστοποίησης, συμπεριλαμβανομένων των μεθόδων γραμμικού προγραμματισμού. Η ουσία όλων των μεθόδων μαθηματικού προγραμματισμού είναι ότι αντί για μια «τυφλή» απαρίθμηση επιλογών σχεδίου, πραγματοποιείται μια επιλεκτική, οργανωμένη απαρίθμηση, με στόχο την ταχύτερη και σε ορισμένες περιπτώσεις συνεπή, βελτίωση της λύσης.
Η ακραία λύση δεν επιτυγχάνεται εντός της περιοχής των αποδεκτών λύσεων Ω, αλλά στα όριά της (βλ. Εικ. 3.2). Για να είμαστε ακόμη πιο ακριβείς, σε μία από τις κορυφές των γωνιακών σημείων ενός πολυγώνου που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της τομής γραμμών που σχετίζονται με ορισμένους περιορισμούς ή σε ένα τμήμα μεταξύ δύο γειτονικών γωνιακών σημείων. Δεδομένου ότι το άκρο επιτυγχάνεται αναγκαστικά σε ένα ή δύο γωνιακά σημεία των αποδεκτών σχεδίων, πρέπει απλώς να υπολογίσετε τις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων σε όλα τα γωνιακά σημεία (στο παράδειγμά μας υπάρχουν πέντε) και
επιλέξτε αυτό με την ακραία τιμή. Με μεγάλο αριθμό μεταβλητών και μεγάλο αριθμό περιορισμών, ο αριθμός των γωνιακών σημείων του πολυέδρου γίνεται τόσο μεγάλος που ο υπολογισμός της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης σε καθεμία από αυτές, η απομνημόνευση αυτών των τιμών και η σύγκριση μεταξύ τους είναι πολύ προβληματική ακόμη και για ισχυρούς υπολογιστές. Επομένως, πρέπει να αναζητήσουμε κάποια άλλη λύση.
Μπορείτε να προσεγγίσετε το βέλτιστο σημείο διαδοχικά, μετακινώντας από ένα γωνιακό σημείο στο γειτονικό, για παράδειγμα, κάθε φορά από το αρχικό σημείο (αναφοράς) X 0 ( Χ 1 = 0, Χ 2 = 0) διαδοχικά στο γειτονικό που πλησιάζει το Χ* όλο και πιο κοντά. Η μέθοδος simplex που προτείνεται από τον R. Dantzig επιτρέπει την απαρίθμηση σημείων λύσης σύμφωνα με αυτό το σχήμα. Για το παράδειγμά μας, στο πρώτο βήμα (επανάληψη) από το σημείο αναφοράς X 0, θα μετακινηθούμε σύμφωνα με τη μέθοδο simplex στο σημείο X 1 με συντεταγμένες (700, 0) και στο δεύτερο βήμα θα περάσουμε στο σημείο X*. Κατά μήκος της άλλης διαδρομής, το σημείο X* μπορεί να φτάσει μόνο σε τρία βήματα. Από υπολογιστική άποψη, η μέθοδος simplex υλοποιείται μέσω των λεγόμενων πινάκων simplex, οι οποίοι υπολογίζονται για κάθε γωνιακό σημείο, ξεκινώντας από το σημείο αναφοράς. Οι απλοί πίνακες σάς επιτρέπουν να προσδιορίσετε τη βέλτιστη απόφαση που λαμβάνεται, τις τιμές των μεταβλητών, να αξιολογήσετε τις παραμέτρους πόρων (περιορισμούς) για τη σπανιότητά τους και σε περίπτωση μη βέλτιστης απόφασης, να υποδείξετε πώς να προχωρήσετε στην επόμενη σημείο (ο επόμενος πίνακας). Λόγω των διαφόρων χαρακτηριστικών και διατυπώσεων προβλημάτων, η μέθοδος LP έχει διάφορες τροποποιήσεις: άμεση, διπλή, δύο σταδίων.
Για την εφαρμογή οποιασδήποτε από τις μεθόδους simplex είναι απαραίτητο κατασκευή του αρχικού σχεδίου αναφοράς .
Έστω το σύστημα περιορισμών ως εξής:
Με την προσθήκη πρόσθετων μεταβλητών στις αριστερές πλευρές της ανισότητας Χn+i ≥ 0, Εγώ = 1, Μ, λαμβάνουμε ένα κανονικό (εκτεταμένο) πρόβλημα, στρατηγικά ισοδύναμο με το αρχικό, με ένα σύστημα περιορισμών:
Τότε το αρχικό σχέδιο αναφοράς θα είναι το διάνυσμα
Η οποία ικανοποιεί το παραδεκτό της λύσης (είναι βασική, αφού ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων είναι ίσος με Μ, και υποστηρίζοντας, γιατί Ολα Χι≥ 0). Έστω το σύστημα περιορισμών ως εξής:
Αφαίρεση πρόσθετων μεταβλητών από τις αριστερές πλευρές της ανισότητας Χn+i ≥ 0, Εγώ = 1, Μ, λαμβάνουμε ένα εκτεταμένο πρόβλημα, στρατηγικά ισοδύναμο με το αρχικό, με ένα σύστημα περιορισμών:
Ωστόσο, τώρα πρόσθετες μεταβλητές εισέρχονται στην αριστερή πλευρά των περιορισμών με συντελεστές ίσους με μείον ένα. Επομένως το σχέδιο
δεν πληροί τις προϋποθέσεις για το παραδεκτό μιας λύσης (είναι βασική, αλλά όχι αναφορά).
Και στην πρώτη και στη δεύτερη περίπτωση, όταν προσθέτουμε πρόσθετες μεταβλητές (γίνονται επίσης βασικές μεταβλητές) στο σύστημα περιορισμών, αυτές οι ίδιες μεταβλητές εισάγονται στην αντικειμενική συνάρτηση με συντελεστές ίσους με μηδέν: ντοn+i ≥ 0, Εγώ = 1, Μ, δηλ. στη συνάρτηση στόχου υπάρχουν μηδενικοί συντελεστές για τις βασικές μεταβλητές και συντελεστές για μη βασικές μεταβλητές ΜΕ j, ι = 1, n. Αφήστε την αντικειμενική συνάρτηση να τείνει στο ελάχιστο. Τότε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να μειωθεί εάν αυτή η μεταβλητή εισαχθεί στη βάση Χ j , στον οποίο ο συντελεστής ΜΕΤο j της αντικειμενικής συνάρτησης έχει πρόσημο μείον. Και αν όλοι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης έχουν πρόσημο συν, τότε δεν είναι δυνατό να μειωθεί η τιμή της. Επομένως, οι συντελεστές (εκτιμήσεις) στην αντικειμενική συνάρτηση για μη βασικές μεταβλητές χρησιμεύουν ως σημάδι της βελτιστότητας της λύσης ZLP.
Ανάλογα με την εκπλήρωση των προϋποθέσεων βελτιστοποίησης και αποδοχής, χρησιμοποιείται ένα ή άλλο σχήμα για την επίλυση του PLP.
Οι μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων χωρίζονται σε δύο ομάδες:
1) μέθοδοι διαδοχικής βελτίωσης της λύσης. Βασίζονται στην κίνηση από το αρχικό σημείο (οποιαδήποτε αποδεκτή, αλλά μη βέλτιστη λύση του προβλήματος σε κανονική μορφή) στο βέλτιστο
Σημειώστε σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων (επαναλήψεις). Αυτή η ομάδα περιλαμβάνει τη μέθοδο direct simplex, την πιθανή μέθοδο και άλλες.
