Ας προχωρήσουμε εξετάζοντας τη γενική περίπτωση - τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητών αόριστο ολοκλήρωμα.

Παράδειγμα 5

Ως παράδειγμα, πήρα το ολοκλήρωμα που εξετάσαμε στην αρχή του μαθήματος. Όπως έχουμε ήδη πει, για να λύσουμε το ολοκλήρωμα μας άρεσε ο πίνακας τύπου , και θα ήθελα να περιορίσω το όλο θέμα σε αυτήν.

Η ιδέα πίσω από τη μέθοδο αντικατάστασης είναι να αντικαταστήστε μια σύνθετη έκφραση (ή κάποια συνάρτηση) με ένα μόνο γράμμα.
Σε αυτή την περίπτωση ζητά:
Το δεύτερο πιο δημοφιλές γράμμα αντικατάστασης είναι το γράμμα.
Κατ 'αρχήν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλα γράμματα, αλλά θα συνεχίσουμε να τηρούμε τις παραδόσεις.

Ετσι:
Αλλά όταν το αντικαθιστούμε, μας μένουν ! Πιθανώς, πολλοί μάντευαν ότι εάν γίνει μια μετάβαση σε μια νέα μεταβλητή, τότε στο νέο ολοκλήρωμα όλα θα πρέπει να εκφράζονται μέσω του γράμματος , και δεν υπάρχει καθόλου χώρος για διαφοροποίηση εκεί.
Το λογικό συμπέρασμα είναι ότι είναι απαραίτητο μετατραπεί σε κάποια έκφραση που εξαρτάται μόνο από .

Η δράση έχει ως εξής. Αφού επιλέξουμε έναν αντικαταστάτη, σε αυτό το παράδειγμα... πρέπει να βρούμε τη διαφορά. Με τις διαφορές, νομίζω ότι όλοι έχουν ήδη δημιουργήσει φιλία.

Από τότε

Μετά την αποσυναρμολόγηση του διαφορικού, συνιστώ να ξαναγράψετε το τελικό αποτέλεσμα όσο το δυνατόν συνοπτικά:
Τώρα, σύμφωνα με τους κανόνες της αναλογίας, εκφράζουμε αυτό που χρειαζόμαστε:

Τελικά:
Ετσι:

Και αυτό είναι ήδη το πιο πίνακα αναπόσπαστο (ο πίνακας των ολοκληρωμάτων ισχύει φυσικά και για τη μεταβλητή ).

Τέλος, το μόνο που μένει είναι να πραγματοποιηθεί η αντίστροφη αντικατάσταση. Ας το θυμηθούμε.

Ετοιμος.

Ο τελικός σχεδιασμός του υπό εξέταση παραδείγματος θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:

“

Ας αντικαταστήσουμε:

“

Το εικονίδιο δεν έχει καμία μαθηματική σημασία, σημαίνει ότι έχουμε διακόψει τη λύση για ενδιάμεσες επεξηγήσεις.

Όταν προετοιμάζετε ένα παράδειγμα σε ένα σημειωματάριο, είναι καλύτερο να σημειώσετε την αντίστροφη αντικατάσταση με ένα απλό μολύβι.

Προσοχή!Στα ακόλουθα παραδείγματα, η εύρεση του διαφορικού δεν θα περιγραφεί λεπτομερώς.

Και τώρα ήρθε η ώρα να θυμηθούμε την πρώτη λύση:

Ποιά είναι η διαφορά? Δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά. Στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα. Αλλά από την άποψη του σχεδιασμού της εργασίας, η μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο είναι πολύ μικρότερη.

Γεννιέται το ερώτημα. Εάν η πρώτη μέθοδος είναι πιο σύντομη, τότε γιατί να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης; Το γεγονός είναι ότι για πολλά ολοκληρώματα δεν είναι τόσο εύκολο να "προσαρμόσουμε" τη συνάρτηση στο πρόσημο του διαφορικού.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: (είναι δύσκολο να σκεφτώ άλλη αντικατάσταση εδώ)

Όπως μπορείτε να δείτε, ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, το αρχικό ολοκλήρωμα απλοποιήθηκε σημαντικά - μειώθηκε στο συνηθισμένο λειτουργία ισχύος. Αυτός είναι ο σκοπός της αντικατάστασης - να απλοποιήσει το ολοκλήρωμα.

