Πίνακας παραγώγων και αντιπαραγώγων με απλές αντικαταστάσεις. Αντιπαράγωγο

Σχολικό μάθημαΗ άλγεβρα περιλαμβάνει ολοκλήρωση και διαφοροποίηση. Για να μελετήσετε αυτό το υλικό χρειάζεστε πίνακες παραγώγων και ολοκληρωμάτων. Για να κατανοήσετε πώς να τα χρησιμοποιήσετε, πρέπει να ορίσετε τους βασικούς όρους.

Παράγωγο f(x) – χαρακτηριστικό της έντασης της μεταβολής της αντιπαράγωγης συνάρτησης F(x) σε οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος. Εκφράζει τον περιοριστικό λόγο των αυξήσεων μιας συνάρτησης και το όρισμά της, που τείνει στο μηδέν. Αν μια συνάρτηση έχει πεπερασμένη παράγωγο σε οποιοδήποτε σημείο, τότε είναι διαφορίσιμη. Ο υπολογισμός της παραγώγου είναι διαφοροποίηση.

ΑναπόσπαστοΤο ∫ είναι το αντίστροφο της παραγώγου, που εκφράζει το μέγεθος του εμβαδού ενός συγκεκριμένου τμήματος του γραφήματος. Η διαδικασία της ολοκλήρωσης είναι η εύρεση της αντιπαράγωγης συνάρτησης.

Η ίδια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά αντιπαράγωγα. Για παράδειγμα, x^2. Τα κύρια αντιπαράγωγα για αυτό είναι x^3/3. x^3/3+1. Το τελευταίο ψηφίο συμβολίζεται με το γράμμα C και ο τύπος είναι ο εξής:

Αν το C αντιπροσωπεύει έχει μια αυθαίρετη τιμή, το ολοκλήρωμα είναι αόριστο, αν είναι συγκεκριμένο, είναι οριστικό.

Πίνακες παραγώγων συναρτήσεων και ενσωματωμένους πίνακεςθα σας βοηθήσει γρήγορα και σωστά να αντιμετωπίσετε σύνθετα μαθηματικά προβλήματα. Περιλαμβάνουν τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες έννοιες, έτσι ώστε οι μαθητές να μην χρειάζεται να απομνημονεύουν ένας μεγάλος αριθμός απόΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Πίνακας παραγώγων συναρτήσεων

Προς την απαραίτητα υλικάήταν πάντα κοντά σας, μπορείτε να κατεβάσετε έναν πίνακα παραγώγων τύπων . Περιέχει τύπους για τον υπολογισμό των παραγώγων του βασικού στοιχειώδεις λειτουργίες:

• τριγωνομετρικο?
• λογαριθμική?
• ήσυχος;
• εκθετικός.

Επιπλέον, υπάρχει ένα ειδικό πίνακας παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων. Περιέχει επίσης τύπους για το γινόμενο των συναρτήσεων, το άθροισμα και το πηλίκο τους.

Πίνακας αορίστων και ορισμένων ολοκληρωμάτων

Για να ολοκληρώσετε γρήγορα και σωστά τις εργασίες ενοποίησης, μπορείτε Κατεβάστε πίνακες ολοκληρωμάτων, που περιέχει όλες τις πιο χρησιμοποιούμενες φόρμουλες. Αποτελούνται από δύο στήλες: η πρώτη περιέχει μαθηματικούς τύπους, το δεύτερο είναι γραπτές εξηγήσεις.

Οι πίνακες περιλαμβάνουν βασικά ολοκληρώματατις ακόλουθες λειτουργίες:

• λογικός;
• εκθετικός;
• λογαριθμική?
• παράλογος;
• τριγωνομετρικο?
• υπερβολικός.

Επιπλέον, μπορείτε να κατεβάσετε έναν πίνακα αόριστων ολοκληρωμάτων.

Cheat sheets με πίνακες ολοκληρωμάτων και παραγώγων

Πολλοί δάσκαλοι απαιτούν από τους μαθητές να απομνημονεύουν σύνθετους τύπους. Ο ευκολότερος τρόπος απομνημόνευσης είναι η συνεχής εξάσκηση και για να διασφαλίσετε ότι τα απαραίτητα υλικά είναι διαθέσιμα, πρέπει να τα εκτυπώσετε.

Φύλλο εξαπάτησης με παράγωγους πίνακεςκαι τα ολοκληρώματα θα σας βοηθήσουν να θυμάστε γρήγορα όλους τους απαραίτητους τύπους και να περάσετε με επιτυχία τις εξετάσεις. Για να το κάνετε συμπαγές και εύκολο στη χρήση, πρέπει να επιλέξετε τη μορφή A5 - μισό κανονικό φύλλο.

Σε παλαιότερο υλικό εξετάστηκε το θέμα της εύρεσης του παραγώγου και του διάφορες εφαρμογές: υπολογισμός του γωνιακού συντελεστή εφαπτομένης σε γράφημα, επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης, μελέτη συναρτήσεων για μονοτονία και ακρότατα. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nlimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nlimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Εικόνα 1.

Το πρόβλημα της εύρεσης της στιγμιαίας ταχύτητας $v(t)$ χρησιμοποιώντας την παράγωγο κατά μήκος μιας προηγουμένως γνωστής διαδρομής που διανύθηκε, που εκφράζεται από τη συνάρτηση $s(t)$, εξετάστηκε επίσης.

Σχήμα 2.

