Μετατροπή από οκταδική σε δυαδική αριθμομηχανή. Μετατρέψτε γρήγορα έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό

Σε αυτό το άρθρο θα σας πω τα βασικά της τεχνολογίας υπολογιστών - αυτό είναι ένα δυαδικό σύστημα. Αυτό είναι το χαμηλότερο επίπεδο, αυτοί είναι οι αριθμοί με τους οποίους λειτουργεί ο υπολογιστής. Και θα μάθετε πώς να μεταφέρετε από ένα σύστημα

Πίνακας 1 - Αναπαράσταση αριθμών σε διάφορα συστήματα
λογισμός (αρχή)

Αριθμητικά συστήματα
Δεκαδικός	Δυάδικος	Οκτάεδρος	Δεκαεξαδικό	BCD

Για να μετατρέψετε από δεκαδικό σε δυαδικό, έχετε δύο επιλογές.

1) Για παράδειγμα, ο αριθμός 37 πρέπει να μετατραπεί από το δεκαδικό σύστημα στο δυαδικό σύστημα, στη συνέχεια πρέπει να τον διαιρέσετε με δύο και στη συνέχεια να ελέγξετε το υπόλοιπο της διαίρεσης. Αν το υπόλοιπο είναι περιττό, τότε γράφουμε ένα στο κάτω μέρος και ο επόμενος κύκλος διαίρεσης περνάει από έναν ζυγό αριθμό, αν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι άρτιο, τότε γράφουμε μηδέν. Στο τέλος πρέπει να λάβετε 1. Και τώρα μετατρέπουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει σε δυαδικό και ο αριθμός πηγαίνει από δεξιά προς τα αριστερά.

Βήμα προς βήμα: Το 37 είναι περιττός αριθμός, που σημαίνει 1 , τότε 36/2 = 18. Ο αριθμός είναι άρτιος, που σημαίνει 0. Το 18/2 = 9 είναι περιττός αριθμός, που σημαίνει 1 , τότε 8/2 = 4. Ο αριθμός είναι άρτιος, διαβάστε 0. 4/2 = 2, ένας ζυγός αριθμός σημαίνει 0, 2/2 = 1.

Έτσι πήραμε τον αριθμό. Μην ξεχάσετε να μετρήσετε από τα δεξιά προς τα αριστερά: 100101 - τώρα έχουμε έναν αριθμό στο δυαδικό σύστημα. Γενικά, αυτό γράφεται ως διαίρεση σε μια στήλη, όπως βλέπετε στο παρακάτω σχήμα:

2) Υπάρχει όμως και δεύτερος τρόπος. Μου αρέσει περισσότερο. Η μεταφορά από το ένα σύστημα στο άλλο γίνεται ως εξής:

όπου ai είναι το i-ο ψηφίο του αριθμού.
k - ο αριθμός των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού.
m - ο αριθμός των ψηφίων στο ακέραιο μέρος του αριθμού.
Το N είναι η βάση του συστήματος αριθμών.

Η βάση του αριθμητικού συστήματος N δείχνει πόσες φορές το «βάρος» του i-ου ψηφίου είναι μεγαλύτερο από το «βάρος» (i-1) του ψηφίου. Το ακέραιο μέρος του αριθμού χωρίζεται από το κλασματικό μέρος με μια τελεία (κόμμα).

Το ακέραιο μέρος του αριθμού AN1, με τη βάση N1, μετατρέπεται στο σύστημα αριθμών με βάση N2 διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού AN1 με τη βάση N2 που είναι γραμμένο ως αριθμός με τη βάση N1, μέχρι να γίνει ένα υπόλοιπο Το προκύπτον τμήμα διαιρείται και πάλι με τη βάση Ν2 και αυτή η διαδικασία πρέπει να επαναληφθεί έως ότου το σωματίδιο γίνει μικρότερο από τον διαιρέτη. Τα υπόλοιπα που προκύπτουν από τη διαίρεση και το τελευταίο μέρος γράφονται με την αντίστροφη σειρά που προκύπτει κατά τη διαίρεση. Ο παραγόμενος αριθμός θα είναι ακέραιος με βάση N2.

Το κλασματικό τμήμα του αριθμού ΑΝ1, με βάση Ν1, μετατρέπεται σε σύστημα αριθμών με βάση Ν2 πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά το κλασματικό μέρος του αριθμού ΑΝ1 με τη βάση Ν2, που γράφεται ως αριθμός με βάση Ν1. Με κάθε πολλαπλασιασμό, το ακέραιο μέρος του γινομένου λαμβάνεται με τη μορφή του επόμενου ψηφίου του αντίστοιχου ψηφίου και το κλασματικό μέρος του υπόλοιπου λαμβάνεται ως νέος πολλαπλασιασμός. Ο αριθμός των πολλαπλασιασμών καθορίζει την ψηφιακή χωρητικότητα του προκύπτοντος αποτελέσματος, αντιπροσωπεύοντας το κλασματικό μέρος του αριθμού AN1 στο σύστημα αριθμών N2. Το κλασματικό μέρος ενός αριθμού συχνά αναπαρίσταται ανακριβώς όταν μεταφράζεται.

Ας το κάνουμε αυτό με ένα παράδειγμα:

Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό

Το 37 στο δεκαδικό πρέπει να μετατραπεί σε δυαδικό. Ας δουλέψουμε με πτυχία:

2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024 και ούτω καθεξής... επ' άπειρον

Αυτό σημαίνει: 37 - 32 = 5. 5 - 4 = 1. Η απάντηση είναι η εξής δυαδικά: 100101.

Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 658 από δεκαδικό σε δυαδικό:

658-512=146
146-128=18
18-16=2. Στο δυαδικό σύστημα ο αριθμός θα μοιάζει με: 1010010010.

Μετατροπή από δεκαδικό σε οκταδικό

Εάν χρειάζεται να κάνετε μετατροπή από δεκαδικό σε οκταδικό, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε σε δυαδικό και στη συνέχεια να μετατρέψετε από δυαδικό σε οκταδικό. Δηλαδή, είναι πιο εύκολο με αυτόν τον τρόπο, αν και μπορείτε να το μεταφράσετε αμέσως. Χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο παρόμοιο με αυτόν για τη μετατροπή σε δυαδικό, βλέπε παραπάνω.

Μετατροπή από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό

Εάν χρειάζεται να κάνετε μετατροπή από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε σε δυαδικό και στη συνέχεια να μετατρέψετε από δυαδικό σε δεκαεξαδικό. Δηλαδή, είναι πιο εύκολο με αυτόν τον τρόπο, αν και μπορείτε να το μεταφράσετε αμέσως. Χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο παρόμοιο με αυτόν για τη μετατροπή σε δυαδικό, βλέπε παραπάνω.

Μετατροπή από δυαδικό σε οκταδικό

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δυαδικό σε οκταδικό, πρέπει να χωρίσετε το δυαδικό σε τρεις αριθμούς.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 1010010010 που προκύπτει χωρίζεται σε τρεις αριθμούς και η διαίρεση γίνεται από τα δεξιά προς τα αριστερά: 1.010.010.010 = 1222. Δείτε τον πίνακα στην αρχή.

Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαεξαδικό

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δυαδικό σε δεκαεξαδικό, πρέπει να τον διαιρέσετε σε τετράδια (τέσσερα το καθένα)

10 1001 0010 = 292

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα για να δείτε:

Η μετατροπή γίνεται από δυαδικό σε οκταδικό, μετά σε δεκαεξαδικό και μετά από δυαδικό σε δεκαδικό

(2) = 11101110
(8) = 11 101 110 = 276
(16) = 1110 1110 = ΕΕ
(10) = 1*128+ 1*64+ 1*32+ 0 +1*8 + 1*4 + 1*2+ 0= 238
3) (8) = 657

Η μετατροπή πραγματοποιείται από δεκαεξαδικό σε δυαδικό, μετά σε οκταδικό και στη συνέχεια από δυαδικό σε δεκαδικό

(16) = 6E8
(2) = 110 1110 1000
(8) = 11 011 101 000 = 2250
(10) = 1*1024+1*512+ 0 +1*128+ 1*64+ 1*32+ 8 = 1768

Σημείωση 1

Εάν θέλετε να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, τότε είναι πιο βολικό να τον μετατρέψετε πρώτα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και μόνο στη συνέχεια να τον μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό

Στην υπολογιστική τεχνολογία που χρησιμοποιεί αριθμητική μηχανή, η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο παίζει σημαντικό ρόλο. Παρακάτω δίνουμε τους βασικούς κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).

Όταν μετατρέπετε έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό, πρέπει να αναπαραστήσετε τον δυαδικό αριθμό ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $2$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Εικόνα 1. Πίνακας 1

Παράδειγμα 1

Μετατρέψτε τον αριθμό $11110101_2$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $1$ της βάσης $2$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 616 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτό περίπτωση $8$ και, στη συνέχεια, πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Εικόνα 2. Πίνακας 2

Παράδειγμα 2

Μετατρέψτε τον αριθμό $75013_8$ στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $2$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

75013_8 $ = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $16$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Εικόνα 3. Πίνακας 3

Παράδειγμα 3

Μετατρέψτε τον αριθμό $FFA2_(16)$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $3$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $2$ μέχρι να υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $1$. Ένας αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 4

Μετατρέψτε τον αριθμό $22_(10)$ στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 4.

$22_{10} = 10110_2$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δεκαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $8$ μέχρι να υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $7$. Ένας αριθμός στο οκταδικό σύστημα αριθμών αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 5

Μετατρέψτε τον αριθμό $571_(10)$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 5.

$571_{10} = 1073_8$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $16$ έως ότου υπάρξει ένα υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $15$. Ένας αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και του υπόλοιπου της διαίρεσης με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 6

Μετατρέψτε τον αριθμό $7467_(10)$ σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Προκειμένου να μετατραπεί ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα δεκαδικών αριθμών σε ένα μη δεκαδικό σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί διαδοχικά το κλασματικό μέρος του αριθμού που μετατρέπεται με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρέπει να μετατραπεί. Τα κλάσματα στο νέο σύστημα θα αντιπροσωπεύονται ως ολόκληρα μέρη προϊόντων, ξεκινώντας από το πρώτο.

Για παράδειγμα: $0,3125_((10))$ στο σύστημα οκταδικών αριθμών θα μοιάζει με $0,24_((8))$.

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να αντιμετωπίσετε πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα στο μη δεκαδικό σύστημα αριθμών. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των ψηφίων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι και τα σωστά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν χρειάζεται, προσθέτοντας μηδενικά στην πρώτη τριάδα και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Εικόνα 7. Πίνακας 4

Παράδειγμα 7

Μετατρέψτε τον αριθμό $1001011_2$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 4, μετατρέπουμε τον αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό:

$001 001 011_2 = 113_8$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να διαιρεθεί σε τετράδια (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας μηδενικά στο πιο σημαντικό τετράδιο και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τετράδιο με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Μέθοδοι μετατροπής αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε άλλο: μετατροπή ακεραίων.

