Υπολογίστε την τιμή μιας παράστασης. Πώς να βρείτε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης; Αριθμητική τιμή έκφρασης

Τύπος

Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση - αριθμητικές πράξεις (ή αριθμητικές πράξεις ). Αυτές οι αριθμητικές πράξεις αντιστοιχούν στα σημάδια των αριθμητικών πράξεων:

+ (ανάγνωση " συν") - σημάδι της λειτουργίας προσθήκης,

- (ανάγνωση " μείον") - σημάδι πράξεις αφαίρεσης,

∙ (ανάγνωση " πολλαπλασιάζω") - σημάδι πράξεις πολλαπλασιασμού,

: (ανάγνωση " διαιρέστε") είναι το σημάδι της λειτουργίας διαίρεσης.

Μια εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς που συνδέονται μεταξύ τους με αριθμητικά σύμβολα ονομάζεται αριθμητική έκφραση.Μια αριθμητική παράσταση μπορεί επίσης να περιέχει παρενθέσεις. Για παράδειγμα, η καταχώρηση 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) είναι μια αριθμητική έκφραση.

Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης ενεργειών σε αριθμούς σε αριθμητική έκφραση ονομάζεται την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης. Η εκτέλεση αυτών των ενεργειών ονομάζεται υπολογισμός της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης. Πριν γράψετε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, βάλτε σύμβολο ίσου"=". Ο Πίνακας 1 δείχνει παραδείγματα αριθμητικών εκφράσεων και τη σημασία τους.

Μια εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς και μικρά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου που διασυνδέονται με σημάδια αριθμητικών πράξεων ονομάζεται κυριολεκτική έκφραση. Αυτή η καταχώρηση μπορεί να περιέχει παρενθέσεις. Για παράδειγμα, εγγραφή α+β - 3 ∙ντοείναι μια κυριολεκτική έκφραση. Αντί για γράμματα, μπορείτε να αντικαταστήσετε διαφορετικούς αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, η σημασία των γραμμάτων μπορεί να αλλάξει, επομένως ονομάζονται και τα γράμματα στην έκφραση των γραμμάτων μεταβλητές.

Αντικαθιστώντας αριθμούς αντί για γράμματα στην κυριολεκτική έκφραση και υπολογίζοντας την τιμή της αριθμητικής παράστασης που προκύπτει, βρίσκουν τη σημασία μιας κυριολεκτικής έκφρασης για δεδομένες τιμές γραμμάτων(για δεδομένες τιμές μεταβλητών). Ο Πίνακας 2 δείχνει παραδείγματα εκφράσεων γραμμάτων.

Μια κυριολεκτική έκφραση μπορεί να μην έχει νόημα εάν η αντικατάσταση των τιμών των γραμμάτων έχει ως αποτέλεσμα μια αριθμητική έκφραση της οποίας η τιμή δεν μπορεί να βρεθεί για φυσικούς αριθμούς. Αυτή η αριθμητική έκφραση ονομάζεται ανακριβήςγια φυσικούς αριθμούς. Λέγεται επίσης ότι η έννοια μιας τέτοιας έκφρασης είναι « απροσδιόριστος"για φυσικούς αριθμούς και την ίδια την έκφραση "δεν έχει νόημα". Για παράδειγμα, η κυριολεκτική έκφραση α-βΔεν έχει σημασία όταν a = 10 και b = 17. Πράγματι, για τους φυσικούς αριθμούς, το minuend δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το subtrahend. Για παράδειγμα, αν έχετε μόνο 10 μήλα (a = 10), δεν μπορείτε να χαρίσετε 17 από αυτά (b = 17)!

Ο Πίνακας 2 (στήλη 2) δείχνει ένα παράδειγμα κυριολεκτικής έκφρασης. Κατ' αναλογία, συμπληρώστε πλήρως τον πίνακα.

Για φυσικούς αριθμούς η έκφραση είναι 10 -17 λάθος (δεν έχει νόημα), δηλ. η διαφορά 10 -17 δεν μπορεί να εκφραστεί ως φυσικός αριθμός. Ένα άλλο παράδειγμα: δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, επομένως για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό b, το πηλίκο β: 0 απροσδιόριστος.

Οι μαθηματικοί νόμοι, οι ιδιότητες, ορισμένοι κανόνες και σχέσεις γράφονται συχνά σε κυριολεκτική μορφή (δηλαδή με τη μορφή κυριολεκτικής έκφρασης). Σε αυτές τις περιπτώσεις, η κυριολεκτική έκφραση ονομάζεται τύπος. Για παράδειγμα, αν οι πλευρές ενός επτάγωνου είναι ίσες ένα,σι,ντο,ρε,μι,φά,σολ, στη συνέχεια ο τύπος (κυριολεκτική έκφραση) για τον υπολογισμό της περιμέτρου του Πέχει τη μορφή:

p =α+β+c +d+e+f+σολ

Με a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, η περίμετρος του επτάγωνου p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Με a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, η περίμετρος του άλλου επτάγωνου p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Μπλοκ 1. Λεξιλόγιο

Δημιουργήστε ένα λεξικό με νέους όρους και ορισμούς από την παράγραφο. Για να το κάνετε αυτό, γράψτε λέξεις από τη λίστα όρων παρακάτω στα κενά κελιά. Στον πίνακα (στο τέλος του μπλοκ), υποδείξτε τους αριθμούς των όρων σύμφωνα με τους αριθμούς των πλαισίων. Συνιστάται να διαβάσετε ξανά προσεκτικά την παράγραφο πριν συμπληρώσετε τα κελιά του λεξικού.

1. Πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση.

2. Σημάδια «+» (συν), «-» (μείον), «∙» (πολλαπλασιασμός, « : " (διαιρέστε).

3. Εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς που συνδέονται μεταξύ τους με πρόσημα αριθμητικών πράξεων και που μπορεί επίσης να περιέχει παρενθέσεις.

4. Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης ενεργειών σε αριθμούς σε αριθμητική έκφραση.

