Μέθοδος Lagrange (μεταβολή σταθεράς). Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Μοντελοποίηση δυναμικών συστημάτων (μέθοδος Lagrange και προσέγγιση γραφήματος Bond)
|
Μέθοδος Lagrange─ είναι μια μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος περιορισμένης βελτιστοποίησης στο οποίο οι περιορισμοί, γραμμένοι ως άρρητες συναρτήσεις, συνδυάζονται με μια αντικειμενική συνάρτηση με τη μορφή μιας νέας εξίσωσης που ονομάζεται Λαγκραντζιανός.
Ας εξετάσουμε μια ειδική περίπτωση του γενικού προβλήματος μη γραμμικού προγραμματισμού:
Δίνεται ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Βρείτε τη μικρότερη (ή μεγαλύτερη) τιμή της συνάρτησης (2)
(2) f (x1,x2,…,xn),
αν δεν υπάρχουν προϋποθέσεις για τις μεταβλητές να είναι μη αρνητικές και οι f(x1,x2,…,xn) και gi(x1,x2,…,xn) είναι συναρτήσεις που είναι συνεχείς μαζί με τις μερικές παραγώγους τους.
Για να βρείτε μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να εφαρμόσετε την ακόλουθη μέθοδο: 1. Εισαγάγετε ένα σύνολο μεταβλητών λ1, λ2,…, λm, που ονομάζονται πολλαπλασιαστές Lagrange, συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange (3).
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Να βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης Lagrange ως προς τις μεταβλητές xi και λi και να τις εξισώσετε με μηδέν.
3. Λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων βρίσκουν σημεία στα οποία η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος μπορεί να έχει ακρότατο.
4. Ανάμεσα στα σημεία που είναι ύποπτα και όχι άκρο, βρείτε εκείνα στα οποία επιτυγχάνεται το άκρο και υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία .
4. Συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές της συνάρτησης f και επιλέξτε την καλύτερη.
Σύμφωνα με το σχέδιο παραγωγής, η εταιρεία χρειάζεται να παράγει 180 προϊόντα. Αυτά τα προϊόντα μπορούν να κατασκευαστούν με δύο τεχνολογικούς τρόπους. Κατά την παραγωγή προϊόντων x1 με τη μέθοδο Ι, το κόστος είναι 4*x1+x1^2 ρούβλια και κατά την παραγωγή προϊόντων x2 με τη μέθοδο II, είναι 8*x2+x2^2 ρούβλια. Προσδιορίστε πόσα προϊόντα πρέπει να παραχθούν χρησιμοποιώντας κάθε μέθοδο, ώστε το συνολικό κόστος παραγωγής να είναι ελάχιστο.
Λύση: Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος συνίσταται στον προσδιορισμό της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, παρέχεται x1 +x2 = 180.
Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Ας υπολογίσουμε τις μερικές παράγωγές του ως προς τα x1, x2, λ και ας τις εξισώσουμε με 0:
Ας μετακινήσουμε το λ στις δεξιές πλευρές των δύο πρώτων εξισώσεων και ας εξισώσουμε τις αριστερές τους πλευρές, παίρνουμε 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, ή x1 − x2 = 2.
Λύνοντας την τελευταία εξίσωση μαζί με την εξίσωση x1 + x2 = 180, βρίσκουμε x1 = 91, x2 = 89, δηλαδή έχουμε μια λύση που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις:
Ας βρούμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης f για αυτές τις τιμές των μεταβλητών:
F(x1, x2) = 17278
Αυτό το σημείο είναι ύποπτο για ένα ακραίο σημείο. Χρησιμοποιώντας δεύτερες μερικές παραγώγους, μπορούμε να δείξουμε ότι στο σημείο (91.89) η συνάρτηση f έχει ελάχιστο.
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)
συνίσταται στην αντικατάσταση αυθαίρετων σταθερών ck στη γενική λύση
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...
