Κατασκευάστε επιφάνειες σε επίπεδο λειτουργίας. Παράγωγο συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά

Αρχείο MainWindow.xaml:

Και το αρχείο κώδικα MainWindow.xaml.cs:

Χρήση System.Linq; χρησιμοποιώντας System.Windows; χρησιμοποιώντας System.Windows.Controls; χρησιμοποιώντας System.Windows.Media; χρησιμοποιώντας System.Windows.Shapes; χώρος ονομάτων WpfLinesLevels ( ///

Αν κάθε σημείο X = (x 1, x 2, ... x n) από το σύνολο (X) των σημείων του ν-διάστατου χώρου συσχετίζεται με μια καλά καθορισμένη τιμή της μεταβλητής z, τότε λένε ότι το δεδομένο συνάρτηση n μεταβλητών z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

Στην περίπτωση αυτή καλούνται οι μεταβλητές x 1, x 2, ... x n ανεξάρτητες μεταβλητέςή επιχειρήματασυναρτήσεις, z - εξαρτημένη μεταβλητή, και το σύμβολο f υποδηλώνει νόμος της αλληλογραφίας. Το σύνολο (Χ) καλείται τομέα ορισμούσυναρτήσεις (αυτό είναι ένα ορισμένο υποσύνολο του n-διάστατου χώρου).

Για παράδειγμα, η συνάρτηση z = 1/(x 1 x 2) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών. Τα ορίσματά του είναι οι μεταβλητές x 1 και x 2 και z είναι η εξαρτημένη μεταβλητή. Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων, με εξαίρεση τις ευθείες x 1 = 0 και x 2 = 0, δηλ. χωρίς άξονες x και τεταγμένες. Αντικαθιστώντας οποιοδήποτε σημείο από το πεδίο ορισμού στη συνάρτηση, σύμφωνα με τον νόμο αντιστοιχίας που λαμβάνουμε συγκεκριμένο αριθμό. Για παράδειγμα, λαμβάνοντας το σημείο (2; 5), π.χ. x 1 = 2, x 2 = 5, παίρνουμε
z = 1/(2*5) = 0,1 (δηλαδή z(2; 5) = 0,1).

Μια συνάρτηση της μορφής z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b, όπου a 1, a 2,..., και n, b είναι σταθεροί αριθμοί, ονομάζεται γραμμικός. Μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα n γραμμικών συναρτήσεων των μεταβλητών x 1, x 2, ... x n. Όλες οι άλλες συναρτήσεις καλούνται μη γραμμικό.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση z = 1/(x 1 x 2) είναι μη γραμμική και η συνάρτηση z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – γραμμικό.

Οποιαδήποτε συνάρτηση z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) μπορεί να συσχετιστεί με n συναρτήσεις μιας μεταβλητής εάν καθορίσουμε τις τιμές όλων των μεταβλητών εκτός από μία.

Για παράδειγμα, συναρτήσεις τριών μεταβλητών z = 1/(x 1 x 2 x 3) μπορούν να συσχετιστούν με τρεις συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Αν διορθώσουμε x 2 = a και x 3 = b, τότε η συνάρτηση θα πάρει τη μορφή z = 1/(abx 1); αν διορθώσουμε x 1 = a και x 3 = b, τότε θα έχει τη μορφή z = 1/(abx 2); αν διορθώσουμε x 1 = a και x 2 = b, τότε θα πάρει τη μορφή z = 1/(abx 3). Σε αυτήν την περίπτωση, και οι τρεις συναρτήσεις έχουν την ίδια μορφή. Δεν είναι πάντα έτσι. Για παράδειγμα, αν για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών καθορίσουμε x 2 = a, τότε θα πάρει τη μορφή z = 5x 1 a, δηλ. λειτουργία ισχύος, και αν διορθώσουμε x 1 = a, τότε θα πάρει τη μορφή, δηλ. εκθετικη συναρτηση.