Οι τεμπέληδες προχωρημένοι μπορούν εύκολα να λύσουν αυτό το ολοκλήρωμα υποβάλλοντας τη συνάρτηση στο διαφορικό πρόσημο:

Ένα άλλο πράγμα είναι ότι μια τέτοια λύση προφανώς δεν είναι για όλους τους μαθητές. Επιπλέον, ήδη σε αυτό το παράδειγμα, η χρήση της μεθόδου υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο αυξάνει σημαντικά τον κίνδυνο σύγχυσης σε μια απόφαση.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Εκτελέστε έλεγχο.

Παράδειγμα 8

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αντικατάσταση:
Μένει να δούμε σε τι θα εξελιχθεί

Εντάξει, το έχουμε εκφράσει, αλλά τι να κάνουμε με το «Χ» να παραμένει στον αριθμητή;!
Κατά καιρούς, όταν λύνουμε ολοκληρώματα, συναντάμε το εξής κόλπο: θα εκφράσουμε από την ίδια αντικατάσταση !

Παράδειγμα 9

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση. Η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Σίγουρα κάποιοι το παρατήρησαν στο δικό μου πίνακας αναφοράςδεν υπάρχει κανόνας αντικατάστασης μεταβλητών. Αυτό έγινε σκόπιμα. Ο κανόνας θα δημιουργούσε σύγχυση στην εξήγηση και την κατανόηση, αφού δεν εμφανίζεται ρητά στα παραπάνω παραδείγματα.

Τώρα ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για τη βασική προϋπόθεση της χρήσης της μεθόδου αντικατάστασης μεταβλητών: το ολοκλήρωμα πρέπει να περιέχει κάποια συνάρτηση και το παράγωγό του : (οι λειτουργίες ενδέχεται να μην υπάρχουν στο προϊόν)

Από αυτή την άποψη, όταν βρίσκετε ολοκληρώματα, πρέπει συχνά να κοιτάξετε τον πίνακα των παραγώγων.

Στο παράδειγμα που εξετάζουμε, παρατηρούμε ότι ο βαθμός του αριθμητή είναι κατά ένα μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή. Στον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε τον τύπο, ο οποίος απλώς μειώνει τον βαθμό κατά ένα. Και αυτό σημαίνει ότι αν τον ορίσετε ως παρονομαστή, τότε οι πιθανότητες είναι μεγάλες ο αριθμητής να μετατραπεί σε κάτι καλό.

Αντικατάσταση:

Παρεμπιπτόντως, δεν είναι τόσο δύσκολο να υπαχθεί η συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι για κλάσματα όπως το , αυτό το τέχνασμα δεν θα λειτουργεί πλέον (πιο συγκεκριμένα, θα χρειαστεί να εφαρμόσετε όχι μόνο την τεχνική αντικατάστασης). Μπορείτε να μάθετε να ενσωματώνετε μερικά κλάσματα στην τάξη. Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων.

Ακολουθούν μερικά ακόμη χαρακτηριστικά παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις από την ίδια όπερα:

Παράδειγμα 11

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Παράδειγμα 12

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Λύσεις στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 13

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Εξετάζουμε τον πίνακα των παραγώγων και βρίσκουμε το συνημίτονο τόξου μας: . Στο ολοκλήρωμα μας έχουμε το συνημίτονο τόξου και κάτι παρόμοιο με την παράγωγό του.

Γενικός κανόνας:
Πίσω συμβολίζουμε την ίδια τη συνάρτηση(και όχι το παράγωγό του).

Σε αυτήν την περίπτωση: . Απομένει να μάθουμε σε τι θα μετατραπεί το υπόλοιπο μέρος του ολοκληρώματος.

Σε αυτό το παράδειγμα, θα περιγράψω λεπτομερώς το εύρημα γιατί είναι μια σύνθετη συνάρτηση.

Ή εν συντομία:
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αναλογίας, εκφράζουμε το υπόλοιπο που χρειαζόμαστε:

Ετσι:

Εδώ δεν είναι πλέον τόσο εύκολο να υπαχθεί η συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

Παράδειγμα 14

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Η απάντηση είναι πολύ κοντά.

Οι προσεκτικοί αναγνώστες θα έχουν παρατηρήσει ότι έχω εξετάσει λίγα παραδείγματα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Και αυτό δεν είναι τυχαίο, αφού ένα ξεχωριστό μάθημα είναι αφιερωμένο σε ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επιπλέον, αυτό το μάθημα παρέχει μερικές χρήσιμες οδηγίες για την αντικατάσταση μιας μεταβλητής, η οποία είναι ιδιαίτερα σημαντική για τα ανδρείκελα, τα οποία δεν καταλαβαίνουν πάντα και δεν καταλαβαίνουν αμέσως τι είδους αντικατάσταση πρέπει να γίνει σε ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα. Μπορείτε επίσης να δείτε ορισμένους τύπους αντικαταστάσεων στο άρθρο Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.