2) μέθοδοι διαδοχικής μείωσης των υπολειμμάτων. Βασίζονται στην κίνηση από το αρχικό υπό όρους βέλτιστο σημείο, το οποίο βρίσκεται έξω από την περιοχή των αποδεκτών λύσεων, αλλά ικανοποιεί το κριτήριο της βέλτιστης λύσης, στο βέλτιστο και αποδεκτό σημείο. Αυτή η ομάδα περιλαμβάνει τη μέθοδο dual simplex, την ουγγρική μέθοδο και άλλες. Όλοι οι αλγόριθμοι για την επίλυση του προβλήματος βασίζονται στην κανονική μορφή του προβλήματος. Επομένως, ο αριθμός των απαιτούμενων μεταβλητών στο κανονικό πρόβλημα θα είναι μεγαλύτερος από το αρχικό.
Όταν επιλέγουμε έναν αλγόριθμο για την επίλυση του προβλήματος LP, προχωράμε από τα παρακάτω δεδομένα. Αφήστε το ZLP να μειωθεί σε κανονική μορφή, να λυθεί για τους ελάχιστους και ελεύθερους συντελεστές σιΕγώ ≥ 0, Εγώ = 1, Μ. Τότε, εάν η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος έχει αρνητικούς συντελεστές (δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση για τη βέλτιστη λύση του προβλήματος) και το αρχικό σχέδιο του προβλήματος δεν έχει αρνητικές τιμές των μεταβλητών (η προϋπόθεση για το παραδεκτό της επίλυσης του προβλήματος ικανοποιείται), τότε για να λύσετε το προτεινόμενο πρόβλημα θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο της μεθόδου direct simplex (Πίνακας .3.2). Η μέθοδος dual simplex χρησιμοποιείται εάν ικανοποιείται η συνθήκη βελτιστοποίησης για την επίλυση του προβλήματος, αλλά η συνθήκη αποδοχής όχι. Η μέθοδος απλού δύο σταδίων χρησιμοποιείται εάν δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις τόσο για τη βέλτιστη όσο και για τη σκοπιμότητα επίλυσης του προβλήματος.
Πίνακας 3.2
Ας σκεφτούμε μέθοδος άμεσου απλού επίλυση προβλημάτων LP χρησιμοποιώντας το ακόλουθο παράδειγμα.
Παράδειγμα 3.1
Ελαχιστοποίηση λειτουργίας Ζ = -Χ 1 - Χ 2 με περιορισμούς: 0,5 Χ 1 + Χ 2 ≤ 1;
2Χ 1 + Χ 2 ≤ 2;
Χ 1 , Χ 2 ≥ 0.
Μια γραφική αναπαράσταση του προβλήματος (3.11-3.14) φαίνεται στο Σχ. 3.3.
Ρύζι. 3.3. Γραφική αναπαράσταση του προβλήματος (3.11) - (3.14)
Το αρχικό βασικό σημείο αναφοράς του προβλήματος θα είναι το διάνυσμα X 0 = (0; 0; 1; 2). Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτό το σημείο Ζ(X 0) = 0.
Ας μεταφέρουμε τη μεταβλητή στην αντικειμενική συνάρτηση (3.11) Ζγια το ίσο και γράψτε αυτό το πρόβλημα σε μορφή πίνακα. 3.3, που ονομάζεται πίνακας simplex (μηδενική επανάληψη).
Πίνακας 3.3
Άλλες μορφές σημειογραφίας πίνακα απλού περιγράφονται στη βιβλιογραφία. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα simplex μπορείτε πάντα να πείτε εάν η λύση που βρέθηκε είναι η βέλτιστη. Σε αυτή την περίπτωση η λύση Χ 1 = 0; Χ 2 = 0; Χ 3 = 1; ΧΤο 4 = 2 δεν είναι το καλύτερο, αφού μία από τις μεταβλητές μπορεί να εισαχθεί στη βάση Χ 1 ή Χ 2 (αυτές οι μεταβλητές έχουν συντελεστές με πρόσημο μείον Με 1 = -1 και Με 2 = - 1), μειώνοντας την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Στη συνέχεια, εισάγοντας στη βάση μία από τις μη βασικές μεταβλητές Χ 1 ή Χ 2 (αυξάνοντας την τιμή της), η μεταβλητή πρέπει να προέρχεται από τη βάση Χ 3 ή Χ 4 (φέρνοντας την τιμή του στο μηδέν). Στη μέθοδο direct simplex, οι ακόλουθες ερωτήσεις εξετάζονται διαδοχικά:
μετάβαση στη νέα κανονική μορφή του ZLP (στην επόμενη επανάληψη του πίνακα simplex).
. Αν συμπεριλάβουμε μια μεταβλητή στη βάση Χ 1, αυτό σημαίνει ότι αυξάνουμε την τιμή του από το μηδέν σε κάποια συγκεκριμένα όρια. Μέχρι τι; Ας στραφούμε στο Σχ. 3.3. Ακραία τιμή για μια μεταβλητή ΧΤο 1 θα είναι ένα και η μεταβλητή (άμεση) ΧΤο 4 στον περιορισμό (3.13) θα πάρει μια τιμή ίση με το μηδέν, δηλαδή θα φύγει από τη βάση Χ 4 , και τη θέση του θα πάρει η μεταβλητή Χ 1 . Από την εξίσωση (3.12) προσδιορίζουμε την τιμή Χ 3 = 1 - 0,5 1 = 0,5. Έτσι, στην επόμενη επανάληψη (βήμα), η εφικτή λύση θα είναι το διάνυσμα X 1 = (1; 0; 0.5; 0). Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτό το σημείο Ζ(1) = -1.
Χωρίς να καταφύγουμε σε γραφική αναπαράσταση του προβλήματος, προσδιορίζοντας την οριακή τιμή Χ l και ορισμός μεταβλητής Χ 4, το οποίο θα πρέπει να προκύψει από τη βάση, μπορεί να πραγματοποιηθεί με την ακόλουθη κατανομή. Εάν εξάγετε μια μεταβλητή από τη βάση Χ 3, δηλ. πρέπει να υπάρχει Χ 3 = 0, μετά από (3.12) ακολουθεί Χ l = σι 1 /a 1 μικρό= 1/0,5 = 2. Εάν εξάγετε μια μεταβλητή από τη βάση Χ 4, δηλ. κάνω Χ 4 = 0, μετά από (3.13) Χ l = σι 2 /a 2 μικρό= 1/1 = 1. Αποδεικνύεται ότι η τιμή Χ l = 1 ή Χ l = 2. Όταν όμως Χ l = 2 στην εξίσωση (3.13) μεταβλητή Χ 4 = 1 - 2 - 0,5 · 0 = -1, που έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση για το παραδεκτό της λύσης (3.14). Επομένως, συμπεριλαμβάνουμε στη βάση Χ l με τη μικρότερη τιμή, η οποία προσδιορίζεται από τον δεύτερο περιορισμό. Αυτός ο περιορισμός περιέχει τη μεταβλητή που πρέπει να εξαιρεθεί από τη βάση Χ 4 . Γενικά η μεταβλητή Χμικρό, που περιλαμβάνεται στη βάση, μπορεί να αυξηθεί στην τιμή
Αφήστε το μέγιστο να επιτευχθεί στη γραμμή r, δηλ. Χμικρό = σιr/έναrs, τότε σε αυτή τη γραμμή η μεταβλητή βάσης γίνεται μηδέν, δηλ. προέρχεται από τη βάση. Σειρά rπου ονομάζεται ηγετική γραμμή, και το στοιχείο ΕΝΑrs - ηγετικό στοιχείο. Εάν δεν υπάρχουν θετικά στην πρώτη στήλη έναείναι, τότε αυτό σημαίνει ότι το ZLP δεν έχει περιοχή εφικτών λύσεων.
