Cum se adaugă numere binare. Funcții în Microsoft Excel
Matematică-Calculator-Online v.1.0
Calculatorul efectuează următoarele operații: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, lucrul cu zecimale, extragerea rădăcinii, exponențiarea, calculul procentelor și alte operații.
Soluţie:
Cum se folosește un calculator de matematică
| Cheie | Desemnare | Explicaţie |
|---|---|---|
| 5 | numerele 0-9 | cifre arabe. Introducerea numerelor întregi naturale, zero. Pentru a obține un număr întreg negativ, trebuie să apăsați tasta +/- |
| . | punct şi virgulă) | Separator pentru a indica o fracție zecimală. Dacă nu există niciun număr înaintea punctului (virgulă), calculatorul va înlocui automat un zero înaintea punctului. De exemplu: se vor scrie .5 - 0.5 |
| + | semnul plus | Adunarea numerelor (numere întregi, zecimale) |
| - | semnul minus | Scăderea numerelor (numere întregi, zecimale) |
| ÷ | semn de diviziune | Împărțirea numerelor (numere întregi, zecimale) |
| X | semn de înmulțire | Înmulțirea numerelor (numere întregi, zecimale) |
| √ | rădăcină | Extragerea rădăcinii unui număr. Când apăsați din nou butonul „rădăcină”, se calculează rădăcina rezultatului. De exemplu: rădăcina lui 16 = 4; rădăcina lui 4 = 2 |
| x 2 | cuadratura | Pătratarea unui număr. Când apăsați din nou butonul „pătrat”, rezultatul este pătrat. De exemplu: pătratul 2 = 4; pătratul 4 = 16 |
| 1/x | fracțiune | Ieșire în fracții zecimale. Numătorul este 1, numitorul este numărul introdus |
| % | la sută | Obținerea unui procent dintr-un număr. Pentru a lucra, trebuie să introduceți: numărul din care va fi calculat procentul, semnul (plus, minus, împărțire, înmulțire), câte procente în formă numerică, butonul „%” |
| ( | paranteză deschisă | O paranteză deschisă pentru a specifica prioritatea de calcul. Este necesară o paranteză închisă. Exemplu: (2+3)*2=10 |
| ) | paranteză închisă | O paranteză închisă pentru a specifica prioritatea de calcul. Este necesară o paranteză deschisă |
| ± | plus minus | Semnul invers |
| = | egală | Afișează rezultatul soluției. Tot deasupra calculatorului, în câmpul „Soluție”, sunt afișate calculele intermediare și rezultatul. |
| ← | ștergerea unui caracter | Elimina ultimul caracter |
| CU | resetare | Butonul de resetare. Resetează complet calculatorul în poziția „0” |
Algoritmul calculatorului online folosind exemple
Plus.
Adunarea numerelor întregi naturale (5 + 7 = 12)
Adunarea numerelor întregi naturale și negative ( 5 + (-2) = 3 )
Adăugarea de zecimale numere fracționare { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Scădere.
Scăderea numerelor întregi naturale ( 7 - 5 = 2 )
Scăderea numerelor întregi naturale și negative ( 5 - (-2) = 7 )
Scăderea fracțiilor zecimale (6,5 - 1,2 = 4,3)
Multiplicare.
Produsul numerelor întregi naturale (3 * 7 = 21)
Produsul numerelor întregi naturale și negative ( 5 * (-3) = -15 )
Produsul fracțiilor zecimale ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Divizia.
Împărțirea numerelor întregi naturale (27 / 3 = 9)
Împărțirea numerelor întregi naturale și negative (15 / (-3) = -5)
Împărțirea fracțiilor zecimale (6,2 / 2 = 3,1)
Extragerea rădăcinii unui număr.
Extragerea rădăcinii unui număr întreg ( root(9) = 3)
Extragerea rădăcinii fracțiilor zecimale (rădăcină (2,5) = 1,58)
Extragerea rădăcinii unei sume de numere ( rădăcină (56 + 25) = 9)
Extragerea rădăcinii diferenței dintre numere (rădăcină (32 – 7) = 5)
Pătratarea unui număr.
Pătratul unui număr întreg ( (3) 2 = 9 )
zecimale pătrat ((2,2)2 = 4,84)
Conversie în fracții zecimale.