Το αντίστροφο πρόβλημα είναι επίσης πολύ κοινό, όταν πρέπει να βρείτε τη διαδρομή $s(t)$ που διανύεται από ένα χρονικό σημείο $t$, γνωρίζοντας την ταχύτητα του σημείου $v(t)$. Αν θυμηθούμε, η στιγμιαία ταχύτητα $v(t)$ βρίσκεται ως η παράγωγος της συνάρτησης διαδρομής $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Λοιπόν, για να αποφασίσουμε αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή, για να υπολογίσετε τη διαδρομή, πρέπει να βρείτε μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος θα είναι ίση με τη συνάρτηση ταχύτητας. Ξέρουμε όμως ότι η παράγωγος της διαδρομής είναι η ταχύτητα, δηλαδή: $s’(t) = v(t)$. Η ταχύτητα ισούται με τον χρόνο επιτάχυνσης: $v=at$. Είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι η επιθυμητή συνάρτηση διαδρομής θα έχει τη μορφή: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Αλλά αυτή δεν είναι μια εντελώς ολοκληρωμένη λύση. Ολοκληρωμένη λύσηθα έχει τη μορφή: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, όπου το $C$ είναι κάποια σταθερά. Το γιατί συμβαίνει αυτό θα συζητηθεί περαιτέρω. Προς το παρόν, ας ελέγξουμε την ορθότητα της λύσης που βρέθηκε: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v( t)$.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η εύρεση μιας διαδρομής με βάση την ταχύτητα είναι η φυσική έννοια ενός αντιπαραγώγου.

Η συνάρτηση $s(t)$ που προκύπτει ονομάζεται αντιπαράγωγος της συνάρτησης $v(t)$. Αρκετά ενδιαφέρον και ασυνήθιστο όνομα, δεν είναι. Περιέχει πολύ νόημα που εξηγεί την ουσία αυτή η έννοιακαι οδηγεί στην κατανόησή του. Θα παρατηρήσετε ότι περιέχει δύο λέξεις «πρώτη» και «εικόνα». Μιλούν από μόνα τους. Δηλαδή αυτή είναι η συνάρτηση που είναι η αρχική για την παράγωγο που έχουμε. Και χρησιμοποιώντας αυτήν την παράγωγο αναζητούμε τη συνάρτηση που ήταν στην αρχή, ήταν «πρώτη», «πρώτη εικόνα», δηλαδή αντιπαράγωγο. Μερικές φορές ονομάζεται επίσης πρωτόγονη συνάρτηση ή αντιπαράγωγο.

Όπως ήδη γνωρίζουμε, η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Και η διαδικασία εύρεσης του αντιπαραγώγου ονομάζεται ολοκλήρωση. Η λειτουργία της ολοκλήρωσης είναι το αντίστροφο της πράξης της διαφοροποίησης. Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια.

Ορισμός.Ένα αντιπαράγωγο για μια συνάρτηση $f(x)$ σε ένα συγκεκριμένο διάστημα είναι μια συνάρτηση $F(x)$ της οποίας η παράγωγος είναι ίση με αυτήν τη συνάρτηση $f(x)$ για όλα τα $x$ από το καθορισμένο διάστημα: $F' (x)=f (x)$.

Κάποιος μπορεί να έχει μια ερώτηση: από πού προήλθαν τα $F(x)$ και $f(x)$ στον ορισμό, αν αρχικά μιλούσαμε για $s(t)$ και $v(t)$. Το γεγονός είναι ότι τα $s(t)$ και $v(t)$ είναι ειδικές περιπτώσεις προσδιορισμού συνάρτησης που έχουν συγκεκριμένη σημασία σε αυτή την περίπτωση, δηλαδή είναι συνάρτηση χρόνου και συνάρτηση ταχύτητας αντίστοιχα. Είναι το ίδιο με τη μεταβλητή $t$ - υποδηλώνει χρόνο. Και τα $f$ και $x$ είναι η παραδοσιακή παραλλαγή του γενικού χαρακτηρισμού μιας συνάρτησης και μιας μεταβλητής, αντίστοιχα. Αξίζει να πληρώσετε Ιδιαίτερη προσοχήστον προσδιορισμό του αντιπαραγώγου $F(x)$. Πρώτα απ 'όλα, το $F$ είναι κεφάλαιο. Τα αντιπαράγωγα ορίζονται με κεφαλαία γράμματα. Δεύτερον, τα γράμματα είναι τα ίδια: $F$ και $f$. Δηλαδή, για τη συνάρτηση $g(x)$ το αντιπαράγωγο θα συμβολίζεται με $G(x)$, για το $z(x)$ – με $Z(x)$. Ανεξάρτητα από τη σημείωση, οι κανόνες για την εύρεση μιας αντιπαράγωγης συνάρτησης είναι πάντα οι ίδιοι.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ είναι αντιπαράγωγο της συνάρτησης $f(x)=\cos5x$.

Για να το αποδείξουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό, ή μάλλον το γεγονός ότι $F'(x)=f(x)$, και θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Αυτό σημαίνει ότι το $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ είναι το αντιπαράγωγο του $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Παράδειγμα 2.Βρείτε ποιες συναρτήσεις αντιστοιχούν στα ακόλουθα αντιπαράγωγα: α) $F(z)=\tg z$; β) $G(l) = \sin l$.

