Substituție liniară fracțională. Metode de integrare a funcțiilor iraționale (rădăcini)
Răspunsuri gata privind funcțiile de integrare sunt preluate din testul pentru studenții anilor I și II ai catedrelor de matematică. Pentru a ne asigura că formulele din probleme și răspunsuri nu repetă condițiile sarcinilor, nu vom scrie condițiile. Știți deja că în probleme trebuie fie „Găsiți integrala”, fie „Calculați integrala”. Prin urmare, dacă aveți nevoie de răspunsuri despre integrare, începeți să studiați următoarele exemple.
Integrarea funcțiilor iraționale
Exemplul 18. Efectuăm o schimbare de variabile sub integrală. Pentru a simplifica calculele, selectăm nu numai rădăcina, ci și întregul numitor pentru noua variabilă. După o astfel de înlocuire, integrala este transformată în suma a două integrale tabelare, care nu trebuie simplificate
După integrare, înlocuim variabila cu o substituție.
Exemplul 19. S-a cheltuit mult timp și spațiu pentru integrarea acestei funcții iraționale fracționale și nici măcar nu știm dacă o poți da seama de pe o tabletă sau telefon. Pentru a scăpa de iraționalitate, și aici avem de-a face cu rădăcina cubă, alegem funcția rădăcină la a treia putere pentru noua variabilă. Apoi găsim diferenţialul şi îl înlocuim funcția anterioară sub integrală 
Partea cea mai consumatoare de timp este programarea unei noi funcții pentru relațiile de putere și fracții. 
După transformări, găsim imediat câteva dintre integrale, iar ultima o scriem în două, pe care o transformăm după formulele tabelare de integrare. 
După toate calculele, nu uitați să reveniți la înlocuirea efectuată la început 
Integrarea funcțiilor trigonometrice
Exemplul 20. Trebuie să găsim integrala sinusului la a 7-a putere. Conform regulilor, un sinus trebuie introdus într-o diferenţială (obţinem diferenţa cosinusului), iar sinusul la puterea a 6-a trebuie scris prin cosinus. Astfel ajungem la integrare din funcția noii variabile t = cos (x). În acest caz, va trebui să aduceți diferența în cub și apoi să integrați 
Ca rezultat, obținem un polinom de ordinul 7 în cosinus.
Exemplul 21. În această integrală este necesar să se scrie cosinusul gradului al IV-lea în formule trigonometrice prin dependența de cosinusul gradului I. În continuare aplicăm formulă tabelară integrarea cosinusului. 
Exemplul 22. Sub integrală avem produsul dintre sinus și cosinus. Conform formulelor trigonometrice, scriem produsul prin diferența de sinusuri. Cum a fost obținut acest arc poate fi înțeles din analiza coeficienților pentru „x”. Apoi integrăm sinusurile 
Exemplul 23. Aici avem atât o funcție sinus, cât și o funcție cosinus în numitor. Mai mult, formulele trigonometrice nu vor ajuta la simplificarea dependenței. Pentru a găsi integrala, aplicăm înlocuirea trigonometrică universală t=tan(x/2)
Din înregistrare este clar că numitorii se vor anula și vom obține un trinom pătrat în numitorul fracției. În el selectăm un pătrat complet și o parte liberă. După integrare, ajungem la logaritmul diferenței dintre factorii primi ai numitorului. Pentru a simplifica notația, atât numărătorul, cât și numitorul sub logaritm au fost înmulțiți cu doi. 
La sfârșitul calculelor, în locul variabilei, înlocuim tangenta a jumătate din argument.
Exemplul 24. Pentru a integra funcția, scoatem pătratul cosinusului din paranteze, iar între paranteze scădem și adăugăm unul pentru a obține cotangenta. 
În continuare, alegem cotangenta u = ctg (x) pentru noua variabilă, diferența acesteia ne va oferi factorul de care avem nevoie pentru simplificare. După substituție ajungem la o funcție care, atunci când este integrată, dă arctangenta. 
Ei bine, nu uitați să vă schimbați în cotangent.
Exemplul 25. În ultima sarcină a testului, trebuie să integrați cotangenta unui unghi dublu la gradul 4. 
Pe aceasta Test integrarea a fost decisă și nici un singur profesor nu va găsi de vină în răspunsurile și justificarea transformărilor.
Dacă înveți să integrezi așa, atunci testele sau secțiunile pe tema integralelor nu sunt înfricoșătoare pentru tine. Toți ceilalți au ocazia să învețe sau să comande soluții de integrale de la noi (sau concurenții noștri :))).
Sub iraţionalînțelegeți o expresie în care variabila independentă %%x%% sau polinomul %%P_n(x)%% de gradul %%n \in \mathbb(N)%% este inclusă sub semn radical(din latină radix- rădăcină), adică ridicat la o putere fracționată. Unele clase de integranți care sunt iraționale în ceea ce privește %%x%% pot fi reduse la expresii raționale variabilă relativ nouă.
Conceptul de funcție rațională a unei variabile poate fi extins la mai multe argumente. Dacă pentru fiecare argument %%u, v, \dotsc, w%% la calcularea valorii unei funcții sunt furnizate doar operații aritmetice și creșterea la o putere întreagă, atunci vorbim de o funcție rațională a acestor argumente, care este de obicei notat %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Argumentele unei astfel de funcții pot fi ele însele funcții ale variabilei independente %%x%%, inclusiv radicali de forma %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. De exemplu, funcția rațională $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ cu %%u = x, v = \sqrt(x)%% și %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% este o funcție rațională a lui $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ din %%x%% și radicalii %%\sqrt(x)%% și %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, în timp ce funcția %%f(x)%% va fi o funcție irațională (algebrică) a unei variabile independente %%x%%.
Să considerăm integralele de forma %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Astfel de integrale sunt raționalizate prin înlocuirea variabilei %%t = \sqrt[n](x)%%, apoi %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.
Exemplul 1
Găsiți %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.
Integrandul argumentului dorit se scrie in functie de radicali de gradul %%2%% si %%3%%. Deoarece cel mai mic multiplu comun al %%2%% și %%3%% este %%6%%, această integrală este o integrală de tip %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% și poate fi raționalizat prin înlocuirea %%\sqrt(x) = t%%. Atunci %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Prin urmare, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Să luăm %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% și $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\dreapta) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(matrice) $$
Integrale de forma %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% sunt un caz special de iraționalități liniare fracționale, i.e. integrale de forma %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, unde %% ad - bc \neq 0%%, care poate fi raționalizat prin înlocuirea variabilei %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, apoi %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Atunci $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$
Exemplul 2
Găsiți %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.
Să luăm %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, apoi %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Prin urmare, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$
Să considerăm integralele de forma %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. În cele mai simple cazuri, astfel de integrale se reduc la integrale tabelare dacă, după izolarea pătratului complet, se face o schimbare de variabile.
Exemplul 3
Găsiți integrala %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.
Având în vedere că %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, luăm %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, atunci $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(array) $$
În cazuri mai complexe, pentru a găsi integrale de forma %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% sunt folosite
Nu există o modalitate universală de a rezolva ecuații iraționale, deoarece clasa lor diferă în cantitate. Articolul va evidenția tipuri caracteristice de ecuații cu substituție folosind metoda integrării.
Pentru a utiliza metoda integrării directe, este necesar să se calculeze integrale nedefinite de tipul ∫ k x + b p d x , unde p este o fracție rațională, k și b sunt coeficienți reali.
Exemplul 1
Găsiți și calculați funcții antiderivate y = 1 3 x - 1 3 .
Soluţie
Conform regulii de integrare, este necesar să se aplice formula ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, iar tabelul cu antiderivate indică faptul că există o soluție gata făcută pentru această funcție . Înțelegem asta
∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + C
Răspuns:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .
Există cazuri când este posibil să se folosească metoda de subsumare a unui semn diferențial. Aceasta se rezolvă prin principiul găsirii integralelor nedefinite de forma ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , când valoarea lui p este considerată o fracție rațională.
Exemplul 2
Nu pot găsi integrala definita∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .
Soluţie
Rețineți că d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Atunci este necesar să subsumăm semnul diferențial folosind tabele de antiderivate. Obținem că
∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C
Răspuns:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .
Rezolvarea integralelor nedefinite implică o formulă de forma ∫ d x x 2 + p x + q, unde p și q sunt coeficienți reali. Apoi trebuie să selectați un pătrat complet de sub rădăcină. Înțelegem asta
x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4
Aplicând formula situată în tabelul integralelor nedefinite, obținem:
∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C
Apoi se calculează integrala:
∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C
Exemplul 3
Aflați integrala nedefinită de forma ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .
Soluţie
Pentru a calcula, trebuie să scoateți numărul 2 și să-l plasați în fața radicalului:
∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2
Selectați un pătrat complet în expresie radicală. Înțelegem asta
x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16
Atunci obținem o integrală nedefinită de forma 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
Răspuns: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
Integrare funcții iraționale produs într-un mod similar. Aplicabil pentru funcțiile de forma y = 1 - x 2 + p x + q.