Πρόγραμμασυνάρτηση δύο μεταβλητών z = f(x, y) είναι το σύνολο των σημείων στον τρισδιάστατο χώρο (x, y, z), του οποίου η εφαρμογή z σχετίζεται με την τετμημένη x και η τεταγμένη y με συναρτητική σχέση
z = f (x, y). Αυτό το γράφημα αναπαριστά κάποια επιφάνεια σε τρισδιάστατο χώρο (για παράδειγμα, όπως στο Σχήμα 5.3).

Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν μια συνάρτηση είναι γραμμική (δηλαδή z = ax + κατά + c), τότε η γραφική παράσταση της είναι ένα επίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο. Άλλα παραδείγματα τρισδιάστατα γραφήματαΣυνιστάται η ανεξάρτητη μελέτη χρησιμοποιώντας το σχολικό βιβλίο του Kremer (σελ. 405-406).

Εάν υπάρχουν περισσότερες από δύο μεταβλητές (n μεταβλητές), τότε πρόγραμμασυνάρτηση είναι ένα σύνολο σημείων στον (n+1)-διάστατο χώρο για τα οποία η συντεταγμένη x n+1 υπολογίζεται σύμφωνα με έναν δεδομένο συναρτησιακό νόμο. Ένα τέτοιο γράφημα ονομάζεται υπερεπιφάνεια(Για γραμμική συνάρτηση – υπερπλάνο), και αντιπροσωπεύει επίσης μια επιστημονική αφαίρεση (είναι αδύνατο να την απεικονίσουμε).

Εικόνα 5.3 – Γράφημα συνάρτησης δύο μεταβλητών σε τρισδιάστατο χώρο

Επίπεδη επιφάνειαμια συνάρτηση n μεταβλητών είναι ένα σύνολο σημείων σε ν-διάστατο χώρο έτσι ώστε σε όλα αυτά τα σημεία η τιμή της συνάρτησης να είναι ίδια και ίση με C. Ο ίδιος ο αριθμός C σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται επίπεδο.

Συνήθως, για την ίδια λειτουργία, είναι δυνατή η κατασκευή άπειρου αριθμού επιφανειών επιπέδου (που αντιστοιχούν σε διαφορετικά επίπεδα).

Για συνάρτηση δύο μεταβλητή επιφάνειαεπίπεδο παίρνει τη μορφή γραμμές επιπέδου.

Για παράδειγμα, θεωρήστε z = 1/(x 1 x 2). Ας πάρουμε C = 10, δηλ. 1/(x 1 x 2) = 10. Τότε x 2 = 1/(10x 1), δηλ. στο επίπεδο η γραμμή επιπέδου θα πάρει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 5.4 ως συμπαγής γραμμή. Λαμβάνοντας ένα άλλο επίπεδο, για παράδειγμα, C = 5, λαμβάνουμε τη γραμμή στάθμης με τη μορφή γραφήματος της συνάρτησης x 2 = 1/(5x 1) (φαίνεται με μια διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα 5.4).

Εικόνα 5.4 - Γραμμές επιπέδου συνάρτησης z = 1/(x 1 x 2)

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Έστω z = 2x 1 + x 2. Ας πάρουμε C = 2, δηλ. 2x 1 + x 2 = 2. Τότε x 2 = 2 - 2x 1, δηλ. στο επίπεδο η γραμμή στάθμης θα πάρει τη μορφή μιας ευθείας γραμμής, που αντιπροσωπεύεται στο σχήμα 5.5 με μια συμπαγή γραμμή. Λαμβάνοντας ένα άλλο επίπεδο, για παράδειγμα, C = 4, λαμβάνουμε μια γραμμή επιπέδου με τη μορφή ευθείας γραμμής x 2 = 4 - 2x 1 (φαίνεται με μια διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα 5.5). Η γραμμή επιπέδου για 2x 1 + x 2 = 3 φαίνεται στο σχήμα 5.5 ως διακεκομμένη γραμμή.