5. Το πρόσημο που προηγείται της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης.

6. Μια εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς και μικρά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, που συνδέονται μεταξύ τους με σημεία αριθμητικών πράξεων (μπορεί να υπάρχουν και αγκύλες).

7. Συνηθισμένο όνομαγράμματα σε κυριολεκτική έκφραση.

8. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, η οποία λαμβάνεται με την αντικατάσταση μεταβλητών σε μια κυριολεκτική έκφραση.

9.Μια αριθμητική παράσταση της οποίας η τιμή για φυσικούς αριθμούς δεν μπορεί να βρεθεί.

10. Μια αριθμητική παράσταση της οποίας η τιμή για φυσικούς αριθμούς μπορεί να βρεθεί.

11. Μαθηματικοί νόμοι, ιδιότητες, κάποιοι κανόνες και σχέσεις, γραμμένοι σε μορφή γράμματος.

12. Ένα αλφάβητο του οποίου τα μικρά γράμματα χρησιμοποιούνται για τη σύνταξη αλφαβητικών εκφράσεων.

Μπλοκ 2. Ταίριασμα

Αντιστοιχίστε την εργασία στην αριστερή στήλη με τη λύση στα δεξιά. Γράψτε την απάντησή σας με τη μορφή: 1α, 2δ, 3β...

Μπλοκ 3. Δοκιμή όψεων. Αριθμητικές και αλφαβητικές εκφράσεις

Τα τεστ όψεων αντικαθιστούν συλλογές προβλημάτων στα μαθηματικά, αλλά διαφέρουν ευνοϊκά από αυτά στο ότι μπορούν να επιλυθούν σε υπολογιστή, να ελεγχθούν οι λύσεις και να ανακαλυφθεί αμέσως το αποτέλεσμα της εργασίας. Αυτό το τεστ περιέχει 70 προβλήματα. Αλλά μπορείτε να λύσετε προβλήματα από επιλογή· για αυτό υπάρχει ένας πίνακας αξιολόγησης, ο οποίος υποδεικνύει απλές εργασίες και πιο δύσκολες. Παρακάτω είναι το τεστ.

1. Δίνεται ένα τρίγωνο με πλευρές ντο,ρε,Μ,εκφράζεται σε cm
2. Δίνεται τετράπλευρο με πλευρές σι,ντο,ρε,Μ, που εκφράζεται σε m
3. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου σε km/h είναι σι,ο χρόνος ταξιδιού σε ώρες είναι ρε
4. Η απόσταση που διένυσε ο τουρίστας μέσα Μώρες είναι Μεχλμ
5. Η απόσταση που διένυσε ο τουρίστας, κινούμενος με ταχύτητα Μ km/h είναι σιχλμ
6. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι μεγαλύτερο από τον δεύτερο αριθμό κατά 15
7. Η διαφορά είναι μικρότερη από αυτή που μειώνεται κατά 7
8. Μια επιβατική γραμμή έχει δύο καταστρώματα με τον ίδιο αριθμό θέσεων επιβατών. Σε κάθε μία από τις σειρές του καταστρώματος Μκαθίσματα, σειρές στο κατάστρωμα nπερισσότερες από θέσεις στη σειρά
9. Η Petya είναι m ετών, η Masha είναι n ετών και η Katya είναι k χρόνια νεότερη από την Petya και τη Masha μαζί
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Το νόημα αυτής της έκφρασης
2. Η κυριολεκτική έκφραση για την περίμετρο είναι
3. Η περίμετρος εκφράζεται σε εκατοστά
4. Φόρμουλα για την απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο
5. Φόρμουλα για ταχύτητα v, τουριστική κίνηση
6. Φόρμουλα για το χρόνο t, τουριστική κίνηση
7. Απόσταση που διανύθηκε με το αυτοκίνητο σε χιλιόμετρα
8. Ταχύτητα τουρισμού σε χιλιόμετρα την ώρα
9. Χρόνος τουριστικού ταξιδιού σε ώρες
10. Ο πρώτος αριθμός είναι...
11. Το υπόβαθρο ισούται με...
12. Έκφραση για ο μεγαλύτερος αριθμόςεπιβάτες, που μπορούν να μεταφέρουν το πλοίο για κπτήσεις
13. Ο μεγαλύτερος αριθμός επιβατών που μπορεί να μεταφέρει ένα αεροσκάφος κπτήσεις
14. Έκφραση επιστολής για την ηλικία της Κάτια
15. Η ηλικία της Κάτιας
16. Η συντεταγμένη του σημείου Β, αν η συντεταγμένη του σημείου Γ είναι t
17. Η συντεταγμένη του σημείου Δ, αν η συντεταγμένη του σημείου Γ είναι t
18. Η συντεταγμένη του σημείου Α, αν η συντεταγμένη του σημείου Γ είναι t
19. Μήκος τμήματος BD στην αριθμητική γραμμή
20. Μήκος τμήματος CA στην αριθμητική γραμμή
21. Μήκος τμήματος DA στην αριθμητική γραμμή

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Καθορίστε την πορεία δράσης. Εκτελέστε την πρώτη ενέργεια στις εσωτερικές αγκύλες 489–296=193. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε 193∙8=1544 και 34∙10=340. Επόμενη ενέργεια: 340+1544=1884. Στη συνέχεια, διαιρέστε 1884:4=461 και στη συνέχεια αφαιρέστε 461–410=60. Βρήκατε το νόημα αυτής της έκφρασης.

Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή της παράστασης 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Απλοποιήστε αυτή την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο tg α∙ctg α=1. Λάβετε: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Είναι γνωστό ότι αμαρτία 30º=1/2 και συν 30º=√3/2. Επομένως, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Βρήκατε το νόημα αυτής της έκφρασης.

