Πως ?
Παραδείγματα λύσεων

Αν κάτι λείπει κάπου, σημαίνει ότι υπάρχει κάτι κάπου

Συνεχίζουμε να μελετάμε την ενότητα «Συναρτήσεις και γραφήματα» και ο επόμενος σταθμός στο ταξίδι μας είναι. Μια ενεργή συζήτηση αυτής της έννοιας ξεκίνησε στο άρθρο για τα σύνολα και συνεχίστηκε στο πρώτο μάθημα για γραφήματα συναρτήσεων, όπου εξέτασα τις στοιχειώδεις συναρτήσεις και, ειδικότερα, τους τομείς ορισμού τους. Επομένως, προτείνω τα ομοιώματα να ξεκινήσουν με τα βασικά του θέματος, μιας και δεν θα σταθώ ξανά σε κάποια βασικά σημεία.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης γνωρίζει το πεδίο ορισμού των ακόλουθων συναρτήσεων: γραμμικές, τετραγωνικές, κυβικές συναρτήσεις, πολυώνυμα, εκθετική, ημιτονοειδές, συνημίτονο. Ορίζονται στις (το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών). Για τις εφαπτομένες, τα τόξα, ας είναι, σας συγχωρώ =) - τα πιο σπάνια γραφήματα δεν θυμούνται αμέσως.

Το εύρος του ορισμού φαίνεται να είναι ένα απλό πράγμα, και τίθεται ένα λογικό ερώτημα: τι θα αφορά το άρθρο; Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσω κοινά προβλήματα εύρεσης του τομέα μιας συνάρτησης. Επιπλέον, θα επαναλάβουμε ανισότητες με μία μεταβλητή, οι δεξιότητες επίλυσης των οποίων θα απαιτηθούν και σε άλλα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών. Το υλικό, παρεμπιπτόντως, είναι όλο το σχολικό υλικό, επομένως θα είναι χρήσιμο όχι μόνο για μαθητές, αλλά και για μαθητές. Οι πληροφορίες, φυσικά, δεν προσποιούνται εγκυκλοπαιδικές, αλλά εδώ δεν υπάρχουν τραβηγμένα «νεκρά» παραδείγματα, αλλά ψητά κάστανα, που είναι βγαλμένα από πραγματικές πρακτικές εργασίες.

Ας ξεκινήσουμε με μια γρήγορη βουτιά στο θέμα. Εν συντομία για το κύριο πράγμα: μιλάμε για συνάρτηση μιας μεταβλητής. Το πεδίο ορισμού του είναι πολλές έννοιες του "x", για το οποίο υπάρχειέννοιες του «παίκτες». Ας δούμε ένα υποθετικό παράδειγμα:

Ο τομέας ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι μια ένωση διαστημάτων:
(για όσους έχουν ξεχάσει: - εικονίδιο ενοποίησης). Με άλλα λόγια, εάν πάρετε οποιαδήποτε τιμή του "x" από το διάστημα , ή από , ή από , τότε για κάθε τέτοιο "x" θα υπάρχει μια τιμή "y".

Σε γενικές γραμμές, όπου είναι το πεδίο ορισμού, υπάρχει ένα γράφημα της συνάρτησης. Αλλά το μισό διάστημα και το σημείο «tse» δεν περιλαμβάνονται στην περιοχή ορισμού και δεν υπάρχει γράφημα εκεί.

Πώς να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης; Πολλοί άνθρωποι θυμούνται τη ρίμα των παιδιών: "πέτρα, χαρτί, ψαλίδι" και σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να παραφραστεί με ασφάλεια: "ρίζα, κλάσμα και λογάριθμος". Έτσι, αν συναντήσετε ένα κλάσμα, ρίζα ή λογάριθμο στην πορεία της ζωής σας, θα πρέπει να είστε αμέσως πολύ, πολύ επιφυλακτικοί! Η εφαπτομένη, η συνεφαπτομένη, η αρξίνη, η αρκοσίνη είναι πολύ λιγότερο κοινές και θα μιλήσουμε επίσης για αυτές. Αλλά πρώτα, σκίτσα από τη ζωή των μυρμηγκιών:

Τομέας μιας συνάρτησης που περιέχει ένα κλάσμα

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια συνάρτηση που περιέχει κάποιο κλάσμα. Όπως γνωρίζετε, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν: , άρα αυτά Οι τιμές "X" που μετατρέπουν τον παρονομαστή σε μηδέν δεν περιλαμβάνονται στο πεδίο εφαρμογής αυτής της συνάρτησης.