Μετάβαση στη νέα κανονική μορφή του ZLP . Στον πίνακα Το Σχήμα 3.4 δείχνει τις μεταβάσεις από τη μηδενική επανάληψη σε επακόλουθες μεθόδους διαδοχικής εξάλειψης της βασικής μεταβλητής που εισήχθη πρόσφατα από τις μη κορυφαίες σειρές. Μια νέα σειρά στην επόμενη επανάληψη με μια νέα βασική μεταβλητή λαμβάνεται διαιρώντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς με το κύριο στοιχείο σε σχέση με την προκύπτουσα σειρά, η νέα βασική μεταβλητή στη συνέχεια αποκλείεται από άλλες σειρές. Στον πίνακα 3.4 στην επανάληψη 1’ υποδεικνύονται οι συντελεστές για τις βασικές μεταβλητές, κάτω από τους οποίους πραγματοποιείται η αντίστοιχη μετάβαση. Τα κύρια στοιχεία στον πίνακα σημειώνονται με έναν αστερίσκο.
Οι συντελεστές μπορούν να υπολογιστούν στην επόμενη επανάληψη χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τετράπλευρου.
Αυτός ο πίνακας στην επανάληψη 2 αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση X* = X 2 = (2/3; 2/3; 0; 0).
Τιμή αντικειμενικής συνάρτησης Ζ(Χ*) = -4/3.
Πίνακας 3.4
Ας σκεφτούμε μέθοδος dual simplex επίλυση του προβλήματος LP χρησιμοποιώντας το ακόλουθο παράδειγμα.
Παράδειγμα 3.2
Μεγιστοποίηση της λειτουργίας Ζ = -Χ 1 - Χ 2 με περιορισμούς:
0,5Χ 1 + Χ 2 ≤ 1;
2Χ 1 + Χ 2 ≥ 2;
Χ 1 , Χ 2 ≥ 0.
Στην κανονική μορφή, το ZLP θα λάβει τη μορφή
Μια γραφική αναπαράσταση του προβλήματος φαίνεται στο Σχ. 3.4.
Ρύζι. 3.4. Γραφική αναπαράσταση του προβλήματος (3.15) - (3.18)
Ας φτιάξουμε έναν πίνακα simplex 3.5.
Πίνακας 3.5
Μηδενική γραμμή στον πίνακα. Το 3.5 δείχνει ότι το κριτήριο για τη βέλτιστη λύση του προβλήματος ικανοποιείται (δεν υπάρχουν αρνητικοί συντελεστές).
Ωστόσο, η αρχική λύση X 0 = (0; 0; 1; -2) είναι αρνητική.
Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το πρόβλημα (σε αντίθεση με τη μέθοδο του direct simplex) με διαδοχική κίνηση από το αρχικό μη αποδεκτό σημείο X 0 στο X *, λαμβάνοντας υπόψη τις ερωτήσεις:
αναζήτηση για μια μεταβλητή για εξαίρεση από τη βάση.
αναζήτηση για μια μεταβλητή που θα συμπεριληφθεί στη βάση.
μετάβαση σε μια νέα μορφή PLP (επακόλουθη επανάληψη της λύσης).
Θα είναι και βέλτιστο και αποδεκτό. Στο παράδειγμά μας, εξαιρούμε τη μεταβλητή Χ 4 = -2.
Αναζητήστε μια μεταβλητή που θα συμπεριληφθεί στη βάση . Ποια μη βασική μεταβλητή πρέπει να συμπεριληφθεί στη βάση; Χ 1 ή Χ 2; Κατ' αρχήν, οποιοσδήποτε μπορεί να συμπεριληφθεί στη βάση με στόχο τη μετάβαση στην περιοχή των εφικτών λύσεων. Από τη γραφική αναπαράσταση του προβλήματος (βλ. Εικ. 3.4) είναι σαφές ότι όταν μια μεταβλητή περιλαμβάνεται στη βάση Χ 2 βρισκόμαστε αμέσως στο επιτρεπτό και βέλτιστο σημείο Χ*. Η βιβλιογραφία δείχνει ότι μπορείτε να φτάσετε στη βέλτιστη λύση πιο γρήγορα εάν επιλέξετε μια μεταβλητή που θα συμπεριλάβετε στη βάση Χμικρότέτοια που για εκείνη η στάση ντομικρό/|έναrs| για όλα τα στοιχεία έναrsη πρώτη γραμμή θα είναι ελάχιστη:
Αν όλα τα στοιχεία έναrj· ≥ 0, τότε αυτό θα σημαίνει ότι το πρόβλημα δεν έχει εφικτές λύσεις. Στο παράδειγμά μας, ο ελάχιστος λόγος (3,19) επιτυγχάνεται για τη μεταβλητή Χ 1 ισούται με 1/2. Ας λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια μέθοδο πίνακα (Πίνακας 3.6).
Πίνακας 3.6
Βέλτιστη λύση: Χ* = (1; 0; 1/2; 0;); Ζ(Χ*) = -z" = -1.
Ας υποθέσουμε ότι κατά την επίλυση του προηγούμενου παραδείγματος (βλ. Πίνακα 3.6) δεν θα συμπεριλάβαμε στη βάση Χ 1 και η μεταβλητή Χ 2, τότε θα λάβαμε τον παρακάτω πίνακα στην επανάληψη 1. 3.7.
Πίνακας 3.7
Μηδενική γραμμή στον πίνακα. Το 3.7 υποδεικνύει ότι το κριτήριο βελτιστοποίησης για την επίλυση του προβλήματος δεν ικανοποιείται και η ενδιάμεση λύση X 1 = (0; 2; -1; 0) είναι απαράδεκτη. Επιπλέον, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του απλού δύο σταδίων, τη μέθοδο της μεγάλης ποινής και άλλες. Ας σκεφτούμε μέθοδος απλού δύο σταδίων .
1. Εισάγουμε μία επιπλέον μεταβλητή, καθιστώντας τη βασική, σε εκείνες τις εξισώσεις στις οποίες δεν πληρούνταν οι προϋποθέσεις αποδοχής. Στην περίπτωσή μας εισάγουμε τη μεταβλητή Χ 5 στη γραμμή (1), αλλάζοντας πρώτα τα σημάδια στο αντίθετο (Πίνακας 3.8) και τη στήλη κάτω Χ 5:
3/2 Χ 1 - Χ 3 - Χ 4 + Χ 5 = 1.
2. Εισάγουμε μια νέα (πλασματική) αντικειμενική συνάρτηση Wως το άθροισμα των πρόσθετων μεταβλητών που εισήχθησαν πρόσφατα, που εκφράζονται μέσω μη βασικών μεταβλητών. Στην περίπτωσή μας W = Χ 5 = 1 - 3/2 Χ 1 + Χ 3 + Χ 4 . Προσθέτουμε επιπλέον γραμμή (3) στον πίνακα. 3.8 με εικονική αντικειμενική συνάρτηση - W - 3/2 Χ 1 + Χ 3 + Χ 4 = -1.
3. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο direct simplex για να ελαχιστοποιήσουμε τον πλασματικό στόχο Wμε επανυπολογισμό όλων των συντελεστών. Το πρώτο στάδιο τελειώνει εάν η πλασματική αντικειμενική συνάρτηση Wπάει στο μηδέν W= 0, και επομένως οι πρόσθετες μεταβλητές θα έχουν επίσης μηδενικές τιμές. Επιπλέον, η γραμμή με την εικονική αντικειμενική συνάρτηση και οι στήλες με πρόσθετες μεταβλητές δεν λαμβάνονται υπόψη. Εάν, ως αποτέλεσμα της ελαχιστοποίησης του στόχου Wπαίρνουμε τη βέλτιστη τιμή W, διαφορετικό από το μηδέν W≠ 0, τότε αυτό θα σημαίνει ότι το αρχικό ZLP δεν έχει αποδεκτές λύσεις.
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο direct simplex για να βελτιστοποιήσουμε την κύρια
αντικειμενική λειτουργία Ζ. Περιλαμβάνουμε μια μεταβλητή στη βάση Χ 3 αντί για μεταβλητή Χ 2. Υπολογίζουμε ξανά τους συντελεστές στην επανάληψη 3 και παίρνουμε τη βέλτιστη λύση: X* = (1; 0; 1/2; 0;); Ζ(X*) = - z" = -1.
Πίνακας 3.8
50 :: 51 :: 52 :: 53 :: 54 :: 55 :: 56 :: 57 :: 58 :: 59 :: 60 :: 61 :: Περιεχόμενο
61 :: 62 :: 63 :: 64 :: 65 :: 66 :: 67 :: 68 :: 69 :: 70 :: Περιεχόμενο
3.2.4. Ανάλυση μοντέλου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού
Τα δεδομένα στον πίνακα βέλτιστου Simplex επιτρέπουν μια ολοκληρωμένη ανάλυση του γραμμικού μοντέλου, ιδιαίτερα μια ανάλυση της ευαισθησίας της βέλτιστης λύσης σε αλλαγές στα αποθέματα πόρων και διακυμάνσεις στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης. Ας δώσουμε πρώτα την έννοια της δυαδικότητας των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού.
Ας εξετάσουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (3.20)-(3.22) χρησιμοποιώντας το πρόβλημα χρήσης πόρων ως παράδειγμα. Εάν για αυτό το αρχικό ZLP (ας το ονομάσουμε απευθείας) εισάγουμε μεταβλητές yΕγώνα εκτιμήσει τους περιορισμούς πόρων (3.21) και να κάνει τη μετάβαση στη μαθηματική διατύπωση ενός άλλου προβλήματος (διπλό ή αντίστροφο) της μορφής (3.23)-(3.25), τότε οι λύσεις στα άμεσα και διπλά προβλήματα θα εξαρτώνται αμοιβαία, εκφραζόμενες μέσω τα αντίστοιχα θεωρήματα δυαδικότητας.
Προφανώς, το πρόβλημα dual to the dual συμπίπτει με το αρχικό. Επομένως, δεν υπάρχει διαφορά ποιος είναι αποδεκτός ως άμεσος και ποιος είναι διπλός. Μιλούν για ένα ζευγάρι αμοιβαία διπλά προβλήματα.
Εάν υπάρχει μόνο ένας περιοριστικός παράγοντας (για παράδειγμα, μια σπάνια μηχανή), η λύση μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας απλούς τύπους (δείτε τον σύνδεσμο στην αρχή του άρθρου). Εάν υπάρχουν αρκετοί περιοριστικοί παράγοντες, χρησιμοποιείται η μέθοδος γραμμικού προγραμματισμού.
Γραμμικός προγραμματισμόςείναι το όνομα που δίνεται σε έναν συνδυασμό εργαλείων που χρησιμοποιούνται στην επιστήμη της διαχείρισης. Αυτή η μέθοδος επιλύει το πρόβλημα της κατανομής σπάνιων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων προκειμένου να μεγιστοποιηθούν ή να ελαχιστοποιηθούν ορισμένες αριθμητικές τιμές, όπως το περιθώριο συνεισφοράς ή τα έξοδα. Στις επιχειρήσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε τομείς όπως ο σχεδιασμός της παραγωγής για τη μεγιστοποίηση των κερδών, η επιλογή εξαρτημάτων για την ελαχιστοποίηση του κόστους, η επιλογή ενός χαρτοφυλακίου επενδύσεων για τη μεγιστοποίηση των αποδόσεων, η βελτιστοποίηση της μεταφοράς αγαθών για τη μείωση των αποστάσεων, η ανάθεση προσωπικού για τη μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας της εργασίας και ο προγραμματισμός εργαστείτε για να εξοικονομήσετε χρόνο.
Κατεβάστε τη σημείωση σε μορφή, εικόνες σε μορφή
Ο γραμμικός προγραμματισμός περιλαμβάνει την κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου του υπό εξέταση προβλήματος. Στη συνέχεια, η λύση μπορεί να βρεθεί γραφικά (συζητείται παρακάτω), χρησιμοποιώντας Excel (θα συζητηθεί ξεχωριστά) ή εξειδικευμένα προγράμματα υπολογιστή.
Ίσως η κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου είναι το πιο δύσκολο μέρος του γραμμικού προγραμματισμού, που απαιτεί τη μετάφραση του υπό εξέταση προβλήματος σε ένα σύστημα μεταβλητών, εξισώσεων και ανισοτήτων - μια διαδικασία που τελικά εξαρτάται από τις δεξιότητες, την εμπειρία, τις ικανότητες και τη διαίσθηση του σχεδιαστής.
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα κατασκευής ενός μαθηματικού μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού
Ο Νικολάι Κουζνέτσοφ διατηρεί ένα μικρό μηχανολογικό εργοστάσιο. Τον επόμενο μήνα σχεδιάζει να παράγει δύο προϊόντα (Α και Β), για τα οποία το συγκεκριμένο οριακό κέρδος υπολογίζεται σε 2.500 και 3.500 ρούβλια, αντίστοιχα.
Και τα δύο προϊόντα απαιτούν μηχανική κατεργασία, πρώτες ύλες και κόστος εργασίας για να κατασκευαστούν (Εικόνα 1). Κάθε μονάδα προϊόντος Α απαιτεί 3 ώρες κατεργασίας, 16 μονάδες πρώτων υλών και 6 μονάδες εργασίας για να παραχθεί. Οι αντίστοιχες απαιτήσεις μονάδας για το Προϊόν Β είναι 10, 4 και 6. Ο Νίκολας προβλέπει ότι τον επόμενο μήνα μπορεί να προμηθεύσει 330 ώρες κατεργασίας, 400 μονάδες πρώτων υλών και 240 μονάδες εργασίας. Η τεχνολογία της παραγωγικής διαδικασίας είναι τέτοια που πρέπει να παράγονται τουλάχιστον 12 μονάδες προϊόντος Β σε κάθε δεδομένο μήνα.
Ρύζι. 1. Χρήση και παροχή πόρων
Ο Νικολάι θέλει να δημιουργήσει ένα μοντέλο για να προσδιορίσει τον αριθμό των μονάδων των προϊόντων Α και Β που πρέπει να παράγει τον επόμενο μήνα για να μεγιστοποιήσει το περιθώριο συνεισφοράς του.
Το γραμμικό μοντέλο μπορεί να κατασκευαστεί σε τέσσερα στάδια.
Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών
Υπάρχει μια μεταβλητή στόχος (ας την ονομάσουμε Z) που πρέπει να βελτιστοποιηθεί, δηλαδή να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί (για παράδειγμα, κέρδος, έσοδα ή έξοδα). Ο Nikolay επιδιώκει να μεγιστοποιήσει το περιθώριο συνεισφοράς, εξ ου και η μεταβλητή στόχος:
Z = συνολικό οριακό κέρδος (σε ρούβλια) που ελήφθη τον επόμενο μήνα ως αποτέλεσμα της παραγωγής των προϊόντων Α και Β.