Cnzn(t)
αντίστοιχη ομοιογενής εξίσωση
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
στις βοηθητικές συναρτήσεις ck(t), των οποίων οι παράγωγοι ικανοποιούν το γραμμικό αλγεβρικό σύστημα
Η ορίζουσα του συστήματος (1) είναι η Wronskian των συναρτήσεων z1,z2,...,zn, που εξασφαλίζει τη μοναδική επιλυσιμότητα του ως προς το .
Εάν είναι αντιπαράγωγα για , λαμβάνονται σε σταθερές τιμές των σταθερών ολοκλήρωσης, τότε η συνάρτηση
είναι μια λύση στην αρχική γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση. Η ολοκλήρωση μιας ανομοιογενούς εξίσωσης παρουσία μιας γενικής λύσης στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση μειώνεται έτσι σε τετράγωνα.
Μέθοδος Lagrange (μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών)
Μια μέθοδος για τη λήψη μιας γενικής λύσης σε μια ανομοιογενή εξίσωση, γνωρίζοντας τη γενική λύση μιας ομογενούς εξίσωσης χωρίς να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση.
Για γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση νης τάξης
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,
όπου y = y(x) είναι άγνωστη συνάρτηση, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) είναι γνωστά, συνεχής, αληθής: 1) υπάρχουν n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις εξισώσεις y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) για οποιεσδήποτε τιμές των σταθερών c1, c2, ..., cn, η συνάρτηση y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) είναι λύση της εξίσωσης? 3) για οποιεσδήποτε αρχικές τιμές x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 υπάρχουν τιμές c*1, c*n, ..., c*n έτσι ώστε η λύση y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) ικανοποιεί στο x = x0 τις αρχικές συνθήκες y*(x0)=y0, (y *)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Η έκφραση y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ονομάζεται γενική λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης νης τάξης.
Το σύνολο των n γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης νης τάξης y1(x), y2(x), ..., yn(x) ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα λύσεων της εξίσωσης.
Για μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, υπάρχει ένας απλός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός θεμελιώδους συστήματος λύσεων. Θα αναζητήσουμε λύση της εξίσωσης με τη μορφή y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, δηλαδή ο αριθμός l είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης ln + a1ln-1 + . .. + an-1l + an = 0. Η αριστερή πλευρά της χαρακτηριστικής εξίσωσης ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Έτσι, το πρόβλημα της επίλυσης μιας γραμμικής ομοιογενούς εξίσωσης nης τάξης με σταθερούς συντελεστές ανάγεται στην επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης.
Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει n διαφορετικές πραγματικές ρίζες l1№ l2 № ... № ln, τότε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων αποτελείται από τις συναρτήσεις y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), και η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης είναι: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).
ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων και μια γενική λύση για την περίπτωση των απλών πραγματικών ριζών.
Εάν κάποια από τις πραγματικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης επαναλαμβάνεται r φορές (r-πολλαπλή ρίζα), τότε στο θεμελιώδες σύστημα λύσεων υπάρχουν r συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε αυτήν. αν lk=lk+1 = ... = lk+r-1, τότε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων της εξίσωσης περιλαμβάνει r συναρτήσεις: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx ), yk +2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Βασικό σύστημα λύσεων και γενική λύση για την περίπτωση πολλαπλών πραγματικών ριζών.
Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μιγαδικές ρίζες, τότε κάθε ζεύγος απλών (με πολλαπλότητα 1) μιγαδικών ριζών lk,k+1=ak ± ibk στο θεμελιώδες σύστημα λύσεων αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος συναρτήσεων yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Βασικό σύστημα λύσεων και γενική λύση για την περίπτωση απλών μιγαδικών ριζών. Φανταστικές ρίζες.
Αν ένα μιγαδικό ζεύγος ριζών έχει πολλαπλότητα r, τότε ένα τέτοιο ζεύγος lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, στο θεμελιώδες σύστημα λύσεων αντιστοιχεί στις συναρτήσεις exp(akx)cos( bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Βασικό σύστημα λύσεων και γενική λύση για την περίπτωση πολλαπλών μιγαδικών ριζών.