Για να μετατρέψετε έναν ακέραιο από ένα σύστημα αριθμών με βάση d1 σε άλλο με βάση d2, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό και τα πηλίκα που προκύπτουν με τη βάση d2 του νέου συστήματος μέχρι να λάβετε ένα πηλίκο μικρότερο από τη βάση d2. Το τελευταίο πηλίκο είναι το πιο σημαντικό ψηφίο ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με βάση d2 και τα ψηφία που ακολουθούν είναι υπολείμματα από τη διαίρεση, γραμμένα με την αντίστροφη σειρά της λήψης τους. Εκτελέστε αριθμητικές πράξεις στο σύστημα αριθμών στο οποίο είναι γραμμένος ο αριθμός που μεταφράζεται.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 11(10) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 11(10)=1011(2).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 122(10) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 122(10)=172(8).

Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 500(10) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 500(10)=1F4(16).

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε ένα άλλο: μετατροπή κατάλληλων κλασμάτων.

Για να μετατρέψετε ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα αριθμών με βάση d1 σε σύστημα με βάση d2, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά το αρχικό κλάσμα και τα κλασματικά μέρη των προϊόντων που προκύπτουν με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών d2. Το σωστό κλάσμα ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με βάση d2 σχηματίζεται με τη μορφή ακέραιων μερών των γινομένων που προκύπτουν, ξεκινώντας από το πρώτο.
Εάν η μετάφραση έχει ως αποτέλεσμα ένα κλάσμα με τη μορφή άπειρης ή αποκλίνουσας σειράς, η διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί όταν επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.

Κατά τη μετάφραση μικτών αριθμών, είναι απαραίτητο να μεταφράσετε ξεχωριστά τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη σε ένα νέο σύστημα σύμφωνα με τους κανόνες για τη μετάφραση ακεραίων και κατάλληλων κλασμάτων και στη συνέχεια να συνδυάσετε και τα δύο αποτελέσματα σε έναν μικτό αριθμό στο νέο σύστημα αριθμών.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,625(10) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 0,625(10)=0,101(2).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,6(10) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 0,6(10)=0,463(8).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,7(10) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 0,7(10)=0,B333(16).

Μετατρέψτε δυαδικούς, οκταδικούς και δεκαεξαδικούς αριθμούς σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα P-ary σε δεκαδικό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο επέκτασης:
άναν-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 101.11(2) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 101.11(2)= 5.75(10) .

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 57.24(8) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 7A,84(16) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

Μετατροπή οκταδικών και δεκαεξαδικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών και αντίστροφα.

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό, κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού πρέπει να γραφτεί ως τριψήφιος δυαδικός αριθμός (τριάδα).

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 16.24(8) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό ξανά στο οκταδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τριάδες αριστερά και δεξιά της υποδιαστολής και να αναπαραστήσετε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο σύστημα οκταδικών αριθμών. Οι ακραίες ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1110.0101(2) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να γράψετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού ως τετραψήφιο δυαδικό αριθμό (τετράδα).

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 7A,7E(16) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Σημείωση: τα μηδενικά που αρχίζουν στα αριστερά για ακέραιους αριθμούς και στα δεξιά για τα κλάσματα δεν γράφονται.

Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό ξανά στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τετράδια αριστερά και δεξιά της υποδιαστολής και να αναπαραστήσετε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Οι ακραίες ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1111010.0111111(2) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Γράψτε τον αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών και τις δυνάμεις του δύο από δεξιά προς τα αριστερά.Για παράδειγμα, θέλουμε να μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό 10011011 2 σε δεκαδικό. Ας το γράψουμε πρώτα. Στη συνέχεια γράφουμε τις δυνάμεις των δύο από δεξιά προς τα αριστερά. Ας ξεκινήσουμε με 2 0, που ισούται με "1". Αυξάνουμε το βαθμό κατά ένα για κάθε επόμενο αριθμό. Σταματάμε όταν ο αριθμός των στοιχείων στη λίστα είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων του δυαδικού αριθμού. Ο αριθμός του παραδείγματός μας, 10011011, έχει οκτώ ψηφία, επομένως μια λίστα με οκτώ στοιχεία θα μοιάζει με αυτό: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Γράψτε τα ψηφία του δυαδικού αριθμού με τις αντίστοιχες δυνάμεις του δύο.Τώρα απλά γράψτε το 10011011 κάτω από τους αριθμούς 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 και 1, έτσι ώστε κάθε δυαδικό ψηφίο να αντιστοιχεί σε διαφορετική δύναμη του δύο. Το δεξιότερο "1" του δυαδικού αριθμού πρέπει να αντιστοιχεί στο δεξιότερο "1" από τις δυνάμεις του δύο, και ούτω καθεξής. Εάν προτιμάτε, μπορείτε να γράψετε τον δυαδικό αριθμό πάνω από τις δυνάμεις του δύο. Το πιο σημαντικό είναι να ταιριάζουν μεταξύ τους.

