Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Expresii matriceale

Și acum va exista o continuare a subiectului, în care vom lua în considerare nu numai material nou, ci și vom lucra operatii cu matrici.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice

Există destul de multe proprietăți care se referă la operațiuni cu matrice, în aceeași Wikipedia puteți admira rândurile ordonate ale regulilor corespunzătoare. Cu toate acestea, în practică, multe proprietăți sunt într-un anumit sens „moarte”, deoarece doar câteva dintre ele sunt folosite în rezolvarea problemelor reale. Scopul meu este să mă uit la aplicarea practică a proprietăților cu exemple specifice, iar dacă aveți nevoie de o teorie riguroasă, vă rugăm să folosiți o altă sursă de informații.

Să ne uităm la unele excepții de la regulă, care vor fi necesare pentru îndeplinirea sarcinilor practice.

Dacă o matrice pătrată are matrice inversă, atunci înmulțirea lor este comutativă:

Matrice de identitate se numeşte matrice pătrată a cărei diagonala principală unitățile sunt localizate, iar elementele rămase sunt egale cu zero. De exemplu: , etc.

în care următoarea proprietate este adevărată: dacă se înmulțește o matrice arbitrară stanga sau dreapta pe o matrice de identitate de dimensiuni adecvate, atunci rezultatul va fi matricea originală:

După cum puteți vedea, aici are loc și comutativitatea înmulțirii matricei.

Să luăm o matrice, ei bine, să spunem, matricea din problema anterioară: .

Cei interesați pot verifica și se pot asigura că:

Matricea unitară pentru matrice este un analog al unității numerice pentru numere, ceea ce este deosebit de clar din exemplele discutate.

Comutativitatea unui factor numeric în raport cu înmulțirea matricei

Pentru matrici și numere reale este valabilă următoarea proprietate:

Adică, factorul numeric poate (și ar trebui) să fie mutat înainte, astfel încât să „nu interfereze” cu matricele de înmulțire.

Notă : în general, formularea proprietății este incompletă - „lambda” poate fi plasată oriunde între matrice, chiar și la sfârșit. Regula rămâne valabilă dacă se înmulțesc trei sau mai multe matrice.

Exemplul 4

Calculați produsul

Soluţie:

(1) După proprietate mutați factorul numeric înainte. Matricele în sine nu pot fi rearanjate!

(2) – (3) Efectuați înmulțirea matricei.

(4) Aici puteți împărți fiecare număr la 10, dar apoi vor apărea fracții zecimale printre elementele matricei, ceea ce nu este bine. Totuși, observăm că toate numerele din matrice sunt divizibile cu 5, așa că înmulțim fiecare element cu .

Răspuns:

O mică șaradă pe care să o rezolvi singur:

Exemplul 5

Calculați dacă

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Ce tehnică tehnică este importantă atunci când rezolvați astfel de exemple? Să ne dăm seama de numere in ultimul rand .

Să atașăm un alt vagon la locomotivă:

Cum se înmulțesc trei matrici?

În primul rând, CARE ar trebui să fie rezultatul înmulțirii a trei matrici? O pisică nu va da naștere unui șoarece. Dacă înmulțirea matricei este fezabilă, atunci rezultatul va fi și o matrice. Hmmm, ei bine, profesorul meu de algebră nu vede cum explic închiderea structurii algebrice în raport cu elementele sale =)

Produsul a trei matrici poate fi calculat în două moduri:

1) găsiți și apoi înmulțiți cu matricea „tse”: ;

2) fie mai întâi găsiți, apoi înmulțiți.

Rezultatele vor coincide cu siguranță, și în teorie această proprietate se numește asociativitatea înmulțirii matriceale:

Exemplul 6

Înmulțiți matrice în două moduri

Algoritm solutiiîn doi pași: găsim produsul a două matrici, apoi din nou găsim produsul a două matrici.

1) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

2) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

Răspuns:

Prima soluție este, desigur, mai familiară și standard, unde „totul pare să fie în ordine”. Apropo, referitor la comanda. În sarcina luată în considerare, apare adesea iluzia că vorbim despre un fel de permutări ale matricilor. Ei nu sunt aici. Vă reamintesc din nou că în general ESTE IMPOSIBIL SA INVERSATI MATRICI. Așadar, în al doilea paragraf din a doua etapă efectuăm înmulțirea, dar în niciun caz nu facem . Cu numere obișnuite, un astfel de număr ar funcționa, dar cu matrice nu ar funcționa.