Για να βρούμε τις απαιτούμενες συναρτήσεις, ας υπολογίσουμε τις παράγωγές τους:
α) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
β) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Παράδειγμα 3.Ποιο θα είναι το αντιπαράγωγο για $f(x)=0$;
Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό. Ας σκεφτούμε ποια συνάρτηση μπορεί να έχει παράγωγο ίση με $0$. Ανακαλώντας τον πίνακα των παραγώγων, βρίσκουμε ότι οποιαδήποτε σταθερά θα έχει μια τέτοια παράγωγο. Διαπιστώνουμε ότι το αντιπαράγωγο που αναζητούμε είναι: $F(x)= C$.

Η λύση που προκύπτει μπορεί να εξηγηθεί γεωμετρικά και φυσικά. Γεωμετρικά, σημαίνει ότι η εφαπτομένη στο γράφημα $y=F(x)$ είναι οριζόντια σε κάθε σημείο αυτού του γραφήματος και, επομένως, συμπίπτει με τον άξονα $Ox$. Φυσικά εξηγείται από το γεγονός ότι ένα σημείο έχει ταχύτητα ίσο με μηδέν, παραμένει στη θέση του, δηλαδή η διαδρομή που έχει διανύσει είναι αμετάβλητη. Με βάση αυτό, μπορούμε να διατυπώσουμε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα. (Σημάδι σταθερότητας λειτουργιών). Αν σε κάποιο διάστημα $F’(x) = 0$, τότε η συνάρτηση $F(x)$ σε αυτό το διάστημα είναι σταθερή.

Παράδειγμα 4.Προσδιορίστε ποιες συναρτήσεις είναι αντιπαράγωγα του a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; β) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; γ) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; δ) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, όπου το $a$ είναι κάποιος αριθμός.
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό ενός αντιπαραγώγου, συμπεραίνουμε ότι για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα πρέπει να υπολογίσουμε τις παράγωγες των δεδομένων που έχουμε στο αρχικό διαφορετικές λειτουργίες. Κατά τον υπολογισμό, να θυμάστε ότι η παράγωγος μιας σταθεράς, δηλαδή οποιουδήποτε αριθμού, είναι ίση με μηδέν.
α) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
β) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
γ) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
δ) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Τι βλέπουμε; Πολλές διαφορετικές συναρτήσεις είναι πρωτόγονες της ίδιας συνάρτησης. Αυτό υποδηλώνει ότι οποιαδήποτε συνάρτηση έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και έχουν τη μορφή $F(x) + C$, όπου η $C$ είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Δηλαδή, η λειτουργία της ολοκλήρωσης είναι πολυτιμή, σε αντίθεση με τη λειτουργία της διαφοροποίησης. Με βάση αυτό, ας διατυπώσουμε ένα θεώρημα που περιγράφει την κύρια ιδιότητα των αντιπαραγώγων.

Θεώρημα. (Η κύρια ιδιότητα των αντιπαραγώγων). Ας είναι οι συναρτήσεις $F_1$ και $F_2$ αντιπαράγωγα της συνάρτησης $f(x)$ σε κάποιο διάστημα. Τότε για όλες τις τιμές από αυτό το διάστημα ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $F_2=F_1+C$, όπου το $C$ είναι κάποια σταθερά.

Το γεγονός της παρουσίας ενός άπειρου αριθμού αντιπαραγώγων μπορεί να ερμηνευτεί γεωμετρικά. Χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση κατά μήκος του άξονα $Oy$, μπορεί κανείς να λάβει ο ένας από τον άλλο τα γραφήματα οποιωνδήποτε δύο αντιπαραγώγων για $f(x)$. Αυτό είναι γεωμετρική σημασίααντιπαράγωγο.

Είναι πολύ σημαντικό να προσέξετε το γεγονός ότι επιλέγοντας τη σταθερά $C$ μπορείτε να διασφαλίσετε ότι το γράφημα της αντιπαράγωγης διέρχεται από ένα συγκεκριμένο σημείο.

Εικόνα 3.

Παράδειγμα 5.Βρείτε την αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο $(3; 1)$.
Ας βρούμε πρώτα όλα τα αντιπαράγωγα για $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Στη συνέχεια, θα βρούμε έναν αριθμό C για τον οποίο το γράφημα $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ θα περάσει από το σημείο $(3; 1)$. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση γραφήματος και τη λύνουμε με $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Λάβαμε ένα γράφημα $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, το οποίο αντιστοιχεί στο αντιπαράγωγο $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Πίνακας αντιπαραγώγων

Ένας πίνακας τύπων για την εύρεση αντιπαραγώγων μπορεί να καταρτιστεί χρησιμοποιώντας τύπους για την εύρεση παραγώγων.

Πίνακας αντιπαραγώγων

Λειτουργίες	Αντιπαράγωγα
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\σε R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα του πίνακα με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σύνολο αντιπαραγώγων που βρίσκεται στη δεξιά στήλη, βρείτε την παράγωγο, η οποία θα έχει ως αποτέλεσμα τις αντίστοιχες συναρτήσεις στην αριστερή στήλη.

