Un exemplu de determinare a unei integrale prin schimbarea unei variabile. Metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită. Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Să trecem la considerarea cazului general - metoda de înlocuire a variabilelor în integrală nedefinită.

Exemplul 5

Ca exemplu, am luat integrala pe care ne-am uitat chiar la începutul lecției. După cum am spus deja, pentru a rezolva integrala ne-a plăcut formula tabelară , și aș dori să reduc întreaga problemă la ea.

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.
În acest caz, se cere:
A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera .
În principiu, puteți folosi și alte litere, dar vom adera în continuare la tradiții.

Asa de:
Dar când îl înlocuim, rămânem cu! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul ar trebui să fie exprimat prin literă și nu există deloc loc pentru o diferență acolo.
Concluzia logică este că ai nevoie se transformă într-o expresie care depinde numai de .

Acțiunea este următoarea. După ce am selectat un înlocuitor, în acest exemplu trebuie să găsim diferența. Cu diferențe, cred că toată lumea și-a stabilit deja prietenie.

De atunci

După dezasamblarea diferențialului, recomand să rescrieți rezultatul final cât mai scurt posibil:
Acum, conform regulilor proporției, exprimăm ceea ce avem nevoie:

În cele din urmă:
Prin urmare:

Și aceasta este deja cea mai tabelă integrală (tabelul de integrale este, desigur, valabil și pentru variabila ).

În cele din urmă, tot ce rămâne este să efectuăm înlocuirea inversă. Să ne amintim asta.

Gata.

Designul final al exemplului luat în considerare ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu are nicio semnificație matematică înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când pregătiți un exemplu într-un caiet, este mai bine să marcați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Acum este timpul să ne amintim prima soluție:

Se pune întrebarea. Dacă prima metodă este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția la semnul diferenţialului.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Să facem un înlocuitor: (este greu să te gândești la un alt înlocuitor aici)

După cum puteți vedea, ca urmare a înlocuirii, integrala originală a fost simplificată semnificativ - redusă la obișnuit functie de putere. Acesta este scopul înlocuirii - de a simplifica integrala.

Persoanele avansate leneși pot rezolva cu ușurință această integrală subsumând funcția sub semnul diferențial:

Un alt lucru este că o astfel de soluție, evident, nu este pentru toți studenții. În plus, deja în acest exemplu, utilizarea metodei de subsumare a unei funcții sub semnul diferențial crește semnificativ riscul de a fi confuz într-o decizie.

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Înlocuire:
Rămâne de văzut în ce se va transforma

Bine, am exprimat-o, dar ce să facem cu „X” rămas în numărător?!
Din când în când, la rezolvarea integralelor, întâlnim următorul truc: vom exprima din aceeași înlocuire !

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Cu siguranță unii oameni au observat asta la mine tabel de referință nu există o regulă de înlocuire a variabilelor. Acest lucru a fost făcut în mod deliberat. Regula ar crea confuzie în explicație și înțelegere, deoarece nu apare în mod explicit în exemplele de mai sus.

Acum este timpul să vorbim despre premisa de bază a utilizării metodei de substituție a variabilelor: integrandul trebuie să conţină o anumită funcţie și derivatul său : (funcțiile pot să nu fie în produs)

În acest sens, atunci când găsiți integrale, de multe ori trebuie să vă uitați la tabelul derivatelor.

În exemplul luat în considerare, observăm că gradul numărătorului este cu unul mai mic decât gradul numitorului. În tabelul derivatelor găsim formula, care doar reduce gradul cu unu. Și asta înseamnă că dacă îl desemnați ca numitor, atunci șansele sunt mari ca numărătorul să se transforme în ceva bun.

Înlocuire:

Apropo, nu este atât de dificil să subsumăm funcția sub semnul diferențial:

Trebuie remarcat faptul că pentru fracții precum , acest truc nu va mai funcționa (mai precis, va fi necesar să se aplice nu numai tehnica de înlocuire). Puteți învăța să integrați unele fracții în clasă. Integrarea unor fracții.

Iată câteva exemple tipice pentru soluții independente din aceeași operă:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită.

Soluții la sfârșitul lecției.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită.

Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim arccosinusul nostru: . În integrandul nostru avem arccosinus și ceva similar cu derivata sa.

Regula generala:
In spate notăm funcția în sine(și nu derivatul său).

În acest caz: . Rămâne să aflăm în ce se va transforma partea rămasă a integrandului.

În acest exemplu, voi descrie constatarea în detaliu deoarece este o funcție complexă.

Sau pe scurt:
Folosind regula proporției, exprimăm restul de care avem nevoie:

Prin urmare:

Aici nu mai este atât de ușor să subsumăm funcția sub semnul diferențial.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită.