Exemplul 4
Aflați integrala nedefinită ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .
Soluţie
Mai întâi trebuie să derivați pătratul numitorului expresiei de sub rădăcină.
∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9
Integrala tabelului are forma ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, atunci obținem că ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C
Răspuns:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .
Procesul de găsire a funcțiilor iraționale antiderivate de forma y = M x + N x 2 + p x + q, unde M, N, p, q existenți sunt coeficienți reali și sunt similari cu integrarea fracțiilor simple de al treilea tip . Această transformare are mai multe etape:
însumând diferenţialul sub rădăcină, izolând pătratul complet al expresiei sub rădăcină, folosind formule tabulare.
Exemplul 5
Aflați antiderivatele funcției y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.
Soluţie
Din condiția avem că d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x și x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, atunci (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .
Să calculăm integrala: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C
Răspuns:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .
Căutarea integralelor nedefinite ale funcției ∫ x m (a + b x n) p d x se realizează folosind metoda substituției.
Pentru a rezolva este necesar să introducem noi variabile:
- Când p este un număr întreg, atunci x = z N este considerat, iar N este numitorul comun pentru m, n.
- Când m + 1 n este un număr întreg, atunci a + b x n = z N și N este numitorul lui p.
- Când m + 1 n + p este un număr întreg, atunci variabila a x - n + b = z N este necesară, iar N este numitorul numărului p.
Aflați integrala definită ∫ 1 x 2 x - 9 d x .
Soluţie
Se obține că ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Rezultă că m = - 1, n = 1, p = - 1 2, atunci m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 este un număr întreg. Puteți introduce un nou variabilă ca- 9 + 2 x = z 2 . Este necesar să exprimăm x în termeni de z. Ca rezultat, obținem asta
9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z
Este necesar să se facă o înlocuire în integrala dată. Avem asta
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C
Răspuns:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .
Pentru a simplifica rezolvarea ecuațiilor iraționale, se folosesc metode de integrare de bază.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Definiția 1
Ansamblul tuturor antiderivatelor funcţie dată$y=f(x)$ definit pe un anumit segment se numeste integrala nedefinita a unei functii date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.
cometariu
Definiția 2 poate fi scrisă după cum urmează:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Nu orice funcție irațională poate fi exprimată ca o integrală în termeni de functii elementare. Cu toate acestea, majoritatea acestor integrale pot fi reduse folosind substituții la integrale ale funcțiilor raționale, care pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.
$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.
eu
La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:
Cu această înlocuire, fiecare putere fracționată al variabilei $x$ se exprimă printr-o putere întreagă a variabilei $t$. Ca urmare, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.
Exemplul 1
Efectuați integrarea:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
Soluţie:
$k=4$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.
\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matrice)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]
II
Când găsiți o integrală de forma $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:
unde $k$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.
Ca urmare a acestei substituții, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.
Exemplul 2
Efectuați integrarea:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
Soluţie:
Să facem următoarea înlocuire:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \dreapta|+C\]
După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \dreapta|+C.\]
III
La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, se realizează așa-numita substituție Euler (una dintre cele trei substituții posibile este folosit).
Prima înlocuire a lui Euler
Pentru cazul $a>
Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(a) $, obținem
Exemplul 3
Efectuați integrarea:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]
Soluţie:
Să facem următoarea înlocuire (cazul $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
A doua înlocuire a lui Euler
Pentru cazul $c>0$ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:
Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(c) $, obținem
Exemplul 4
Efectuați integrarea:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]
Soluţie:
Să facem următoarea înlocuire:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ După ce am făcut invers înlocuire, obținem rezultatul final:
\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( matrice)\]
A treia înlocuire a lui Euler
Anterior, dată fiind o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.
Dar, alături de problema găsirii vitezei conform legii cunoscute a mișcării, există și problema inversa- problema restabilirii legii mișcării de la o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.
Exemplul 1. Se mișcă în linie dreaptă punct material, viteza mișcării sale la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite și se inventează notații speciale, de exemplu: pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferenţiere, A operare inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, - integrare.
Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „în viața de zi cu zi”: funcția y = f(x) „produce” optiune noua y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător” ei spun că este, în raport cu funcția y" = f"(; x), imagine primară sau primitivă.
Definiție. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)
În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).
Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată
Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.
Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).
Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.
Metode de integrare
Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)
Metoda de integrare prin substituire presupune introducerea unui nou variabila de integrare(adică substituții). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Metode comune nu există o selecție de substituții. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.
Integrare pe părți
Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă de integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