Μερικοί κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων

Όπως γνωρίζετε, πολλές λειτουργίες έχουν περισσότερες σύνθετη εμφάνιση, αντί εκείνων που υποδεικνύονται στον πίνακα των αντιπαραγώγων και μπορεί να αντιπροσωπεύει οποιονδήποτε αυθαίρετο συνδυασμό αθροισμάτων και γινομένων συναρτήσεων από αυτόν τον πίνακα. Και εδώ τίθεται το ερώτημα: πώς να υπολογίσετε τα αντιπαράγωγα παρόμοιες λειτουργίες. Για παράδειγμα, από τον πίνακα ξέρουμε πώς να υπολογίσουμε τα αντιπαράγωγα των $x^3$, $\sin x$ και $10$. Πώς, για παράδειγμα, μπορεί κανείς να υπολογίσει το αντιπαράγωγο $x^3-10\sin x$; Κοιτάζοντας μπροστά, αξίζει να σημειωθεί ότι θα είναι ίσο με $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Εάν το $F(x)$ είναι αντιπαράγωγο για το $f(x)$, το $G(x)$ για το $g(x)$, τότε για το $f(x)+g(x)$ το αντιπαράγωγο θα είναι ίσο με $ F(x)+G(x)$.
2. Εάν το $F(x)$ είναι αντιπαράγωγο για το $f(x)$ και το $a$ είναι σταθερά, τότε για το $af(x)$ το αντιπαράγωγο είναι $aF(x)$.
3. Εάν για $f(x)$ η αντιπαράγωγος είναι $F(x)$, η $a$ και η $b$ είναι σταθερές, τότε η $\frac(1)(a) F(ax+b)$ είναι η αντιπαράγωγος για $f (ax+b)$.
Χρησιμοποιώντας τους ληφθέντες κανόνες μπορούμε να επεκτείνουμε τον πίνακα των αντιπαραγώγων.

Λειτουργίες	Αντιπαράγωγα
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Παράδειγμα 5.Βρείτε αντιπαράγωγα για:

α) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

β) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

γ) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

δ) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

α) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

β) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

γ) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

δ) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Σε αυτή τη σελίδα θα βρείτε:

1. Στην πραγματικότητα, ο πίνακας των αντιπαραγώγων - μπορείτε να τον κατεβάσετε από Μορφή PDFκαι εκτύπωση?

2. Βίντεο σχετικά με τον τρόπο χρήσης αυτού του πίνακα.

3. Ένα σωρό παραδείγματα υπολογισμού του αντιπαραγώγου από διάφορα σχολικά βιβλία και τεστ.

Στο ίδιο το βίντεο, θα αναλύσουμε πολλά προβλήματα όπου πρέπει να υπολογίσετε αντιπαράγωγα συναρτήσεων, συχνά αρκετά περίπλοκα, αλλά το πιο σημαντικό, δεν είναι συναρτήσεις ισχύος. Όλες οι συναρτήσεις που συνοψίζονται στον πίνακα που προτείνεται παραπάνω πρέπει να είναι γνωστές από καρδιάς, όπως οι παράγωγοι. Χωρίς αυτά, η περαιτέρω μελέτη των ολοκληρωμάτων και η εφαρμογή τους για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων είναι αδύνατη.

Σήμερα συνεχίζουμε να μελετάμε τα πρωτόγονα και προχωράμε σε ένα λίγο πιο περίπλοκο θέμα. Αν την προηγούμενη φορά κοιτάξαμε αντιπαράγωγα μόνο συναρτήσεων ισχύος και λίγο πιο περίπλοκες κατασκευές, σήμερα θα εξετάσουμε την τριγωνομετρία και πολλά άλλα.

Όπως είπα στο τελευταίο μάθημα, τα αντιπαράγωγα, σε αντίθεση με τα παράγωγα, δεν λύνονται ποτέ «απευθείας» χρησιμοποιώντας τυπικούς κανόνες. Εξάλλου, ασχημα ΝΕΑείναι ότι, σε αντίθεση με ένα παράγωγο, ένα αντιπαράγωγο μπορεί να μην λαμβάνεται υπόψη καθόλου. Αν γράψουμε απολύτως τυχαία συνάρτησηκαι προσπαθούμε να βρούμε την παράγωγό του, τότε με πολύ μεγάλη πιθανότητα θα τα καταφέρουμε, αλλά το αντιπαράγωγο δεν θα υπολογιστεί σχεδόν ποτέ σε αυτή την περίπτωση. Αλλά υπάρχει επίσης καλα ΝΕΑ: Υπάρχει μια αρκετά μεγάλη κατηγορία συναρτήσεων που ονομάζονται στοιχειώδεις συναρτήσεις, τα αντιπαράγωγα των οποίων είναι πολύ εύκολο να υπολογιστούν. Και όλες οι άλλες πιο πολύπλοκες δομές που δίνονται σε κάθε είδους τεστ, ανεξάρτητα τεστ και εξετάσεις, στην πραγματικότητα, αποτελούνται από αυτές τις στοιχειώδεις συναρτήσεις μέσω πρόσθεσης, αφαίρεσης και άλλων απλών ενεργειών. Τα πρωτότυπα τέτοιων συναρτήσεων έχουν από καιρό υπολογιστεί και συγκεντρωθεί σε ειδικούς πίνακες. Με αυτές τις λειτουργίες και τους πίνακες θα εργαστούμε σήμερα.

Αλλά θα ξεκινήσουμε, όπως πάντα, με μια επανάληψη: ας θυμηθούμε τι είναι ένα αντιπαράγωγο, γιατί υπάρχουν άπειρα πολλά από αυτά και πώς να τα ορίσουμε γενική μορφή. Για να το κάνω αυτό, διάλεξα δύο απλά προβλήματα.

Επίλυση απλών παραδειγμάτων

Παράδειγμα #1

Ας σημειώσουμε αμέσως ότι $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ και γενικά την παρουσία του $\text( )\!\!\pi\ Το !\!\ text( )$ μας υποδηλώνει αμέσως ότι αυτό που ψάχνουμε είναι αντιπαράγωγο της συνάρτησηςπου σχετίζονται με την τριγωνομετρία. Και, πράγματι, αν κοιτάξουμε τον πίνακα, θα διαπιστώσουμε ότι το $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ δεν είναι τίποτα άλλο από το $\text(arctg)x$. Ας το γράψουμε λοιπόν:

Για να βρείτε, πρέπει να σημειώσετε τα εξής:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Παράδειγμα Νο. 2

Εδώ επίσης μιλάμε γιαΟ τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αν κοιτάξουμε τον πίνακα, τότε, πράγματι, συμβαίνει αυτό:

Πρέπει να βρούμε ανάμεσα σε ολόκληρο το σύνολο των αντιπαραγώγων αυτό που διέρχεται από το υποδεικνυόμενο σημείο:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Ας το γράψουμε επιτέλους:

Είναι τόσο απλό. Το μόνο πρόβλημαείναι ότι για να υπολογίσετε αντιπαράγωγα απλών συναρτήσεων, πρέπει να μάθετε τον πίνακα των αντιπαραγώγων. Ωστόσο, αφού μελετήσω τον πίνακα παραγώγων για εσάς, νομίζω ότι αυτό δεν θα είναι πρόβλημα.

Επίλυση προβλημάτων που περιέχουν εκθετική συνάρτηση

Αρχικά, ας γράψουμε τους παρακάτω τύπους:

\[((e)^(x))\προς ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Ας δούμε πώς λειτουργεί όλο αυτό στην πράξη.

Παράδειγμα #1

Αν κοιτάξουμε τα περιεχόμενα των παρενθέσεων, θα παρατηρήσουμε ότι στον πίνακα των αντιπαραγώγων δεν υπάρχει τέτοια έκφραση για το $((e)^(x))$ να είναι σε τετράγωνο, οπότε αυτό το τετράγωνο πρέπει να επεκταθεί. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού:

Ας βρούμε το αντιπαράγωγο για κάθε έναν από τους όρους:

\[((e)^(2x))=((\αριστερά(((e)^(2)) \δεξιά))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \δεξιά))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left((e )^(-2)) \δεξιά))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Τώρα ας συγκεντρώσουμε όλους τους όρους σε μια μόνο έκφραση και ας πάρουμε το γενικό αντιπαράγωγο:

Παράδειγμα Νο. 2

Αυτή τη φορά ο βαθμός είναι μεγαλύτερος, επομένως ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού θα είναι αρκετά περίπλοκος. Ας ανοίξουμε λοιπόν τις αγκύλες:

Τώρα ας προσπαθήσουμε να πάρουμε το αντιπαράγωγο του τύπου μας από αυτήν την κατασκευή:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο ή υπερφυσικό στα αντιπαράγωγα της εκθετικής συνάρτησης. Όλα αυτά υπολογίζονται μέσω πινάκων, αλλά οι προσεκτικοί μαθητές πιθανότατα θα παρατηρήσουν ότι το αντιπαράγωγο $((e)^(2x))$ είναι πολύ πιο κοντά στο απλά $((e)^(x))$ παρά στο $((a )^(x))$. Λοιπόν, ίσως υπάρχει κάποιος πιο ειδικός κανόνας που επιτρέπει, γνωρίζοντας το αντιπαράγωγο $((e)^(x))$, να βρείτε το $((e)^(2x))$; Ναι, υπάρχει τέτοιος κανόνας. Και, επιπλέον, είναι αναπόσπαστο μέρος της εργασίας με τον πίνακα των αντιπαραγώγων. Τώρα θα το αναλύσουμε χρησιμοποιώντας τις ίδιες εκφράσεις με τις οποίες μόλις δουλέψαμε ως παράδειγμα.

Κανόνες εργασίας με τον πίνακα αντιπαραγώγων

Ας γράψουμε ξανά τη συνάρτησή μας:

Στην προηγούμενη περίπτωση, χρησιμοποιήσαμε τον ακόλουθο τύπο για να λύσουμε:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\όνομα χειριστή(lna))\]

Αλλά τώρα ας το κάνουμε λίγο διαφορετικά: ας θυμηθούμε σε ποια βάση $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Όπως είπα ήδη, επειδή η παράγωγος $((e)^(x))$ δεν είναι τίποτα περισσότερο από $((e)^(x))$, επομένως το αντιπαράγωγό της θα είναι ίσο με το ίδιο $((e) ^ (x))$. Αλλά το πρόβλημα είναι ότι έχουμε $((e)^(2x))$ και $((e)^(-2x))$. Τώρα ας προσπαθήσουμε να βρούμε την παράγωγο του $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Ας ξαναγράψουμε την κατασκευή μας ξανά:

\[((\left(((e)^(2x)) \δεξιά))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \δεξιά))^(\prime ))\]

Αυτό σημαίνει ότι όταν βρίσκουμε το αντιπαράγωγο $((e)^(2x))$ έχουμε τα εξής:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα με πριν, αλλά δεν χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για να βρούμε το $((a)^(x))$. Τώρα αυτό μπορεί να φαίνεται ανόητο: γιατί να περιπλέκουμε τους υπολογισμούς όταν υπάρχει ένας τυπικός τύπος; Ωστόσο, σε λίγο πιο σύνθετες εκφράσεις θα διαπιστώσετε ότι αυτή η τεχνική είναι πολύ αποτελεσματική, δηλ. χρησιμοποιώντας παράγωγα για την εύρεση αντιπαραγώγων.