Οι πιο έμπειροι μαθητές μπορούν να εξοικειωθούν με τυπικές αντικαταστάσεις σε ολοκληρώματα με παράλογες λειτουργίες. Η αντικατάσταση κατά την ενσωμάτωση ριζών είναι συγκεκριμένη και η τεχνική εφαρμογής της διαφέρει από αυτή που συζητήσαμε σε αυτό το μάθημα.

Σου εύχομαι επιτυχία!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 3: Λύση:

Παράδειγμα 4: Λύση:

Παράδειγμα 7: Λύση:

Παράδειγμα 9: Λύση:

Αντικατάσταση:

Παράδειγμα 11: Λύση:

Ας αντικαταστήσουμε:

(βλ. άρθρο Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα ) ή το ολοκλήρωμα είναι απλώς ενεργοποιημένο μέθοδος ενσωμάτωσης με ανταλλακτικά.

Όπως πάντα, θα πρέπει να έχετε σε ετοιμότητα: Πίνακας ολοκληρωμάτωνΚαι Πίνακας παραγώγων. Εάν εξακολουθείτε να μην τα έχετε, επισκεφθείτε τον αποθηκευτικό χώρο του ιστότοπού μου: Μαθηματικοί τύποικαι τραπέζια. Δεν θα κουραστώ να επαναλαμβάνω - είναι καλύτερα να εκτυπώσετε τα πάντα. Θα προσπαθήσω να παρουσιάσω όλο το υλικό με συνέπεια, απλά και ξεκάθαρα· δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην ενσωμάτωση των μερών.

Ποιο πρόβλημα λύνει η μέθοδος ενσωμάτωσης με εξαρτήματα; Η μέθοδος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα λύνει ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα· σας επιτρέπει να ενσωματώσετε ορισμένες λειτουργίες που δεν περιλαμβάνονται στον πίνακα, δουλειά

3) , , – τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πολλαπλασιαζόμενο με κάποιο πολυώνυμο.

4) , – αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις («καμάρες»), «καμάρες» πολλαπλασιασμένες με κάποιο πολυώνυμο.

Μερικά κλάσματα λαμβάνονται επίσης σε μέρη· θα εξετάσουμε επίσης τα αντίστοιχα παραδείγματα λεπτομερώς.

ΕΝΑ τρόποι αναγωγής ολοκληρωμάτων σε πίνακαΈχουμε παραθέσει για εσάς:

μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης?

μέθοδος ενσωμάτωσης με εξαρτήματα.

Μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης

μέθοδοι αναπαράστασης αόριστων ολοκληρωμάτων μέσω πινακοποιημένων για ολοκληρώματα ορθολογικών κλασμάτων.

Μέθοδοι αναπαράστασης αόριστων ολοκληρωμάτων μέσω ολοκληρωμάτων πίνακα για ολοκληρώματα παράλογων παραστάσεων.

τρόποι έκφρασης αόριστων ολοκληρωμάτων μέσω πίνακα για ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Αόριστο ολοκλήρωμα συνάρτησης ισχύος

Αόριστο ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης

Αλλά το αόριστο ολοκλήρωμα του λογαρίθμου δεν είναι ολοκλήρωμα πίνακα, αντίθετα, ο τύπος είναι πίνακας:

Αόριστα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων: Ολοκληρώματα ημιτονοειδούς, συνημιτόνου και εφαπτομένης

Αόριστα ολοκληρώματα με αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Αναγωγή σε μορφή πίνακαή μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης. Χρησιμοποιώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς του ολοκληρώματος, το ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα ολοκλήρωμα στο οποίο ισχύουν οι βασικοί κανόνες ολοκλήρωσης και είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί ένας πίνακας βασικών ολοκληρωμάτων.

Παράδειγμα

Ασκηση.Βρείτε το ολοκλήρωμα

Λύση.Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του ολοκληρώματος και ας μειώσουμε αυτό το ολοκλήρωμα σε μορφή πίνακα.

Απάντηση.

Τεχνικά μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης στο αόριστο ολοκλήρωμα υλοποιείται με δύο τρόπους:

– Υπαγωγή μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο. – Αλλαγή στην πραγματικότητα της μεταβλητής.

Υπαγωγή συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Εκτελέστε έλεγχο.