Αντιστοιχίστε τα ψηφία ενός δυαδικού αριθμού με τις αντίστοιχες δυνάμεις του δύο.Σχεδιάστε γραμμές (από τα δεξιά προς τα αριστερά) που συνδέουν κάθε διαδοχικό ψηφίο του δυαδικού αριθμού με τη δύναμη των δύο πάνω από αυτόν. Ξεκινήστε να σχεδιάζετε γραμμές συνδέοντας το πρώτο ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού με την πρώτη δύναμη των δύο πάνω από αυτόν. Στη συνέχεια, σχεδιάστε μια γραμμή από το δεύτερο ψηφίο του δυαδικού αριθμού στη δεύτερη δύναμη του δύο. Συνεχίστε να συνδέετε κάθε αριθμό με την αντίστοιχη ισχύ των δύο. Αυτό θα σας βοηθήσει να δείτε οπτικά τη σχέση μεταξύ δύο διαφορετικών συνόλων αριθμών.

Γράψτε την τελική τιμή κάθε δύναμης δύο.Περάστε από κάθε ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού. Αν ο αριθμός είναι 1, γράψτε την αντίστοιχη δύναμη του δύο κάτω από τον αριθμό. Εάν αυτός ο αριθμός είναι 0, γράψτε 0 κάτω από τον αριθμό.

Αφού το "1" ταιριάζει με το "1", παραμένει "1". Αφού το "2" ταιριάζει με το "1", παραμένει "2". Εφόσον το "4" αντιστοιχεί στο "0", γίνεται "0". Αφού το "8" ταιριάζει με το "1", γίνεται "8", και από το "16" ταιριάζει με το "1" γίνεται "16". Το "32" ταιριάζει με το "0" και γίνεται "0", το "64" ταιριάζει με το "0" και επομένως γίνεται "0", ενώ το "128" ταιριάζει με το "1" και επομένως γίνεται 128.

Προσθέστε τις προκύπτουσες τιμές.Τώρα προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν κάτω από τη γραμμή. Να τι πρέπει να κάνετε: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Αυτό είναι το δεκαδικό ισοδύναμο του δυαδικού αριθμού 10011011.

Γράψτε την απάντηση μαζί με δείκτη ίσο με το σύστημα αριθμών.Τώρα το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να γράψετε 155 10 για να δείξετε ότι εργάζεστε με μια δεκαδική απάντηση, η οποία αναφέρεται σε δυνάμεις του δέκα. Όσο περισσότερο μετατρέπετε δυαδικούς αριθμούς σε δεκαδικούς, τόσο πιο εύκολο θα είναι για σας να θυμάστε τις δυνάμεις του δύο και τόσο πιο γρήγορα θα μπορείτε να ολοκληρώσετε την εργασία.

Χρησιμοποιήστε αυτή τη μέθοδο για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό με δεκαδικό ψηφίο σε δεκαδική μορφή.Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο ακόμη και αν θέλετε να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό όπως το 1,1 2 σε δεκαδικό. Το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε είναι ότι ο αριθμός στην αριστερή πλευρά του δεκαδικού είναι ένας κανονικός αριθμός και ο αριθμός στη δεξιά πλευρά του δεκαδικού είναι ο "μισός" αριθμός, ή 1 x (1/2).

Το "1" στα αριστερά του δεκαδικού αριθμού αντιστοιχεί στο 2 0, ή στο 1. Το 1 στα δεξιά του δεκαδικού αριθμού αντιστοιχεί στο 2 -1, ή.5. Προσθέστε 1 και 0,5 και παίρνετε 1,5, που είναι το δεκαδικό ισοδύναμο του 1,1 2.

Γεια σας, επισκέπτης του ιστότοπου! Συνεχίζουμε να μελετάμε το πρωτόκολλο επιπέδου δικτύου IP, και για να είμαστε πιο ακριβείς, την έκδοση IPv4. Με μια πρώτη ματιά το θέμα δυαδικοί αριθμοί και δυαδικό σύστημα αριθμώνδεν έχει καμία σχέση με το πρωτόκολλο IP, αλλά αν θυμηθούμε ότι οι υπολογιστές λειτουργούν με μηδενικά και ένα, τότε αποδεικνύεται ότι το δυαδικό σύστημα και η κατανόησή του είναι η βάση των θεμελιωδών αρχών, χρειαζόμαστε μάθετε να μετατρέπετε αριθμούς από δυαδικούς σε δεκαδικούςκαι αντίστροφα: δεκαδικό έως δυαδικό. Αυτό θα μας βοηθήσει να κατανοήσουμε καλύτερα το πρωτόκολλο IP, καθώς και την αρχή λειτουργίας των μασκών δικτύου μεταβλητού μήκους. Ας αρχίσουμε!

Εάν το θέμα των δικτύων υπολογιστών σας ενδιαφέρει, μπορείτε να διαβάσετε άλλες ηχογραφήσεις μαθημάτων.