Η τιμή της αλγεβρικής έκφρασης από . Για να βρείτε την τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης με βάση τις μεταβλητές, απλοποιήστε την έκφραση. Αντικαταστήστε ορισμένες τιμές για τις μεταβλητές. Ολοκληρώστε τα απαραίτητα βήματα. Ως αποτέλεσμα, θα λάβετε έναν αριθμό, ο οποίος θα είναι η τιμή της αλγεβρικής παράστασης για τις δεδομένες μεταβλητές.

Παράδειγμα. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 7(a+y)–3(2a+3y) με a=21 και y=10. Απλοποιήστε αυτήν την έκφραση και λάβετε: a–2y. Αντικαταστήστε τις αντίστοιχες τιμές των μεταβλητών και υπολογίστε: a–2y=21–2∙10=1. Αυτή είναι η τιμή της παράστασης 7(a+y)–3(2a+3y) με a=21 και y=10.

Σημείωση

Υπάρχουν αλγεβρικές εκφράσεις που δεν έχουν νόημα για ορισμένες τιμές των μεταβλητών. Για παράδειγμα, η έκφραση x/(7–a) δεν έχει νόημα αν a=7, γιατί Στην περίπτωση αυτή, ο παρονομαστής του κλάσματος γίνεται μηδέν.

Πηγές:

• βρείτε τη μικρότερη τιμή της έκφρασης
• Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων για το c 14

Η εκμάθηση της απλοποίησης των εκφράσεων στα μαθηματικά είναι απλώς απαραίτητη προκειμένου να επιλύονται σωστά και γρήγορα προβλήματα και διάφορες εξισώσεις. Η απλοποίηση μιας έκφρασης περιλαμβάνει τη μείωση του αριθμού των βημάτων, γεγονός που διευκολύνει τους υπολογισμούς και εξοικονομεί χρόνο.

Οδηγίες

Μάθετε να υπολογίζετε τις δυνάμεις του c. Κατά τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων c, προκύπτει ένας αριθμός του οποίου η βάση είναι ίδια και οι εκθέτες προστίθενται b^m+b^n=b^(m+n). Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, προκύπτει η ισχύς ενός αριθμού, η βάση του οποίου παραμένει η ίδια, και οι εκθέτες των δυνάμεων αφαιρούνται και ο εκθέτης του διαιρέτη b^m αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος : b^n=b^(m-n). Όταν αυξάνεται μια δύναμη σε μια ισχύ, λαμβάνεται η ισχύς ενός αριθμού, η βάση του οποίου παραμένει η ίδια και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται (b^m)^n=b^(mn) Όταν αυξάνεται σε μια δύναμη, κάθε παράγοντας ανυψώνεται σε αυτή τη δύναμη.(abc)^m=a^m *b^m*c^m

Πολυώνυμα παραγόντων, δηλ. Φανταστείτε τα ως προϊόν πολλών παραγόντων - και μονωνύμων. Βγάλτε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων. Μάθετε τους βασικούς τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: διαφορά τετραγώνων, τετραγωνική διαφορά, άθροισμα, διαφορά κύβων, κύβος αθροίσματος και διαφορά. Για παράδειγμα, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Αυτοί οι τύποι είναι οι κύριοι στην απλοποίηση. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο απομόνωσης τέλειου τετραγώνου σε τριώνυμο της μορφής ax^2+bx+c.

Συντομεύστε τα κλάσματα όσο πιο συχνά γίνεται. Για παράδειγμα, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Αλλά να θυμάστε ότι μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές. Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός αλγεβρικού κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει. Μπορείτε να μετατρέψετε εκφράσεις με δύο τρόπους: αλυσοδεμένο και με ενέργειες. Η δεύτερη μέθοδος είναι προτιμότερη, γιατί είναι ευκολότερο να ελέγξετε τα αποτελέσματα των ενδιάμεσων ενεργειών.

Συχνά είναι απαραίτητο να εξαχθούν ρίζες σε εκφράσεις. Ρίζες ακόμη και πτυχίοεξάγονται μόνο από μη αρνητικές εκφράσεις ή αριθμούς. Οι περίεργες ρίζες μπορούν να εξαχθούν από οποιαδήποτε έκφραση.

Πηγές:

• απλοποίηση των εκφράσεων με δυνάμεις

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις πρωτοεμφανίστηκαν ως αφηρημένα εργαλεία. μαθηματικούς υπολογισμούςεξαρτήσεις των ποσοτήτων αιχμηρές γωνίεςσε ορθογώνιο τρίγωνο από τα μήκη των πλευρών του. Τώρα χρησιμοποιούνται ευρέως τόσο στον επιστημονικό όσο και στον τεχνικό τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας. Για πρακτικούς υπολογισμούςΓια τριγωνομετρικές συναρτήσεις από δεδομένα ορίσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικά εργαλεία - αρκετά από τα πιο προσβάσιμα περιγράφονται παρακάτω.

Οδηγίες

Χρησιμοποιήστε, για παράδειγμα, αυτό που είναι εγκατεστημένο από προεπιλογή με λειτουργικό σύστημαπρόγραμμα αριθμομηχανής. Ανοίγει επιλέγοντας το στοιχείο "Αριθμομηχανή" στο φάκελο "Βοηθητικά προγράμματα" από την υποενότητα "Τυπικό", που βρίσκεται στην ενότητα "Όλα τα προγράμματα". Αυτή η ενότητα μπορεί να ανοίξει κάνοντας κλικ στο κουμπί "Έναρξη" στο κύριο μενού λειτουργίας. Εάν χρησιμοποιείτε έκδοση Windows 7, μπορείτε απλώς να εισαγάγετε "Αριθμομηχανή" στο πεδίο "Εύρεση προγραμμάτων και αρχείων" του κύριου μενού και, στη συνέχεια, να κάνετε κλικ στον αντίστοιχο σύνδεσμο στα αποτελέσματα αναζήτησης.