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης. Εδώ έχουμε ένα κλάσμα και ο παρονομαστής είναι μια γραμμική συνάρτηση (με «x» στην πρώτη δύναμη). Εξετάζουμε τον πίνακα των ολοκληρωμάτων και βρίσκουμε το πιο παρόμοιο πράγμα: .

Φέρνουμε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Όσοι δυσκολεύονται να καταλάβουν αμέσως με ποιο κλάσμα να πολλαπλασιάσουν μπορούν γρήγορα να αποκαλύψουν τη διαφορά σε ένα προσχέδιο: . Ναι, αποδεικνύεται ότι αυτό σημαίνει ότι για να μην αλλάξει τίποτα, πρέπει να πολλαπλασιάσω το ολοκλήρωμα με . Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο του πίνακα:

Εξέταση: Έχει ληφθεί η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης, πράγμα που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ως παράδειγμα, πήρα το ολοκλήρωμα που εξετάσαμε στην αρχή του μαθήματος. Όπως έχουμε ήδη πει, για να λύσουμε το ολοκλήρωμα μας άρεσε ο πίνακας τύπου , και θα ήθελα να περιορίσω το όλο θέμα σε αυτήν.

Η ιδέα πίσω από τη μέθοδο αντικατάστασης είναι να αντικαταστήστε μια σύνθετη έκφραση (ή κάποια συνάρτηση) με ένα μόνο γράμμα.Σε αυτή την περίπτωση, αυτοπροτείνεται: Το δεύτερο πιο δημοφιλές γράμμα για αντικατάσταση είναι το γράμμα . Κατ 'αρχήν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλα γράμματα, αλλά θα συνεχίσουμε να τηρούμε τις παραδόσεις.

Ετσι: Αλλά όταν το αντικαθιστούμε, μας μένουν ! Πιθανώς, πολλοί μάντευαν ότι εάν γίνει μια μετάβαση σε μια νέα μεταβλητή, τότε στο νέο ολοκλήρωμα όλα θα πρέπει να εκφράζονται μέσω του γράμματος , και δεν υπάρχει καθόλου χώρος για διαφοροποίηση εκεί. Το λογικό συμπέρασμα είναι ότι είναι απαραίτητο μετατραπεί σε κάποια έκφραση που εξαρτάται μόνο από.

Η δράση έχει ως εξής. Αφού επιλέξουμε μια αντικατάσταση, σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να βρούμε το διαφορικό. Με τις διαφορές, νομίζω ότι όλοι έχουν ήδη δημιουργήσει φιλία.

Από τότε

Μετά την ταξινόμηση της διαφοράς, συνιστώ να ξαναγράψετε το τελικό αποτέλεσμα όσο το δυνατόν συνοπτικά: Τώρα, σύμφωνα με τους κανόνες αναλογίας, εκφράζουμε αυτό που χρειαζόμαστε:

Τελικά: Ετσι: Και αυτό είναι ήδη το πιο πίνακα αναπόσπαστο (ο πίνακας των ολοκληρωμάτων ισχύει φυσικά και για τη μεταβλητή ).

Τέλος, το μόνο που μένει είναι να πραγματοποιηθεί η αντίστροφη αντικατάσταση. Ας το θυμηθούμε.

Ετοιμος.

Ο τελικός σχεδιασμός του υπό εξέταση παραδείγματος θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:

“

Ας αντικαταστήσουμε:

“

Το εικονίδιο δεν έχει καμία μαθηματική σημασία, σημαίνει ότι έχουμε διακόψει τη λύση για ενδιάμεσες επεξηγήσεις.

Όταν προετοιμάζετε ένα παράδειγμα σε ένα σημειωματάριο, είναι καλύτερο να σημειώσετε την αντίστροφη αντικατάσταση με ένα απλό μολύβι.

Προσοχή!Στα ακόλουθα παραδείγματα, η εύρεση του διαφορικού δεν θα περιγραφεί λεπτομερώς.

Και τώρα ήρθε η ώρα να θυμηθούμε την πρώτη λύση:

Ποιά είναι η διαφορά? Δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά. Στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα. Αλλά από την άποψη του σχεδιασμού της εργασίας, η μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο είναι πολύ μικρότερη.Γεννιέται το ερώτημα. Εάν η πρώτη μέθοδος είναι πιο σύντομη, τότε γιατί να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης; Το γεγονός είναι ότι για πολλά ολοκληρώματα δεν είναι τόσο εύκολο να "προσαρμόσουμε" τη συνάρτηση στο πρόσημο του διαφορικού.

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Παραδείγματα λύσεων

Ολοκληρώματα λογαρίθμων

Παράδειγμα 1

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Κλασσικός. Κατά καιρούς αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί σε πίνακες, αλλά δεν είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε μια έτοιμη απάντηση, καθώς ο δάσκαλος έχει ανεπάρκεια βιταμινών της άνοιξης και θα βρίζει βαριά. Επειδή το ολοκλήρωμα που εξετάζουμε δεν είναι σε καμία περίπτωση πίνακα - λαμβάνεται σε μέρη. Εμείς αποφασίζουμε:

Διακόπτουμε τη λύση για ενδιάμεσες εξηγήσεις.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη:

Ο τύπος εφαρμόζεται από αριστερά προς τα δεξιά

Κοιτάμε την αριστερή πλευρά: . Προφανώς, στο παράδειγμά μας (και σε όλα τα άλλα που θα εξετάσουμε), κάτι πρέπει να οριστεί ως , και κάτι ως .

Σε ολοκληρώματα του υπό εξέταση τύπου γιασυμβολίζεται πάντα με λογάριθμο.

Τεχνικά, ο σχεδιασμός της λύσης υλοποιείται ως εξής: γράφουμε στη στήλη:

Δηλαδή, συμβολίσαμε τον λογάριθμο με και με - το υπόλοιπο μέροςολοκληρωμένη έκφραση.

Επόμενο στάδιο: βρείτε το διαφορικό:

Ένα διαφορικό είναι σχεδόν το ίδιο με μια παράγωγο· έχουμε ήδη συζητήσει πώς να το βρούμε σε προηγούμενα μαθήματα.

Τώρα βρίσκουμε τη συνάρτηση. Για να βρείτε τη συνάρτηση που πρέπει να ενσωματώσετε σωστη πλευραχαμηλότερη ισότητα:

Τώρα ανοίγουμε τη λύση μας και κατασκευάζουμε τη δεξιά πλευρά του τύπου: . Παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα δείγμα της τελικής λύσης με μικρές σημειώσεις.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ταυτοποίηση συγκεκριμένο άτομοή σύνδεση μαζί του.

Μπορεί να σας ζητηθεί να παρέχετε τη δική σας προσωπικές πληροφορίεςκάθε φορά που επικοινωνείτε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε ένα αίτημα στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, συμπεριλαμβανομένου του ονόματος, του αριθμού τηλεφώνου, της διεύθυνσής σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε σχετικά μοναδικές προσφορές, προωθητικές ενέργειες και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για αποστολή σημαντικές ειδοποιήσειςκαι μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Ενσωμάτωση με αντικατάσταση (μεταβλητή αντικατάσταση). Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να υπολογίσετε ένα ολοκλήρωμα που δεν είναι πίνακας. Η ουσία της μεθόδου αντικατάστασης είναι ότι στο ολοκλήρωμα η μεταβλητή x αντικαθίσταται από τη μεταβλητή t σύμφωνα με τον τύπο x = q(t), από τον οποίο dx = q"(t)dt.

Θεώρημα. Έστω η συνάρτηση x=t(t) ορισμένη και διαφοροποιήσιμη σε ένα συγκεκριμένο σύνολο T και έστω X το σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης στην οποία ορίζεται η συνάρτηση f(x). Τότε αν στο σύνολο X η συνάρτηση f(x) έχει αντιπαράγωγο, τότε στο σύνολο T ισχύει ο τύπος:

Ο τύπος (1) ονομάζεται η αλλαγή του τύπου μεταβλητής στο αόριστο ολοκλήρωμα.

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Η μέθοδος ολοκλήρωσης ανά μέρη προκύπτει από τον τύπο για το διαφορικό του γινομένου δύο συναρτήσεων. Έστω u(x) και v(x) δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της μεταβλητής x. Επειτα:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (3), παίρνουμε:

Από τότε όμως:

Η σχέση (4) ονομάζεται τύπος ολοκλήρωσης με μέρη. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, βρείτε το ολοκλήρωμα. Συνιστάται να το χρησιμοποιείτε όταν το ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά του τύπου (4) είναι πιο απλό να υπολογιστεί από το αρχικό.

Στον τύπο (4) δεν υπάρχει αυθαίρετη σταθερά C, αφού στη δεξιά πλευρά αυτού του τύπου υπάρχει ένα αόριστο ολοκλήρωμα που περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά.

Παρουσιάζουμε ορισμένους τύπους ολοκληρωμάτων που συναντώνται συχνά και υπολογίζονται με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα.

I. Ολοκληρώματα της μορφής, (P n (x) είναι πολυώνυμο βαθμού n, k είναι ορισμένος αριθμός). Για να βρείτε αυτά τα ολοκληρώματα, αρκεί να ορίσετε u=P n (x) και να εφαρμόσετε τον τύπο (4) n φορές.

II. Ολοκληρώματα της μορφής, (το Pn(x) είναι πολυώνυμο βαθμού n ως προς το x). Μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας συχνότητες, παίρνοντας για το u μια συνάρτηση που είναι πολλαπλασιαστής για το P n (x).

Επί αυτό το μάθημαΘα εξοικειωθούμε με μια από τις πιο σημαντικές και πιο κοινές τεχνικές που χρησιμοποιείται κατά την επίλυση αόριστων ολοκληρωμάτων - την αλλαγή της μεθόδου μεταβλητής. Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό που χρειάζεστε ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣκαι δεξιότητες ένταξης. Εάν υπάρχει η αίσθηση ενός άδειου γεμάτου βραστήρα στον ολοκληρωτικό λογισμό, τότε πρώτα θα πρέπει να εξοικειωθείτε με το υλικό, όπου εξήγησα στο προσιτή μορφή, τι είναι ολοκλήρωμα και αναλύονται λεπτομερώς βασικά παραδείγματα για αρχάριους.

Τεχνικά, η μέθοδος αλλαγής μιας μεταβλητής σε ένα αόριστο ολοκλήρωμα εφαρμόζεται με δύο τρόπους:

– Υπαγωγή της συνάρτησης στο διαφορικό πρόσημο;
– Στην πραγματικότητα αντικαθιστά τη μεταβλητή.

Ουσιαστικά, αυτά είναι το ίδιο πράγμα, αλλά ο σχεδιασμός της λύσης φαίνεται διαφορετικός.

Ας ξεκινήσουμε με μια πιο απλή περίπτωση.

Υπαγωγή μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο

Στο μάθημα Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεωνμάθαμε πώς να ανοίγουμε το διαφορικό, σας θυμίζω το παράδειγμα που έδωσα:

Δηλαδή, η αποκάλυψη μιας διαφοράς τυπικά είναι σχεδόν ίδια με την εύρεση μιας παραγώγου.

Παράδειγμα 1

Εκτελέστε έλεγχο.

Εξετάζουμε τον πίνακα των ολοκληρωμάτων και βρίσκουμε έναν παρόμοιο τύπο: . Αλλά το πρόβλημα είναι ότι κάτω από το ημίτονο δεν έχουμε μόνο το γράμμα "Χ", αλλά μια σύνθετη έκφραση. Τι να κάνω?

Φέρνουμε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Ανοίγοντας το διαφορικό, είναι εύκολο να ελέγξετε ότι:

Στην πραγματικότητα και είναι ηχογράφηση του ίδιου πράγματος.

Ωστόσο, παρέμεινε το ερώτημα, πώς καταλήξαμε στην ιδέα ότι στο πρώτο βήμα πρέπει να γράψουμε το ολοκλήρωσό μας ακριβώς έτσι: ? Γιατί είναι αυτό και όχι αλλιώς;

Τύπος (και όλοι οι άλλοι τύποι πίνακα) ισχύουν και ισχύουν ΟΧΙ ΜΟΝΟ για τη μεταβλητή, αλλά και για οποιαδήποτε σύνθετη έκφραση ΜΟΝΟ ΩΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( - στο παράδειγμά μας) ΚΑΙ Η ΕΚΦΡΑΣΗ ΚΑΤΩ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΣΗΜΑ ΗΤΑΝ ΤΟ ΙΔΙΟ .

Επομένως, ο νοητικός συλλογισμός κατά την επίλυση θα πρέπει να είναι κάπως έτσι: «Πρέπει να λύσω το ολοκλήρωμα. Κοίταξα στον πίνακα και βρήκα παρόμοια φόρμουλα . Αλλά έχω ένα σύνθετο επιχείρημα και δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω αμέσως τον τύπο. Ωστόσο, αν καταφέρω να το βάλω κάτω από το διαφορικό, τότε όλα θα πάνε καλά. Αν το γράψω, τότε. Αλλά στο αρχικό ολοκλήρωμα δεν υπάρχει παράγοντας-τρία, επομένως, για να μην αλλάξει η συνάρτηση integrand, πρέπει να την πολλαπλασιάσω με ". Στην πορεία ενός τέτοιου περίπου νοητικού συλλογισμού, γεννιέται το εξής λήμμα:

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του πίνακα :

Ετοιμος

Η μόνη διαφορά είναι ότι δεν έχουμε το γράμμα "Χ", αλλά μια σύνθετη έκφραση.

Ας ελέγξουμε. Ανοίξτε τον πίνακα των παραγώγων και διαφοροποιήστε την απάντηση:

Έχει ληφθεί η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης, πράγμα που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Λάβετε υπόψη ότι κατά την επαλήθευση χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία . Στην ουσία, υπάγοντας τη συνάρτηση στο διαφορικό πρόσημο και - αυτοί είναι δύο αμοιβαία αντίστροφοι κανόνες.

Παράδειγμα 2

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης. Εδώ έχουμε ένα κλάσμα και ο παρονομαστής είναι μια γραμμική συνάρτηση (με «x» στην πρώτη δύναμη). Εξετάζουμε τον πίνακα των ολοκληρωμάτων και βρίσκουμε το πιο παρόμοιο πράγμα: .

Φέρνουμε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Όσοι δυσκολεύονται να καταλάβουν αμέσως με ποιο κλάσμα να πολλαπλασιάσουν μπορούν γρήγορα να αποκαλύψουν τη διαφορά σε ένα προσχέδιο: . Ναι, αποδεικνύεται ότι αυτό σημαίνει ότι για να μην αλλάξει τίποτα, πρέπει να πολλαπλασιάσω το ολοκλήρωμα με .
Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο του πίνακα :

Εξέταση:


Έχει ληφθεί η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης, πράγμα που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Εκτελέστε έλεγχο.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Εκτελέστε έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Με κάποια εμπειρία στην επίλυση ολοκληρωμάτων, τέτοια παραδείγματα θα φαίνονται εύκολα και θα κάνουν κλικ σαν καρύδια:

Στο τέλος αυτής της παραγράφου θα ήθελα να σταθώ στην «ελεύθερη» περίπτωση όταν γραμμική συνάρτησηη μεταβλητή περιλαμβάνεται με έναν συντελεστή μονάδας, για παράδειγμα:

Αυστηρά μιλώντας, η λύση πρέπει να μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, η υπαγωγή της συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο ήταν «ανώδυνη», χωρίς πολλαπλασιασμούς. Επομένως, στην πράξη αυτό μακρά λύσησυχνά παραμελούνταν και κατέγραψαν αμέσως αυτό . Αλλά να είστε προετοιμασμένοι, αν χρειαστεί, να εξηγήσετε στον δάσκαλο πώς το λύσατε! Επειδή στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ολοκλήρωμα στον πίνακα.

Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα

Ας προχωρήσουμε εξετάζοντας τη γενική περίπτωση - τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητών στο αόριστο ολοκλήρωμα.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ως παράδειγμα, πήρα το ολοκλήρωμα που εξετάσαμε στην αρχή του μαθήματος. Όπως έχουμε ήδη πει, για να λύσουμε το ολοκλήρωμα μας άρεσε ο πίνακας τύπου , και θα ήθελα να περιορίσω το όλο θέμα σε αυτήν.

Η ιδέα πίσω από τη μέθοδο αντικατάστασης είναι να αντικαταστήστε μια σύνθετη έκφραση (ή κάποια συνάρτηση) με ένα μόνο γράμμα.
Σε αυτή την περίπτωση ζητά:
Το δεύτερο πιο δημοφιλές γράμμα αντικατάστασης είναι το γράμμα.
Κατ 'αρχήν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλα γράμματα, αλλά θα συνεχίσουμε να τηρούμε τις παραδόσεις.

Ετσι:
Αλλά όταν το αντικαθιστούμε, μας μένουν ! Πιθανώς, πολλοί μάντευαν ότι εάν γίνει μια μετάβαση σε μια νέα μεταβλητή, τότε στο νέο ολοκλήρωμα όλα θα πρέπει να εκφράζονται μέσω του γράμματος , και δεν υπάρχει καθόλου χώρος για διαφοροποίηση εκεί.
Το λογικό συμπέρασμα είναι ότι είναι απαραίτητο μετατραπεί σε κάποια έκφραση που εξαρτάται μόνο από.

Η δράση έχει ως εξής. Αφού επιλέξουμε μια αντικατάσταση, σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να βρούμε το διαφορικό. Με τις διαφορές, νομίζω ότι όλοι έχουν ήδη δημιουργήσει φιλία.

Από τότε

Μετά την αποσυναρμολόγηση του διαφορικού, συνιστώ να ξαναγράψετε το τελικό αποτέλεσμα όσο το δυνατόν συνοπτικά:
Τώρα, σύμφωνα με τους κανόνες της αναλογίας, εκφράζουμε αυτό που χρειαζόμαστε:

Τελικά:
Ετσι:

Και αυτό είναι ήδη το πιο πίνακα αναπόσπαστο (ο πίνακας των ολοκληρωμάτων ισχύει φυσικά και για τη μεταβλητή).

Τέλος, το μόνο που μένει είναι να πραγματοποιηθεί η αντίστροφη αντικατάσταση. Ας το θυμηθούμε.

Ετοιμος.

Ο τελικός σχεδιασμός του υπό εξέταση παραδείγματος θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:

“

Ας αντικαταστήσουμε:

“

Το εικονίδιο δεν έχει καμία μαθηματική σημασία, σημαίνει ότι έχουμε διακόψει τη λύση για ενδιάμεσες επεξηγήσεις.

Όταν προετοιμάζετε ένα παράδειγμα σε ένα σημειωματάριο, είναι καλύτερο να σημειώσετε την αντίστροφη αντικατάσταση με ένα απλό μολύβι.

Προσοχή!Στα ακόλουθα παραδείγματα, η εύρεση του διαφορικού δεν θα περιγραφεί λεπτομερώς.

Και τώρα ήρθε η ώρα να θυμηθούμε την πρώτη λύση:

Ποιά είναι η διαφορά? Δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά. Στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα. Αλλά από την άποψη του σχεδιασμού της εργασίας, η μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο είναι πολύ μικρότερη.

Γεννιέται το ερώτημα. Εάν η πρώτη μέθοδος είναι πιο σύντομη, τότε γιατί να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης; Το γεγονός είναι ότι για πολλά ολοκληρώματα δεν είναι τόσο εύκολο να "προσαρμόσουμε" τη συνάρτηση στο πρόσημο του διαφορικού.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: (είναι δύσκολο να σκεφτώ άλλη αντικατάσταση εδώ)

Όπως μπορείτε να δείτε, ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, το αρχικό ολοκλήρωμα απλοποιήθηκε σημαντικά - μειώθηκε σε μια συνηθισμένη συνάρτηση ισχύος. Αυτός είναι ο σκοπός της αντικατάστασης - να απλοποιήσει το ολοκλήρωμα.

Οι τεμπέληδες προχωρημένοι μπορούν εύκολα να λύσουν αυτό το ολοκλήρωμα υποβάλλοντας τη συνάρτηση στο διαφορικό πρόσημο:

Ένα άλλο πράγμα είναι ότι μια τέτοια λύση προφανώς δεν είναι για όλους τους μαθητές. Επιπλέον, ήδη σε αυτό το παράδειγμα, η χρήση της μεθόδου υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο αυξάνει σημαντικά τον κίνδυνο σύγχυσης σε μια απόφαση.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Εκτελέστε έλεγχο.

Παράδειγμα 8

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αντικατάσταση:
Μένει να δούμε σε τι θα εξελιχθεί

Εντάξει, το έχουμε εκφράσει, αλλά τι να κάνουμε με το «Χ» να παραμένει στον αριθμητή;!
Κατά καιρούς, όταν λύνουμε ολοκληρώματα, συναντάμε το εξής κόλπο: θα εκφράσουμε από την ίδια αντικατάσταση !

Παράδειγμα 9

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Σίγουρα κάποιοι παρατήρησαν ότι στον πίνακα αναζήτησης δεν υπάρχει κανόνας αντικατάστασης μεταβλητών. Αυτό έγινε σκόπιμα. Ο κανόνας θα δημιουργούσε σύγχυση στην εξήγηση και την κατανόηση, αφού δεν εμφανίζεται ρητά στα παραπάνω παραδείγματα.

Τώρα ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για τη βασική προϋπόθεση της χρήσης της μεθόδου αντικατάστασης μεταβλητών: το ολοκλήρωμα πρέπει να περιέχει κάποια συνάρτηση και την παράγωγό της:(οι λειτουργίες ενδέχεται να μην υπάρχουν στο προϊόν)

Από αυτή την άποψη, όταν βρίσκετε ολοκληρώματα, πρέπει συχνά να κοιτάξετε τον πίνακα των παραγώγων.

Στο παράδειγμα που εξετάζουμε, παρατηρούμε ότι ο βαθμός του αριθμητή είναι κατά ένα μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή. Στον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε τον τύπο, ο οποίος απλώς μειώνει τον βαθμό κατά ένα. Και αυτό σημαίνει ότι αν τον ορίσετε ως παρονομαστή, τότε οι πιθανότητες είναι μεγάλες ο αριθμητής να μετατραπεί σε κάτι καλό.