Έτσι, για να βρεθεί μια γενική λύση σε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, θα πρέπει: να γράψετε τη χαρακτηριστική εξίσωση. βρείτε όλες τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης l1, l2, ... , ln; γράψτε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων y1(x), y2(x), ..., yn(x); γράψτε την παράσταση για τη γενική λύση y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Για να λύσετε το πρόβλημα Cauchy, πρέπει να αντικαταστήσετε την έκφραση για τη γενική λύση στις αρχικές συνθήκες και να προσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών c1,..., cn, οι οποίες είναι λύσεις στο σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων c1 y1( x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn (x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) =y0 ,1, ......... , c1 y1 (n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1
Για γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση νης τάξης
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),
όπου y = y(x) είναι άγνωστη συνάρτηση, οι a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) είναι γνωστές, συνεχείς, έγκυρες: 1 ) αν τα y1(x) και y2(x) είναι δύο λύσεις μιας μη ομογενούς εξίσωσης, τότε η συνάρτηση y(x) = y1(x) - y2(x) είναι λύση στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση. 2) αν το y1(x) είναι λύση μιας ανομοιογενούς εξίσωσης και το y2(x) είναι μια λύση στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση, τότε η συνάρτηση y(x) = y1(x) + y2(x) είναι λύση σε η ανομοιογενής εξίσωση? 3) αν τα y1(x), y2(x), ..., yn(x) είναι n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις μιας ομοιογενούς εξίσωσης και το ych(x) είναι μια αυθαίρετη λύση μιας ανομοιογενούς εξίσωσης, τότε για τυχόν αρχικές τιμές x0, y0, y0 ,1, ..., y0,n-1 υπάρχουν τιμές c*1, c*n, ..., c*n τέτοιες ώστε η λύση y*(x)=c *1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) ικανοποιεί στο x = x0 τις αρχικές συνθήκες y*(x0)=y0, (y* )"(x0)=y0,1, . ..,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Η έκφραση y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) ονομάζεται γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης νης τάξης.
Να βρούμε μερικές λύσεις ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές με τις δεξιές πλευρές της μορφής: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), όπου Pk(x) ), Qm(x ) είναι πολυώνυμα βαθμού k και m, αντίστοιχα, υπάρχει ένας απλός αλγόριθμος για την κατασκευή μιας συγκεκριμένης λύσης, που ονομάζεται μέθοδος επιλογής.
Η μέθοδος επιλογής, ή η μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών, είναι η εξής. Η απαιτούμενη λύση της εξίσωσης γράφεται με τη μορφή: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, όπου Pr(x), Qr(x ) είναι πολυώνυμα βαθμού r = max(k, m) με άγνωστους συντελεστές pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Ο παράγοντας xs ονομάζεται συντελεστής συντονισμού. Συντονισμός εμφανίζεται σε περιπτώσεις όπου μεταξύ των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης υπάρχει ρίζα l =a ± ib πολλαπλότητας s. Εκείνοι. εάν μεταξύ των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης υπάρχει μία τέτοια που το πραγματικό της μέρος συμπίπτει με τον συντελεστή στον εκθέτη του εκθέτη και το φανταστικό μέρος συμπίπτει με τον συντελεστή στο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης στα δεξιά πλευρά της εξίσωσης, και η πολλαπλότητα αυτής της ρίζας είναι s, τότε στην επιθυμητή συγκεκριμένη λύση υπάρχει ένας συντονισμένος παράγοντας xs. Εάν δεν υπάρχει τέτοια σύμπτωση (s=0), τότε δεν υπάρχει συντελεστής συντονισμού.
Αντικαθιστώντας την έκφραση για μια συγκεκριμένη λύση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, λαμβάνουμε ένα γενικευμένο πολυώνυμο της ίδιας μορφής με το πολυώνυμο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, οι συντελεστές του οποίου είναι άγνωστοι.