Calcularea procentelor unui număr
Creșteți numărul 230 cu 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Reduceți numărul 510 cu 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )
18% din numărul 140 este (140 * 0,18 = 25,2)
sistem, și 10, deoarece 10 este următorul număr în binar sistem.Este necesar să ne amintim completările în binar sistem: 0+0 = 0, 1+0 = 0+1 = 1, 1+1 = 10. Aceste reguli sunt necesare pentru a adăuga numereîn binar sistemîntr-o coloană. Ca și în cazul adăugării unu la unu, unul trece la următoarea cifră. Evident, adăugarea unui zero la orice număr binar nu va schimba acel număr.Binar mare numere convenabil de pliat într-o coloană. Reguli în binar sistem similar cu regulile de adunare pentru adăugarea coloanelor în zecimală sistem.Lasă-i să se adună numere 1111 și 101. Scriem numărul cu mai puține cifre 101 sub numărul 1111 - cifra unei cifre numere trebuie să fie situat deasupra cifrei aceleiași cifre a altuia numere. Acum le puteți adăuga pe acestea numere. În prima cifră, 1+1 dă 10 - scrieți 0 sub cele din prima cifră. Unul de la 10 la suma cifrelor a doua cifre. A doua cifră este 1+0. După ce adăugați unul din prima cifră, veți obține și 10. Unitatea intră în a treia cifră, iar în a doua cifră a sumei va fi și zero. În a treia cifră 1+1+1 (unitatea mutată aici!) dă 11. În a treia cifră a sumei va fi 1, iar cealaltă unitate din numere 11 va trece la categoria a patra. A patra cifră are doar numărul 1111. 1+1 = 10. Astfel, 1111+101 = 10100.
Surse:
- Adăugarea în sistem octal
- Adăugarea în sistem binar
Sisteme socoteala reprezintă diverse opţiuni de scriere a numerelor şi stabileşte ordinea operaţiilor asupra acestora. Sistemele poziționale sunt cele mai utilizate socoteala, printre care, pe lângă cunoscutul sistem zecimal, putem nota binar, hexazecimal și sistem octal socoteala. Adăugarea în sisteme poziționale se face luând în considerare o singură regulă deversare preaplin și transfer. În acest caz, apare un pic de depășire când rezultatul ajunge la baza numărului.
Instrucțiuni
Adăugați două numere în hexazecimal socoteala. Pentru aceasta, numerele de pe foaie sunt una peste alta, astfel încât caracterele din dreapta să fie la același nivel. Luați cele două simboluri din dreapta și adăugați-le folosind tabelul de corespondență. Adică, pentru simbolul alfabetic al unui număr, găsiți echivalentul său zecimal și adăugați-l în modul obișnuit. De exemplu, simbolurile extreme C și 7 pot fi scrise ca 12 + 7 atunci când sunt adăugate, deoarece litera C corespunde numărului 12 din sistem. Numărul rezultat la adăugarea (19) urmează depășirea cifrei. Bitul 16 este mai mic decât 19, prin urmare, există un depășire și în timpul adăugării va avea loc un transfer al unei unități suplimentare la cea mai semnificativă cifră. În cifra curentă lăsăm un număr egal cu diferența dintre rezultat și baza 16 (19-16=3). Notați numărul rezultat (3) sub numerele adăugate.
Adăugați următoarele două numere. La suma lor este necesar să se adauge 1 din cifra anterioară depășită. Când notați valorile rezultate, luați în considerare denumirile literelor numerelor peste 9 din tabelul de corespondență. Deci, când adaugi 7 și 6, obții numărul 13, care în sistemul hexazecimal are litera D - notează-l în rezultat. Dacă există o depășire în acest bit, efectuați aceleași acțiuni ca în pasul anterior.