4.4.1 Εισαγωγή

Πριν ξεκινήσουμε, αξίζει να εξηγήσουμε γιατί ένας μηχανικός δικτύου χρειάζεται αυτό το θέμα. Αν και μπορούσατε να πειστείτε για την αναγκαιότητά του όταν μιλήσαμε, μπορείτε να πείτε ότι υπάρχουν αριθμομηχανές IP που διευκολύνουν σημαντικά την εκχώρηση διευθύνσεων IP, τον υπολογισμό των απαραίτητων μασκών υποδικτύου/δικτύου και τον προσδιορισμό του αριθμού δικτύου και του αριθμού κεντρικού υπολογιστή στη διεύθυνση IP. Αυτό είναι σωστό, αλλά ο υπολογιστής IP δεν είναι πάντα διαθέσιμος, αυτός είναι ο νούμερο ένα λόγος. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι στις εξετάσεις της Cisco δεν θα σου δώσουν αριθμομηχανή IP και τέλος. θα πρέπει να κάνετε τη μετατροπή των διευθύνσεων IP από δεκαδική σε δυαδική σε ένα κομμάτι χαρτί, και δεν υπάρχουν τόσο λίγες ερωτήσεις όπου αυτό απαιτείται στις εξετάσεις/εξετάσεις για την απόκτηση του πιστοποιητικού CCNA, θα ήταν κρίμα αν η εξέταση αποτύγχανε λόγω μιας τέτοιας μικροσκοπίας. Και τέλος, η κατανόηση του δυαδικού συστήματος αριθμών οδηγεί σε καλύτερη κατανόηση της αρχής της λειτουργίας.

Γενικά, ένας μηχανικός δικτύου δεν απαιτείται να μπορεί να μετατρέπει αριθμούς από δυαδικούς σε δεκαδικούς και αντίστροφα στο κεφάλι του. Επιπλέον, σπάνια κάποιος ξέρει πώς να το κάνει αυτό διανοητικά· οι δάσκαλοι διαφόρων μαθημάτων σε δίκτυα υπολογιστών εμπίπτουν κυρίως σε αυτήν την κατηγορία, καθώς το συναντούν συνεχώς καθημερινά. Αλλά με ένα κομμάτι χαρτί και ένα στυλό, θα πρέπει να μάθετε πώς να μεταφράζετε.

4.4.2 Δεκαδικά ψηφία και αριθμοί, ψηφία σε αριθμούς

Ας ξεκινήσουμε απλά και ας μιλήσουμε για δυαδικά ψηφία και αριθμούς, ξέρετε ότι οι αριθμοί και οι αριθμοί είναι δύο διαφορετικά πράγματα. Ένας αριθμός είναι ένα ειδικό σύμβολο για τον προσδιορισμό και ένας αριθμός είναι ένας αφηρημένος συμβολισμός για την ποσότητα. Για παράδειγμα, για να σημειώσουμε ότι έχουμε πέντε δάχτυλα στο χέρι μας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ρωμαϊκούς και αραβικούς αριθμούς: V και 5. Στην περίπτωση αυτή, το πέντε είναι και αριθμός και ψηφίο. Και, για παράδειγμα, για να γράψουμε τον αριθμό 20 χρησιμοποιούμε δύο ψηφία: 2 και 0.

Συνολικά, στο δεκαδικό σύστημα αριθμών έχουμε δέκα ψηφία ή δέκα σύμβολα (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), συνδυάζοντας τα οποία μπορούμε να γράψουμε διαφορετικούς αριθμούς. Με ποια αρχή καθοδηγούμαστε όταν χρησιμοποιούμε το σύστημα δεκαδικών αριθμών; Ναι, όλα είναι πολύ απλά, ανεβάζουμε δέκα σε μια ή την άλλη δύναμη, για παράδειγμα, ας πάρουμε τον αριθμό 321. Πώς μπορεί να γραφτεί διαφορετικά, όπως αυτό: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Έτσι, αποδεικνύεται ότι ο αριθμός 321 αντιπροσωπεύει τρία ψηφία:

Ο αριθμός 3 σημαίνει το πιο σημαντικό μέρος ή σε αυτήν την περίπτωση είναι το μέρος των εκατοντάδων, διαφορετικά ο αριθμός τους.
Ο αριθμός 2 βρίσκεται στη θέση των δεκάδων, έχουμε δύο δεκάδες.
Ο αριθμός ένα αναφέρεται στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο.

Δηλαδή, σε αυτό το λήμμα ένα δύο δεν είναι απλώς ένα δύο, αλλά δύο δεκάδες ή δύο επί δέκα. Και το τρία δεν είναι μόνο τρία, αλλά τρεις φορές εκατό. Λαμβάνεται η ακόλουθη εξάρτηση: η μονάδα κάθε επόμενου ψηφίου είναι δέκα φορές μεγαλύτερη από τη μονάδα του προηγούμενου, επειδή το 300 είναι τρεις φορές το εκατό. Μια παρέκκλιση σχετικά με το σύστημα δεκαδικών αριθμών ήταν απαραίτητη για να καταστεί ευκολότερη η κατανόηση του δυαδικού συστήματος.

4.4.3 Δυαδικά ψηφία και αριθμοί, καθώς και η καταγραφή τους

Υπάρχουν μόνο δύο ψηφία στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 0 και 1. Επομένως, η εγγραφή ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα είναι συχνά πολύ μεγαλύτερη από ό,τι στο δεκαδικό σύστημα. Με εξαίρεση τους αριθμούς 0 και 1, το μηδέν στο δυαδικό σύστημα αριθμών είναι ίσο με το μηδέν στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και το ίδιο ισχύει για το ένα. Μερικές φορές, για να μην συγχέεται σε ποιο σύστημα αριθμών είναι γραμμένος ο αριθμός, χρησιμοποιούνται υποδείκτες: 267 10, 10100 12, 4712 8. Ο αριθμός στον υποευρετήριο υποδεικνύει το σύστημα αριθμών.