Proprietatea înmulțirii asociative este adevărată nu numai pentru pătrat, ci și pentru matrici arbitrare - atâta timp cât acestea sunt înmulțite:

Exemplul 7

Aflați produsul a trei matrici

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. În soluția eșantion, calculele sunt efectuate în două moduri, analizează care cale este mai profitabilă și mai scurtă.

Proprietatea de asociativitate a înmulțirii matriceale se aplică și unui număr mai mare de factori.

Acum este momentul să ne întoarcem la puterile matricelor. Pătratul matricei este luat în considerare chiar de la început, iar întrebarea de pe ordinea de zi este:

Cum se cubează o matrice și puteri mai mari?

Aceste operații sunt, de asemenea, definite numai pentru matrice pătrată. Pentru a cuba o matrice pătrată, trebuie să calculați produsul:

De fapt, acesta este un caz special de înmulțire a trei matrici, conform proprietății de asociativitate a înmulțirii matricelor: . Și o matrice înmulțită cu ea însăși este pătratul matricei:

Astfel, obținem formula de lucru:

Adică, sarcina este efectuată în doi pași: mai întâi, matricea trebuie să fie pătrată, iar apoi matricea rezultată trebuie înmulțită cu matricea.

Exemplul 8

Construiți matricea într-un cub.

Aceasta este o mică problemă de rezolvat singur.

Ridicarea unei matrice la a patra putere se realizează într-un mod natural:

Folosind asociativitatea înmulțirii matriceale, obținem două formule de lucru. În primul rând: – acesta este produsul a trei matrici.

1) . Cu alte cuvinte, mai întâi găsim , apoi îl înmulțim cu „fi” - obținem un cub și, în sfârșit, efectuăm din nou înmulțirea - va exista o a patra putere.

2) Dar există o soluție cu un pas mai scurtă: . Adică, în primul pas găsim un pătrat și, ocolind cubul, efectuăm înmulțirea

Sarcină suplimentară pentru Exemplul 8:

Ridicați matricea la a patra putere.

După cum tocmai am menționat, acest lucru se poate face în două moduri:

1) Deoarece cubul este cunoscut, atunci efectuăm înmulțirea.

2) Totuși, dacă în funcție de condițiile problemei se cere construirea unei matrice numai la a patra putere, atunci este avantajos să scurtați calea - găsiți pătratul matricei și utilizați formula.

Ambele soluții și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În mod similar, matricea este ridicată la a cincea și la puterile superioare. Din experiența practică pot spune că uneori dau peste exemple de ridicare la puterea a 4-a, dar nu-mi amintesc nimic despre puterea a cincea. Dar pentru orice eventualitate, voi da algoritmul optim:

1) găsiți;
2) găsi ;
3) ridică matricea la puterea a cincea: .

Acestea sunt, probabil, toate proprietățile de bază ale operațiilor cu matrice care pot fi utile în probleme practice.

În a doua secțiune a lecției, este așteptată o mulțime la fel de colorată.

Expresii matriceale

Să repetăm ​​expresiile școlare obișnuite cu numere. O expresie numerică constă din numere, simboluri matematice și paranteze, de exemplu: . Când se calculează, se aplică prioritatea algebrică familiară: mai întâi, paranteze, apoi executat exponentiare/înrădăcinare, Apoi înmulțire/împărțireși nu în ultimul rând - adunare/scădere.

Dacă o expresie numerică are sens, atunci rezultatul evaluării sale este un număr, De exemplu:

Expresii matriceale sunt aranjate aproape la fel! Cu diferența că personajele principale sunt matrici. Plus câteva operații specifice matricei, cum ar fi transpunerea și găsirea inversului unei matrice.

Luați în considerare expresia matriceală , unde sunt unele matrice. În această expresie matriceală, trei termeni și operații de adunare/scădere sunt efectuate ultimii.