Μετρήστε την ποσότητα απαραίτητες ενέργειεςκαι σκεφτείτε τη σειρά με την οποία πρέπει να γίνουν. Αν το βρίσκεις δύσκολο αυτη η ερωτηση, σημειώστε ότι πρώτα εκτελούνται οι πράξεις που περικλείονται σε παρενθέσεις και μετά η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός. και η αφαίρεση γίνονται τελευταία. Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε τον αλγόριθμο των ενεργειών που εκτελούνται, στην έκφραση πάνω από κάθε σύμβολο χειριστή ενέργειας (+,-,*,:), με ένα λεπτό μολύβι, σημειώστε τους αριθμούς που αντιστοιχούν στην εκτέλεση των ενεργειών.

Προχωρήστε στο πρώτο βήμα, τηρώντας καθιερωμένη τάξη. Μετρήστε στο κεφάλι σας εάν οι ενέργειες είναι εύκολο να εκτελεστούν προφορικά. Εάν απαιτούνται υπολογισμοί (σε στήλη), γράψτε τους κάτω από την έκφραση, υποδεικνύοντας σειριακός αριθμόςΕνέργειες.

Παρακολουθήστε με σαφήνεια την αλληλουχία των ενεργειών που εκτελούνται, αξιολογήστε τι πρέπει να αφαιρεθεί από τι, χωρίστε σε τι κ.λπ. Πολύ συχνά η απάντηση στην έκφραση αποδεικνύεται λανθασμένη λόγω λαθών που έγιναν σε αυτό το στάδιο.

Διακριτικό χαρακτηριστικόέκφραση είναι η παρουσία μαθηματικών πράξεων. Υποδηλώνεται με ορισμένα σημάδια (πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αφαίρεση ή πρόσθεση). Η σειρά εκτέλεσης των μαθηματικών πράξεων διορθώνεται με αγκύλες εάν είναι απαραίτητο. Το να εκτελείς μαθηματικές πράξεις σημαίνει να βρίσκεις .

Αυτό που δεν είναι έκφραση

Δεν μπορεί να ταξινομηθεί κάθε μαθηματικός συμβολισμός ως έκφραση.

Οι ισότητες δεν είναι εκφράσεις. Το αν υπάρχουν μαθηματικές πράξεις στην ισότητα ή όχι δεν έχει σημασία. Για παράδειγμα, το a=5 είναι ισότητα, όχι έκφραση, αλλά το 8+6*2=20 επίσης δεν μπορεί να θεωρηθεί έκφραση, αν και περιέχει πολλαπλασιασμό. Στην κατηγορία των ισοτήτων ανήκει και αυτό το παράδειγμα.

Οι έννοιες της έκφρασης και της ισότητας δεν αλληλοαποκλείονται· η πρώτη περιλαμβάνεται στη δεύτερη. Το πρόσημο ίσον συνδέει δύο εκφράσεις:
5+7=24:2

Αυτή η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί:
5+7=12

Μια έκφραση πάντα υποθέτει ότι οι μαθηματικές πράξεις που αντιπροσωπεύει μπορούν να εκτελεστούν. Το 9+:-7 δεν είναι έκφραση, αν και υπάρχουν ενδείξεις μαθηματικών πράξεων εδώ, επειδή είναι αδύνατο να εκτελεστούν αυτές οι ενέργειες.

Υπάρχουν και μαθηματικά που τυπικά είναι εκφράσεις, αλλά δεν έχουν νόημα. Ένα παράδειγμα τέτοιας έκφρασης:
46:(5-2-3)

Ο αριθμός 46 πρέπει να διαιρεθεί με το αποτέλεσμα των ενεργειών σε αγκύλες, και αυτό ίσο με μηδέν. Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, η ενέργεια θεωρείται απαγορευμένη.

Αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις

Υπάρχουν δύο είδη μαθηματικών εκφράσεων.

Εάν μια παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς και σύμβολα μαθηματικών πράξεων, μια τέτοια έκφραση ονομάζεται αριθμητική. Εάν σε μια παράσταση, μαζί με αριθμούς, υπάρχουν μεταβλητές που συμβολίζονται με γράμματα ή δεν υπάρχουν καθόλου αριθμοί, η έκφραση αποτελείται μόνο από μεταβλητές και σύμβολα μαθηματικών πράξεων, ονομάζεται αλγεβρική.

Θεμελιώδης διαφορά αριθμητική αξίααπό την αλγεβρική είναι ότι μια αριθμητική παράσταση έχει μόνο μία τιμή. Για παράδειγμα, η τιμή της αριθμητικής παράστασης 56–2*3 θα είναι πάντα ίση με 50, τίποτα δεν μπορεί να αλλάξει. Μια αλγεβρική παράσταση μπορεί να έχει πολλές τιμές, επειδή μπορεί να αντικατασταθεί οποιοσδήποτε αριθμός. Έτσι, αν στην παράσταση b–7 αντικαταστήσουμε το b με 9, η τιμή της παράστασης θα είναι 2 και αν 200, θα είναι 193.

Πηγές:

• Αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις

Έτσι, εάν μια αριθμητική παράσταση αποτελείται από αριθμούς και τα σύμβολα +, −, · και:, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά πρέπει πρώτα να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση και μετά πρόσθεση και αφαίρεση, που θα σας επιτρέψουν να βρείτε το επιθυμητή τιμή της έκφρασης.

Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα για διευκρίνιση.

Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 14−2·15:6−3.

Λύση.

Για να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης, πρέπει να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες που καθορίζονται σε αυτήν σύμφωνα με την αποδεκτή σειρά εκτέλεσης αυτών των ενεργειών. Αρχικά, με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, κάνουμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση, παίρνουμε 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Τώρα εκτελούμε και τις υπόλοιπες ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά: 14−5−3=9−3=6. Έτσι βρήκαμε την τιμή της αρχικής έκφρασης, είναι ίση με 6.

Απάντηση:

14−2·15:6−3=6.

Παράδειγμα.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Λύση.

ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαπρέπει πρώτα να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 2·(−7) και τη διαίρεση με τον πολλαπλασιασμό στην παράσταση . Αν θυμηθούμε πώς , βρίσκουμε 2·(−7)=−14. Και να εκτελέσετε πρώτα τις ενέργειες στην έκφραση , έπειτα και εκτελέστε: .