Τα σύμβολα 0b και &(συμβολικό) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εγγραφή δυαδικών αριθμών: 0b10111, &111. Εάν στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, για να προφέρουμε τον αριθμό 245 χρησιμοποιούμε αυτήν την κατασκευή: διακόσια σαράντα πέντε, τότε στο δυαδικό σύστημα αριθμών, για να ονομάσουμε τον αριθμό, πρέπει να προφέρουμε ένα ψηφίο από κάθε ψηφίο, για παράδειγμα, το Ο αριθμός 1100 στο δυαδικό σύστημα αριθμών δεν πρέπει να προφέρεται ως χίλια εκατό, αλλά σαν ένα, ένα, μηδέν, μηδέν. Ας δούμε πώς γράφουμε τους αριθμούς από το 0 έως το 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών:

Νομίζω ότι η λογική πρέπει να είναι ξεκάθαρη μέχρι τώρα. Εάν στο σύστημα δεκαδικών αριθμών για κάθε ψηφίο είχαμε δέκα διαθέσιμες επιλογές (από το 0 έως το 9 συμπεριλαμβανομένων), τότε στο δυαδικό σύστημα αριθμών σε καθένα από τα ψηφία ενός δυαδικού αριθμού έχουμε μόνο δύο επιλογές: 0 ή 1.

Για να δουλέψουμε με διευθύνσεις IP και μάσκες υποδικτύου, χρειαζόμαστε μόνο φυσικούς αριθμούς στο δυαδικό σύστημα αριθμών, αν και το δυαδικό σύστημα μας επιτρέπει να γράφουμε κλασματικούς και αρνητικούς αριθμούς, αλλά δεν το χρειαζόμαστε αυτό.

4.4.4 Μετατροπή αριθμών από δεκαδικό σε δυαδικό

Ας ρίξουμε μια καλύτερη ματιά σε αυτό πώς να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε δυαδικό. Και εδώ όλα είναι πραγματικά πολύ, πολύ απλά, αν και είναι δύσκολο να το εξηγήσω με λόγια, οπότε θα το δώσω αμέσως παράδειγμα μετατροπής αριθμών από δεκαδικό σε δυαδικό. Ας πάρουμε τον αριθμό 61, για να μετατρέψουμε στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρέσουμε αυτόν τον αριθμό με δύο και να δούμε ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Και το αποτέλεσμα της διαίρεσης διαιρείται πάλι με δύο. Σε αυτήν την περίπτωση, το 61 είναι το μέρισμα, θα έχουμε πάντα ως διαιρέτη το δύο και διαιρούμε ξανά το πηλίκο (το αποτέλεσμα της διαίρεσης) με το δύο, συνεχίζουμε τη διαίρεση έως ότου το πηλίκο περιέχει 1, αυτή η τελευταία μονάδα θα είναι το αριστερό ψηφίο . Η παρακάτω εικόνα το δείχνει αυτό.

Σημειώστε ότι ο αριθμός 61 δεν είναι 101111, αλλά 111101, δηλαδή γράφουμε το αποτέλεσμα από το τέλος. Ειδικότερα στο τελευταίο, δεν έχει νόημα η διαίρεση ενός προς δύο, αφού σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιείται διαίρεση ακέραιου αριθμού και με αυτήν την προσέγγιση προκύπτει όπως στο Σχήμα 4.4.2.

Αυτός δεν είναι ο πιο γρήγορος τρόπος για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δυαδικό σε δεκαδικό.. Έχουμε αρκετούς επιταχυντές. Για παράδειγμα, ο αριθμός 7 στο δυαδικό σύστημα γράφεται ως 111, ο αριθμός 3 ως 11 και ο αριθμός 255 ως 11111111. Όλες αυτές οι περιπτώσεις είναι απίστευτα απλές. Το γεγονός είναι ότι οι αριθμοί 8, 4 και 256 είναι δυνάμεις του δύο και οι αριθμοί 7, 3 και 255 είναι ένα λιγότερο από αυτούς τους αριθμούς. Έτσι, για αριθμούς που είναι κατά ένα μικρότεροι από έναν αριθμό ίσο με δύναμη δύο, ισχύει ένας απλός κανόνας: στο δυαδικό σύστημα, ένας τέτοιος δεκαδικός αριθμός γράφεται ως αριθμός μονάδων ίσος με δύναμη δύο. Έτσι, για παράδειγμα, ο αριθμός 256 είναι δύο στην όγδοη δύναμη, επομένως, το 255 γράφεται ως 11111111 και ο αριθμός 8 είναι δύο στην τρίτη δύναμη, και αυτό μας λέει ότι το 7 στο δυαδικό σύστημα αριθμών θα γραφτεί ως 111 Λοιπόν, καταλάβετε, πώς να γράψετε 256, 4 και 8 στο δυαδικό σύστημα αριθμών δεν είναι επίσης δύσκολο, απλά προσθέστε ένα: 256 = 11111111 + 1 = 100000000. 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Μπορείτε να ελέγξετε οποιοδήποτε από τα αποτελέσματά σας σε μια αριθμομηχανή και είναι καλύτερα να το κάνετε στην αρχή.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν έχουμε ξεχάσει ακόμη πώς να χωρίζουμε. Και τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε.

4.4.5 Μετατροπή αριθμών από δυαδικό σε δεκαδικό

Η μετατροπή αριθμών από δυαδικό είναι πολύ πιο εύκολη από τη μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό. Ως παράδειγμα μετάφρασης, θα χρησιμοποιήσουμε τον αριθμό 11110. Προσέξτε τον παρακάτω πίνακα, δείχνει την ισχύ στην οποία πρέπει να σηκώσετε δύο για να λάβετε τελικά έναν δεκαδικό αριθμό.