Un exemplu pentru o soluție independentă. Răspunsul este foarte aproape.

Cititorii atenți vor fi observat că am luat în considerare câteva exemple cu funcții trigonometrice. Și aceasta nu este o coincidență, deoarece o lecție separată este dedicată integralelor funcțiilor trigonometrice. Mai mult, această lecție oferă câteva îndrumări utile pentru înlocuirea unei variabile, ceea ce este deosebit de important pentru manechin, care nu întotdeauna și nu înțeleg imediat ce fel de înlocuire trebuie făcută într-o anumită integrală. Puteți vedea și câteva tipuri de înlocuiri în articol Integrala definita. Exemple de soluții.

Elevii mai experimentați se pot familiariza cu substituțiile tipice în integrale cu funcții iraționale. Substituția la integrarea rădăcinilor este specifică, iar tehnica de implementare a acesteia diferă de cea pe care am discutat-o în această lecție.

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

Exemplul 7: Soluție:

Exemplul 9: Soluție:

Înlocuire:

Exemplul 11: Soluție:

Să înlocuim:

(vezi articolul Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită ) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.

Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorȘi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, atunci vă rugăm să vizitați camera de depozitare a site-ului meu: Formule matematice si mese. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar, nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.

Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda integrării prin părți rezolvă o problemă foarte importantă, vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel; muncă

3) , , – funcții trigonometrice, înmulțit cu un polinom.

4) , – funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri” înmulțite cu un polinom.

Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți, vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare.

A moduri de reducere a integralelor la cele tabulare Am enumerat pentru tine:

metoda de înlocuire variabilă;

metoda de integrare pe părți;

Metoda de integrare directă

metode de reprezentare a integralelor nedefinite prin integrale tabulare pentru integrale ale fracțiilor raționale;

metode de reprezentare a integralelor nedefinite prin integrale de tabel pentru integrale ale expresiilor iraționale;

modalități de exprimare a integralelor nedefinite prin intermediul unor integrale tabelare pentru integralele funcțiilor trigonometrice.

Integrală nedefinită a unei funcții de putere

Integrală nedefinită a funcției exponențiale

Dar integrala nedefinită a logaritmului nu este o integrală tabelară, formula este tabelară:

Integrale nedefinite ale funcțiilor trigonometrice: Integrale de sinus, cosinus și tangente

Integrale nedefinite cu funcții trigonometrice inverse

Reducere la formă tabelară sau metoda integrarii directe. Folosind transformări identice ale integrandului, integrala este redusă la o integrală căreia îi sunt aplicabile regulile de bază de integrare și este posibil să se utilizeze un tabel de integrale de bază.

Exemplu

Exercițiu. Găsiți integrala

Soluţie. Să folosim proprietățile integralei și să reducem această integrală la formă tabelară.

Răspuns.

Tehnic metoda de înlocuire a variabilei în integrala nedefinită este implementată în două moduri:

– Subsumând o funcție sub semnul diferențial. – Schimbarea efectivă a variabilei.

Subsumând o funcție sub semnul diferențial

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Să analizăm funcția integrand. Aici avem o fracție, iar numitorul este o funcție liniară (cu „X” la prima putere). Ne uităm la tabelul integralelor și găsim cel mai asemănător lucru: .

Aducem funcția sub semnul diferențial:

Cei cărora le este greu să-și dea seama imediat cu ce fracție să se înmulțească pot dezvălui rapid diferența într-o schiță: . Da, se pare că asta înseamnă că, pentru ca nimic să nu se schimbe, trebuie să înmulțesc integrala cu . În continuare folosim formula tabelară:

Examinare: S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.În acest caz, se sugerează: A doua cea mai populară scrisoare pentru înlocuire este litera . În principiu, puteți folosi și alte litere, dar vom adera în continuare la tradiții.

Asa de: Dar când îl înlocuim, rămânem cu! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul ar trebui să fie exprimat prin literă și nu există deloc loc pentru o diferență acolo. Concluzia logică este că ai nevoie se transformă într-o expresie care depinde numai de.

Acțiunea este următoarea. După ce am selectat un înlocuitor, în acest exemplu, trebuie să găsim diferența. Cu diferențe, cred că toată lumea și-a stabilit deja prietenie.

De atunci

După sortarea diferenţialului, recomand să rescriem rezultatul final cât mai pe scurt posibil: Acum, conform regulilor de proporţie, îl exprimăm pe cel de care avem nevoie:

În cele din urmă: Prin urmare: Și aceasta este deja cea mai tabelă integrală (tabelul de integrale este, desigur, valabil și pentru variabila ).

În cele din urmă, tot ce rămâne este să efectuăm înlocuirea inversă. Să ne amintim asta.

Gata.

