Teorema asupra proprietăților coloanelor dependente liniar. Teoria slough. Combinații liniare de rânduri sau coloane de matrice

unde sunt unele numere (unele dintre aceste numere sau chiar toate pot fi egale cu zero). Aceasta înseamnă că există următoarele egalități între elementele coloanelor:

sau ,.

Din (3.3.1) rezultă că

(3.3.2)

unde este șirul zero.

Definiție. Rândurile matricei A sunt dependente liniar dacă există numere care nu sunt toate egale cu zero în același timp, astfel încât

(3.3.3)

Dacă egalitatea (3.3.3) este adevărată dacă și numai dacă , atunci rândurile se numesc liniar independente. Relația (3.3.2) arată că dacă unul dintre rânduri este exprimat liniar în termenii celorlalte, atunci rândurile sunt dependente liniar.

Este ușor de observat contrariul: dacă șirurile sunt dependente liniar, atunci există un șir care va fi o combinație liniară a șirurilor rămase.

Fie, de exemplu, în (3.3.3), atunci .

Definiție. Să fie selectat un anumit minor în matricea A r comandă și lasă minor ( r Ordinul +1) al aceleiași matrice conține în întregime minorul . Vom spune că în acest caz minorul se învecinează cu minorul (sau se învecinează cu ).

Acum vom demonstra o lemă importantă.

Lemadespre minorii învecinați. Dacă minorul este de ordine r matricea A = este diferită de zero și toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero, atunci orice rând (coloană) a matricei A este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) ale acesteia care alcătuiesc .

Dovada. Fără a pierde generalitatea raționamentului, vom presupune că un minor non-zero r al treilea ordin este în colțul din stânga sus al matricei A =:

Pentru primul k rânduri ale matricei A, afirmația lemei este evidentă: este suficient să includeți într-o combinație liniară același rând cu un coeficient egal cu unu, iar restul - cu coeficienți egali cu zero.

Să demonstrăm acum că rândurile rămase ale matricei A sunt exprimate liniar în termenii primului k linii. Pentru a face acest lucru, vom construi un minor ( r Ordinea +1) prin adăugarea la minor k -a linie () și l a coloana():

Minor rezultat egal cu zeroîn fața tuturor k și l . Dacă , atunci este egal cu zero, deoarece conține două coloane identice. Dacă , atunci minorul rezultat este o muchie minoră pentru și, prin urmare, este egal cu zero în condițiile lemei.

Să descompunem minorul după elementele ultimuluil a coloana:

(3.3.4)

unde sunt complemente algebrice ale elementelor. Adunarea algebrică este un minor al matricei A, prin urmare . Împărțiți (3.3.4) cu și exprimați-l prin:

(3.3.5)

Unde , .

Presupunând că obținem:

(3.3.6)

Expresia (3.3.6) înseamnă că k Al treilea rând al matricei A este exprimat liniar prin primul linii r.

Deoarece atunci când o matrice este transpusă, valorile minorilor ei nu se modifică (datorită proprietății determinanților), atunci tot ceea ce dovedit este valabil și pentru coloane. Teorema a fost demonstrată.

Corolarul I . Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază. Într-adevăr, minor de bază a matricei este diferit de zero, iar toți minorii care o mărginesc sunt egali cu zero.

Corolarul II. Determinant n de ordinul al-lea dacă și numai dacă este egal cu zero când conține liniar rânduri dependente(coloane). Adecvarea dependență liniară rândurile (coloanele) pentru egalitatea determinantului cu zero a fost dovedită mai devreme ca o proprietate a determinanților.

Să dovedim necesitatea. Să fie dată o matrice pătrată n ordinul al-lea, dintre care singurul minor este zero. Rezultă că rangul acestei matrice este mai mic n , adică există cel puțin un rând care este o combinație liniară a rândurilor de bază ale acestei matrice.

Să demonstrăm o altă teoremă despre rangul matricei.

Teorema.Numărul maxim de rânduri liniar independente ale unei matrice este egal cu numărul maxim al matricei liniare coloane independenteși este egal cu rangul acestei matrice.

Dovada. Fie rangul matricei A= egal cu r. Atunci oricare dintre k Rândurile de bază sunt liniar independente, altfel baza minoră ar fi zero. Pe de altă parte, orice r +1 sau mai multe rânduri sunt dependente liniar. Presupunând contrariul, am putea găsi un minor de ordin mai mare decât r , diferit de zero prin Corolarul 2 al lemei anterioare. Acesta din urmă contrazice faptul că ordinul maxim al minorilor non-zero este egal cu r . Tot ceea ce este dovedit pentru rânduri este valabil și pentru coloane.