Ως προθέρμανση, ας βρούμε το αντιπαράγωγο του $((e)^(2x))$ με παρόμοιο τρόπο:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \δεξιά))^(\prime ))\]

Κατά τον υπολογισμό, η κατασκευή μας θα γραφτεί ως εξής:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Πήραμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά πήραμε διαφορετικό δρόμο. Είναι αυτό το μονοπάτι, που τώρα μας φαίνεται λίγο πιο περίπλοκο, που στο μέλλον θα αποδειχθεί πιο αποτελεσματικό για τον υπολογισμό πιο πολύπλοκων αντιπαραγώγων και τη χρήση πινάκων.

Σημείωση! Αυτό είναι πολύ σημαντικό σημείο: τα αντιπαράγωγα, όπως και τα παράγωγα, μπορούν να θεωρηθούν ένα σύνολο με διάφορους τρόπους. Ωστόσο, εάν όλοι οι υπολογισμοί και οι υπολογισμοί είναι ίσοι, τότε η απάντηση θα είναι η ίδια. Μόλις το είδαμε αυτό με το παράδειγμα του $((e)^(-2x))$ - από τη μια πλευρά, υπολογίσαμε αυτό το αντιπαράγωγο "κατευθείαν", χρησιμοποιώντας τον ορισμό και υπολογίζοντάς το χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς, από την άλλη πλευρά, θυμηθήκαμε ότι το $ ((e)^(-2x))$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ και μόνο τότε χρησιμοποιήσαμε το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση $( (a)^(x))$. Ωστόσο, μετά από όλες τις μεταμορφώσεις, το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο, όπως αναμενόταν.

Και τώρα που τα καταλάβαμε όλα αυτά, ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε σε κάτι πιο σημαντικό. Τώρα θα αναλύσουμε δύο απλές κατασκευές, αλλά η τεχνική που θα χρησιμοποιηθεί κατά την επίλυσή τους είναι πιο ισχυρή και χρήσιμο εργαλείο, αντί για απλό «τρέξιμο» μεταξύ γειτονικών αντιπαραγώγων από τον πίνακα.

Επίλυση προβλημάτων: εύρεση του αντιπαραγώγου μιας συνάρτησης

Παράδειγμα #1

Ας αναλύσουμε το ποσό που είναι στους αριθμητές σε τρία ξεχωριστά κλάσματα:

Αυτή είναι μια αρκετά φυσική και κατανοητή μετάβαση - οι περισσότεροι μαθητές δεν έχουν προβλήματα με αυτήν. Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας ως εξής:

Τώρα ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο:

Στην περίπτωσή μας θα λάβουμε τα εξής:

Για να απαλλαγείτε από όλα αυτά τα τριώροφα κλάσματα, προτείνω να κάνετε τα εξής:

Παράδειγμα Νο. 2

Σε αντίθεση με το προηγούμενο κλάσμα, ο παρονομαστής δεν είναι γινόμενο, αλλά άθροισμα. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορούμε πλέον να διαιρέσουμε το κλάσμα μας στο άθροισμα πολλών απλών κλασμάτων, αλλά πρέπει με κάποιο τρόπο να προσπαθήσουμε να βεβαιωθούμε ότι ο αριθμητής περιέχει περίπου την ίδια έκφραση με τον παρονομαστή. Σε αυτή την περίπτωση, είναι πολύ απλό να το κάνετε:

Αυτή η σημειογραφία, η οποία στη μαθηματική γλώσσα ονομάζεται "προσθήκη ενός μηδενός", θα μας επιτρέψει να διαιρέσουμε ξανά το κλάσμα σε δύο κομμάτια:

Ας βρούμε τώρα αυτό που ψάχναμε:

Αυτοί είναι όλοι οι υπολογισμοί. Παρά τη φαινομενικά μεγαλύτερη πολυπλοκότητα σε σχέση με το προηγούμενο πρόβλημα, ο αριθμός των υπολογισμών αποδείχθηκε ακόμη μικρότερος.

Αποχρώσεις της λύσης

Και εδώ έγκειται η κύρια δυσκολία εργασίας με αντιπαράγωγα σε πίνακα, αυτό είναι ιδιαίτερα αισθητό στη δεύτερη εργασία. Γεγονός είναι ότι για να επιλέξουμε κάποια στοιχεία που υπολογίζονται εύκολα μέσω του πίνακα, πρέπει να ξέρουμε τι ακριβώς ψάχνουμε, και στην αναζήτηση αυτών των στοιχείων συνίσταται ολόκληρος ο υπολογισμός των αντιπαραγώγων.

Με άλλα λόγια, δεν αρκεί απλώς να απομνημονεύσετε τον πίνακα των αντιπαραγώγων - πρέπει να μπορείτε να δείτε κάτι που δεν υπάρχει ακόμα, αλλά τι εννοούσε ο συγγραφέας και ο μεταγλωττιστής αυτού του προβλήματος. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο πολλοί μαθηματικοί, δάσκαλοι και καθηγητές υποστηρίζουν συνεχώς: «Τι σημαίνει η λήψη αντιπαράγωγων ή η ολοκλήρωση - είναι απλώς ένα εργαλείο ή είναι μια πραγματική τέχνη;» Στην πραγματικότητα, κατά την προσωπική μου άποψη, η ενσωμάτωση δεν είναι καθόλου τέχνη - δεν υπάρχει τίποτα ανώτερο σε αυτήν, είναι απλώς εξάσκηση και περισσότερη εξάσκηση. Και για να εξασκηθούμε, ας λύσουμε τρία ακόμη σοβαρά παραδείγματα.