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι για μια γραμμική συνάρτηση δύο μεταβλητών, οποιαδήποτε γραμμή επιπέδου θα είναι μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο και όλες οι γραμμές επιπέδου θα είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Εικόνα 5.5 - Γραμμές επιπέδου συνάρτησης z = 2x 1 + x 2

Ορισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Όταν εξετάζουμε συναρτήσεις μιας μεταβλητής, επισημάναμε ότι κατά τη μελέτη πολλών φαινομένων πρέπει να συναντήσουμε συναρτήσεις δύο ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών. Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. τετράγωνο μικρόορθογώνιο με πλευρές των οποίων τα μήκη είναι ίσα ΧΚαι στο, εκφράζεται με τον τύπο μικρό = xy. Κάθε ζεύγος τιμών ΧΚαι στοαντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή περιοχής μικρό; μικρόείναι συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Παράδειγμα 2. Ενταση ΗΧΟΥ Vορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ακμές των οποίων τα μήκη είναι ίσα Χ, στο, z, εκφράζεται με τον τύπο V= xyz. Εδώ Vυπάρχει συνάρτηση τριών μεταβλητών Χ, στο, z.

Παράδειγμα 3. Εύρος Rπτήση βλημάτων που εκτοξεύτηκαν με την αρχική ταχύτητα vΤο 0 από ένα όπλο του οποίου η κάννη είναι κεκλιμένη προς την οριζόντια υπό γωνία  εκφράζεται με τον τύπο
(αν αμελήσουμε την αντίσταση του αέρα). Εδώ σολ– επιτάχυνση της βαρύτητας. Για κάθε ζεύγος τιμών v 0 και  αυτός ο τύπος δίνει μια ορισμένη τιμή R, δηλ. Rείναι συνάρτηση δύο μεταβλητών v 0 και .

Παράδειγμα 4.
. Εδώ Καιυπάρχει μια συνάρτηση τεσσάρων μεταβλητών Χ, στο, z, t.

Ορισμός 1.Αν κάθε ζευγάρι ( Χ, στο) τιμές δύο μεταβλητών ανεξάρτητων η μία από την άλλη ΧΚαι στοαπό κάποια περιοχή της αλλαγής τους ρε, αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή της ποσότητας z, τότε το λέμε zυπάρχει μια λειτουργία δύο ανεξάρτητες μεταβλητές xΚαι στο, που ορίζεται στην περιοχή ρε.

Συμβολικά, μια συνάρτηση δύο μεταβλητών συμβολίζεται ως εξής:

z= φά(Χ, y), z = φά(Χ, y) και τα λοιπά.

Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών μπορεί να καθοριστεί, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας έναν πίνακα ή αναλυτικά - χρησιμοποιώντας έναν τύπο, όπως έγινε στα παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω. Με βάση τον τύπο, μπορείτε να δημιουργήσετε έναν πίνακα τιμών συναρτήσεων για ορισμένα ζεύγη τιμών ανεξάρτητων μεταβλητών. Έτσι, για το πρώτο παράδειγμα, μπορείτε να δημιουργήσετε τον ακόλουθο πίνακα:

μικρό = xy

Σε αυτόν τον πίνακα, στην τομή μιας γραμμής και μιας στήλης που αντιστοιχεί σε ορισμένες τιμές ΧΚαι στο, εισάγεται η αντίστοιχη τιμή συνάρτησης μικρό. Αν λειτουργική εξάρτηση z= φά(Χ, y) λαμβάνεται ως αποτέλεσμα μετρήσεων της ποσότητας zΌταν μελετάμε πειραματικά οποιοδήποτε φαινόμενο, λαμβάνεται αμέσως ένας πίνακας που καθορίζει zως συνάρτηση δύο μεταβλητών. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση καθορίζεται μόνο από τον πίνακα.

Όπως στην περίπτωση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, δεν υπάρχει συνάρτηση δύο μεταβλητών, γενικά, για καμία τιμή ΧΚαι στο.

