Μελέτη συνάρτησης με ρίζα, παραδείγματα λύσεων. Το εύρος της λειτουργίας. Λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Οποιαδήποτε έκφραση με μεταβλητή έχει το δικό της εύρος έγκυρων τιμών, όπου υπάρχει. Το ODZ πρέπει πάντα να λαμβάνεται υπόψη κατά τη λήψη αποφάσεων. Εάν απουσιάζει, μπορεί να έχετε ένα λανθασμένο αποτέλεσμα.

Αυτό το άρθρο θα δείξει πώς να βρείτε σωστά το ODZ και να χρησιμοποιήσετε παραδείγματα. Θα συζητηθεί επίσης η σημασία της ένδειξης του DZ κατά τη λήψη μιας απόφασης.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Έγκυρες και μη έγκυρες τιμές μεταβλητής

Αυτός ο ορισμός σχετίζεται με τις επιτρεπόμενες τιμές της μεταβλητής. Όταν εισάγουμε τον ορισμό, ας δούμε σε τι αποτέλεσμα θα οδηγήσει.

Ξεκινώντας από την 7η τάξη, αρχίζουμε να εργαζόμαστε με αριθμούς και αριθμητικές εκφράσεις. Αρχικοί ορισμοίμε μεταβλητές μεταπηδά στη σημασία των εκφράσεων με τις επιλεγμένες μεταβλητές.

Όταν υπάρχουν εκφράσεις με επιλεγμένες μεταβλητές, ορισμένες από αυτές μπορεί να μην ικανοποιούν. Για παράδειγμα, μια έκφραση της μορφής 1: α, αν a = 0, τότε δεν έχει νόημα, αφού είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν. Δηλαδή, η έκφραση πρέπει να έχει τιμές που είναι κατάλληλες σε κάθε περίπτωση και θα δώσει απάντηση. Με άλλα λόγια, βγάζουν νόημα με τις υπάρχουσες μεταβλητές.

Ορισμός 1

Εάν υπάρχει μια παράσταση με μεταβλητές, τότε έχει νόημα μόνο εάν η τιμή μπορεί να υπολογιστεί αντικαθιστώντας τις.

Ορισμός 2

Εάν υπάρχει μια παράσταση με μεταβλητές, τότε δεν έχει νόημα όταν, κατά την αντικατάστασή τους, η τιμή δεν μπορεί να υπολογιστεί.

Δηλαδή, αυτό συνεπάγεται έναν πλήρη ορισμό

Ορισμός 3

Οι υπάρχουσες αποδεκτές μεταβλητές είναι εκείνες οι τιμές για τις οποίες η έκφραση έχει νόημα. Και αν δεν έχει νόημα, τότε θεωρούνται απαράδεκτα.

Για να διευκρινίσουμε τα παραπάνω: εάν υπάρχουν περισσότερες από μία μεταβλητές, τότε μπορεί να υπάρχει ένα ζεύγος κατάλληλων τιμών.

Παράδειγμα 1

Για παράδειγμα, θεωρήστε μια έκφραση της μορφής 1 x - y + z, όπου υπάρχουν τρεις μεταβλητές. Διαφορετικά, μπορείτε να το γράψετε ως x = 0, y = 1, z = 2, ενώ μια άλλη καταχώρηση έχει τη μορφή (0, 1, 2). Αυτές οι τιμές ονομάζονται έγκυρες, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να βρεθεί η τιμή της έκφρασης. Παίρνουμε ότι 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Από αυτό βλέπουμε ότι τα (1, 1, 2) είναι απαράδεκτα. Η αντικατάσταση έχει ως αποτέλεσμα τη διαίρεση με το μηδέν, δηλαδή 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Τι είναι το ODZ;

Το εύρος των αποδεκτών τιμών είναι ένα σημαντικό στοιχείο κατά την αξιολόγηση αλγεβρικών παραστάσεων. Επομένως, αξίζει να δώσετε προσοχή σε αυτό όταν κάνετε υπολογισμούς.

Ορισμός 4

Περιοχή ODZείναι το σύνολο των τιμών που επιτρέπονται για μια δεδομένη έκφραση.

Ας δούμε ένα παράδειγμα έκφρασης.