Εκπαιδευόμαστε στην ενσωμάτωση στην πράξη

Εργασία Νο. 1

Ας γράψουμε τους παρακάτω τύπους:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Ας γράψουμε τα εξής:

Πρόβλημα Νο 2

Ας το ξαναγράψουμε ως εξής:

Το συνολικό αντιπαράγωγο θα είναι ίσο με:

Εργασία Νο. 3

Η δυσκολία αυτού του έργου είναι ότι, σε αντίθεση προηγούμενες λειτουργίεςδεν υπάρχει καθόλου μεταβλητή $x$ παραπάνω, δηλ. Δεν καταλαβαίνουμε τι να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε για να έχουμε τουλάχιστον κάτι παρόμοιο με αυτό που φαίνεται παρακάτω. Ωστόσο, στην πραγματικότητα, η έκφραση αυτή θεωρείται ακόμη πιο απλή από οποιαδήποτε έκφραση από τις προηγούμενες κατασκευές, γιατί αυτή τη λειτουργίαμπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Μπορείτε τώρα να ρωτήσετε: γιατί αυτές οι συναρτήσεις είναι ίσες; Ας ελέγξουμε:

Ας το ξαναγράψουμε:

Ας μεταμορφώσουμε λίγο την έκφρασή μας:

Και όταν τα εξηγώ όλα αυτά στους μαθητές μου, σχεδόν πάντα ανακύπτει το ίδιο πρόβλημα: με την πρώτη συνάρτηση όλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα, με τη δεύτερη μπορείτε επίσης να τα καταλάβετε με τύχη ή εξάσκηση, αλλά τι είδους εναλλακτική συνείδηση ​​έχετε χρειάζεται για να λυθεί το τρίτο παράδειγμα; Βασικά, μη φοβάσαι. Η τεχνική που χρησιμοποιήσαμε κατά τον υπολογισμό της τελευταίας αντιπαράγωγης ονομάζεται "αποσύνθεση μιας συνάρτησης στο απλούστερό της" και αυτή είναι μια πολύ σοβαρή τεχνική και θα αφιερωθεί ένα ξεχωριστό μάθημα βίντεο σε αυτήν.

Εν τω μεταξύ, προτείνω να επιστρέψουμε σε αυτό που μόλις μελετήσαμε, δηλαδή στις εκθετικές συναρτήσεις και να περιπλέκουμε κάπως τα προβλήματα με το περιεχόμενό τους.

Πιο πολύπλοκα προβλήματα για την επίλυση αντιπαραγώγων εκθετικών συναρτήσεων

Εργασία Νο. 1

Ας σημειώσουμε τα εξής:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\αριστερά(2\cdot 5 \δεξιά))^(x))=((10)^(x) )\]

Για να βρείτε το αντιπαράγωγο αυτής της έκφρασης, απλώς χρησιμοποιήστε τον τυπικό τύπο - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Στην περίπτωσή μας, το αντιπαράγωγο θα είναι ως εξής:

Φυσικά, σε σύγκριση με το σχέδιο που μόλις λύσαμε, αυτό φαίνεται πιο απλό.

Πρόβλημα Νο 2

Και πάλι, είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτή η συνάρτηση μπορεί εύκολα να χωριστεί σε δύο ξεχωριστούς όρους - δύο ξεχωριστά κλάσματα. Ας ξαναγράψουμε:

Απομένει να βρούμε το αντιπαράγωγο καθενός από αυτούς τους όρους χρησιμοποιώντας τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω:

Παρά τη φαινομενική μεγάλη πολυπλοκότητα εκθετικές συναρτήσειςΣε σύγκριση με τα ηλεκτρικά, ο συνολικός όγκος των υπολογισμών και των υπολογισμών αποδείχθηκε πολύ πιο απλός.

Φυσικά, για τους γνώστες των μαθητών, αυτό που μόλις συζητήσαμε (ειδικά με φόντο αυτό που συζητήσαμε πριν) μπορεί να φαίνονται σαν στοιχειώδεις εκφράσεις. Ωστόσο, όταν διάλεξα αυτές τις δύο εργασίες για το σημερινό μάθημα βίντεο, δεν έβαλα στόχο να σας πω μια άλλη πολύπλοκη και περίπλοκη τεχνική - το μόνο που ήθελα να σας δείξω είναι ότι δεν πρέπει να φοβάστε να χρησιμοποιήσετε τυπικές τεχνικέςάλγεβρα για μετασχηματισμό αρχικών συναρτήσεων.

Χρησιμοποιώντας μια «μυστική» τεχνική

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να εξετάσω μια άλλη ενδιαφέρουσα τεχνική, η οποία, αφενός, υπερβαίνει αυτό που συζητήσαμε κυρίως σήμερα, αλλά, αφετέρου, δεν είναι, πρώτον, καθόλου περίπλοκη, δηλ. ακόμη και οι αρχάριοι μαθητές μπορούν να το κατακτήσουν και, δεύτερον, βρίσκεται αρκετά συχνά σε όλα τα είδη δοκιμών και δοκιμών. ανεξάρτητη εργασία, δηλ. η γνώση του θα είναι πολύ χρήσιμη εκτός από τη γνώση του πίνακα των αντιπαραγώγων.