Adunarea a două numere în binar socoteala are loc în conformitate cu reguli similare, doar adâncimea de biți în acest sistem nu este 16, ci 2. Scrieți două numere binare unul deasupra celuilalt, așa cum este indicat mai sus. În același mod, începând de la dreapta și deplasându-te spre stânga, adunăm numerele în ordine. În acest caz, la adăugarea 1+1, apare un pic overflow. Acționând conform algoritmului descris mai sus, ținând cont de baza sistemului 2, scrieți 0 în valoarea rezultată (2-2=0) și transferați 1 la cifra cea mai semnificativă Dacă în cifra cea mai mare suma numerelor cu transferul se dovedește a fi 3 (1+1+1=3), apoi 1 este scris în rezultat (3-2=1) și din nou unul este scris în cifra cea mai semnificativă. Cantitate numere binare va fi înregistrarea rezultată de 0 și 1 după adăugarea tuturor cifrelor.
Adunarea numerelor are loc în mod similar în toate sistemele de numere poziționale.
Sfat 3: Cum să înregistrezi numar decimalîn sistemul de numere binar
Sistemul zecimal socoteala– una dintre cele mai comune în teoria matematică. Cu toate acestea, odată cu apariția tehnologia Informatiei, sistemul binar nu este mai puțin răspândit, deoarece este principalul mod de reprezentare a informațiilor în memoria calculatorului.
Instrucțiuni
Oricare este o modalitate de a scrie un număr folosind anumite simboluri. Există poziționale, nepoziționale și sisteme socoteala. Sistemele zecimale și binare sunt poziționale, adică semnificația unei anumite cifre dintr-o înregistrare numerică este determinată în funcție de ce poziție ocupă aceasta.
Pozițiile cifrelor dintr-un număr se numesc cifre. În zecimală sistem socotealaîndeplinește acest rol număr 10, adică Fiecare cifră din număr este un multiplicator al numărului 10 la puterea corespunzătoare. Numărul de cifre începe de la zero, iar citirea are loc de la dreapta la stânga. De exemplu, număr 173 posibil
Am fost leneș. Pentru a ține copiii ocupați pentru o lungă perioadă de timp, iar ca să tragă el însuși un pui de somn, le-a cerut să adauge numerele de la 1 la 100.
Gauss a dat rapid răspunsul: 5050. Atât de repede? Profesorul nu a crezut, dar tânăr geniu s-a dovedit a avea dreptate. Adăugarea tuturor numerelor de la 1 la 100 este pentru cei slabi! Gauss a găsit formula:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Cum a făcut-o? Să încercăm să ne dăm seama folosind exemplul unei sume de la 1 la 10.
Prima modalitate: împărțiți numerele în perechi
Să scriem numerele de la 1 la 10 ca o matrice cu două rânduri și cinci coloane:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(array)\right)$$
Mă întreb dacă suma fiecărei coloane este 11 sau $n+1$. Și există 5 astfel de perechi de numere sau $\frac(n)(2)$. Obținem formula noastră:
$$Număr\de\coloane\cdotSuma\de\numere\în\columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Ce se întâmplă dacă există un număr impar de termeni?
Dacă adăugați numerele de la 1 la 9? Ne lipsește un număr pentru a face cinci perechi, dar putem lua zero:
$$\left(\begin(array)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(array)\right)$$
Suma coloanelor este acum 9 sau exact $n$. Dar numărul de coloane? Încă cinci coloane (mulțumesc zero!), dar acum numărul de coloane este definit ca $\frac(n+1)(2)$ (y avem $n+1$ numere în 2 coloane).
$$Număr\de\coloane\cdotSuma\de\numere\în\columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Al doilea mod: dublați-l și scrieți-l în două rânduri
Calculăm suma numerelor ușor diferit în aceste două cazuri.
Poate că există o modalitate de a calcula suma în mod egal pentru numerele par și impare de termeni?
În loc să facem un fel de „buclă” din numere, să le scriem în două rânduri și să înmulțim numărul de numere cu două:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(array)\right)$$
Pentru cazul ciudat:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(array)\right)$$
Se poate observa că în ambele cazuri suma coloanelor este $n+1$, iar numărul coloanelor este $n$.
$$Număr\de\coloane\cdotSuma\de\numere\în\columns=n\cdot(n+1)$$
Dar avem nevoie doar de suma unui rând, deci:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
A treia cale: faceți un dreptunghi
Există o altă explicație, să încercăm să adăugăm cruci, să presupunem că avem cruci:
Arată doar ca o reprezentare diferită a celei de-a doua metode - fiecare rând ulterior al piramidei are mai multe cruci și mai puține zerouri. Numărul tuturor crucilor și zerourilor este aria dreptunghiului.
$$Area=Înălțime\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Dar avem nevoie de suma crucilor, deci:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
A patra metodă: media aritmetică
Este cunoscut: $Mean\ aritmetică=\frac(Suma)(Număr\ membri)$
Apoi: $Suma = medie\aritmetică\cdotNumăr\de termeni$
Știm numărul de membri - $n$. Cum se exprimă media aritmetică?