Παράδειγμα 2

Αν έχουμε έκφραση της μορφής 5 z - 3, τότε το ODZ έχει τη μορφή (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Αυτό είναι το εύρος των έγκυρων τιμών που ικανοποιεί τη μεταβλητή z για μια δεδομένη έκφραση.

Εάν υπάρχουν εκφράσεις της μορφής z x - y, τότε είναι σαφές ότι το x ≠ y, το z παίρνει οποιαδήποτε τιμή. Αυτό ονομάζεται εκφράσεις ODZ. Πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ώστε να μην προκύπτει διαίρεση με το μηδέν κατά την αντικατάσταση.

Το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών και το εύρος ορισμού έχουν την ίδια σημασία. Μόνο το δεύτερο από αυτά χρησιμοποιείται για εκφράσεις και το πρώτο για εξισώσεις ή ανισότητες. Με τη βοήθεια του DL, η έκφραση ή η ανισότητα έχει νόημα. Ο τομέας ορισμού της συνάρτησης συμπίπτει με το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής x για την έκφραση f (x).

Πώς να βρείτε το ODZ; Παραδείγματα, λύσεις

Η εύρεση του ODZ σημαίνει την εύρεση όλων των έγκυρων τιμών κατάλληλων για δεδομένη λειτουργίαή ανισότητα. Η μη τήρηση αυτών των προϋποθέσεων μπορεί να οδηγήσει σε εσφαλμένα αποτελέσματα. Για να βρείτε το ODZ, είναι συχνά απαραίτητο να περάσετε από μετασχηματισμούς σε μια δεδομένη έκφραση.

Υπάρχουν εκφράσεις όπου ο υπολογισμός τους είναι αδύνατος:

• αν υπάρχει διαίρεση με το μηδέν?
• παίρνοντας τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού.
• η παρουσία αρνητικού ακέραιου δείκτη - μόνο για θετικούς αριθμούς.
• Υπολογισμός του λογάριθμου ενός αρνητικού αριθμού.
• πεδίο ορισμού της εφαπτομένης π 2 + π · k, k ∈ Z και της συνεφαπτομένης π · k, k ∈ Z;
• εύρεση της τιμής του τόξου και της αρκοσίνης ενός αριθμού για μια τιμή που δεν ανήκει στο [-1; 1 ] .

Όλα αυτά δείχνουν πόσο σημαντικό είναι να έχεις ODZ.

Παράδειγμα 3

Βρείτε την παράσταση ODZ x 3 + 2 x y − 4 .

Λύση

Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να τεμαχιστεί σε κύβους. Αυτή η έκφραση δεν έχει κλάσμα, επομένως οι τιμές των x και y μπορούν να είναι οποιεσδήποτε. Δηλαδή, ODZ είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Απάντηση: x και y – οποιεσδήποτε τιμές.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το ODZ της παράστασης 1 3 - x + 1 0.

Λύση

Μπορεί να φανεί ότι υπάρχει ένα κλάσμα όπου ο παρονομαστής είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x θα πάρουμε διαίρεση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτή η έκφραση θεωρείται απροσδιόριστη, δηλαδή δεν έχει καμία πρόσθετη ευθύνη.

Απάντηση: ∅ .

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το ODZ της δοσμένης παράστασης x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Λύση

Διαθεσιμότητα τετραγωνική ρίζαυποδηλώνει ότι αυτή η έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Αν είναι αρνητικό, δεν έχει νόημα. Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να γράψουμε μια ανισότητα της μορφής x + 2 · y + 3 ≥ 0. Δηλαδή, αυτό είναι το επιθυμητό εύρος αποδεκτών τιμών.

Απάντηση:σύνολο x και y, όπου x + 2 y + 3 ≥ 0.