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική έκφραση: .

Τι γίνεται όμως αν υπάρχει μια αριθμητική έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας; Για να αποκτήσετε την τιμή μιας τέτοιας ρίζας, πρέπει πρώτα να βρείτε την τιμή της ριζικής έκφρασης, τηρώντας την αποδεκτή σειρά εκτέλεσης ενεργειών. Για παράδειγμα, .

Στις αριθμητικές εκφράσεις, οι ρίζες πρέπει να γίνονται αντιληπτές ως ορισμένοι αριθμοί και συνιστάται να αντικαταστήσετε αμέσως τις ρίζες με τις τιμές τους και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της προκύπτουσας έκφρασης χωρίς ρίζες, εκτελώντας ενέργειες με την αποδεκτή ακολουθία.

Παράδειγμα.

Βρείτε τη σημασία της έκφρασης με ρίζες.

Λύση.

Πρώτα ας βρούμε την τιμή της ρίζας . Για να γίνει αυτό, πρώτα υπολογίζουμε την τιμή της ριζικής έκφρασης, έχουμε −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Και δεύτερον, βρίσκουμε την αξία της ρίζας.

Τώρα ας υπολογίσουμε την τιμή της δεύτερης ρίζας από την αρχική έκφραση: .

Τέλος, μπορούμε να βρούμε τη σημασία της αρχικής έκφρασης αντικαθιστώντας τις ρίζες με τις τιμές τους: .

Απάντηση:

Αρκετά συχνά, για να βρεις το νόημα μιας έκφρασης με ρίζες, χρειάζεται πρώτα να τη μεταμορφώσεις. Ας δείξουμε τη λύση του παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Ποιο είναι το νόημα της έκφρασης .

Λύση.

Δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη ρίζα του τριών με την ακριβή τιμή της, κάτι που μας εμποδίζει να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω. Ωστόσο, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης εκτελώντας απλούς μετασχηματισμούς. Εφαρμόσιμος τύπος τετραγωνικής διαφοράς: . Λαμβάνοντας υπόψη, παίρνουμε . Έτσι, η τιμή της αρχικής έκφρασης είναι 1.

Απάντηση:

.

Με πτυχία

Εάν η βάση και ο εκθέτης είναι αριθμοί, τότε η τιμή τους υπολογίζεται με τον προσδιορισμό του βαθμού, για παράδειγμα, 3 2 =3·3=9 ή 8 −1 =1/8. Υπάρχουν επίσης καταχωρήσεις όπου η βάση ή/και ο εκθέτης είναι κάποιες εκφράσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να βρείτε την τιμή της παράστασης στη βάση, την τιμή της παράστασης στον εκθέτη και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ίδιου του βαθμού.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης με δυνάμεις της φόρμας 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Λύση.

Στην αρχική έκφραση υπάρχουν δύο δυνάμεις 2 3·4−10 και (1−1/2) 3,5−2·1/4. Οι τιμές τους πρέπει να υπολογιστούν πριν από την εκτέλεση άλλων ενεργειών.

Ας ξεκινήσουμε με την ισχύ 2 3·4−10. Ο δείκτης του περιέχει μια αριθμητική παράσταση, ας υπολογίσουμε την τιμή της: 3·4−10=12−10=2. Τώρα μπορείτε να βρείτε την τιμή του ίδιου του βαθμού: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Η βάση και ο εκθέτης (1−1/2) 3,5−2 1/4 περιέχουν παραστάσεις· υπολογίζουμε τις τιμές τους για να βρούμε στη συνέχεια την τιμή του εκθέτη. Εχουμε (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Τώρα επιστρέφουμε στην αρχική έκφραση, αντικαθιστούμε τις μοίρες σε αυτήν με τις τιμές τους και βρίσκουμε την τιμή της έκφρασης που χρειαζόμαστε: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Απάντηση:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν πιο συχνές περιπτώσεις που ενδείκνυται η διεξαγωγή προκαταρκτικής εξέτασης απλοποίηση της έκφρασης με δυνάμειςστη βάση.

Παράδειγμα.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης .

Λύση.

Κρίνοντας από τους εκθέτες αυτής της έκφρασης, ακριβείς τιμέςΔεν θα μπορείς να πάρεις πτυχία. Ας προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε την αρχική έκφραση, ίσως αυτό σας βοηθήσει να βρείτε το νόημά της. Εχουμε

Απάντηση:

.

Οι δυνάμεις στις εκφράσεις συμβαδίζουν συχνά με τους λογάριθμους, αλλά θα μιλήσουμε για την εύρεση της σημασίας των εκφράσεων με λογάριθμους σε ένα από τα.

Εύρεση της τιμής μιας παράστασης με κλάσματα

Οι αριθμητικές εκφράσεις μπορεί να περιέχουν κλάσματα στη σημειογραφία τους. Όταν πρέπει να βρείτε το νόημα μιας έκφρασης όπως αυτή, τα κλάσματα εκτός των κλασμάτων θα πρέπει να αντικατασταθούν με τις τιμές τους πριν προχωρήσετε με τα υπόλοιπα βήματα.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής των κλασμάτων (που διαφέρουν από τα συνηθισμένα κλάσματα) μπορεί να περιέχει και ορισμένους αριθμούς και εκφράσεις. Για να υπολογίσετε την τιμή ενός τέτοιου κλάσματος, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης στον αριθμητή, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης στον παρονομαστή και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ίδιου του κλάσματος. Αυτή η σειρά εξηγείται από το γεγονός ότι το κλάσμα a/b, όπου τα a και b είναι κάποιες εκφράσεις, ουσιαστικά αντιπροσωπεύει ένα πηλίκο της μορφής (a):(b), αφού .

Ας δούμε το παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Βρείτε τη σημασία μιας έκφρασης με κλάσματα .

Λύση.

Υπάρχουν τρία κλάσματα στην αρχική αριθμητική έκφραση Και . Για να βρούμε την τιμή της αρχικής έκφρασης, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσουμε αυτά τα κλάσματα με τις τιμές τους. Ας το κάνουμε.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος περιέχουν αριθμούς. Για να βρείτε την τιμή ενός τέτοιου κλάσματος, αντικαταστήστε τη γραμμή κλάσματος με ένα σύμβολο διαίρεσης και εκτελέστε αυτήν την ενέργεια: .

Στον αριθμητή του κλάσματος υπάρχει μια παράσταση 7−2·3, η τιμή της είναι εύκολο να βρεθεί: 7−2·3=7−6=1. Ετσι, . Μπορείτε να προχωρήσετε στην εύρεση της τιμής του τρίτου κλάσματος.

Το τρίτο κλάσμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή περιέχει αριθμητικές εκφράσεις, επομένως, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τις τιμές τους και αυτό θα σας επιτρέψει να βρείτε την τιμή του ίδιου του κλάσματος. Εχουμε .

Απομένει να αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση και να εκτελέσουμε τις υπόλοιπες ενέργειες: .

Απάντηση:

.

Συχνά, όταν βρίσκετε τις τιμές των παραστάσεων με κλάσματα, πρέπει να εκτελέσετε απλοποίηση κλασματικών εκφράσεων, με βάση την εκτέλεση πράξεων με κλάσματα και αναγωγικά κλάσματα.

Παράδειγμα.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης .

Λύση.

Η ρίζα του πέντε δεν μπορεί να εξαχθεί πλήρως, οπότε για να βρείτε την τιμή της αρχικής έκφρασης, ας την απλοποιήσουμε πρώτα. Για αυτό ας απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστήπρώτο κλάσμα: . Μετά από αυτό, η αρχική έκφραση θα πάρει τη μορφή . Αφού αφαιρέσουμε τα κλάσματα, οι ρίζες θα εξαφανιστούν, κάτι που θα μας επιτρέψει να βρούμε την τιμή της αρχικά δοθείσας έκφρασης: .

Απάντηση:

.

Με λογάριθμους

Εάν μια αριθμητική παράσταση περιέχει και εάν είναι δυνατό να απαλλαγούμε από αυτά, τότε αυτό γίνεται πριν από την εκτέλεση άλλων ενεργειών. Για παράδειγμα, κατά την εύρεση της τιμής της έκφρασης log 2 4+2·3, το log log 2 4 αντικαθίσταται από την τιμή 2, μετά την οποία οι υπόλοιπες ενέργειες εκτελούνται με τη συνήθη σειρά, δηλαδή log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Όταν υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου ή/και στη βάση του, αρχικά εντοπίζονται οι τιμές τους και μετά υπολογίζεται η τιμή του λογάριθμου. Για παράδειγμα, θεωρήστε μια έκφραση με λογάριθμο της φόρμας . Στη βάση του λογάριθμου και κάτω από το πρόσημο του υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις, βρίσκουμε τις τιμές τους: . Τώρα βρίσκουμε τον λογάριθμο, μετά τον οποίο ολοκληρώνουμε τους υπολογισμούς: .

Εάν οι λογάριθμοι δεν υπολογίζονται με ακρίβεια, τότε προκαταρκτική απλοποίηση του χρησιμοποιώντας . Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να έχετε καλή γνώση του υλικού του άρθρου μετατροπή λογαριθμικών παραστάσεων.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας παράστασης με λογάριθμους .

Λύση.

Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας το log 2 (log 2 256) . Αφού 256=2 8, τότε log 2 256=8, επομένως, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Οι λογάριθμοι log 6 2 και log 6 3 μπορούν να ομαδοποιηθούν. Το άθροισμα των λογαρίθμων log 6 2+log 6 3 είναι ίσο με το λογάριθμο του γινομένου log 6 (2 3), επομένως, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Τώρα ας δούμε το κλάσμα. Αρχικά, θα ξαναγράψουμε τη βάση του λογαρίθμου στον παρονομαστή με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος ως 1/5, μετά από το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων, οι οποίες θα μας επιτρέψουν να λάβουμε την τιμή του κλάσματος:
.

Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν στην αρχική έκφραση και να ολοκληρώσουμε την εύρεση της τιμής της:

Απάντηση:

Πώς να βρείτε την τιμή μιας τριγωνομετρικής παράστασης;

Όταν μια αριθμητική παράσταση περιέχει ή, κ.λπ., οι τιμές τους υπολογίζονται πριν από την εκτέλεση άλλων ενεργειών. Εάν υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις κάτω από το πρόσημο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τότε υπολογίζονται πρώτα οι τιμές τους, μετά τις οποίες βρίσκονται οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης .

Λύση.

Περνώντας στο άρθρο, καταλαβαίνουμε και cosπ=−1 . Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην αρχική έκφραση, παίρνει τη μορφή . Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε εκπτώσεις και, στη συνέχεια, να ολοκληρώσετε τους υπολογισμούς: .

Απάντηση:

.

Αξίζει να σημειωθεί ότι ο υπολογισμός των τιμών των εκφράσεων με ημίτονο, συνημίτονο κ.λπ. συχνά απαιτεί προηγούμενη μετατροπή μιας τριγωνομετρικής έκφρασης.

Παράδειγμα.

Ποια είναι η τιμή της τριγωνομετρικής παράστασης .

Λύση.

Ας μετατρέψουμε την αρχική έκφραση χρησιμοποιώντας , σε αυτήν την περίπτωση θα χρειαστούμε τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας και τον τύπο συνημιτόνου αθροίσματος:

Οι μεταμορφώσεις που κάναμε μας βοήθησαν να βρούμε το νόημα της έκφρασης.

Απάντηση:

.