Δύο γενικευμένα πολυώνυμα είναι ίσα αν και μόνο αν οι συντελεστές των παραγόντων της μορφής xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) με τις ίδιες δυνάμεις t είναι ίσοι. Εξισώνοντας τους συντελεστές τέτοιων παραγόντων, προκύπτει ένα σύστημα 2(r+1) γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων για 2(r+1) αγνώστους. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα τέτοιο σύστημα είναι συνεπές και έχει μια μοναδική λύση.
Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός ακραίου υπό όρους ξεκινά με την κατασκευή μιας βοηθητικής συνάρτησης Lagrange, η οποία στην περιοχή των εφικτών λύσεων φτάνει στο μέγιστο για τις ίδιες τιμές μεταβλητών Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n , η οποία είναι ίδια με την αντικειμενική συνάρτηση z . Αφήστε να λυθεί το πρόβλημα του προσδιορισμού του ακραίου υπό όρους της συνάρτησης z = f(X) υπό περιορισμούς φ Εγώ ( Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n ) = 0, Εγώ = 1, 2, ..., Μ , Μ < n
Ας συνθέσουμε μια συνάρτηση
η οποία ονομάζεται Λειτουργία Lagrange. Χ , - σταθεροί παράγοντες ( Πολλαπλασιαστές Lagrange). Σημειώστε ότι στους πολλαπλασιαστές Lagrange μπορεί να δοθεί οικονομική σημασία. Αν f(x 1 , Χ 2 , ..., Χ n ) - εισόδημα σύμφωνα με το πρόγραμμα X = (x 1 , Χ 2 , ..., Χ n ) και τη συνάρτηση φ Εγώ (Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n ) - κόστος του i-ου πόρου που αντιστοιχεί σε αυτό το σχέδιο, λοιπόν Χ , είναι η τιμή (εκτίμηση) του i-ου πόρου, που χαρακτηρίζει τη μεταβολή της ακραίας τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης ανάλογα με τη μεταβολή του μεγέθους του i-ου πόρου (οριακή εκτίμηση). L(X) - λειτουργία n+m μεταβλητές (Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Ο προσδιορισμός των ακίνητων σημείων αυτής της συνάρτησης οδηγεί στην επίλυση του συστήματος των εξισώσεων
|
|
Είναι εύκολο να το δεις αυτό
. Έτσι, το έργο της εύρεσης του ακραίου υπό όρους της συνάρτησης z = f(X)
ανάγεται στην εύρεση του τοπικού άκρου της συνάρτησης L(X)
. Εάν βρεθεί ένα ακίνητο σημείο, τότε το ζήτημα της ύπαρξης άκρου στις απλούστερες περιπτώσεις επιλύεται με βάση επαρκείς προϋποθέσεις για το άκρο - μελετώντας το πρόσημο του δεύτερου διαφορικού ρε
2
L(X)
σε ακίνητο σημείο, με την προϋπόθεση ότι η μεταβλητή αυξάνεται Δx
Εγώ
- συνδέονται με σχέσεις
|
|
που προκύπτει με διαφοροποίηση των εξισώσεων σύζευξης.
Επίλυση συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων σε δύο αγνώστους με χρήση του εργαλείου Solution Finder
Ρυθμίσεις Εύρεση λύσηςσας επιτρέπει να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα:
Οπου 
- μη γραμμική συνάρτηση μεταβλητών Χ
Και
y
,
- αυθαίρετη σταθερά.
Είναι γνωστό ότι το ζευγάρι ( Χ , y ) είναι μια λύση στο σύστημα των εξισώσεων (10) εάν και μόνο εάν είναι μια λύση στην ακόλουθη εξίσωση με δύο αγνώστους:
ΜΕΑπό την άλλη πλευρά, η λύση στο σύστημα (10) είναι τα σημεία τομής δύο καμπυλών: φά ] (Χ, y) = ντο Και φά 2 (x, y) = C 2 στην επιφάνεια XOΥ.
Αυτό οδηγεί σε μια μέθοδο για την εύρεση των ριζών του συστήματος. μη γραμμικές εξισώσεις:
Προσδιορίστε (τουλάχιστον κατά προσέγγιση) το διάστημα ύπαρξης μιας λύσης στο σύστημα των εξισώσεων (10) ή της εξίσωσης (11). Εδώ είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο τύπος των εξισώσεων που περιλαμβάνονται στο σύστημα, ο τομέας ορισμού καθεμιάς από τις εξισώσεις τους κ.λπ. Μερικές φορές χρησιμοποιείται η επιλογή μιας αρχικής προσέγγισης της λύσης.
Καταγράψτε τη λύση της εξίσωσης (11) για τις μεταβλητές x και y στο επιλεγμένο διάστημα ή κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων φά 1 (Χ, y) = C, και φά 2 (x,y) = C 2 (σύστημα(10)).
Εντοπίστε τις υποτιθέμενες ρίζες του συστήματος εξισώσεων - βρείτε πολλές ελάχιστες τιμές από τον πίνακα που καταγράφει τις ρίζες της εξίσωσης (11) ή προσδιορίστε τα σημεία τομής των καμπυλών που περιλαμβάνονται στο σύστημα (10).
4. Βρείτε τις ρίζες για το σύστημα των εξισώσεων (10) χρησιμοποιώντας το πρόσθετο Εύρεση λύσης.
Ταξινόμηση προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
Ερωτήσεις δοκιμής για την ενότητα 4
Σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος των μεταφορών
Ας απαριθμήσουμε τα κύρια στάδια επίλυσης του προβλήματος των μεταφορών.
1. Ελέγξτε την κλειστή κατάσταση. Εάν η εργασία είναι ανοιχτή, ο πίνακας μεταφοράς συμπληρώνεται είτε με μια στήλη πλασματικού σημείου κατανάλωσης είτε με μια σειρά πλασματικού προμηθευτή.
2. Κατασκευάστε ένα σχέδιο αναφοράς.
3. Ελέγξτε το σχέδιο υποστήριξης για μη εκφυλισμό. Εάν δεν υπάρχει αρκετό κατειλημμένο κελί για να ικανοποιηθεί η συνθήκη μη εκφυλισμού, ένα από τα κελιά του πίνακα μεταφοράς γεμίζει με παροχή ίση με μηδέν. Εάν είναι απαραίτητο, επιτρέπεται η καταγραφή μηδενικών παραδόσεων σε πολλά κελιά.
4. Το σχέδιο ελέγχεται ως προς τη βέλτιστη.
5. Εάν δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις βελτιστοποίησης, προχωρήστε στο επόμενο σχέδιο ανακατανέμοντας τις προμήθειες. Η υπολογιστική διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να επιτευχθεί το βέλτιστο σχέδιο.
1. Ποια είναι η έννοια της αντικειμενικής συνάρτησης στο μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς;
2.Ποια είναι η έννοια των περιορισμών στο μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος των μεταφορών;
3. Είναι δυνατόν να εφαρμοστεί η πιθανή μέθοδος για την επίλυση ενός ανοιχτού (μη κλειστού) προβλήματος μεταφοράς;
4.Ποιες αλλαγές πρέπει να γίνουν στον αρχικό πίνακα μεταφοράς ώστε το πρόβλημα να λυθεί με την πιθανή μέθοδο;
5. Ποια είναι η ουσία της μεθόδου ελάχιστου στοιχείου; Ποιο στάδιο επίλυσης του μεταφορικού προβλήματος θα ολοκληρωθεί ως αποτέλεσμα της εφαρμογής αυτής της μεθόδου;
6. Πώς ξέρετε εάν το σχέδιο μεταφοράς είναι το βέλτιστο;
7. Σε ποια περίπτωση και πώς είναι απαραίτητη η ανακατανομή των προμηθειών όσον αφορά τη μεταφορά;
8. Ας υποθέσουμε ότι το κατασκευασμένο σχέδιο μεταφοράς είναι εκφυλισμένο. Είναι δυνατόν να συνεχιστεί η επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιώντας την πιθανή μέθοδο και τι πρέπει να γίνει για αυτό;
Το γενικό πρόβλημα μαθηματικού προγραμματισμού διατυπώθηκε στην Ενότητα 1.1. Ανάλογα με τον τύπο των συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στο μοντέλο (1.1)-(1.3), το πρόβλημα ταξινομείται ως ένας ή ο άλλος τύπος μαθηματικού προγραμματισμού. Υπάρχουν γραμμικός προγραμματισμός (όλες οι συναρτήσεις είναι γραμμικές), ακέραιος (η λύση αντιπροσωπεύεται από ακέραιους αριθμούς), τετραγωνικός (η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνική μορφή), μη γραμμικός (τουλάχιστον μία από τις συναρτήσεις του προβλήματος είναι μη γραμμική) και στοχαστικός προγραμματισμός ( περιλαμβάνονται παράμετροι που έχουν πιθανολογικό χαρακτήρα).