Ορισμός 2.Ένα σετ ζευγαριών ( Χ, στο) αξίες ΧΚαι στο, στο οποίο καθορίζεται η συνάρτηση z= φά(Χ, y), που ονομάζεται τομέα ορισμούή περιοχή ύπαρξηςαυτή τη λειτουργία.

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης απεικονίζεται με σαφήνεια γεωμετρικά. Αν κάθε ζεύγος τιμών ΧΚαι στοθα το παραστήσουμε με μια τελεία Μ(Χ, στο) στο αεροπλάνο Ωχού, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα απεικονιστεί ως μια συγκεκριμένη συλλογή σημείων στο επίπεδο. Θα ονομάσουμε επίσης αυτή τη συλλογή σημείων τομέα ορισμού της συνάρτησης. Συγκεκριμένα, το πεδίο ορισμού μπορεί να είναι ολόκληρο το επίπεδο. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε κυρίως με περιοχές που αντιπροσωπεύουν μέρη του αεροπλάνου, που οριοθετείται από γραμμές. Η περιοριστική γραμμή αυτή η περιοχή, θα καλέσουμε σύνοροπεριοχές. Θα καλούνται σημεία της περιοχής που δεν βρίσκονται στο όριο εσωτερικόςσημεία της περιοχής. Μια περιοχή που αποτελείται μόνο από εσωτερικά σημεία ονομάζεται Άνοιξεή Άνοιξε. Εάν τα οριακά σημεία ανήκουν επίσης στην περιοχή, τότε η περιοχή ονομάζεται κλειστό. Μια περιοχή ονομάζεται οριοθετημένη αν υπάρχει τέτοια σταθερά ΜΕ, ότι η απόσταση οποιουδήποτε σημείου Μπεριοχή από την καταγωγή ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕπιο λιγο ΜΕ, δηλ. | ΟΜ| < ΜΕ.

Παράδειγμα 5. Προσδιορίστε το φυσικό πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης

z = 2Χ – στο.

Αναλυτική έκφραση 2 Χ – στοέχει νόημα για οποιαδήποτε αξία ΧΚαι στο. Κατά συνέπεια, το φυσικό πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το επίπεδο Ωχού.

Παράδειγμα 6.
.

Ωστε να zείχε πραγματική αξία, είναι απαραίτητο η ρίζα να έχει μη αρνητικό αριθμό, δηλ. ΧΚαι στοπρέπει να ικανοποιεί την ανισότητα 1 - Χ 2 – στο 2  0, ή Χ 2 + στο 2  1.

Όλα τα σημεία Μ(Χ, στο), των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την υποδεικνυόμενη ανισότητα, βρίσκονται σε κύκλο ακτίνας 1 με κέντρο στην αρχή και στο όριο αυτού του κύκλου.

Παράδειγμα 7.
.

Εφόσον οι λογάριθμοι ορίζονται μόνο για θετικούς αριθμούς, η ανισότητα πρέπει να ικανοποιείται Χ + στο> 0, ή στο >  Χ.

Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης zείναι το μισό του επιπέδου που βρίσκεται πάνω από τη γραμμή στο =  Χ, χωρίς να συμπεριλαμβάνεται η ίδια η ευθεία.

Παράδειγμα 8. Εμβαδόν τριγώνου μικρόαντιπροσωπεύει τη συνάρτηση βάσης Χκαι ύψη στο: μικρό= xy/2.

Ο τομέας ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι ο τομέας Χ  0, στο 0 (καθώς η βάση ενός τριγώνου και το ύψος του δεν μπορεί να είναι ούτε αρνητικό ούτε μηδέν). Σημειώστε ότι το πεδίο ορισμού της υπό εξέταση συνάρτησης δεν συμπίπτει με το φυσικό πεδίο ορισμού της αναλυτικής έκφρασης με την οποία προσδιορίζεται η συνάρτηση, καθώς το φυσικό πεδίο ορισμού της έκφρασης xy/Το 2 είναι προφανώς ολόκληρο το αεροπλάνο Ωχού.