Υπάρχει ένας αριθμός άγνωστων άγνωστων μεταβλητών (ας τις χαρακτηρίσουμε x 1, x 2, x 3, κ.λπ.), οι τιμές των οποίων πρέπει να καθοριστούν για να ληφθεί η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, η οποία, στην περίπτωσή μας, είναι η συνολικό οριακό κέρδος. Αυτό το περιθώριο συνεισφοράς εξαρτάται από τις ποσότητες των προϊόντων Α και Β που παράγονται. Οι τιμές αυτών των ποσοτήτων πρέπει να υπολογιστούν και επομένως αντιπροσωπεύουν τις επιθυμητές μεταβλητές στο μοντέλο. Ας υποδηλώσουμε λοιπόν:
x 1 = αριθμός μονάδων του προϊόντος Α που παράγονται τον επόμενο μήνα.
x 2 = αριθμός μονάδων του προϊόντος Β που παράγονται τον επόμενο μήνα.
Είναι πολύ σημαντικό να ορίζονται με σαφήνεια όλες οι μεταβλητές. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στις μονάδες μέτρησης και τη χρονική περίοδο στην οποία αναφέρονται οι μεταβλητές.
Στάδιο. 2. Κατασκευή της αντικειμενικής συνάρτησης
Μια αντικειμενική συνάρτηση είναι μια γραμμική εξίσωση που πρέπει είτε να μεγιστοποιηθεί είτε να ελαχιστοποιηθεί. Περιέχει τη μεταβλητή στόχο που εκφράζεται με τη χρήση των μεταβλητών στόχου, δηλαδή το Z εκφρασμένο σε όρους x 1, x 2 ... με τη μορφή γραμμικής εξίσωσης.
Στο παράδειγμά μας, κάθε κατασκευασμένο προϊόν Α φέρνει 2.500 ρούβλια. οριακό κέρδος και κατά την παραγωγή x 1 μονάδων του προϊόντος Α, το οριακό κέρδος θα είναι 2500 * x 1. Ομοίως, το οριακό κέρδος από την παραγωγή x 2 μονάδων του προϊόντος Β θα είναι 3500 * x 2. Έτσι, το συνολικό οριακό κέρδος που λαμβάνεται τον επόμενο μήνα παράγοντας x 1 μονάδες του προϊόντος Α και x 2 μονάδες του προϊόντος Β, δηλαδή η μεταβλητή στόχος Ζ θα είναι:
Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
Ο Νικολάι προσπαθεί να μεγιστοποιήσει αυτόν τον δείκτη. Έτσι, η αντικειμενική συνάρτηση στο μοντέλο μας είναι:
Μεγιστοποίηση Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
Στάδιο. 3. Ορίστε περιορισμούς
Οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή/και ανισοτήτων που περιορίζουν τις τιμές των επιθυμητών μεταβλητών. Αντικατοπτρίζουν μαθηματικά τη διαθεσιμότητα των πόρων, τους τεχνολογικούς παράγοντες, τις συνθήκες μάρκετινγκ και άλλες απαιτήσεις. Οι περιορισμοί μπορεί να είναι τριών τύπων: «λιγότερο από ή ίσο», «μεγαλύτερο ή ίσο», «αυστηρά ίσο».
Στο παράδειγμά μας, η παραγωγή προϊόντων Α και Β απαιτεί χρόνο κατεργασίας, πρώτες ύλες και εργασία και η διαθεσιμότητα αυτών των πόρων είναι περιορισμένη. Οι όγκοι παραγωγής αυτών των δύο προϊόντων (δηλαδή οι τιμές των x 1 x 2) θα περιοριστούν επομένως από το γεγονός ότι η ποσότητα των πόρων που απαιτούνται στη διαδικασία παραγωγής δεν μπορεί να υπερβαίνει τα διαθέσιμα. Ας εξετάσουμε την κατάσταση με τον χρόνο επεξεργασίας της μηχανής. Η παραγωγή κάθε μονάδας προϊόντος Α απαιτεί τρεις ώρες κατεργασίας και εάν παράγονται x 1 μονάδες, τότε θα δαπανηθούν 3 * x 1 ώρες αυτού του πόρου. Κάθε μονάδα προϊόντος Β απαιτεί 10 ώρες για να παραχθεί και επομένως εάν παράγονται x 2 προϊόντα, τότε θα απαιτηθούν 10 * x 2 ώρες. Έτσι, η συνολική ποσότητα χρόνου μηχανής που απαιτείται για την παραγωγή x 1 μονάδων του προϊόντος Α και x 2 μονάδων του προϊόντος Β είναι 3 * x 1 + 10 * x 2 . Αυτός ο συνολικός χρόνος μηχανής δεν μπορεί να υπερβαίνει τις 330 ώρες. Μαθηματικά αυτό γράφεται ως εξής:
3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330
Παρόμοιες σκέψεις ισχύουν για τις πρώτες ύλες και την εργασία, γεγονός που μας επιτρέπει να καταγράψουμε δύο ακόμη περιορισμούς:
16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400
6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240
Τέλος, πρέπει να σημειωθεί ότι υπάρχει μια προϋπόθεση σύμφωνα με την οποία πρέπει να παράγονται τουλάχιστον 12 μονάδες του προϊόντος Β:
Στάδιο 4. Σύνταξη μη αρνητικών συνθηκών
Οι απαιτούμενες μεταβλητές δεν μπορούν να είναι αρνητικοί αριθμοί, οι οποίοι πρέπει να γράφονται με τη μορφή ανισώσεων x 1 ≥ 0 και x 2 ≥ 0. Στο παράδειγμά μας, η δεύτερη συνθήκη είναι περιττή, καθώς καθορίστηκε παραπάνω ότι το x 2 δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 12 .
Το πλήρες μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα παραγωγής του Νικολάι μπορεί να γραφτεί ως:
Μεγιστοποίηση: Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
Υπό την προϋπόθεση ότι: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330
16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400
6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240
Ας εξετάσουμε μια γραφική μέθοδο για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.
Αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη μόνο για προβλήματα με δύο άγνωστες μεταβλητές. Το μοντέλο που κατασκευάστηκε παραπάνω θα χρησιμοποιηθεί για την επίδειξη της μεθόδου.
Οι άξονες στο γράφημα αντιπροσωπεύουν τις δύο μεταβλητές που μας ενδιαφέρουν (Εικόνα 2). Δεν έχει σημασία ποια μεταβλητή σχεδιάζεται κατά μήκος ποιου άξονα. Είναι σημαντικό να επιλέξετε μια κλίμακα που θα σας επιτρέψει τελικά να δημιουργήσετε ένα σαφές διάγραμμα. Εφόσον και οι δύο μεταβλητές πρέπει να είναι μη αρνητικές, σχεδιάζεται μόνο το 1ο τεταρτημόριο.