În concluzie, vom schița o altă metodă de găsire a rangului unei matrice. Rangul unei matrice poate fi determinat prin găsirea unui minor de ordinul maxim care este diferit de zero.

La prima vedere, acest lucru necesită un calcul, deși finit, dar poate foarte un numar mare minorii acestei matrice.

Următoarea teoremă permite, totuși, introducerea unor simplificări semnificative în acest sens.

Teorema.Dacă minorul matricei A este diferit de zero și toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Dovada. Este suficient să arătăm că orice subsistem de rânduri matrice cu S>r va fi dependent liniar în condițiile teoremei (de aici rezultă că r este numărul maxim de rânduri liniar independente ale matricei sau oricare dintre minorele sale de ordin mai mare decât k sunt egale cu zero).

Să presupunem contrariul. Lasă rândurile să fie liniar independente. Prin lema despre minorii învecinați, fiecare dintre ei va fi exprimat liniar în termenii liniilor care conțin minorul și care, datorită faptului că sunt nenulos, sunt liniar independente:

(3.3.7)

Se consideră matricea K din coeficienții expresiilor liniare (3.3.7):

Rândurile acestei matrice vor fi notate cu . Ele vor fi dependente liniar, deoarece rangul matricei K, i.e. numărul maxim al liniilor sale liniar independente nu depășește r< S . Prin urmare, există numere, nu toate egale cu zero, care

Să trecem la egalitatea componentelor

(3.3.8)

Acum luați în considerare următoarea combinație liniară:

Rețineți că rândurile și coloanele matricei pot fi considerate vectori aritmetici de dimensiuni mȘi n, respectiv. Astfel, matricea dimensiunilor poate fi interpretată ca un set m n-dimensional sau n m-vectori aritmetici dimensionali. Prin analogie cu vectorii geometrici, introducem conceptele de dependență liniară și independență liniară a rândurilor și coloanelor unei matrice.

4.8.1. Definiție. Linia
numit combinație liniară de șiruri cu cote
, dacă toate elementele acestei linii au următoarea egalitate:

,
.

4.8.2. Definiție.

Siruri de caractere
sunt numite dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu rândul zero, i.e. există numere care nu sunt toate egale cu zero

,
.

4.8.3. Definiție.

Siruri de caractere
sunt numite liniar independent, dacă numai combinația lor liniară trivială este egală cu rândul zero, i.e.

4.8.4. Teorema. (Criteriul pentru dependența liniară a rândurilor matricei)

Pentru ca rândurile să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre ele să fie o combinație liniară a celorlalte.

Dovada:

Necesitate. Lasă liniile
sunt dependente liniar, atunci există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu rândul zero:

Fără a pierde generalitatea, presupunem că primul dintre coeficienții combinației liniare este diferit de zero (în caz contrar, rândurile pot fi renumerotate). Împărțind acest raport la , primim

adică primul rând este o combinație liniară a celorlalte.

Adecvarea. Lasă una dintre linii, de exemplu, , este o combinație liniară a celorlalte, atunci

adică există o combinație liniară non-trivială de șiruri
, egal cu șirul zero:

ceea ce înseamnă liniile
sunt dependente liniar, ceea ce trebuia demonstrat.

Cometariu.

Definiții și enunțuri similare pot fi formulate pentru coloanele matricei.

§4.9. Rangul matricei.

4.9.1. Definiție. Minor Ordin matrici mărimea
numit determinant de ordine cu elemente situate la intersecția unora dintre ele linii şi coloane.

4.9.2. Definiție. Comanda minoră diferită de zero matrici mărimea
numit de bază minor, dacă toți minorii matricei sunt de ordine
sunt egale cu zero.

Cometariu. O matrice poate avea mai multe minore de bază. Evident, toate vor fi de aceeași ordine. De asemenea, este posibil ca matricea mărimea
comanda minora este diferit de zero, iar minorii sunt de ordine
nu există, adică
.

4.9.3. Definiție. Se numesc rândurile (coloanele) care formează baza minoră de bază rânduri (coloane).

4.9.4. Definiție. Rang a unei matrice se numește ordinea bazei sale minore. Rangul matricei notat cu
sau
.

Cometariu.

Rețineți că, datorită egalității rândurilor și coloanelor determinantului, rangul matricei nu se modifică atunci când este transpusă.

4.9.5. Teorema. (Invarianța rangului matricei în cadrul transformărilor elementare)

Rangul unei matrice nu se schimbă în timpul transformărilor sale elementare.

Nicio dovadă.

4.9.6. Teorema. (Despre minorul de bază).

Rândurile (coloanele) subiacente sunt liniar independente. Orice rând (coloană) a unei matrice poate fi reprezentată ca o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) sale de bază.

Dovada:

Să facem dovada pentru șiruri. Dovada afirmației pentru coloane poate fi efectuată prin analogie.

Fie rangul matricei dimensiuni
egală , A
− minor de bază. Fără a pierde generalitatea, presupunem că baza minoră este situată în colțul din stânga sus (în caz contrar, matricea poate fi redusă la această formă folosind transformări elementare):

Să demonstrăm mai întâi independența liniară a rândurilor de bază. Vom efectua dovada prin contradicție. Să presupunem că rândurile de bază sunt dependente liniar. Apoi, conform teoremei 4.8.4, unul dintre șiruri poate fi reprezentat ca o combinație liniară a șirurilor de bază rămase. Prin urmare, dacă scădem combinația liniară specificată din acest rând, obținem un rând zero, ceea ce înseamnă că minorul
este egal cu zero, ceea ce contrazice definiția unei baze minore. Astfel, am obținut o contradicție prin urmare, independența liniară a rândurilor de bază a fost dovedită.

Să demonstrăm acum că fiecare rând al unei matrice poate fi reprezentat ca o combinație liniară de rânduri de bază. Dacă numărul rândului în cauză de la 1 la r, atunci, evident, poate fi reprezentat ca o combinație liniară cu un coeficient egal cu 1 pentru linie și zero coeficienți pentru rândurile rămase. Să arătăm acum că dacă numărul liniei din
inainte de
, poate fi reprezentat ca o combinație liniară de șiruri de bază. Luați în considerare matricea minoră
, obtinut din baza minora
adăugarea unei linii și o coloană arbitrară
:

Să arătăm că acest minor
din
inainte de
și pentru orice număr de coloană de la 1 la .

Într-adevăr, dacă numărul coloanei de la 1 la r, atunci avem un determinant cu două coloane identice, care este evident egal cu zero. Dacă numărul coloanei din r+1 la , și numărul liniei din
inainte de
, Acea
este un minor al matricei originale de ordin mai mare decât baza minoră, ceea ce înseamnă că este egal cu zero din definiția bazei minore. Astfel, s-a dovedit că minorul
este zero pentru orice număr de linie din
inainte de
și pentru orice număr de coloană de la 1 la . Extindendu-l peste ultima coloană, obținem:

Aici
− adunări algebrice corespunzătoare. observa asta
, din moment ce deci
este un minor de bază. Prin urmare, elementele liniei k poate fi reprezentat ca o combinație liniară a elementelor corespunzătoare ale rândurilor de bază cu coeficienți independenți de numărul coloanei :

Astfel, am demonstrat că un rând arbitrar al unei matrice poate fi reprezentat ca o combinație liniară a rândurilor sale de bază. Teorema a fost demonstrată.

Cursul 13

4.9.7. Teorema. (Despre rangul unei matrice pătrate non-singulare)

Pentru ca o matrice pătrată să fie nesingulară, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acestei matrice.

Dovada:

Necesitate. Fie matricea pătrată mărimea n este nedegenerat, atunci
, prin urmare, determinantul matricei este o bază minoră, i.e.

Adecvarea. Lăsa
atunci ordinea bazei minore este egală cu dimensiunea matricei, prin urmare baza minoră este determinantul matricei , adică
prin definiţia unui minor de bază.

Consecinţă.

Pentru ca o matrice pătrată să fie nesingulară, este necesar și suficient ca rândurile sale să fie liniar independente.

Dovada:

Necesitate. Deoarece o matrice pătrată este nesingulară, rangul ei este egal cu dimensiunea matricei
adică determinantul matricei este o bază minoră. Prin urmare, prin teorema 4.9.6 pe baza minorului, rândurile matricei sunt liniar independente.

Adecvarea. Deoarece toate rândurile matricei sunt liniar independente, rangul său nu este dimensiune mai mică matrice, ceea ce înseamnă
prin urmare, prin teorema anterioară 4.9.7, matricea este nedegenerat.

4.9.8. Metoda limitării minorilor pentru găsirea rangului unei matrice.

Rețineți că o parte a acestei metode a fost deja descrisă implicit în demonstrarea teoremei minore a bazei.

4.9.8.1. Definiție. Minor
numit mărginind relativ la minor
, dacă este obținută de la un minor
adăugând unul linie nouăși o nouă coloană a matricei originale.

4.9.8.2. Procedura de găsire a rangului unei matrice folosind metoda minorilor învecinați.

Găsim orice minor curent al matricei care este diferit de zero.

Calculăm toți minorii care se învecinează cu acesta.

Dacă toate sunt egale cu zero, atunci minorul curent este unul de bază, iar rangul matricei este egal cu ordinul minor actual.

Dacă printre minorii învecinați există cel puțin unul diferit de zero, atunci acesta este considerat curent și procedura continuă.

Folosind metoda limitării minorilor, găsim rangul matricei

Este ușor să specificați minorul curent de ordinul doi, diferit de zero, de ex.

Calculăm minorii care se învecinează cu acesta:

În consecință, întrucât toți minorii învecinați de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci minorul
este de bază, adică

Cometariu. Din exemplul luat în considerare, reiese clar că metoda este destul de intensivă în muncă. Prin urmare, în practică, este mult mai des folosită metoda transformărilor elementare, care va fi discutată mai jos.

4.9.9. Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare.

Pe baza teoremei 4.9.5, se poate argumenta că rangul matricei nu se modifică în cazul transformărilor elementare (adică rândurile matricelor echivalente sunt egale). Prin urmare rangul matricei egal cu rangul matrice de trepte obţinută din cea originală prin transformări elementare. Rangul unei matrice pas este, evident, egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero.

Să determinăm rangul matricei

prin metoda transformărilor elementare.

Să prezentăm matricea la vizualizarea pas:

Numărul de rânduri diferite de zero ale matricei eșalonului rezultat este trei, prin urmare,

4.9.10. Rangul unui sistem de vectori spațiali liniari.

Luați în considerare sistemul de vectori
ceva spațiu liniar . Dacă este dependent liniar, atunci se poate distinge în el un subsistem liniar independent.

4.9.10.1. Definiție. Rangul sistemului vectorial
spațiu liniar numărul maxim de vectori liniar independenți ai acestui sistem se numește. Rangul sistemului vectorial
notat ca
.

Cometariu. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci rangul său este egal cu numărul de vectori din sistem.

Să formulăm o teoremă care să arate legătura dintre conceptele de rang al unui sistem de vectori într-un spațiu liniar și rangul unei matrice.

4.9.10.2. Teorema. (Despre rangul unui sistem de vectori în spațiu liniar)

Rangul unui sistem de vectori într-un spațiu liniar este egal cu rangul unei matrice ale cărei coloane sau rânduri sunt coordonatele vectorilor dintr-o anumită bază a spațiului liniar.

Nicio dovadă.

Consecinţă.

Pentru ca un sistem de vectori dintr-un spațiu liniar să fie liniar independent, este necesar și suficient ca rangul matricei, ale cărei coloane sau rânduri sunt coordonatele vectorilor într-o anumită bază, să fie egal cu numărul a vectorilor din sistem.

Dovada este evidentă.

4.9.10.3. Teoremă (Cu privire la dimensiunea unei învelișuri liniare).

Dimensiunea vectorilor liniari ai carenei
spațiu liniar egal cu rangul acestui sistem vectorial:

Nicio dovadă.

Un sistem de vectori de același ordin se numește dependent liniar dacă un vector zero poate fi obținut din acești vectori printr-o combinație liniară adecvată. (Nu este permis ca toți coeficienții unei combinații liniare să fie egali cu zero, deoarece acest lucru ar fi banal.) În caz contrar, vectorii sunt numiți liniar independenți. De exemplu, următorii trei vectori:

sunt dependente liniar, deoarece acest lucru este ușor de verificat. În cazul unei dependențe liniare, orice vector poate fi întotdeauna exprimat printr-o combinație liniară de alți vectori. În exemplul nostru: fie sau Acest lucru este ușor de verificat cu calculele corespunzătoare. Aceasta conduce la următoarea definiție: un vector este liniar independent de alți vectori dacă nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a acestor vectori.

Să considerăm un sistem de vectori fără a specifica dacă este liniar dependent sau liniar independent. Pentru fiecare sistem format din vectori coloană a, este posibil să se identifice maximul număr posibil vectori liniar independenți. Acest număr, notat cu litera , este rangul acestui sistem vectorial. Deoarece fiecare matrice poate fi privită ca un sistem de vectori coloană, rangul unei matrice este definit ca numărul maxim de vectori coloană liniar independenți pe care îi conține. Vectorii rând sunt, de asemenea, utilizați pentru a determina rangul unei matrice. Ambele metode dau același rezultat pentru aceeași matrice și nu pot depăși cel mai mic dintre sau Rangul unei matrice pătrate de ordin variază de la 0 la . Dacă toți vectorii sunt zero, atunci rangul unei astfel de matrice este zero. Dacă toți vectorii sunt liniar independenți unul de celălalt, atunci rangul matricei este egal. Dacă formăm o matrice din vectorii de mai sus, atunci rangul acestei matrice este 2 Deoarece fiecare doi vectori poate fi redus la o treime printr-o combinație liniară, atunci rangul este mai mic de 3.