Δεν θα σταθώ στις απλούστερες λειτουργίες όπως κ.λπ., αφού όλοι βλέπουν τέλεια σημεία που δεν περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού τους. Ας δούμε πιο σημαντικά κλάσματα:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: Δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερο στον αριθμητή, αλλά ο παρονομαστής πρέπει να είναι μη μηδενικός. Ας το θέσουμε ίσο με το μηδέν και ας προσπαθήσουμε να βρούμε τα «κακά» σημεία:

Η εξίσωση που προκύπτει έχει δύο ρίζες: . Τιμές δεδομένων δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής της λειτουργίας. Πράγματι, αντικαταστήστε ή στη συνάρτηση και θα δείτε ότι ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν.

Απάντηση: τομέα:

Το λήμμα έχει ως εξής: «το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί με εξαίρεση το σύνολο που αποτελείται από τιμές " Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι το σύμβολο ανάστροφης κάθετου στα μαθηματικά υποδηλώνει λογική αφαίρεση και οι σγουρές αγκύλες υποδηλώνουν σύνολο. Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως ένωση τριών διαστημάτων:

Σε όποιον αρέσει.

Σε σημεία η λειτουργία ανέχεται ατελείωτα διαλείμματα, και τις ευθείες που δίνονται από τις εξισώσεις είναι κάθετες ασύμπτωτεςγια το γράφημα αυτής της συνάρτησης. Ωστόσο, αυτό είναι ένα ελαφρώς διαφορετικό θέμα, και περαιτέρω δεν θα εστιάσω ιδιαίτερη προσοχή σε αυτό.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Η εργασία είναι ουσιαστικά προφορική και πολλοί από εσάς θα βρείτε σχεδόν αμέσως την περιοχή ορισμού. Η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Ένα κλάσμα θα είναι πάντα «κακό»; Οχι. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Όποια τιμή και να πάρουμε το «x», ο παρονομαστής δεν θα πάει στο μηδέν, επιπλέον, θα είναι πάντα θετικός: . Έτσι, το εύρος αυτής της συνάρτησης είναι: .

Όλες οι λειτουργίες όπως ορίζεται και συνεχήςεπί .

Η κατάσταση είναι λίγο πιο περίπλοκη όταν ο παρονομαστής καταλαμβάνεται από ένα τετραγωνικό τριώνυμο:

Παράδειγμα 3

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τα σημεία στα οποία ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν. Για αυτό θα αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση:

Η διάκριση αποδείχθηκε αρνητική, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες και η συνάρτησή μας ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα.

Απάντηση: τομέα:

Παράδειγμα 4

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος. Σας συμβουλεύω να μην τεμπελιάζετε με απλά προβλήματα, καθώς θα συσσωρευτούν παρεξηγήσεις με περαιτέρω παραδείγματα.

Τομέας συνάρτησης με ρίζα

Η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας ορίζεται μόνο για εκείνες τις τιμές του "x" όταν Η ριζική έκφραση είναι μη αρνητική: . Εάν η ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή , τότε η συνθήκη είναι προφανώς πιο σφιχτή: . Παρόμοιοι υπολογισμοί ισχύουν για οποιαδήποτε ρίζα θετικού άρτιου βαθμού: , όμως, η ρίζα είναι ήδη 4ου βαθμού σε μελέτες λειτουργίαςδεν θυμάμαι.

Παράδειγμα 5

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική:

Πριν συνεχίσω με τη λύση, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τους βασικούς κανόνες για την εργασία με τις ανισότητες, γνωστούς από το σχολείο.

Δίνω ιδιαίτερη προσοχή!Τώρα εξετάζουμε τις ανισότητες με μία μεταβλητή- δηλαδή για εμάς υπάρχει μόνο μία διάσταση κατά μήκος του άξονα. Παρακαλώ μην μπερδεύεστε με ανισότητες δύο μεταβλητών, όπου ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων εμπλέκεται γεωμετρικά. Ωστόσο, υπάρχουν και ευχάριστες συμπτώσεις! Άρα, για την ανισότητα οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί είναι ισοδύναμοι:

1) Οι όροι μπορούν να μεταφερθούν από μέρος σε μέρος αλλάζοντας τους (τους όρους) σημάδια.

2) Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με έναν θετικό αριθμό.

3) Αν πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές της ανίσωσης επί αρνητικόςαριθμός, τότε πρέπει να αλλάξετε σημάδι της ίδιας της ανισότητας. Για παράδειγμα, εάν υπήρχε "περισσότερο", τότε θα γίνει "λιγότερο". αν ήταν «λιγότερο ή ίσο», τότε θα γίνει «μεγαλύτερο ή ίσο».

Στην ανισότητα, μετακινούμε το «τρία» στη δεξιά πλευρά με αλλαγή πρόσημου (κανόνας Νο. 1):

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας επί –1 (κανόνας Νο. 3):

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με (κανόνας Νο. 2):

Απάντηση: τομέα:

Η απάντηση μπορεί επίσης να γραφτεί με μια ισοδύναμη φράση: "η συνάρτηση ορίζεται στο ."
Γεωμετρικά, η περιοχή ορισμού απεικονίζεται με σκίαση των αντίστοιχων διαστημάτων στον άξονα της τετμημένης. Σε αυτήν την περίπτωση:

Για άλλη μια φορά σας υπενθυμίζω τη γεωμετρική σημασία του τομέα ορισμού - το γράφημα της συνάρτησης υπάρχει μόνο στη σκιασμένη περιοχή και απουσιάζει στο .

Στις περισσότερες περιπτώσεις, ένας καθαρά αναλυτικός προσδιορισμός του τομέα ορισμού είναι κατάλληλος, αλλά όταν η συνάρτηση είναι πολύ περίπλοκη, θα πρέπει να σχεδιάσετε έναν άξονα και να κάνετε σημειώσεις.

Παράδειγμα 6

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Όταν υπάρχει ένα τετράγωνο διώνυμο ή τριώνυμο κάτω από την τετραγωνική ρίζα, η κατάσταση γίνεται λίγο πιο περίπλοκη και τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς την τεχνική λύσης:

Παράδειγμα 7

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι αυστηρά θετική, δηλαδή πρέπει να λύσουμε την ανισότητα. Στο πρώτο βήμα, προσπαθούμε να συνυπολογίσουμε το τετραγωνικό τριώνυμο:

Η διάκριση είναι θετική, ψάχνουμε για ρίζες:

Η παραβολή λοιπόν τέμνει τον άξονα της τετμημένης σε δύο σημεία, πράγμα που σημαίνει ότι μέρος της παραβολής βρίσκεται κάτω από τον άξονα (ανισότητα) και μέρος της παραβολής βρίσκεται πάνω από τον άξονα (η ανισότητα που χρειαζόμαστε).

Εφόσον ο συντελεστής είναι , οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα πάνω. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η ανισότητα ικανοποιείται στα διαστήματα (οι κλάδοι της παραβολής ανεβαίνουν στο άπειρο) και η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο διάστημα κάτω από τον άξονα x, που αντιστοιχεί στην ανισότητα:

! Σημείωση: Εάν δεν καταλαβαίνετε πλήρως τις εξηγήσεις, σχεδιάστε τον δεύτερο άξονα και ολόκληρη την παραβολή! Συνιστάται να επιστρέψετε στο άρθρο και στο εγχειρίδιο Καυτές φόρμουλες για το σχολικό μάθημα μαθηματικών.

Σημειώστε ότι οι ίδιοι οι πόντοι αφαιρούνται (δεν περιλαμβάνονται στη λύση), καθώς η ανισότητά μας είναι αυστηρή.

Απάντηση: τομέα:

Γενικά, πολλές ανισότητες (συμπεριλαμβανομένης της εξεταζόμενης) επιλύονται από το καθολικό μέθοδος διαστήματος, γνωστό και πάλι από το σχολικό πρόγραμμα. Αλλά στις περιπτώσεις τετραγωνικών διωνύμων και τριωνύμων, κατά τη γνώμη μου, είναι πολύ πιο βολικό και πιο γρήγορο να αναλύσουμε τη θέση της παραβολής σε σχέση με τον άξονα. Και θα αναλύσουμε την κύρια μέθοδο - τη μέθοδο του διαστήματος - λεπτομερώς στο άρθρο. Συναρτήσεις μηδενικά. Διαστήματα σταθερότητας.

Παράδειγμα 8

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Το δείγμα σχολιάζει αναλυτικά τη λογική του συλλογισμού + τη δεύτερη μέθοδο επίλυσης και έναν ακόμη σημαντικό μετασχηματισμό της ανισότητας, χωρίς γνώση της οποίας ο μαθητής θα κουτσαίνει στο ένα πόδι..., ...χμμ... ίσως ενθουσιάστηκα σχετικά με το πόδι, πιο πιθανό στο ένα δάχτυλο του ποδιού. Αντίχειρας.

Μπορεί να οριστεί συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή; Σίγουρα. Όλα τα γνωστά πρόσωπα: . Ή παρόμοιο άθροισμα με εκθέτη: . Πράγματι, για οποιεσδήποτε τιμές των "x" και "ka": , επομένως επίσης και .

Ακολουθεί ένα λιγότερο προφανές παράδειγμα: . Εδώ η διάκριση είναι αρνητική (η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα x), ενώ οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, εξ ου και το πεδίο ορισμού: .

Το αντίθετο ερώτημα: μπορεί να είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης αδειάζω? Ναι, και ένα πρωτόγονο παράδειγμα αυτοπροτείνεται αμέσως , όπου η ριζική έκφραση είναι αρνητική για οποιαδήποτε τιμή του "x", και ο τομέας ορισμού: (εικονίδιο κενού συνόλου). Μια τέτοια συνάρτηση δεν ορίζεται καθόλου (φυσικά και το γράφημα είναι απατηλό).

Με περίεργες ρίζες και τα λοιπά. όλα είναι πολύ καλύτερα - εδώ Η ριζική έκφραση μπορεί να είναι αρνητική. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Ωστόσο, η συνάρτηση έχει ένα μόνο σημείο που εξακολουθεί να μην περιλαμβάνεται στον τομέα ορισμού, καθώς ο παρονομαστής έχει οριστεί στο μηδέν. Για τον ίδιο λόγο για τη λειτουργία εξαιρούνται βαθμοί.

Τομέας συνάρτησης με λογάριθμο

Η τρίτη κοινή συνάρτηση είναι ο λογάριθμος. Ως παράδειγμα, θα σχεδιάσω τον φυσικό λογάριθμο, ο οποίος εμφανίζεται σε περίπου 99 παραδείγματα από τα 100. Εάν μια συγκεκριμένη συνάρτηση περιέχει έναν λογάριθμο, τότε ο τομέας ορισμού της θα πρέπει να περιλαμβάνει μόνο εκείνες τις τιμές του "x" που ικανοποιούν την ανισότητα. Αν ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή: , τότε Επιπροσθέτωςεπιβάλλεται όρος (αφού ).

Παράδειγμα 9

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: σύμφωνα με τα παραπάνω, θα συνθέσουμε και θα λύσουμε το σύστημα:

Γραφική λύση για ανδρείκελα:

Απάντηση: τομέα:

Θα σταθώ σε ένα ακόμη τεχνικό σημείο - δεν έχω την κλίμακα που υποδεικνύεται και οι διαιρέσεις κατά μήκος του άξονα δεν επισημαίνονται. Τίθεται το ερώτημα: πώς να κάνετε τέτοια σχέδια σε ένα σημειωματάριο σε καρό χαρτί; Πρέπει η απόσταση μεταξύ των σημείων να μετράται με κελιά αυστηρά σύμφωνα με την κλίμακα; Είναι πιο κανονικό και πιο αυστηρό, φυσικά, στην κλίμακα, αλλά ένα σχηματικό σχέδιο που αντικατοπτρίζει ουσιαστικά την κατάσταση είναι επίσης αρκετά αποδεκτό.

Παράδειγμα 10

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Για να λύσετε το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της προηγούμενης παραγράφου - αναλύστε πώς βρίσκεται η παραβολή σε σχέση με τον άξονα x. Η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Όπως μπορείτε να δείτε, στο βασίλειο των λογαρίθμων όλα μοιάζουν πολύ με την κατάσταση με τις τετραγωνικές ρίζες: η συνάρτηση (τετράγωνο τριώνυμο από το Παράδειγμα Νο. 7) ορίζεται στα διαστήματα και η συνάρτηση (τετράγωνο διώνυμο από το Παράδειγμα Νο. 6) στο διάστημα . Είναι δύσκολο να πούμε ότι οι συναρτήσεις τύπου ορίζονται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.

Χρήσιμες πληροφορίες : η τυπική συνάρτηση είναι ενδιαφέρουσα, ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το σημείο. Σύμφωνα με την ιδιότητα του λογάριθμου, το «δύο» μπορεί να πολλαπλασιαστεί εκτός του λογάριθμου, αλλά για να μην αλλάξει η συνάρτηση, το «x» πρέπει να περικλείεται κάτω από το πρόσημο συντελεστή: . Εδώ είναι μια άλλη "πρακτική εφαρμογή" της ενότητας =). Αυτό πρέπει να κάνετε στις περισσότερες περιπτώσεις όταν κατεδαφίζετε ακόμη καιπτυχίο, για παράδειγμα: . Αν η βάση του βαθμού είναι προφανώς θετική, για παράδειγμα, τότε δεν χρειάζεται το πρόσημο του συντελεστή και αρκεί η χρήση παρενθέσεων: .

Για να αποφύγουμε την επανάληψη, ας περιπλέκουμε την εργασία:

Παράδειγμα 11

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: σε αυτή τη συνάρτηση έχουμε και τη ρίζα και τον λογάριθμο.

Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική: , και η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου πρέπει να είναι αυστηρά θετική: . Επομένως, είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα:

Πολλοί από εσάς γνωρίζετε πολύ καλά ή μαντεύετε διαισθητικά ότι η λύση συστήματος πρέπει να ικανοποιεί στον καθένακατάσταση.

Εξετάζοντας τη θέση της παραβολής σε σχέση με τον άξονα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η ανισότητα ικανοποιείται από το διάστημα (μπλε σκίαση):

Η ανισότητα αντιστοιχεί προφανώς στο «κόκκινο» μισό διάστημα.

Αφού πρέπει να πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ, τότε η λύση στο σύστημα είναι η τομή αυτών των διαστημάτων. Τα «κοινά συμφέροντα» ικανοποιούνται στο ημίχρονο.

Απάντηση: τομέα:

Η τυπική ανισότητα, όπως καταδεικνύεται στο Παράδειγμα Νο. 8, δεν είναι δύσκολο να επιλυθεί αναλυτικά.

Ο τομέας που βρέθηκε δεν θα αλλάξει για "παρόμοιες συναρτήσεις", π.χ. ή . Μπορείτε επίσης να προσθέσετε ορισμένες συνεχείς συναρτήσεις, για παράδειγμα: , ή όπως αυτό: , ή ακόμα και σαν αυτό: . Όπως λένε, η ρίζα και ο λογάριθμος είναι πεισματάρα. Το μόνο πράγμα είναι ότι εάν μια από τις συναρτήσεις «επαναφέρεται» στον παρονομαστή, τότε ο τομέας ορισμού θα αλλάξει (αν και στη γενική περίπτωση αυτό δεν ισχύει πάντα). Λοιπόν, στη θεωρία ματάν για αυτό το λεκτικό... ωχ... υπάρχουν θεωρήματα.

Παράδειγμα 12

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η χρήση ενός σχεδίου είναι αρκετά κατάλληλη, καθώς η λειτουργία δεν είναι η απλούστερη.

Κάποια ακόμη παραδείγματα για την ενίσχυση του υλικού:

Παράδειγμα 13

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: ας συνθέσουμε και ας λύσουμε το σύστημα:

Όλες οι ενέργειες έχουν ήδη συζητηθεί σε όλο το άρθρο. Ας απεικονίσουμε το διάστημα που αντιστοιχεί στην ανισότητα στην αριθμητική γραμμή και, σύμφωνα με τη δεύτερη συνθήκη, εξαλείφουμε δύο σημεία:

Το νόημα αποδείχθηκε εντελώς άσχετο.

Απάντηση: τομέα

Ένα μικρό λογοπαίγνιο μαθηματικών σε μια παραλλαγή του 13ου παραδείγματος:

Παράδειγμα 14

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Όσοι το έχασαν δεν έχουν τύχη ;-)

Η τελευταία ενότητα του μαθήματος είναι αφιερωμένη σε πιο σπάνιες, αλλά και «εργατικές» λειτουργίες:

Περιοχές ορισμού συναρτήσεων
με εφαπτομένες, συνεφαπτομένες, αρξίνες, αρκοσίνες

Εάν κάποια συνάρτηση περιλαμβάνει , τότε από τον τομέα ορισμού της εξαιρούνταισημεία , Οπου Ζ– ένα σύνολο ακεραίων. Συγκεκριμένα, όπως σημειώνεται στο άρθρο Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων, η συνάρτηση έχει τις ακόλουθες τιμές:

Δηλαδή, το πεδίο ορισμού της εφαπτομένης: .

Ας μην σκοτώνουμε πολύ:

Παράδειγμα 15

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: σε αυτήν την περίπτωση, τα ακόλουθα σημεία δεν θα περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού:

Ας ρίξουμε το "δύο" της αριστερής πλευράς στον παρονομαστή της δεξιάς πλευράς:

Σαν άποτέλεσμα :

Απάντηση: τομέα: .

Κατ 'αρχήν, η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως συνδυασμός άπειρου αριθμού διαστημάτων, αλλά η κατασκευή θα είναι πολύ δυσκίνητη:

Η αναλυτική λύση είναι απολύτως συνεπής με γεωμετρικός μετασχηματισμός της γραφικής παράστασης: αν το όρισμα μιας συνάρτησης πολλαπλασιαστεί επί 2, τότε η γραφική παράσταση της θα συρρικνωθεί στον άξονα δύο φορές. Παρατηρήστε πώς η περίοδος της συνάρτησης έχει μειωθεί στο μισό και ορια ΑΝΤΟΧΗΣδιπλασιάστηκε σε συχνότητα. Ταχυκαρδία.

Μια παρόμοια ιστορία με την συνεφαπτομένη. Εάν κάποια συνάρτηση περιλαμβάνει , τότε τα σημεία εξαιρούνται από τον τομέα ορισμού της. Συγκεκριμένα, για τη λειτουργία αυτόματης ριπής καταγράφουμε τις ακόλουθες τιμές:

Με άλλα λόγια:

Η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας ορίζεται μόνο για εκείνες τις τιμές του "x" όταν Η ριζική έκφραση είναι μη αρνητική: . Εάν η ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή , τότε η συνθήκη είναι προφανώς πιο σφιχτή: . Παρόμοιοι υπολογισμοί ισχύουν για οποιαδήποτε ρίζα θετικού άρτιου βαθμού: , όμως, η ρίζα είναι ήδη 4ου βαθμού σε μελέτες λειτουργίαςδεν θυμάμαι.

Παράδειγμα 5

Λύση: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική:

Πριν συνεχίσω με τη λύση, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τους βασικούς κανόνες για την εργασία με τις ανισότητες, γνωστούς από το σχολείο.

Δίνω ιδιαίτερη προσοχή!Τώρα εξετάζουμε τις ανισότητες με μία μεταβλητή- δηλαδή για εμάς υπάρχει μόνο μία διάσταση κατά μήκος του άξονα. Παρακαλώ μην μπερδεύεστε με ανισότητες δύο μεταβλητών, όπου ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων εμπλέκεται γεωμετρικά. Ωστόσο, υπάρχουν και ευχάριστες συμπτώσεις! Άρα, για την ανισότητα οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί είναι ισοδύναμοι:

1) Οι όροι μπορούν να μεταφερθούν από μέρος σε μέρος με αλλαγή πρόσημου.

2) Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με έναν θετικό αριθμό.

3) Αν πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές της ανίσωσης επί αρνητικόςαριθμός, τότε πρέπει να αλλάξετε σημάδι της ίδιας της ανισότητας. Για παράδειγμα, εάν υπήρχε "περισσότερο", τότε θα γίνει "λιγότερο". αν ήταν «λιγότερο ή ίσο», τότε θα γίνει «μεγαλύτερο ή ίσο».

Στην ανισότητα, μετακινούμε το «τρία» στη δεξιά πλευρά με αλλαγή πρόσημου (κανόνας Νο. 1):

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας επί –1 (κανόνας Νο. 3):

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με (κανόνας Νο. 2):

Απάντηση: τομέα:

Η απάντηση μπορεί επίσης να γραφτεί με μια ισοδύναμη φράση: "η συνάρτηση ορίζεται στο ."
Γεωμετρικά, η περιοχή ορισμού απεικονίζεται με σκίαση των αντίστοιχων διαστημάτων στον άξονα της τετμημένης. Σε αυτήν την περίπτωση:

Για άλλη μια φορά σας υπενθυμίζω τη γεωμετρική σημασία του τομέα ορισμού - το γράφημα της συνάρτησης υπάρχει μόνο στη σκιασμένη περιοχή και απουσιάζει στο .

Στις περισσότερες περιπτώσεις, ένας καθαρά αναλυτικός προσδιορισμός του τομέα ορισμού είναι κατάλληλος, αλλά όταν η συνάρτηση είναι πολύ περίπλοκη, θα πρέπει να σχεδιάσετε έναν άξονα και να κάνετε σημειώσεις.