În primul termen, trebuie mai întâi să transpuneți matricea „fi”: , apoi efectuați înmulțirea și introduceți „doi” în matricea rezultată. Rețineți că operația de transpunere are prioritate mai mare decât înmulțirea. Parantezele, ca și în expresiile numerice, schimbă ordinea acțiunilor: - aici, se efectuează mai întâi înmulțirea, apoi matricea rezultată este transpusă și înmulțită cu 2.

În al doilea termen, înmulțirea matricei este efectuată mai întâi, iar matricea inversă este găsită din produs. Dacă eliminați parantezele: , atunci trebuie mai întâi să găsiți matricea inversă și apoi să înmulțiți matricele: . Găsirea inversului unei matrice are, de asemenea, prioritate față de înmulțire.

Cu al treilea termen, totul este evident: ridicăm matricea într-un cub și introducem „cinci” în matricea rezultată.

Dacă o expresie matriceală are sens, atunci rezultatul evaluării sale este o matrice.

Toate sarcinile vor fi din teste reale și vom începe cu cele mai simple:

Exemplul 9

Matrici date . Găsi:

Soluţie: Ordinea operațiilor este evidentă, se face mai întâi înmulțirea, apoi adunarea.

Adunarea nu poate fi efectuată deoarece matricele sunt de dimensiuni diferite.

Nu fi surprins; evident că acțiunile imposibile sunt adesea propuse în sarcini de acest tip.

Să încercăm să calculăm a doua expresie:

Totul este bine aici.

Răspuns: acțiunea nu poate fi efectuată, .

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului. Folosind acest serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instrucțiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm pentru găsirea matricei inverse asemănător celui precedent cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, iar apoi se determină matricea aliată C.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
3. Definiția complementelor algebrice.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:

Adunări algebrice. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

Să prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.

1. Aflați determinantul unei matrice pătrate date A.
2. Găsim complemente algebrice la toate elementele matricei A.
3. Scriem adunări algebrice ale elementelor rând în coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.

După cum vedem, operația de transpunere poate fi aplicată atât la început, pe matricea originală, cât și la sfârșit, asupra adunărilor algebrice rezultate.

Un caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.

Aici vom continua subiectul operațiunilor pe matrice începute în prima parte și vom analiza câteva exemple în care mai multe operații vor trebui aplicate simultan.

Ridicarea unei matrice la o putere.

Fie k un întreg nenegativ. Pentru orice matrice pătrată $A_(n\times n)$ avem: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; ori) $$

În acest caz, presupunem că $A^0=E$, unde $E$ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.

Exemplul nr. 4

Dată o matrice $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $A^2$ și $A^6$.

Conform definiției, $A^2=A\cdot A$, adică. pentru a găsi $A^2$ trebuie doar să înmulțim matricea $A$ cu ea însăși. Operația de înmulțire a matricei a fost discutată în prima parte a subiectului, așa că aici vom scrie pur și simplu procesul de rezolvare fără explicații detaliate:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

Pentru a găsi matricea $A^6$ avem două opțiuni. Opțiunea 1: este trivial să continuați înmulțirea $A^2$ cu matricea $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Cu toate acestea, puteți lua o cale puțin mai simplă, folosind proprietatea de asociativitate a înmulțirii matriceale. Să plasăm paranteze în expresia pentru $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Dacă soluția prin prima metodă ar necesita patru operații de înmulțire, atunci a doua metodă ar necesita doar două. Prin urmare, să mergem pe a doua cale:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 și 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 și -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( matrice) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Răspuns: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 și -140 \\ 70 și 239 \end(array) \right)$.

Exemplul nr. 5

Matrici date $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (matrice) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ dreapta)$. Găsiți matricea $D=2AB-3C^T+7E$.

Începem să calculăm matricea $D$ prin găsirea rezultatului produsului $AB$. Matricele $A$ și $B$ pot fi înmulțite, deoarece numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$. Să notăm $F=AB$. În acest caz, matricea $F$ va avea trei coloane și trei rânduri, adică. va fi pătrat (dacă această concluzie nu pare evidentă, vezi descrierea înmulțirii matricelor din prima parte a acestui subiect). Să găsim matricea $F$ calculând toate elementele sale:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(matrice) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(matrice) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(aliniat) $$

Deci $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Să mergem mai departe. Matricea $C^T$ este matricea transpusă pentru matricea $C$, adică. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. În ceea ce privește matricea $E$, este matricea identității. În acest caz, ordinea acestei matrice este de trei, adică. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

În principiu, putem continua să mergem pas cu pas, dar este mai bine să luăm în considerare expresia rămasă ca un întreg, fără a fi distras de acțiuni auxiliare. De fapt, ne rămân doar operațiile de înmulțire a matricelor cu un număr, precum și operațiile de adunare și scădere.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ dreapta)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Să înmulțim matricele din partea dreaptă a egalității cu numerele corespunzătoare (adică cu 2, 3 și 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 și 7 \end(array) \right) $$

Să facem ultimii pași: scădere și adunare:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (matrice) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(matrice) \right). $$

Problemă rezolvată, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Răspuns: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

Exemplul nr. 6

Fie $f(x)=2x^2+3x-9$ și matricea $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Aflați valoarea lui $f(A)$.

Dacă $f(x)=2x^2+3x-9$, atunci $f(A)$ este înțeles ca matrice:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Așa este definit un polinom dintr-o matrice. Deci, trebuie să înlocuim matricea $A$ în expresia pentru $f(A)$ și să obținem rezultatul. Deoarece toate acțiunile au fost discutate în detaliu mai devreme, aici voi da pur și simplu soluția. Dacă procesul de efectuare a operației $A^2=A\cdot A$ nu vă este clar, atunci vă sfătuiesc să priviți descrierea înmulțirii matricelor din prima parte a acestui subiect.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 și 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 și 1 \\ 5 și 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Răspuns: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

Trebuie remarcat faptul că pentru această operație pot fi folosite numai matrici pătrate. Un număr egal de rânduri și coloane este o condiție prealabilă pentru ridicarea unei matrice la o putere. În timpul calculului, matricea va fi înmulțită cu ea însăși de numărul necesar de ori.

Acest calculator online este conceput pentru a efectua operația de ridicare a unei matrice la o putere. Datorită utilizării sale, nu numai că veți face față rapid acestei sarcini, dar veți obține și o idee clară și detaliată a progresului calculului în sine. Acest lucru va ajuta la consolidarea mai bună a materialului obținut în teorie. După ce ați văzut un algoritm de calcul detaliat în fața dvs., veți înțelege mai bine toate subtilitățile acestuia și, ulterior, veți putea evita greșelile în calculele manuale. În plus, nu strică niciodată să-ți verifici calculele, iar acest lucru este cel mai bine făcut aici.

Pentru a ridica o matrice la o putere online, veți avea nevoie de o serie de pași simpli. Mai întâi de toate, specificați dimensiunea matricei făcând clic pe pictogramele „+” sau „-” din stânga acesteia. Apoi introduceți numerele în câmpul matricei. De asemenea, trebuie să indicați puterea la care este ridicată matricea. Și apoi tot ce trebuie să faceți este să faceți clic pe butonul „Calculați” din partea de jos a câmpului. Rezultatul obținut va fi de încredere și precis dacă ați introdus cu atenție și corect toate valorile. Împreună cu acesta, vi se va furniza o transcriere detaliată a soluției.

Algebră liniară pentru manechine

Pentru a studia algebra liniară, puteți citi și aprofunda în cartea „Matrici și determinanți” de I. V. Belousov. Cu toate acestea, este scris într-un limbaj matematic strict și sec, ceea ce este greu de perceput pentru persoanele cu inteligență medie. De aceea, am făcut o repovestire a părților cele mai greu de înțeles ale acestei cărți, încercând să prezint materialul cât mai clar, folosind cât mai mult desene. Am omis demonstrațiile teoremelor. Sincer, nu le-am aprofundat eu însumi. Îl cred pe domnul Belousov! Judecând după munca sa, este un matematician competent și inteligent. Puteți descărca cartea lui de la http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Dacă aveți de gând să vă aprofundați în munca mea, trebuie să faceți acest lucru, pentru că mă voi referi adesea la Belousov.

Să începem cu definiții. Ce este o matrice? Acesta este un tabel dreptunghiular de numere, funcții sau expresii algebrice. De ce sunt necesare matrici? Ele facilitează foarte mult calculele matematice complexe. Matricea poate avea rânduri și coloane (Fig. 1).

Rândurile și coloanele sunt numerotate începând din stânga

de sus (Fig. 1-1). Când spun: o matrice de mărimea m n (sau m cu n), înseamnă m număr de linii, și sub n număr de coloane. De exemplu, matricea din Figura 1-1 este 4 cu 3, nu 3 cu 4.

Uită-te la fig. 1-3, ce matrici sunt acolo. Dacă o matrice este formată dintr-un rând, se numește matrice de rând, iar dacă este formată dintr-o coloană, atunci se numește matrice coloană. O matrice se numește pătrat de ordinul n dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane și egal cu n. Dacă toate elementele unei matrice sunt zero, atunci aceasta este o matrice zero. O matrice pătrată se numește diagonală dacă toate elementele sale sunt egale cu zero, cu excepția celor situate pe diagonala principală.

Voi explica imediat care este diagonala principală. Numerele rândurilor și coloanelor de pe el sunt aceleași. Merge de la stânga la dreapta de sus în jos. (Fig. 3) Elementele se numesc diagonală dacă sunt situate pe diagonala principală. Dacă toate elementele diagonale sunt egale cu unu (și restul sunt egale cu zero), matricea se numește identitate. Se spune că două matrici A și B de aceeași dimensiune sunt egale dacă toate elementele lor sunt aceleași.

2 Operații pe matrici și proprietățile acestora

Produsul unei matrice și al unui număr x este o matrice de aceeași dimensiune. Pentru a obține acest produs, trebuie să înmulțiți fiecare element cu acest număr (Figura 4). Pentru a obține suma a două matrice de aceeași dimensiune, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare (Fig. 4). Pentru a obține diferența A - B a două matrice de aceeași dimensiune, trebuie să înmulțiți matricea B cu -1 și să adăugați matricea rezultată cu matricea A (Fig. 4). Pentru operațiile pe matrice sunt valabile următoarele proprietăți: A+B=B+A (proprietatea comutativității).

(A + B)+C = A+(B + C) (proprietate de asociativitate). Mai simplu spus, schimbarea locurilor termenilor nu schimbă suma. Următoarele proprietăți se aplică operațiilor pe matrice și numere:

(Notați numerele cu literele x și y, iar matricele cu literele A și B) x(yA)=(xy)A

Aceste proprietăți sunt similare cu proprietățile care se aplică operațiilor pe numere. Uite

exemple din Figura 5. Vezi și exemplele 2.4 - 2.6 din Belousov la pagina 9.

Înmulțirea matricei.

Înmulțirea a două matrice este definită numai dacă (tradus în rusă: matricele pot fi înmulțite numai dacă) atunci când numărul de coloane din prima matrice din produs este egal cu numărul de rânduri din a doua (Fig. 7, mai sus, paranteze albastre). Pentru a vă ajuta să vă amintiți: numărul 1 este mai mult ca o coloană. Rezultatul înmulțirii este o matrice de mărime (vezi Figura 6). Pentru a ne aminti mai ușor ce trebuie înmulțit cu ce, propun următorul algoritm: uitați-vă la Figura 7. Înmulțiți matricea A cu matricea B.

matricea A două coloane,

Matricea B are două rânduri - puteți înmulți.

1) Să ne ocupăm de prima coloană a matricei B (este singura pe care o are). Scriem această coloană într-o linie (transpune

coloana despre transpunere de mai jos).

2) Copiem această linie astfel încât să obținem o matrice de dimensiunea matricei A.

3) Înmulțim elementele acestei matrice cu elementele corespunzătoare ale matricei A.

4) Adunăm produsele rezultate în fiecare linie și obținem o matrice de produse de două rânduri și o coloană.

Figura 7-1 prezintă exemple de matrice de înmulțire care sunt mai mari ca dimensiune.

1) Aici prima matrice are trei coloane, ceea ce înseamnă că a doua trebuie să aibă trei rânduri. Algoritmul este exact același ca în exemplul anterior, doar că aici sunt trei termeni în fiecare linie, nu doi.

2) Aici a doua matrice are două coloane. Mai întâi executăm algoritmul cu prima coloană, apoi cu a doua și obținem o matrice două câte două.

