Τοπολογία σημαίνει. Η έννοια της λέξης τοπολογία. Τα κύρια στάδια στην ανάπτυξη της τοπολογίας
Το περιεχόμενο του άρθρου
ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ,κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των σχημάτων (ή των χώρων) που διατηρούνται υπό συνεχείς παραμορφώσεις, όπως, για παράδειγμα, τάση, συμπίεση ή κάμψη. Η συνεχής παραμόρφωση είναι μια παραμόρφωση μιας φιγούρας, στην οποία δεν υπάρχουν σπασίματα (δηλαδή παραβίαση της ακεραιότητας του σχήματος) ή κόλληση (δηλαδή αναγνώριση των σημείων του). Τέτοιες γεωμετρικές ιδιότητες σχετίζονται με τη θέση και όχι με το σχήμα ή το μέγεθος του σχήματος. Σε αντίθεση με τις ευκλείδειες και τις γεωμετρίες του Ρίμαν, τη γεωμετρία Lobachevsky και άλλες γεωμετρίες που ασχολούνται με τη μέτρηση των μηκών και των γωνιών, η τοπολογία έχει μη μετρικό και ποιοτικό χαρακτήρα. Προηγουμένως, ονομαζόταν «ανάλυση θέσης» (ανάλυση θέσης), καθώς και «θεωρία συνόλων σημείων». Στη λαϊκή επιστημονική βιβλιογραφία, η τοπολογία αναφέρεται συχνά ως "γεωμετρία φύλλου καουτσούκ" επειδή μπορεί να απεικονιστεί ως η γεωμετρία των σχημάτων που σχεδιάζονται σε τέλεια ελαστικά φύλλα από καουτσούκ που τεντώνονται, συμπιέζονται ή κάμπτονται. Η τοπολογία είναι ένας από τους νεότερους κλάδους των μαθηματικών.
Ιστορία.
Το 1640, ο Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός R. Descartes (1596–1650) βρήκε μια αμετάβλητη σχέση μεταξύ του αριθμού των κορυφών, των ακμών και των όψεων των απλών πολύεδρων. Ο Ντεκάρτ εξέφρασε αυτή τη σχέση με τον τύπο V-E+F= 2, όπου Vείναι ο αριθμός των κορυφών, μιείναι ο αριθμός των νευρώσεων και φάείναι ο αριθμός των άκρων. Το 1752 ο Ελβετός μαθηματικός L. Euler (1707–1783) έδωσε μια αυστηρή απόδειξη αυτού του τύπου. Μια άλλη συμβολή του Euler στην ανάπτυξη της τοπολογίας είναι η λύση του περίφημου προβλήματος της γέφυρας Königsberg. Επρόκειτο για ένα νησί στον ποταμό Pregel στο Königsberg (στο σημείο όπου ο ποταμός χωρίζεται σε δύο κλάδους - Παλαιό και Νέο Pregel) και επτά γέφυρες που συνδέουν το νησί με τις όχθες. Η πρόκληση ήταν να μάθουμε αν ήταν δυνατό να παρακάμψουμε και τις επτά γέφυρες σε μια συνεχή διαδρομή, επισκεπτόμενοι την καθεμία μόνο μία φορά και επιστρέφοντας στο σημείο εκκίνησης. Ο Euler αντικατέστησε τις χερσαίες εκτάσεις με σημεία και τις γέφυρες με γραμμές. Ο Euler ονόμασε τη διαμόρφωση που προέκυψε ως γράφημα, σημεία - τις κορυφές του και γραμμές - ακμές. Χώρισε τις κορυφές σε άρτιες και περιττές, ανάλογα με το αν ένας άρτιος ή περιττός αριθμός ακμών αναδύεται από την κορυφή. Ο Euler έδειξε ότι όλες οι ακμές ενός γραφήματος μπορούν να διασχιστούν ακριβώς μία φορά κατά μήκος μιας συνεχούς κλειστής διαδρομής μόνο εάν το γράφημα περιέχει μόνο ζυγές κορυφές. Δεδομένου ότι το γράφημα στο πρόβλημα της γέφυρας Königsberg περιέχει μόνο περιττές κορυφές, είναι αδύνατο να παρακάμψετε τις γέφυρες κατά μήκος μιας συνεχούς διαδρομής, επισκεπτόμενοι την καθεμία ακριβώς μία φορά και επιστρέφοντας στην αρχή της διαδρομής.
Η λύση που προτείνει ο Euler στο πρόβλημα των γεφυρών Königsberg εξαρτάται μόνο από τη σχετική θέση των γεφυρών. Σηματοδότησε την επίσημη αρχή της τοπολογίας ως κλάδου των μαθηματικών. Ο K. Gauss (1777–1855) δημιούργησε τη θεωρία των κόμβων, την οποία μελέτησαν αργότερα οι I. Listing (1808–1882), P. Tate (1831–1901) και J. Alexander. Το 1840 ο A. Möbius (1790–1868) διατύπωσε το λεγόμενο πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων, το οποίο διερευνήθηκε αργότερα από τους O. de Morgan (1806–1871) και A. Cayley (1821–1895). Η πρώτη συστηματική εργασία για την τοπολογία ήταν Προκαταρκτικές μελέτες τοπολογίαςΚαταχώρηση (1874).
Οι ιδρυτές της σύγχρονης τοπολογίας είναι οι G. Kantor (1845–1918), A. Poincaré (1854–1912) και L. Brouwer (1881–1966).
Τοπολογικά τμήματα.
Η τοπολογία μπορεί να χωριστεί σε τρεις τομείς: 1) συνδυαστική τοπολογία, η οποία μελετά τα γεωμετρικά σχήματα διασπώντας τα σε απλά σχήματα που εφάπτονται μεταξύ τους με κανονικό τρόπο. 2) Αλγεβρική τοπολογία, η οποία ασχολείται με τη μελέτη αλγεβρικών δομών που σχετίζονται με τοπολογικούς χώρους, με έμφαση στη θεωρία ομάδων. 3) Θεωρητική τοπολογία συνόλων, η οποία μελετά σύνολα ως συλλογές σημείων (σε αντίθεση με τις συνδυαστικές μεθόδους, που αντιπροσωπεύουν ένα αντικείμενο ως ένωση απλούστερων αντικειμένων) και περιγράφει σύνολα με όρους τοπολογικών ιδιοτήτων όπως άνοιγμα, κλειστότητα, συνδεσιμότητα κ.λπ. Φυσικά, μια τέτοια διαίρεση της τοπολογίας σε περιοχές είναι κάπως αυθαίρετη. πολλοί τοπολόγοι προτιμούν να ξεχωρίζουν άλλες ενότητες σε αυτό.
Μερικές βασικές έννοιες.
Τοπολογικός χώροςαποτελείται από πολλές τελείες μικρόκαι ένα σύνολο S υποσυνόλων του συνόλου μικρό, ικανοποιώντας τα ακόλουθα αξιώματα:
(1) ολόκληρο το σετ μικρόκαι το κενό σύνολο ανήκει στο S.
(2) η ένωση οποιασδήποτε συλλογής συνόλων από το S είναι ένα σύνολο από το S.
(3) η τομή οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού συνόλων στο S είναι ένα σύνολο στο S.
Τα σύνολα που περιλαμβάνονται στο σύνολο S ονομάζονται ανοιχτά σετ, και αυτό το ίδιο το σετ είναι τοπολογία V μικρό. Εκ. ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ.
Τοπολογικός μετασχηματισμός, ή ομοιομορφισμός, ένα γεωμετρικό σχήμα μικρόσε άλλο μικρόў, είναι μια χαρτογράφηση ( Π ® Πў) σημεία Παπό μικρόσε σημεία Π¢ από μικρό¢ που πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις: 1) την αντιστοιχία που καθορίζει αυτό μεταξύ σημείων από μικρόΚαι μικρό¢ ένας προς έναν, δηλ. κάθε σημείο Παπό μικρόμόνο ένας βαθμός ταιριάζει Π¢ από μικρό¢ και σε κάθε σημείο Π¢ εμφανίζεται μόνο μία τελεία Π; 2) η χαρτογράφηση είναι αμοιβαία συνεχής (συνεχής και προς τις δύο κατευθύνσεις), δηλ. αν δοθούν δύο βαθμοί Π, qαπό μικρόκαι τελεία Πκινείται με τέτοιο τρόπο ώστε η απόσταση μεταξύ αυτού και του σημείου qτείνει στο μηδέν, τότε η απόσταση μεταξύ των αντίστοιχων σημείων Πў, q¢ από μικρόΤο ¢ τείνει επίσης στο μηδέν και αντίστροφα.
Τα γεωμετρικά σχήματα που περνούν το ένα στο άλλο κατά τη διάρκεια τοπολογικών μετασχηματισμών ονομάζονται ομοιομορφική. Ο κύκλος και το όριο ενός τετραγώνου είναι ομοιομορφικά, αφού μπορούν να μετατραπούν μεταξύ τους με έναν τοπολογικό μετασχηματισμό (δηλαδή, με κάμψη και τέντωμα χωρίς σπάσιμο ή κόλληση, για παράδειγμα, τεντώνοντας το όριο ενός τετραγώνου από τον κύκλο που περιβάλλεται γύρω από το). Η σφαίρα και η επιφάνεια ενός κύβου είναι επίσης ομοιομορφικά. Για να αποδείξουμε ότι οι αριθμοί είναι ομοιομορφικοί, αρκεί να υποδείξουμε τον αντίστοιχο μετασχηματισμό, αλλά το γεγονός ότι δεν μπορούμε να βρούμε μετασχηματισμό για ορισμένα σχήματα δεν αποδεικνύει ότι αυτά τα σχήματα δεν είναι ομοιομορφικά. Οι τοπολογικές ιδιότητες βοηθούν εδώ.
τοπολογική ιδιότητα(ή τοπολογικό αμετάβλητο) των γεωμετρικών σχημάτων είναι μια ιδιότητα που μαζί με ένα δεδομένο σχήμα κατέχεται και από οποιοδήποτε σχήμα μέσα στο οποίο διέρχεται κατά τη διάρκεια ενός τοπολογικού μετασχηματισμού.
Κάθε ανοιχτό συνδεδεμένο σύνολο που περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο καλείται περιοχή.
Μια περιοχή στην οποία οποιαδήποτε κλειστή απλή (δηλαδή ομοιομορφική σε κύκλο) καμπύλη μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο ενώ παραμένει σε αυτήν την περιοχή όλη την ώρα ονομάζεται μεμονωμένα συνδεδεμένα απλά συνδεδεμένο. Εάν, από την άλλη πλευρά, κάποια κλειστή απλή καμπύλη αυτής της περιοχής δεν μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο ενώ παραμένει σε αυτήν την περιοχή όλη την ώρα, τότε η περιοχή ονομάζεται πολλαπλασιάζονται συνδεδεμένοι, και η αντίστοιχη ιδιοκτησία της περιοχής είναι πολλαπλασιάζονται συνδεδεμένοι. Φανταστείτε δύο κυκλικές περιοχές ή δίσκους, μία χωρίς τρύπες και μία με τρύπες. Η πρώτη περιοχή είναι απλά συνδεδεμένη, η δεύτερη είναι πολλαπλά συνδεδεμένη. Η απλή σύνδεση και η πολλαπλή σύνδεση είναι τοπολογικές ιδιότητες. Μια περιοχή με μια τρύπα δεν μπορεί να περάσει κάτω από έναν ομοιομορφισμό σε μια περιοχή χωρίς τρύπες. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν γίνει μια τομή σε έναν πολλαπλά συνδεδεμένο δίσκο από κάθε μία από τις οπές μέχρι την άκρη του δίσκου, τότε γίνεται απλά συνδεδεμένη.
Ο μέγιστος αριθμός κλειστών απλών μη τεμνόμενων καμπυλών κατά μήκος των οποίων μπορεί να κοπεί μια κλειστή επιφάνεια χωρίς να τη διαιρέσουμε σε ξεχωριστά μέρη ονομάζεται εκ γενετήςεπιφάνειες. Το γένος είναι μια τοπολογική μεταβλητή μιας επιφάνειας. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το γένος της σφαίρας είναι ίσο με μηδέν, το γένος του τόρου (επιφάνεια του «ντόνατ») είναι ίσο με ένα, το γένος του κουλούρι (τόρος με δύο τρύπες) είναι δύο, το γένος του η επιφάνεια είναι γ Πτρύπες ίσον Π. Αυτό σημαίνει ότι ούτε η επιφάνεια του κύβου ούτε η σφαίρα είναι ομοιομορφικά με τον δακτύλιο.
Μεταξύ των τοπολογικών αναλλοίωτων μιας επιφάνειας, μπορεί κανείς να σημειώσει επίσης τον αριθμό των πλευρών και τον αριθμό των ακμών. Ένας δίσκος έχει 2 πλευρές, 1 ακμή και γένος 0. Ένας τόρος έχει 2 πλευρές, χωρίς άκρες και το γένος του είναι 1.
Οι έννοιες που εισήχθησαν παραπάνω καθιστούν δυνατή τη βελτίωση του ορισμού της τοπολογίας: Η τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες που διατηρούνται στους ομοιομορφισμούς.
Σημαντικά προβλήματα και αποτελέσματα.
Θεώρημα κλειστής καμπύλης Jordan.
Εάν σχεδιάζεται μια απλή κλειστή καμπύλη στην επιφάνεια, υπάρχει κάποια ιδιότητα της καμπύλης που διατηρείται όταν η επιφάνεια παραμορφώνεται; Η ύπαρξη μιας τέτοιας ιδιότητας προκύπτει από το ακόλουθο θεώρημα: μια απλή κλειστή καμπύλη σε ένα επίπεδο χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές, την εσωτερική και την εξωτερική. Αυτό το φαινομενικά ασήμαντο θεώρημα είναι προφανές για καμπύλες απλής μορφής, για παράδειγμα, για κύκλο. Ωστόσο, η κατάσταση είναι διαφορετική για πολύπλοκες κλειστές διακεκομμένες γραμμές. Το θεώρημα διατυπώθηκε για πρώτη φορά και αποδείχθηκε από τον K. Jordan (1838–1922). Ωστόσο, η απόδειξη του Τζόρνταν αποδείχθηκε εσφαλμένη. Μια ικανοποιητική απόδειξη προτάθηκε από τον O. Veblen (1880–1960) το 1905.
Θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer.
Αφήνω ρεείναι μια κλειστή περιοχή που αποτελείται από έναν κύκλο και το εσωτερικό του. Το θεώρημα του Brouwer δηλώνει ότι για κάθε συνεχή μετασχηματισμό που παίρνει κάθε σημείο του πεδίου ρεσε ένα σημείο στην ίδια περιοχή, υπάρχει κάποιο σημείο που παραμένει σταθερό κάτω από αυτόν τον μετασχηματισμό. (Ο μετασχηματισμός δεν θεωρείται ότι είναι ένα προς ένα.) Το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον επειδή φαίνεται να είναι το τοπολογικό θεώρημα που χρησιμοποιείται συχνότερα αλλού στα μαθηματικά.
Το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων.
Το πρόβλημα είναι το εξής: μπορεί οποιοσδήποτε χάρτης να χρωματιστεί με τέσσερα χρώματα, έτσι ώστε οποιεσδήποτε δύο χώρες που έχουν κοινά σύνορα να χρωματίζονται με διαφορετικά χρώματα; Το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων είναι τοπολογικό, αφού δεν έχει σημασία ούτε το σχήμα των χωρών ούτε η διαμόρφωση των συνόρων.
Η εικασία ότι τέσσερα χρώματα επαρκούν για τον αντίστοιχο χρωματισμό οποιασδήποτε κάρτας αναφέρθηκε για πρώτη φορά το 1852. Η εμπειρία έχει δείξει ότι τέσσερα χρώματα είναι πράγματι επαρκή, αλλά μια αυστηρή μαθηματική απόδειξη δεν μπορούσε να ληφθεί για περισσότερα από εκατό χρόνια. Και μόνο το 1976, ο K. Appel και ο V. Haken από το Πανεπιστήμιο του Illinois, έχοντας αφιερώσει περισσότερες από 1000 ώρες υπολογιστή, πέτυχαν επιτυχία.
Μονόπλευρες επιφάνειες.
Η απλούστερη μονόπλευρη επιφάνεια είναι Λωρίδα Möbius, πήρε το όνομά του από τον A. Möbius, ο οποίος ανακάλυψε τις εξαιρετικές τοπολογικές του ιδιότητες το 1858. Ας Α Β Γ Δ(Εικ. 2, ΕΝΑ) είναι μια ορθογώνια λωρίδα χαρτιού. Αν κολλήσετε την τελεία ΕΝΑμε μια τελεία σι, και ένα σημείο ντομε μια τελεία ρε(Εικ. 2, σι), παίρνετε ένα δαχτυλίδι με μια εσωτερική επιφάνεια, μια εξωτερική επιφάνεια και δύο άκρες. Η μία πλευρά του δακτυλίου (Εικ. 2, σι) μπορεί να χρωματιστεί. Η βαμμένη επιφάνεια θα οριοθετείται από τις άκρες του δακτυλίου. Το σκαθάρι μπορεί να κάνει έναν «κύριο πλοήγησης» γύρω από το δαχτυλίδι, μένοντας είτε σε βαμμένη είτε σε άβαφη επιφάνεια. Αλλά αν η λωρίδα στρίψει μισή στροφή πριν κολλήσετε τις άκρες και κολλήσετε την κουκκίδα ΕΝΑμε μια τελεία ντο, ΕΝΑ σιΜε ρε, τότε παίρνουμε τη λωρίδα Möbius (Εικ. 2, V). Αυτό το σχήμα έχει μόνο μία επιφάνεια και μία άκρη. Οποιαδήποτε προσπάθεια χρωματισμού μόνο μιας πλευράς της λωρίδας Möbius είναι καταδικασμένη σε αποτυχία, καθώς η ταινία Möbius έχει μόνο μία πλευρά. Ένα σκαθάρι που σέρνεται κατά μήκος της μέσης μιας λωρίδας Möbius (χωρίς να διασχίζει τις άκρες) θα επιστρέψει στην αφετηρία του στη θέση «ανάποδα». Όταν κόβετε τη λωρίδα Möbius κατά μήκος της μέσης γραμμής, δεν χωρίζεται σε δύο μέρη.
Κόμβοι.
Ένας κόμπος μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μπλεγμένο κομμάτι λεπτού σχοινιού με συνδεδεμένα άκρα, που βρίσκεται στο διάστημα. Το πιο απλό παράδειγμα είναι να φτιάξετε μια θηλιά από ένα κομμάτι σχοινιού, να περάσετε μια από τις άκρες του μέσα από τη θηλιά και να συνδέσετε τις άκρες. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια κλειστή καμπύλη που παραμένει τοπολογικά ίδια, ανεξάρτητα από το πώς τεντώνεται ή συστρέφεται, χωρίς να σκίζεται ή να κολλάει ξεχωριστά σημεία. Το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων σύμφωνα με το σύστημα των τοπολογικών αναλλοίωτων δεν έχει ακόμη λυθεί.
Τοπολογία "δαχτυλίδι"- αυτή είναι μια τοπολογία στην οποία κάθε υπολογιστής συνδέεται με γραμμές επικοινωνίας μόνο με δύο άλλους: από τη μία λαμβάνει μόνο πληροφορίες και μεταδίδει μόνο στην άλλη. Σε κάθε γραμμή επικοινωνίας, όπως στην περίπτωση ενός αστέρα, λειτουργεί μόνο ένας πομπός και ένας δέκτης. Αυτό εξαλείφει την ανάγκη για εξωτερικούς τερματιστές.Κάθε υπολογιστής εκπέμπει (επαναλαμβάνει) το σήμα, δηλαδή λειτουργεί ως επαναλήπτης, επομένως η εξασθένηση του σήματος σε ολόκληρο τον δακτύλιο δεν έχει σημασία, μόνο η εξασθένηση μεταξύ γειτονικών υπολογιστών του δακτυλίου είναι σημαντική. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν υπάρχει σαφώς καθορισμένο κέντρο, όλοι οι υπολογιστές μπορεί να είναι ίδιοι. Ωστόσο, αρκετά συχνά εκχωρείται ένας ειδικός συνδρομητής στο δαχτυλίδι, ο οποίος ελέγχει την ανταλλαγή ή ελέγχει την ανταλλαγή. Είναι σαφές ότι η παρουσία ενός τέτοιου συνδρομητή ελέγχου μειώνει την αξιοπιστία του δικτύου, επειδή η αποτυχία του παραλύει αμέσως ολόκληρο το κέντρο.
Η σύνδεση νέων συνδρομητών στο «δακτύλιο» είναι συνήθως εντελώς ανώδυνη, αν και απαιτεί την υποχρεωτική διακοπή λειτουργίας ολόκληρου του δικτύου για τη διάρκεια της σύνδεσης. Όπως και στην περίπτωση της τοπολογίας "bus", ο μέγιστος αριθμός συνδρομητών στο δαχτυλίδι μπορεί να είναι αρκετά μεγάλος (1000 ή περισσότεροι). Ένα συνεστραμμένο ζεύγος ή οπτική ίνα χρησιμοποιείται ως φορέας στο δίκτυο. Τα μηνύματα κυκλοφορούν τριγύρω.
Ένας σταθμός εργασίας μπορεί να μεταδώσει πληροφορίες σε άλλο σταθμό εργασίας μόνο αφού λάβει το δικαίωμα μετάδοσης (token), επομένως οι συγκρούσεις αποκλείονται. Οι πληροφορίες μεταδίδονται γύρω από τον δακτύλιο από τον ένα σταθμό εργασίας στον άλλο, επομένως, εάν ένας υπολογιστής αποτύχει, εάν δεν ληφθούν ειδικά μέτρα, ολόκληρο το δίκτυο θα αποτύχει.
Η τοπολογία δακτυλίου είναι συνήθως η πιο ανθεκτική στη συμφόρηση, παρέχει αξιόπιστη λειτουργία με τις μεγαλύτερες ροές πληροφοριών που μεταδίδονται μέσω του δικτύου, επειδή συνήθως δεν υπάρχουν συγκρούσεις σε αυτήν (σε αντίθεση με το λεωφορείο) και δεν υπάρχει κεντρικός συνδρομητής (σε αντίθεση με το αστέρι ) .
Η φυσική ή λογική κατανομή των κόμβων του δικτύου. Η φυσική τοπολογία ορίζει τους φυσικούς συνδέσμους (κανάλια) μεταξύ των κόμβων. Η λογική τοπολογία περιγράφει τις πιθανές συνδέσεις μεταξύ κόμβων δικτύου. Στα τοπικά δίκτυα, τα πιο κοινά είναι τρία ... ...
ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ- με ευρεία έννοια, η περιοχή των μαθηματικών που μελετά τοπολογικά. ιδιότητες διαφορ. μαθηματικά. και σωματική αντικείμενα. Διαισθητικά, στο τοπολογικό περιλαμβάνουν ποιοτικές, σταθερές ιδιότητες που δεν αλλάζουν με τις παραμορφώσεις. Χαλάκι. επισημοποίηση της ιδέας ενός τοπολογικού ιδιότητες ... ... Φυσική Εγκυκλοπαίδεια
ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ- Επιστήμη, η μελέτη των τοποθεσιών. Λεξικό ξένων λέξεων που περιλαμβάνονται στη ρωσική γλώσσα. Chudinov A.N., 1910. τοπολογία (γρ. τόπος τόπος, περιοχή + ... ολογία) κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις πιο γενικές ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων (ιδιότητες, όχι ... ... Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας
ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ- ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων που παραμένουν αναλλοίωτα κάτω από οποιαδήποτε παραμόρφωση, συμπίεση, τέντωμα, συστροφή (αλλά χωρίς κενά και κόλληση). Ένα κύπελλο με λαβή είναι τοπολογικά ισοδύναμο με ένα κουλούρι. κύβος, ...... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό
ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ- (από το ελληνικό τόπος τόπος και ... λογική) κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τοπολογικές ιδιότητες των σχημάτων, δηλαδή ιδιότητες που δεν αλλάζουν κάτω από παραμορφώσεις που παράγονται χωρίς κενά και κόλληση (ακριβέστερα, με ένα προς- ένα και συνεχές...... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ- ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, τοπολογίες, πληθ. όχι θηλυκό (από το ελληνικό. τόπος τόπος και λόγος διδασκαλίας) (ματ.). Ένα μέρος της γεωμετρίας που μελετά τις ποιοτικές ιδιότητες των σχημάτων (δηλαδή, ανεξάρτητα από έννοιες όπως μήκος, γωνίες, ευθύτητα κ.λπ.). Λεξικό… … Επεξηγηματικό Λεξικό Ushakov
τοπολογία- ουσιαστικό, αριθμός συνωνύμων: 1 μαθηματικά (29) λεξικό συνωνύμων ASIS. V.N. Τρίσιν. 2013... Συνώνυμο λεξικό
Τοπολογία- Η τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων που δεν αλλάζουν υπό παραμορφώσεις που συμβαίνουν χωρίς ασυνέχειες. Λεξικό επιχειρηματικών όρων. Akademik.ru. 2001... Γλωσσάρι επιχειρησιακών όρων
Τοπολογία IC- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Engineering, Μόσχα, 1999] Θέματα ηλεκτρολογικής μηχανικής, βασικές έννοιες EN διάταξη ολοκληρωμένου κυκλώματος ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή
Βιβλία
- Τοπολογία των λοξών προϊόντων, N. Steenrod, Προσφέρεται στον αναγνώστη ένα βιβλίο του διάσημου Αμερικανού μαθηματικού Norman Steenrod, στο οποίο, για πρώτη φορά στη μαθηματική βιβλιογραφία, παρουσιάζονται τα θεμέλια της θεωρίας των λοξών προϊόντων, ευρέως ... Κατηγορία: Τοπολογία Σειρά: Physical and Mathematical Heritage: Mathematics (History of Mathematics) Εκδότης: Librokom, Αγορά για 568 ρούβλια
- Τοπολογία για Πτυχίο Μαθηματικών. Εγχειρίδιο, Ignatochkina Liya Anatolyevna, Το εγχειρίδιο γράφτηκε από δευτεροετείς φοιτητές του MIGU, που σπουδάζουν στην κατεύθυνση του πτυχίου "Μαθηματικά". Σε μια μορφή που είναι εύκολα κατανοητή για προπτυχιακούς φοιτητές,… Κατηγορία: Μαθηματικές επιστήμεςΕκδότης:
Τοπολογία- μια αρκετά όμορφη, ηχηρή λέξη, πολύ δημοφιλής σε ορισμένους μη μαθηματικούς κύκλους, με ενδιέφερε στην 9η τάξη. Δεν είχα βέβαια ακριβή ιδέα, ωστόσο υποψιαζόμουν ότι όλα ήταν συνδεδεμένα με τη γεωμετρία.
Οι λέξεις και το κείμενο επιλέχθηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε όλα να ήταν «διαισθητικά ξεκάθαρα». Ως αποτέλεσμα - πλήρης έλλειψη μαθηματικών γνώσεων.
Τι είναι η τοπολογία ? Πρέπει να πω αμέσως ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο όροι "Τοπολογία" - ο ένας από αυτούς υποδηλώνει απλώς κάποια μαθηματική δομή, ο δεύτερος - φέρει μια ολόκληρη επιστήμη. Αυτή η επιστήμη συνίσταται στη μελέτη των ιδιοτήτων ενός αντικειμένου που δεν θα αλλάξει όταν παραμορφωθεί.
Ενδεικτικό παράδειγμα 1. Κύπελλο κουλούρι.
Βλέπουμε ότι η κούπα μεταμορφώνεται σε κουλούρι με συνεχείς παραμορφώσεις (στον απλό λαό «δισδιάστατος τόρος»). Έχει παρατηρηθεί ότι η τοπολογία μελετά ό,τι παραμένει αμετάβλητο κάτω από τέτοιες παραμορφώσεις. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των "τρυπών" στο αντικείμενο παραμένει αμετάβλητος - είναι μία. Ας το αφήσουμε ως έχει για τώρα, θα το καταλάβουμε αργότερα)
Ενδεικτικό παράδειγμα 2. Τοπολογικός άνθρωπος.
Με συνεχείς παραμορφώσεις, ένα άτομο (βλ. εικόνα) μπορεί να ξετυλίξει τα δάχτυλά του - γεγονός. Όχι αμέσως προφανές, αλλά μπορείτε να μαντέψετε. Και αν ο τοπολόγος μας βάλει με σύνεση το ρολόι στο ένα χέρι, τότε το έργο μας θα γίνει αδύνατο.
Ας είμαστε ξεκάθαροι
Ελπίζω, λοιπόν, μερικά παραδείγματα να έχουν φέρει κάποια σαφήνεια στο τι συμβαίνει.Ας προσπαθήσουμε να τα επισημοποιήσουμε όλα με παιδικό τρόπο.
Θα υποθέσουμε ότι δουλεύουμε με φιγούρες από πλαστελίνη, και μπορεί η πλαστελίνη τέντωμα, συμπίεση, ενώ η κόλληση διαφορετικών σημείων και κενών απαγορεύεται. Τα σχήματα ονομάζονται ομοιομορφικά, τα οποία μεταφράζονται μεταξύ τους με συνεχείς παραμορφώσεις που περιγράφηκαν λίγο νωρίτερα.
Μια πολύ χρήσιμη θήκη είναι μια σφαίρα με λαβές. Μια σφαίρα μπορεί να έχει 0 λαβές - τότε είναι απλώς μια σφαίρα, ίσως μια - μετά είναι ένα ντόνατ (στον κοινό λαό «δισδιάστατος τόρος») κ.λπ.
Γιατί λοιπόν μια σφαίρα με λαβές ξεχωρίζει από άλλες φιγούρες; Όλα είναι πολύ απλά - οποιαδήποτε φιγούρα είναι ομοιομορφική σε μια σφαίρα με ορισμένο αριθμό λαβών. Δηλαδή στην πραγματικότητα δεν έχουμε τίποτα άλλο O_o Οποιοδήποτε τρισδιάστατο αντικείμενο είναι διατεταγμένο ως σφαίρα με ορισμένο αριθμό λαβών. Είτε είναι φλιτζάνι, κουτάλι, πιρούνι (κουτάλι=πιρούνι!), ποντίκι υπολογιστή, άτομο.
Εδώ αποδεικνύεται ένα τόσο σημαντικό θεώρημα. Όχι από εμάς και όχι τώρα. Πιο συγκεκριμένα, αποδείχθηκε για μια πολύ γενικότερη κατάσταση. Επιτρέψτε μου να εξηγήσω: περιοριστήκαμε στην εξέταση μορφών από πλαστελίνη και χωρίς κοιλότητες. Αυτό προκαλεί τα ακόλουθα προβλήματα:
1) δεν μπορούμε να έχουμε μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια με κανέναν τρόπο (μπουκάλι Klein, λωρίδα Möbius, προβολικό επίπεδο),
2) περιοριζόμαστε σε δισδιάστατες επιφάνειες (n / a: σφαίρα - δισδιάστατη επιφάνεια),
3) Δεν μπορούμε να πάρουμε επιφάνειες, φιγούρες που εκτείνονται στο άπειρο (φυσικά μπορείτε να το φανταστείτε, αλλά καμία πλαστελίνη δεν είναι αρκετή).
Η λωρίδα Mobius
Μπουκάλι Klein
Επεξηγηματικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας. D.N. Ο Ουσάκοφ
τοπολογία
τοπολογία, pl. όχι, w. (από το ελληνικό τόπος - τόπος και λογότυπος - διδασκαλία) (ματ.). Ένα μέρος της γεωμετρίας που μελετά τις ποιοτικές ιδιότητες των σχημάτων (δηλαδή, ανεξάρτητα από έννοιες όπως μήκος, γωνίες, ευθύτητα κ.λπ.).
Νέο επεξηγηματικό και παράγωγο λεξικό της ρωσικής γλώσσας, T. F. Efremova.
τοπολογία
και. Ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις ποιοτικές ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων που δεν εξαρτώνται από το μήκος, τις γωνίες, την ευθύτητα κ.λπ.
Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό, 1998
τοπολογία
Η ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ (από το ελληνικό. τόπος - τόπος και ... ολογία) είναι κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τοπολογικές ιδιότητες των σχημάτων, δηλ. ιδιότητες που δεν αλλάζουν κάτω από παραμορφώσεις που παράγονται χωρίς ασυνέχειες και κολλήσεις (ακριβέστερα, κάτω από ένα προς ένα και συνεχείς χαρτογραφήσεις). Παραδείγματα τοπολογικών ιδιοτήτων των σχημάτων είναι η διάσταση, ο αριθμός των καμπυλών που δέσμευαν μια δεδομένη περιοχή και ούτω καθεξής. Έτσι, ένας κύκλος, μια έλλειψη, ένα τετράγωνο περίγραμμα έχουν τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες, αφού Αυτές οι γραμμές μπορούν να παραμορφωθούν η μία στην άλλη με τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω. Ταυτόχρονα, ο δακτύλιος και ο κύκλος έχουν διαφορετικές τοπολογικές ιδιότητες: ο κύκλος οριοθετείται από ένα περίγραμμα και ο δακτύλιος από δύο.
Τοπολογία
(από το ελληνικό τόπος ≈ τόπος και ¼ λογική) ≈ μέρος της γεωμετρίας αφιερωμένο στη μελέτη του φαινομένου της συνέχειας (εκφράζεται, για παράδειγμα, στην έννοια του ορίου). Μια ποικιλία εκδηλώσεων συνέχειας στα μαθηματικά και ένα ευρύ φάσμα διαφορετικών προσεγγίσεων στη μελέτη τους οδήγησαν στη διάσπαση μιας ενιαίας θεωρίας των μαθηματικών σε διάφορα τμήματα («γενική θεωρία», «αλγεβρική θεωρία» κ.λπ.), τα οποία διαφέρουν μεταξύ τους στο αντικείμενο και τη μέθοδο μελέτης και μάλιστα ελάχιστα αλληλένδετα. Ι. Γενική τοπολογία Το μέρος της θεωρίας που προσανατολίζεται στην αξιωματική μελέτη της συνέχειας ονομάζεται γενική θεωρία.Μαζί με την άλγεβρα, η γενική θεωρία αποτελεί τη βάση της σύγχρονης μεθόδου θεωρίας συνόλων στα μαθηματικά. Αξιωματικά, η συνέχεια μπορεί να οριστεί με πολλούς (γενικά μιλώντας, μη ισοδύναμους) τρόπους. Η γενικά αποδεκτή αξιωματική βασίζεται στην έννοια του ανοιχτού συνόλου. Μια τοπολογική δομή, ή τοπολογία, σε ένα σύνολο X είναι μια τέτοια οικογένεια υποσυνόλων του, που ονομάζονται ανοιχτά σύνολα, που: 1) το κενό σύνολο Æ και όλα τα X είναι ανοιχτά. 2) η ένωση οποιουδήποτε αριθμού και η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτή. Ένα σύνολο στο οποίο δίνεται μια τοπολογική δομή ονομάζεται τοπολογικός χώρος. Σε έναν τοπολογικό χώρο Χ μπορεί κανείς να ορίσει όλες τις βασικές έννοιες της στοιχειώδους ανάλυσης που σχετίζονται με τη συνέχεια. Για παράδειγμα, μια γειτονιά ενός σημείου x О X είναι ένα αυθαίρετο ανοιχτό σύνολο που περιέχει αυτό το σημείο. ένα σύνολο A Ì X ονομάζεται κλειστό εάν το συμπλήρωμά του X \ A είναι ανοιχτό. Το κλείσιμο ενός συνόλου Α είναι το μικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το Α. εάν αυτό το κλείσιμο συμπίπτει με το Χ, τότε το Α λέγεται ότι είναι παντού πυκνό στο Χ και ούτω καθεξής. Εξ ορισμού, τα Æ και X είναι κλειστά και ανοιχτά σύνολα. Εάν δεν υπάρχουν άλλα σύνολα στο Χ που να είναι ταυτόχρονα κλειστά και ανοιχτά, τότε ο τοπολογικός χώρος Χ λέγεται ότι είναι συνδεδεμένος. Ένας οπτικά συνδεδεμένος χώρος αποτελείται από ένα «κομμάτι» και ένας αποσυνδεδεμένος αποτελείται από πολλά. Οποιοδήποτε υποσύνολο Α ενός τοπολογικού χώρου Χ έχει μια φυσική τοπολογική δομή που αποτελείται από τομές με το Α ανοιχτών συνόλων από το Χ. Ένα Α που είναι εξοπλισμένο με αυτή τη δομή ονομάζεται υποχώρος του χώρου Χ. η e-γειτονιά του (μπάλα ακτίνας e με κέντρο αυτό το σημείο). Συγκεκριμένα, οποιοδήποτε υποσύνολο ενός ν-διάστατου Ευκλείδειου χώρου ═ είναι τοπολογικός χώρος. Η θεωρία τέτοιων χώρων (με την ονομασία "γεωμετρική θεωρία") και η θεωρία των μετρικών χώρων περιλαμβάνονται παραδοσιακά στη γενική θεωρία.Η γεωμετρική θεωρία χωρίζεται ξεκάθαρα σε δύο μέρη: τη μελέτη υποσυνόλων αυθαίρετης πολυπλοκότητας, με την επιφύλαξη ορισμένων γενικών περιορισμών (ένα παράδειγμα ονομάζεται θεωρία των συνεχών, δηλαδή συνδεδεμένα οριοθετημένα κλειστά σύνολα) και η μελέτη των τρόπων με τους οποίους τόσο απλοί τοπολογικοί χώροι όπως σφαίρα, σφαίρα κ.λπ. μπορούν να ενσωματωθούν στο ═. (οι επενδύσεις, για παράδειγμα, σε τομείς μπορεί να είναι πολύ περίπλοκες). Ένα ανοιχτό κάλυμμα ενός τοπολογικού χώρου Χ είναι μια οικογένεια των ανοιχτών συνόλων του, η ένωση των οποίων είναι το σύνολο του Χ. Ένας τοπολογικός χώρος Χ ονομάζεται συμπαγής (με άλλη ορολογία, ≈δισυμπαγής) εάν κάποιο από τα ανοιχτά του καλύμματα περιέχει ένα πεπερασμένο αριθμός στοιχείων που σχηματίζουν επίσης ένα κάλυμμα. Το κλασικό θεώρημα Heine ≈ Borel δηλώνει ότι κάθε περιορισμένο κλειστό υποσύνολο είναι ═συμπαγές. Αποδεικνύεται ότι όλα τα κύρια θεωρήματα της στοιχειώδους ανάλυσης σχετικά με οριοθετημένα κλειστά σύνολα (για παράδειγμα, το θεώρημα Weierstrass ότι μια συνεχής συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της σε ένα τέτοιο σύνολο) ισχύουν για οποιουσδήποτε συμπαγείς τοπολογικούς χώρους. Αυτό καθορίζει τον θεμελιώδη ρόλο που παίζουν οι συμπαγείς χώροι στα σύγχρονα μαθηματικά (ειδικά σε σχέση με τα θεωρήματα ύπαρξης). Η απομόνωση της τάξης των συμπαγών τοπολογικών χώρων ήταν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα των γενικών μαθηματικών, το οποίο έχει γενική μαθηματική σημασία. Ένα ανοιχτό κάλυμμα (Vb) λέγεται ότι εγγράφεται στο (Ua) εάν για οποιοδήποτε b υπάρχει τέτοιο ώστε Vb Ì Ua. Ένα κάλυμμα (Vb) λέγεται ότι είναι τοπικά πεπερασμένο εάν κάθε σημείο x Î X έχει μια γειτονιά που τέμνει μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων αυτής της κάλυψης. Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται ότι είναι παρασυμπαγής εάν οποιοδήποτε από τα ανοιχτά του καλύμματα μπορεί να εγγραφεί με ένα τοπικά πεπερασμένο κάλυμμα. Η κλάση των παρασυμπαγών χώρων είναι ένα παράδειγμα κατηγοριών τοπολογικών χώρων που λαμβάνονται με την επιβολή των λεγόμενων συνθηκών τύπου συμπαγούς. Αυτή η κλάση είναι πολύ ευρεία· συγκεκριμένα, περιέχει όλους τους μετρήσιμους τοπολογικούς χώρους, δηλαδή τους χώρους X στους οποίους είναι δυνατό να εισαχθεί μια μετρική r έτσι ώστε το T. που δημιουργείται από το r στο X να συμπίπτει με το T. που δίνεται στο X. Η πολλαπλότητα ενός ανοιχτού καλύμματος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός k έτσι ώστε να υπάρχουν k από τα στοιχεία του που έχουν μια μη κενή τομή. Ο μικρότερος αριθμός n που έχει την ιδιότητα ότι κάθε πεπερασμένο ανοιχτό κάλυμμα ενός τοπολογικού χώρου X μπορεί να εγγραφεί με ανοιχτό κάλυμμα πολλαπλότητας £n + 1 συμβολίζεται με το σύμβολο dimX και ονομάζεται διάσταση του X. Αυτό το όνομα δικαιολογείται από το γεγονός ότι σε στοιχειώδεις γεωμετρικές καταστάσεις το dimX συμπίπτει με τη συνήθη κατανοητή διάσταση, για παράδειγμα dim = n. Είναι επίσης δυνατές και άλλες αριθμητικές συναρτήσεις του τοπολογικού χώρου X, που διαφέρουν από το dimX, αλλά στις απλούστερες περιπτώσεις συμπίπτουν με το dimX. Η μελέτη τους είναι το αντικείμενο της γενικής θεωρίας της διάστασης, του πιο γεωμετρικά προσανατολισμένου τμήματος του γενικού Τ. Μόνο στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας είναι δυνατόν, για παράδειγμα, να δοθεί ένας σαφής και αρκετά γενικός ορισμός της διαισθητικής έννοιας ενός γεωμετρικού σχήματος και, ειδικότερα, της έννοιας μιας γραμμής, μιας επιφάνειας κ.λπ. Σημαντικές κατηγορίες τοπολογικών χώρων λαμβάνονται με την επιβολή των λεγόμενων αξιωμάτων διαχωρισιμότητας. Ένα παράδειγμα είναι το λεγόμενο αξίωμα Hausdorff, ή το αξίωμα Τ2, το οποίο απαιτεί οποιαδήποτε δύο διακριτά σημεία να έχουν μη τέμνουσες γειτονιές. Ένας τοπολογικός χώρος που ικανοποιεί αυτό το αξίωμα ονομάζεται Hausdorff, ή διαχωρισμός. Για κάποιο χρονικό διάστημα, σχεδόν αποκλειστικά χώροι Hausdorff συναντήθηκαν στη μαθηματική πρακτική (για παράδειγμα, κάθε μετρικός χώρος είναι Hausdorff). Ωστόσο, ο ρόλος των τοπολογικών χώρων που δεν είναι Hausdorff στην ανάλυση και τη γεωμετρία αυξάνεται συνεχώς. Οι τοπολογικοί χώροι που είναι υποχώροι των (δι)συμπαγών χώρων Hausdorff ονομάζονται εντελώς κανονικοί ή Tikhonov χώροι. Μπορούν επίσης να χαρακτηριστούν από ένα ορισμένο αξίωμα διαχωρισιμότητας, δηλαδή, ένα αξίωμα που απαιτεί ότι για οποιοδήποτε σημείο x0 ═X και κάθε κλειστό σύνολο F ═X που δεν το περιέχει, υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση g: X ╝, ίση με μηδέν στο x0 και ένα στο F. Οι τοπολογικοί χώροι που είναι ανοιχτοί υποχώροι συμπαγών χώρων Hausdorff ονομάζονται τοπικά συμπαγείς χώροι. Χαρακτηρίζονται (στην κατηγορία των χώρων Hausdorff) από το γεγονός ότι κάθε σημείο τους έχει μια γειτονιά με συμπαγές κλείσιμο (παράδειγμα: Ευκλείδειος χώρος). Οποιοσδήποτε τέτοιος χώρος συμπληρώνεται από ένα σημείο για να γίνει συμπαγής (παράδειγμα: προσθέτοντας ένα σημείο από το επίπεδο, λαμβάνεται η σφαίρα μιας μιγαδικής μεταβλητής και από ═≈ η σφαίρα S n). Μια αντιστοίχιση f: X ╝ Y από έναν τοπολογικό χώρο X σε έναν τοπολογικό χώρο Y ονομάζεται συνεχής αντιστοίχιση εάν, για οποιοδήποτε ανοιχτό σύνολο V Ì Y, το σύνολο f≈1(V) είναι ανοιχτό στο X. Μια συνεχής αντιστοίχιση ονομάζεται ένας ομοιομορφισμός αν είναι ένα προς ένα και η αντίστροφη απεικόνιση f≈ 1: Y ╝ X είναι συνεχής. Μια τέτοια αντιστοίχιση δημιουργεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ ανοιχτών συνόλων τοπολογικών χώρων X και Y, μεταβλητή με τις πράξεις της ένωσης και της τομής των συνόλων. Επομένως, όλες οι τοπολογικές ιδιότητες (δηλαδή οι ιδιότητες που διατυπώνονται με όρους ανοιχτών συνόλων) αυτών των χώρων είναι ίδιες, και από τοπολογική άποψη, οι ομοιομορφικοί τοπολογικοί χώροι (δηλαδή, χώροι για τους οποίους υπάρχει τουλάχιστον ένας ομοιομορφισμός X ╝ Το Υ) θα πρέπει να θεωρείται το ίδιο (όπως και στην Ευκλείδεια γεωμετρία τα σχήματα που μπορούν να συνδυαστούν με κίνηση θεωρούνται ίδια). Για παράδειγμα, ο κύκλος και το όριο τετραγώνου, εξαγώνου κ.λπ. είναι ομοιομορφικά («τοπολογικά ίδια»). Γενικά, οποιεσδήποτε δύο απλές (χωρίς διπλά σημεία) κλειστές γραμμές είναι ομοιομορφικές. Αντίθετα, ένας κύκλος δεν είναι ομοιομορφικός σε μια ευθεία γραμμή (επειδή η αφαίρεση ενός σημείου δεν σπάει τη συνδεσιμότητα του κύκλου, αλλά σπάει τη συνδεσιμότητα της ευθείας γραμμής· για τον ίδιο λόγο, η ευθεία δεν είναι ομοιομορφική με το επίπεδο , και ο κύκλος δεν είναι ομοιομορφικός με το «οκτώ»). Ο κύκλος επίσης δεν είναι ομοιομορφικός με το επίπεδο (πετάξτε όχι ένα, αλλά δύο σημεία). Έστω (Xa) ≈ μια αυθαίρετη οικογένεια τοπολογικών χώρων. Θεωρήστε το σύνολο X όλων των οικογενειών της μορφής (χa), όπου xa ═Xa (το άμεσο γινόμενο των συνόλων Xa). Για οποιοδήποτε a, ο τύπος ορίζει κάποια αντιστοίχιση ═ (που ονομάζεται προβολή). Σε γενικές γραμμές, πολλές τοπολογικές δομές μπορούν να εισαχθούν στο X, κάτω από τις οποίες όλοι οι χάρτες pa είναι συνεχείς. Μεταξύ αυτών των δομών, υπάρχει η μικρότερη (δηλαδή, που περιέχεται σε οποιαδήποτε τέτοια δομή). Το σύνολο X που είναι προικισμένο με αυτή την τοπολογική δομή ονομάζεται τοπολογικό γινόμενο των τοπολογικών χώρων Xa και συμβολίζεται με το σύμβολο ПΧa (και στην περίπτωση πεπερασμένου αριθμού παραγόντων, με το σύμβολο X1 ` ... ` Xn). Ρητά, τα ανοιχτά σύνολα του X μπορούν να περιγραφούν ως η ένωση πεπερασμένων τομών όλων των συνόλων της μορφής όπου το Ua είναι ανοιχτό στο Xa. Ο τοπολογικός χώρος X έχει την ακόλουθη αξιοσημείωτη ιδιότητα καθολικότητας, η οποία τον χαρακτηρίζει μοναδικά (μέχρι ομοιομορφισμού): για οποιαδήποτε οικογένεια συνεχών αντιστοιχίσεων fa: Y ╝ Xa, υπάρχει μια μοναδική συνεχής χαρτογράφηση f: Y ╝ X για την οποία ══για όλα ένα. Το διάστημα ═ είναι το τοπολογικό γινόμενο n περιπτώσεων της πραγματικής ευθείας. Ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα της γενικής θεωρίας είναι ο ισχυρισμός ότι το τοπολογικό γινόμενο των συμπαγών τοπολογικών χώρων είναι συμπαγές. Αν X ≈ ένας τοπολογικός χώρος, και Y ≈ ένα αυθαίρετο σύνολο, και εάν μια αντιστοίχιση p: X ╝ Y του χώρου X στο σύνολο Y δίνεται (για παράδειγμα, αν το Y είναι ένα σύνολο παραγόντων του X με κάποια σχέση ισοδυναμίας, και το p είναι μια φυσική προβολή που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο του x н X την κλάση ισοδυναμίας του), τότε μπορούμε να θέσουμε το ζήτημα της εισαγωγής στο Y μιας τοπολογικής δομής ως προς την οποία η αντιστοίχιση p είναι συνεχής. Η πιο «πλούσια» (σε ανοιχτά σύνολα) τέτοια δομή λαμβάνεται υποθέτοντας ότι όλα τα σύνολα V Ì Y είναι ανοιχτά σύνολα στο Y για τα οποία το σύνολο f‑1(V) Ì X είναι ανοιχτό στο X. Το σύνολο Y είναι προικισμένο με αυτό Τοπολογική δομή ονομάζεται ο πηλίκος χώρος του τοπολογικού χώρου X (σε σχέση με το p). Έχει την ιδιότητα ότι μια αυθαίρετη αντιστοίχιση f: Y ╝ Z είναι συνεχής αν και μόνο αν η αντιστοίχιση ═: X ╝ Z είναι συνεχής. X. Μια συνεχής αντιστοίχιση p: X ╝ Y ονομάζεται ανοιχτή εάν για οποιοδήποτε ανοιχτό σύνολο U Ì X το σύνολο p(U) είναι ανοιχτό στο Y και κλειστό εάν για οποιοδήποτε κλειστό σύνολο F Ì X το σύνολο p(F) είναι κλειστό στο Y. Ως ανοικτές και κλειστές συνεχείς αντιστοιχίσεις f: X ╝ Y για το οποίο f(X) = Το Y είναι παραγοντικό. Έστω X ≈ ένας τοπολογικός χώρος, A ≈ ο υποχώρος του και f: A ╝ Y ≈ ένας συνεχής χάρτης. Υποθέτοντας ότι οι τοπολογικοί χώροι X και Y είναι ασυνάρτητοι, εισάγουμε μια τοπολογική δομή στην ένωσή τους X È Y, θεωρώντας τις ενώσεις ανοιχτών συνόλων από το X και Y ως ανοιχτά σύνολα. Στη συνέχεια, εισάγουμε στο διάστημα X È Y το μικρότερο σχέση ισοδυναμίας στην οποία a ~ f(a) για οποιοδήποτε σημείο a Î A. Ο αντίστοιχος χώρος πηλίκου συμβολίζεται με X È fY και λέγεται ότι λαμβάνεται με κόλληση ενός τοπολογικού χώρου X σε έναν τοπολογικό χώρο Y ως προς το A μέσω συνεχούς χάρτη f. Αυτή η απλή και οπτική λειτουργία αποδεικνύεται πολύ σημαντική, καθώς επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει πιο σύνθετους από σχετικά απλούς τοπολογικούς χώρους. Αν το Y αποτελείται από ένα μόνο σημείο, τότε ο χώρος X È fY συμβολίζεται με X/A και λέγεται ότι προκύπτει από το X συστέλλοντας το A σε ένα σημείο. Για παράδειγμα, αν X ≈ ένας δίσκος και A ≈ ο οριακός κύκλος του, τότε το X/A είναι ομοιομορφικό σε μια σφαίρα. 2. Ομοιόμορφη τοπολογίαΤο μέρος της θεωρίας που μελετά την αξιωματική έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας ονομάζεται ομοιόμορφη θεωρία.Ο ορισμός της ομοιόμορφης συνέχειας των αριθμητικών συναρτήσεων που είναι γνωστός από την ανάλυση μπορεί να μεταφερθεί απευθείας σε αντιστοιχίσεις οποιωνδήποτε μετρικών χώρων. Επομένως, η αξιωματική της ομοιόμορφης συνέχειας προκύπτει συνήθως ξεκινώντας από μετρικούς χώρους. Δύο αξιωματικές προσεγγίσεις ομοιόμορφης συνέχειας μελετώνται διεξοδικά, βασισμένες αντίστοιχα στις έννοιες της εγγύτητας και του περιβάλλοντος χώρου της διαγώνιου. Τα υποσύνολα A και B των μετρικών χώρων X ονομάζονται κοντινά (σημείωση AdB) εάν για οποιοδήποτε e > 0 υπάρχουν σημεία a Î A και b Î B, η απόσταση μεταξύ των οποίων< e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB1 и AB2Û A(B1 U B2); ═3) {x}{y} Û x ¹ y;4) если АВ, то существует такое множество С В, что А(Х\С). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ╝ Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u Ì x открытым, если {x}(X \U) для любой точки х Î U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии ≈ би-компактными расширениями) вХ ≈ компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АdВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру. Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ` X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ` X, то есть множеством точек вида (х, х), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U≈1 = {(х, у); (у, х) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у); существует z Î Х такое, что (х, z) Î U, (z, y) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U≈1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W Ì U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f: X ╝ Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ` f: Х ` Х ╝ Y ` Y любого окружения диагонали V Ì Y ` Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ` X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ╝ Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением. В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АdВ тогда и только тогда, когда (A ` В) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ` X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными. 3. Αλγεβρική τοπολογία Έστω κάθε τοπολογικός χώρος X (από κάποια κλάση) να συσχετιστεί με κάποιο αλγεβρικό αντικείμενο h(X) (ομάδα, δακτύλιος κ.λπ.), και κάθε συνεχής αντιστοίχιση f: X ╝ Y ≈ κάποιο ομομορφισμό h(f) : h( X) ╝ h(Y) (ή h(f) : h(Y) ╝ h(X), που είναι ο ομομορφισμός ταυτότητας όταν f είναι ο χάρτης ταυτότητας. Αν h(f1 ═f2) = h(f1) ═h( f2 ) (ή, αντίστοιχα, h(f1 ═f2) = h(f2) h(f1), τότε λέμε ότι το h είναι συντελεστής (αντίστοιχα, συνσυντελεστής). Τα περισσότερα προβλήματα στην αλγεβρική θεωρία συνδέονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με το ακόλουθο πρόβλημα διάδοσης: για μια δεδομένη συνεχή αντιστοίχιση f: A ╝ Y ενός υποχώρου A Ì X σε κάποιο τοπολογικό χώρο Y, βρείτε μια συνεχή αντιστοίχιση g: X ╝ Y που συμπίπτει με f στο A, δηλαδή τέτοια ώστε f = g×i, όπου i: A ╝ X ≈ η αντιστοίχιση ενσωμάτωσης (i(a) = a για οποιοδήποτε σημείο a н A). j: h(X) ╝ h(Y) (ομομορφισμός j: h(Y) ╝ h(X)), έτσι ώστε h(f) = j ═h(i) (αντίστοιχα, h(f) = h(i ) ═j); θα είναι ο ομομορφισμός j = h(g). Κατά συνέπεια, η ανυπαρξία του ομομορφισμού j (για τουλάχιστον έναν συντελεστή h) συνεπάγεται την ανυπαρξία της αντιστοίχισης g. Στην πραγματικότητα, σχεδόν όλες οι μέθοδοι του αλγεβρικού T μπορούν να αναχθούν σε αυτήν την απλή αρχή. Για παράδειγμα, υπάρχει ένας συνάρτης h του οποίου η τιμή στη σφαίρα E n είναι ασήμαντη και στη σφαίρα S n≈1 ≈ μια μη τετριμμένη ομάδα στη σφαίρα S που περιορίζει την μπάλα. Αυτό ήδη συνεπάγεται την απουσία της λεγόμενης ανάκλησης ≈ συνεχούς χαρτογράφησης p: E n╝ S n≈1, στερεωμένη στο S n≈1, δηλαδή, έτσι ώστε η σύνθεση ρ×i, όπου i: S n-1 ╝ E n ≈ αντιστοίχιση ενσωμάτωσης , είναι η αντιστοίχιση ταυτότητας (αν υπάρχει p, τότε η αντιστοίχιση ταυτότητας της ομάδας h(S n≈1) θα είναι η σύνθεση των αντιστοιχίσεων h(i) : h(S n≈1) ╝ h (E n) και h(p) : h( E n) ╝ h(S n≈1), το οποίο είναι αδύνατο για την τετριμμένη ομάδα h(E n)). Ωστόσο, αυτό το ουσιαστικά στοιχειώδες-γεωμετρικό και (για n = 2) σαφώς προφανές γεγονός (φυσικά εννοώντας τη δυνατότητα τραβήγματος ενός τυμπάνου σε ένα στρογγυλό στεφάνι) δεν έχει ακόμη αποδειχθεί χωρίς τη χρήση αλγεβρικών-τοπολογικών μεθόδων. Η άμεση συνέπειά του είναι ο ισχυρισμός ότι οποιαδήποτε συνεχής χαρτογράφηση f: E n╝ E n έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο, δηλαδή, η εξίσωση f(x) = x έχει τουλάχιστον μία λύση στο E n (αν f(x) 1 x για όλα τα x О E n, λοιπόν, λαμβάνοντας για p(x) ένα σημείο από το S n≈1 συγγραμμικό στα σημεία f(x) και x και έτσι ώστε το τμήμα με τα άκρα f(x) και p(x) περιέχει x, λαμβάνουμε την ανάκληση p: E n╝ S n≈1). Αυτό το θεώρημα σταθερού σημείου ήταν ένα από τα πρώτα θεωρήματα της αλγεβρικής θεωρίας και αργότερα έγινε η πηγή μιας ολόκληρης σειράς από διάφορα θεωρήματα ύπαρξης για λύσεις εξισώσεων. Σε γενικές γραμμές, η διαπίστωση της ανυπαρξίας του ομομορφισμού (j) είναι όσο πιο εύκολη, τόσο πιο σύνθετη είναι η αλγεβρική δομή των αντικειμένων h(X). Επομένως, στην αλγεβρική Τ. θεωρούνται αλγεβρικά αντικείμενα εξαιρετικά πολύπλοκης φύσης και Οι απαιτήσεις της αλγεβρικής τοπολογίας τόνωσαν σημαντικά την ανάπτυξη της αφηρημένης άλγεβρας. Ο τοπολογικός χώρος Χ ονομάζεται κυτταρικός χώρος, καθώς και κυτταρικό διαμέρισμα (ή σύμπλεγμα CW), εάν περιέχει μια αυξανόμενη ακολουθία υποχώρων X 0 Ì 0 Ì X n≈1 Ì X n Ì 0 (ονομάζονται σκελετοί του κυτταρικού χώρου X), η ένωση του οποίου είναι το σύνολο του X και πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες: 1) το σύνολο U Ì X είναι ανοιχτό στο X αν και μόνο αν για οποιοδήποτε n το σύνολο U Ç X n είναι ανοιχτό στο X n. 2) Το X n λαμβάνεται από το X n≈1 κολλώντας κάποια οικογένεια σφαιρών n-διαστάσεων κατά μήκος των ορίων (n≈1)-διαστάσεων σφαίρες τους (μέσω μιας αυθαίρετης συνεχούς χαρτογράφησης αυτών των σφαιρών σε X n≈1). 3) Το X0 αποτελείται από απομονωμένα σημεία. Έτσι, η δομή του κυτταρικού χώρου συνίσταται, χονδρικά, στο γεγονός ότι αναπαρίσταται ως ένωση συνόλων ομοιομορφικών προς ανοιχτές μπάλες (τα σύνολα αυτά ονομάζονται κύτταρα). Στο αλγεβρικό Τ. μελετώνται σχεδόν αποκλειστικά οι κυτταρικοί χώροι, αφού η ιδιαιτερότητα των προβλημάτων του αλγεβρικού Τ. γι' αυτούς έχει ήδη εκδηλωθεί πλήρως. Επιπλέον, στην πραγματικότητα, για την αλγεβρική Τ. ενδιαφέρουν μερικοί ιδιαίτερα απλοί κυψελικοί χώροι (του τύπου των πολύεδρων, βλ. παρακάτω), αλλά η στένωση της κατηγορίας των κυτταρικών χώρων, κατά κανόνα, περιπλέκει σημαντικά τη μελέτη (καθώς πολλοί χρήσιμες πράξεις σε κυτταρικούς χώρους προέρχονται από την κατηγορία των πολύεδρων). Δύο συνεχείς αντιστοιχίσεις f, g: X ╝ Y ονομάζονται ομότοπες εάν μπορούν να παραμορφώνονται συνεχώς μεταξύ τους, δηλαδή εάν υπάρχει μια οικογένεια συνεχών αντιστοιχίσεων ft: X ╝ Y συνεχώς ανάλογα με την παράμετρο t н έτσι ώστε f0= f και f1 = g (συνεχής εξάρτηση από t σημαίνει ότι ο τύπος F(x, t) = ft(x), x н X, t н ορίζει μια συνεχή αντιστοίχιση F: X ` ╝ Y· αυτή η αντιστοίχιση, καθώς και η Η οικογένεια (ft ) ονομάζεται ομοτοπία που συνδέει το f με το g). Η συλλογή όλων των συνεχών αντιστοιχίσεων X ╝ Y χωρίζεται σε ομοτοπικές κατηγορίες αμοιβαία ομοτοπικών αντιστοιχίσεων. Το σύνολο των κατηγοριών ομοτοπίας συνεχών αντιστοιχίσεων από το X έως το Y συμβολίζεται με το σύμβολο . Η μελέτη των ιδιοτήτων της σχέσης ομοτοπίας και, ειδικότερα, των συνόλων αποτελεί αντικείμενο της λεγόμενης τοπολογίας ομοτοπίας (ή θεωρίας ομοτοπίας). Για τους περισσότερους ενδιαφέροντες τοπολογικούς χώρους, τα σύνολα είναι πεπερασμένα ή μετρήσιμα και μπορούν να υπολογιστούν ρητά αποτελεσματικά. Οι τοπολογικοί χώροι X και Y λέγονται ότι είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι ή έχουν τον ίδιο τύπο ομοτοπίας, εάν υπάρχουν συνεχείς χάρτες f: X ╝ Y και g: Y ╝ X έτσι ώστε συνεχείς χάρτες g×f: X ╝ X και f×g : Y ╝ Y είναι ομότοπες στις αντίστοιχες αντιστοιχίσεις ταυτότητας. Σε μια θεωρία ομοτοπίας, τέτοιοι χώροι θα πρέπει να θεωρούνται πανομοιότυποι (όλα τα "αμετάβλητα ομοτοπίας" τους συμπίπτουν). Αποδεικνύεται ότι σε πολλές περιπτώσεις (ιδίως για κυτταρικούς χώρους) η επιλυσιμότητα του προβλήματος διάδοσης εξαρτάται μόνο από την κλάση ομοτοπίας του συνεχούς χάρτη f: A ╝ Y; Πιο συγκεκριμένα, αν η f έχει επέκταση g: X ╝ Y, τότε για οποιαδήποτε ομοτοπία ft: A ╝ Y (με f0 = f) υπάρχει μια επέκταση gt: X ╝ Y τέτοια ώστε g0 = g. Επομένως, αντί για f, μπορούμε να θεωρήσουμε την κατηγορία ομοτοπίας του [f] και, κατά συνέπεια, να μελετήσουμε μόνο ομοτοπικούς αμετάβλητους συντελεστές (συνσυντελεστές) h, δηλαδή, τέτοιους ώστε h(f0) = h(f1) αν οι χάρτες f0 και f1 είναι ομοτοπικοί . Αυτό οδηγεί σε μια τόσο στενή συνένωση της αλγεβρικής και της θεωρίας της ομοτοπίας που μπορούν να θεωρηθούν ως ένας ενιαίος κλάδος. Για κάθε τοπολογικό χώρο Y, οι τύποι h(X) = και h(f) = , όπου f: X1 ╝ X2 και j: X2 ╝ Y, ορίζουν κάποιο ομοτοπικό αμετάβλητο συνσυντελεστή h, ο οποίος λέγεται ότι αντιπροσωπεύεται από τον τοπολογικό χώρο Y. Αυτή είναι η ≈ είναι μια τυπική (και ουσιαστικά η μόνη) μέθοδος για την κατασκευή ομοτοπικών αμετάβλητων συνσυντελεστών. Προκειμένου το σύνολο h(X) να αποδειχθεί, ας πούμε, μια ομάδα, πρέπει κανείς να επιλέξει το Y με κατάλληλο τρόπο, για παράδειγμα, να απαιτεί να είναι μια τοπολογική ομάδα (γενικά μιλώντας, αυτό δεν είναι απολύτως αληθές: είναι απαραίτητο να επιλέξετε κάποιο σημείο x0 στο Χ και να εξετάσετε μόνο συνεχείς αντιστοιχίσεις και ομοτοπίες, μετατρέποντας το x0 στη μονάδα της ομάδας· αυτή η τεχνική περιπλοκή, ωστόσο, θα αγνοηθεί στα ακόλουθα). Επιπλέον, αρκεί το Y να είναι μια τοπολογική ομάδα «με την έννοια της ομοτοπίας», δηλαδή ότι τα αξιώματα της συνειρμότητας και η ύπαρξη ενός αντίστροφου στοιχείου (που δηλώνει ότι ορισμένες αντιστοιχίσεις στην πραγματικότητα συμπίπτουν) θα ισχύουν μόνο «μέχρι την ομοτοπία». Τέτοιοι τοπολογικοί χώροι ονομάζονται χώροι H. Έτσι, κάθε χώρος H ορίζει έναν ομοτοπικά αμετάβλητο συνσυντελεστή h(X) = του οποίου οι τιμές είναι ομάδες. Με παρόμοιο («διπλό») τρόπο, κάθε τοπολογικός χώρος Y ορίζει, με τους τύπους h(X) = , h(f) = , όπου f: X1 ╝ X2 και j: Y ╝ X1, κάποιο συντελεστή h. Για να είναι το h(X) μια ομάδα, το Y πρέπει να έχει μια ορισμένη αλγεβρική δομή, με κάποια καλά καθορισμένη έννοια τη διπλή δομή ενός χώρου Η. Οι τοπολογικοί χώροι που είναι προικισμένοι με αυτή τη δομή ονομάζονται συν-Η-χώροι. Ένα παράδειγμα ενός χώρου συν-Η είναι η n-διάστατη σφαίρα S n (για n ³ 1). Έτσι, για οποιονδήποτε τοπολογικό χώρο X, ο τύπος pnX = ορίζει κάποια ομάδα pnX, n ³ 1, η οποία ονομάζεται nη ομάδα ομοτοπίας του χώρου X. Για n = 1, συμπίπτει με τη θεμελιώδη ομάδα. Για n > 1 η ομάδα pnX είναι ανταλλάξιμη. Αν p1X= (1), τότε το X ονομάζεται απλά συνδεδεμένο. Ένας κυτταρικός χώρος X ονομάζεται χώρος K(G, n) εάν pi(X) = 0 για i 1 n και pnX = G. ένας τέτοιος κυψελοειδής χώρος υπάρχει για οποιοδήποτε n ³ 1 και οποιαδήποτε ομάδα G (ανταλλάξιμη για n > 1) και ορίζεται μοναδικά μέχρι την ισοδυναμία ομοτοπίας. Για n > 1 (και επίσης για n = 1, εάν η ομάδα G είναι αντιμεταθετική), ο χώρος K(G, n) αποδεικνύεται ότι είναι χώρος H και επομένως αντιπροσωπεύει κάποια ομάδα H n(X; G) = . Αυτή η ομάδα ονομάζεται n-διάστατη ομάδα συνομολογίας ενός τοπολογικού χώρου Χ με ομάδα συντελεστών G. Είναι τυπικός εκπρόσωπος ενός αριθμού σημαντικών συνσυντελεστών, μεταξύ των οποίων είναι, για παράδειγμα, ο συνάρτης Κ KO(X) = [X , BO], που αντιπροσωπεύεται από το λεγόμενο άπειρο-διάστατο το Grassmannian BO, την προσανατολισμένη ομάδα συνομορδισμού WnX, κ.λπ. Εάν το G είναι ένας δακτύλιος, τότε το άμεσο άθροισμα H*(X; G) των ομάδων H n(X; G) είναι άλγεβρα πάνω από το G. Επιπλέον, αυτό το άμεσο άθροισμα έχει μια πολύ περίπλοκη αλγεβρική δομή, στην οποία (για G = Zp, όπου Zp ≈ κυκλική ομάδα της τάξης p) περιλαμβάνει την ενέργεια στο H*(X; G) κάποιας μη μεταθετικής άλγεβρας p, που ονομάζεται άλγεβρα Steenrod. Η πολυπλοκότητα αυτής της δομής καθιστά δυνατή, αφενός, την ανάπτυξη αποτελεσματικών (αλλά καθόλου απλών) μεθόδων για τον υπολογισμό των ομάδων H n(X; G) και, αφετέρου, τη δημιουργία συνδέσεων μεταξύ των ομάδων H n(X; G) και άλλοι αμετάβλητοι συντελεστές ομοτοπίας (για παράδειγμα, , ομάδες ομοτοπίας pnX), που συχνά καθιστούν δυνατό τον ρητό υπολογισμό αυτών των συντελεστών. Ιστορικά, οι ομάδες ομολογίας είχαν προηγηθεί από τις λεγόμενες ομάδες ομολογίας Hn(X, G), οι οποίες είναι οι ομάδες ομοτοπίας pnM(X, G) κάποιου κυτταρικού χώρου M(X, G) που κατασκευάστηκε μοναδικά από τον κυτταρικό χώρο X και τον ομάδα G. Οι ομάδες ομολογίας και κοομολογίας είναι κατά μία έννοια διπλές μεταξύ τους και οι θεωρίες τους είναι ουσιαστικά ισοδύναμες. Ωστόσο, η αλγεβρική δομή που υπάρχει στις ομάδες ομολογίας είναι λιγότερο γνωστή (για παράδειγμα, αυτές οι ομάδες δεν αποτελούν μια άλγεβρα, αλλά μια λεγόμενη coalgebra) και επομένως οι ομάδες συνομολογίας χρησιμοποιούνται συνήθως στους υπολογισμούς. Ταυτόχρονα, σε ορισμένες ερωτήσεις οι ομάδες ομολογίας αποδεικνύονται πιο βολικές, άρα μελετώνται και αυτές. Το μέρος της αλγεβρικής θεωρίας που ασχολείται με τη μελέτη (και την εφαρμογή) ομάδων ομολογίας και ομολογίας ονομάζεται θεωρία ομολογίας. Η επέκταση των αποτελεσμάτων της αλγεβρικής θεωρίας σε χώρους πιο γενικούς από τους κυψελοειδείς χώρους είναι το αντικείμενο της λεγόμενης γενικής αλγεβρικής θεωρίας.Συγκεκριμένα, η γενική θεωρία ομολογίας μελετά τις ομάδες ομολογίας και συνομολογίας αυθαίρετων τοπολογικών χώρων και τις εφαρμογές τους. Αποδεικνύεται ότι εκτός της κατηγορίας των συμπαγών κυψελοειδών χώρων, διαφορετικές προσεγγίσεις για την κατασκευή αυτών των ομάδων οδηγούν, γενικά, σε διαφορετικά αποτελέσματα, έτσι ώστε για τους μη κυτταρικούς τοπολογικούς χώρους προκύπτει ένας αριθμός διαφορετικών ομάδων ομολογίας και ομολογίας. Η κύρια εφαρμογή της γενικής θεωρίας της ομολογίας είναι στη θεωρία της διάστασης και στη θεωρία των λεγόμενων νόμων της δυαδικότητας (που περιγράφουν τη σχέση μεταξύ των τοπολογικών ιδιοτήτων δύο επιπλέον υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου) και η ανάπτυξή της ήταν σε μεγάλο βαθμό διεγείρεται από τις ανάγκες αυτών των θεωριών. 4. Τμηματική γραμμική τοπολογία Ένα υποσύνολο Р О ═ ονομάζεται κώνος με κορυφή a και βάση В αν κάθε σημείο του ανήκει σε ένα μόνο τμήμα της μορφής ab, όπου b О В. βάση. Μια συνεχής αντιστοίχιση f: X ╝ Y των πολύεδρων ονομάζεται τμηματικά γραμμική εάν είναι γραμμική στις ακτίνες κάθε κωνικής γειτονιάς οποιουδήποτε σημείου x Î X. Μια γραμμική χαρτογράφηση ένα προς ένα τμηματικά της οποίας το αντίστροφο είναι επίσης τμηματικά γραμμικό ονομάζεται τμηματικά γραμμικός ισομορφισμός. Αντικείμενο της τμηματικής γραμμικής θεωρίας είναι η μελέτη των πολύεδρων και των τμηματικών γραμμικών αντιστοιχίσεων τους. Στη τμηματική γραμμική θεωρία, τα πολύεδρα θεωρούνται πανομοιότυπα εάν είναι τμηματικά γραμμικά ισόμορφα. Ένα υποσύνολο Х О ═ είναι ένα (συμπαγές) πολύεδρο αν και μόνο αν είναι η ένωση μιας (πεπερασμένης) οικογένειας κυρτών πολυτόπων. Οποιοδήποτε πολύεδρο μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια ένωση απλοϊκών που τέμνονται μόνο κατά μήκος ολόκληρων όψεων. Μια τέτοια παράσταση ονομάζεται τριγωνισμός του πολυέδρου. Κάθε τριγωνισμός καθορίζεται μοναδικά από το απλοϊκό σχήμα του, δηλαδή το σύνολο όλων των κορυφών του, στο οποίο σημειώνονται υποσύνολα, τα οποία είναι σύνολα κορυφών απλών. Επομένως, αντί για πολύεδρα, μπορεί κανείς να εξετάσει μόνο απλές μορφές των τριγωνισμών τους. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το απλοϊκό σχήμα, μπορεί κανείς να υπολογίσει τις ομάδες ομολογίας και συνομολογίας. Αυτό γίνεται ως εξής: α) ένα απλό του οποίου οι κορυφές είναι διατεταγμένες με συγκεκριμένο τρόπο ονομάζεται διατεταγμένο απλό του δεδομένου τριγωνισμού (ή απλού σχήματος) K. Οι επίσημοι γραμμικοί συνδυασμοί διατεταγμένων απλών μιας δεδομένης διάστασης n με συντελεστές από μια δεδομένη ομάδα G ονομάζονται n-διάστατες αλυσίδες. Όλα σχηματίζουν μια ομάδα με φυσικό τρόπο, η οποία συμβολίζεται με το σύμβολο C n(K; G). β) αφαιρώντας την κορυφή με αριθμό i, 0 £ i £ n από το διατεταγμένο n-διάστατο απλό s, παίρνουμε ένα διατεταγμένο (n≈1)-διάστατο απλό, το οποίο συμβολίζεται με το σύμβολο s(i). η αλυσίδα ═ ονομάζεται όριο του s. με γραμμικότητα, η χαρτογράφηση ═ εκτείνεται σε έναν ομομορφισμό ═: Cn(K; G) ╝ Cn-1 (K; G); γ) οι αλυσίδες c για τις οποίες ═= 0 ονομάζονται κύκλοι, σχηματίζουν την ομάδα κύκλων Zn(K; G); δ) οι αλυσίδες της μορφής ═ ονομάζονται όρια, σχηματίζουν την οριακή ομάδα Bn(K; G). ε) να αποδείξετε ότι Bn(K; G) Ì Zn(K; G) (το όριο είναι ένας κύκλος). Επομένως, ορίζεται η ομάδα πηλίκου Hn(K; G) = Zn(K; G)/ Bn(K; G). Αποδεικνύεται ότι η ομάδα Hn(K; G) είναι ισόμορφη με την ομάδα ομολογίας Hn(X; G) του πολυέδρου X του οποίου ο τριγωνισμός είναι K. Μια παρόμοια κατασκευή, στην οποία κάποιος ξεκινά όχι από αλυσίδες, αλλά από cochains (αυθαίρετες λειτουργίες που ορίζονται στο σύνολο όλων των διατεταγμένων απλών και λαμβάνοντας τιμές στο G), δίνει ομάδες συνομολογίας. Με αυτή την κατασκευή, που παρουσιάζεται εδώ σε ελαφρώς τροποποιημένη μορφή, ξεκίνησε ο σχηματισμός του ουσιαστικά αλγεβρικού Τ. Στην αρχική κατασκευή, εξετάστηκαν οι λεγόμενες oriented simplices (τάξεις διατεταγμένων απλών που διαφέρουν σε ζυγές μεταθέσεις κορυφών). Αυτή η κατασκευή έχει αναπτυχθεί και γενικευτεί σε μια μεγάλη ποικιλία κατευθύνσεων. Ειδικότερα, οι αλγεβρικές όψεις του έδωσαν αφορμή για τη λεγόμενη ομολογική άλγεβρα. Με τον πιο γενικό τρόπο, ένα απλοϊκό σχήμα μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο στο οποίο σημειώνονται ορισμένα πεπερασμένα υποσύνολα («απλότητες») και απαιτείται κάθε υποσύνολο ενός απλού να είναι και πάλι απλό. Ένα τέτοιο απλοϊκό σχήμα είναι ένα απλούστερο σχήμα τριγωνοποίησης κάποιου πολυέδρου εάν και μόνο εάν ο αριθμός των στοιχείων ενός αυθαίρετου σημειωμένου υποσυνόλου δεν υπερβαίνει κάποιο σταθερό αριθμό. Ωστόσο, η έννοια ενός πολυέδρου μπορεί να γενικευτεί (λαμβάνοντας τα λεγόμενα "άπειρα-διάστατα πολύεδρα") και τότε οποιοδήποτε απλοϊκό σχήμα θα είναι ήδη ένα σχήμα τριγωνισμού κάποιου πολυέδρου (που ονομάζεται γεωμετρική του πραγματοποίηση). Ένα αυθαίρετο ανοιχτό κάλυμμα (Ua) κάθε τοπολογικού χώρου X μπορεί να συσχετιστεί με ένα απλό σχήμα του οποίου οι κορυφές είναι τα στοιχεία Ua του καλύμματος και του οποίου το υποσύνολο σημειώνεται εάν και μόνο εάν τα στοιχεία του καλύμματος που αποτελούν αυτό το υποσύνολο έχουν μη -κενή διασταύρωση. Αυτό το απλούστερο σχήμα (και το αντίστοιχο πολύεδρο) ονομάζεται νευρικό κάλυμμα. Τα νεύρα όλων των πιθανών καλυμμάτων κατά μια έννοια προσεγγίζουν το χώρο Χ και, ξεκινώντας από τις ομάδες ομολογίας και ομολογίας τους, μπορεί κανείς να αποκτήσει, περνώντας στο κατάλληλο όριο, τις ομάδες ομολογίας και ομολογίας του ίδιου του Χ. Αυτή η ιδέα βρίσκεται κάτω από όλες σχεδόν τις κατασκευές της γενικής θεωρίας ομολογίας. Η προσέγγιση ενός τοπολογικού χώρου από τα νεύρα των ανοιχτών καλυμμάτων του παίζει επίσης σημαντικό ρόλο στη γενική θεωρία. 5. Τοπολογία πολλαπλών Ένας παρασυμπαγής τοπολογικός χώρος Hausdorff ονομάζεται τοπολογική πολλαπλότητα n-διαστάσεων εάν είναι "τοπικά Ευκλείδειος", δηλαδή εάν κάθε σημείο του έχει μια γειτονιά (που ονομάζεται γειτονιά συντεταγμένων ή χάρτης) ομοιομορφική με τον τοπολογικό χώρο. Τα σημεία σε αυτή τη γειτονιά δίνονται από n αριθμούς x1, ┘, xn, που ονομάζονται τοπικές συντεταγμένες. Στη διασταύρωση δύο χαρτών, οι αντίστοιχες τοπικές συντεταγμένες εκφράζονται η μία μέσω της άλλης μέσω ορισμένων συναρτήσεων που ονομάζονται συναρτήσεις μετάβασης. Αυτές οι συναρτήσεις ορίζουν έναν ομοιομορφισμό ανοιχτών συνόλων, που ονομάζεται ομοιομορφισμός μετάβασης. Συμφωνούμε να ονομάσουμε έναν αυθαίρετο ομοιομορφισμό μεταξύ ανοιχτών συνόλων από ═ t-ομοιομορφισμό. Ένας ομοιομορφισμός που είναι τμηματικός γραμμικός ισομορφισμός θα ονομάζεται p-ομοιμορφισμός και αν εκφράζεται με ομαλές (διαφοροποιήσιμες οποιονδήποτε αριθμό φορές) συναρτήσεις, ≈ s-ομοιομορφισμός. Έστω a = t, p ή s. Μια τοπολογική πολλαπλότητα ονομάζεται α-πολλαπλή αν η κάλυψή της από γραφήματα επιλέγεται έτσι ώστε οι ομοιομορφισμοί μετάβασης για οποιαδήποτε δύο από τους (τεμνόμενους) χάρτες της να είναι α-ομοιομορφισμοί. Ένα τέτοιο κάλυμμα ορίζει μια δομή α σε μια τοπολογική πολλαπλότητα X. Έτσι, μια t-πολλαπλή ≈ είναι απλώς οποιαδήποτε τοπολογική πολλαπλότητα, οι p-πολλαπλότητες ονομάζονται τμηματικά γραμμικές πολλαπλότητες. Κάθε τμηματικά γραμμική πολλαπλότητα είναι ένα πολύεδρο. Στην κατηγορία όλων των πολύεδρων, οι n-διάστατες τμηματικές γραμμικές πολλαπλότητες χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι οποιοδήποτε από τα σημεία τους έχει μια γειτονιά τμηματικά γραμμικά ισόμορφη με τον n-διάστατο κύβο. Οι πολλαπλές s ονομάζονται λείες (ή διαφοροποιήσιμες) πολλαπλές. Μια α-χαρτογράφηση μιας πολλαπλής πολλαπλότητας ονομάζεται αυθαίρετη συνεχής αντιστοίχιση για a = t, μια αυθαίρετη τμηματική γραμμική χαρτογράφηση για a = s ≈, μια αυθαίρετη ομαλή αντιστοίχιση για a = s ≈, δηλαδή μια συνεχής αντιστοίχιση γραμμένη σε τοπικό συντεταγμένες με ομαλές συναρτήσεις. Μια αντιστοίχιση ένα προς ένα α, το αντίστροφο του οποίου είναι επίσης α-χαρτογράφηση, ονομάζεται α-ομοιμορφισμός (για a = s επίσης διαφορομορφισμός), οι α-πολλαπλότητες Χ και Υ ονομάζονται α-ομοιόμορφοι (για a = s ≈ diffeomorphic) εάν υπάρχει τουλάχιστον ένας α-ομοιμορφισμός X ╝ Y. Αντικείμενο της θεωρίας των α-ποικιλιών είναι η μελέτη των a-ποικιλιών και των a-χάρτες τους. Εδώ οι α-ομοιόμορφες α-πολλαπλότητες θεωρούνται οι ίδιες. Η θεωρία των ποικιλιών s είναι μέρος του τμηματικά γραμμικού Τ. Η θεωρία των ποικιλιών s ονομάζεται επίσης ομαλή Τ. Η κύρια μέθοδος της σύγχρονης θεωρίας πολλαπλών είναι να αναγάγει τα προβλήματά της σε προβλήματα αλγεβρικού Τ. για ορισμένους κατάλληλα κατασκευασμένους τοπολογικούς χώρους. Αυτή η στενή σύνδεση μεταξύ της θεωρίας των ποικιλιών και της αλγεβρικής θεωρίας κατέστησε δυνατή, αφενός, την επίλυση πολλών δύσκολων γεωμετρικών προβλημάτων και, αφετέρου, τόνωσε έντονα την ανάπτυξη της ίδιας της αλγεβρικής θεωρίας. Παραδείγματα ομαλών ποικιλιών είναι n- διαστάσεων επιφάνειες σε , που δεν έχουν μοναδικά σημεία. Αποδεικνύεται (θεώρημα ενσωμάτωσης) ότι οποιαδήποτε λεία πολλαπλότητα είναι διαφορομορφική σε μια τέτοια επιφάνεια (για N ³ 2n + 1). Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει επίσης για a = t, p. Κάθε p-πολλαπλή είναι μια t-πολλαπλή. Αποδεικνύεται ότι σε οποιαδήποτε πολλαπλότητα s μπορεί κανείς να εισάγει μια δομή p (συνήθως ονομάζεται τριγωνισμός Eighthead) με κάποιο φυσικό τρόπο. Μπορούμε να πούμε ότι οποιαδήποτε a-ποικιλία όπου a = p ή s είναι μια a▓-ποικιλία όπου a▓ = t ή p. Η απάντηση στην αντίστροφη ερώτηση: σε ποιες α▓-πολλαπλότητες μπορεί να εισαχθεί μια δομή α (μια τέτοια πολλαπλότητα a▓ για a▓ = p ονομάζεται εξομάλυνση και για a▓ = t ≈ τριγωνική), και αν είναι δυνατόν, πόσα? ≈ εξαρτάται από τη διάσταση n. Υπάρχουν μόνο δύο μονοδιάστατες τοπολογικές πολλαπλότητες: ο κύκλος S1 (συμπαγής πολλαπλότητα) και η ευθεία γραμμή ═ (μη συμπαγής πολλαπλότητα). Για κάθε a = p, s, υπάρχει μια μοναδική δομή a στις πολλαπλότητες t S1 και ═. Ομοίως, σε οποιαδήποτε δισδιάστατη τοπολογική πολλαπλή (επιφάνεια) υπάρχει μια μοναδική δομή α, και όλες οι συμπαγείς συνδεδεμένες επιφάνειες μπορούν να περιγραφούν εύκολα (μπορούν επίσης να περιγραφούν μη συμπαγείς συνδεδεμένες επιφάνειες, αλλά η απάντηση είναι πιο περίπλοκη). Για να είναι οι επιφάνειες ομοιομορφικές, αρκεί να είναι ομοτοπικά ισοδύναμες. Επιπλέον, ο τύπος ομοτοπίας οποιασδήποτε επιφάνειας χαρακτηρίζεται μοναδικά από τις ομάδες ομολογίας του. Υπάρχουν δύο τύποι επιφανειών: προσανατολιζόμενες και μη προσανατολισμένες. Τα Orientables περιλαμβάνουν τη σφαίρα S2 και τον torus T2. Έστω X και Y ≈ δύο συνδεδεμένες n-διάστατες α-πολλαπλότητες. Ας κόψουμε μια μπάλα στα Χ και Υ (για n = 2 ≈ δίσκο) και κολλάμε τις οριακές σφαίρες που προκύπτουν (για n = 2 ≈ κύκλους). Με κάποιες αυτονόητες προφυλάξεις, το αποτέλεσμα είναι και πάλι πολλαπλό. Ονομάζεται συνδεδεμένο άθροισμα των α-ποικιλιών X και Y και συμβολίζεται με X#Y. Για παράδειγμα, το T2#T2 μοιάζει με κουλουράκι. Η σφαίρα S n είναι το μηδέν αυτής της πρόσθεσης, δηλαδή S n#X = X για οποιοδήποτε X. Ειδικότερα, S2#T2= T2. Αποδεικνύεται ότι μια προσανατολισμένη επιφάνεια είναι ομοιομορφική σε ένα συνδεδεμένο άθροισμα της μορφής S2#T2#┘#T2, και ο αριθμός p των όρων στο T2 ονομάζεται γένος της επιφάνειας. Για μια σφαίρα p = 0, για έναν τόρο p = 1, κ.λπ. ε. Μια επιφάνεια του γένους p μπορεί να απεικονιστεί ως μια σφαίρα στην οποία είναι κολλημένες οι «λαβές» p. Κάθε μη προσανατολισμένη επιφάνεια είναι ομοιομορφική στο συνδεδεμένο άθροισμα P2# 0 #P2 κάποιου αριθμού προβολικών επιπέδων P2. Μπορεί να θεωρηθεί ως μια σφαίρα στην οποία είναι κολλημένες πολλές λωρίδες Möbius. Σε κάθε τοπολογικό 3-πολλαπλό, για οποιαδήποτε a = p, s, υπάρχει επίσης μια μοναδική δομή a και μπορούν να περιγραφούν όλοι οι τύποι ομοτοπίας τοπολογικών 3 πολλαπλών (ωστόσο, οι ομάδες ομολογίας δεν επαρκούν πλέον για αυτό). Ταυτόχρονα, μέχρι τώρα (1976) δεν έχουν περιγραφεί όλες οι (τουλάχιστον συμπαγής συνδεδεμένες) τρισδιάστατες τοπολογικές πολλαπλές ενός δεδομένου τύπου ομοτοπίας. Αυτό δεν γίνεται ούτε για απλά συνδεδεμένες πολλαπλές (όλες τους είναι ομοτοπικά ισοδύναμες με τη σφαίρα S 3). Η εικασία Poincaré δηλώνει ότι οποιαδήποτε τέτοια πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική με το S 3. Για τετραδιάστατες (συμπαγείς και συνδεδεμένες) τοπολογικές πολλαπλότητες, το ζήτημα της ύπαρξης και της μοναδικότητας των δομών a (a = p, s) δεν έχει ακόμη επιλυθεί. και ο τύπος της ομοτοπίας τους περιγράφεται μόνο με την υπόθεση ότι είναι απλά συνδεδεμένα. Το αν το ανάλογο της εικασίας Poincare ισχύει για αυτούς είναι άγνωστο. Είναι αξιοσημείωτο ότι για συμπαγείς και συνδεδεμένες τοπολογικές πολλαπλότητες διάστασης n ³ 5 η κατάσταση αποδεικνύεται εντελώς διαφορετική: όλα τα κύρια προβλήματα γι 'αυτούς μπορούν να θεωρηθούν λυμένα κατ 'αρχήν (ακριβέστερα, ανάγονται σε προβλήματα αλγεβρικής θεωρίας). Οποιαδήποτε λεία πολλαπλή Χ είναι ενσωματωμένη ως λεία (n-διάστατη) επιφάνεια. και τα εφαπτομενικά διανύσματα στο X αποτελούν κάποια νέα ομαλή πολλαπλότητα TX, η οποία ονομάζεται εφαπτομένη μιας ομαλής πολλαπλής Χ. Γενικά, μια δέσμη διανυσμάτων πάνω από έναν τοπολογικό χώρο X είναι ένας τοπολογικός χώρος E για τον οποίο μια συνεχής αντιστοίχιση p: E ╝ Το X δίνεται έτσι ώστε για κάθε σημείο x Î X η προεικόνα v (στρώμα) είναι ένας διανυσματικός χώρος και υπάρχει ένα ανοιχτό κάλυμμα (Ua) του X έτσι ώστε για οποιαδήποτε προεικόνα το p≈1(Ua) να είναι ομοιομορφικό με το Ua ` , και υπάρχει ένας ομοιομορφισμός p≈1(Ua) ╝ Ua ` , αντιστοιχίζοντας γραμμικά κάθε στρώμα p≈1(x), x О Ua, στον διανυσματικό χώρο (х) ` . Για E = TX, η συνεχής αντιστοίχιση p συσχετίζει με κάθε εφαπτομενικό διάνυσμα το σημείο της εφαπτομένης του, έτσι ώστε το στρώμα p≈1(x) να είναι ο χώρος που εφάπτεται στο X στο σημείο x. Αποδεικνύεται ότι οποιαδήποτε διανυσματική δέσμη πάνω από έναν συμπαγή χώρο X ορίζει κάποιο στοιχείο της ομάδας KO(X). Έτσι, συγκεκριμένα, για οποιαδήποτε λεία, συμπαγή και συνδεδεμένη πολλαπλή Χ, η ομάδα ΚΟ(Χ) έχει ένα στοιχείο που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη δέσμη. Ονομάζεται εφαπτομενική μεταβλητή μιας λείας πολλαπλής Χ. Υπάρχει ανάλογο αυτής της κατασκευής για κάθε α. Για a = p, ο ρόλος της ομάδας KO(X) παίζεται από κάποια άλλη ομάδα, η οποία συμβολίζεται με KPL(X), και για a = t, ο ρόλος αυτής της ομάδας παίζεται από την ομάδα, που συμβολίζεται με KTop (Χ). Κάθε α-πολλαπλό Χ ορίζει στην αντίστοιχη ομάδα [KO(X), KPL(X) ή KTop(X)] ένα στοιχείο που ονομάζεται α-εφαπτομενική αναλλοίωτη. Υπάρχουν φυσικοί ομομορφισμοί KO(X) ╝ KPL(X) ╝ KTop(X), και αποδεικνύεται ότι σε ένα n-διάστατο (n ³ 5) συμπαγές και συνδεδεμένο a"-πολλαπλό X, όπου a" = t, p , τότε μόνο τότε μπορούμε να εισαγάγουμε μια δομή a (a = p αν a "= t, και a = s εάν a" = p) όταν η "-εφαπτομενική αναλλοίωτη" βρίσκεται στην εικόνα της αντίστοιχης ομάδας. τέτοιες δομές είναι πεπερασμένες και ίσες με τα αριθμητικά στοιχεία κάποιου συνόλου παραγόντων του συνόλου , όπου Ya ≈ κάποιος ειδικά κατασκευασμένος τοπολογικός χώρος (για a = s, ο τοπολογικός χώρος Ya συνήθως συμβολίζεται με το σύμβολο PL/O, και για a = p ≈ με το σύμβολο Top/PL).Έτσι, το ζήτημα της ύπαρξης και της μοναδικότητας της δομής ανάγεται σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα της θεωρίας της ομοτοπίας. Ο τύπος ομοτοπίας του τοπολογικού χώρου PL/O είναι αρκετά περίπλοκος και δεν έχει ακόμη έχει υπολογιστεί πλήρως (1976), αλλά είναι γνωστό ότι pi(PL/O) = 0 για i £ 6, πράγμα που σημαίνει ότι οποιαδήποτε τμηματικά γραμμική πολλαπλότητα διάστασης n £ 7 είναι εξομαλυνόμενη και μοναδικά για n £ 6. Αντίθετα , ο τύπος ομοτοπίας του τοπολογικού χώρου Top/PL αποδείχθηκε εκπληκτικά απλός: αυτός ο χώρος είναι ομοτοπία ισοδύναμος με K(ℤ2, 3). Κατά συνέπεια, ο αριθμός των τμηματικών γραμμικών δομών σε μια τοπολογική πολλαπλότητα δεν υπερβαίνει τον αριθμό των στοιχείων της ομάδας H 3(X, ℤ2). Τέτοιες δομές σίγουρα υπάρχουν αν H 4(X, ℤ2) = 0, αλλά για H 4(X, ℤ2) 1 0 μια τμηματικά γραμμική δομή μπορεί να μην υπάρχει. Συγκεκριμένα, υπάρχει μια μοναδική τμηματικά γραμμική δομή στη σφαίρα S n. Μπορεί να υπάρχουν πολλές ομαλές δομές στη σφαίρα S n, για παράδειγμα, υπάρχουν 28 διαφορετικές ομαλές δομές στο S 7 . Στο torus T n (το τοπολογικό γινόμενο n περιπτώσεων του κύκλου S 1) υπάρχουν για n ³ 5 πολλές διαφορετικές τμηματικές γραμμικές δομές, όλες από τις οποίες παραδέχονται μια ομαλή δομή. Έτσι, ξεκινώντας από τη διάσταση 5, υπάρχουν ομοιομορφικές, αλλά όχι διαφορομορφικές, λείες πολλαπλότητες. σφαίρες με αυτήν την ιδιότητα υπάρχουν ξεκινώντας από τη διάσταση 7. Είναι φυσικό να λύσουμε το πρόβλημα της περιγραφής (μέχρι έναν α-ομοιμορφισμό) όλων των n-διάστατων (n ³ 5) συνδεδεμένων συμπαγών α-πολλαπλών σε δύο στάδια: αναζήτηση συνθηκών για ισοδυναμία ομοτοπίας των α-πολλαπλών και οι συνθήκες α-ομοιομορφισμοί ομοτοπικά ισοδύναμων α-πολλαπλών. Το πρώτο πρόβλημα αφορά την ομοτοπία Τ. και μπορεί να θεωρηθεί πλήρως λυμένο στο πλαίσιο της. Το δεύτερο πρόβλημα είναι επίσης ουσιαστικά πλήρως λυμένο (τουλάχιστον για απλά συνδεδεμένα α-πολλαπλούς). Η βάση της επίλυσής του είναι η μεταφορά σε υψηλότερες διαστάσεις της τεχνικής «αποσύνθεσης λαβής». Με τη βοήθεια αυτής της τεχνικής, είναι δυνατόν, για παράδειγμα, να αποδειχθεί η εικασία Poincare για n-διάστατες (n ³ 5) τοπολογικές πολλαπλότητες (μια συνδεδεμένη συμπαγής τοπολογική πολλαπλότητα που είναι ομοτοπικά ισοδύναμη με μια σφαίρα είναι ομοιομορφική με αυτήν). Μαζί με τις α-πολλές, μπορεί κανείς να εξετάσει τις λεγόμενες α-πολλές με όριο. χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι οι γειτονιές κάποιων σημείων τους (που αποτελούν το όριο) είναι α-ομοιόμορφες προς το μισό χώρο Xn ³ 0 του χώρου. Το όριο είναι μια πολλαπλότητα (n≈1)-διάστασης (γενικά, αποσυνδεδεμένο). Δύο n-διάστατες συμπαγείς α-πολλαπλότητες X και Y ονομάζονται (συν)διάστατες αν υπάρχει μια (n+1)-διάστατη συμπαγής πολλαπλότητα α με όριο W τέτοια ώστε το όριό της να είναι η ένωση ασύνδετων λείων πολλαπλών a-ομοιόμορφων X και Y Εάν οι χάρτες ενσωμάτωσης X ╝ W και Y ╝ W είναι ισοδυναμίες ομοτοπίας, τότε οι λείες πολλαπλότητες λέγονται ότι είναι h-συνοργανωτές. Χρησιμοποιώντας μεθόδους αποσύνθεσης λαβής, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι, για n ³ 5, οι απλά συνδεδεμένες συμπαγείς α-πολλαπλότητες είναι α-ομοιόμορφες εάν είναι h-συνοργανωτές. Αυτό το θεώρημα του h-cobordism παρέχει τον ισχυρότερο τρόπο για να εδραιωθεί ο α-ομοιμορφισμός των a-πολλαπλών (ιδιαίτερα, η εικασία του Poincaré είναι συνέπεια αυτού). Ένα παρόμοιο αλλά πιο περίπλοκο αποτέλεσμα ισχύει επίσης για μη απλά συνδεδεμένες α-πολλές. Το σύνολο των ═κατηγοριών συμπαγών α-πολλαπλών είναι μια μεταθετική ομάδα σε σχέση με τη λειτουργία ενός συνδεδεμένου αθροίσματος. Το μηδέν αυτής της ομάδας είναι η κλάση των α-πολλαπλών που είναι ακμές, δηλαδή συνθετικές προς το μηδέν. Αποδεικνύεται ότι για a = s αυτή η ομάδα είναι ισόμορφη με την ομάδα ομοτοπίας p2n+1MO (n+1) κάποιου ειδικά κατασκευασμένου τοπολογικού χώρου MO (n+1), που ονομάζεται χώρος Thoma. Παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει για a = p, t. Επομένως, οι μέθοδοι της αλγεβρικής θεωρίας καθιστούν δυνατό, καταρχήν, τον υπολογισμό της ομάδας. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι η ομάδα ═ είναι ένα άμεσο άθροισμα των ομάδων ℤ2 στο ποσό ίσο με τον αριθμό των διαμερισμάτων του αριθμού n σε όρους διαφορετικούς από αριθμούς της μορφής 2m≈
- Η τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά το φαινόμενο της συνέχειας στην πιο γενική του μορφή.
- Τοπολογία είναι ένα σύστημα συνόλου που χρησιμοποιείται στον ορισμό ενός τοπολογικού χώρου.
- Τοπολογία δικτύου - ένα διάγραμμα της θέσης και της σύνδεσης των συσκευών δικτύου.
Για παράδειγμα, = 0 (άρα κάθε τρισδιάστατη συμπαγής λεία πολλαπλότητα είναι ένα όριο). Αντίθετα, ═= ℤ2, έτσι ώστε να υπάρχουν επιφάνειες συνδεδεμένες μεταξύ τους και όχι συνδεδεμένες με το μηδέν. μια τέτοια επιφάνεια, για παράδειγμα, είναι το προβολικό επίπεδο P
M. M. Postnikov.
6. Κύρια στάδια στην ανάπτυξη της τοπολογίας
Ξεχωριστά αποτελέσματα τοπολογικής φύσης ελήφθησαν ήδη από τον 18ο και 19ο αιώνα. (Το θεώρημα του Euler για τα κυρτά πολύεδρα, η ταξινόμηση των επιφανειών και το θεώρημα του Jordan ότι μια απλή κλειστή γραμμή που βρίσκεται σε ένα επίπεδο χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη). Στις αρχές του 20ου αιώνα δημιουργείται μια γενική έννοια του χώρου στο Τ. (μετρικό ≈ M. Frechet, τοπολογικό ≈ F. Hausdorff), προκύπτουν οι αρχικές ιδέες της θεωρίας της διάστασης και αποδεικνύονται τα απλούστερα θεωρήματα για συνεχείς αντιστοιχίσεις (A. Lebesgue, L. Brouwer ), εισάγονται τα πολύεδρα (A. Poincaré) και καθορίζονται οι λεγόμενοι αριθμοί Betti τους. Πρώτο τέταρτο του 20ου αιώνα κορυφώνεται με την άνθηση των γενικών μαθηματικών και τη δημιουργία της τοπολογικής σχολής της Μόσχας. τίθενται τα θεμέλια της γενικής θεωρίας της διάστασης (P. S. Uryson). η αξιωματική των τοπολογικών χώρων δίνεται στη σύγχρονη μορφή της (P. S. Aleksandrov). κατασκευάζεται μια θεωρία συμπαγών χώρων (Aleksandrov, Uryson) και αποδεικνύεται ένα θεώρημα για το γινόμενο τους (A. N. Tikhonov). Οι απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για τη μετρητότητα ενός χώρου δίνονται για πρώτη φορά (Aleksandrov, Uryson). εισάγει (Aleksandrov) την έννοια μιας τοπικά πεπερασμένης επικάλυψης [βάσει της οποίας, το 1944, ο J. Dieudonné (Γαλλία) όρισε τους παρασυμπαγείς χώρους]. εισάγονται εντελώς κανονικοί χώροι (Tikhonov). ορίζεται η έννοια του νεύρου και έτσι θεμελιώνεται η γενική θεωρία της ομολογίας (Aleksandrov). Υπό την επίδραση του E. Noether, οι αριθμοί Betti αναγνωρίζονται ως τάξεις ομάδων ομολογίας, οι οποίες επομένως ονομάζονται και ομάδες Betti. Ο L. S. Pontryagin, βασισμένος στη θεωρία του για τους χαρακτήρες, αποδεικνύει τους νόμους της δυαδικότητας για κλειστά σύνολα.
Στο 2ο τέταρτο του 20ου αι. η ανάπτυξη της γενικής θερμοδυναμικής και η θεωρία της ομολογίας συνεχίζεται: ο Α. Στόουν (ΗΠΑ) και ο Ε. Τσεχ εισάγουν τη λεγόμενη πέτρα ≈ Τσεχοβιανή, ή μέγιστη, (δι)συμπαγής, επέκταση ενός εντελώς κανονικού χώρου στην ανάπτυξη του Τιχόνοφ ιδέες; Ορίζονται ομάδες ομολογίας αυθαίρετων χώρων (Τσεχικά), ο πολλαπλασιασμός εισάγεται σε ομάδες συνομολογίας (J. Alexander, A. N. Kolmogorov) και κατασκευάζεται ένας δακτύλιος συνομολογίας. Εκείνη την εποχή, οι συνδυαστικές μέθοδοι, βασισμένες στην εξέταση απλών σχημάτων, βασίλευαν στην αλγεβρική θεωρία. Ως εκ τούτου, η αλγεβρική θεωρία μερικές φορές ονομάζεται και εξακολουθεί να ονομάζεται συνδυαστική θεωρία.Εισάγονται χώροι εγγύτητας και ομοιόμορφοι χώροι. Η θεωρία της ομοτοπίας αρχίζει να αναπτύσσεται εντατικά (H. Hopf, Pontryagin). Ορίζονται ομάδες ομοτοπίας (V. Gurevich, Η.Π.Α.) και για τον υπολογισμό τους χρησιμοποιούνται θεωρήσεις μιας ομαλής τοπογραφίας (Pontryagin). Διατυπώνονται τα αξιώματα των ομάδων ομολογίας και συνομολογίας (N. Steenrod and S. Eilenberg, ΗΠΑ). Η θεωρία των δεσμών προκύπτει (H. Whitney, ΗΠΑ, Pontryagin). εισάγονται κυτταρικοί χώροι (J. Whitehead, UK).
Στο 2ο μισό του 20ου αιώνα. στην ΕΣΣΔ, η σοβιετική σχολή της γενικής θεωρίας και της θεωρίας ομολογίας διαμορφώνεται: η εργασία βρίσκεται σε εξέλιξη για τη θεωρία των διαστάσεων, το πρόβλημα της μετροποίησης, τη θεωρία των (δι)συμπαγών επεκτάσεων και τη γενική θεωρία των συνεχών αντιστοιχίσεων (παραγοντικές, ανοιχτές, και έκλεισε), ιδίως τη θεωρία των απολυτών. τη θεωρία των λεγόμενων αναλλοίωτων με καρδινάλια (A.V. Arkhangel'skii, B.A. Pasynkov, V.I. Ponomarev, E.G. Sklyarenko, Yu.M. Smirnov, και άλλοι).
Μέσα από τις προσπάθειες ορισμένων επιστημόνων (J. P. Serre και A. Cartan στη Γαλλία, M. M. Postnikov στην ΕΣΣΔ, Whitehead και άλλοι), τελικά διαμορφώνεται η θεωρία της ομοτοπίας. Αυτή την εποχή δημιουργήθηκαν μεγάλα κέντρα αλγεβρικών μαθηματικών στις ΗΠΑ, τη Μεγάλη Βρετανία και άλλες χώρες. Το ενδιαφέρον για τη γεωμετρική γεωμετρία ανανεώνεται. Δημιουργείται η θεωρία των διανυσματικών δεσμίδων και του συναρτήματος Κ (M. Atiyah, Μεγάλη Βρετανία, F. Hirzebruch, Δυτική Γερμανία), η αλγεβρική γεωμετρία χρησιμοποιείται ευρέως στην ομαλή γεωμετρία (R. Thom, Γαλλία) και αλγεβρική γεωμετρία (Hirzebruch); αναπτύσσεται η θεωρία των (συν)βορδισμών (V. A. Rokhlin, ΕΣΣΔ· Tom, S. P. Novikov) και η θεωρία της εξομάλυνσης και της τριγωνοποίησης (J. Milnor, ΗΠΑ).
Η ανάπτυξη της τεχνολογίας συνεχίζεται προς όλες τις κατευθύνσεις και το εύρος των εφαρμογών της διευρύνεται συνεχώς.
Α. Α. Μάλτσεφ.
═Λιτ.: Aleksandrov P.S., Εισαγωγή στη γενική θεωρία συνόλων και συναρτήσεων, M.≈L., 1948; Parkhomenko A.S., What is a line, M., 1954; Pontryagin L. S., Fundamentals of combinatorial topology, Moscow≈L., 1947; δικό του, Continuous groups, 3rd ed., M., 1973; Milnor J., Wallace A., Differential topology. Δημοτικό μάθημα, μτφρ. from English, Μ., 1972; Steenrod N., Chinn W., First concepts of topology, μτφρ. from English, Μ., 1967; P. S. Aleksandrov, Combinatorial topology, Moscow≈L., 1947; Alexandrov P. S., Pasynkov B. A., Εισαγωγή στη θεωρία της διάστασης. Εισαγωγή στη θεωρία των τοπολογικών χώρων και στη γενική θεωρία της διάστασης, Μ., 1973; Alexandrov P. S., Εισαγωγή στη θεωρία της ομολογικής διάστασης και γενική συνδυαστική τοπολογία, Μόσχα, 1975; Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Fundamentals of General Topology in Problems and Exercises, M., 1974; Postnikov M. M., Introduction to the theory of Morse, M., 1971; Μπουρμπάκη Ν., Γενική τοπολογία. Βασικές Δομές, μτφρ. από γαλλικά, Μόσχα, 1968; του, Γενική τοπολογία. Τοπολογικές ομάδες. Αριθμοί και σχετικές ομάδες και χώροι, μετάφρ. από γαλλικά, Μόσχα, 1969; του, Γενική τοπολογία. Χρήση πραγματικών αριθμών στη γενική τοπολογία. λειτουργικούς χώρους. Περίληψη αποτελεσμάτων. Λεξικό, μετάφρ. από γαλλικά, Μόσχα, 1975; Kuratovsky K., Τοπολογία, μτφρ. από τα αγγλικά, τόμος 1≈2, Μ., 1966≈69; Leng S., Εισαγωγή στη θεωρία των διαφοροποιήσιμων πολλαπλών, μτφρ. from English, Μ., 1967; Spanier E., Αλγεβρική τοπολογία, μτφρ. από τα αγγλικά, Μ., 1971.
Τοπολογία (αποσαφήνιση)
Τοπολογία:
Παραδείγματα χρήσης της λέξης τοπολογία στη βιβλιογραφία.
Pontryagin, οι προσπάθειες του οποίου δημιούργησαν έναν νέο κλάδο των μαθηματικών - την τοπολογική άλγεβρα - μελετώντας διάφορες αλγεβρικές δομές προικισμένες με τοπολογία.
Και δεν μπορεί κανείς να καταλάβει ιστολογία χωρίς υδρολογία, υδρολογία χωρίς γεωλογία, γεωλογία χωρίς γεωγραφία, γεωγραφία χωρίς τοπογραφία, τοπογραφία χωρίς τοπολογίακαι όλοι μαζί χωρίς ομνολογία, και ομνολογία - χωρίς πίνακες.
Δεν καταλάβαμε ιστολογία, δεν καταλάβαμε υδρολογία, υδρογραφία, γεωγραφία, τοπογραφία, τοπολογία.
Γενικά, αυτή η προσέγγιση περιλαμβάνει την τεκμηρίωση του δικτύου τοπολογία, προγράμματα εφαρμογών και πρωτόκολλα που χρησιμοποιούνται.
Συνέχισε, λοιπόν, χρησιμοποιώντας όλο και πιο περίπλοκους όρους, αναφερόμενος σε τοπολογίαπνεύμα και γεωμετρία συνειδητοποιήσεων και ενοράσεων, σκιαγραφώντας τα στοιχεία της ενδοσκοπικής οντογραφίας, την κλιματοποίηση της συναισθηματικής ζωής, τα επίπεδά της, τα άκρα, τα σκαμπανεβάσματα, καθώς και τις καταθλίψεις του πνεύματος, και κουβέντιασε τόσο πολύ που ήταν βραχνός, και ο βασιλιάς είχε πονοκέφαλο.
Καρτέλλες τοπολογίαΗ δρομολόγηση αλληλογραφίας είναι χρήσιμη για την επίλυση προβλημάτων με τη μεταφορά αλληλογραφίας μεταξύ διακομιστών.
Ομοίως, ελπίζουμε να δούμε μια βιβλιοθήκη επίλυσης υψηλότερου επιπέδου που ταξινομεί τις απαντήσεις με βάση πληροφορίες σχετικά με τοπολογία, το οποίο υπάρχει μόνο στον κεντρικό υπολογιστή πελάτη.
Αυτό σημαίνει ότι το δίκτυο τοπολογίακαι η τμηματοποίηση γίνεται ένας σημαντικός παράγοντας ασφάλειας.
Άλλωστε, στην ουσία, κάθε θεωρία ανάγεται σε τοπολογίαεικόνες, και οποιαδήποτε οντολογία δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένα απαγωγικό σύμπλεγμα καθολικών εικόνων που συνδέονται επαγωγικά με την εμπειρική πραγματικότητα.
Για να δημιουργήσω τοπολογίααπομακρυσμένους διακομιστές, καθορίστε πρώτα τις βάσεις δεδομένων στις οποίες θα έχουν πιο συχνά πρόσβαση οι σταθμοί εργασίας και οι διακομιστές.
Δηλαδή στον κόσμο του συνεχούς τοπολογίαΟι εσωτερικές του συνδέσεις επιτρέπουν σε κάποιον να συγκροτήσει ένα περιβάλλον στο οποίο η διυποκειμενικότητα γίνεται συνάρτηση της κατανομής των ορθολογισμών μέσα σε αυτήν.
Κατά τον αντικειμενιστή δηλαδή τοπολογίασωματικό κόσμο, το πρόβλημα της διυποκειμενικότητας λύνεται σε αυτόν με τη βοήθεια ενός διουσιώδους μεσολαβητή.
Πρόκειται για μερικά τοπολογίεςδιαστήματα που πέφτουν το ένα μέσα στο άλλο, γυρίζουν το ένα μέσα στο άλλο, όπως ακριβώς εμφανίζονται με διαφορετικές όψεις ή εναλλακτικά γράμματα στο μονόγραμμα ενός παραθύρου.
Ωστόσο, σε μικρούς οργανισμούς, αυτό τοπολογίαεξασφαλίζει γρήγορες ενημερώσεις δεδομένων.
Αφού σχεδιάζεις τοπολογία, Πρέπει να εξετάσετε και τοπολογίακυκλοφορία αλληλογραφίας και επαναλήψεις.
