Integrală definită a funcțiilor iraționale. Metode de integrare a funcțiilor iraționale (rădăcini)

Definiția 1

Ansamblul tuturor antiderivatelor funcţie dată$y=f(x)$ definit pe un anumit segment se numeste integrala nedefinita a unei functii date $y=f(x)$. Nu integrala definita notat cu simbolul $\int f(x)dx $.

cometariu

Definiția 2 poate fi scrisă după cum urmează:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Nu orice funcție irațională poate fi exprimată ca o integrală în termeni de functii elementare. Cu toate acestea, majoritatea acestor integrale pot fi reduse folosind substituții la integrale ale funcțiilor raționale, care pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

eu

La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

Cu această înlocuire, fiecare putere fracționată al variabilei $x$ se exprimă printr-o putere întreagă a variabilei $t$. Ca urmare, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.

Exemplul 1

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Soluţie:

$k=4$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matrice)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Când găsiți o integrală de forma $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

unde $k$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Ca urmare a acestei substituții, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.

Exemplul 2

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \dreapta|+C\]

După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \dreapta|+C.\]

III

La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, se realizează așa-numita substituție Euler (una dintre cele trei substituții posibile este folosit).

Prima înlocuire a lui Euler

Pentru cazul $a>

Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(a) $, obținem

Exemplul 3

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire (cazul $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

A doua înlocuire a lui Euler

Pentru cazul $c>0$ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(c) $, obținem

Exemplul 4

Efectuați integrarea:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ După ce am făcut invers înlocuire, obținem rezultatul final:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( matrice)\]

A treia înlocuire a lui Euler

Nu există o modalitate universală de a rezolva ecuații iraționale, deoarece clasa lor diferă în cantitate. Articolul va evidenția tipuri caracteristice de ecuații cu substituție folosind metoda integrării.

Pentru a utiliza metoda integrării directe, este necesar să se calculeze integrale nedefinite de tipul ∫ k x + b p d x , unde p este o fracție rațională, k și b sunt coeficienți reali.

Exemplul 1

Găsiți și calculați funcții antiderivate y = 1 3 x - 1 3 .

Soluţie

Conform regulii de integrare, este necesar să se aplice formula ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, iar tabelul cu antiderivate indică faptul că există o soluție gata făcută pentru această funcție . Înțelegem asta

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + C

Răspuns:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Există cazuri când este posibil să se folosească metoda de subsumare a unui semn diferențial. Aceasta se rezolvă prin principiul găsirii integralelor nedefinite de forma ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , când valoarea lui p este considerată o fracție rațională.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Soluţie

Rețineți că d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Atunci este necesar să subsumăm semnul diferențial folosind tabele de antiderivate. Constatăm că

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Răspuns:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Rezolvarea integralelor nedefinite implică o formulă de forma ∫ d x x 2 + p x + q, unde p și q sunt coeficienți reali. Apoi trebuie să selectați un pătrat complet de sub rădăcină. Înțelegem asta

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Aplicând formula situată în tabelul integralelor nedefinite, obținem:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Apoi se calculează integrala:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită de forma ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Soluţie

Pentru a calcula, trebuie să scoateți numărul 2 și să-l plasați în fața radicalului:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Selectați un pătrat complet în expresie radicală. Înțelegem asta

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Atunci obținem o integrală nedefinită de forma 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Răspuns: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrare funcții iraționale produs într-un mod similar. Aplicabil pentru funcțiile de forma y = 1 - x 2 + p x + q.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Soluţie

Mai întâi trebuie să derivați pătratul numitorului expresiei de sub rădăcină.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Integrala tabelului are forma ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, atunci obținem că ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Răspuns:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Procesul de găsire a funcțiilor iraționale antiderivate de forma y = M x + N x 2 + p x + q, unde M, N, p, q existenți sunt coeficienți reali și sunt similari cu integrarea fracțiilor simple de al treilea tip . Această transformare are mai multe etape:

însumând diferenţialul sub rădăcină, izolând pătratul complet al expresiei sub rădăcină, folosind formule tabulare.