Γενική περίπτωση

Γενικά, μια αριθμητική έκφραση μπορεί να περιέχει ρίζες, δυνάμεις, κλάσματα, ορισμένες συναρτήσεις και παρενθέσεις. Η εύρεση των τιμών τέτοιων εκφράσεων συνίσταται στην εκτέλεση των παρακάτω ενεργειών:

• πρώτες ρίζες, δυνάμεις, κλάσματα κ.λπ. αντικαθίστανται από τις αξίες τους,
• περαιτέρω ενέργειες εντός παρενθέσεων,
• και με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, εκτελούνται οι υπόλοιπες πράξεις - πολλαπλασιασμός και διαίρεση, ακολουθούμενες από πρόσθεση και αφαίρεση.

Οι ενέργειες που αναφέρονται εκτελούνται μέχρι να επιτευχθεί το τελικό αποτέλεσμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης .

Λύση.

Η μορφή αυτής της έκφρασης είναι αρκετά περίπλοκη. Σε αυτή την έκφραση βλέπουμε κλάσματα, ρίζες, δυνάμεις, ημίτονο και λογάριθμους. Πώς να βρείτε την αξία του;

Προχωρώντας στην εγγραφή από αριστερά προς τα δεξιά, συναντάμε ένα κλάσμα της φόρμας . Το γνωρίζουμε όταν εργαζόμαστε με κλάσματα σύνθετου τύπου, πρέπει να υπολογίσουμε χωριστά την τιμή του αριθμητή, χωριστά τον παρονομαστή και τελικά να βρούμε την τιμή του κλάσματος.

Στον αριθμητή έχουμε τη ρίζα της φόρμας . Για να προσδιορίσετε την τιμή του, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την τιμή της ριζικής έκφρασης . Εδώ υπάρχει ένα ημίτονο. Μπορούμε να βρούμε την τιμή του μόνο αφού υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης . Αυτό μπορούμε να κάνουμε: . Τότε από πού και από .

Ο παρονομαστής είναι απλός: .

Ετσι, .

Αφού αντικατασταθεί αυτό το αποτέλεσμα στην αρχική έκφραση, θα πάρει τη μορφή . Η έκφραση που προκύπτει περιέχει το βαθμό . Για να βρούμε την τιμή του, πρέπει πρώτα να βρούμε την τιμή του δείκτη, έχουμε .

Ετσι, .

Απάντηση:

.

Εάν δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός των ακριβών τιμών των ριζών, των δυνάμεων κ.λπ., τότε μπορείτε να προσπαθήσετε να απαλλαγείτε από αυτές χρησιμοποιώντας ορισμένους μετασχηματισμούς και, στη συνέχεια, να επιστρέψετε στον υπολογισμό της τιμής σύμφωνα με το καθορισμένο σχήμα.

Ορθολογικοί τρόποι υπολογισμού των τιμών των εκφράσεων

Ο υπολογισμός των τιμών των αριθμητικών παραστάσεων απαιτεί συνέπεια και ακρίβεια. Ναι, είναι απαραίτητο να τηρείτε τη σειρά των ενεργειών που καταγράφηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, αλλά δεν χρειάζεται να το κάνετε τυφλά και μηχανικά. Αυτό που εννοούμε με αυτό είναι ότι είναι συχνά δυνατό να εξορθολογίσουμε τη διαδικασία εύρεσης του νοήματος μιας έκφρασης. Για παράδειγμα, ορισμένες ιδιότητες πράξεων με αριθμούς μπορούν να επιταχύνουν σημαντικά και να απλοποιήσουν την εύρεση της τιμής μιας παράστασης.

Για παράδειγμα, γνωρίζουμε αυτή την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: αν ένας από τους παράγοντες του γινομένου είναι ίσος με μηδέν, τότε η τιμή του γινομένου είναι ίση με μηδέν. Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι η τιμή της έκφρασης 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) ισούται με μηδέν. Εάν ακολουθούσαμε την τυπική σειρά πράξεων, θα έπρεπε πρώτα να υπολογίσουμε τις τιμές των δυσκίνητων παραστάσεων σε παρενθέσεις, κάτι που θα χρειαζόταν πολύ χρόνο και το αποτέλεσμα θα εξακολουθούσε να είναι μηδέν.

Είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα της αφαίρεσης ίσων αριθμών: αν αφαιρέσετε έναν ίσο αριθμό από έναν αριθμό, το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να εξεταστεί ευρύτερα: η διαφορά μεταξύ δύο πανομοιότυπων αριθμητικών παραστάσεων είναι μηδέν. Για παράδειγμα, χωρίς να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων σε παρένθεση, μπορείτε να βρείτε την τιμή της παράστασης (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ισούται με μηδέν, αφού η αρχική έκφραση είναι η διαφορά πανομοιότυπων παραστάσεων.

Οι μετασχηματισμοί ταυτότητας μπορούν να διευκολύνουν τον ορθολογικό υπολογισμό των τιμών έκφρασης. Για παράδειγμα, η ομαδοποίηση όρων και παραγόντων μπορεί να είναι χρήσιμη· η τοποθέτηση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων δεν χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά. Έτσι, η τιμή της παράστασης 53·5+53·7−53·11+5 είναι πολύ εύκολο να βρεθεί αφού αφαιρέσουμε τον παράγοντα 53 εκτός παρενθέσεων: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Ο άμεσος υπολογισμός θα διαρκούσε πολύ περισσότερο.

Για να ολοκληρώσουμε αυτό το σημείο, ας δώσουμε προσοχή σε μια ορθολογική προσέγγιση για τον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων με κλάσματα - οι ίδιοι παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος ακυρώνονται. Για παράδειγμα, αναγωγή των ίδιων παραστάσεων στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος σας επιτρέπει να βρείτε αμέσως την τιμή του, η οποία είναι ίση με 1/2.

Εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές

Η σημασία μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές βρίσκεται για συγκεκριμένα ορίσετε τιμέςγράμματα και μεταβλητές. Αυτό είναι, μιλάμε γιασχετικά με την εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης για δεδομένες τιμές γραμμάτων ή σχετικά με την εύρεση της τιμής μιας έκφρασης με μεταβλητές για επιλεγμένες τιμές μεταβλητών.