Designul final al exemplului luat în considerare ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu are nicio semnificație matematică înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când pregătiți un exemplu într-un caiet, este mai bine să marcați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Acum este timpul să ne amintim prima soluție:

Care este diferența? Nu există nicio diferență fundamentală. Este de fapt același lucru. Dar din punctul de vedere al proiectării sarcinii, metoda de subsumare a unei funcții sub semnul diferențial este mult mai scurtă. Se pune întrebarea. Dacă prima metodă este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția la semnul diferenţialului.

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Integrale ale logaritmilor

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită.

Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este în niciun caz tabelară - este luată în părți. Noi decidem:

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula de integrare prin părți:

Formula se aplică de la stânga la dreapta

Ne uităm în partea stângă: . Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare), ceva trebuie desemnat ca , iar ceva ca .

În integrale de tipul luat în considerare pentruîntotdeauna notat cu logaritm.

Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum scriem în coloană:

Adică am notat logaritmul cu și prin - partea rămasă expresie integrand.

Etapa următoare: găsiți diferența:

Un diferențial este aproape același cu un derivat, am discutat deja despre cum să-l găsim în lecțiile anterioare.

Acum găsim funcția. Pentru a găsi funcția trebuie să o integrați partea dreapta egalitate mai scăzută:

Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: . Apropo, iată o mostră a soluției finale cu note mici.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau contact cu el.

Este posibil să vi se solicite să furnizați Informații personale oricând ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări importanteși mesaje.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Integrare prin substituire (înlocuire variabilă). Să presupunem că trebuie să calculați o integrală care nu este tabelară. Esența metodei substituției este aceea că în integrală variabila x este înlocuită cu variabila t după formula x = q(t), din care dx = q"(t)dt.

Teorema. Fie funcția x=t(t) definită și diferențiabilă pe o anumită mulțime T și fie X mulțimea de valori a acestei funcții pe care este definită funcția f(x). Atunci dacă pe mulțimea X funcția f(x) are o antiderivată, atunci pe mulțimea T formula este valabilă:

Formula (1) se numește modificarea formulei variabilei în integrala nedefinită.

Integrare pe părți. Metoda de integrare pe părți rezultă din formula diferențială a produsului a două funcții. Fie u(x) și v(x) două funcții diferențiabile ale variabilei x. Apoi:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

Integrând ambele părți ale egalității (3), obținem:

Dar de atunci:

Relația (4) se numește formula de integrare prin părți. Folosind această formulă, găsiți integrala. Este recomandabil să îl utilizați atunci când integrala din partea dreaptă a formulei (4) este mai simplu de calculat decât cea inițială.

În formula (4) nu există o constantă arbitrară C, deoarece în partea dreaptă a acestei formule există o integrală nedefinită care conține o constantă arbitrară.

Prezentăm câteva tipuri de integrale frecvent întâlnite calculate prin metoda integrării pe părți.

I. Integrale de forma, (P n (x) este un polinom de grad n, k este un anumit număr). Pentru a găsi aceste integrale, este suficient să setați u=P n (x) și să aplicați formula (4) de n ori.

II. Integrale de forma, (Pn(x) este un polinom de grad n în raport cu x). Ele pot fi găsite folosind frecvențe, luând pentru u o funcție care este un multiplicator pentru P n (x).

Pe această lecție Ne vom familiariza cu una dintre cele mai importante și mai comune tehnici care se utilizează la rezolvarea integralelor nedefinite - metoda schimbării variabilei. Pentru a stăpâni cu succes materialul de care aveți nevoie cunostinte de bazași abilități de integrare. Dacă există senzația unui fierbător plin gol în calcul integral, atunci mai întâi ar trebui să vă familiarizați cu materialul, unde am explicat în formă accesibilă, ce este o integrală și a analizat în detaliu exemple de bază pentru începători.

Din punct de vedere tehnic, metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită este implementată în două moduri:

– Subsumarea funcției sub semnul diferențial;
– Înlocuind de fapt variabila.

În esență, acestea sunt același lucru, dar designul soluției arată diferit.

Să începem cu un caz mai simplu.

Subsumând o funcție sub semnul diferențial

La lectie Integrală nedefinită. Exemple de soluții am invatat sa deschidem diferentialul, va amintesc de exemplul pe care l-am dat:

Adică, dezvăluirea unei diferenţiale este în mod formal aproape la fel cu găsirea unei derivate.

Exemplul 1

Efectuați verificarea.

Ne uităm la tabelul integralelor și găsim o formulă similară: . Dar problema este că sub sinus nu avem doar litera „X”, ci o expresie complexă. Ce să fac?

Aducem funcția sub semnul diferențial:

Prin deschiderea diferenţialului, este uşor de verificat că:

De fapt și este o înregistrare a aceluiași lucru.