Εργασία Νο. 1

Προφανώς, έχουμε κάτι πολύ παρόμοιο με μια συνάρτηση ισχύος. Τι πρέπει να κάνουμε σε αυτή την περίπτωση; Ας το σκεφτούμε: το $x-5$ δεν διαφέρει πολύ από το $x$ - μόλις πρόσθεσαν -5$. Ας το γράψουμε ως εξής:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\αριστερά(\frac(((x)^(5)))(5) \δεξιά))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε την παράγωγο του $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Αυτό υπονοεί:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ δεξιά))^(\prime ))\]

Δεν υπάρχει αυτή η τιμή στον πίνακα, επομένως έχουμε πλέον εξάγει αυτόν τον τύπο μόνοι μας χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο αντιπαράγωγου για λειτουργία ισχύος. Ας γράψουμε την απάντηση ως εξής:

Πρόβλημα Νο 2

Πολλοί μαθητές που εξετάζουν την πρώτη λύση μπορεί να πιστεύουν ότι όλα είναι πολύ απλά: απλώς αντικαταστήστε το $x$ στη συνάρτηση ισχύος με μια γραμμική έκφραση και όλα θα μπουν στη θέση τους. Δυστυχώς, όλα δεν είναι τόσο απλά, και τώρα θα το δούμε αυτό.

Κατ' αναλογία με την πρώτη έκφραση, γράφουμε τα εξής:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\αριστερά((\αριστερά(4-3x \δεξιά))^(10)) \δεξιά))^(\prime ))=10\cdot ((\αριστερά(4-3x \δεξιά)) ^(9))\cdot ((\αριστερά(4-3x \δεξιά))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\αριστερά(4-3x \δεξιά))^(9)\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\αριστερά(4-3x \δεξιά)) ^(9))\]

Επιστρέφοντας στην παράγωγή μας, μπορούμε να γράψουμε:

\[((\αριστερά((\αριστερά(4-3x \δεξιά))^(10)) \δεξιά))^(\prime ))=-30\cdot ((\αριστερά(4-3x \δεξιά) )^(9))\]

\[((\αριστερά(4-3x \δεξιά))^(9))=(\αριστερά(\frac((\αριστερά(4-3x \δεξιά))^(10)))(-30) \δεξιά))^(\prime ))\]

Αυτό αμέσως ακολουθεί:

Αποχρώσεις της λύσης

Παρακαλώ σημειώστε: εάν τίποτα δεν άλλαξε ουσιαστικά την τελευταία φορά, τότε στη δεύτερη περίπτωση, αντί για -10 $, εμφανίστηκαν -30 $. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ -10$ και -30$; Προφανώς, κατά συντελεστή -3$. Ερώτηση: από πού προήλθε; Κοιτάζοντας προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι λήφθηκε ως αποτέλεσμα του υπολογισμού της παραγώγου σύνθετη λειτουργία— ο συντελεστής που ήταν $x$ εμφανίζεται στο αντιπαράγωγο παρακάτω. Αυτό είναι πολύ σημαντικός κανόνας, το οποίο αρχικά δεν σχεδίαζα να συζητήσω καθόλου στο σημερινό εκπαιδευτικό βίντεο, αλλά χωρίς αυτό η παρουσίαση των αντιπαραγώγων σε πίνακα θα ήταν ελλιπής.

Ας το ξανακάνουμε λοιπόν. Ας υπάρχει η κύρια συνάρτηση ισχύος μας:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Τώρα, αντί για $x$, ας αντικαταστήσουμε την έκφραση $kx+b$. Τι θα γίνει τότε; Πρέπει να βρούμε τα εξής:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \δεξιά)\cdot k)\]

Με ποια βάση το ισχυριζόμαστε αυτό; Πολύ απλό. Ας βρούμε το παράγωγο της κατασκευής που γράφτηκε παραπάνω:

\[((\left(\frac((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\αριστερά(kx+b \δεξιά))^(n))\]

Αυτή είναι η ίδια έκφραση που υπήρχε αρχικά. Επομένως, αυτός ο τύπος είναι επίσης σωστός και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συμπληρώσει τον πίνακα των αντιπαραγώγων ή είναι καλύτερο να απομνημονεύσετε απλώς ολόκληρο τον πίνακα.

Συμπεράσματα από την τεχνική «secret:»:

• Και οι δύο συναρτήσεις που μόλις εξετάσαμε μπορούν, στην πραγματικότητα, να περιοριστούν στα αντιπαράγωγα που υποδεικνύονται στον πίνακα επεκτείνοντας τους βαθμούς, αλλά αν μπορούμε λίγο-πολύ να αντιμετωπίσουμε τον τέταρτο βαθμό, τότε δεν θα σκεφτόμουν καν τον ένατο βαθμό τόλμησε να αποκαλύψει.
• Αν επεκτείναμε τις μοίρες, θα καταλήξαμε σε τέτοιο όγκο υπολογισμών που μια απλή εργασία θα μας έπαιρνε ακατάλληλα μεγάλο χρόνο.
• Γι' αυτό τέτοια προβλήματα, που περιέχουν γραμμικές εκφράσεις, δεν χρειάζεται να επιλυθούν «με το κεφάλι». Μόλις συναντήσετε ένα αντιπαράγωγο που διαφέρει από αυτό του πίνακα μόνο από την παρουσία της έκφρασης $kx+b$ μέσα, θυμηθείτε αμέσως τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, αντικαταστήστε το με το αντιπαράγωγο του πίνακα σας και όλα θα πάνε πολύ. πιο γρήγορα και πιο εύκολα.

Φυσικά, λόγω της πολυπλοκότητας και της σοβαρότητας αυτής της τεχνικής, θα επανέλθουμε στην εξέταση της πολλές φορές σε μελλοντικά μαθήματα βίντεο, αλλά αυτό είναι όλο για σήμερα. Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα βοηθήσει πραγματικά εκείνους τους μαθητές που θέλουν να κατανοήσουν τα αντιπαράγωγα και την ολοκλήρωση.