Εύρεση εικόνας από τα πρωτότυπα παραδείγματα. Πώς να λύσετε μια διαφορική εξίσωση χρησιμοποιώντας λειτουργικό λογισμό

Τρόπος εισαγωγής μαθηματικούς τύπουςστον ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτό καθολική μέθοδοςθα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε συνεχώς μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax - ένα ειδικό Βιβλιοθήκη JavaScript, το οποίο εμφανίζει μαθηματική σημείωση σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας απλός κώδικαςμπορείτε να συνδέσετε γρήγορα το σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, από το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα απομακρυσμένος διακομιστής(λίστα διακομιστών) (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί και φορτώνει αυτόματα πιο πρόσφατες εκδόσεις MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για εισαγωγή τρίτων Κώδικας JavaScript, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα φόρτωσης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε κάποιο είδος εικόνας (σχέδιο, εικόνα, φωτογραφία) και θέλετε να βρείτε την ίδια (διπλότυπη) ή παρόμοια στο Διαδίκτυο. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ειδικά εργαλεία μηχανές αναζήτησης Googleκαι το Yandex, την υπηρεσία TinEye, καθώς και την εκπληκτική επέκταση προγράμματος περιήγησης PhotoTracker Lite, που συνδυάζει όλες αυτές τις μεθόδους. Ας δούμε το καθένα από αυτά.

Αναζήτηση με φωτογραφία στο Google

Δώστε έναν σύνδεσμο προς την εικόνα στο Διαδίκτυο

Μεταφόρτωση αρχείου από υπολογιστή

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε πλήρης λίσταπαρόμοιες εικόνες από την εικόνα που επιλέχθηκε ως δείγμα:

Υπάρχει ακόμα ένα καλός τρόπος, εργάζεται σε Πρόγραμμα περιήγησης Chrome. Ενώ βρίσκεστε στη σελίδα με την εικόνα που σας ενδιαφέρει, μετακινήστε τον κέρσορα του ποντικιού σε αυτήν, κάντε δεξί κλικ και στην επεξήγηση εργαλείου που ανοίγει, επιλέξτε «Εύρεση εικόνας (Google)»:

Θα μεταφερθείτε αμέσως στη σελίδα αποτελεσμάτων αναζήτησης!

Η αναζήτηση ανά εικόνες στο Yandex Yandex δεν είναι λιγότερο απλή από το Google :) Ακολουθήστε τον σύνδεσμο https://yandex.by/images/ και κάντε κλικ στο εικονίδιο της κάμερας στην επάνω δεξιά γωνία:

Εισαγάγετε τη διεύθυνση της εικόνας στο Διαδίκτυο ή μεταφορτώστε την από τον υπολογιστή σας (μπορείτε απλά να τη σύρετε σε μια ειδική περιοχή στο επάνω μέρος του παραθύρου του προγράμματος περιήγησης):

Το αποτέλεσμα αναζήτησης μοιάζει με αυτό:

Έχετε άμεσα πρόσβαση στις ακόλουθες πληροφορίες:

• Ποιες είναι οι διαδικτυακές διαστάσεις της εικόνας που ανεβάσατε ως δείγμα για αναζήτηση;
• Λίστα με τοποθεσίες όπου εμφανίζεται
• Παρόμοιες εικόνες (τροποποιημένες με βάση την αρχική ή βάσει των οποίων ο αλγόριθμος αποφάσισε τη σημασιολογική τους ομοιότητα)

Πολλοί άνθρωποι πιθανότατα έχουν ήδη ακούσει για ηλεκτρονική υπηρεσία TinEye, το οποίο οι ρωσόφωνοι χρήστες αποκαλούν συχνά Tinai. Αναπτύχθηκε από ειδικούς στον τομέα μηχανική μάθησηκαι αναγνώριση αντικειμένων. Ως συνέπεια όλων αυτών, ο Tinay είναι εξαιρετικός όχι μόνο για την εύρεση παρόμοιων εικόνων και φωτογραφιών, αλλά και των στοιχείων τους.

Ευρετηριασμένη βάση δεδομένων Εικόνες TinEyeέχει πάνω από 10 δισεκατομμύρια θέσεις και είναι η μεγαλύτερη σε ολόκληρο το Διαδίκτυο. "Τα πάντα μπορούν να βρεθούν εδώ" - αυτή η φράση χαρακτηρίζει τέλεια την υπηρεσία.

Υπάρχει άλλος τρόπος αναζήτησης με ένα κλικ. Από προεπιλογή, το στοιχείο "Εμφάνιση εικονιδίου" είναι ενεργοποιημένο στις ρυθμίσεις της εφαρμογής. γρήγορη αναζήτηση" Όταν τοποθετείτε το δείκτη του ποντικιού πάνω από μια φωτογραφία ή μια εικόνα, εμφανίζεται ένα στρογγυλό πράσινο εικονίδιο, κάνοντας κλικ στο οποίο ξεκινά η αναζήτηση παρόμοιες εικόνες– Τα αποτελέσματα αναζήτησης για Google, Yandex, Tinay και Bing θα ανοίξουν αυτόματα σε νέες καρτέλες.