Ρύζι. 2. Άξονες γραφήματος γραμμικού προγραμματισμού
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πρώτο περιορισμό: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330. Αυτή η ανισότητα περιγράφει την περιοχή κάτω από τη γραμμή: 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330. Αυτή η ευθεία τέμνει τον άξονα x 1 στο x 2 = 0, δηλαδή, η εξίσωση μοιάζει με αυτό: 3 * x 1 + 10 * 0 = 330 και η λύση της: x 1 = 330 / 3 = 110
Ομοίως, υπολογίζουμε τα σημεία τομής με τους άξονες x1 και x2 για όλες τις συνθήκες περιορισμού:
| Εύρος αποδεκτών τιμών | Όριο αποδεκτών τιμών | Τομή με τον άξονα x 1 | Τομή με τον άξονα x 2 |
| 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330 | 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330 | x 1 = 110; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 33 |
| 16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400 | 16 * x 1 + 4 * x 2 = 400 | x 1 = 25; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 100 |
| 6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240 | 6 * x 1 + 6 * x 2 = 240 | x 1 = 40; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 40 |
| x 2 ≥ 12 | x 2 = 12 | δεν σταυρώνει? τρέχει παράλληλα με τον άξονα x 1 | x 1 = 0; x 2 = 12 |
Γραφικά, ο πρώτος περιορισμός φαίνεται στο Σχ. 3.
Ρύζι. 3. Κατασκευή της περιοχής των εφικτών λύσεων για τον πρώτο περιορισμό
Οποιοδήποτε σημείο εντός του επιλεγμένου τριγώνου ή στα όριά του θα πληροί αυτόν τον περιορισμό. Τέτοια σημεία ονομάζονται έγκυρα και τα σημεία εκτός του τριγώνου ονομάζονται άκυρα.
Παρομοίως εμφανίζουμε τους υπόλοιπους περιορισμούς στο γράφημα (Εικ. 4). Οι τιμές των x 1 και x 2 πάνω ή μέσα στη σκιασμένη περιοχή ABCDE θα ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς του μοντέλου. Αυτή η περιοχή ονομάζεται περιοχή των εφικτών λύσεων.
Ρύζι. 4. Περιοχή εφικτών λύσεων για το μοντέλο συνολικά
Τώρα, στην περιοχή των εφικτών λύσεων, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι τιμές x 1 και x 2 που μεγιστοποιούν το Z. Για να γίνει αυτό, στην εξίσωση της αντικειμενικής συνάρτησης:
Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
διαιρέστε (ή πολλαπλασιάστε) τους συντελεστές πριν από τα x 1 και x 2 με τον ίδιο αριθμό, έτσι ώστε οι προκύπτουσες τιμές να εμπίπτουν στο εύρος που αντικατοπτρίζεται στο γράφημα. στην περίπτωσή μας, αυτό το εύρος είναι από 0 έως 120. οπότε οι πιθανότητες μπορούν να διαιρεθούν με το 100 (ή το 50):
Z = 25x 1 + 35x 2
στη συνέχεια αντιστοιχίστε στο Z μια τιμή ίση με το γινόμενο των συντελεστών πριν από x 1 και x 2 (25 * 35 = 875):
875 = 25x 1 + 35x 2
και τέλος, βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες x 1 και x 2:
Ας σχεδιάσουμε αυτή την εξίσωση στόχο σε ένα γράφημα παρόμοιο με τους περιορισμούς (Εικ. 5):
Ρύζι. 5. Εφαρμογή της αντικειμενικής συνάρτησης (μαύρη διακεκομμένη γραμμή) στην περιοχή των εφικτών λύσεων
Η τιμή Z είναι σταθερή σε όλη τη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Για να βρείτε τις τιμές x 1 και x 2 που μεγιστοποιούν το Z, πρέπει να μετακινήσετε παράλληλα τη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε ένα σημείο εντός των ορίων της περιοχής των εφικτών λύσεων, το οποίο βρίσκεται στη μέγιστη απόσταση από την αρχική γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης πάνω και δεξιά, δηλαδή στο σημείο Γ (Εικ. 6).
Ρύζι. 6. Η γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης έχει φτάσει στο μέγιστο εντός της περιοχής των εφικτών λύσεων (στο σημείο Γ)
Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η βέλτιστη λύση θα βρίσκεται σε ένα από τα ακραία σημεία της περιοχής απόφασης. Ποια θα εξαρτηθεί από την κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης και από το πρόβλημα που λύνουμε: μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση. Έτσι, δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε την αντικειμενική συνάρτηση - το μόνο που χρειάζεται είναι να προσδιορίσετε τις τιμές των x 1 και x 2 σε κάθε ακραίο σημείο διαβάζοντας από ένα διάγραμμα ή λύνοντας το κατάλληλο ζεύγος εξισώσεων. Οι τιμές που βρέθηκαν των x 1 και x 2 αντικαθίστανται στη συνέχεια στην αντικειμενική συνάρτηση για τον υπολογισμό της αντίστοιχης τιμής του Z. Η βέλτιστη λύση είναι αυτή που λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του Z κατά την επίλυση του προβλήματος μεγιστοποίησης και την ελάχιστη κατά την επίλυση το πρόβλημα ελαχιστοποίησης.
Ας προσδιορίσουμε, για παράδειγμα, τις τιμές των x 1 και x 2 στο σημείο C. Σημειώστε ότι το σημείο C βρίσκεται στη διασταύρωση των γραμμών: 3x 1 + 10x 2 = 330 και 6x 1 + 6x 2 = 240. Η επίλυση αυτού του συστήματος εξισώσεων δίνει: x 1 = 10, x 2 = 30. Τα αποτελέσματα του υπολογισμού για όλες τις κορυφές της περιοχής των εφικτών λύσεων δίνονται στον πίνακα:
| Τελεία | Τιμή x 1 | Τιμή x 2 | Z = 2500x 1 + 3500x 2 |
| ΕΝΑ | 22 | 12 | 97 000 |
| ΣΕ | 20 | 20 | 120 000 |
| ΜΕ | 10 | 30 | 130 000 |
| ρε | 0 | 33 | 115 500 |
| μι | 0 | 12 | 42 000 |
Έτσι, ο Nikolai Kuznets πρέπει να σχεδιάσει για τον επόμενο μήνα την παραγωγή 10 προϊόντων Α και 30 προϊόντων Β, κάτι που θα του επιτρέψει να λάβει οριακό κέρδος 130 χιλιάδων ρούβλια.
Συνοπτικά, η ουσία της γραφικής μεθόδου για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να δηλωθεί ως εξής:
- Σχεδιάστε δύο άξονες στο γράφημα, που αντιπροσωπεύουν τις δύο παραμέτρους της λύσης. σχεδιάστε μόνο το 1ο τεταρτημόριο.
- Προσδιορίστε τις συντεταγμένες των σημείων τομής όλων των συνοριακών συνθηκών με τους άξονες, αντικαθιστώντας εναλλάξ τις τιμές x 1 = 0 και x 2 = 0 στις εξισώσεις των οριακών συνθηκών.
- Σχεδιάστε τις γραμμές περιορισμού του μοντέλου στο γράφημα.
- Προσδιορίστε την περιοχή στο γράφημα (που ονομάζεται περιοχή εφικτής απόφασης) που πληροί όλους τους περιορισμούς. Εάν δεν υπάρχει τέτοια περιοχή, τότε το μοντέλο δεν έχει λύση.
- Προσδιορίστε τις τιμές των μεταβλητών στόχου στα ακραία σημεία της περιοχής απόφασης και σε κάθε περίπτωση υπολογίστε την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής στόχου Z.
- Για προβλήματα μεγιστοποίησης, η λύση είναι το σημείο στο οποίο το Z είναι μέγιστο για τα προβλήματα ελαχιστοποίησης, η λύση είναι το σημείο στο οποίο το Z είναι ελάχιστο.
Η δράση του συστήματος και η συμπεριφορά του χαρακτηρίζονται όχι μόνο από τη διαπίστωση του γεγονότος της επίτευξης του στόχου, αλλά και από τον βαθμό επίτευξής του, που καθορίζεται χρησιμοποιώντας την αντικειμενική συνάρτηση.
Αντικειμενική λειτουργία – είναι ένας γενικός δείκτης του συστήματος που χαρακτηρίζει τον βαθμό στον οποίο το σύστημα επιτυγχάνει τον στόχο του. Η κατάρτιση μιας αντικειμενικής συνάρτησης είναι μια από τις πιο σημαντικές εργασίες κατά το σχεδιασμό ενός συστήματος. Ωστόσο, δεν υπάρχει γενική θεωρία για την κατασκευή αντικειμενικών συναρτήσεων, υπάρχουν μόνο ορισμένες συστάσεις.
Η αντικειμενική συνάρτηση καταρτίζεται σύμφωνα με τις οδηγίες των τεχνικών προδιαγραφών για το κριτήριο βελτιστοποίησης αναλύοντας τις εξωτερικές παραμέτρους του συστήματος και τους περιορισμούς σε αυτές.
Η συνάρτηση στόχος πρέπει να εξαρτάται σημαντικά από εξωτερικές παραμέτρους ή μέρος αυτών. Διαφορετικά, η βελτιστοποίηση για αυτήν τη συνάρτηση στόχου δεν έχει νόημα. Η αντικειμενική συνάρτηση αντιπροσωπεύει ένα διάνυσμα μέσα Μ-διαστατικός χώρος εξωτερικών παραμέτρων του συστήματος
Συνήθως, η αντικειμενική συνάρτηση καθορίζεται σε βαθμωτή μορφή.
Χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες τέσσερις μορφές της αντικειμενικής συνάρτησης.
1. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη συνάρτηση στόχος είναι μια εξωτερική παράμετρος
Σε αυτή την περίπτωση, η αντικειμενική συνάρτηση είναι απλώς ίση με μία από τις εξωτερικές παραμέτρους ή την αμοιβαία τιμή της
Αλλα ( Μ– 1) οι εξωτερικές παράμετροι μεταφράζονται σε ένα σύστημα περιορισμών.
Η φυσική έννοια της αντικειμενικής συνάρτησης των δεδομένων τύπων είναι ότι όσο μεγαλύτερη (ή μικρότερη) είναι η παράμετρος y Εγώ, όσο καλύτερα, αν είναι ίσα τα άλλα πράγματα, αυτό το σύστημα είναι, και η ισότητα άλλων συνθηκών νοείται με την έννοια των περιορισμών σε άλλες εξωτερικές παραμέτρους. Τυπικά προβλήματα με τη μειωμένη μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης: βελτιστοποίηση του συστήματος για αξιοπιστία ( y = Π(t)), θόρυβος, κόστος και άλλες εξωτερικές παράμετροι. Μια τέτοια αντικειμενική συνάρτηση έχει σαφή φυσική (τεχνική ή οικονομική) σημασία, χαρακτηρίζει αντικειμενικά το σύστημα και επομένως χρησιμοποιείται συχνά. Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση στόχος είναι μια εξωτερική παράμετρος του συστήματος. Αυτό ονομάζεται αντικειμενική λειτουργία του συστήματος. Αυτά μπορεί να είναι: ακρίβεια, ταχύτητα, χρόνος, κόστος, αξιοπιστία, βάρος, διαστάσεις, κάποιο είδος τεχνολογικού δείκτη κ.λπ.
2. Η δεύτερη μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι το άθροισμα των παραμέτρων της ίδιας διάστασης ή το άθροισμα των συναρτήσεων αυτών των παραμέτρων
Αυτή η φόρμα είναι τυπική κατά τη βελτιστοποίηση σύμφωνα με οικονομικά κριτήρια, κριτήρια πολυπλοκότητας κ.λπ.
Για παράδειγμα, κατά την ελαχιστοποίηση του ετήσιου μειωμένου κόστους ενός συστήματος, η αντικειμενική συνάρτηση είναι το άθροισμα δύο εξωτερικών παραμέτρων: ετήσιο λειτουργικό κόστος και κόστος κεφαλαίου που σχετίζεται με την περίοδο απόσβεσης του συστήματος. Σε αυτή την περίπτωση, καθεμία από αυτές τις εξωτερικές παραμέτρους του συστήματος είναι μια σύνθετη συνάρτηση των εσωτερικών (να βρεθούν) παραμέτρων του.
Οι αντικειμενικές συναρτήσεις των προβλημάτων βελτιστοποίησης με βάση το κριτήριο πολυπλοκότητας έχουν επίσης τη δεύτερη μορφή, επειδή παρουσιάζονται ως το άθροισμα της πολυπλοκότητας μεμονωμένων υποσυστημάτων ή μπλοκ του συστήματος.
3. Η τρίτη μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης - η κατάταξη μορφή - είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αντικειμενικών συναρτήσεων της πρώτης μορφής με προτεραιότητες
Η πρώτη αντικειμενική συνάρτηση είναι η πιο σημαντική, η τελευταία αντικειμενική συνάρτηση είναι η λιγότερο σημαντική.
Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, η αντικειμενική συνάρτηση αυτού του τύπου γράφεται ως εξής:
Ένα παράδειγμα κατάταξης είναι (για παράδειγμα) η ακόλουθη σειρά αντικειμενικών συναρτήσεων: ακρίβεια, αξιοπιστία, κόστος. Η έννοια της αντικειμενικής συνάρτησης της τρίτης μορφής είναι η εξής. Το πιο σημαντικό - ο πρώτος στη σειρά - αναγνωρίζεται ως ορισμένοι Εγώ-παράμετρος συστήματος - y Εγώ(π.χ. ακρίβεια). Αν κάποιο σύστημα το έχει αυτό ΕγώΗ παράμετρος είναι μεγαλύτερη από αυτή όλων των άλλων συστημάτων, οπότε, ανεξάρτητα από τις τιμές των άλλων παραμέτρων (εφόσον πληρούν τους περιορισμούς), αυτό το σύστημα θεωρείται το καλύτερο. Στη συνέχεια σύμφωνα με τη δεύτερη παράμετρο κ.λπ.
Η διαδικασία βελτιστοποίησης σε αυτήν την περίπτωση, κατά κανόνα, είναι πολλαπλών βημάτων. Τέτοια βελτιστοποίηση εφαρμόζεται συχνά εν αγνοία τους σε τεχνικά συστήματα. Αρχικά επιλέγεται το σύστημα με την καλύτερη ακρίβεια, εάν πολλά συστήματα έχουν την ίδια ακρίβεια, επιλέγεται το πιο αξιόπιστο και μετά επιλέγεται το φθηνότερο. Σε κάθε βήμα βελτιστοποίησης, χρησιμοποιείται μόνο ένα κριτήριο, το οποίο δεν έρχεται σε αντίθεση με την έννοια της προσέγγισης συστημάτων (βελτιστοποίηση σύμφωνα με ένα μόνο κριτήριο, βλέπε παρακάτω).
4. Η τέταρτη - πιο γενική - μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι μια αυθαίρετη εξάρτηση από το σύνολο ή μέρος (αλλά όχι λιγότερο από δύο) ετερογενών εξωτερικών παραμέτρων
Σε αυτήν την περίπτωση, οι ετερογενείς παράμετροι μετατρέπονται σε αδιάστατες (ή μονοδιάστατες) και η αντικειμενική συνάρτηση σχηματίζεται ως μια ορισμένη σύνθεση (για παράδειγμα, ο αριθμητικός μέσος όρος) των λαμβανόμενων αδιάστατων δεικτών.
Μια μοναδική αντικειμενική συνάρτηση της τέταρτης μορφής μπορεί να ληφθεί από τις αντικειμενικές συναρτήσεις της τρίτης μορφής πολλαπλασιάζοντάς τις με συντελεστές στάθμισης και επακόλουθη άθροιση:
Οπου φά μικρό (y Εγώ) - ένας από κσυναρτήσεις στόχου της τρίτης μορφής·
ω μικρό– ο συντελεστής βάρους του.
Ωστόσο, όπως υποδεικνύεται εκεί, ο προσδιορισμός των συντελεστών στάθμισης μεμονωμένων αντικειμενικών συναρτήσεων είναι πολύ δύσκολος.
Η ακραία τιμή της προκύπτουσας ποσότητας θα θεωρηθεί βέλτιστη.
Έτσι, μπορεί να υποδειχθεί ότι στις περισσότερες περιπτώσεις (1η και 3η μορφή) οι δείκτες ποιότητας του συστήματος εκτιμώνται με αριθμητικές τιμές των συνιστωσών της αντικειμενικής συνάρτησης διανύσματος, οι οποίες ονομάζονται λειτουργικά :
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Δεδομένου ότι τα συστήματα λειτουργούν υπό συνθήκες τυχαίων επιρροών, οι τιμές των συναρτήσεων συχνά αποδεικνύονται τυχαίες μεταβλητές. Αυτό δεν είναι βολικό όταν χρησιμοποιείτε λειτουργικότητα με τη μορφή δεικτών ποιότητας. Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως χρησιμοποιούνται οι μέσες τιμές των αντίστοιχων λειτουργιών. Για παράδειγμα: ο μέσος αριθμός προϊόντων που παράγονται ανά βάρδια. μέσο κόστος παραγωγής κ.λπ.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι δείκτες ποιότητας αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες ορισμένων τυχαίων γεγονότων. Στην περίπτωση αυτή, ως αντικειμενική συνάρτηση επιλέγεται η πιθανότητα 
εκπλήρωση του καθορισμένου στόχου (εργασίας) από το σύστημα
Για παράδειγμα, η πιθανότητα ανίχνευσης στόχου από το ραντάρ κ.λπ.
Η αντικειμενική συνάρτηση είναι μια μαθηματική αναπαράσταση της εξάρτησης του κριτηρίου βελτιστότητας από τις επιθυμητές μεταβλητές.2. Διαβάθμιση της συνάρτησης.
Ένα διάνυσμα του οποίου τα συστατικά είναι οι τιμές των μερικών παραγώγων, δηλαδή ένα διάνυσμα
ονομάζεται κλίση της συνάρτησης που υπολογίζεται στο σημείο.
3. Γενικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού.
Η τυπική μαθηματική διατύπωση του γενικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μοιάζει με αυτό: πρέπει να βρείτε την ακραία τιμή του δείκτη απόδοσης (αντικειμενική συνάρτηση)
(γραμμική συνάρτηση στοιχείων λύσης) υπό γραμμικές περιοριστικές συνθήκες που επιβάλλονται στα στοιχεία λύσης:
που είναι οι αριθμοί που δίνονται. 
4. Τυπικό πρόβλημα LP.
Σε τυπική μορφή, ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι ένα μέγιστο (ελάχιστο) πρόβλημα για μια γραμμική αντικειμενική συνάρτηση. Το σύστημα περιορισμών του αποτελείται μόνο από γραμμικές ανισότητες του τύπου «<= » или « >=" Όλες οι μεταβλητές του προβλήματος είναι μη αρνητικές.
Οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί σε τυποποιημένη μορφή. Η μετατροπή ενός ελάχιστου προβλήματος σε μέγιστο πρόβλημα, καθώς και η διασφάλιση ότι οι μεταβλητές δεν είναι αρνητικές, γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως πριν. Οποιαδήποτε ισότητα σε ένα σύστημα περιορισμών είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα αμοιβαία αντίθετων ανισοτήτων:
Υπάρχουν άλλοι τρόποι μετατροπής ενός συστήματος ισοτήτων σε σύστημα ανισοτήτων, δηλ. Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί σε τυπική μορφή.
Απάντηση στην επιλογή 2:
Τυπικό πρόβλημα LP.
ή, σε συμβολισμό πίνακα, πού είναι ο πίνακας συντελεστών. Διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα συντελεστών γραμμικής μορφής, διάνυσμα περιορισμών.
5. Κανονικό πρόβλημα lp.
ΣΕ κανονική μορφήτο πρόβλημα είναι πρόβλημα για το μέγιστο (ελάχιστο) κάποιας γραμμικής συνάρτησης φά , το σύστημα περιορισμών του αποτελείται μόνο από ισότητες (εξισώσεις). Ταυτόχρονα, μεταβλητές εργασιών Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n είναι μη αρνητικές:
|
| |
Οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να μετατραπεί σε κανονική μορφή.
Μια σύντομη σημειογραφία του κανονικού προβλήματος LP:
X = (x1, x2, ..., xn), C = (c1, c2, ..., cn).
Απάντηση στην επιλογή 2:
Κανονικό πρόβλημα LP.
ή, σε σημειογραφία μήτρας,
6. Συμμετρικά και ασύμμετρα διπλά προβλήματα.
Πρόβλημα διπλού γραμμικού προγραμματισμού. Σκεφτείτε το πρόβλημα LP 
(1) ή, σε συμβολισμό πίνακα, (2) Το πρόβλημα διπλό έως (1) (διπλό πρόβλημα) ονομάζεται πρόβλημα LP σε μεταβλητές της μορφής 
(3) ή, σε συμβολισμό πίνακα, (4) όπου 
. Οι κανόνες για την κατασκευή του προβλήματος (3) σύμφωνα με τη μορφή του προβλήματος γραφής (1) είναι οι εξής: στο πρόβλημα (3)
Υπάρχουν τόσες μεταβλητές όσες και οι σειρές στον πίνακα του προβλήματος (1). Ο πίνακας περιορισμών στο (3) είναι ένας μεταφερόμενος πίνακας. Το διάνυσμα της δεξιάς πλευράς των περιορισμών στο (3) χρησιμεύει ως το διάνυσμα των συντελεστών της μεγιστοποιημένης γραμμικής μορφής στο (1) και τα πρόσημα των ανισοτήτων μεταβάλλονται σε ισότητα. Αντίθετα, η αντικειμενική συνάρτηση στο (3) είναι μια γραμμική μορφή, οι συντελεστές της οποίας καθορίζονται από το διάνυσμα της δεξιάς πλευράς των περιορισμών του προβλήματος (1), ενώ η μεγιστοποίηση αλλάζει σε ελαχιστοποίηση. Η συνθήκη της μη αρνητικότητας επιβάλλεται σε διπλές μεταβλητές. Το πρόβλημα (1), σε αντίθεση με το διπλό πρόβλημα (3), ονομάζεται άμεσο. Θεώρημα δυαδικότητας. Εάν τα διπλά προβλήματα (2), (4) είναι αποδεκτά, τότε και τα δύο έχουν λύση και την ίδια τιμή.
Συμμετρικά διπλά προβλήματα
Μια ποικιλία προβλημάτων διπλού γραμμικού προγραμματισμού είναι διπλά συμμετρικά προβλήματα, στα οποία το σύστημα περιορισμών τόσο του αρχικού όσο και του διπλού προβλημάτων καθορίζεται από ανισότητες και η συνθήκη της μη αρνητικότητας επιβάλλεται στις διπλές μεταβλητές.