Dar ne putem asigura că oricare doi vectori ai acestora sunt independenți liniar, de unde și rangul

O matrice pătrată se numește singulară dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt dependenți liniar. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero și matricea sa inversă nu există, așa cum s-a menționat mai sus. Aceste concluzii sunt echivalente între ele. Ca rezultat, o matrice pătrată este numită nesingulară sau nesingulară, dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt independenți unul de celălalt. Determinantul unei astfel de matrice nu este egal cu zero și matricea sa inversă există (comparați cu p. 43)

Rangul matricei are o interpretare geometrică destul de evidentă. Dacă rangul matricei este egal cu , atunci se spune că spațiul -dimensional este acoperit de vectori. Dacă rangul este, atunci vectorii se află într-un subspațiu -dimensional care îi include pe toți. Deci, rangul matricei corespunde dimensiunii minime necesare a spațiului „care conține toți vectorii” un subspațiu -dimensional într-un spațiu -dimensional se numește hiperplan -dimensional. Rangul matricei corespunde celei mai mici dimensiuni a hiperplanului în care se află încă toți vectorii.

Ortogonalitatea. Doi vectori a și b se spune că sunt reciproc ortogonali dacă produsul lor scalar este zero. Dacă matricea de ordine are egalitatea în care D este o matrice diagonală, atunci vectorii coloană ai matricei A sunt perechi ortogonali reciproc. Dacă acești vectori coloană sunt normalizați, adică redusi la o lungime egală cu 1, atunci apare egalitatea și vorbim de vectori ortonormali. Dacă B este o matrice pătrată și egalitatea este valabilă, atunci matricea B se numește ortogonală. În acest caz, din formula (1.22) rezultă că matricea ortogonală este întotdeauna nesingulară. Prin urmare, din ortogonalitatea matricei, urmează independența liniară a vectorilor ei rând sau a vectorilor coloană. Afirmația inversă nu este adevărată: independența liniară a unui sistem de vectori nu implică ortogonalitatea pe perechi a acestor vectori.

Fie k rânduri și k coloane (k ≤ min(m; n)) să fie selectate aleatoriu într-o matrice A de dimensiuni (m; n). Elementele de matrice situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate formează o matrice pătrată de ordinul k, al cărei determinant se numește minorul M kk de ordinul k y sau minorul de ordinul k al matricei A.

Rangul unei matrice este ordinul maxim al r minore nenule ale matricei A, iar orice minor de ordinul r care este diferit de zero este o bază minoră. Denumire: rang A = r. Dacă rangul A = rangul B și dimensiunile matricelor A și B sunt aceleași, atunci matricele A și B se numesc echivalente. Denumire: A ~ B.

Principalele metode de calcul al rangului unei matrice sunt metoda limitării minorilor și metoda.

Metoda limitării minorilor

Esența metodei minorilor învecinați este următoarea. Fie că un minor de ordinul k, diferit de zero, a fost deja găsit în matrice. Apoi considerăm mai jos doar acele minore de ordin k+1 care conțin (adică chenar) un minor de ordinul k, care este diferit de zero. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu k, în caz contrar, printre minorii limită de ordinul (k+1) există unul diferit de zero și se repetă întreaga procedură.

Independența liniară a rândurilor (coloanelor) unei matrice

Conceptul de rang de matrice este strâns legat de conceptul de independență liniară a rândurilor (coloanelor) sale.

se numesc dependente liniar dacă există numere λ 1, λ 2, λ k astfel încât egalitatea este adevărată:

Rândurile matricei A se numesc liniar independente dacă egalitatea de mai sus este posibilă numai în cazul în care toate numerele λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Dependența liniară și independența coloanelor matricei A sunt determinate în mod similar.

Dacă orice rând (a l) al matricei A (unde (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) poate fi reprezentat ca

Conceptul de combinație liniară de coloane este definit într-un mod similar. Următoarea teoremă despre baza minoră este valabilă.

Rândurile de bază și coloanele de bază sunt liniar independente. Orice rând (sau coloană) a matricei A este o combinație liniară a rândurilor de bază (coloanelor), adică rândurilor (coloanelor) care intersectează baza minoră. Astfel, rangul matricei A: rang A = k este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente ale matricei A.

Acestea. Rangul unei matrice este dimensiunea celei mai mari matrice pătrate din cadrul matricei pentru care trebuie determinat rangul, pentru care determinantul nu este egal cu zero. Dacă matricea originală nu este pătrată sau dacă este pătrată, dar determinantul său este zero, atunci pentru matricele pătrate de ordin inferior rândurile și coloanele sunt alese arbitrar.

Pe lângă determinanți, rangul unei matrice poate fi calculat prin numărul de rânduri sau coloane liniar independente ale matricei. Este egal cu numărul de rânduri sau coloane liniar independente, oricare dintre acestea este mai mic. De exemplu, dacă o matrice are 3 rânduri liniar independente și 5 coloane liniar independente, atunci rangul ei este trei.

Exemple de găsire a rangului unei matrice

Folosind metoda limitării minorilor, găsiți rangul matricei

Soluție: minor de ordinul doi

minorul limitrof M 2 este, de asemenea, diferit de zero. Cu toate acestea, ambii minori sunt de ordinul al patrulea, învecinați cu M 3 .

sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul matricei A este 3, iar baza minoră este, de exemplu, minorul M 3 prezentat mai sus.

Metoda transformărilor elementare se bazează pe faptul că transformări elementare matricele nu își schimbă rangul. Folosind aceste transformări, puteți aduce matricea într-o formă în care toate elementele sale, cu excepția a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), sunt egale cu zero. Acest lucru înseamnă evident că rangul A = r. Rețineți că dacă o matrice de ordinul al n-lea are forma unei matrici triunghiulare superioare, adică o matrice în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero, atunci definiția sa este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală. . Această proprietate poate fi folosită atunci când se calculează rangul unei matrice folosind metoda transformărilor elementare: este necesar să le folosim pentru a reduce matricea la una triunghiulară și apoi, selectând determinantul corespunzător, constatăm că rangul matricei este egal cu numărul de elemente ale diagonalei principale care sunt diferite de zero.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți rangul matricei

Soluție. Să notăm i-a linie matricea A prin simbolul α i . În prima etapă, vom efectua transformări elementare

În a doua etapă, efectuăm transformările

unde sunt unele numere (unele dintre aceste numere sau chiar toate pot fi egale cu zero). Aceasta înseamnă că există următoarele egalități între elementele coloanelor:

Din (3.3.1) rezultă că

Este ușor de observat contrariul: dacă șirurile sunt dependente liniar, atunci există un șir care va fi o combinație liniară a șirurilor rămase.

Fie, de exemplu, în (3.3.3), atunci .

Definiție. Fie identificat un anumit ordin al r-lea minor în matricea A și fie ca (r+1)-al-lea minor de ordin al aceleiași matrice să conțină în întregime minorul . Vom spune că în acest caz minorul se învecinează cu minorul (sau se învecinează cu ).

Acum vom demonstra o lemă importantă.

Lema despre minorii învecinați. Dacă un minor de ordinul r al matricei A= este diferit de zero și toate minorele care îl mărginesc sunt egale cu zero, atunci orice rând (coloană) a matricei A este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) sale care alcătuiesc .

Dovada. Fără a pierde generalitatea raționamentului, vom presupune că o minoră diferită de zero de ordinul r se află în colțul din stânga sus al matricei A =:

Pentru primele k rânduri ale matricei A, afirmația lemei este evidentă: este suficient să includeți într-o combinație liniară același rând cu un coeficient egal cu unu, iar restul - cu coeficienți egali cu zero.

Să demonstrăm acum că rândurile rămase ale matricei A sunt exprimate liniar prin primele k rânduri. Pentru a face acest lucru, construim un minor de ordin (r+1) adăugând linia k-a () la minor și l a coloana():

Minorul rezultat este egal cu zero pentru toate k și l. Dacă , atunci este egal cu zero, deoarece conține două coloane identice. Dacă , atunci minorul rezultat este o muchie minoră pentru și, prin urmare, este egal cu zero în condițiile lemei.

Să descompunem minorul după elementele ultimului l a coloana:

Presupunând că obținem:

(3.3.6)

Expresia (3.3.6) înseamnă că a k-a linie matricea A este exprimată liniar prin primele r rânduri.

Corolarul I. Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază. Într-adevăr, baza minoră a matricei este diferită de zero, iar toți minorii care o mărginesc sunt egale cu zero.

Corolarul II. Un determinant de ordinul al n-lea este egal cu zero dacă și numai dacă conține rânduri (coloane) dependente liniar. Suficiența dependenței liniare a rândurilor (coloanelor) pentru ca determinantul să fie egal cu zero a fost dovedită mai devreme ca o proprietate a determinanților.

Să dovedim necesitatea. Să ni se dea o matrice pătrată de ordinul al n-lea al cărei singur minor este zero. Rezultă că rangul acestei matrice este mai mic decât n, adică. există cel puțin un rând care este o combinație liniară a rândurilor de bază ale acestei matrice.