3) Aici a doua matrice are o coloană formată dintr-un element, coloana nu se va modifica datorită transpunerii. Și nu este nevoie să adăugați nimic, deoarece prima matrice are o singură coloană. Efectuăm algoritmul de trei ori și obținem o matrice de trei câte trei.

Următoarele proprietăți au loc:

1. Dacă există suma B + C și produsul AB, atunci A (B + C) = AB + AC

2. Dacă produsul AB există, atunci x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Dacă produsele AB și BC există, atunci A (BC) = (AB) C.

Dacă produsul matriceal AB există, atunci produsul matriceal BA poate să nu existe. Chiar dacă produsele AB și BA există, ele se pot dovedi a fi matrici de dimensiuni diferite.

Ambele produse AB și BA există și sunt matrici de aceeași dimensiune numai în cazul matricelor pătrate A și B de același ordin. Cu toate acestea, chiar și în acest caz, AB poate să nu fie egal cu BA.

Exponentiație

Ridicarea unei matrice la o putere are sens doar pentru matrice pătrată (vă gândiți de ce?). Atunci puterea întreagă pozitivă m a matricei A este produsul dintre m matrice egal cu A. La fel ca și pentru numere. Prin gradul zero al unei matrice pătrate A înțelegem o matrice de identitate de același ordin ca A. Dacă ați uitat ce este o matrice de identitate, priviți Fig. 3.

La fel ca în cazul numerelor, sunt valabile următoarele relații:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Vezi exemple de la Belousov la pagina 20.

Matrici de transpunere

Transpunerea este transformarea matricei A în matricea AT,

în care rândurile matricei A sunt scrise pe coloanele AT menținând ordinea. (Fig. 8). Poți spune altfel:

Coloanele matricei A sunt scrise în rândurile matricei AT, păstrând ordinea. Observați cum transpunerea modifică dimensiunea matricei, adică numărul de rânduri și coloane. De asemenea, rețineți că elementele de pe primul rând, prima coloană și ultimul rând, ultima coloană rămân pe loc.

Următoarele proprietăți sunt valabile: (AT )T =A (transpun

matrice de două ori - obțineți aceeași matrice)

(xA)T =xAT (prin x înțelegem un număr, prin A, desigur, o matrice) (dacă trebuie să înmulțiți o matrice cu un număr și să transpuneți, puteți mai întâi să înmulțiți, apoi să transpuneți sau invers )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Matrici simetrice și antisimetrice

Figura 9, stânga sus, prezintă o matrice simetrică. Elementele sale, simetrice față de diagonala principală, sunt egale. Și acum definiția: matrice pătrată

A se numește simetric dacă AT =A. Adică, o matrice simetrică nu se schimbă atunci când este transpusă. În special, orice matrice diagonală este simetrică. (O astfel de matrice este prezentată în Fig. 2).

Acum uitați-vă la matricea antisimetrică (Fig. 9, mai jos). Cum diferă de simetric? Rețineți că toate elementele sale diagonale sunt zero. Matricele antisimetrice au toate elementele diagonale egale cu zero. Gândește-te de ce? Definiție: O matrice pătrată A se numește

antisimetric dacă AT = -A. Să notăm câteva proprietăți ale operațiilor pe simetric și antisimetric

matrici. 1. Dacă A și B sunt matrice simetrice (antisimetrice), atunci A + B este o matrice simetrică (antisimetrică).

2. Dacă A este o matrice simetrică (antisimetrică), atunci xA este și o matrice simetrică (antisimetrică). (de fapt, dacă înmulțiți matricele din figura 9 cu un anumit număr, simetria va fi încă păstrată)

3. Produsul AB a două matrice simetrice sau două matrice antisimetrice A și B este o matrice simetrică pentru AB = BA și antisimetrică pentru AB =-BA.

4. Dacă A este o matrice simetrică, atunci A m (m = 1, 2, 3, . . .) este o matrice simetrică. În cazul în care o

O matrice antisimetrică, atunci Am (m = 1, 2, 3, ...) este o matrice simetrică pentru m par și antisimetrică pentru impar.

5. O matrice pătrată arbitrară A poate fi reprezentată ca o sumă a două matrice. (să numim aceste matrici, de exemplu A(s) și A(a) )

A=A (s)+A (a)