Exemplul 5

Aflați antiderivatele funcției y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Soluţie

Din condiția avem că d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x și x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, atunci (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Să calculăm integrala: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Răspuns:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Căutarea integralelor nedefinite ale funcției ∫ x m (a + b x n) p d x se realizează folosind metoda substituției.

Pentru a rezolva este necesar să introducem noi variabile:

Când p este un număr întreg, atunci x = z N este considerat, iar N este numitorul comun pentru m, n.
Când m + 1 n este un număr întreg, atunci a + b x n = z N și N este numitorul lui p.
Când m + 1 n + p este un număr întreg, atunci variabila a x - n + b = z N este necesară, iar N este numitorul numărului p.

Exemplul 6

Aflați integrala definită ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Se obține că ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Rezultă că m = - 1, n = 1, p = - 1 2, atunci m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 este un număr întreg. Puteți introduce un nou variabilă ca- 9 + 2 x = z 2. Este necesar să se exprimă x în termeni de z. Ca rezultat, obținem asta

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Este necesar să se facă o înlocuire în integrala dată. Avem asta

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Răspuns:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Pentru a simplifica rezolvarea ecuațiilor iraționale, se folosesc metode de integrare de bază.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Clasa de funcții iraționale este foarte largă, așa că pur și simplu nu poate exista o modalitate universală de a le integra. În acest articol vom încerca să identificăm cele mai caracteristice tipuri de funcții integrante iraționale și să le asociem metoda de integrare.

Există cazuri când este oportun să se folosească metoda de abonare la semnul diferențial. De exemplu, când se găsesc integrale nedefinite de formă, unde p– fracția rațională.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Nu este greu de observat asta. Prin urmare, îl punem sub semnul diferențial și folosim tabelul de antiderivate:

Răspuns:

13. Substituția liniară fracțională

Integrale de tipul în care a, b, c, d sunt numere reale, a, b,..., d, g sunt numere naturale, sunt reduse la integrale ale unei funcții raționale prin substituție, unde K este cel mai mic multiplu comun al numitorii fracțiilor

Într-adevăr, din înlocuire rezultă că

adică x și dx sunt exprimate prin funcții raționale ale lui t. Mai mult, fiecare grad al fracției este exprimat printr-o funcție rațională a lui t.

Exemplul 33.4. Găsiți integrala

Rezolvare: Cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor 2/3 și 1/2 este 6.

Prin urmare, punem x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Prin urmare,

Exemplul 33.5. Specificați înlocuirea pentru găsirea integralelor:

Rezolvare: Pentru substituția I 1 x=t 2, pentru substituția I 2

14. Substituția trigonometrică

Integralele de tip sunt reduse la integrale ale funcțiilor care depind rațional de funcțiile trigonometrice folosind următoarele substituții trigonometrice: x = a sint pentru prima integrală; x=a tgt pentru a doua integrală;

Exemplul 33.6. Găsiți integrala

Rezolvare: Să punem x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Apoi

Aici integrandul este o funcție rațională în raport cu x și Selectând un pătrat complet sub radical și făcând o substituție, integralele de tipul indicat sunt reduse la integrale de tipul deja considerat, adică la integrale de tipul Aceste integrale pot fi calculate folosind substituții trigonometrice adecvate.

Exemplul 33.7. Găsiți integrala

Rezolvare: Deoarece x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, atunci x+1=t, x=t-1, dx=dt. De aceea Sa punem

Notă: tip integral Este oportun să se găsească folosind substituția x=1/t.

15. Integrală determinată

Să fie definită o funcție pe un segment și să aibă o antiderivată asupra acestuia. Diferența se numește integrala definita funcțiile de-a lungul segmentului și denotă. Asa de,

Diferența se scrie în formă, atunci . Se numesc numere limitele integrării .

De exemplu, unul dintre antiderivate pentru o funcție. De aceea

16 . Dacă c este un număr constant și funcția ƒ(x) este integrabilă pe , atunci

adică factorul constant c poate fi scos din semnul integralei definite.

▼Să compunem suma integrală pentru funcția cu ƒ(x). Avem:

Apoi rezultă că funcția c ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și formula (38.1) este valabilă.▲

2. Dacă funcțiile ƒ 1 (x) și ƒ 2 (x) sunt integrabile pe [a;b], atunci integrabile pe [a; b] suma lor u

adică integrala sumei este egală cu suma integralelor.

▼
▲

Proprietatea 2 se aplică sumei oricărui număr finit de termeni.

Această proprietate poate fi acceptată prin definiție. Această proprietate este confirmată și de formula Newton-Leibniz.

4. Dacă funcţia ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și a< с < b, то

adică integrala pe întregul segment este egală cu suma integralelor peste părțile acestui segment. Această proprietate se numește aditivitatea unei integrale definite (sau proprietatea aditivității).

La împărțirea segmentului [a;b] în părți, includem punctul c în numărul de puncte de împărțire (acest lucru se poate face datorită independenței limitei sumei integrale de metoda de împărțire a segmentului [a;b] în părți). Dacă c = x m, atunci suma integrală poate fi împărțită în două sume:

Fiecare dintre sumele scrise este integrală, respectiv, pentru segmentele [a; b], [a; s] și [s; b]. Trecând la limita în ultima egalitate ca n → ∞ (λ → 0), obținem egalitatea (38.3).

Proprietatea 4 este valabilă pentru orice locație a punctelor a, b, c (presupunem că funcția ƒ (x) este integrabilă pe cel mai mare dintre segmentele rezultate).

Deci, de exemplu, dacă a< b < с, то

(au fost utilizate proprietățile 4 și 3).

5. „Teorema valorilor medii.” Dacă funcția ƒ(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci există o tonka cu є [a; b] astfel încât

▼După formula Newton-Leibniz avem

unde F"(x) = ƒ(x). Aplicând teorema Lagrange (teorema incrementului finit al unei funcții) la diferența F(b)-F(a), obținem

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Proprietatea 5 („teorema valorii medii”) pentru ƒ (x) ≥ 0 are o simplă sens geometric: valoarea integralei definite este egală, pentru unele c є (a; b), cu aria unui dreptunghi cu înălțimea ƒ (c) și baza b-a (vezi Fig. 170). Număr

se numește valoarea medie a funcției ƒ(x) pe intervalul [a; b].

6. Dacă funcţia ƒ (x) îşi menţine semnul pe segmentul [a; b], unde a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ Prin „teorema valorii medii” (proprietatea 5)

unde c є [a; b]. Și deoarece ƒ(x) ≥ 0 pentru tot x О [a; b], atunci

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Prin urmare ƒ(с) (b-а) ≥ 0, i.e. ▲

7. Inegalitatea între funcțiile continue pe intervalul [a; b], (a

▼Deoarece ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, atunci când un< b, согласно свойству 6, имеем

Sau, conform proprietății 2,

Rețineți că este imposibil să diferențiezi inegalitățile.

8. Estimarea integralei. Dacă m și M sunt, respectiv, cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției y = ƒ (x) pe segmentul [a; b], (a< b), то

▼Deoarece pentru orice x є [a;b] avem m≤ƒ(x)≤M, atunci, conform proprietății 7, avem

Aplicând proprietatea 5 integralelor extreme, obținem

▲

Dacă ƒ(x)≥0, atunci proprietatea 8 este ilustrată geometric: aria unui trapez curbiliniu este închisă între zonele dreptunghiurilor a căror bază este , și ale căror înălțimi sunt m și M (vezi Fig. 171).

9. Modulul unei integrale definite nu depășește integrala modulului integrandului:

▼Aplicând proprietatea 7 inegalităților evidente -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, obținem

Rezultă că

▲

10. Derivata unei integrale definite fata de o limita superioara variabila este egala cu integrandul in care variabila de integrare este inlocuita cu aceasta limita, i.e.

Calcularea ariei unei figuri este una dintre cele mai dificile probleme din teoria ariei. La cursul de geometrie a școlii, am învățat să găsim zonele formelor geometrice de bază, de exemplu, un cerc, triunghi, romb etc. Cu toate acestea, mult mai des trebuie să vă ocupați de calcularea ariilor unor cifre mai complexe. Când rezolvați astfel de probleme, trebuie să recurgeți la calculul integral.

În acest articol vom lua în considerare problema calculării ariei unui trapez curbiliniu și o vom aborda într-un sens geometric. Acest lucru ne va permite să aflăm legătura directă dintre integrala definită și aria unui trapez curbiliniu.

Această secțiune va discuta metoda de integrare a funcțiilor raționale. 7.1. Informatie scurta despre funcțiile raționale Cea mai simplă funcție rațională este un polinom de gradul zeciuială, adică. o funcţie de forma unde sunt constante reale, iar a0 Ф 0. Polinomul Qn(x) al cărui coeficient a0 = 1 se numeşte redus. Un număr real b se numește rădăcina polinomului Qn(z) dacă Q„(b) = 0. Se știe că fiecare polinom Qn(x) cu coeficienți reali este descompus în mod unic în factori reali de forma în care p, q sunt coeficienți reali, iar factorii pătratici nu au rădăcini reale și, prin urmare, nu pot fi descompunabili în factori liniari reali. Combinând factori identici (dacă există) și presupunând, pentru simplitate, că polinomul Qn(x) este redus, putem scrie factorizarea acestuia sub forma în care sunt numere naturale. Deoarece gradul polinomului Qn(x) este egal cu n, atunci suma tuturor exponenților a, /3,..., A, adăugată la suma dublă a tuturor exponenților ω,..., q, este egală la n: Rădăcina a unui polinom se numește simplă sau simplă, dacă a = 1 și multiplă dacă a > 1; numărul a se numește multiplicitatea rădăcinii a. Același lucru este valabil și pentru alte rădăcini ale polinomului. O funcție rațională f(x) sau o fracție rațională este raportul a două polinoame și se presupune că polinoamele Pm(x) și Qn(x) nu au factori comuni. O fracție rațională este numită proprie dacă gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, adică. Dacă m n, atunci fracția rațională se numește fracție improprie, iar în acest caz, împărțind numărătorul la numitor conform regulii de împărțire a polinoamelor, se poate reprezenta sub forma în care sunt niște polinoame, iar ^^ este un fracție rațională. Exemplul 1. O fracție rațională este o fracție improprie. Împărțind la un „colț”, avem Prin urmare. Aici. și este o fracție adecvată. Definiție. Cele mai simple (sau elementare) fracții sunt fracții raționale din următoarele patru tipuri: unde - numere reale, k este un număr natural mai mare sau egal cu 2, iar trinomul pătrat x2 + px + q nu are rădăcini reale, deci -2 _2 este discriminantul său În algebră, se demonstrează următoarea teoremă. Teorema 3. O fracție rațională propriu-zisă cu coeficienți reali, al cărei numitor Qn(x) are forma se descompune într-un mod unic în suma fracțiilor simple după regula Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție lui Euler În această expansiune există câteva constante reale, dintre care unele pot fi egale cu zero. Pentru a găsi aceste constante, partea dreaptă a egalității (I) este adusă la un numitor comun, iar apoi coeficienții la aceleași puteri ale lui x din numărătorii părților stângi și drepte sunt echivalați. Aceasta dă sistemul ecuatii lineare, din care se găsesc constantele necesare. . Această metodă de găsire a constantelor necunoscute se numește metoda coeficienților nedeterminați. Uneori este mai convenabil să folosiți o altă metodă de găsire a constantelor necunoscute, care constă în faptul că, după echivalarea numărătorilor, se obține o identitate față de x, în care argumentului x i se dau niște valori, de exemplu, valorile a rădăcinilor, rezultând ecuații pentru găsirea constantelor. Este convenabil mai ales dacă numitorul Q„(x) are doar rădăcini simple reale. Exemplul 2. Descompuneți fracția rațională în fracții mai simple. Descompunem numitorul în înmulțiri: Deoarece rădăcinile numitorului sunt reale și diferite, atunci, pe baza formulei (1), descompunerea fracției în cea mai simplă va avea forma: Reducerea dreptei onoare „a acelei egalități la numitor comun și echivalând numărătorii de pe laturile sale stânga și dreapta, obținem identitatea sau Găsim coeficienți necunoscuți A. 2?, C în două moduri. Prima cale Echivalarea coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x, t.v. cu (termen liber) și părțile stânga și dreaptă ale identității, obținem sistem liniar ecuații pentru găsirea coeficienților necunoscuți A, B, C: Acest sistem are singura decizie C A doua metodă. Deoarece rădăcinile numitorului sunt rupte la i 0, obținem 2 = 2A, de unde A * 1; g i 1, obținem -1 * -B, din care 5 * 1; x i 2, obținem 2 = 2C. de unde C» 1, iar expansiunea necesară are forma 3. Rehlozhnt nu cele mai simple fracții fracție rațională 4 Descompunem polinomul, care este în sens invers, în factori: . Numitorul are două rădăcini reale diferite: x\ = 0 multiplicitatea multiplicității 3. Prin urmare, descompunerea acestei fracții nu este cea mai simplă și are forma dată. partea dreapta la un numitor comun, vom găsi sau Prima metodă. Echivalarea coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta ultimei identități. obținem un sistem liniar de ecuații Acest sistem are o soluție unică și expansiunea necesară va fi metoda a doua. În identitatea rezultată, punând x = 0, obținem 1 a A2, sau A2 = 1; câmp* gay x = -1, obținem -3 i B), sau Bj i -3. La înlocuirea valorilor găsite ale coeficienților A\ și B) și identitatea va lua forma sau Punând x = 0, iar apoi x = -I. constatăm că = 0, B2 = 0 și. aceasta înseamnă B\ = 0. Astfel, obținem din nou Exemplul 4. Extindeți fracția rațională 4 în fracții mai simple Numitorul fracției nu are rădăcini reale, deoarece funcția x2 + 1 nu este egală cu zero valori reale X. Prin urmare, descompunerea în fracții simple ar trebui să aibă forma De aici obținem sau. Echivalând coeficienții puterilor sinaxelor lui x în laturile stânga și dreapta ale ultimei egalități, vom avea unde găsim și, prin urmare, Trebuie remarcat că în unele cazuri descompunerea în fracții simple se pot obține mai rapid și mai ușor prin acțiune. într-un alt fel, fără a utiliza metoda coeficienților nedeterminați De exemplu, pentru a obține descompunerea fracției din exemplul 3, puteți adăuga și scădea la numărătorul 3x2 și împărțiți așa cum este indicat mai jos. 7.2. Integrarea fracțiilor simple, După cum sa menționat mai sus, orice fracție rațională improprie poate fi reprezentată ca suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise (§7), iar această reprezentare este unică. Integrarea unui polinom nu este dificilă, așa că luați în considerare problema integrării unei fracții raționale adecvate. Deoarece orice fracție rațională proprie poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple, integrarea ei se reduce la integrarea fracțiilor simple. Să luăm acum în considerare problema integrării lor. III. Pentru a găsi integrala celei mai simple fracții de al treilea tip, izolăm pătratul complet al binomului din trinomul pătrat: Deoarece al doilea termen este egal cu a2, unde și apoi facem substituția. Apoi, dat proprietăți liniare integrală, găsim: Exemplul 5. Aflați integrala 4 Integrandul este cea mai simplă fracție de al treilea tip, deoarece trinomul pătrat x1 + Ax + 6 nu are rădăcini reale (discriminantul său este negativ: , iar numărătorul conține un polinom de gradul întâi, procedăm astfel: 1) selectați un pătrat perfect la numitor 2) faceți o substituție (aici 3) pentru * o integrală Pentru a găsi integrala celei mai simple fracții de al patrulea tip, punem, ca de mai sus, . Apoi obținem Integrala din dreapta notată cu A și o transformăm astfel: Integrala din dreapta este integrată de părți, presupunând de unde sau Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea iraționalelor funcții Prima substituție a lui Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler Am obținut așa-numita formulă recurentă, care ne permite să găsim integrala Jk pentru orice k = 2, 3,.... Într-adevăr, integrala J\ este tabelară: Introducând formula de recurență, găsim Cunoscând și punând A = 3, putem găsi ușor Jj și așa mai departe. În rezultatul final, înlocuind peste tot în loc de t și a expresiile lor în termeni de x și coeficienți p și q, obținem pentru integrala originală expresia acesteia în termeni de x și numere date M, LG, p, q. Exemplul 8. Nouă integrală „Funcția integrand este cea mai simplă fracție a celui de-al patrulea tip, deoarece discriminantul unui trinom pătrat este negativ, i.e. Aceasta înseamnă că numitorul nu are rădăcini reale, iar numărătorul este un polinom de gradul I. 1) Selectăm un pătrat complet la numitor 2) Facem o substituție: Integrala va lua forma: Punând în formula de recurență * = 2, a3 = 1. vom avea, și, prin urmare, integrala necesară este egală Revenind la variabila x, obținem în final 7.3. Caz general Din rezultatele paragrafelor. 1 și 2 din această secțiune urmează imediat o teoremă importantă. Teorema! 4. Integrala nedefinită a oricărei funcții raționale există întotdeauna (pe intervale în care numitorul fracției Q„(x) φ 0) și se exprimă printr-un număr finit de funcții elementare, și anume, este o sumă algebrică, termenii dintre care pot fi doar înmulțite, fracții raționale, logaritmi naturali și arctangente. Deci, pentru a găsi integrala nedefinită a unei funcții fracționale-raționale, trebuie procedat în felul următor: 1) dacă fracția rațională este improprie, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor, întreaga parte este izolată, adică. această funcție reprezentat ca suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise; 2) atunci numitorul fracției proprii rezultate se descompune în produsul factorilor liniari și pătratici; 3) această fracție proprie se descompune în suma fracțiilor simple; 4) folosind liniaritatea integralei și formulele pasului 2, integralele fiecărui termen se găsesc separat. Exemplul 7. Aflați integrala M Deoarece numitorul este un polinom de ordinul trei, funcția integrand este o fracție improprie. Subliniem întreaga parte din ea: Prin urmare, vom avea. Numitorul unei fracții propriu-zise are phi rădăcini reale diferite: și, prin urmare, descompunerea ei în fracții simple are forma De unde găsim. Dând argumentului x valori egale cu rădăcinile numitorului, aflăm din această identitate că: Prin urmare, integrala necesară va fi egală cu Exemplul 8. Aflați integrala 4 Integrandul este o fracție proprie, al cărei numitor are două rădăcini reale diferite: x - O multiplicitatea lui 1 și x = 1 a multiplicității 3, Prin urmare, extinderea integrandului în fracții simple are forma Aducerea laturii drepte a acestei egalități la un numitor comun și reducerea ambelor părți ale egalității prin acest numitor, obținem sau. Echivalăm coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x pe părțile din stânga și din dreapta acestei identități: De aici găsim. Înlocuind valorile găsite ale coeficienților în expansiune, vom avea integrând, găsim: Exemplul 9. Aflați integrala 4 Numitorul fracției nu are rădăcini reale. Prin urmare, expansiunea integrandului în fracții simple are forma Prin urmare sau Echivalând coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x de pe laturile din stânga și din dreapta acestei identități, vom avea de unde găsim și, deci, Observație. În exemplul dat, integrandul poate fi reprezentat ca o sumă de fracții simple de mai mult decât într-un mod simplu , și anume, în numărătorul fracției selectăm binomul care se află la numitor, iar apoi facem împărțirea termen cu termen: §8. Integrarea funcțiilor iraționale O funcție de forma în care Pm și £?„ sunt polinoame de tip grad, respectiv, în variabilele uub2,... se numește funcție rațională a ubu2j... De exemplu, un polinom de gradul doi în două variabile u\ și u2 are forma în care - unele constante reale, iar Exemplul 1, Funcția este o funcție rațională a variabilelor r și y, deoarece reprezintă raportul dintre un polinom de gradul III și un polinom de al cincilea grad, dar nu este o funcție de tisă. În cazul în care variabilele, la rândul lor, sunt funcții ale variabilei x: atunci funcția ] se numește funcție rațională a funcțiilor din Exemplu. O funcție este o funcție rațională a lui r și rvdikvlv Pryaivr 3. O funcție a formei nu este o funcție rațională a lui x și a radicalului y/r1 + 1, dar este o funcție rațională a funcțiilor funcțiile nu sunt întotdeauna exprimate prin funcții elementare. De exemplu, integralele întâlnite adesea în aplicații nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare; aceste integrale se numesc integrale eliptice de primul și, respectiv, al doilea fel. Să luăm în considerare acele cazuri când integrarea funcţiilor iraţionale se poate reduce, cu ajutorul unor substituţii, la integrarea funcţiilor raţionale. 1. Să fie necesar să găsim integrala în care R(x, y) este o funcție rațională a argumentelor sale x și y; m £ 2 - număr natural; a, 6, c, d sunt constante reale care satisfac condiția ad - bc ^ O (pentru ad - be = 0, coeficienții a și b sunt proporționali cu coeficienții c și d și, prin urmare, relația nu depinde de x ; aceasta înseamnă că în acest caz funcția integrand va fi o funcție rațională a variabilei x, a cărei integrare a fost discutată mai devreme). Să facem o schimbare de variabilă în această integrală, punând. Deci exprimăm variabila x printr-o nouă variabilă. Avem x = - o funcție rațională a lui t. În continuare găsim sau, după simplificare, Prin urmare, unde A1 (t) este o funcție rațională a lui *, deoarece funadia rațională a unei funcții raționale, precum și produsul funcțiilor raționale, sunt funcții raționale. Știm să integrăm funcții raționale. Fie Atunci integrala cerută egală cu At. IvYti integrală 4 O funcție integrand* este o funcție rațională a. Prin urmare, punem t = Apoi Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler Astfel, obținem Primar 5. Aflați numitorul comun integral indicatori fracționari puterile lui x este 12, deci integrandul poate fi reprezentat ca 1 _ 1_ ceea ce arată că este o funcție rațională a: Ținând cont de aceasta, să punem. În consecință, 2. Se consideră intefe de forma în care funcția subintefală este de așa natură încât prin înlocuirea radicalului \/ax2 + bx + c în ea cu y, obținem o funcție R(x) y) - rațională față de ambele argumente x și y. Această integrală se reduce la integrala unei funcții raționale a alteia substituții variabile Euler. 8.1. Prima substituție a lui Euler Fie coeficientul a > 0. Să punem sau. Prin urmare găsim x ca o funcție rațională a lui u, ceea ce înseamnă. Astfel, substituția indicată se exprimă rațional în termeni de *. Prin urmare, vom avea o remarcă. Prima substituție lui Euler poate fi luată și sub forma Exemplu 6. Să găsim integrala Prin urmare, vom avea dx substituția lui Euler, arătați că Y 8.2. A doua substituție a lui Euler Fie trinomul ax2 + bx + c să aibă rădăcini reale diferite R] și x2 (coeficientul poate avea orice semn). În acest caz, presupunem Deoarece atunci obținem Deoarece x,dxn y/ax2 + be + c sunt exprimate rațional în termeni de t, atunci integrala inițială este redusă la integrala unei funcții raționale, adică unde Problemă. Folosind prima substituție a lui Euler, arătați că este o funcție rațională a lui t. Exemplul 7. Găsiți integrala dx M funcția ] - x1 are rădăcini reale diferite. Prin urmare, aplicăm cea de-a doua substituție a lui Euler. obținem 8,3. Al treilea Euler substascom Fie coeficientul c > 0. Facem o schimbare de variabilă punând. Rețineți că pentru a reduce integrala la integrala unei funcții raționale, prima și a doua substituție Euler sunt suficiente. De fapt, dacă discriminantul b2 -4ac > 0, atunci rădăcinile trinomului pătratic ax + bx + c sunt reale, iar în acest caz este aplicabilă a doua substituție Euler. Dacă, atunci semnul trinomului ax2 + bx + c coincide cu semnul coeficientului a și întrucât trinomul trebuie să fie pozitiv, atunci a > 0. În acest caz, prima substituție a lui Euler este aplicabilă. Pentru a găsi integrale de tipul indicat mai sus, nu este întotdeauna recomandabil să folosiți substituțiile lui Euler, deoarece pentru acestea este posibil să găsiți alte metode de integrare care să conducă la obiectiv mai rapid. Să ne uităm la unele dintre aceste integrale. 1. Pentru a găsi integrale ale formei, selectați un pătrat perfect din pătratul trinomului: unde După aceasta, faceți o înlocuire și obțineți unde au coeficienții a și P semne diferite sau ambele sunt pozitive. Pentru, și de asemenea pentru a > 0, integrala va fi redusă la un logaritm și, dacă da, la arcsinus. La. Găsiți imtegral 4 Sokak atunci. Presupunând că obținem Prmmar 9. Găsiți. Presupunând x -, vom avea 2. Integrala formei se reduce la integrala y de la pasul 1 după cum urmează. Având în vedere că derivata ()" = 2, o evidențiem la numărător: 4 Identificăm derivata expresiei radicalului în numărător. Deoarece (x, atunci vom avea, ținând cont de rezultatul exemplului 9, 3. Integrale de forma în care P„(x) este un polinom de grad n -lea, pot fi găsite prin metoda coeficienților nedeterminați, care constă în următoarele Să presupunem că egalitatea este Exemplul 10. Integrală puternică unde Qn-i (s) este un polinom de (n - 1) grad cu coeficienți nedeterminați: Pentru a găsi coeficienți | diferențiem ambele părți ale (1): Apoi reducem partea dreaptă a egalității (2) la un numitor comun egal cu. numitorul părții stângi, adică y/ax2 + bx + c, reducând ambele părți ale (2) prin care obținem identitatea în ambele părți ale cărora conțin polinoame de grad n Echivalând coeficienții pentru aceleași grade de x în partea stângă și dreaptă a (3), obținem n + 1 ecuații, din care găsim coeficienții necesari j4*(fc = 0,1,2,..., n ). din (1) și aflând integrala + c obținem răspunsul pentru această integrală. Exemplul 11. Aflați integrala Să punem Diferențierea ambelor culori ale egalității, vom avea Aducerea laturii drepte la un numitor comun și reducând ambele părți cu acesta, obținem identitatea sau. Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, ajungem la un sistem de ecuații din care găsim = Apoi găsim integrala din dreapta egalității (4): În consecință, integrala necesară va fi egală cu

Calculatorul rezolvă integralele cu o descriere a acțiunilor în DETALII în rusă și gratuit!

Rezolvarea integralelor nedefinite

Acesta este un serviciu online în un pas:

Rezolvarea integralelor definite

Acesta este un serviciu online în un pas:

Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
Introduceți o limită inferioară pentru integrală
Introduceți o limită superioară pentru integrală

Rezolvarea integralelor duble

Introduceți expresia integrand (funcția integrală)

Rezolvarea integralelor improprii

Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
introduce zona superioara integrare (sau + infinit)
Introduceți regiunea inferioară de integrare (sau - infinit)

Mergi la: Serviciul online „Integral nepotrivit” →

Rezolvarea integralelor triple

Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
Introduceți limitele inferioare și superioare pentru prima regiune de integrare
Introduceți limita inferioară și superioară pentru a doua regiune de integrare
Introduceți limita inferioară și superioară pentru a treia regiune de integrare

Mergi la: Serviciul online „Triple Integral” →

Acest serviciu vă permite să vă verificați calculele pentru corectitudine

Posibilitati

Sprijin pentru tot posibilul functii matematice: sinus, cosinus, exponential, tangenta, cotangente, radacini patrate si cubice, puteri, exponentiale si altele.
Există exemple de introdus ca pentru integrale nedefinite, iar pentru nepropriu și definit.
Corectează erorile din expresiile pe care le introduceți și vă oferă propriile opțiuni de introducere.
Soluție numerică pentru integrale definite și improprie (inclusiv integrale duble și triple).
A sustine numere complexe, și diverși parametri(puteți specifica în integrand nu numai variabila de integrare, ci și alte variabile de parametri)