Για να λάβετε έναν δεκαδικό αριθμό από αυτόν τον δυαδικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε αριθμό στο ψηφίο με δύο στη δύναμη και, στη συνέχεια, να προσθέσετε τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού, είναι πιο εύκολο να δείξετε:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Ας ανοίξουμε την αριθμομηχανή και ας βεβαιωθούμε ότι το 30 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών είναι το 11110 στο δυαδικό.

Βλέπουμε ότι όλα έγιναν σωστά. Από το παράδειγμα είναι ξεκάθαρο ότι Η μετατροπή ενός αριθμού από δυαδικό σε δεκαδικό είναι πολύ πιο εύκολη από τη μετατροπή του πίσω. Για να εργαστείτε με αυτοπεποίθηση, πρέπει απλώς να θυμάστε τις δυνάμεις δύο έως 2 8. Για λόγους σαφήνειας, θα παράσχω έναν πίνακα.

Δεν χρειαζόμαστε περισσότερα, καθώς ο μέγιστος δυνατός αριθμός που μπορεί να γραφτεί σε ένα byte (8 bit ή οκτώ δυαδικές τιμές) είναι 255, δηλαδή σε κάθε οκτάδα της διεύθυνσης IP ή της μάσκας υποδικτύου IPv4, η μέγιστη δυνατή τιμή είναι 255. Υπάρχουν πεδία , στα οποία υπάρχουν τιμές μεγαλύτερες από 255, αλλά δεν χρειάζεται να τις υπολογίσουμε.

4.4.6 Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός δυαδικών αριθμών και άλλες πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Ας δούμε τώρα πράξεις που μπορούν να εκτελεστούν σε δυαδικούς αριθμούς. Ας ξεκινήσουμε με απλές αριθμητικές πράξεις και μετά ας προχωρήσουμε στις πράξεις άλγεβρας Boole.

Προσθήκη δυαδικών αριθμών

Η προσθήκη δυαδικών αριθμών δεν είναι τόσο δύσκολη: 1+0 =1; 1+1=0 (θα δώσω μια εξήγηση αργότερα). 0+0=0. Αυτά ήταν απλά παραδείγματα όπου χρησιμοποιήθηκε μόνο ένα ψηφίο, ας δούμε παραδείγματα όπου ο αριθμός των ψηφίων είναι περισσότερα από ένα.
Το 101+1101 στο δεκαδικό σύστημα είναι 5 + 13 = 18. Ας μετρήσουμε σε μια στήλη.

Το αποτέλεσμα επισημαίνεται με πορτοκαλί χρώμα, η αριθμομηχανή λέει ότι υπολογίσαμε σωστά, μπορείτε να το ελέγξετε. Τώρα ας δούμε γιατί συνέβη αυτό, γιατί στην αρχή έγραψα ότι 1+1=0, αλλά αυτό ισχύει για την περίπτωση που έχουμε μόνο ένα ψηφίο, για περιπτώσεις που υπάρχουν περισσότερα από ένα ψηφία, 1+1=10 (ή δύο σε δεκαδικό), το οποίο είναι λογικό.

Στη συνέχεια, δείτε τι συμβαίνει, κάνουμε προσθήκες με ψηφία από δεξιά προς τα αριστερά:

1. 1+1=10, γράψτε μηδέν, και το ένα πηγαίνει στο επόμενο ψηφίο.

2. Στο επόμενο ψηφίο παίρνουμε 0+0+1=1 (αυτή η μονάδα μας ήρθε από το αποτέλεσμα της πρόσθεσης στο βήμα 1).

4. Εδώ έχουμε μονάδα μόνο στον δεύτερο αριθμό, αλλά έχει μεταφερθεί και εδώ, άρα 0+1+1 = 10.

5. Κολλήστε τα όλα μαζί: 10|0|1|0.

Αν είστε τεμπέληδες σε μια στήλη, τότε ας μετρήσουμε ως εξής: 101011+11011 ή 43 + 27 = 70. Τι μπορούμε να κάνουμε εδώ, αλλά ας δούμε, γιατί κανείς δεν μας απαγορεύει να κάνουμε μεταμορφώσεις και να αλλάξουμε τις θέσεις του Οι όροι δεν αλλάζουν το άθροισμα, για το δυαδικό σύστημα αριθμών αυτός ο κανόνας είναι επίσης σχετικός.

101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
100000 + 100000 +110
1000000 + 110.
1000110.

Μπορείτε να ελέγξετε με μια αριθμομηχανή, το 1000110 στο δυαδικό είναι 70 στο δεκαδικό.

Αφαίρεση δυαδικών αριθμών

Άμεσα ένα παράδειγμα αφαίρεσης μονοψήφιων αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών, δεν μιλήσαμε για αρνητικούς αριθμούς, επομένως δεν λαμβάνουμε υπόψη το 0-1: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Εάν υπάρχουν περισσότερα από ένα ψηφία, τότε όλα είναι επίσης απλά, δεν χρειάζεστε καν στήλες ή κόλπα: 110111 – 1000, αυτό είναι το ίδιο με 55 – 8. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 101111. Και η καρδιά σταμάτησε να χτυπά, από πού προέρχεται η μονάδα στο τρίτο ψηφίο (αριθμώντας από αριστερά προς τα δεξιά και ξεκινώντας από το μηδέν); Είναι απλό! Στο δεύτερο ψηφίο του αριθμού 110111 υπάρχει το 0 και στο πρώτο ψηφίο υπάρχει το 1 (αν υποθέσουμε ότι η αρίθμηση των ψηφίων ξεκινά από το 0 και πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά), αλλά η μονάδα του τέταρτου ψηφίου προκύπτει από προσθέτοντας δύο μονάδες του τρίτου ψηφίου (παίρνετε ένα είδος εικονικού δύο) και από αυτό για δύο αφαιρούμε ένα, το οποίο βρίσκεται στο μηδενικό ψηφίο του αριθμού 1000, και 2 - 1 = 1, και το 1 είναι έγκυρο ψηφίο στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Πολλαπλασιασμός δυαδικών αριθμών

