Rangul unei matrice pătrate de ordinul al patrulea. Rangul matricei

Fie A o matrice de dimensiuni m\x n și k un număr natural care nu depășește m și n: k\leqslant\min\(m;n\). Ordine K-a minoră matricea A este determinantul unei matrice de ordin k formată din elementele de la intersecția dintre k rânduri și k coloane alese în mod arbitrar ale matricei A. La desemnarea minorilor, vom indica numerele rândurilor selectate ca indici superiori, iar numerele coloanelor selectate ca indici inferiori, aranjandu-le în ordine crescătoare.

Exemplul 3.4. Scrieți minori de diferite ordine ale matricei

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Soluţie. Matricea A are dimensiuni de 3\x4 . Are: 12 minori de ordinul I, de exemplu, minor M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 minori de ordinul 2, de exemplu, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 minori de ordinul 3, de exemplu,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Într-o matrice A de dimensiuni m\x n se numește ordinul al r-lea minor de bază, dacă este diferit de zero și toți minorii de ordin (r+1)-ro sunt egali cu zero sau nu există deloc.

Rangul matricei se numește ordinea de bază minoră. Nu există o bază minoră într-o matrice zero. Prin urmare, rangul matricei zero este, prin definiție, egal cu zero. Rangul matricei A este notat cu \operatorname(rg)A.

Exemplul 3.5. Găsiți toate minorii de bază și rangul matricei

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Soluţie. Toți minorii de ordinul trei ai acestei matrice sunt egali cu zero, deoarece acești determinanți au un al treilea rând zero. Prin urmare, doar un minor de ordinul doi situat în primele două rânduri ale matricei poate fi de bază. Trecând prin 6 minori posibili, selectăm non-zero

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Fiecare dintre acești cinci minori este unul de bază. Prin urmare, rangul matricei este 2.

Note 3.2

1. Dacă toate minorele de ordinul k dintr-o matrice sunt egale cu zero, atunci și minorele de ordin superior sunt egale cu zero. Într-adevăr, extinzând ordinul minor de (k+1)-ro peste orice rând, obținem suma produselor elementelor acestui rând prin minore de ordinul k, iar acestea sunt egale cu zero.

2. Rangul unei matrice este egal cu cel mai înalt ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

3. Dacă o matrice pătrată este nesingulară, atunci rangul ei este egal cu ordinea sa. Dacă o matrice pătrată este singulară, atunci rangul ei este mai mic decât ordinul său.

4. Desemnările sunt folosite și pentru rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Rangul matricei bloc este definit ca rangul unei matrice obișnuite (numerice), adică indiferent de structura sa bloc. În acest caz, rangul unei matrice de bloc nu este mai mic decât rangurile blocurilor sale: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)AȘi \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, deoarece toate minorele matricei A (sau B ) sunt și minore ale matricei bloc (A\mid B) .

Teoreme pe baza minorului și rangul matricei

Să luăm în considerare principalele teoreme care exprimă proprietățile dependenței liniare și ale independenței liniare ale coloanelor (rândurilor) unei matrice.

Teorema 3.1 pe baza minoră.Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) în care se află baza minoră.

Într-adevăr, fără pierderi de generalitate, presupunem că într-o matrice A de mărime m\x n baza minoră este situată în primele r rânduri și primele r coloane. Luați în considerare determinantul

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

care se obține prin alocarea elementelor corespunzătoare ale rândului și coloanei a k-a bazei minore a matricei A. Rețineți că pentru orice 1\leqslant s\leqslant m iar acest determinant este egal cu zero. Dacă s\leqslant r sau k\leqslant r , atunci determinantul D conține două rânduri identice sau două coloane identice. Dacă s>r și k>r, atunci determinantul D este egal cu zero, deoarece este minor de ordinul (r+l)-ro. Extinderea determinantului de-a lungul ultimei linii, obținem

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

unde D_(r+1\,j) sunt complementele algebrice ale elementelor ultimului rând. Rețineți că D_(r+1\,r+1)\ne0 deoarece aceasta este o bază minoră. De aceea

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Unde \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Scriind ultima egalitate pentru s=1,2,\ldots,m, obținem

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

acestea. a k-a coloană (pentru orice 1\leqslant k\leqslant n) este o combinație liniară a coloanelor bazei minore, ceea ce trebuia să dovedim.

Teorema minoră a bazei servește la demonstrarea următoarelor teoreme importante.

Condiție pentru ca determinantul să fie zero

Teorema 3.2 (condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie zero). Pentru ca un determinant să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca una dintre coloanele sale (unul dintre rândurile sale) să fie o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.

Într-adevăr, necesitatea decurge din teorema minoră de bază. Dacă determinantul unei matrici pătrate de ordinul n este egal cu zero, atunci rangul său este mai mic decât n, adică. cel puțin o coloană nu este inclusă în baza minoră. Atunci această coloană aleasă, de teorema 3.1, este o combinație liniară a coloanelor în care se află baza minoră. Adăugând, dacă este necesar, la această combinație alte coloane cu coeficienți zero, obținem că coloana selectată este o combinație liniară a coloanelor rămase ale matricei. Suficiența rezultă din proprietățile determinantului. Dacă, de exemplu, ultima coloană A_n a determinantului \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) exprimată liniar prin restul

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

apoi adăugând la A_n coloana A_1 înmulțită cu (-\lambda_1), apoi coloana A_2 înmulțită cu (-\lambda_2), etc. coloana A_(n-1) înmulțită cu (-\lambda_(n-1)) obținem determinantul \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) cu o coloană nulă care este egală cu zero (proprietatea 2 a determinantului).

Invarianța rangului matricei sub transformări elementare

Teorema 3.3 (asupra invarianței rangului sub transformări elementare). În timpul transformărilor elementare ale coloanelor (rândurilor) unei matrice, rangul acesteia nu se modifică.

Într-adevăr, să fie. Să presupunem că în urma unei transformări elementare a coloanelor matricei A am obţinut matricea A". Dacă s-a efectuat o transformare de tip I (permutarea a două coloane), atunci orice minor (r+l)-ro de ordinul al matricei A" este fie egală cu minorul corespunzător (r+l )-ro de ordinul matricei A, fie diferă de acesta prin semn (proprietatea 3 a determinantului). Dacă a fost efectuată o transformare de tip II (înmulțirea coloanei cu numărul \lambda\ne0 ), atunci orice minor (r+l)-ro de ordinul matricei A" este fie egal cu minorul corespunzător (r+l) -ro de ordinul matricei A sau diferit de acesta factor \lambda\ne0 (proprietatea 6 a determinantului Dacă s-a efectuat o transformare de tip III (adăugând la o coloană o altă coloană înmulțită cu numărul \Lambda), atunci oricare minor al ordinului (r+1) al matricei A" este fie egal cu minorul corespunzător. (r+1) al-lea ordin al matricei A (proprietatea 9 a determinantului), fie este egal cu suma două minore (r+l)-ro de ordinul matricei A (proprietatea 8 a determinantului). Prin urmare, la o transformare elementară de orice tip, toate minorele (r+l)-ro de ordinul matricei A" sunt egale cu zero, deoarece toate minorele (r+l)-ro de ordinul matricei A sunt egal cu zero Astfel, s-a dovedit că la transformările elementare ale coloanelor matricea de rang nu poate crește Deoarece transformările inverse cu cele elementare sunt elementare, rangul matricei nu poate scădea la transformările elementare ale coloanelor, adică este similar. a demonstrat că rangul matricei nu se modifică la transformări elementare ale rândurilor.

Corolarul 1. Dacă un rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a celorlalte rânduri (coloane), atunci acest rând (coloană) poate fi șters din matrice fără a-și schimba rangul.

Într-adevăr, un astfel de șir poate fi făcut zero folosind transformări elementare, iar un șir zero nu poate fi inclus în baza minoră.

Corolarul 2. Dacă matricea este redusă la cea mai simplă formă (1.7), atunci

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Într-adevăr, matricea formei celei mai simple (1.7) are o bază minoră de ordinul r-a.

Corolarul 3. Orice matrice pătrată nesingulară este elementară, cu alte cuvinte, orice matrice pătrată nesingulară este echivalentă cu o matrice de identitate de același ordin.

Într-adevăr, dacă A este o matrice pătrată nesingulară de ordinul al n-lea, atunci \operatorname(rg)A=n(a se vedea punctul 3 din comentariile 3.2). Prin urmare, aducând matricea A la forma cea mai simplă (1.7) prin transformări elementare, obținem matricea de identitate \Lambda=E_n , deoarece \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vezi Corolarul 2). Prin urmare, matricea A este echivalentă cu matricea de identitate E_n și poate fi obținută din aceasta ca urmare a unui număr finit de transformări elementare. Aceasta înseamnă că matricea A este elementară.

Teorema 3.4 (despre rangul matricei). Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri liniar independente ale acestei matrice.

De fapt, lasă \operatorname(rg)A=r. Atunci matricea A are r rânduri liniar independente. Acestea sunt liniile în care se află baza minoră. Dacă ar fi dependente liniar, atunci acest minor ar fi egal cu zero prin Teorema 3.2, iar rangul matricei A nu ar fi egal cu r. Să arătăm că r este numărul maxim de rânduri liniar independente, adică. orice p rânduri sunt dependente liniar pentru p>r. Într-adevăr, formăm matricea B din aceste p rânduri. Deoarece matricea B face parte din matricea A, atunci \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Aceasta înseamnă că cel puțin un rând al matricei B nu este inclus în baza minoră a acestei matrice. Apoi, după teorema bazei minore, este egală cu o combinație liniară a rândurilor în care este situată baza minoră. Prin urmare, rândurile matricei B sunt dependente liniar. Astfel, matricea A are cel mult r rânduri liniar independente.

Corolarul 1. Numărul maxim de rânduri liniar independente dintr-o matrice este egal cu numărul maxim de coloane liniar independente:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Această afirmație rezultă din teorema 3.4 dacă o aplicăm rândurilor unei matrice transpuse și ținem cont de faptul că minorii nu se modifică în timpul transpunerii (proprietatea 1 a determinantului).

Corolarul 2. În timpul transformărilor elementare ale rândurilor unei matrice, dependența liniară (sau independența liniară) a oricărui sistem de coloane ale acestei matrice este păstrată.

De fapt, să alegem oricare k coloane ale unei matrice A date și să compunem matricea B din ele. Să presupunem că în urma transformărilor elementare ale rândurilor matricei A s-a obţinut matricea A" şi ca urmare a aceloraşi transformări ale rândurilor matricei B s-a obţinut matricea B". Prin teorema 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Prin urmare, dacă coloanele matricei B au fost liniar independente, i.e. k=\operatorname(rg)B(vezi Corolarul 1), atunci coloanele matricei B" sunt de asemenea independente liniar, deoarece k=\operatorname(rg)B". Dacă coloanele matricei B ar fi liniar dependente (k>\operatorname(rg)B), atunci coloanele matricei B" sunt de asemenea dependente liniar (k>\operatorname(rg)B"). În consecință, pentru orice coloană a matricei A, dependența liniară sau independența liniară este păstrată sub transformări elementare de rând.

Note 3.3

1. Prin corolarul 1 al teoremei 3.4, proprietatea coloanelor indicată în corolarul 2 este valabilă și pentru orice sistem de rânduri matrice dacă transformările elementare sunt efectuate numai pe coloanele sale.

2. Corolarul 3 al teoremei 3.3 poate fi rafinat după cum urmează: orice matrice pătrată nesingulară, utilizând transformări elementare doar ale rândurilor sale (sau numai coloanelor sale), poate fi redusă la o matrice de identitate de același ordin.

De fapt, folosind doar transformări elementare de rând, orice matrice A poate fi redusă la forma simplificată \Lambda (Fig. 1.5) (vezi Teorema 1.1). Deoarece matricea A este nesingulară (\det(A)\ne0), coloanele sale sunt liniar independente. Aceasta înseamnă că și coloanele matricei \Lambda sunt liniar independente (Corolarul 2 al Teoremei 3.4). Prin urmare, forma simplificată \Lambda a unei matrice nesingulare A coincide cu forma sa cea mai simplă (Fig. 1.6) și este matricea de identitate \Lambda=E (vezi Corolarul 3 al Teoremei 3.3). Astfel, prin transformarea doar a rândurilor unei matrice nesingulare, aceasta poate fi redusă la matricea de identitate. Raționament similar este valabil pentru transformările elementare ale coloanelor unei matrice nesingulare.

Rangul produsului și suma matricelor

Teorema 3.5 (cu privire la rangul produsului matricelor). Rangul produsului matricelor nu depășește rangul factorilor:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Într-adevăr, să fie matricele A și B dimensiunile m\x p și p\times n . Să atribuim matricei A matricea C=AB\colon\,(A\mid C). Desigur că \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), deoarece C face parte din matrice (A\mid C) (vezi paragraful 5 al observațiilor 3.2). Rețineți că fiecare coloană C_j, conform operației de multiplicare a matricei, este o combinație liniară de coloane A_1,A_2,\ldots,A_p matrici A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

O astfel de coloană poate fi ștearsă din matrice (A\mid C) fără a-și schimba rangul (Corolarul 1 al Teoremei 3.3). Tăiind toate coloanele matricei C, obținem: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. De aici, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. În mod similar, putem demonstra că condiția este îndeplinită simultan \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, și trageți o concluzie despre validitatea teoremei.

Consecinţă. Dacă A este o matrice pătrată nesingulară, atunci \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)BȘi \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, adică rangul unei matrice nu se schimbă atunci când este înmulțită de la stânga sau de la dreapta cu o matrice pătrată nesingulară.

Teorema 3.6 privind rangul sumelor matricelor. Rangul sumei matricelor nu depășește suma rândurilor termenilor:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Într-adevăr, să creăm o matrice (A+B\mid A\mid B). Rețineți că fiecare coloană a matricei A+B este o combinație liniară de coloane ale matricelor A și B. De aceea \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Avand in vedere ca numarul de coloane liniar independente din matrice (A\mid B) nu depaseste \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B,A \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vezi secțiunea 5 din Observațiile 3.2), obținem inegalitatea care se dovedește.

Să fie dată o matrice:

Să selectăm în această matrice șiruri arbitrare și coloane arbitrare
. Apoi determinantul ordinul al-lea, compus din elemente de matrice
, situat la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, se numește minor matricea de ordinul al-lea
.

Definiția 1.13. Rangul matricei
este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Pentru a calcula rangul unei matrice, trebuie să luăm în considerare toți minorii săi de ordinul cel mai mic și, dacă cel puțin unul dintre ei este diferit de zero, să trecem la luarea în considerare a minorilor de ordinul cel mai înalt. Această abordare de determinare a rangului unei matrice se numește metoda de limită (sau metoda de limită a minorilor).

Problema 1.4. Folosind metoda limitării minorilor, determinați rangul matricei
.

Luați în considerare marginile de ordinul întâi, de exemplu,
. Apoi trecem la considerarea unor margini de ordinul doi.

De exemplu,
.

În cele din urmă, să analizăm granița de ordinul trei.

Deci cel mai înalt ordin al unui minor diferit de zero este 2, prin urmare
.

Când rezolvați Problema 1.4, puteți observa că un număr de minori de ordinul doi sunt diferit de zero. În acest sens, se aplică următorul concept.

Definiția 1.14. O bază minoră a unei matrice este orice minor diferit de zero a cărui ordine este egală cu rangul matricei.

Teorema 1.2.(Teorema de bază minoră). Rândurile de bază (coloanele de bază) sunt liniar independente.

Rețineți că rândurile (coloanele) unei matrice sunt dependente liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre ele poate fi reprezentată ca o combinație liniară a celorlalte.

Teorema 1.3. Numărul de rânduri de matrice liniar independente este egal cu numărul de coloane de matrice liniar independente și este egal cu rangul matricei.

Teorema 1.4.(Condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca determinantul -a comanda a fost egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

Calcularea rangului unei matrice pe baza definiției sale este prea greoaie. Acest lucru devine deosebit de important pentru matricele de ordin înalt. În acest sens, în practică, rangul unei matrice este calculat pe baza aplicării teoremelor 10.2 - 10.4, precum și a utilizării conceptelor de echivalență a matricei și transformări elementare.

Definiția 1.15. Două matrice
Și sunt numite echivalente dacă rangurile lor sunt egale, adică.
.

Dacă matrice
Și sunt echivalente, apoi rețineți
 .

Teorema 1.5. Rangul matricei nu se modifică din cauza transformărilor elementare.

Vom numi transformări matrice elementare
oricare dintre următoarele operații pe o matrice:

Înlocuirea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rândurile corespunzătoare;

Rearanjarea rândurilor matricei;

Tăierea unei linii ale cărei elemente sunt toate zero;

Înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;

Adăugând la elementele unei linii elementele corespunzătoare ale altei linii înmulțite cu același număr
.

Corolarul teoremei 1.5. Dacă matricea
obtinut din matrice folosind un număr finit de transformări elementare, apoi matricea
Și sunt echivalente.

Când se calculează rangul unei matrice, aceasta ar trebui redusă la o formă trapezoidală folosind un număr finit de transformări elementare.

Definiția 1.16. Vom numi trapezoidală o formă de reprezentare matricială atunci când în marginea minoră de ordinul cel mai înalt non-zero, toate elementele de sub cele diagonale dispar. De exemplu:

Aici
, elemente de matrice
mergi la zero. Apoi forma de reprezentare a unei astfel de matrice va fi trapezoidală.

De regulă, matricele sunt reduse la o formă trapezoidală folosind algoritmul gaussian. Ideea algoritmului Gauss este că, prin înmulțirea elementelor primului rând al matricei cu factorii corespunzători, se realizează ca toate elementele primei coloane situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi, înmulțind elementele coloanei a doua cu factorii corespunzători, ne asigurăm că toate elementele coloanei a doua situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi procedați în același mod.

Problema 1.5. Determinați rangul unei matrice prin reducerea acesteia la o formă trapezoidală.

Pentru a facilita utilizarea algoritmului gaussian, puteți schimba prima și a treia linie.








.

Este evident că aici
. Cu toate acestea, pentru a aduce rezultatul într-o formă mai elegantă, puteți continua transformarea coloanelor.










.

„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă și dacă vrei să înveți sa rezolve probleme, Acea rezolva-le.»
D. Polya (1887-1985)

(Matematician. A adus o mare contribuție la popularizarea matematicii. A scris mai multe cărți despre cum să rezolvi problemele și despre cum să predai rezolvarea problemelor.)

Luați în considerare matricea

Să evidențiem în ea k-rânduriȘi k-coloane (k≤(min(m,n))). Din elementele situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate vom compune un determinant kth Ordin. Toți astfel de determinanți sunt numiți minorii acestei matrice.

Să luăm în considerare toți minorii matrici posibili A, diferit de zero.

Rangul matricei A este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice se presupune că este zero.

Se numește un minor a cărui ordine determină rangul matricei de bază.

O matrice poate avea mai multe baze minore.

Rangul matricei A notat cu r(A). Dacă r(A)=r(B), apoi matricele AȘi ÎN sunt numite echivalent. Ei scriu A̴∼B.

Proprietățile rangului matricei:

Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă.
Dacă ștergeți rândul (coloana) zero din matrice, rangul matricei nu se va modifica.
Rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare ale matricei.

Prin transformări elementare înțelegem:

Rearanjarea rândurilor matricei;
Înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
Adăugarea elementelor unei linii a elementelor corespunzătoare unei alte linii, înmulțite cu un număr arbitrar.

La calcularea rangului unei matrice, pot fi utilizate transformări elementare, metoda de reducere a matricei la o formă în trepte și metoda limitării minorilor.

Metodă de reducere a unei matrice la o treaptă Ideea este că, cu ajutorul transformărilor elementare, această matrice este redusă la o matrice în trepte.

Matricea se numește călcat , dacă în fiecare dintre liniile sale primul element diferit de zero este la dreapta decât în precedentul (adică se obțin pași, înălțimea fiecărei trepte trebuie să fie egală cu unu).

Exemple de matrice de etape:

Exemple de matrice non-eșalon:

EXEMPLU: Aflați rangul matricei:

SOLUŢIE:

Să reducem această matrice la o matrice în trepte folosind transformări elementare.

1. Schimbați prima și a treia linie.

2. Primim zerouri sub unu în prima coloană.

Adunând prima linie înmulțită cu (-3) la a doua linie, prima linie înmulțită cu (-5) la a treia linie și prima linie înmulțită cu (-3) la a patra linie, obținem

Pentru a fi mai clar unde mai trebuie să obțineți zerouri, să desenăm pași în matrice. (Matricea va fi treptă dacă există zerouri peste tot sub trepte)

3. Adunând a doua linie înmulțită cu (-1) la a treia linie și a doua linie înmulțită cu (-1) la a patra linie, obținem zerouri sub pașii din a doua coloană.

Dacă desenăm din nou pașii, vom vedea că matricea este în trepte.

Rangul ei este r=3(numărul de rânduri ale matricei pasului, în fiecare dintre care cel puțin un element este diferit de zero). Prin urmare, rangul acestei matrice r=3.

Soluția poate fi scrisă astfel:

(Numerele romane indică numerele de linii)

Răspuns: r=3.

Comanda minora k+1, conţinând un minor de ordin k numit învecinat cu minorul.

Metoda limitării minorilor se bazează pe faptul că rangul unei matrice date este egal cu ordinea unui minor al acestei matrice care este diferit de zero, iar toți minorii care o mărginesc sunt egali cu zero.

Definiție. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 despre rangul matricei. Rangul matricei se numește ordinul maxim al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Am discutat deja despre conceptul de minor în lecția despre determinanți, iar acum îl vom generaliza. Să luăm un anumit număr de rânduri și un anumit număr de coloane din matrice, iar acest „cât” ar trebui să fie mai mic decât numărul de rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „cât” ar trebui să fie acelasi numar. Apoi, la intersecția câte rânduri și câte coloane va exista o matrice de ordin mai mic decât matricea noastră originală. Determinantul este o matrice și va fi minor de ordinul k, dacă „unele” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiție. Minor ( r Ordinul +1), în care se află minorul ales r-allea ordin se numește margine pentru un anumit minor.

Cele două metode cele mai frecvent utilizate sunt aflarea rangului matricei. Acest mod de a se învecina cu minoriiȘi metoda transformărilor elementare(metoda Gauss).

Când se folosește metoda minorilor limită, se folosește următoarea teoremă.

Teorema 2 asupra rangului matricei. Dacă un minor poate fi format din elemente de matrice r de ordinul al-lea, nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Când se utilizează metoda de transformare elementară, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, altele decât liniile formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor

Un minor care înglobează este un minor de ordin superior față de cel dat, dacă acest minor de ordin superior conține minorul dat.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

Minorii limitrofe vor fi:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Găsiți minori de ordinul doi care nu sunt egali cu zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compunem minorii limitrofe de ordinul al treilea. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu trei ( r =2 ).

4. Continuăm în acest fel atâta timp cât dimensiunea matricei ne permite.

Exemplul 1. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minor de ordinul doi .

Să o limităm. Vor fi patru minori în graniță:

Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este egal cu doi ( r =2 ).

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este egal cu 1, întrucât toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în aceasta, ca și în cazurile minorilor limitrofe din următoarele două exemple, dragi elevi sunt invitați să verifice pt. ei înșiși, poate folosind regulile de calcul al determinanților), iar printre minorii de ordinul întâi, adică printre elementele matricei, există și altele diferite de zero.

Exemplul 3. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minorul de ordinul doi al acestei matrice este și toate minorii de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 3, deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare (metoda Gauss)

Deja în exemplul 1 este clar că sarcina de a determina rangul unei matrice folosind metoda minorilor învecinați necesită calcularea unui număr mare de determinanți. Există, totuși, o modalitate de a reduce cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Următoarele operații sunt înțelese ca transformări matrice elementare:

1) înmulțirea oricărui rând sau coloană a unei matrice cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau coloană a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) schimbarea a două rânduri sau coloane ale matricei;

4) eliminarea rândurilor „nule”, adică a celor ale căror elemente sunt toate egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale cu excepția uneia.

Teorema.În timpul unei transformări elementare, rangul matricei nu se modifică. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice A a mers la matrice B, Acea .

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea consistenței unui sistem de ecuații algebrice liniare. În acest articol vom oferi conceptul de rang de matrice și vom lua în considerare metodele pentru a-l găsi. Pentru a înțelege mai bine materialul, vom analiza în detaliu soluțiile la mai multe exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și concepte suplimentare necesare.

Înainte de a exprima definiția rangului unei matrice, ar trebui să aveți o bună înțelegere a conceptului de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Deci, dacă este necesar, vă recomandăm să vă amintiți teoria articolului, metodele de găsire a determinantului unei matrice și proprietățile determinantului.

Să luăm o matrice A de ordin. Fie k un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Ordine K-a minoră matricea A este determinantul unei matrice pătrate de ordine, compusă din elemente ale matricei A, care sunt situate în k rânduri și k coloane preselectate, iar dispunerea elementelor matricei A se păstrează.

Cu alte cuvinte, dacă în matricea A ștergem (p–k) rânduri și (n–k) coloane, iar din elementele rămase creăm o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul de matricea rezultată este un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde unui minor de ordinul întâi. . Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am format un determinant din elementul rămas. Dacă alegem primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul întâi
Și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere avem un minor de ordinul doi . Acest minor ar putea fi creat și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este .

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
Și .

În mod similar, pot fi găsiți minori de ordinul trei ai matricei A. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane ale acestor rânduri, obținem un minor de ordinul trei

De asemenea, poate fi construit prin tăierea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată o imagine care arată construcția acestor minori de ordinul trei
Și .

Pentru o matrice dată A nu există minore de ordin mai mari de treime, deoarece .

Câte minore de ordinul k sunt ale unei matrice A de ordin?

Numărul de minori de ordinul k poate fi calculat ca , unde Și - numărul de combinații de la p la k și respectiv de la n la k.

Cum se construiesc toate minorele de ordin k ale matricei A de ordinul p prin n?

Vom avea nevoie de multe numere de rând matrice și de multe numere de coloane. Scriem totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A când se construiește un minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de rând adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente ale k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorii de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 până la 2 numere de rând ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de 3 până la 2 numere de coloane sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Să luăm primul și al doilea rând al matricei A. Selectând prima și a doua coloană, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană pentru aceste rânduri, obținem minorele, respectiv

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, toți cei nouă minori de ordinul doi din matricea A au fost găsiți.

Acum putem trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei este ordinul cel mai înalt al minorului diferit de zero al matricei.

Rangul matricei A este notat cu Rank(A) . Puteți găsi, de asemenea, denumirile Rg(A) sau Rang(A) .

Din definițiile rangului matricei și ale matricei minore, putem concluziona că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice nenule nu este mai mic de unu.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare a minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Să descriem pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin enumerarea minorilor.

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, ne uităm la minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul doi, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele p și n.

Exemplu.

Aflați rangul matricei .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Să trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei. Total dintre ele lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor.

Există și alte metode de găsire a rangului unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda marginii minore.

Să ne ocupăm de conceptul de margine minoră.

Se spune că un M ok minor de ordinul (k+1) al matricei A mărginește un M minor de ordinul k al matricei A dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minorului. M .

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginal M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul al doilea. Să notăm toți minorii de la graniță:

Metoda limitării minorilor este justificată de următoarea teoremă (prezentăm formularea ei fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k+1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a găsi rangul unei matrice nu este necesar să parcurgeți toți minorii suficient de învecinați. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordinul k al unei matrice A de ordin , se află prin formula . Rețineți că nu există mai multe minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A decât există (k + 1) minore ale matricei A. Prin urmare, în majoritatea cazurilor, utilizarea metodei limitării minorilor este mai profitabilă decât simpla enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului matricei folosind metoda limitării minorilor. Să descriem pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci ca minor de ordinul întâi luăm orice element al matricei A care este diferit de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero (ordinea acestuia este de doi), atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci Rank(A) = 2. Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este de trei), atunci luăm în considerare minorii săi învecinați. Și așa mai departe. Ca rezultat, Rank(A) = k dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rank(A) = min(p, n) dacă există un non- zero minor mărginind un minor de ordin (min( p, n) – 1) .

Să ne uităm la metoda de margine a minorilor pentru a găsi rangul unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul matricei prin metoda limitării minorilor.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor învecinat care este diferit de zero:

Se găsește o muchie minoră de ordinul doi, diferită de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care se învecinează cu minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Exemplu.

Aflați rangul matricei folosind minori învecinați.

Soluţie.

Ca minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A. Minorul din jur de ordinul doi nu este egal cu zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei
. Deoarece nu este egal cu zero și nu există o limită minoră pentru el, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang(A) = 3 .

Găsirea rangului folosind transformări matriceale elementare (metoda Gauss).

Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

rearanjarea rândurilor (sau coloanelor) unei matrice;
înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, diferit de zero;
adunând la elementele unui rând (coloană) elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă B se obține din A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor se notează prin simbolul „~”, adică scris A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare de matrice se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B) .

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

Când rearanjați rândurile (sau coloanele) unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când rândurile (coloanele) sunt rearanjate, rămâne egal cu zero.
Atunci când înmulțiți toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k altul decât zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
Adăugarea elementelor unui anumit rând (coloană) a unei matrice a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un anumit număr k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare constă în reducerea matricei al cărei rang trebuie să-l găsim la una trapezoidală (într-un caz particular, la una triunghiulară superioară) folosind transformări elementare.

De ce se face asta? Rangul matricelor de acest tip este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și, deoarece rangul matricei nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Oferim ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Aspectul lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu . În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notând-o A (1):

La elementele celui de-al doilea rând din matricea rezultată A (1) adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . La elementele din a treia linie adăugăm elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Să obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate situate în rânduri de la a doua la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal catre unul.

Dacă în liniile de la a doua la p-a există cel puțin un element diferit de zero, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm exact în același mod, dar numai cu partea din matricea A (2) marcată în figură.

Dacă , atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.

Asa de, . Înmulțim fiecare element al celui de-al doilea rând al matricei A (2) cu . Obținem matricea echivalentă A (3):

La elementele celui de-al treilea rând din matricea rezultată A (3) adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu . La elementele din a patra linie adăugăm elementele corespunzătoare din a doua linie, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Să obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (4):

Dacă toate elementele matricei rezultate situate în rânduri de la a treia la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu doi și, prin urmare, Rank(A) = 2.

Dacă liniile de la a treia la p-a conțin cel puțin un element diferit de zero, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm în absolut același mod, dar numai cu partea de matrice marcată în figură

Elementul este diferit de zero, deci putem înmulți elementele celui de-al doilea rând al matricei A (2) cu:

La elementele celui de-al treilea rând al matricei rezultate adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu ; la elementele liniei a patra – elementele liniei a doua înmulțite cu ; la elementele liniei a cincea – elementele liniei a doua, înmulțite cu:

Toate elementele celui de-al treilea, al patrulea și al cincilea rând ale matricei rezultate sunt egale cu zero. Deci, folosind transformări elementare, am adus matricea A în formă trapezoidală, din care se poate observa că Rank(A (4)) = 2. Prin urmare, rangul matricei originale este, de asemenea, doi.

Deci prima coloană este convertită în forma dorită.

Elementul din matricea rezultată este diferit de zero. Înmulțiți elementele din a doua linie cu:

A doua coloană a matricei rezultate are forma dorită, deoarece elementul este deja egal cu zero.

Deoarece , a , apoi schimbați coloana a treia și a patra:

Să înmulțim al treilea rând al matricei rezultate cu:

Aceasta completează transformarea. Obținem Rank(A (5))=3, prin urmare, Rank(A)=3.

Răspuns:

Rangul matricei originale este de trei.

Rezuma.

Am examinat conceptul de rang matrice și am analizat trei moduri de a-l găsi:

prin definiție prin enumerarea tuturor minorilor;
metoda limitării minorilor;
prin metoda transformărilor elementare.

Este recomandabil să folosiți întotdeauna metoda transformărilor elementare atunci când găsiți rangul unei matrice, deoarece duce la un rezultat cu mai puține calcule în comparație cu metoda minorilor învecinați și cu atât mai mult în comparație cu metoda de enumerare a tuturor minorilor de o matrice.