Η επέκταση δημιουργήθηκε από έναν συμπατριώτη μας, του οποίου τα χόμπι συνδέονται στενά με τη φωτογραφία. Αρχικά δημιούργησε αυτό το εργαλείο για να βρίσκει γρήγορα τις φωτογραφίες του σε ιστότοπους άλλων ανθρώπων.

Όταν μπορεί να το χρειαστείς

• Είστε φωτογράφος, δημοσιεύετε τις φωτογραφίες σας στο Διαδίκτυο και θέλετε να δείτε σε ποιους ιστότοπους χρησιμοποιούνται και πού μπορεί να παραβιαστούν τα πνευματικά σας δικαιώματα.
• Είστε blogger ή κειμενογράφος, γράφετε άρθρα και θέλετε να επιλέξετε μια «άστοχη» εικόνα για το υλικό σας.
• Τι γίνεται αν κάποιος χρησιμοποιήσει τη φωτογραφία σας από το προφίλ σας στο VKontakte ή στο Facebook ως avatar σε ένα φόρουμ ή ως ψεύτικο; λογαριασμόςσε κάθε κοινωνικό δίκτυο? Αλλά αυτό είναι κάτι παραπάνω από δυνατό!
• Βρήκατε μια φωτογραφία ενός ηθοποιού που γνωρίζετε και θέλετε να θυμάστε το όνομά του.

Στην πραγματικότητα, υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός περιπτώσεων όπου η αναζήτηση με φωτογραφία μπορεί να είναι χρήσιμη. Μπορείς να δώσεις ένα άλλο παράδειγμα...

Πώς να βρείτε το πρωτότυπο μιας δεδομένης εικόνας

Για παράδειγμα, έχετε κάποιο είδος φωτογραφίας, ίσως κομμένη ή με photoshop, και θέλετε να βρείτε την αρχική της ή μια καλύτερη ποιότητα έκδοσης. Πως να το κάνεις; Πραγματοποιήστε μια αναζήτηση στο Yandex και στο Google, όπως περιγράφεται παραπάνω, ή χρησιμοποιώντας το PhotoTracker Lite και λάβετε μια λίστα με όλες τις εικόνες που βρέθηκαν. Στη συνέχεια, ακολουθήστε τα εξής:

Η αρχική εικόνα έχει συνήθως μεγαλύτερο μέγεθοςΚαι η καλύτερη ποιότητασε σύγκριση με το τροποποιημένο αντίγραφο που προκύπτει από την περικοπή. Φυσικά, μπορείτε να ορίσετε μια εικόνα σε οποιοδήποτε μέγεθος στο Photoshop, αλλά όταν τη μεγεθύνετε σε σχέση με το πρωτότυπο, θα παρατηρούνται πάντα τεχνουργήματα. Γίνονται εύκολα αντιληπτοί ακόμη και με μια πρόχειρη οπτική επιθεώρηση.

Οι πρωτότυπες φωτογραφίες έχουν συχνά υδατογραφήματα που υποδεικνύουν τον συγγραφέα της φωτογραφίας (επώνυμο, διεύθυνση ιστότοπου, όνομα εταιρείας κ.λπ.). Φυσικά, ο καθένας μπορεί να προσθέσει ένα υδατογράφημα σε απολύτως οποιαδήποτε εικόνα, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να αναζητήσετε ένα δείγμα φωτογραφίας στον ιστότοπο ή με το επώνυμο του συγγραφέα, πιθανότατα δημοσιεύει το χαρτοφυλάκιό του κάπου στο διαδίκτυο.

Και τέλος, ένα πολύ απλό σημάδι. Εάν το δείγμα της φωτογραφίας σας είναι ασπρόμαυρη (σέπια κ.λπ.), και βρίσκετε την ίδια, αλλά εντελώς έγχρωμη φωτογραφία, τότε το δικό σας σαφώς δεν είναι το πρωτότυπο. πολύ πιο δύσκολο από τη μετατροπή μιας έγχρωμης φωτογραφίας σε ασπρόμαυρη :)

Πώς να λύσετε διαφορική εξίσωση
λειτουργική μέθοδος λογισμού;

Επί αυτό το μάθημαθα αναλυθεί λεπτομερώς ένα τυπικό και διαδεδομένο πρόβλημα σύνθετης ανάλυσης - η εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης σε μια ΔΕ 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του λειτουργικού λογισμού. Σας απαλλάσσω ξανά και ξανά από την προκατάληψη ότι το υλικό είναι αφάνταστα πολύπλοκο και απρόσιτο. Είναι αστείο, αλλά για να κατακτήσετε τα παραδείγματα, μπορεί να μην είστε καν σε θέση να διαφοροποιήσετε, να ενσωματώσετε ή καν να ξέρετε τι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί. Απαιτείται δεξιότητα εφαρμογής μέθοδος αβέβαιων συντελεστών, το οποίο αναλύεται αναλυτικά στο άρθρο Ολοκλήρωση κλασματικών-ορθολογικών συναρτήσεων. Στην πραγματικότητα, ο ακρογωνιαίος λίθος της εργασίας είναι οι απλές αλγεβρικές πράξεις και είμαι βέβαιος ότι το υλικό είναι προσβάσιμο ακόμη και σε μαθητή Λυκείου.

Συμπιέζεται πρώτα θεωρητικές πληροφορίεςσχετικά με το εν λόγω τμήμα μαθηματική ανάλυση. Το βασικό σημείο λειτουργικός λογισμόςέχει ως εξής: λειτουργία έγκυροςμεταβλητή χρησιμοποιώντας το λεγόμενο Μετασχηματισμός Laplaceχαρτογραφημένο στη λειτουργία περιεκτικόςμεταβλητός:

Ορολογία και ονομασίες:
η συνάρτηση ονομάζεται πρωτότυπη.
η συνάρτηση ονομάζεται εικόνα.
κεφαλαίο γράμμα δηλώνει Μετασχηματισμός Laplace.

Ομιλία σε απλή γλώσσα, μια πραγματική συνάρτηση (πρωτότυπο) σύμφωνα με ορισμένους κανόνες πρέπει να μετατραπεί σε σύνθετη συνάρτηση (εικόνα). Το βέλος υποδεικνύει ακριβώς αυτόν τον μετασχηματισμό. Και οι ίδιοι οι «ορισμένοι κανόνες». Μετασχηματισμός Laplace, το οποίο θα εξετάσουμε μόνο τυπικά, το οποίο θα είναι αρκετά αρκετό για την επίλυση προβλημάτων.

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace είναι επίσης εφικτός, όταν η εικόνα μετατρέπεται στην αρχική:

Γιατί χρειάζονται όλα αυτά; Σε πολλά προβλήματα ανώτερων μαθηματικών, μπορεί να είναι πολύ ωφέλιμο να μεταβείτε από πρωτότυπα σε εικόνες, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η λύση του προβλήματος απλοποιείται σημαντικά (απλά αστειεύομαι). Και θα εξετάσουμε μόνο ένα από αυτά τα προβλήματα. Εάν έχετε ζήσει για να δείτε τον λειτουργικό λογισμό, τότε η διατύπωση θα πρέπει να σας είναι πολύ οικεία:

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση σε μια ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές για δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Σημείωση: Μερικές φορές η διαφορική εξίσωση μπορεί να είναι ομοιογενής: , για αυτήν στην παραπάνω διατύπωση ισχύει και η μέθοδος του λειτουργικού λογισμού. Ωστόσο, σε πρακτικά παραδείγματαΟι ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης είναι εξαιρετικά σπάνιες και στη συνέχεια θα μιλήσουμε για ανομοιογενείς εξισώσεις.

Και τώρα θα συζητηθεί η τρίτη μέθοδος - επίλυση διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας λειτουργικό λογισμό. Για άλλη μια φορά, τονίζω το γεγονός ότι μιλάμε για εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης, επιπλέον, οι αρχικές προϋποθέσεις έχουν αυστηρά τη μορφή (τα «xes» είναι ίσα με μηδενικά).

Παρεμπιπτόντως, για τα "Χ". Η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
, όπου το "x" είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή και το "y" είναι μια συνάρτηση. Δεν είναι τυχαίο ότι μιλάω για αυτό, καθώς στο υπό εξέταση πρόβλημα χρησιμοποιούνται συχνότερα άλλα γράμματα:

Δηλαδή, ο ρόλος της ανεξάρτητης μεταβλητής παίζει η μεταβλητή "te" (αντί για "x"), και ο ρόλος της συνάρτησης παίζει η μεταβλητή "x" (αντί για "y")

Καταλαβαίνω ότι είναι άβολο, φυσικά, αλλά είναι καλύτερα να επιμείνουμε στις σημειώσεις που βρίσκονται στα περισσότερα προβληματικά βιβλία και εκπαιδευτικά εγχειρίδια.

Έτσι, το πρόβλημά μας με άλλα γράμματα γράφεται ως εξής:

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση σε μια ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές για δεδομένες αρχικές συνθήκες .

Το νόημα της εργασίας δεν έχει αλλάξει καθόλου, έχουν αλλάξει μόνο τα γράμματα.

Πώς να λύσετε αυτή η εργασίαμέθοδος λειτουργικού λογισμού;

Πρώτα απ 'όλα, θα χρειαστείτε έναν πίνακα με πρωτότυπα και εικόνες. Αυτό βασικό εργαλείολύσεις και δεν μπορείτε χωρίς αυτό. Επομένως, εάν είναι δυνατόν, προσπαθήστε να εκτυπώσετε το παρεχόμενο υλικό αναφοράς. Επιτρέψτε μου να εξηγήσω αμέσως τι σημαίνει το γράμμα "pe": μια σύνθετη μεταβλητή (αντί για το συνηθισμένο "z"). Αν και αυτό το γεγονός δεν είναι σχετικό για την επίλυση προβλημάτων ιδιαίτερη σημασία, «πε» άρα «πε».

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, τα πρωτότυπα πρέπει να μετατραπούν σε μερικές εικόνες. Αυτό που ακολουθεί είναι μια σειρά τυπικών ενεργειών και χρησιμοποιείται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace (επίσης στον πίνακα). Έτσι, θα βρεθεί η επιθυμητή συγκεκριμένη λύση.

Όλα τα προβλήματα, που είναι ωραίο, λύνονται σύμφωνα με έναν αρκετά αυστηρό αλγόριθμο.

Παράδειγμα 1

, ,

Λύση: Στο πρώτο βήμα, ας περάσουμε από τα πρωτότυπα στις αντίστοιχες εικόνες. Χρησιμοποιούμε αριστερή πλευρά.

Αρχικά, ας δούμε την αριστερή πλευρά της αρχικής εξίσωσης. Για τον μετασχηματισμό Laplace έχουμε κανόνες γραμμικότητας, άρα αγνοούμε όλες τις σταθερές και δουλεύουμε χωριστά με τη συνάρτηση και τις παραγώγους της.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του πίνακα Νο. 1, μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση:

Σύμφωνα με τον τύπο Νο. 2 , λαμβάνοντας υπόψη την αρχική συνθήκη, μετασχηματίζουμε την παράγωγο:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 3, λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες, μετασχηματίζουμε τη δεύτερη παράγωγο:

Μην μπερδεύεστε με τα σημάδια!

Ομολογώ, είναι πιο σωστό να μην λέμε "τύπους", αλλά "μεταμορφώσεις", αλλά για λόγους απλότητας, κατά καιρούς θα αποκαλώ τα περιεχόμενα των πινάκων τύπους.

Τώρα ας ασχοληθούμε σωστη πλευρα, που περιέχει το πολυώνυμο. Λόγω του ίδιου κανόνες γραμμικότηταςΜετασχηματισμός Laplace, δουλεύουμε με κάθε όρο ξεχωριστά.

Ας δούμε τον πρώτο όρο: - αυτή είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή «te» πολλαπλασιασμένη με μια σταθερά. Αγνοούμε τη σταθερά και, χρησιμοποιώντας το σημείο Νο. 4 του πίνακα, εκτελούμε τον μετασχηματισμό:

Ας δούμε τον δεύτερο όρο: –5. Όταν μια σταθερά βρεθεί μόνη της, τότε δεν μπορεί πλέον να παραλειφθεί. Με μία μόνο σταθερά, κάνουν αυτό: για λόγους σαφήνειας, μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο: , και ο μετασχηματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στην ενότητα:

Έτσι, για όλα τα στοιχεία (πρωτότυπα) της διαφορικής εξίσωσης, βρέθηκαν οι αντίστοιχες εικόνες χρησιμοποιώντας τον πίνακα:

Ας αντικαταστήσουμε τις εικόνες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση:

Το περαιτέρω καθήκον είναι να εκφράσουμε τη λύση του τελεστή ως προς όλα τα άλλα, δηλαδή με όρους ενός μόνο κλάσματος. Συνιστάται να τηρείτε επόμενη παραγγελίαΕνέργειες:

Αρχικά, ανοίξτε τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά:

Παρόμοιους όρους παρουσιάζουμε στην αριστερή πλευρά (αν υπάρχουν). Σε αυτή την περίπτωση, προσθέτουμε τους αριθμούς –2 και –3. Συνιστώ ανεπιφύλακτα να μην χάσετε τις τσαγιέρες αυτό το στάδιο:

Στα αριστερά αφήνουμε τους όρους που περιέχουν και μετακινούμε τους υπόλοιπους όρους προς τα δεξιά με αλλαγή πρόσημου:

Στην αριστερή πλευρά βάζουμε τη λύση τελεστή εκτός παρενθέσεων, στη δεξιά πλευρά μειώνουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή:

Το πολυώνυμο στα αριστερά πρέπει να παραγοντοποιηθεί (αν είναι δυνατόν). Ας αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση:

Ετσι:

Επαναφέρουμε τον παρονομαστή της δεξιάς πλευράς:

Ο στόχος έχει επιτευχθεί - η λύση χειριστή εκφράζεται σε ένα κλάσμα.

Πράξη δεύτερη. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, η λύση τελεστή της εξίσωσης θα πρέπει να επεκταθεί σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων:

Ας εξισώσουμε τους συντελεστές στις αντίστοιχες δυνάμεις και ας λύσουμε το σύστημα:

Εάν έχετε οποιοδήποτε πρόβλημα με , παρακαλώ ενημερωθείτε για τα άρθρα Ενσωμάτωση κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης και Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων; Αυτό είναι πολύ σημαντικό γιατί η αποσύνθεση κλασμάτων είναι ουσιαστικά η μεγαλύτερη σημαντικό μέροςκαθήκοντα.

Έτσι, οι συντελεστές βρίσκονται: , και η λύση τελεστή εμφανίζεται μπροστά μας σε αποσυναρμολογημένη μορφή:

Λάβετε υπόψη ότι οι σταθερές δεν γράφονται σε αριθμητές κλασμάτων. Αυτή η μορφή εγγραφής είναι πιο κερδοφόρα από . Και είναι πιο κερδοφόρο, γιατί η τελική δράση θα πραγματοποιηθεί χωρίς σύγχυση και λάθη:

Το τελικό στάδιο του προβλήματος είναι η χρήση του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace για να μετακινηθείτε από τις εικόνες στα αντίστοιχα πρωτότυπα. Χρησιμοποιούμε τη δεξιά στήλη του πίνακα με τα πρωτότυπα και τις εικόνες.

Ίσως δεν καταλαβαίνουν όλοι τη μετατροπή. Εδώ χρησιμοποιείται ο τύπος του σημείου Νο. 5 του πίνακα: . Με περισσότερες λεπτομέρειες: . Στην πραγματικότητα, για παρόμοιες περιπτώσεις ο τύπος μπορεί να τροποποιηθεί: . Και όλοι οι τύποι πίνακα του σημείου Νο. 5 είναι πολύ εύκολο να ξαναγραφούν με παρόμοιο τρόπο.

Μετά την αντίστροφη μετάβαση, η επιθυμητή μερική λύση του DE λαμβάνεται σε μια ασημένια πιατέλα:

Ήταν:

Έγινε:

Απάντηση: ιδιωτική λύση:

Εάν έχετε χρόνο, καλό είναι πάντα να κάνετε έναν έλεγχο. Ο έλεγχος πραγματοποιείται σύμφωνα με πρότυπο σχήμα, που ήδη συζητήθηκε στο μάθημα Ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης. Ας επαναλάβουμε:

Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση της αρχικής συνθήκης:
- Έγινε.

Ας βρούμε την πρώτη παράγωγο:

Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση της δεύτερης αρχικής συνθήκης:
- Έγινε.

Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο:

Ας αντικαταστήσουμε , και στην αριστερή πλευρά της αρχικής εξίσωσης:

Λαμβάνεται η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης.

Συμπέρασμα: η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά.

Ένα μικρό παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 2

Χρησιμοποιώντας λειτουργικό λογισμό, βρείτε μια συγκεκριμένη λύση σε μια διαφορική εξίσωση υπό δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Ένα κατά προσέγγιση δείγμα της τελικής εργασίας στο τέλος του μαθήματος.

Ο πιο συνηθισμένος επισκέπτης στις διαφορικές εξισώσεις, όπως πολλοί έχουν παρατηρήσει εδώ και καιρό, είναι οι εκθετικοί, οπότε ας εξετάσουμε μερικά παραδείγματα με αυτούς, τους συγγενείς τους:

Παράδειγμα 3

, ,

Λύση: Χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετασχηματισμού Laplace (αριστερή πλευρά του πίνακα), μετακινούμαστε από τα πρωτότυπα στις αντίστοιχες εικόνες.

Ας δούμε πρώτα την αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Δεν υπάρχει πρώτη παράγωγος εκεί. Και λοιπόν; Εξαιρετική. Λιγότερη δουλειά. Λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες, χρησιμοποιώντας τους τύπους πινάκων Νο. 1, 3 βρίσκουμε τις εικόνες:

Τώρα κοιτάξτε τη δεξιά πλευρά: – το γινόμενο δύο συναρτήσεων. Για να επωφεληθείτε ιδιότητες γραμμικότηταςΜετασχηματισμός Laplace, πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες: . Δεδομένου ότι οι σταθερές είναι σε προϊόντα, τις ξεχνάμε και χρησιμοποιούμε την ομάδα Νο. 5 τύπους πίνακα, βρίσκουμε εικόνες:

Ας αντικαταστήσουμε τις εικόνες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση:

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η επόμενη εργασία είναι να εκφράσουμε τη λύση τελεστή σε ένα μόνο κλάσμα.

Στην αριστερή πλευρά αφήνουμε τους όρους που περιέχουν και μετακινούμε τους υπόλοιπους όρους στη δεξιά πλευρά. Ταυτόχρονα, στη δεξιά πλευρά αρχίζουμε να μειώνουμε αργά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή:

Στα αριστερά το βγάζουμε από αγκύλες, στα δεξιά φέρνουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή:

Στην αριστερή πλευρά παίρνουμε ένα πολυώνυμο που δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί. Εάν το πολυώνυμο δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί, τότε ο καημένος πρέπει να πεταχτεί αμέσως στο κάτω μέρος της δεξιάς πλευράς, με τα πόδια του σκυροδετημένα στη λεκάνη. Και στον αριθμητή ανοίγουμε τις αγκύλες και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:

Το πιο επίπονο στάδιο έφτασε: χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ακαθόριστων συντελεστών, θα αποσυνθέσουμε τη λύση τελεστή της εξίσωσης σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων:


Ετσι:

Παρατηρήστε πώς αποσυντίθεται το κλάσμα: , σύντομα θα εξηγήσω γιατί συμβαίνει αυτό.

Τέλος: ας περάσουμε από τις εικόνες στα αντίστοιχα πρωτότυπα, χρησιμοποιήστε τη δεξιά στήλη του πίνακα:

Στους δύο κατώτερους μετασχηματισμούς, χρησιμοποιήθηκαν οι τύποι Νο. 6 και 7 του πίνακα και το κλάσμα επεκτάθηκε εκ των προτέρων ακριβώς για να «ταιριάξει» στους μετασχηματισμούς του πίνακα.

Ως αποτέλεσμα, μια συγκεκριμένη λύση:

Απάντηση: η απαιτούμενη συγκεκριμένη λύση:

Ένα παρόμοιο παράδειγμα για μια λύση DIY:

Παράδειγμα 4

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση σε μια διαφορική εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του λειτουργικού λογισμού.

Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Στο Παράδειγμα 4, μία από τις αρχικές συνθήκες είναι μηδέν. Αυτό σίγουρα απλοποιεί τη λύση, και μάλιστα το περισσότερο τέλεια επιλογή, όταν και οι δύο αρχικές συνθήκες είναι μηδέν: . Σε αυτήν την περίπτωση, τα παράγωγα μετατρέπονται σε εικόνες χωρίς ουρές:

Όπως ήδη αναφέρθηκε, το πιο δύσκολο τεχνικό σημείοΤο πρόβλημα είναι η επέκταση ενός κλάσματος με τη μέθοδο των ακαθόριστων συντελεστών και έχω αρκετά εργατικά παραδείγματα στη διάθεσή μου. Ωστόσο, δεν θα τρομάξω κανέναν με τέρατα, ας εξετάσουμε μερικές ακόμη τυπικές παραλλαγές της εξίσωσης:

Παράδειγμα 5

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του λειτουργικού λογισμού, βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που να ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.
, ,

Λύση: Χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετασχηματισμού Laplace, μετακινούμαστε από τα πρωτότυπα στις αντίστοιχες εικόνες. Λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες :

Δεν υπάρχουν προβλήματα ούτε με τη δεξιά πλευρά:

(Θυμηθείτε ότι οι σταθερές πολλαπλασιαστή αγνοούνται)

Ας αντικαταστήσουμε τις προκύπτουσες εικόνες στην αρχική εξίσωση και ας εκτελέσουμε τυπικές ενέργειες, τις οποίες, ελπίζω, να έχετε ήδη λειτουργήσει καλά:

Παίρνουμε τη σταθερά στον παρονομαστή έξω από το κλάσμα, το κύριο πράγμα είναι να μην το ξεχάσουμε αργότερα:

Σκεφτόμουν αν θα προσθέσω δύο επιπλέον από τον αριθμητή, ωστόσο, αφού έκανα τον απολογισμό, κατέληξα στο συμπέρασμα ότι αυτό το βήμαπρακτικά δεν θα απλοποιήσει την περαιτέρω λύση.

Η ιδιαιτερότητα της εργασίας είναι το κλάσμα που προκύπτει. Φαίνεται ότι η αποσύνθεσή του θα είναι μακρά και δύσκολη, αλλά τα φαινόμενα απατούν. Φυσικά, υπάρχουν δύσκολα πράγματα, αλλά σε κάθε περίπτωση - προς τα εμπρός, χωρίς φόβο και αμφιβολία:

Το γεγονός ότι ορισμένες πιθανότητες αποδείχθηκαν κλασματικές δεν πρέπει να προκαλεί σύγχυση. Αν δεν απέτυχε η τεχνολογία των υπολογιστών. Επιπλέον, υπάρχει πάντα η ευκαιρία να ελέγξετε την απάντηση.

Ως αποτέλεσμα, η λύση χειριστή είναι:

Ας περάσουμε από τις εικόνες στα αντίστοιχα πρωτότυπα:

Έτσι, μια συγκεκριμένη λύση:

Ο λειτουργικός λογισμός είναι ένα από τα κεφάλαια της σύγχρονης μαθηματικής ανάλυσης. Ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός Laplace και ο λειτουργικός λογισμός που χτίστηκε στη βάση του είναι μια αποτελεσματική συσκευή για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (τόσο συνηθισμένων όσο και μερικών παραγώγων), διαφορικών διαφορών και ολοκληρωτικών εξισώσεων, στις οποίες μειώνονται προβλήματα στην ηλεκτρική μηχανική, τη ραδιομηχανική, την ηλεκτρονική, τη θεωρία αυτόματη ρύθμιση, της θερμικής μηχανικής, της μηχανικής και άλλων τομέων της επιστήμης και της τεχνολογίας. Σημειώστε ότι ο λειτουργικός λογισμός βασίζεται επίσης σε άλλους μετασχηματισμούς, για παράδειγμα, Fourier, Hankel, Mellin κ.λπ.

Ιδέα εφαρμογής μέθοδος λειτουργίαςείναι όπως ακολουθεί. Έστω ότι απαιτείται να βρεθεί μια συνάρτηση από κάποια εξίσωση που περιέχει αυτή τη συνάρτηση κάτω από το πρόσημο των παραγώγων και των ολοκληρωμάτων. Από την επιθυμητή συνάρτηση (ονομάζεται πρωτότυπη) περνούν σε μια άλλη συνάρτηση (λέγεται εικόνα), η οποία είναι το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού. Σύμφωνα με τους κανόνες του λειτουργικού λογισμού, οι πράξεις στο πρωτότυπο αντικαθίστανται από αντίστοιχες πράξεις στην εικόνα, οι οποίες είναι απλούστερες. Για παράδειγμα, η διαφοροποίηση αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό με, η ολοκλήρωση αντιστοιχεί στη διαίρεση με Rκαι τα λοιπά. Αυτό σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από μια σύνθετη εξίσωση σε σχέση με μια απλούστερη εξίσωση σε σχέση με , που ονομάζεται τελεστής. για παράδειγμα, από μια διαφορική εξίσωση σε μια αλγεβρική. Έχοντας λύσει την εξίσωση του χειριστή, μετακινούνται από την εικόνα στην αρχική - την επιθυμητή συνάρτηση. Επομένως, η επίλυση του προβλήματος με τη χρήση της επιχειρησιακής μεθόδου συνδέεται με δύο στάδια. βρίσκοντας μια εικόνα της επιθυμητής λύσης και επιστρέφοντας στην αρχική.

Η χρήση της λειτουργικής μεθόδου μπορεί να συγκριθεί με τον λογάριθμο, κάτι που επιτρέπει σύνθετες ενέργειεςυπεράνω αριθμών αντικαθιστούν περισσότερα απλές ενέργειεςπάνω από τους λογάριθμους τους, μετά από τον οποίο μετακινούνται και πάλι από τον λογάριθμο που βρέθηκε στον επιθυμητό αριθμό. Εδώ τον ρόλο των πρωτοτύπων παίζουν οι αριθμοί και ο ρόλος των εικόνων είναι οι λογάριθμοί τους.

1.1. Πρωτότυπο και εικόνα

Αφήνω να είναι μια πραγματική συνάρτηση ενός πραγματικού ορίσματος, που ορίζεται για οποιοδήποτε .

Ορισμός. Θα ονομάσουμε μια συνάρτηση πρωτότυπη εάν πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις.

1. – τμηματικά συνεχής λειτουργία για ; Αυτό σημαίνει ότι είτε είναι συνεχές είτε έχει σημεία ασυνέχειας του πρώτου είδους, ο αριθμός των οποίων είναι πεπερασμένος σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα.

2. στο ;

3. μπορεί να αυξηθεί με την αύξηση, αλλά όχι πιο γρήγορα από κάποια εκθετικη συναρτηση. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί και ότι ισχύει για όλους , ο αριθμός ονομάζεται εκθέτης ανάπτυξης της συνάρτησης. (Για περιορισμένες λειτουργίες μπορεί να γίνει δεκτό).

Ας δούμε αυτές τις συνθήκες λίγο πιο αναλυτικά. Οι συνθήκες 1 και 3 ικανοποιούνται για τις περισσότερες συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε φυσικές διεργασίες στις οποίες tκατανοητή ως χρόνος. Η συνθήκη 2 δικαιολογείται από το γεγονός ότι κατά τη μελέτη μιας διαδικασίας, δεν έχει σημασία πώς συμπεριφέρονται οι υπό εξέταση συναρτήσεις μέχρι μια ορισμένη αρχική χρονική στιγμή, η οποία, φυσικά, μπορεί να ληφθεί ως η στιγμή .

Σε σχέση με τη συνθήκη 2, στην επόμενη παρουσίαση, όπου χρειάζεται, θα γράψουμε για συντομία μόνο την έκφραση που έχει για , υπονοώντας ότι για . Για παράδειγμα, η καταχώριση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: .

Ομοίως, αν δοθεί μια έκφραση, όπου , τότε ισχύει μόνο για , ενώ για τη συνάρτηση .

Σημειώστε ότι εάν μια συνάρτηση δεν ικανοποιεί τουλάχιστον μία από αυτές τις τρεις προϋποθέσεις, τότε δεν είναι πρωτότυπη. Έτσι, η συνθήκη 1 παραβιάζεται για τη συνάρτηση (σε ένα σημείο υφίσταται ασυνέχεια δεύτερου είδους), η συνθήκη 3 δεν ικανοποιείται για τη συνάρτηση (αυξάνεται πιο γρήγορα από την εκθετική συνάρτηση). Επομένως, αυτές οι λειτουργίες δεν μπορούν να είναι πρωτότυπες.

Σημειώστε επίσης ότι δεν είναι απαραίτητο να θεωρήσετε το πρωτότυπο ως πραγματική συνάρτηση. Η συνάρτηση μπορεί επίσης να έχει σύνθετη τιμή, π.χ. μοιάζει . Στην περίπτωση αυτή, το πραγματικό και το φανταστικό μέρος πρέπει να είναι πρωτότυπα, δηλ. πληρούν τις προϋποθέσεις 1, 2, 3.

Ορισμός. Η εικόνα μιας συνάρτησης - η αρχική - ονομάζεται συνάρτηση μιας σύνθετης μεταβλητής που ορίζεται από το ολοκλήρωμα

. (1.1)

Το ακατάλληλο ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά της ισότητας (1.1), που ονομάζεται ολοκλήρωμα Laplace, εξαρτάται από την παράμετρο .

Έτσι, η συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής συνδέεται με τη συνάρτηση μιας σύνθετης μεταβλητής.

Η σχέση (1.1) μετατρέπει μια συνάρτηση σε μια άλλη. Ονομάζεται η λειτουργία μετάβασης από το πρωτότυπο στην εικόνα σύμφωνα με τον τύπο (1.1). Μετασχηματισμός Laplace, ή άμεσο μετασχηματισμό Laplace.

Το ότι υπάρχει εικόνα (λέγουν και εικόνα κατά τον Λαπλάς) γράφεται συμβολικά ως εξής:

.

Η εύρεση του πρωτοτύπου από μια εικόνα ονομάζεται αντιστρέφοντας τον μετασχηματισμό Laplace, ή τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace. συμβολίζεται με το σύμβολο .

Συμφωνήσαμε να ορίσουμε τα πρωτότυπα με μικρά γράμματα και οι εικόνες τους είναι κατάλληλες με κεφαλαία γράμματα ή τα ίδια γράμματα με τα πρωτότυπα, αλλά με παύλες στην κορυφή: .

1.2. Παραδείγματα υπολογισμού εικόνας

Ας δώσουμε παραδείγματα υπολογισμού μιας εικόνας σύμφωνα με τον Laplace, με βάση τον ορισμό της.

1.2.1. Η συνάρτηση Heaviside και η εικόνα της.

Ας βρούμε την εικόνα της συνάρτησης Heaviside χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.1), βάζοντας σε αυτήν:

Το τελευταίο συμπέρασμα μπορεί να γίνει μόνο αν . Ας δείξουμε ότι αυτό είναι αλήθεια. Σύμφωνα με τον τύπο του Euler έχουμε:

Επειτα

και ούτω καθεξής. . Επομένως, το πρωτότυπο. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.1) βρίσκουμε

Αυτό ισχύει μόνο . Το τελευταίο πραγματοποιείται, όπως φάνηκε στο προηγούμενο παράδειγμα, όταν , σε διαφορετική περίπτωση . Ετσι,

. (1.3)

Το πρόβλημα τίθεται ως εξής: δίνοντας μια συνάρτηση F(p), πρέπει να βρούμε μια συνάρτηση /( της οποίας η εικόνα είναι F(p). Ας διατυπώσουμε συνθήκες επαρκείς για να εξυπηρετήσει η συνάρτηση F(p) μιας σύνθετης μεταβλητής p ως εικόνα Θεώρημα 12. Αν η αναλυτική στη συνάρτηση ημιεπίπεδου F(p) 1) τείνει στο μηδέν όπως σε κάθε ημιεπίπεδο Rep = a > s0 ομοιόμορφα ως προς το arg Βρίσκοντας το πρωτότυπο από την εικόνα 2) το ολοκλήρωμα. Το a-xu συγκλίνει απόλυτα, τότε το F(p) είναι η εικόνα κάποιας αρχικής συνάρτησης f(t ). Καθήκοντα*. Μπορεί η συνάρτηση F(p) = ^ να χρησιμεύσει ως εικόνα κάποιας αρχικής συνάρτησης; Θα υποδείξουμε μερικούς τρόπους για να βρείτε το πρωτότυπο από μια εικόνα. 3.1. Εύρεση του πρωτοτύπου χρησιμοποιώντας πίνακες εικόνων Πρώτα απ 'όλα, αξίζει να φέρετε τη συνάρτηση F(p) σε μια απλούστερη, "πίνακα" μορφή. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που η F(p) είναι μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση του ορίσματος p, αποσυντίθεται σε στοιχειώδη κλάσματα και χρησιμοποιούνται οι κατάλληλες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. Παράδειγμα 1. Βρείτε το πρωτότυπο για Γράφουμε τη συνάρτηση F(p) στη μορφή Χρησιμοποιώντας το θεώρημα μετατόπισης και την ιδιότητα γραμμικότητας του μετασχηματισμού Laplace, λαμβάνουμε το Παράδειγμα 2. Βρείτε το πρωτότυπο για τη συνάρτηση M Γράφουμε F(p) στο η μορφή Ως εκ τούτου / 3.2. Χρήση του θεωρήματος της αντιστροφής και των συνεπειών του Θεώρημα 13 (αντιστροφή). /Συνάρτηση Gauche fit) είναι η αρχική συνάρτηση με εκθέτη αύξησης s0 και F(p) είναι η εικόνα της, τότε σε οποιοδήποτε σημείο της συνέχειας της συνάρτησης f(t) η σχέση ικανοποιείται όπου το ολοκλήρωμα λαμβάνεται κατά μήκος οποιασδήποτε ευθείας γραμμής και είναι κατανοητή με την έννοια της κύριας τιμής, δηλ. ως Τύπος (1) ονομάζεται τύπος αντιστροφής μετασχηματισμού Laplace, ή τύπος Mellin. Στην πραγματικότητα, έστω, για παράδειγμα, το f(t) τμηματικά ομαλό σε κάθε πεπερασμένο τμήμα)