Să demonstrăm o altă teoremă despre rangul matricei.

Teorema. Numărul maxim de rânduri liniar independente ale unei matrice este egal cu numărul maxim al coloanelor sale liniar independente și este egal cu rangul acestei matrice.

Dovada. Fie rangul matricei A= egal cu r. Atunci oricare dintre k rândurile sale de bază sunt liniar independente, altfel baza minoră ar fi egală cu zero. Pe de altă parte, orice r+1 sau mai multe rânduri sunt dependente liniar. Presupunând contrariul, am putea găsi un minor de ordin mai mare decât r care este diferit de zero după Corolarul 2 al lemei anterioare. Acesta din urmă contrazice faptul că ordinul maxim al minorilor diferit de zero este r. Tot ceea ce este dovedit pentru rânduri este valabil și pentru coloane.

În concluzie, vom schița o altă metodă de găsire a rangului unei matrice. Rangul unei matrice poate fi determinat prin găsirea unui minor de ordinul maxim care este diferit de zero.

La prima vedere, acest lucru necesită calculul unui număr finit, dar poate foarte mare de minore ale acestei matrice.

Următoarea teoremă permite, totuși, introducerea unor simplificări semnificative în acest sens.

Teorema. Dacă minorul matricei A este diferit de zero și toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Dovada. Este suficient să arătăm că orice subsistem de rânduri de matrice pentru S>r va fi dependent liniar în condițiile teoremei (se va urma că r este numărul maxim de rânduri de matrice liniar independente sau oricare dintre minorele sale de ordin mai mare decât k sunt egale cu zero).

Acum luați în considerare următoarea combinație liniară:

Folosind (3.3.7) și (3.3.8), obținem

care contrazice independența rândurilor liniare.

În consecință, presupunerea noastră este incorectă și, prin urmare, orice rând S>r în condițiile teoremei sunt dependente liniar. Teorema a fost demonstrată.

Să luăm în considerare regula de calcul al rangului unei matrice - metoda limitării minorilor, pe baza acestei teoreme.

Când se calculează rangul unei matrice, ar trebui să se treacă de la minori de ordin inferior la minori de ordin superior. Dacă un minor de ordinul r, diferit de zero, a fost deja găsit, atunci este necesar să se calculeze doar minorii de ordinul (r+1) care mărginesc minorul. Dacă sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r. Această metodă este folosită și dacă nu numai că calculăm rangul matricei, ci și stabilim ce coloane (rânduri) alcătuiesc baza minoră a matricei.

Exemplu. Calculați rangul matricei folosind metoda minorilor învecinați

Soluţie. Minorul de ordinul doi, situat în colțul din stânga sus al matricei A, este diferit de zero:

Cu toate acestea, toți minorii de ordinul trei care îl înconjoară sunt egali cu zero:

;	;
;	;
;	.

Prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi: .

Primul și al doilea rând, prima și a doua coloană din această matrice sunt de bază. Rândurile și coloanele rămase sunt combinații liniare ale acestora. De fapt, următoarele egalități sunt valabile pentru șiruri:

În concluzie, remarcăm validitatea următoarelor proprietăți:

1) rangul produsului de matrice nu este mai mare decât rangul fiecăruia dintre factori;

2) rangul produsului unei matrice arbitrare A la dreapta sau la stânga de o matrice pătrată nesingulară Q este egal cu rangul matricei A.

Matrici polinomiale

Definiție. O matrice polinomială sau -matrice este o matrice dreptunghiulară ale cărei elemente sunt polinoame într-o variabilă cu coeficienți numerici.

Transformările elementare pot fi efectuate pe -matrice. Acestea includ:

Rearanjarea a două rânduri (coloane);

Înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;

Adăugând la un rând (coloană) un alt rând (coloană) înmulțit cu orice polinom.

Două -matrice și de aceeași dimensiune se spune că sunt echivalente: , dacă se poate trece de la matrice la utilizarea unui număr finit de transformări elementare.

Exemplu. Demonstrați echivalența matricei

1. Schimbați prima și a doua coloană din matrice:

2. Din a doua linie, scădeți primul, înmulțit cu ():

3. Înmulțiți a doua linie cu (–1) și rețineți că

4. Scădeți din a doua coloană prima, înmulțită cu , obținem

Mulțimea tuturor -matricelor de dimensiuni date este împărțită în clase disjunse de matrici echivalente. Matricele care sunt echivalente între ele formează o clasă, iar cele care nu sunt echivalente formează alta.

Fiecare clasă de matrici echivalente este caracterizată de o matrice canonică sau normală de dimensiuni date.

Definiție. O matrice canonică sau normală de dimensiuni este o matrice a cărei diagonală principală conține polinoame, unde p este cea mai mică dintre numerele m și n ( ), iar polinoamele care nu sunt egale cu zero au coeficienți conducători egali cu 1, iar fiecare polinom următor este împărțit la cel anterior. Toate elementele din afara diagonalei principale sunt 0.

Din definiție rezultă că dacă printre polinoame există polinoame de grad zero, atunci acestea se află la începutul diagonalei principale. Dacă există zerouri, acestea sunt la capătul diagonalei principale.

Matricea exemplului anterior este canonică. Matrice

de asemenea canonice.

Fiecare clasă de matrice conține o matrice canonică unică, adică. fiecare -matrice este echivalentă cu o matrice canonică unică, care se numește formă canonică sau forma normala a acestei matrice.

Polinoamele situate pe diagonala principală a formei canonice a unei matrici date se numesc factori invarianți ai acestei matrici.

O metodă pentru calcularea factorilor invarianți este reducerea unei matrice date la formă canonică.

Astfel, pentru matricea exemplului anterior, factorii invarianți sunt

, , , .

Din cele de mai sus rezultă că prezența aceluiași set de factori invarianți este o condiție necesară și suficientă pentru echivalența -matricelor.

Reducerea -matricilor la formă canonică se reduce la definirea factorilor invarianţi

, ; ,

unde r este rangul matricei; - cel mai mare divizor comun al minorilor de ordinul k, luat cu coeficientul de conducere egal cu 1.

Exemplu. Fie dat -matrice

Soluţie. Evident, cel mai mare divizor comun de ordinul întâi, i.e. .

Să definim minorii de ordinul doi:

etc.

Deja aceste date sunt suficiente pentru a trage o concluzie: prin urmare, .

Noi definim

Prin urmare, .

Astfel, forma canonică a acestei matrice este următorul este matricea:

Un polinom matriceal este o expresie a formei

unde este variabilă; - matrici pătrate ordine n cu elemente numerice.

Dacă , atunci S se numește gradul polinomului matriceal, n este ordinul polinomului matriceal.

Orice matrice pătratică poate fi reprezentată ca un polinom matriceal. Evident, este adevărată și afirmația opusă, adică. orice polinom matriceal poate fi reprezentat ca o matrice pătrată.

Validitatea acestor afirmații rezultă în mod clar din proprietățile operațiilor pe matrice. Să ne uităm la următoarele exemple:

Exemplu. Reprezentați o matrice polinomială

sub forma unui polinom matriceal după cum urmează

Exemplu. Polinom matriceal

poate fi reprezentat ca următoarea matrice polinomială (-matrice)

Această interschimbabilitate a polinoamelor matriceale și a matricelor polinomiale joacă un rol semnificativ în aparatul matematic al metodelor de analiză factorială și componente.

Polinoamele matriceale de același ordin pot fi adunate, scăzute și înmulțite în același mod ca polinoamele obișnuite cu coeficienți numerici. Cu toate acestea, trebuie amintit că înmulțirea polinoamelor matriceale, în general, nu este comutativă, deoarece Înmulțirea prin matrice nu este comutativă.

Se spune că două polinoame matriceale sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali, i.e. matrice corespunzătoare pentru aceleași puteri ale variabilei .

Suma (diferența) a două polinoame matriceale este un polinom matriceal al cărui coeficient pentru fiecare grad al variabilei este egal cu suma (diferența) coeficienților pentru același grad din polinoame și .

Pentru a înmulți un polinom matriceal cu un polinom matriceal, trebuie să înmulțiți fiecare termen al polinomului matriceal cu fiecare termen al polinomului matriceal, să adăugați produsele rezultate și să aduceți termeni similari.

Gradul unui polinom matriceal este un produs mai mic sau egal cu suma gradelor factorilor.

Operațiile pe polinoamele matriceale pot fi efectuate folosind operații pe matricele corespunzătoare.

Pentru a adăuga (scădea) polinoame de matrice, este suficient să adăugați (scădeți) -matrice corespunzătoare. Același lucru este valabil și pentru înmulțire. -matricea produsului polinoamelor matriceale este egală cu produsul -matricelor factorilor.

Pe de altă parte, și poate fi scris în formă

unde B 0 este o matrice nesingulară.

La împărțirea la există un coeficient drept unic și un rest drept

unde gradul lui R 1 este mai mic decât gradul sau (diviziunea fără rest), precum și câtul din stânga și restul din stânga dacă și numai dacă, unde de ordin