Ο ορισμός μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών μπορεί εύκολα να γενικευτεί στην περίπτωση τριών ή περισσότερων μεταβλητών.

Ορισμός 3.Αν κάθε εξεταζόμενο σύνολο μεταβλητών τιμών Χ, στο, z, …, u, tαντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή μεταβλητής w, τότε θα καλέσουμε w συνάρτηση ανεξάρτητων μεταβλητών Χ, στο, z, …, u, tκαι γράψε w= φά(Χ, στο, z, …, u, t) ή w= φά(Χ, στο, z, …, u, t) και ούτω καθεξής.

Ακριβώς όπως για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, μπορούμε να μιλήσουμε για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης τριών, τεσσάρων ή περισσότερων μεταβλητών.

Έτσι, για παράδειγμα, για τη συνάρτηση των τριών μεταβλητή περιοχήΟ ορισμός είναι μια ορισμένη συλλογή τριπλών αριθμών ( Χ, στο, z). Ας σημειώσουμε αμέσως ότι κάθε τριάδα αριθμών ορίζει ένα συγκεκριμένο σημείο Μ(Χ, στο, z) στο διάστημα Ωχούz. Κατά συνέπεια, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών είναι ένα ορισμένο σύνολο σημείων στο χώρο.

Ομοίως, μπορούμε να μιλήσουμε για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης τεσσάρων μεταβλητών u= φά(Χ, y, z, t) όσον αφορά κάποια συλλογή τετραπλών αριθμών ( Χ, y, z, t). Ωστόσο, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης τεσσάρων ή περισσότεροΟι μεταβλητές δεν επιτρέπουν πλέον μια απλή γεωμετρική ερμηνεία.

Το Παράδειγμα 2 δείχνει μια συνάρτηση τριών μεταβλητών που ορίζονται για όλες τις τιμές Χ, στο, z.

Το Παράδειγμα 4 δείχνει μια συνάρτηση τεσσάρων μεταβλητών.

Παράδειγμα 9. .

Εδώ w– συνάρτηση τεσσάρων μεταβλητών Χ, στο, z, Και, που ορίζεται με τιμές μεταβλητών που ικανοποιούν τη σχέση:

Έννοια μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Ας εισαγάγουμε την έννοια της συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Ορισμός 1.Αφήστε κάθε σημείο Μαπό ένα σύνολο σημείων ( Μ) Ευκλείδειος χώρος μιΜσύμφωνα με κάποιο νόμο, ένας συγκεκριμένος αριθμός τίθεται σε αλληλογραφία Καιαπό ένα αριθμητικό σύνολο U.Τότε θα πούμε ότι στο σετ ( Μ) δίνεται η συνάρτηση και =f(M).Επιπλέον, τα σετ ( Μ) Και Uονομάζονται, αντίστοιχα, πεδίο ορισμού (ανάθεσης) και πεδίο αλλαγής της συνάρτησης f(M).

Όπως γνωρίζετε, συνάρτηση μιας μεταβλητής στο = φά(Χ) απεικονίζεται στο επίπεδο ως γραμμή. Στην περίπτωση δύο μεταβλητών, ο τομέας ορισμού ( Μ Π) λειτουργίες z = f(x, y)αντιπροσωπεύει ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων Ωχού(Εικ. 8.1). Συντεταγμένη zπου ονομάζεται αίτηση,και στη συνέχεια η ίδια η συνάρτηση απεικονίζεται ως επιφάνεια στο χώρο μι3 . Ομοίως, η συνάρτηση από Τμεταβλητές

ορίζεται στο σετ ( Μ) Ευκλείδειος χώρος μιΜ, αντιπροσωπεύει μια υπερεπιφάνεια στον Ευκλείδειο χώρο μιm+1.

Μερικοί τύποι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Ας δούμε παραδείγματα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και ας βρούμε τους τομείς ορισμού τους.

μι3 . Το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ωχ.Το εύρος αυτής της συνάρτησης είναι το διάστημα )