Observați că numerele sunt distribuite uniform. Pentru fiecare număr mare există unul mic situat la celălalt capăt.
1 2 3, medie 2
1 2 3 4, medie 2,5
În acest caz, media aritmetică este media aritmetică a numerelor 1 și $n$, adică $Media aritmetică=\frac(n+1)(2)$
$$Suma = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
A cincea metodă: integrală
Toti stim asta integrala definita calculează suma. Să calculăm suma de la 1 la 100 folosind o integrală? Da, dar mai întâi să găsim cel puțin suma de la 1 la 3. Fie numerele noastre o funcție a lui y(x). Să desenăm o poză:
Înălțimile celor trei dreptunghiuri sunt exact numerele de la 1 la 3. Să tragem o linie dreaptă prin mijlocul „capselor”:
Ar fi bine să găsim ecuația acestei linii. Trece prin punctele (1.5;1) și (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(cases)2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end(cases)\Rightarrow k=1; b=-0,5$$
Astfel, ecuația dreptei cu care ne putem aproxima dreptunghiurile $y=x-0.5$
Ea taie triunghiurile galbene din dreptunghiuri, dar „adaugă” triunghiuri albastre deasupra lor. Galbenul este egal cu albastrul. Mai întâi, să ne asigurăm că utilizarea integralei duce la formula Gauss:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2) ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Acum să calculăm suma de la 1 la 3, folosind X luăm de la 1 la 4, astfel încât toate cele trei dreptunghiuri ale noastre să cadă în integrală:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$
Și de ce este nevoie de toate acestea?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
În prima zi o persoană a vizitat site-ul dvs., în a doua zi două... În fiecare zi numărul de vizite a crescut cu 1. Câte vizite totale va primi site-ul până la sfârșitul celei de-a 1000-a zile?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
- asta e dragut program popular, care este inclus în Pachetul Microsoft Birou. Economiștii și contabilii au nevoie de el cel mai mult, deoarece poate fi folosit pentru a efectua calcule, a crea tabele, diagrame etc. În general, Excel este un calculator inteligent cu multe funcții încorporate. O funcție este un fel de soluție gata făcută cu care puteți efectua o anumită operație. De exemplu, dacă un utilizator știe cum să calculeze o sumă în Excel folosind funcția AutoSum, acest lucru îl va ajuta să economisească timp. Desigur, puteți găsi suma mai multor rânduri folosind un calculator sau chiar adunând toate numerele din cap, dar dacă tabelul este format din sute sau mii de rânduri? Acesta este motivul pentru care este necesară funcția „AutoSum”. Deși nu este singura cale
, cu care poți obține rezultatul dorit.
Lecție video despre calcularea sumei în Excel într-un rând sau coloană
Ce este Excel?
Operatorii matematici, care includ calcularea sumelor, sunt cei mai des utilizați operatori Excel Dacă fugi Microsoft Excel , atunci utilizatorul va vedea un foarte masă mare
, în care poți intra
diverse date, de ex. tipăriți numere sau cuvinte. În plus, puteți utiliza și funcții încorporate și puteți efectua diverse manipulări cu numere (, împărțire, sumă etc.).
Unii utilizatori cred în mod eronat că Excel este un program care poate funcționa numai cu tabele. Da, Excel arată ca un tabel, dar în primul rând, acest program este folosit pentru calcule. Prin urmare, dacă utilizatorul trebuie nu numai să creeze un tabel cu cuvinte și numere, ci și să efectueze anumite acțiuni cu aceste date (să le analizeze, să creeze o diagramă sau un grafic), atunci Excel este cel mai potrivit pentru aceasta.
Cum se numără în Excel?
calculele în Excel și toate încep cu semnul „=” (egal). De exemplu, trebuie să adăugați numerele 3 și 4. Dacă selectați orice celulă, scrieți „3+4” acolo și apăsați Enter, atunci Excel nu va calcula nimic - va spune pur și simplu „3+4”. Și dacă scrieți „=3+4” (fără ghilimele), atunci Excel va da rezultatul - 7.
Sunt numite semnele cu care puteți efectua calcule în program operatori aritmetici. Printre ei:
- Plus.
- Scădere.
- Multiplicare.
- Divizia.
- . De exemplu, 5^2 se citește ca cinci pătrate.
- . Dacă puneți acest semn după orice număr, atunci va fi divizibil cu 100. De exemplu, dacă scrieți 7%, rezultatul va fi 0,07.
Cum se calculează suma?
Deci, mai întâi trebuie să faceți clic stânga pe orice celulă și să scrieți următoarele în ea: „=500+700” (fără ghilimele). După apăsarea butonului „Enter”, rezultatul va fi 1200. Așa într-un mod simplu poti adauga 2 numere. Folosind aceeași funcție, puteți efectua alte operații - înmulțire, împărțire etc. În acest caz, formula va arăta astfel: „cifră, semn, număr, Enter”. Acesta a fost un exemplu foarte simplu de adăugare a 2 numere, dar este, în general, folosit destul de rar în practică.
- Nume;
- cantitate;
- Preț;
- sumă.
În total, tabelul are 5 articole și 4 coloane (toate completate cu excepția sumei). Sarcina este de a găsi cantitatea pentru fiecare produs.
De exemplu, primul articol este un stilou: cantitate - 100 de bucăți, preț - 20 de ruble. Pentru a afla suma, puteți folosi formula simplă care a fost deja discutată mai sus, adică. scrie așa: „=100*20”. Această opțiune poate fi, desigur, utilizată, dar nu va fi în întregime practică. Să presupunem că prețul unui stilou s-a schimbat, iar acum costă 25 de ruble. Și ce să faci atunci - rescrieți formula? Ce se întâmplă dacă tabelul conține nu 5 nume de produse, ci 100 sau chiar 1000? În astfel de situații, Excel poate obține suma numerelor în alte moduri, inclusiv. recalculând formula dacă una dintre celule se modifică.
Pentru a calcula suma într-un mod practic, veți avea nevoie de o formulă diferită. Deci, mai întâi trebuie să puneți un semn „egal” în celula corespunzătoare a coloanei „Suma”. Apoi, trebuie să faceți clic stânga pe numărul de pixuri (în acest caz va fi numărul „100”), să puneți semnul de înmulțire și apoi să faceți din nou clic stânga pe prețul stiloului - 20 de ruble. După aceasta, puteți apăsa „Enter”. Se pare că nimic nu s-a schimbat, deoarece rezultatul a rămas același - 2000 de ruble.
Dar aici sunt două nuanțe. Prima este formula în sine. Dacă dați clic pe o celulă, puteți vedea că acolo nu sunt scrise numere, ci ceva de genul „=B2*C2”. Programul a scris nu numere în formulă, ci numele celulelor în care se află aceste numere. Și a doua nuanță este că acum, când modificați orice număr din aceste celule („Cantitate” sau „Preț”), formula va fi recalculată automat. Dacă încercați să modificați prețul unui stilou la 25 de ruble, atunci în celula „Sumă” corespunzătoare va fi afișat imediat un rezultat diferit - 2500 de ruble. Adică, atunci când utilizați o astfel de funcție, nu va trebui să recalculați singur fiecare număr dacă unele informații s-au schimbat. Trebuie doar să modificați datele sursă (dacă este necesar), iar Excel va recalcula automat totul.
După aceasta, utilizatorul va trebui să calculeze suma și restul de 4 articole. Cel mai probabil, calculul va fi efectuat într-un mod familiar pentru el: un semn egal, un clic pe celula „Cantitate”, un semn de înmulțire, un alt clic pe celula „Preț” și „Enter”. Dar în programul Microsoft Excel are unul pentru asta caracteristică interesantă, care vă permite să economisiți timp prin simpla copiere a formulei în alte câmpuri.