Παράδειγμα 6

Προσδιορίστε την έκφραση ODZ της μορφής 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Λύση

Κατά συνθήκη, έχουμε ένα κλάσμα, άρα ο παρονομαστής του δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν. Παίρνουμε ότι x + 1 - 1 ≠ 0. Η ριζική έκφραση έχει πάντα νόημα όταν είναι μεγαλύτερη ή ίση με μηδέν, δηλαδή x + 1 ≥ 0. Εφόσον έχει λογάριθμο, η έκφρασή του πρέπει να είναι αυστηρά θετική, δηλαδή x 2 + 3 > 0. Η βάση του λογάριθμου πρέπει επίσης να έχει θετική τιμή και διαφορετική από το 1, τότε προσθέτουμε τις συνθήκες x + 8 > 0 και x + 8 ≠ 1. Από αυτό προκύπτει ότι το επιθυμητό ODZ θα έχει τη μορφή:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Με άλλα λόγια, ονομάζεται σύστημα ανισοτήτων με μία μεταβλητή. Η λύση θα οδηγήσει στον ακόλουθο συμβολισμό ODZ [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Απάντηση: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Γιατί είναι σημαντικό να λαμβάνετε υπόψη το DPD κατά την αλλαγή;

Κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών ταυτότητας, είναι σημαντικό να βρείτε το ODZ. Υπάρχουν περιπτώσεις που δεν εμφανίζεται η ύπαρξη ΟΔΖ. Για να κατανοήσετε εάν μια δεδομένη παράσταση έχει λύση, πρέπει να συγκρίνετε το VA των μεταβλητών της αρχικής παράστασης και το VA της προκύπτουσας.

Μετασχηματισμοί ταυτότητας:

• μπορεί να μην επηρεάσει το DL.
• μπορεί να οδηγήσει σε επέκταση ή προσθήκη DZ.
• μπορεί να περιορίσει το DZ.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 7

Αν έχουμε μια έκφραση της μορφής x 2 + x + 3 · x, τότε το ODZ της ορίζεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. Ακόμη και όταν φέρνουμε παρόμοιους όρους και απλοποιούμε την έκφραση, το ODZ δεν αλλάζει.

Παράδειγμα 8

Αν πάρουμε το παράδειγμα της παράστασης x + 3 x − 3 x, τότε τα πράγματα είναι διαφορετικά. Έχουμε μια κλασματική έκφραση. Και γνωρίζουμε ότι η διαίρεση με το μηδέν είναι απαράδεκτη. Τότε το ODZ έχει τη μορφή (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Φαίνεται ότι το μηδέν δεν είναι λύση, οπότε το προσθέτουμε με μια παρένθεση.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα με την παρουσία μιας ριζοσπαστικής έκφρασης.

Παράδειγμα 9

Εάν υπάρχει x - 1 · x - 3, τότε θα πρέπει να δώσετε προσοχή στο ODZ, καθώς πρέπει να γραφτεί ως η ανίσωση (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Είναι δυνατό να λυθεί με τη μέθοδο του διαστήματος, τότε βρίσκουμε ότι το ODZ θα πάρει τη μορφή (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Αφού μετασχηματίσουμε x - 1 · x - 3 και εφαρμόσουμε την ιδιότητα των ριζών, έχουμε ότι το ODZ μπορεί να συμπληρωθεί και όλα μπορούν να γραφούν με τη μορφή ενός συστήματος ανισώσεων της μορφής x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Όταν το λύνουμε, βρίσκουμε ότι [ 3 , + ∞) . Αυτό σημαίνει ότι το ODZ γράφεται πλήρως ως εξής: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Οι μετασχηματισμοί που στενεύουν το DZ πρέπει να αποφεύγονται.

Παράδειγμα 10

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα της έκφρασης x - 1 · x - 3, όταν x = - 1. Κατά την αντικατάσταση, παίρνουμε ότι - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Αν μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση και τη φέρουμε στη μορφή x - 1 · x - 3, τότε κατά τον υπολογισμό διαπιστώνουμε ότι η έκφραση δεν έχει νόημα, αφού η ριζική έκφραση δεν πρέπει να είναι αρνητική.

Είναι απαραίτητο να τηρούνται οι ίδιοι μετασχηματισμοί που το ODZ δεν θα αλλάξει.

Εάν υπάρχουν παραδείγματα που επεκτείνονται σε αυτό, τότε θα πρέπει να προστεθεί στο DL.

Παράδειγμα 11

Ας δούμε το παράδειγμα ενός κλάσματος της μορφής x x 3 + x. Αν ακυρώσουμε κατά x, τότε παίρνουμε ότι 1 x 2 + 1. Τότε το ODZ επεκτείνεται και γίνεται (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Επιπλέον, κατά τον υπολογισμό, εργαζόμαστε ήδη με το δεύτερο απλοποιημένο κλάσμα.

Με την παρουσία λογαρίθμων, η κατάσταση είναι ελαφρώς διαφορετική.

Παράδειγμα 12

Αν υπάρχει έκφραση της μορφής ln x + ln (x + 3), αντικαθίσταται από ln (x · (x + 3)), με βάση την ιδιότητα του λογάριθμου. Από αυτό μπορούμε να δούμε ότι το ODZ από (0 , + ∞) σε (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Επομένως, για να προσδιοριστεί το ODZ ln (x · (x + 3)) είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν υπολογισμοί στο ODZ, δηλαδή στο σύνολο (0, + ∞).

Κατά την επίλυση, είναι πάντα απαραίτητο να δίνετε προσοχή στη δομή και τον τύπο της έκφρασης που δίνει η συνθήκη. Εάν η περιοχή ορισμού βρεθεί σωστά, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αρχικά, ας μάθουμε πώς να βρίσκουμε τομέας ορισμού του αθροίσματος των συναρτήσεων. Είναι σαφές ότι μια τέτοια συνάρτηση έχει νόημα για όλες αυτές τις τιμές της μεταβλητής για τις οποίες έχουν νόημα όλες οι συναρτήσεις που αποτελούν το άθροισμα. Επομένως, δεν υπάρχει αμφιβολία για την εγκυρότητα της ακόλουθης δήλωσης:

Αν η συνάρτηση f είναι το άθροισμα n συναρτήσεων f 1, f 2, …, f n, δηλαδή η συνάρτηση f δίνεται από τον τύπο y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι η τομή των τομέων ορισμού των συναρτήσεων f 1, f 2, ..., f n. Ας το γράψουμε ως .

Ας συμφωνήσουμε να συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε δίσκους όπως ο τελευταίος, που εννοούμε , γραμμένος μέσα σγουρό στήριγμα, ή την ταυτόχρονη εκπλήρωση οποιωνδήποτε προϋποθέσεων. Αυτό είναι βολικό και φυσικά αντηχεί με την έννοια των συστημάτων.

Παράδειγμα.

Δίνεται η συνάρτηση y=x 7 +x+5+tgx και πρέπει να βρούμε το πεδίο ορισμού της.

Λύση.

Η συνάρτηση f αντιπροσωπεύεται από το άθροισμα τεσσάρων συναρτήσεων: f 1 - συνάρτηση ισχύος με εκθέτη 7, f 2 - συνάρτηση ισχύος με εκθέτη 1, f 3 - σταθερή λειτουργίακαι f 4 - συναρτήσεις εφαπτομένης.

Εξετάζοντας τον πίνακα των περιοχών για τον καθορισμό του κύριου στοιχειώδεις λειτουργίες, βρίσκουμε ότι D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , και το πεδίο ορισμού του ορισμός της εφαπτομένης είναι το σύνολο όλων πραγματικούς αριθμούςεκτός από αριθμούς .

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι η τομή των τομέων ορισμού των συναρτήσεων f 1, f 2, f 3 και f 4. Είναι προφανές ότι αυτό είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, με εξαίρεση τους αριθμούς .

Απάντηση:

το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός .

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση τομέας ορισμού ενός προϊόντος συναρτήσεων. Για αυτήν την περίπτωση, ισχύει ένας παρόμοιος κανόνας:

Αν η συνάρτηση f είναι το γινόμενο των n συναρτήσεων f 1, f 2, ..., f n, δηλαδή η συνάρτηση f δίνεται από τον τύπο y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι η τομή των τομέων ορισμού των συναρτήσεων f 1, f 2, ..., f n. Ετσι, .

Αυτό είναι κατανοητό, στην υποδεικνυόμενη περιοχή ορίζονται όλες οι συναρτήσεις προϊόντος, και επομένως η ίδια η συνάρτηση f.

Παράδειγμα.

Y=3·arctgx·lnx .

Λύση.

Η δομή της δεξιάς πλευράς του τύπου που ορίζει τη συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), όπου f 1 είναι μια σταθερή συνάρτηση, f 2 είναι η συνάρτηση του τόξου, και Η f 3 είναι μια λογαριθμική συνάρτηση με βάση e.

Γνωρίζουμε ότι D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) και D(f 3)=(0, +∞) . Επειτα .

Απάντηση:

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=3·arctgx·lnx είναι το σύνολο όλων των πραγματικών θετικών αριθμών.

Ας επικεντρωθούμε χωριστά στην εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης που δίνεται από τον τύπο y=C·f(x), όπου C είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f συμπίπτουν. Πράγματι, η συνάρτηση y=C·f(x) είναι το γινόμενο μιας σταθερής συνάρτησης και μιας συνάρτησης f. Το πεδίο ορισμού μιας σταθερής συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι D(f) . Τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=C f(x) είναι , που ήταν αυτό που έπρεπε να προβληθεί.

Άρα, τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων y=f(x) και y=C·f(x), όπου το C είναι κάποιος πραγματικός αριθμός, συμπίπτουν. Για παράδειγμα, το πεδίο ορισμού της ρίζας είναι , γίνεται σαφές ότι το D(f) είναι το σύνολο όλων των x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f 2 για το οποίο το f 2 (x) περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f 1 .

Ετσι, τομέας ορισμού μιας σύνθετης συνάρτησης y=f 1 (f 2 (x)) είναι η τομή δύο συνόλων: το σύνολο όλων τέτοιων x που x∈D(f 2) και το σύνολο όλων αυτών των x για τα οποία f 2 (x)∈D(f 1) . Δηλαδή στη σημειογραφία που έχουμε υιοθετήσει (πρόκειται ουσιαστικά για ένα σύστημα ανισοτήτων).

Ας δούμε μερικά παραδείγματα λύσεων. Δεν θα περιγράψουμε τη διαδικασία λεπτομερώς, καθώς αυτό είναι πέρα ​​από το πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=lnx 2 .

Λύση.

Η αρχική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως y=f 1 (f 2 (x)), όπου f 1 είναι ένας λογάριθμος με βάση e, και f 2 είναι λειτουργία ισχύοςμε δείκτη 2.

Περνώντας στα γνωστά πεδία ορισμού των κύριων στοιχειωδών συναρτήσεων, έχουμε D(f 1)=(0, +∞) και D(f 2)=(−∞, +∞) .

Επειτα

Βρήκαμε λοιπόν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που χρειαζόμασταν, είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το μηδέν.

Απάντηση:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Παράδειγμα.

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης ?

Λύση.

Αυτή η λειτουργίαμιγαδικό, μπορεί να θεωρηθεί ως y=f 1 (f 2 (x)), όπου f 1 είναι μια συνάρτηση ισχύος με εκθέτη, και f 2 είναι η συνάρτηση τόξου, και πρέπει να βρούμε το πεδίο ορισμού της.

Ας δούμε τι γνωρίζουμε: D(f 1)=(0, +∞) και D(f 2)=[−1, 1] . Απομένει να βρεθεί η τομή των συνόλων τιμών x έτσι ώστε x∈D(f 2) και f 2 (x)∈D(f 1):

Για arcsinx>0, θυμηθείτε τις ιδιότητες της συνάρτησης arcsine. Το τόξο αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού [−1, 1] και πηγαίνει στο μηδέν στο x=0, επομένως, arcsinx>0 για οποιοδήποτε x από το διάστημα (0, 1] .

Ας επιστρέψουμε στο σύστημα:

Έτσι, το απαιτούμενο πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το μισό διάστημα (0, 1].

Απάντηση:

(0, 1] .

Τώρα ας προχωρήσουμε σε μιγαδικές συναρτήσεις της γενικής μορφής y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε αυτή την περίπτωση βρίσκεται ως .

Παράδειγμα.

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης .

Λύση.

Μια δεδομένη μιγαδική συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), όπου f 1 – sin, f 2 – συνάρτηση ρίζας τέταρτου βαθμού, f 3 – log.

Γνωρίζουμε ότι D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= ∪ ∪

Στη λεκτική μέθοδο για τον καθορισμό μιας συνάρτησης, πρέπει να διαβάσετε προσεκτικά τη συνθήκη και να βρείτε περιορισμούς στα Xs εκεί. Μερικές φορές τα μάτια αναζητούν φόρμουλες, αλλά οι λέξεις σφυρίζουν πέρα ​​από τη συνείδηση ​​ναι...) Παράδειγμα από το προηγούμενο μάθημα:

Η συνάρτηση καθορίζεται από τη συνθήκη: κάθε τιμή του φυσικού ορίσματος x σχετίζεται με το άθροισμα των ψηφίων που συνθέτουν την τιμή του x.

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι μιλάμε μόνογια τις φυσικές αξίες του Χ. Επειτα Δ(στ)καταγράφηκε άμεσα:

D(f): x ∈ Ν

Όπως μπορείτε να δείτε, το εύρος μιας συνάρτησης δεν είναι έτσι περίπλοκη έννοια. Η εύρεση αυτής της περιοχής καταλήγει στην εξέταση της συνάρτησης, στη σύνταξη ενός συστήματος ανισοτήτων και στην επίλυση αυτού του συστήματος. Φυσικά, υπάρχουν όλων των ειδών τα συστήματα, απλά και σύνθετα. Αλλά...

θα το ανοίξω μικρό μυστικό. Μερικές φορές μια συνάρτηση για την οποία πρέπει να βρείτε τον τομέα ορισμού φαίνεται απλά τρομακτική. Θέλω να χλωθώ και να κλάψω.) Μόλις όμως γράψω το σύστημα των ανισοτήτων... Και, ξαφνικά, το σύστημα αποδεικνύεται στοιχειώδες! Επιπλέον, συχνά, όσο πιο τρομερή είναι η λειτουργία, τόσο πιο απλό το σύστημα...

Ηθικό: τα μάτια φοβούνται, το κεφάλι αποφασίζει!)

Πώς να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης; Οι μαθητές του γυμνασίου συχνά πρέπει να αντιμετωπίσουν αυτό το έργο.

Οι γονείς πρέπει να βοηθήσουν τα παιδιά τους να κατανοήσουν αυτό το ζήτημα.

Καθορισμός συνάρτησης.

Ας θυμηθούμε τους θεμελιώδεις όρους της άλγεβρας. Στα μαθηματικά, συνάρτηση είναι η εξάρτηση μιας μεταβλητής από μια άλλη. Μπορούμε να πούμε ότι πρόκειται για έναν αυστηρό μαθηματικό νόμο που συνδέει δύο αριθμούς με συγκεκριμένο τρόπο.

Στα μαθηματικά, κατά την ανάλυση τύπων, οι αριθμητικές μεταβλητές αντικαθίστανται από αλφαβητικά σύμβολα. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα είναι τα x ("x") και y ("y"). Η μεταβλητή x ονομάζεται όρισμα και η μεταβλητή y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή ή συνάρτηση του x.

Υπάρχει διάφορους τρόπουςρύθμιση μεταβλητών εξαρτήσεων.

Ας τις απαριθμήσουμε:

1. Αναλυτικός τύπος.
2. Προβολή πίνακα.
3. Γραφική οθόνη.

Η αναλυτική μέθοδος αντιπροσωπεύεται από τον τύπο. Ας δούμε παραδείγματα: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Ο τύπος y=2x+3 είναι τυπικός για γραμμική συνάρτηση. Αντικατάσταση στον συγκεκριμένο τύπο αριθμητική αξίαόρισμα, παίρνουμε την τιμή του y.

Η μέθοδος του πίνακα είναι ένας πίνακας που αποτελείται από δύο στήλες. Η πρώτη στήλη εκχωρείται για τις τιμές Χ και στην επόμενη στήλη καταγράφονται τα δεδομένα του προγράμματος αναπαραγωγής.

Η γραφική μέθοδος θεωρείται η πιο οπτική. Ένα γράφημα είναι μια απεικόνιση του συνόλου όλων των σημείων σε ένα επίπεδο.

Για την κατασκευή ενός γραφήματος, χρησιμοποιείται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Το σύστημα αποτελείται από δύο κάθετες γραμμές. Πάνω στους άξονες τοποθετούνται πανομοιότυπα τμήματα μονάδας. Η καταμέτρηση γίνεται από το κεντρικό σημείο τομής των ευθειών.

Η ανεξάρτητη μεταβλητή δείχνει οριζόντια γραμμή. Ονομάζεται άξονας τετμημένης. Η κάθετη γραμμή (άξονας y) εμφανίζει την αριθμητική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Τα σημεία σημειώνονται στη διασταύρωση των κάθετων σε αυτούς τους άξονες. Συνδέοντας τα σημεία μεταξύ τους, παίρνουμε μια σταθερή γραμμή. Είναι η βάση του χρονοδιαγράμματος.

Τύποι μεταβλητών εξαρτήσεων

Ορισμός.

ΣΕ γενική εικόναη εξάρτηση παρουσιάζεται ως εξίσωση: y=f(x). Από τον τύπο προκύπτει ότι για κάθε τιμή του αριθμού x υπάρχει συγκεκριμένο αριθμό u. Η τιμή του παιχνιδιού, που αντιστοιχεί στον αριθμό x, ονομάζεται τιμή της συνάρτησης.

Όλες οι πιθανές τιμές που αποκτά η ανεξάρτητη μεταβλητή αποτελούν τον τομέα ορισμού της συνάρτησης. Αντίστοιχα, ολόκληρο το σύνολο των αριθμών της εξαρτημένης μεταβλητής καθορίζει το εύρος των τιμών της συνάρτησης. Ο τομέας ορισμού είναι όλες οι τιμές του ορίσματος για τις οποίες έχει νόημα η f(x).

Το αρχικό καθήκον στη μελέτη των μαθηματικών νόμων είναι να βρεθεί το πεδίο ορισμού. Αυτός ο όρος πρέπει να οριστεί σωστά. Διαφορετικά, όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί θα είναι άχρηστοι. Εξάλλου, ο όγκος των τιμών διαμορφώνεται με βάση τα στοιχεία του πρώτου συνόλου.

Το εύρος μιας συνάρτησης εξαρτάται άμεσα από τους περιορισμούς. Οι περιορισμοί προκαλούνται από την αδυναμία εκτέλεσης ορισμένων λειτουργιών. Υπάρχουν επίσης όρια στη χρήση αριθμητικών τιμών.

Ελλείψει περιορισμών, το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο χώρος των αριθμών. Το σύμβολο του απείρου έχει ένα οριζόντιο σύμβολο οκτώ. Ολόκληρο το σύνολο των αριθμών γράφεται ως εξής: (-∞; ∞).

ΣΕ ορισμένες περιπτώσειςο πίνακας δεδομένων αποτελείται από πολλά υποσύνολα. Το εύρος των αριθμητικών διαστημάτων ή διαστημάτων εξαρτάται από τον τύπο του νόμου της αλλαγής παραμέτρων.

Ακολουθεί μια λίστα παραγόντων που επηρεάζουν τους περιορισμούς:

• αντιστρόφως αναλογικότητα?
• αριθμητική ρίζα?
• εκθεσιμότητα?
• λογαριθμική εξάρτηση;
• τριγωνομετρικές μορφές.

Εάν υπάρχουν πολλά τέτοια στοιχεία, τότε η αναζήτηση περιορισμών χωρίζεται για καθένα από αυτά. Το μεγαλύτερο πρόβλημααντιπροσωπεύει τον εντοπισμό κρίσιμων σημείων και κενών. Η λύση στο πρόβλημα θα είναι να ενωθούν όλα τα αριθμητικά υποσύνολα.

Σύνολο και υποσύνολο αριθμών

Σχετικά με τα σετ.

Το πεδίο ορισμού εκφράζεται ως D(f) και το σύμβολο ένωσης αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο ∪. Όλα τα αριθμητικά διαστήματα περικλείονται σε παρένθεση. Εάν το όριο της τοποθεσίας δεν περιλαμβάνεται στο σετ, τότε τοποθετείται ημικυκλικός βραχίονας. Διαφορετικά, όταν ένας αριθμός περιλαμβάνεται σε ένα υποσύνολο, χρησιμοποιούνται αγκύλες.

Η αντίστροφη αναλογικότητα εκφράζεται με τον τύπο y=k/x. Το γράφημα συνάρτησης είναι μια καμπύλη γραμμή που αποτελείται από δύο κλάδους. Συνήθως ονομάζεται υπερβολή.

Εφόσον η συνάρτηση εκφράζεται ως κλάσμα, η εύρεση του πεδίου ορισμού καταλήγει στην ανάλυση του παρονομαστή. Είναι γνωστό ότι στα μαθηματικά απαγορεύεται η διαίρεση με το μηδέν. Η επίλυση του προβλήματος καταλήγει στην εξίσωση του παρονομαστή στο μηδέν και στην εύρεση των ριζών.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Δίνεται: y=1/(x+4). Βρείτε το πεδίο ορισμού.

1. Εξισώνουμε τον παρονομαστή με μηδέν.
   x+4=0
2. Εύρεση της ρίζας της εξίσωσης.
   x=-4
3. Ορίστε το σύνολο όλων πιθανές τιμέςδιαφωνία.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Απάντηση: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το -4.

Η τιμή ενός αριθμού κάτω από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας δεν μπορεί να είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση, ο ορισμός μιας συνάρτησης με ρίζα ανάγεται στην επίλυση μιας ανισότητας. Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.

Η περιοχή προσδιορισμού της ρίζας σχετίζεται με την ισοτιμία του δείκτη ρίζας. Εάν ο δείκτης διαιρείται με το 2, τότε η έκφραση έχει νόημα μόνο εάν είναι θετική. Ένας περιττός αριθμός του δείκτη υποδεικνύει το παραδεκτό οποιασδήποτε τιμής της ριζικής έκφρασης: τόσο θετική όσο και αρνητική.

Οι ανισώσεις λύνονται με τον ίδιο τρόπο όπως οι εξισώσεις. Υπάρχει μόνο μία διαφορά. Αφού πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές της ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, το πρόσημο πρέπει να αντιστραφεί.

Εάν η τετραγωνική ρίζα είναι στον παρονομαστή, τότε θα πρέπει να επιβάλετε πρόσθετη προϋπόθεση. Η αριθμητική τιμή δεν πρέπει να είναι μηδέν. Η ανισότητα κινείται στην κατηγορία των αυστηρών ανισοτήτων.

Λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Η λογαριθμική μορφή έχει νόημα για θετικούς αριθμούς. Έτσι, το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης είναι παρόμοιο με τη συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας, εκτός από το μηδέν.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λογαριθμικής εξάρτησης: y=log(2x-6). Βρείτε το πεδίο ορισμού.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Απάντηση: (3; +∞).

Το πεδίο ορισμού των y=sin x και y=cos x είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν περιορισμοί για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Συνδέονται με τη διαίρεση με το συνημίτονο ή το ημίτονο μιας γωνίας.

Η εφαπτομένη μιας γωνίας καθορίζεται από τον λόγο ημιτόνου προς συνημίτονο. Ας υποδείξουμε τις τιμές γωνίας στις οποίες δεν υπάρχει η τιμή της εφαπτομένης. Η συνάρτηση y=tg x έχει νόημα για όλες τις τιμές του ορίσματος εκτός από x=π/2+πn, n∈Z.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=ctg x είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, εξαιρουμένων των x=πn, n∈Z. Αν το όρισμα είναι ίσο με τον αριθμό π ή πολλαπλάσιο του π, το ημίτονο της γωνίας ίσο με μηδέν. Σε αυτά τα σημεία (ασύμπτωτα) η συνεφαπτομένη δεν μπορεί να υπάρξει.

Οι πρώτες εργασίες για τον προσδιορισμό του τομέα ορισμού ξεκινούν στα μαθήματα στην 7η τάξη. Όταν εισαχθεί για πρώτη φορά σε αυτό το τμήμα της άλγεβρας, ο μαθητής πρέπει να κατανοήσει ξεκάθαρα το θέμα.

πρέπει να σημειωθεί ότι αυτός ο όροςθα συνοδεύει τον φοιτητή, και στη συνέχεια τον φοιτητή, καθ' όλη τη διάρκεια της φοίτησης.