ΚανόναςΗ εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης ή μιας έκφρασης με μεταβλητές για δεδομένες τιμές γραμμάτων ή επιλεγμένες τιμές μεταβλητών είναι η εξής: πρέπει να αντικαταστήσετε τις δεδομένες τιμές γραμμάτων ή μεταβλητών στην αρχική έκφραση και να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής έκφρασης που προκύπτει· είναι η επιθυμητή τιμή.

Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 0,5·x−y σε x=2,4 και y=5.

Λύση.

Για να βρείτε την απαιτούμενη τιμή της παράστασης, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε τις δεδομένες τιμές των μεταβλητών στην αρχική παράσταση και στη συνέχεια να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Απάντηση:

−3,8 .

Ως τελευταία σημείωση, μερικές φορές η εκτέλεση μετατροπών σε κυριολεκτικές και μεταβλητές εκφράσεις θα δώσει τις τιμές τους, ανεξάρτητα από τις τιμές των γραμμάτων και των μεταβλητών. Για παράδειγμα, η έκφραση x+3−x μπορεί να απλοποιηθεί, μετά την οποία θα πάρει τη μορφή 3. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τιμή της έκφρασης x+3−x είναι ίση με 3 για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής x από το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της (APV). Ένα άλλο παράδειγμα: η τιμή της παράστασης είναι 1 για όλες τις θετικές τιμές του x, άρα η περιοχή αποδεκτές τιμέςη μεταβλητή x στην αρχική παράσταση είναι ένα σύνολο θετικών αριθμών και σε αυτήν την περιοχή ισχύει η ισότητα.

Βιβλιογραφία.

• Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο για την Ε΄ τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Μαθηματικά.ΣΤ τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 7η τάξη γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 17η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 240 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Αλγεβρα: 9η τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2009. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14η έκδ. - M.: Education, 2004. - 384 σελ.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.

Μια αριθμητική έκφραση είναι μια αναπαράσταση αριθμών σε συνδυασμό με αριθμητικές πράξεις και παρενθέσεις. Όταν μια παράσταση χρησιμοποιεί μεταβλητές μαζί με αριθμούς και ολόκληρη η έκφραση συντίθεται με νόημα, ονομάζεται αλγεβρική (κυριολεκτική) έκφραση. Αν η έκφραση περιέχει άμεση, παράγωγη, αντίστροφη και άλλα τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τότε η έκφραση ονομάζεται τριγωνομετρική. Ενας μεγάλος αριθμός απόπαραδείγματα και προβλήματα που χρησιμοποιούν διάφορες εκφράσεις περιγράφονται λεπτομερώς στο σχολικό μάθημαμαθηματικά.

Τα κύρια πράγματα που πρέπει να θυμάστε:

1. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασηςθα είναι ο αριθμός που προκύπτει με την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε αυτήν την παράσταση. Το κύριο πράγμα είναι να εκτελείτε με συνέπεια αριθμητικές πράξεις. Για να απλοποιήσετε ολόκληρη τη λειτουργία, τα βήματα μπορούν να αριθμηθούν. Εάν η έκφραση περιέχει αγκύλες, τότε πρώτα από όλα εκτελούμε την ενέργεια που αντιστοιχεί στο πρόσημο σε αγκύλες. Η εκτίμηση θα είναι το επόμενο βήμα. Στη συνέχεια, εκτελούμε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση κατά προτεραιότητα και μόνο στο τέλος προσθέτουμε και αφαιρούμε.

Ας βρούμε τώρα την τιμή της αριθμητικής παράστασης 5+20*(60-45). Αρχικά, ας «ξεφορτωθούμε» τις αγκύλες. Πραγματοποιώντας τη δράση, παίρνουμε 60-45=15. Τώρα έχουμε 5+20*15. Η επόμενη ενέργεια είναι πολλαπλασιασμός 20*15=300. ΚΑΙ τελευταία ενέργειαθα γίνει πρόσθεση, την κάνουμε και παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα 5+300=305.

2. Σε γνωστή γωνία;Δουλεύοντας με τριγωνομετρικές εκφράσεις, θα χρειαστείτε γνώση βασικών τριγωνομετρικών τύπων για να απλοποιήσετε την έκφραση. Ας βρούμε την τιμή της έκφρασης cos 12; cos 18; - αμαρτία 12; αμαρτία 18;. Για να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση χρησιμοποιούμε τύπος συν(? +?) = cos? cos; - αμαρτία? αμαρτία;, τότε παίρνουμε cos 12; cos 18; - αμαρτία 12; sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3;2.

3. Εκφράσεις με μεταβλητές.Πρέπει να θυμόμαστε ότι η τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης εξαρτάται άμεσα από τη μεταβλητή. Οι μεταβλητές μπορούν να οριστούν με γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου. Όταν έχουμε καθορισμένες παραμέτρουςαλγεβρική έκφραση, πρώτα πρέπει να την απλοποιήσετε. Μετά από αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε τις δεδομένες μεταβλητές και να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις. Ως αποτέλεσμα, με τις δεδομένες μεταβλητές, θα λάβουμε έναν αριθμό, ο οποίος θα είναι η τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου πρέπει να βρείτε την τιμή της παράστασης 3(a+y)+2(3a+2y) για a=4 και y=5. Ας απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση και πάρουμε 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Τώρα πρέπει να αντικαταστήσετε την τιμή των μεταβλητών και να υπολογίσετε, το αποτέλεσμα θα είναι η τιμή της παράστασης. Άρα, έχουμε 9a+7y με a=4 και y=5 παίρνουμε 36+35=71. Σημειώστε ότι οι αλγεβρικές εκφράσεις δεν έχουν πάντα νόημα. Για παράδειγμα, μια τέτοια έκφραση 15:(b-4) έχει νόημα για οποιοδήποτε b εκτός από b =4.