Παράδειγμα 6

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Όταν υπάρχει ένα τετράγωνο διώνυμο ή τριώνυμο κάτω από την τετραγωνική ρίζα, η κατάσταση γίνεται λίγο πιο περίπλοκη και τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς την τεχνική λύσης:

Παράδειγμα 7

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Λύση: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι αυστηρά θετική, δηλαδή πρέπει να λύσουμε την ανισότητα. Στο πρώτο βήμα, προσπαθούμε να συνυπολογίσουμε το τετραγωνικό τριώνυμο:

Η διάκριση είναι θετική, ψάχνουμε για ρίζες:

Η παραβολή λοιπόν τέμνει τον άξονα της τετμημένης σε δύο σημεία, πράγμα που σημαίνει ότι μέρος της παραβολής βρίσκεται κάτω από τον άξονα (ανισότητα) και μέρος της παραβολής βρίσκεται πάνω από τον άξονα (η ανισότητα που χρειαζόμαστε).

Εφόσον ο συντελεστής είναι , οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα πάνω. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η ανισότητα ικανοποιείται στα διαστήματα (οι κλάδοι της παραβολής ανεβαίνουν στο άπειρο) και η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο διάστημα κάτω από τον άξονα x, που αντιστοιχεί στην ανισότητα:

! Σημείωση: Εάν δεν καταλαβαίνετε πλήρως τις εξηγήσεις, σχεδιάστε τον δεύτερο άξονα και ολόκληρη την παραβολή! Συνιστάται να επιστρέψετε στο άρθρο Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεωνκαι εκπαιδευτικό εγχειρίδιο Καυτές φόρμουλες για το σχολικό μάθημα μαθηματικών.

Σημειώστε ότι οι ίδιοι οι πόντοι αφαιρούνται (δεν περιλαμβάνονται στη λύση), καθώς η ανισότητά μας είναι αυστηρή.

Απάντηση: τομέα:

Γενικά, πολλές ανισότητες (συμπεριλαμβανομένης της εξεταζόμενης) επιλύονται από το καθολικό μέθοδος διαστήματος, γνωστό και πάλι από το σχολικό πρόγραμμα. Αλλά στις περιπτώσεις τετραγωνικών διωνύμων και τριωνύμων, κατά τη γνώμη μου, είναι πολύ πιο βολικό και πιο γρήγορο να αναλύσουμε τη θέση της παραβολής σε σχέση με τον άξονα. Και θα αναλύσουμε την κύρια μέθοδο - τη μέθοδο του διαστήματος - λεπτομερώς στο άρθρο. Συναρτήσεις μηδενικά. Διαστήματα σταθερότητας.

Παράδειγμα 8

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Το δείγμα σχολιάζει αναλυτικά τη λογική του συλλογισμού + τη δεύτερη μέθοδο επίλυσης και έναν ακόμη σημαντικό μετασχηματισμό της ανισότητας, χωρίς γνώση της οποίας ο μαθητής θα κουτσαίνει στο ένα πόδι..., ...χμμ... ίσως ενθουσιάστηκα σχετικά με το πόδι, πιο πιθανό στο ένα δάχτυλο του ποδιού. Αντίχειρας.

Μπορεί να οριστεί συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή; Σίγουρα. Όλα τα γνωστά πρόσωπα: . Ή παρόμοιο άθροισμα με εκθέτη: . Πράγματι, για οποιεσδήποτε τιμές των "x" και "ka": , επομένως ίσα και .. Για παράδειγμα, η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Ωστόσο, η συνάρτηση έχει ένα μόνο σημείο που εξακολουθεί να μην περιλαμβάνεται στον τομέα ορισμού, καθώς ο παρονομαστής έχει οριστεί στο μηδέν. Για τον ίδιο λόγο για τη λειτουργία εξαιρούνται βαθμοί.

Σε ορισμένους επισκέπτες του ιστότοπου, τα εν λόγω παραδείγματα θα φαίνονται στοιχειώδη και πρωτόγονα, αλλά αυτό δεν είναι τυχαίο - πρώτον, προσπαθώ να «ακονίσω» το υλικό για noobs και, δεύτερον, επιλέγω ρεαλιστικά πράγματα για μελλοντικές εργασίες: πλήρης μελέτη λειτουργίας, εύρεση τομέας ορισμού μιας συνάρτησης δύο μεταβλητώνκαι μερικοί άλλοι. Τα πάντα στα μαθηματικά κολλάνε το ένα στο άλλο. Αν και αυτοί που τους αρέσουν οι δυσκολίες επίσης δεν θα μείνουν στερημένοι, θα βρεθούν πιο σοβαρές εργασίες τόσο εδώ όσο και στο μάθημα.
σχετικά με τη μέθοδο του διαστήματος.

Μια συνάρτηση είναι ένα μοντέλο. Ας ορίσουμε το X ως ένα σύνολο τιμών μιας ανεξάρτητης μεταβλητής // ανεξάρτητη σημαίνει οποιαδήποτε.

Συνάρτηση είναι ένας κανόνας με τη βοήθεια του οποίου, για κάθε τιμή μιας ανεξάρτητης μεταβλητής από το σύνολο X, μπορεί κανείς να βρει μια μοναδική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. // δηλ. για κάθε x υπάρχει ένα y.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι υπάρχουν δύο έννοιες - μια ανεξάρτητη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με x και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή) και μια εξαρτημένη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με y ή f (x) και υπολογίζεται από τη συνάρτηση όταν αντικαθιστούμε το x).

ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ y=5+x

1. Ανεξάρτητο είναι το x, που σημαίνει ότι παίρνουμε οποιαδήποτε τιμή, έστω x=3

2. Τώρα ας υπολογίσουμε το y, που σημαίνει y=5+x=5+3=8. (το y εξαρτάται από το x, γιατί ό,τι x αντικαταστήσουμε, παίρνουμε το ίδιο y)

Η μεταβλητή y λέγεται ότι εξαρτάται λειτουργικά από τη μεταβλητή x και συμβολίζεται ως εξής: y = f (x).

ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

1.y=1/x. (ονομάζεται υπερβολή)

2. y=x^2. (ονομάζεται παραβολή)

3.y=3x+7. (ονομάζεται ευθεία γραμμή)

4. y= √ x. (ονομάζεται κλάδος παραβολής)

Η ανεξάρτητη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με x) ονομάζεται όρισμα συνάρτησης.

Τομέας συνάρτησης

Το σύνολο όλων των τιμών που παίρνει ένα όρισμα συνάρτησης ονομάζεται τομέας της συνάρτησης και συμβολίζεται D(f) ή D(y).

Θεωρήστε το D(y) για το 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) και (0;+∞) //όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών εκτός από το μηδέν.

2. D (y)= (∞; +∞)//όλος ο αριθμός των πραγματικών αριθμών

3. D (y)= (∞; +∞)//όλος ο αριθμός των πραγματικών αριθμών

4. Δ(υ)= ∪ ∪

Στη λεκτική μέθοδο για τον καθορισμό μιας συνάρτησης, πρέπει να διαβάσετε προσεκτικά τη συνθήκη και να βρείτε περιορισμούς στα Xs εκεί. Μερικές φορές τα μάτια αναζητούν φόρμουλες, αλλά οι λέξεις σφυρίζουν πέρα ​​από τη συνείδηση ​​ναι...) Παράδειγμα από το προηγούμενο μάθημα:

Η συνάρτηση καθορίζεται από τη συνθήκη: κάθε τιμή του φυσικού ορίσματος x σχετίζεται με το άθροισμα των ψηφίων που συνθέτουν την τιμή του x.

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι μιλάμε μόνογια τις φυσικές αξίες του Χ. Επειτα Δ(στ)καταγράφηκε άμεσα:

D(f): x ∈ Ν

Όπως μπορείτε να δείτε, ο τομέας μιας συνάρτησης δεν είναι τόσο περίπλοκη έννοια. Η εύρεση αυτής της περιοχής καταλήγει στην εξέταση της συνάρτησης, στη σύνταξη ενός συστήματος ανισοτήτων και στην επίλυση αυτού του συστήματος. Φυσικά, υπάρχουν όλων των ειδών τα συστήματα, απλά και σύνθετα. Αλλά...

Θα σου πω ένα μικρό μυστικό. Μερικές φορές μια συνάρτηση για την οποία πρέπει να βρείτε τον τομέα ορισμού φαίνεται απλά τρομακτική. Θέλω να χλωθώ και να κλάψω.) Μόλις όμως γράψω το σύστημα των ανισοτήτων... Και, ξαφνικά, το σύστημα αποδεικνύεται στοιχειώδες! Επιπλέον, συχνά, όσο πιο τρομερή είναι η λειτουργία, τόσο πιο απλό το σύστημα...

Ηθικό: τα μάτια φοβούνται, το κεφάλι αποφασίζει!)