Dar, cu toate acestea, a rămas întrebarea, cum am ajuns la ideea că la primul pas trebuie să ne scriem integrala exact așa: ? De ce așa și nu altfel?

Formulă (și toate celelalte formule de tabel) sunt valide și aplicabile NU NUMAI pentru variabilă, ci și pentru orice expresie complexă NUMAI CA ARGUMENT DE FUNCȚIE(- în exemplul nostru) ȘI EXPRESIA DE SUB SEMNUL DIFERENȚIAL A FOST ACEEAȘI .

Prin urmare, raționamentul mental atunci când rezolvăm ar trebui să fie cam așa: „Trebuie să rezolv integrala. M-am uitat în tabel și am găsit o formulă similară . Dar am un argument complex și nu pot folosi imediat formula. Totuși, dacă reușesc să-l obțin sub semnul diferențial, atunci totul va fi bine. Dacă o notez, atunci. Dar în integrala originală nu există un factor trei, prin urmare, pentru ca funcția integrand să nu se schimbe, trebuie să o înmulțesc cu ". În cursul unui astfel de raționament mental, se naște următoarea intrare:

Acum puteți folosi formula tabelară :

Gata

Singura diferență este că nu avem litera „X”, ci o expresie complexă.

Sa verificam. Deschideți tabelul de derivate și diferențiați răspunsul:

S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Vă rugăm să rețineți că în timpul verificării am folosit regula de diferențiere functie complexa . În esență, subsumând funcția sub semnul diferențial și - acestea sunt două reguli reciproc inverse.

Exemplul 2

Să analizăm funcția integrand. Aici avem o fracție, iar numitorul este o funcție liniară (cu „X” la prima putere). Ne uităm la tabelul integralelor și găsim cel mai asemănător lucru: .

Aducem funcția sub semnul diferențial:

Examinare:

S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Cu ceva experiență în rezolvarea integralelor, astfel de exemple vor părea ușoare și vor face clic ca pe nucile:

La sfârșitul acestui paragraf aș dori să mă opresc asupra cazului „liber” când funcție liniară variabila este inclusă cu un coeficient unitar, de exemplu:

Strict vorbind, soluția ar trebui să arate astfel:

După cum puteți vedea, subsumarea funcției sub semnul diferențial a fost „nedureroasă”, fără înmulțiri. Prin urmare, în practică acest lucru soluție lungă deseori neglijat și imediat notat că . Dar fii pregătit, dacă este necesar, să-i explici profesorului cum ai rezolvat-o! Pentru că de fapt nu există nicio integrală în tabel.

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Să trecem la considerarea cazului general - metoda de schimbare a variabilelor în integrala nedefinită.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.
În acest caz, se cere:
A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera .
În principiu, puteți folosi și alte litere, dar vom adera în continuare la tradiții.

Acțiunea este următoarea. După ce am selectat un înlocuitor, în acest exemplu, trebuie să găsim diferența. Cu diferențe, cred că toată lumea și-a stabilit deja prietenie.

De atunci

După dezasamblarea diferențialului, recomand să rescrieți rezultatul final cât mai scurt posibil:
Acum, conform regulilor proporției, exprimăm ceea ce avem nevoie:

În cele din urmă:
Prin urmare:

Și aceasta este deja cea mai tabelă integrală (tabelul de integrale, desigur, este valabil și pentru variabilă).

În cele din urmă, tot ce rămâne este să efectuăm înlocuirea inversă. Să ne amintim asta.

Gata.

Designul final al exemplului luat în considerare ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu are nicio semnificație matematică înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când pregătiți un exemplu într-un caiet, este mai bine să marcați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Acum este timpul să ne amintim prima soluție:

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Să facem un înlocuitor: (este greu să te gândești la un alt înlocuitor aici)

După cum puteți vedea, ca urmare a înlocuirii, integrala originală a fost simplificată semnificativ - redusă la o funcție de putere obișnuită. Acesta este scopul înlocuirii - de a simplifica integrala.

Persoanele avansate leneși pot rezolva cu ușurință această integrală subsumând funcția sub semnul diferențial:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Cu siguranță unii oameni au observat că în tabelul meu de căutare nu există o regulă de înlocuire a variabilelor. Acest lucru a fost făcut în mod deliberat. Regula ar crea confuzie în explicație și înțelegere, deoarece nu apare în mod explicit în exemplele de mai sus.

Acum este timpul să vorbim despre premisa de bază a utilizării metodei de substituție a variabilelor: integrandul trebuie să conțină o funcție și derivata ei:(funcțiile pot să nu fie în produs)

În acest sens, atunci când găsiți integrale, de multe ori trebuie să vă uitați la tabelul derivatelor.