Η κατηγορία των προβλημάτων μη γραμμικού προγραμματισμού είναι ευρύτερη από την κατηγορία των γραμμικών μοντέλων. Για παράδειγμα, το κόστος παραγωγής στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι ανάλογο με τον όγκο της παραγωγής, αλλά εξαρτάται από αυτό μη γραμμικά, το εισόδημα από την πώληση προϊόντων παραγωγής αποδεικνύεται ότι είναι μια μη γραμμική συνάρτηση των τιμών κ.λπ. Τα κριτήρια στα προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού είναι συχνά το μέγιστο κέρδος, το ελάχιστο κόστος και το ελάχιστο κόστος κεφαλαίου. Οι μεταβλητές ποσότητες είναι οι όγκοι παραγωγής διαφόρων τύπων προϊόντων. Οι περιορισμοί περιλαμβάνουν λειτουργίες παραγωγής που χαρακτηρίζουν τη σχέση μεταξύ της παραγωγής προϊόντος και του κόστους της εργασίας και των υλικών πόρων, ο όγκος των οποίων είναι περιορισμένος.
Σε αντίθεση με τον γραμμικό προγραμματισμό, ο οποίος χρησιμοποιεί μια καθολική μέθοδο λύσης (η μέθοδος simplex), για την επίλυση μη γραμμικών προβλημάτων υπάρχει μια ολόκληρη σειρά μεθόδων ανάλογα με τη μορφή των συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στο μοντέλο. Από την ποικιλία των μεθόδων, θα εξετάσουμε μόνο δύο: τη μέθοδο Lagrange και τη μέθοδο δυναμικού προγραμματισμού.
ΜΕΗ ουσία της μεθόδου Lagrange είναι η μείωση του προβλήματος του ακραίου υπό όρους στην επίλυση του προβλήματος του ακραίου χωρίς όρους. Εξετάστε το μοντέλο μη γραμμικού προγραμματισμού:
(5.2)
Οπου 
– γνωστές λειτουργίες,
ΕΝΑ 
– δεδομένους συντελεστές.
Σημειώστε ότι σε αυτή τη διατύπωση του προβλήματος, οι περιορισμοί καθορίζονται από ισότητες και δεν υπάρχει προϋπόθεση οι μεταβλητές να είναι μη αρνητικές. Επιπλέον, πιστεύουμε ότι οι λειτουργίες είναι συνεχείς με τις πρώτες μερικές παραγώγους τους.
Ας μετατρέψουμε τις συνθήκες (5.2) έτσι ώστε στην αριστερή ή δεξιά πλευρά των ισοτήτων να υπάρχει μηδέν:
(5.3)
Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange. Περιλαμβάνει την αντικειμενική συνάρτηση (5.1) και τις δεξιές πλευρές των περιορισμών (5.3), που λαμβάνονται αντίστοιχα με τους συντελεστές 
. Θα υπάρχουν τόσοι συντελεστές Lagrange όσοι και περιορισμοί στο πρόβλημα.
Τα ακραία σημεία της συνάρτησης (5.4) είναι τα ακραία σημεία του αρχικού προβλήματος και αντίστροφα: το βέλτιστο σχέδιο προβλήματος (5.1)-(5.2) είναι το παγκόσμιο ακρότατο σημείο της συνάρτησης Lagrange.
Πράγματι, ας βρεθεί μια λύση 
προβλήματα (5.1)-(5.2), τότε οι προϋποθέσεις (5.3) ικανοποιούνται. Ας αντικαταστήσουμε το σχέδιο στη συνάρτηση (5.4) και επαληθεύστε την εγκυρότητα της ισότητας (5.5).
Έτσι, για να βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο για το αρχικό πρόβλημα, είναι απαραίτητο να εξεταστεί η συνάρτηση Lagrange για το άκρο. Η συνάρτηση έχει ακραίες τιμές σε σημεία όπου οι μερικές παράγωγοί της είναι ίσες μηδέν. Τέτοια σημεία λέγονται ακίνητος.
Ας ορίσουμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης (5.4)
,
.
Μετά την ισοφάριση μηδένπαράγωγα παίρνουμε το σύστημα m+nεξισώσεις με m+nάγνωστος
, (5.6)
Στη γενική περίπτωση, το σύστημα (5.6)-(5.7) θα έχει πολλές λύσεις, οι οποίες θα περιλαμβάνουν όλα τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης Lagrange. Για να τονιστεί το συνολικό μέγιστο ή ελάχιστο, οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης υπολογίζονται σε όλα τα σημεία που βρέθηκαν. Η μεγαλύτερη από αυτές τις τιμές θα είναι το καθολικό μέγιστο και η μικρότερη θα είναι το συνολικό ελάχιστο. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατή η χρήση επαρκείς προϋποθέσεις για ένα αυστηρό εξτρέμσυνεχείς συναρτήσεις (βλ. Πρόβλημα 5.2 παρακάτω):
ας είναι η συνάρτηση συνεχής και δύο φορές διαφορίσιμη σε κάποια γειτονιά του ακίνητου σημείου της (δηλ. )). Επειτα:
ΕΝΑ) Αν ,(5.8)
τότε είναι το αυστηρό μέγιστο σημείο της συνάρτησης.
σι)Αν ,(5.9)
τότε είναι το αυστηρό ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.
σολ ) Αν ,
τότε το ζήτημα της παρουσίας ενός εξτρέμ παραμένει ανοιχτό.
Επιπλέον, ορισμένες λύσεις του συστήματος (5.6)-(5.7) μπορεί να είναι αρνητικές. Κάτι που δεν συνάδει με την οικονομική σημασία των μεταβλητών. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να εξετάσετε το ενδεχόμενο να αντικαταστήσετε τις αρνητικές τιμές με μηδενικές τιμές.
Οικονομική σημασία των πολλαπλασιαστών Lagrange.Βέλτιστη τιμή πολλαπλασιαστή 
δείχνει πόσο θα αλλάξει η τιμή του κριτηρίου Ζόταν ο πόρος αυξάνεται ή μειώνεται ικατά μία μονάδα, αφού
Η μέθοδος Lagrange μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση που οι περιορισμοί είναι ανισότητες. Έτσι, βρίσκοντας το άκρο της συνάρτησης 
υπο προυποθεσεις
,
πραγματοποιούνται σε διάφορα στάδια:
1. Να προσδιορίσετε ακίνητα σημεία της αντικειμενικής συνάρτησης, για τα οποία λύνουν σύστημα εξισώσεων
.
2. Από τα ακίνητα σημεία επιλέξτε εκείνα των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τις προϋποθέσεις
3. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Lagrange, λύστε το πρόβλημα με περιορισμούς ισότητας (5.1)-(5.2).
4. Τα σημεία που βρέθηκαν στο δεύτερο και το τρίτο στάδιο εξετάζονται για το συνολικό μέγιστο: συγκρίνονται οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτά τα σημεία - η μεγαλύτερη τιμή αντιστοιχεί στο βέλτιστο σχέδιο.
Πρόβλημα 5.1Ας λύσουμε το πρόβλημα 1.3, που εξετάστηκε στην πρώτη ενότητα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Lagrange. Η βέλτιστη κατανομή των υδάτινων πόρων περιγράφεται από ένα μαθηματικό μοντέλο
.
Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange
Ας βρούμε το άνευ όρων μέγιστο αυτής της συνάρτησης. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους και τις εξισώνουμε με μηδέν
,
Έτσι, αποκτήσαμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων της μορφής
Η λύση στο σύστημα των εξισώσεων αντιπροσωπεύει ένα βέλτιστο σχέδιο για την κατανομή των υδάτινων πόρων στις αρδευόμενες περιοχές
Οι τιμές μετρώνται σε εκατοντάδες χιλιάδες κυβικά μέτρα. - το ποσό του καθαρού εισοδήματος ανά εκατό χιλιάδες κυβικά μέτρα νερού άρδευσης. Επομένως, η οριακή τιμή του 1 m 3 νερού άρδευσης είναι ίση με 
φωλιά. μονάδες
Το μέγιστο πρόσθετο καθαρό εισόδημα από την άρδευση θα είναι
160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=
172391.02 (π.μ. μονάδες)
Πρόβλημα 5.2Επίλυση ενός προβλήματος μη γραμμικού προγραμματισμού
Ας αντιπροσωπεύσουμε τον περιορισμό ως εξής:
.
Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange και ας προσδιορίσουμε τις μερικές παράγωγές της
.
Για τον προσδιορισμό των ακίνητων σημείων της συνάρτησης Lagrange, οι μερικές παράγωγοί της πρέπει να ισούνται με μηδέν. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων
ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE
Μια μέθοδος για την αναγωγή μιας τετραγωνικής μορφής σε ένα άθροισμα τετραγώνων, που υποδείχθηκε το 1759 από τον J. Lagrange. Ας δοθεί
από μεταβλητές x 0 , Χ 1 ,..., x σελ.
με συντελεστές από το γήπεδο κχαρακτηριστικά Απαιτείται να φέρουμε αυτό το έντυπο στο κανονικό. μυαλό
χρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών. Το L. m αποτελείται από τα ακόλουθα. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν είναι όλοι οι συντελεστές της μορφής (1) ίσοι με μηδέν. Επομένως, δύο περιπτώσεις είναι πιθανές.
1) Για κάποιους σολ,διαγώνιος Τότε
όπου η μορφή f 1 (x) δεν περιέχει μεταβλητή x g . 2) Αν τα πάντα 
Αλλά
Οτι
όπου η μορφή f 2 (x) δεν περιέχει δύο μεταβλητές x gΚαι x h .Οι μορφές κάτω από τα τετράγωνα σημάδια στο (4) είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Εφαρμόζοντας μετασχηματισμούς της μορφής (3) και (4), η μορφή (1) μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων ανάγεται στο άθροισμα των τετραγώνων των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμικών μορφών. Χρησιμοποιώντας μερικές παραγώγους, οι τύποι (3) και (4) μπορούν να γραφτούν με τη μορφή
Αναμμένο.: G a n t m a h e r F. R., Theory of matrices, 2nd ed., M., 1966; K u r o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; Alexandrov P. S., Lectures on analytical geometry..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.
Μαθηματική εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Δείτε τι είναι η "ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE" σε άλλα λεξικά:
Μέθοδος Lagrange- Η μέθοδος Lagrange είναι μια μέθοδος για την επίλυση ενός αριθμού τάξεων μαθηματικών προβλημάτων προγραμματισμού με την εύρεση του σημείου σέλας (x*, λ*) της συνάρτησης Lagrange, το οποίο επιτυγχάνεται εξισώνοντας με το μηδέν τις μερικές παραγώγους αυτής της συνάρτησης ως προς το ... ... Οικονομικό και μαθηματικό λεξικό
Μέθοδος Lagrange- Μια μέθοδος για την επίλυση ενός αριθμού τάξεων μαθηματικών προβλημάτων προγραμματισμού με την εύρεση του σημείου σέλας (x*, ?*) της συνάρτησης Lagrange, η οποία επιτυγχάνεται εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους αυτής της συνάρτησης ως προς το xi και το μηδέν . Βλέπε Lagrangian. )