Μένει να εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό των δυαδικών αριθμών, ο οποίος υλοποιείται μετατοπίζοντας ένα bit προς τα αριστερά. Αλλά πρώτα, ας δούμε τα αποτελέσματα του μονοψήφιου πολλαπλασιασμού: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Στην πραγματικότητα, όλα είναι απλά, τώρα ας δούμε κάτι πιο σύνθετο. Ας πάρουμε τους αριθμούς 101001 (41) και 1100 (12). Θα πολλαπλασιάσουμε με στήλη.

Εάν δεν είναι σαφές από τον πίνακα πώς συνέβη αυτό, τότε θα προσπαθήσω να εξηγήσω με λόγια:

Είναι βολικό να πολλαπλασιάζουμε δυαδικούς αριθμούς σε μια στήλη, επομένως γράφουμε τον δεύτερο παράγοντα κάτω από τον πρώτο· εάν οι αριθμοί έχουν διαφορετικούς αριθμούς ψηφίων, θα είναι πιο βολικό εάν ο μεγαλύτερος αριθμός βρίσκεται στην κορυφή.
Το επόμενο βήμα είναι να πολλαπλασιάσουμε όλα τα ψηφία του πρώτου αριθμού με το χαμηλότερο ψηφίο του δεύτερου αριθμού. Γράφουμε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού παρακάτω· πρέπει να το γράψουμε έτσι ώστε κάτω από κάθε αντίστοιχο ψηφίο να γράφεται το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού.
Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε όλα τα ψηφία του πρώτου αριθμού με το επόμενο ψηφίο του δεύτερου αριθμού και να γράψουμε το αποτέλεσμα μία ακόμη γραμμή παρακάτω, αλλά αυτό το αποτέλεσμα πρέπει να μετακινηθεί ένα ψηφίο προς τα αριστερά. Αν κοιτάξετε τον πίνακα, αυτό είναι η δεύτερη ακολουθία μηδενικών από την κορυφή.
Το ίδιο πρέπει να κάνετε και για τα επόμενα ψηφία, κάθε φορά μετακινώντας ένα ψηφίο προς τα αριστερά, και αν κοιτάξετε τον πίνακα, μπορείτε να πείτε ότι ένα κελί προς τα αριστερά.
Έχουμε τέσσερις δυαδικούς αριθμούς που τώρα πρέπει να προσθέσουμε και να πάρουμε το αποτέλεσμα. Πρόσφατα εξετάσαμε την προσθήκη, δεν θα έπρεπε να υπάρχουν προβλήματα.

Γενικά, η λειτουργία πολλαπλασιασμού δεν είναι τόσο δύσκολη, απλά χρειάζεται λίγη εξάσκηση.

Πράξεις Boolean Algebra

Υπάρχουν δύο πολύ σημαντικές έννοιες στην άλγεβρα Boole: true και false, το ισοδύναμο των οποίων είναι μηδέν και ένα στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Οι τελεστές άλγεβρας Boole επεκτείνουν τον αριθμό των διαθέσιμων τελεστών σε αυτές τις τιμές, ας τους ρίξουμε μια ματιά.

Λογική λειτουργία ΚΑΙ ή AND

Η λειτουργία Logical AND ή AND είναι ισοδύναμη με τον πολλαπλασιασμό μονοψήφιων δυαδικών αριθμών.

1 ΚΑΙ 1 = 1; 1 ΚΑΙ 0 = 1; 0 ΚΑΙ 0 = 0; 0 ΚΑΙ 1 = 0.

1 ΚΑΙ 1 = 1 ;

1 ΚΑΙ 0 = 1 ;

0 ΚΑΙ 0 = 0 ;

0 ΚΑΙ 1 = 0.

Το αποτέλεσμα του "Λογικό ΚΑΙ" θα είναι ένα μόνο εάν και οι δύο τιμές είναι ίσες με ένα, σε όλες τις άλλες περιπτώσεις θα είναι μηδέν.

Λειτουργία "Logical OR" ή OR

Η λειτουργία "Logical OR" ή OR λειτουργεί με την ακόλουθη αρχή: εάν τουλάχιστον μία τιμή είναι ίση με μία, τότε το αποτέλεσμα θα είναι μία.

1 Ή 1 = 1; 1 Ή 0 = 1; 0 Ή 1 = 1; 0 Ή 0 = 0.

1 Ή 1 = 1 ;

1 Ή 0 = 1 ;

0 Ή 1 = 1 ;

0 Ή 0 = 0.

Αποκλειστική λειτουργία OR ή XOR

Η πράξη "Αποκλειστικό OR" ή XOR θα μας δώσει αποτέλεσμα ενός μόνο εάν ένας από τους τελεστές είναι ίσος με ένα και ο δεύτερος ίσος με μηδέν. Αν και οι δύο τελεστές είναι ίσοι με μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν και ακόμη και αν και οι δύο τελεστές είναι ίσοι με ένα, το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν.