Το γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού και ενός πίνακα. Ορισμός και τύποι πινάκων. Ποιοι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν;

Αυτό Εργαλειοθήκηθα σας βοηθήσει να μάθετε πώς να εκτελείτε πράξεις με πίνακες: πρόσθεση μήτρας (αφαίρεση), μεταφορά πίνακα, πολλαπλασιασμός πίνακα, εύρεση αντίστροφη μήτρα. Όλο το υλικό παρουσιάζεται σε ένα απλό και προσιτή μορφή, δίνονται σχετικά παραδείγματα, ώστε ακόμη και ένα μη εκπαιδευμένο άτομο να μάθει πώς να εκτελεί λειτουργίες με πίνακες. Για αυτοέλεγχο και αυτοέλεγχο, μπορείτε να κατεβάσετε μια αριθμομηχανή μήτρας δωρεάν >>>.

Θα προσπαθήσω να ελαχιστοποιήσω τους θεωρητικούς υπολογισμούς σε ορισμένα σημεία είναι δυνατές οι εξηγήσεις "στα δάχτυλα" και η χρήση μη επιστημονικών όρων. Λάτρεις της στέρεης θεωρίας, παρακαλώ μην ασκείτε κριτική, το καθήκον μας είναι μάθουν να εκτελούν πράξεις με πίνακες.

Για SUPER FAST προετοιμασία για το θέμα (ποιος είναι «φωτιά») υπάρχει ένα εντατικό μάθημα pdf Μήτρα, ορίζουσα και δοκιμή!

Μια μήτρα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας ορισμένων στοιχεία. Οπως και στοιχείαθα εξετάσουμε αριθμούς, δηλαδή αριθμητικοί πίνακες. ΣΤΟΙΧΕΙΟείναι όρος. Συνιστάται να θυμάστε τον όρο, θα εμφανίζεται συχνά, δεν είναι τυχαίο που χρησιμοποίησα έντονη γραμματοσειρά για να τον τονίσω.

Ονομασία:Οι πίνακες συνήθως συμβολίζονται με κεφαλαία με λατινικά γράμματα

Παράδειγμα:Εξετάστε έναν πίνακα δύο προς τρία:

Αυτή η μήτρααποτελείται από έξι στοιχεία:

Όλοι οι αριθμοί (στοιχεία) μέσα στον πίνακα υπάρχουν μόνοι τους, δηλαδή δεν τίθεται θέμα αφαίρεσης:

Είναι απλώς ένας πίνακας (σετ) αριθμών!

Θα συμφωνήσουμε και εμείς μην αναδιατάσσειςαριθμούς, εκτός εάν αναφέρεται διαφορετικά στις επεξηγήσεις. Κάθε αριθμός έχει τη δική του τοποθεσία και δεν μπορεί να ανακατευτεί!

Ο εν λόγω πίνακας έχει δύο σειρές:

και τρεις στήλες:

ΠΡΟΤΥΠΟ: όταν μιλάμε για μεγέθη μήτρας, τότε αρχικάυποδεικνύουν τον αριθμό των σειρών και μόνο τότε τον αριθμό των στηλών. Μόλις αναλύσαμε τον πίνακα δύο προς τρία.

Εάν ο αριθμός των γραμμών και στηλών ενός πίνακα είναι ο ίδιος, τότε ο πίνακας καλείται τετράγωνο, Για παράδειγμα: – μια μήτρα τρία προς τρία.

Εάν ένας πίνακας έχει μία στήλη ή μία γραμμή, τότε καλούνται και αυτοί οι πίνακες φορείς.

Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε την έννοια του πίνακα από το σχολείο, για παράδειγμα, ένα σημείο με συντεταγμένες "x" και "y": . Ουσιαστικά, οι συντεταγμένες ενός σημείου γράφονται σε έναν πίνακα ένα προς δύο. Παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα παράδειγμα γιατί η σειρά των αριθμών έχει σημασία: και είναι δύο εντελώς διαφορετικά σημείαεπίπεδο.

Τώρα ας προχωρήσουμε στη μελέτη πράξεις με πίνακες:

1) Πράξη πρώτη. Αφαίρεση ενός μείον από τη μήτρα (εισαγωγή ενός μείον στη μήτρα).

Ας επιστρέψουμε στο matrix μας . Όπως πιθανότατα παρατηρήσατε, υπάρχουν πάρα πολλοί αρνητικοί αριθμοί σε αυτόν τον πίνακα. Αυτό είναι πολύ άβολο από άποψη απόδοσης. διάφορες δράσειςμε μια μήτρα, είναι άβολο να γράφεις τόσα πολλά μειονεκτήματα και φαίνεται απλά άσχημο στο σχεδιασμό.

Ας μετακινήσουμε το μείον έξω από τον πίνακα αλλάζοντας το πρόσημο ΚΑΘΕ στοιχείου του πίνακα:

Στο μηδέν, όπως καταλαβαίνετε, το σημάδι δεν αλλάζει είναι επίσης μηδέν στην Αφρική.

Αντίστροφο παράδειγμα: . Φαίνεται άσχημο.

Ας εισάγουμε ένα μείον στον πίνακα αλλάζοντας το πρόσημο ΚΑΘΕ στοιχείου του πίνακα:

Λοιπόν, έγινε πολύ πιο ωραίο. Και, το πιο σημαντικό, θα είναι πιο εύκολο να εκτελέσετε οποιεσδήποτε ενέργειες με τη μήτρα. Επειδή υπάρχει ένα τέτοιο μαθηματικό λαϊκό σημάδι: όσο περισσότερα μειονεκτήματα, τόσο περισσότερη σύγχυση και λάθη.

2) Πράξη δεύτερη. Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Παράδειγμα:

Είναι απλό, για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό, χρειάζεστε κάθεστοιχείο μήτρας πολλαπλασιασμένο επί δεδομένου αριθμού. Σε αυτή την περίπτωση - ένα τρία.

Αλλο χρήσιμο παράδειγμα:

– πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με ένα κλάσμα

Πρώτα ας δούμε τι πρέπει να κάνουμε ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ:

ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ να εισαγάγετε ένα κλάσμα στη μήτρα, πρώτον, απλώς περιπλέκει περαιτέρω ενέργειεςμε μήτρα, δεύτερον, δυσκολεύει τον δάσκαλο να ελέγξει τη λύση (ειδικά αν – τελική απάντηση της εργασίας).

Και ιδιαιτερα, ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙδιαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα με μείον επτά:

Από το άρθρο Μαθηματικά για ανδρείκελα ή από πού να ξεκινήσετε, θυμόμαστε ότι στα ανώτερα μαθηματικά προσπαθούν να αποφύγουν τα δεκαδικά κλάσματα με κόμματα με κάθε δυνατό τρόπο.

Το μόνο πράγμα είναι κατά προτίμησηΤι πρέπει να κάνετε σε αυτό το παράδειγμα είναι να προσθέσετε ένα μείον στον πίνακα:

Αλλά αν μόνο ΟΛΑτα στοιχεία μήτρας διαιρέθηκαν με 7 χωρίς ίχνος, τότε θα ήταν δυνατή (και απαραίτητη!) η διαίρεση.

Παράδειγμα:

Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε ΠΡΕΠΕΙ ΝΑπολλαπλασιάστε όλα τα στοιχεία του πίνακα με , αφού όλοι οι αριθμοί μήτρας διαιρούνται με το 2 χωρίς ίχνος.

Σημείωση: στη θεωρία των μαθηματικών της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν υπάρχει η έννοια της «διαίρεσης». Αντί να πείτε "αυτό διαιρείται με αυτό", μπορείτε πάντα να πείτε "αυτό πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα". Δηλαδή διαίρεση είναι ειδική περίπτωσηπολλαπλασιασμός.

3) Πράξη τρίτη. Μεταφορά μήτρας.

Για να μεταφέρετε έναν πίνακα, πρέπει να γράψετε τις σειρές του στις στήλες του μεταφερόμενου πίνακα.

Παράδειγμα:

Μεταφορά μήτρας

Υπάρχει μόνο μία γραμμή εδώ και, σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να γραφτεί σε μια στήλη:

– μεταφερόμενος πίνακας.

Ένας μετατιθέμενος πίνακας συνήθως υποδεικνύεται με έναν εκθέτη ή έναν πρώτο στην επάνω δεξιά γωνία.

Παράδειγμα βήμα προς βήμα:

Μεταφορά μήτρας

Αρχικά ξαναγράφουμε την πρώτη σειρά στην πρώτη στήλη:

Στη συνέχεια ξαναγράφουμε τη δεύτερη γραμμή στη δεύτερη στήλη:

Και τέλος, ξαναγράφουμε την τρίτη σειρά στην τρίτη στήλη:

Ετοιμος. Σε γενικές γραμμές, μετατόπιση σημαίνει στροφή της μήτρας από την πλευρά της.

4) Πράξη τέταρτη. Άθροισμα (διαφορά) πινάκων.

Το άθροισμα των πινάκων είναι μια απλή πράξη.
ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΔΙΠΛΩΘΟΥΝ ΟΛΕΣ ΟΙ ΜΗΤΡΕΣ. Για να γίνει πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων, είναι απαραίτητο να έχουν ΙΔΙΟ ΜΕΓΕΘΟΣ.

Για παράδειγμα, εάν δοθεί ένας πίνακας δύο προς δύο, τότε μπορεί να προστεθεί μόνο με έναν πίνακα δύο προς δύο και κανένας άλλος!

Παράδειγμα:

Προσθέστε πίνακες Και

Για να προσθέσετε πίνακες, πρέπει να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία τους:

Για τη διαφορά των πινάκων ο κανόνας είναι παρόμοιος, είναι απαραίτητο να βρεθεί η διαφορά των αντίστοιχων στοιχείων.

Παράδειγμα:

Βρείτε τη διαφορά μήτρας ,

Πώς να αποφασίσετε αυτό το παράδειγμαπιο εύκολο για να μην μπερδεύεσαι; Συνιστάται να απαλλαγείτε από τα περιττά μειονεκτήματα για να το κάνετε αυτό, προσθέστε ένα μείον στη μήτρα.

Σημείωση: στη θεωρία των μαθηματικών της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν υπάρχει η έννοια της «αφαίρεσης». Αντί να πείτε "αφαιρέστε αυτό από αυτό", μπορείτε πάντα να πείτε "προσθέστε έναν αρνητικό αριθμό σε αυτό". Δηλαδή η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης.

5) Πράξη πέμπτη. Πολλαπλασιασμός μήτρας.

Ποιοι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν;

Για να πολλαπλασιαστεί ένας πίνακας με έναν πίνακα, είναι απαραίτητο έτσι ώστε ο αριθμός των στηλών του πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα.

Παράδειγμα:
Είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν πίνακα;

Αυτό σημαίνει ότι τα δεδομένα μήτρας μπορούν να πολλαπλασιαστούν.

Αλλά εάν οι πίνακες αναδιαταχθούν, τότε, σε αυτήν την περίπτωση, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι πλέον δυνατός!

Επομένως, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι δυνατός:

Δεν είναι τόσο σπάνιο να συναντήσει κανείς εργασίες με κόλπο, όταν ο μαθητής καλείται να πολλαπλασιάσει πίνακες, ο πολλαπλασιασμός των οποίων είναι προφανώς αδύνατος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός των πινάκων και με τους δύο τρόπους.
Για παράδειγμα, για πίνακες, και ο πολλαπλασιασμός και ο πολλαπλασιασμός είναι δυνατοί

1ο έτος, ανώτερα μαθηματικά, σπουδές μήτρεςκαι βασικές ενέργειες πάνω τους. Εδώ συστηματοποιούμε τις βασικές πράξεις που μπορούν να εκτελεστούν με πίνακες. Από πού να ξεκινήσετε την εξοικείωση με τους πίνακες; Φυσικά, από τα πιο απλά πράγματα - ορισμούς, βασικές έννοιες και απλές πράξεις. Σας διαβεβαιώνουμε ότι οι πίνακες θα γίνουν κατανοητοί από όλους όσοι τους αφιερώνουν έστω λίγο χρόνο!

Ορισμός Matrix

Μήτραείναι ένας ορθογώνιος πίνακας στοιχείων. Λοιπόν, τι θα γινόταν αν σε απλή γλώσσα– πίνακας αριθμών.

Συνήθως, οι πίνακες σημειώνονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα. Για παράδειγμα, μήτρα ΕΝΑ , μήτρα σι και ούτω καθεξής. Οι μήτρες μπορούν να είναι διαφορετικά μεγέθη: ορθογώνιο, τετράγωνο, υπάρχουν επίσης πίνακες σειρών και πίνακες στηλών που ονομάζονται διανύσματα. Το μέγεθος του πίνακα καθορίζεται από τον αριθμό των γραμμών και στηλών. Για παράδειγμα, ας γράψουμε μια ορθογώνια μήτρα μεγέθους Μ επί n , Οπου Μ – αριθμός γραμμών και n - αριθμός στηλών.

Αντικείμενα για τα οποία i=j (a11, a22, .. ) σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο του πίνακα και ονομάζονται διαγώνιοι.

Τι μπορείτε να κάνετε με τους πίνακες; Προσθήκη/Αφαίρεση, πολλαπλασιάστε με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους, μεταθέτω. Τώρα για όλες αυτές τις βασικές πράξεις σε πίνακες με τη σειρά.

Πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης πίνακα

Ας σας προειδοποιήσουμε αμέσως ότι μπορείτε να προσθέσετε μόνο πίνακες ίδιου μεγέθους. Το αποτέλεσμα θα είναι μια μήτρα του ίδιου μεγέθους. Η προσθήκη (ή η αφαίρεση) πινάκων είναι απλή - χρειάζεται απλώς να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία τους . Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας εκτελέσουμε την πρόσθεση δύο πινάκων Α και Β μεγέθους δύο προς δύο.

Η αφαίρεση γίνεται κατ' αναλογία, μόνο με το αντίθετο πρόσημο.

Οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν αυθαίρετο αριθμό. Για να γινει αυτο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε στοιχείο του με αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα A από το πρώτο παράδειγμα με τον αριθμό 5:

Λειτουργία πολλαπλασιασμού μήτρας

Δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν όλοι οι πίνακες μαζί. Για παράδειγμα, έχουμε δύο πίνακες - Α και Β. Μπορούν να πολλαπλασιαστούν ο ένας με τον άλλο μόνο εάν ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα Β. Σε αυτήν την περίπτωση κάθε στοιχείο του προκύπτοντος πίνακα που βρίσκεται στην i-η σειρά και jη στήλη, θα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων της i-ης σειράς του πρώτου παράγοντα και της j-ης στήλης του δεύτερου. Για να κατανοήσουμε αυτόν τον αλγόριθμο, ας γράψουμε πώς πολλαπλασιάζονται δύο τετραγωνικοί πίνακες:

Και ένα παράδειγμα με πραγματικούς αριθμούς. Ας πολλαπλασιάσουμε τους πίνακες:

Λειτουργία μεταφοράς μήτρας

Η μεταφορά πίνακα είναι μια πράξη όπου οι αντίστοιχες γραμμές και στήλες ανταλλάσσονται. Για παράδειγμα, ας μεταφέρουμε τον πίνακα A από το πρώτο παράδειγμα:

Ορίζουσα μήτρας

Ορίζουσα, ή ορίζουσα, είναι μια από τις βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Μια φορά κι έναν καιρό οι άνθρωποι σκέφτηκαν γραμμικές εξισώσεις, και πίσω από αυτά έπρεπε να καταλήξουμε σε έναν καθοριστικό παράγοντα. Στο τέλος, είναι στο χέρι σας να τα αντιμετωπίσετε όλα αυτά, οπότε, η τελευταία ώθηση!

Η ορίζουσα είναι ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός τετραγωνικού πίνακα, που απαιτείται για την επίλυση πολλών προβλημάτων.
Για να υπολογίσετε την ορίζουσα του απλούστερου τετραγωνικού πίνακα, πρέπει να υπολογίσετε τη διαφορά μεταξύ των γινομένων των στοιχείων της κύριας και της δευτερεύουσας διαγωνίου.

Η ορίζουσα ενός πίνακα πρώτης τάξης, δηλαδή που αποτελείται από ένα στοιχείο, είναι ίση με αυτό το στοιχείο.

Τι γίνεται αν ο πίνακας είναι τρεις επί τρεις; Αυτό είναι πιο δύσκολο, αλλά μπορείτε να το διαχειριστείτε.

Για έναν τέτοιο πίνακα, η τιμή της ορίζουσας είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της κύριας διαγωνίου και των γινομένων των στοιχείων που βρίσκονται στα τρίγωνα με όψη παράλληλη προς την κύρια διαγώνιο, από την οποία το γινόμενο της αφαιρούνται στοιχεία της δευτερεύουσας διαγωνίου και το γινόμενο των στοιχείων που βρίσκονται στα τρίγωνα με την όψη της παράλληλης δευτερεύουσας διαγωνίου.

Ευτυχώς, ο υπολογισμός των οριζόντιων πινάκων μεγάλα μεγέθηστην πράξη σπάνια είναι απαραίτητο.

Εδώ εξετάσαμε τις βασικές πράξεις σε πίνακες. Φυσικά, σε πραγματική ζωήΜπορεί να μην συναντήσετε ποτέ ούτε καν έναν υπαινιγμό ενός συστήματος εξισώσεων μήτρας ή, αντίθετα, μπορεί να συναντήσετε πολύ πιο περίπλοκες περιπτώσεις όταν πρέπει πραγματικά να ταράζετε το μυαλό σας. Για τέτοιες περιπτώσεις υπάρχουν επαγγελματικές φοιτητικές υπηρεσίες. Ζητήστε βοήθεια, αποκτήστε ποιότητα και αναλυτική λύση, απολαύστε την ακαδημαϊκή σας επιτυχία και τον ελεύθερο χρόνο σας.

Αυτό το θέμα θα καλύπτει πράξεις όπως η προσθήκη και η αφαίρεση πινάκων, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν αριθμό, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν πίνακα και η μεταφορά ενός πίνακα. Όλα τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται σε αυτή τη σελίδα προέρχονται από το προηγούμενο θέμα.

Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων.

Το άθροισμα των $A+B$ των πινάκων $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ονομάζεται πίνακας $C_(m \ φορές n) =(c_(ij))$, όπου $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline( 1, n) $.

Παρόμοιος ορισμός εισάγεται για τη διαφορά των πινάκων:

Η διαφορά μεταξύ των πινάκων $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και $B_(m\times n)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\times n)=( c_(ij))$, όπου $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1, ιδ) $.

Επεξήγηση για την καταχώρηση $i=\overline(1,m)$: show\hide

Ο συμβολισμός "$i=\overline(1,m)$" σημαίνει ότι η παράμετρος $i$ ποικίλλει από 1 έως m. Για παράδειγμα, ο συμβολισμός $i=\overline(1,5)$ υποδεικνύει ότι η παράμετρος $i$ λαμβάνει τις τιμές 1, 2, 3, 4, 5.

Αξίζει να σημειωθεί ότι οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης ορίζονται μόνο για πίνακες ίδιου μεγέθους. Γενικά, η πρόσθεση και η αφαίρεση πινάκων είναι πράξεις που είναι σαφείς διαισθητικά, γιατί ουσιαστικά σημαίνουν απλώς το άθροισμα ή την αφαίρεση των αντίστοιχων στοιχείων.

Παράδειγμα Νο. 1

Δίνονται τρεις πίνακες:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Είναι δυνατόν να βρεθεί ο πίνακας $A+F$; Βρείτε τους πίνακες $C$ και $D$ εάν $C=A+B$ και $D=A-B$.

Ο πίνακας $A$ περιέχει 2 σειρές και 3 στήλες (με άλλα λόγια, το μέγεθος του πίνακα $A$ είναι $2\ επί 3$) και ο πίνακας $F$ περιέχει 2 σειρές και 2 στήλες. Τα μεγέθη των πινάκων $A$ και $F$ δεν ταιριάζουν, επομένως δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε, π.χ. η λειτουργία $A+F$ δεν έχει οριστεί για αυτούς τους πίνακες.

Τα μεγέθη των πινάκων $A$ και $B$ είναι τα ίδια, δηλ. Τα δεδομένα του πίνακα περιέχουν ίσο αριθμό σειρών και στηλών, επομένως η λειτουργία πρόσθεσης είναι εφαρμόσιμη σε αυτές.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Ας βρούμε τον πίνακα $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(πίνακας) \δεξιά) $$

Απάντηση: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Το γινόμενο του πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ με τον αριθμό $\alpha$ είναι ο πίνακας $B_(m\times n)=(b_(ij))$, όπου $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1,n)$.

Με απλά λόγια, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν συγκεκριμένο αριθμό σημαίνει πολλαπλασιασμός κάθε στοιχείου ενός δεδομένου πίνακα με αυτόν τον αριθμό.

Παράδειγμα Νο. 2

Δίνεται ο πίνακας: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Βρείτε πίνακες $3\cdot A$, $-5\cdot A$ και $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( πίνακας) (cccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (πίνακας) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( cc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(πίνακας) \δεξιά). $$

Ο συμβολισμός $-A$ είναι μια συντομογραφία για το $-1\cdot A$. Δηλαδή, για να βρείτε $-A$ πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία του πίνακα $A$ επί (-1). Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι το πρόσημο όλων των στοιχείων του πίνακα $A$ θα αλλάξει στο αντίθετο:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Απάντηση: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Προϊόν δύο πινάκων.

Ο ορισμός αυτής της λειτουργίας είναι δυσκίνητος και, με την πρώτη ματιά, ασαφής. Ως εκ τούτου, θα επισημάνω πρώτα γενικός ορισμός, και στη συνέχεια θα εξετάσουμε λεπτομερώς τι σημαίνει και πώς να εργαστείτε με αυτό.

Το γινόμενο του πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ από τον πίνακα $B_(n\times k)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\times k )=(c_( ij))$, για το οποίο κάθε στοιχείο $c_(ij)$ είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων i-η γραμμήπίνακας $A$ σε στοιχεία της jης στήλης του πίνακα $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Ας δούμε τον πολλαπλασιασμό του πίνακα βήμα προς βήμα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Ωστόσο, θα πρέπει να σημειώσετε αμέσως ότι δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν όλοι οι πίνακες. Εάν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα $A$ με τον πίνακα $B$, τότε πρέπει πρώτα να βεβαιωθούμε ότι ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A$ είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα $B$ (τέτοιοι πίνακες συχνά ονομάζονται συμφωνηθεί). Για παράδειγμα, ο πίνακας $A_(5\times 4)$ (ο πίνακας περιέχει 5 σειρές και 4 στήλες) δεν μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα $F_(9\times 8)$ (9 σειρές και 8 στήλες), καθώς ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A $ δεν είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα $F$, δηλ. $4\nq 9 $. Αλλά μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον πίνακα $A_(5\ φορές 4)$ με τον πίνακα $B_(4\ φορές 9)$, αφού ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A$ είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα $ B$. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των πινάκων $A_(5\πλάσιο 4)$ και $B_(4\ φορές 9)$ θα είναι ο πίνακας $C_(5\ φορές 9)$, που περιέχει 5 σειρές και 9 στήλες:

Παράδειγμα Νο. 3

Δίνονται πίνακες: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (πίνακας) \δεξιά)$ και $ B=\αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(πίνακας) \δεξιά) $. Βρείτε τον πίνακα $C=A\cdot B$.

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε αμέσως το μέγεθος του πίνακα $C$. Εφόσον ο πίνακας $A$ έχει μέγεθος $3\ φορές 4$, και ο πίνακας $B$ έχει μέγεθος $4\ φορές 2$, τότε το μέγεθος του πίνακα $C$ είναι: $3\ φορές 2$:

Έτσι, ως αποτέλεσμα του γινόμενου των πινάκων $A$ και $B$, θα πρέπει να λάβουμε τον πίνακα $C$, που αποτελείται από τρεις γραμμέςκαι δύο στήλες: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_(12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \ end(array)\right)$. Εάν ο προσδιορισμός των στοιχείων εγείρει ερωτήματα, τότε μπορείτε να δείτε το προηγούμενο θέμα: «Τύποι βασικών όρων», στην αρχή του οποίου εξηγείται ο χαρακτηρισμός των στοιχείων του πίνακα. Στόχος μας: να βρούμε τις τιμές όλων των στοιχείων του πίνακα $C$.

Ας ξεκινήσουμε με το στοιχείο $c_(11)$. Για να αποκτήσετε το στοιχείο $c_(11)$, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ και της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

Για να βρείτε το ίδιο το στοιχείο $c_(11)$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα $B$, δηλ. το πρώτο στοιχείο στο πρώτο, το δεύτερο στο δεύτερο, το τρίτο στο τρίτο, το τέταρτο στο τέταρτο. Συνοψίζουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Ας συνεχίσουμε τη λύση και ας βρούμε το $c_(12)$. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ και της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

Παρόμοια με την προηγούμενη, έχουμε:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $C$ έχουν βρεθεί. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη γραμμή, η οποία ξεκινά με το στοιχείο $c_(21)$. Για να το βρείτε, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς του πίνακα $A$ και της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Βρίσκουμε το επόμενο στοιχείο $c_(22)$ πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της δεύτερης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Για να βρείτε το $c_(31)$, πολλαπλασιάστε τα στοιχεία της τρίτης σειράς του πίνακα $A$ με τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Και τέλος, για να βρείτε το στοιχείο $c_(32)$, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της τρίτης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Όλα τα στοιχεία του πίνακα $C$ έχουν βρεθεί, το μόνο που μένει είναι να γράψουμε ότι $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( πίνακας) \δεξιά)$ . Ή, για να γράψω πλήρως:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Απάντηση: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Παρεμπιπτόντως, συχνά δεν υπάρχει λόγος να περιγράψουμε λεπτομερώς τη θέση κάθε στοιχείου του πίνακα αποτελεσμάτων. Για πίνακες των οποίων το μέγεθος είναι μικρό, μπορείτε να κάνετε αυτό:

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μη αντισταθμιστικός. Αυτό σημαίνει ότι στη γενική περίπτωση $A\cdot B\neq B\cdot A$. Μόνο για ορισμένους τύπους πινάκων, οι οποίοι καλούνται μεταβλητό(ή μετακίνηση), η ισότητα $A\cdot B=B\cdot A$ είναι αληθής. Βασίζεται ακριβώς στη μη-ανταλλαγή του πολλαπλασιασμού ότι πρέπει να υποδείξουμε ακριβώς πώς πολλαπλασιάζουμε την έκφραση με έναν συγκεκριμένο πίνακα: στα δεξιά ή στα αριστερά. Για παράδειγμα, η φράση "πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ισότητας $3E-F=Y$ με τον πίνακα $A$ στα δεξιά" σημαίνει ότι θέλετε να πάρετε την ακόλουθη ισότητα: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot Α$.

Μεταφέρεται σε σχέση με τον πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ είναι ο πίνακας $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, για στοιχεία τα οποία $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Με απλά λόγια, για να λάβετε έναν μετατιθέμενο πίνακα $A^T$, πρέπει να αντικαταστήσετε τις στήλες στον αρχικό πίνακα $A$ αντίστοιχες γραμμέςσύμφωνα με αυτήν την αρχή: υπήρχε μια πρώτη σειρά - θα υπάρχει μια πρώτη στήλη. υπήρχε μια δεύτερη σειρά - θα υπάρχει μια δεύτερη στήλη. υπήρχε μια τρίτη σειρά - θα υπάρχει μια τρίτη στήλη και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, ας βρούμε τον μεταφερόμενο πίνακα στον πίνακα $A_(3\times 5)$:

Αντίστοιχα, εάν ο αρχικός πίνακας είχε μέγεθος $3\πλάς 5$, τότε ο μεταφερόμενος πίνακας έχει μέγεθος $5\ φορές 3$.

Μερικές ιδιότητες πράξεων σε πίνακες.

Εδώ θεωρείται ότι οι $\alpha$, $\beta$ είναι ορισμένοι αριθμοί και οι $A$, $B$, $C$ είναι πίνακες. Για τις πρώτες τέσσερις ιδιότητες που ανέφερα ονόματα, οι υπόλοιπες μπορούν να ονομαστούν κατ' αναλογία με τις πρώτες τέσσερις.

1. $A+B=B+A$ (ανταλλαγή της πρόσθεσης)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (συσχετισμός προσθήκης)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (κατανομή πολλαπλασιασμού με έναν πίνακα σε σχέση με την πρόσθεση αριθμών)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (κατανομή πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό σε σχέση με την προσθήκη πίνακα)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, όπου $E$ - μήτρα ταυτότηταςτην κατάλληλη σειρά.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, όπου το $O$ είναι ένας μηδενικός πίνακας του κατάλληλου μεγέθους.
10. $\αριστερά(A^T \δεξιά)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Στο επόμενο μέρος, θα εξετάσουμε τη λειτουργία της αύξησης ενός πίνακα σε μια μη αρνητική ακέραια ισχύ, καθώς και θα λύσουμε παραδείγματα στα οποία είναι απαραίτητο να εκτελεστούν πολλές πράξεις σε πίνακες.

Διάλεξη Νο. 1

ΜΗΤΡΕΣ

Ορισμός και τύποι πινάκων

Ορισμός 1.1.ΜήτραΜέγεθος Τ Πείναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών (ή άλλων αντικειμένων) που περιέχει Μγραμμές και nστήλες.

Οι πίνακες συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, για παράδειγμα, Α, Β, Γ,...Οι αριθμοί (ή άλλα αντικείμενα) που αποτελούν έναν πίνακα καλούνται στοιχείαμήτρες. Τα στοιχεία μήτρας μπορεί να είναι συναρτήσεις. Για να ορίσουμε στοιχεία μήτρας χρησιμοποιούμε πεζάΛατινικό αλφάβητο με διπλή ευρετηρίαση: αij,που είναι ο πρώτος δείκτης Εγώ(διαβάστε – και) – αριθμός γραμμής, δεύτερο ευρετήριο ι(διαβάστε – zhi) – αριθμός στήλης.

Ορισμός 1.2.Ο πίνακας ονομάζεται τετράγωνο n-πρώτης σειράς αν ο αριθμός των σειρών του είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών και ίσος με τον ίδιο αριθμό Π

Για έναν τετραγωνικό πίνακα, εισάγονται οι έννοιες κύρια και δευτερεύουσαδιαγώνιες.

Ορισμός 1.3.Κύρια διαγώνιοςένας τετραγωνικός πίνακας αποτελείται από στοιχεία που έχουν τους ίδιους δείκτες, δηλ. Αυτά είναι τα στοιχεία: ένα 11, 22,…

Ορισμός 1.4. διαγώνιος, εάν όλα τα στοιχεία εκτός από αυτά στην κύρια διαγώνιο είναι μηδέν

Ορισμός 1.5.Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται τριγωνικός, αν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται κάτω (ή πάνω) από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν.

Ορισμός 1.6.Τετράγωνη μήτρα Π-της τάξης, στην οποία όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου είναι ίσα με ένα και τα υπόλοιπα ίσα με μηδέν, λέγεται μονόκλινομήτρα n-η σειρά, και συμβολίζεται με το γράμμα ΜΙ.

Ορισμός 1.7.Ένας πίνακας οποιουδήποτε μεγέθους ονομάζεται μηδενικό,ή μηδενικός πίνακας,αν όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με μηδέν.

Ορισμός 1.8.Καλείται ένας πίνακας που αποτελείται από μία σειρά μήτρα σειρών.

Ορισμός 1.9.Ένας πίνακας που αποτελείται από μία στήλη ονομάζεται μήτρα-στήλη.

Α = (α 11 ΕΝΑ 12 ... ΕΝΑ 1ιδ) - Matrix-row?

Ορισμός 1.10.Δύο πίνακες ΕΝΑΚαι ΣΕονομάζονται ίδια μεγέθη ίσοςαν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία αυτών των πινάκων είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. aij = bijγια κάθε Εγώ= 1, 2, ..., Τ; j = 1, 2,…, n.

Πράξεις σε πίνακες

Ένας αριθμός πράξεων μπορούν να εκτελεστούν σε πίνακες, καθώς και σε αριθμούς. Οι κύριες πράξεις στους πίνακες είναι η πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν αριθμό, ο πολλαπλασιασμός των πινάκων. Αυτές οι πράξεις είναι παρόμοιες με τις πράξεις στους αριθμούς. Μια συγκεκριμένη λειτουργία είναι η μεταφορά μήτρας.

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό

Ορισμός 1.11.Το γινόμενο του πίνακα Α κατά αριθμόΤο λ ονομάζεται μήτρα Β = Α,τα στοιχεία του οποίου προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία του πίνακα ΕΝΑμε τον αριθμό λ .

Παράδειγμα 1.1.Βρείτε το προϊόν μήτρας Α= στον αριθμό 5.

Λύση. .◄ 5A=

Κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα με έναν αριθμό: Για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία του πίνακα με αυτόν τον αριθμό.

Συνέπεια.

1. Συνολικός πολλαπλασιαστήςόλα τα στοιχεία του πίνακα μπορούν να αφαιρεθούν από το σύμβολο του πίνακα.

2. Προϊόν μήτρας ΕΝΑγια τον αριθμό 0 υπάρχει μηδενικός πίνακας: ΕΝΑ· 0 = 0 .

Προσθήκη μήτρας

Ορισμός 1.12.Το άθροισμα δύο πινάκων Α και Βίδιο μέγεθος t nονομάζεται μήτρα ΜΕ= ΕΝΑ+ ΣΕ, τα στοιχεία του οποίου λαμβάνονται με την προσθήκη των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα ΕΝΑκαι πίνακες ΣΕ, δηλ. cij = aij + bijΓια i = 1, 2, ..., Μ; ι= 1, 2, ..., n(δηλαδή, οι πίνακες προστίθενται στοιχείο προς στοιχείο).

Συνέπεια.Πίνακας αθροίσματος ΕΝΑΜε μηδέν μήτρα th είναι ίσο με τον αρχικό πίνακα: Α + Ο = Α.

1.2.3. Αφαίρεση πινάκων

Διαφορά δύο πινάκωντου ίδιου μεγέθους καθορίζεται μέσω των προηγούμενων πράξεων: A – B = A + (– 1)ΣΕ.

Ορισμός 1.13.Μήτρα –A = (– 1)ΕΝΑπου ονομάζεται απεναντι απομήτρα ΕΝΑ.

Συνέπεια.Αθροισμα αντίθετες μήτρεςίσο με τον μηδενικό πίνακα : A + (–A) = O.

Πολλαπλασιασμός πίνακα

Ορισμός 1.14.Πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα Α με τον πίνακα Βορίζεται όταν ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου πίνακα. Επειτα γινόμενο των πινάκωνμια τέτοια μήτρα ονομάζεται , κάθε στοιχείο του οποίου cijίσο με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων Εγώη σειρά του πίνακα ΕΝΑστα αντίστοιχα στοιχεία ιη στήλη μήτρας ΣΙ.

Παράδειγμα 1.4.Υπολογίστε το γινόμενο μήτρας Α · Β,Οπου

Α=

=

Παράδειγμα 1.5.Βρείτε προϊόντα μήτρας ΑΒΚαι VA,Οπου

Σημειώσεις.Από τα παραδείγματα 1.4–1.5 προκύπτει ότι η λειτουργία του πολλαπλασιασμού μήτρας έχει κάποιες διαφορές από τον πολλαπλασιασμό των αριθμών:

1) εάν το γινόμενο των πινάκων ΑΒυπάρχει, τότε μετά την αναδιάταξη των παραγόντων το γινόμενο των πινάκων VAμπορεί να μην υπάρχει. Πράγματι, στο Παράδειγμα 1.4 το γινόμενο μήτρας ΑΒ υπάρχει, αλλά το γινόμενο μήτρας ΒΑ δεν υπάρχει.

2) ακόμα κι αν τα έργα ΑΒΚαι VAυπάρχουν, τότε το αποτέλεσμα του προϊόντος μπορεί να είναι πίνακες διαφορετικών μεγεθών. Στην περίπτωση που λειτουργούν και τα δύο ΑΒΚαι VAυπάρχουν και οι δύο πίνακες του ίδιου μεγέθους (αυτό είναι δυνατό μόνο όταν πολλαπλασιάζονται τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας σειράς), τότε ο μεταθετικός (αντιθετικός) νόμος του πολλαπλασιασμού εξακολουθεί να μην ισχύει,εκείνοι. Α Β Στο Α, όπως στο παράδειγμα 1.5;

3) ωστόσο, αν πολλαπλασιάσετε τετραγωνική μήτρα ΕΝΑστον πίνακα ταυτότητας μιτης ίδιας τάξης λοιπόν ΑΕ = ΕΑ = Α.

Έτσι, ο πίνακας ταυτότητας παίζει τον ίδιο ρόλο στον πολλαπλασιασμό του πίνακα με τον αριθμό 1 στον πολλαπλασιασμό αριθμών.

4) γινόμενο δύο μη μηδενικούς πίνακεςμπορεί να ισούται με τον μηδενικό πίνακα, δηλαδή από το γεγονός ότι Α Β= 0, δεν προκύπτει αυτό Α = 0 ή Β= 0.