Deci, mai întâi trebuie să selectați celula în care a fost deja calculată cantitatea totală de stilouri. Celula selectată va fi evidențiată cu linii aldine și va exista un mic pătrat negru în colțul din dreapta jos. Dacă treceți corect mouse-ul peste acest pătrat, atunci aspect Cursorul va fi schimbat: în loc de semnul plus alb, va fi un semn plus negru. În momentul în care cursorul arată ca un semn plus negru, trebuie să faceți clic stânga pe acest pătrat din dreapta jos și să trageți în jos până la punctul dorit (în acest caz, cu 4 linii în jos).
Această manipulare vă permite să „trageți” formula în jos și să o copiați în încă 4 celule. Excel va afișa instantaneu toate rezultatele. Dacă faceți clic pe oricare dintre aceste celule, puteți vedea că programul însuși a scris formulele necesare pentru fiecare celulă și a făcut-o absolut corect. Această manipulare va fi utilă dacă există o mulțime de elemente în tabel. Dar există unele restricții. În primul rând, formula poate fi doar „trasă” în jos/sus sau în lateral (adică vertical sau orizontal). În al doilea rând, formula trebuie să fie aceeași. Prin urmare, dacă suma este calculată într-o celulă și numerele sunt înmulțite în următoarea (sub ea), atunci o astfel de manipulare nu va ajuta în acest caz, va copia doar adăugarea numerelor (dacă prima celulă a fost copiată; ).
Cum se calculează suma folosind funcția AutoSum?
Pentru a adăuga valori de celule în Excel folosind formule, puteți utiliza funcția AutoSum
O altă modalitate de a calcula suma numerelor este utilizarea funcției „AutoSum”. Această caracteristică se găsește de obicei în bara de instrumente (chiar sub bara de meniu). „AutoSum” arată ca litera greacă „E”. Deci, de exemplu, există o coloană de numere și trebuie să găsiți suma lor. Pentru a face acest lucru, selectați celula de sub această coloană și faceți clic pe pictograma „Suma automată”. Excel va selecta automat toate celulele pe verticală și va scrie o formulă, iar utilizatorul va trebui doar să apese „Enter” pentru a obține rezultatul.
Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a adăuga numere binare în codurile înainte, inversă și complementară.Următoarele sunt, de asemenea, utilizate cu acest calculator:
Conversia numerelor în sisteme de numere binare, hexazecimale, zecimale, octale
Înmulțirea numerelor binare
Format virgulă mobilă
Exemplul nr. 1. Reprezentați numărul 133,54 sub formă de virgulă mobilă.
Soluţie. Să reprezentăm numărul 133,54 în formă exponențială normalizată:
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Numărul 1,3354*exp 10 2 este format din două părți: mantisa M=1,3354 și exponentul exp 10 =2
Dacă mantisa este în intervalul 1 ≤ M Reprezentarea unui număr în formă exponențială denormalizată.
Dacă mantisa este în intervalul 0,1 ≤ M Să reprezentăm numărul în formă exponențială denormalizată: 0,13354*exp 10 3
Exemplul nr. 2. Reprezentați numărul binar 101.10 2 în formă normalizată, scrisă în standardul IEEE754 pe 32 de biți.
Tabelul adevărului
Calculul limitelor
Aritmetica în sistemul de numere binar
Operațiile aritmetice în sistemul binar sunt efectuate în același mod ca și în sistemul zecimal. Dar, dacă în sistem zecimalÎn notație, transferul și împrumutul sunt efectuate în zece unități fiecare, apoi în binar - câte două unități fiecare. Tabelul arată regulile de adunare și scădere în sistemul numeric binar.- Când adăugați două unități într-un sistem de numere binar, acest bit va fi 0 și unitatea va fi transferată la bitul cel mai semnificativ.
- Când scădeți unul din zero, unul este împrumutat din cifra cea mai mare, unde există 1. O unitate ocupată în această cifră dă două unități în cifra în care se calculează acțiunea, precum și una în toate cifrele intermediare.
Adăugarea de numere ținând cont de semnele lor pe o mașină este o succesiune a următoarelor acțiuni:
- conversia numerelor originale în codul specificat;
- adăugarea codurilor pe biți;
- analiza rezultatului obtinut.
Atunci când se efectuează o operație în codul complement a doi (complement a doi modificat), dacă o unitate de transport apare în bitul de semn ca urmare a adunării, aceasta este aruncată.
Operația de scădere într-un calculator se realizează prin adunare după regula: X-Y=X+(-Y). Actiunile urmatoare se efectuează în acelaşi mod ca şi pentru operaţia de adăugare.
Exemplul nr. 1.
Dat: x=0,110001; y= -0,001001, adăugați codul modificat invers.
Dat: x=0,101001; y= -0,001101, adăugați cod suplimentar modificat. 
Exemplul nr. 2. Rezolvați exemple de scădere a numerelor binare folosind complementul la 1 și metoda purtării ciclice.
a) 11 - 10.
Soluţie.
Să ne imaginăm numerele 11 2 și -10 2 în cod invers.
Numărul binar 0000011 are un cod reciproc de 0,0000011
Să adăugăm numerele 00000011 și 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
A avut loc o depășire în a 2-a cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a treia cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ca rezultat obținem:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
A avut loc un transfer de la bitul de semn. Să-l adăugăm (adică 1) la numărul rezultat (efectuând astfel procedura de transfer ciclic).
Ca rezultat obținem:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Rezultatul adunării: 00000001. Să îl convertim în reprezentare zecimală. Pentru a traduce o parte întreagă, trebuie să înmulțiți cifra unui număr cu gradul corespunzător al cifrei.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Rezultatul adunării (notație zecimală): 1
b) 111-010 Să ne imaginăm numerele 111 2 și -010 2 în cod invers.
Codul invers pentru un număr pozitiv este același cu codul înainte. Pentru un număr negativ, toate cifrele numărului sunt înlocuite cu opuse (1 cu 0, 0 cu 1), iar o unitate este introdusă în cifra semnului.
Numărul binar 0000111 are un cod reciproc de 0,0000111
Numărul binar 0000010 are un cod reciproc de 1,1111101
Să adăugăm numerele 00000111 și 11111101
A avut loc o depășire în a 0-a cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la prima cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
A avut loc un debordare în prima cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 2-a cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
A avut loc o depășire în a 2-a cifră (1 + 1 + 1 = 11). Prin urmare, scriem 1 și mutam 1 la a treia cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
A avut loc o depășire în a 3-a cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 4-a cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
A avut loc o depășire în al 4-lea bit (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 5-a cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
A avut loc o depășire în a 5-a cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a șasea cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
A avut loc o depășire în al 6-lea bit (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 7-a cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
A avut loc o depășire în al 7-lea bit (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 8-a cifră.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Ca rezultat obținem:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
A avut loc un transfer de la bitul de semn. Să-l adăugăm (adică 1) la numărul rezultat (efectuând astfel procedura de transfer ciclic).
Ca rezultat obținem:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Rezultat adunare: 00000101
Am primit numărul 00000101. Pentru a converti întreaga parte, trebuie să înmulțiți cifra numărului cu gradul corespunzător al cifrei.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Rezultatul adunării (notație zecimală): 5
Adunarea numerelor reale binare în virgulă mobilă
Pe un computer, orice număr poate fi reprezentat în format virgulă mobilă. Formatul în virgulă mobilă este prezentat în figură:
De exemplu, numărul 10101 în format virgulă mobilă poate fi scris astfel:
Calculatoarele folosesc o formă normalizată de scriere a unui număr în care poziția punctului zecimal este întotdeauna dată înaintea cifrei semnificative a mantisei, adică. este îndeplinită condiția:
b -1 ≤|M| Număr normalizat - Acesta este un număr care are o cifră semnificativă după virgulă zecimală (adică 1 în sistemul numeric binar). Exemplu de normalizare:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Când se adaugă numere în virgulă mobilă, alinierea ordinii este efectuată către o ordine mai mare: 
Algoritm pentru adăugarea numerelor în virgulă mobilă:
- Alinierea comenzilor;
- Adăugarea mantiselor în codul suplimentar modificat;
- Normalizarea rezultatului.
Exemplul nr. 4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Alinierea comenzilor;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Adăugarea mantiselor în codul suplimentar modificat;
MA mod suplimentar. =00,01011
MB mod suplimentar. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalizarea rezultatului.
A+B=0,1101*2 10
Exemplul nr. 3. Scrieți un număr zecimal în sistemul numeric zecimal binar și adăugați două numere în sistemul numeric binar.
