Metoda grafică geometrică pentru rezolvarea problemelor. Metodă grafică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară

Metoda grafică este destul de simplă și intuitivă pentru rezolvarea problemelor LP cu două variabile. Se bazeaza pe geometric prezentarea soluțiilor fezabile și a TF-urilor problemei.

Fiecare dintre inegalitățile problemei LP determină pe planul de coordonate (X 1 ,X 2 ) un anumit semiplan (fig. 1), iar sistemul de inegalități în ansamblu este intersecția planurilor corespunzătoare. Mulțimea punctelor de intersecție ale acestor semiplane se numește zona de acceptabilasolutii(ODR). ODR reprezintă întotdeauna convex figura, adică având următoarea proprietate: dacă două puncte A și B aparțin acestei figuri, atunci îi aparține întregul segment AB. ODR poate fi reprezentat grafic printr-un poligon convex, o zonă poligonală convexă nelimitată, un segment, o rază sau un punct. În cazul inconsecvenței sistemului de constrângeri ale problemei, ODD-ul este un set gol.

Notă № 1. Toate cele de mai sus se aplică și în cazul în care sistemul de restricții (1.1) include egalități, deoarece orice egalitate

a il x 1 +a i 2 x 2 =b

poate fi reprezentat ca un sistem de două inegalități (Fig. 1)

A i 2 x 2<Ь 1э +a i 2 x 2 >B j.

DF L(x)= c1x1 + c2x2 cu o valoare fixă ​​L(x)=L definește o dreaptă c1x1 pe plan + c2x2 = L. Schimbând valorile lui L, obținem o familie de drepte paralele numite linii de nivel.

Acest lucru se datorează faptului că o modificare a valorii lui L va presupune o modificare numai a lungimii segmentului tăiat de linia de nivel pe axa x2 (ordonată inițială) și a coeficientului unghiular al dreptei tga = -- va rămâne constantă (Fig. 1).

Prin urmare, pentru a o rezolva, va fi suficient să construiți una dintre liniile de nivel, alegând în mod arbitrar valoarea lui L.

Vectorul C = (c1;c2) cu coordonatele din coeficienții CF la x1 și x2 este perpendicular pe fiecare dintre liniile de nivel (vezi Fig. 1). Direcţievectorul C coincide cu direcție crescând TF, care este un punct important pentru rezolvarea problemelor. Direcţie Descendentă CF opusdirecția vectorului C.

Esența metodei grafice este următoarea. În direcția (contra direcției) vectorului C în ODR, se caută punctul optim X = (x1; x2) ). Punctul optim este considerat a fi punctul prin care trece linia de nivel L max (L min), corespunzătoare celei mai mari (mai mici) valori a funcției L(x). Soluția optimă este întotdeauna situată la limita ODD-ului, de exemplu, la ultimul vârf al poligonului ODD prin care va trece linia țintă, sau pe toată latura sa.

Când se caută o soluție optimă pentru problemele LP, sunt posibile următoarele situații: există o soluție unică a problemei; există un număr infinit de soluții (Optium alternativ); TF nu este limitat; regiunea soluțiilor fezabile este un singur punct; problema nu are solutii.

Zona admisibila - semiplan

Poza 1

1.2. Tehnica de rezolvare a problemelor LP folosind metoda grafica

I. În constrângerile problemei, înlocuiți semnele de inegalitate cu semne de egalitate exacte și construiți liniile drepte corespunzătoare.

II. Găsiți și umbriți semiplanurile permise de fiecare dintre constrângerile de inegalitate ale problemei. Pentru a face acest lucru, înlocuiți coordonatele unui punct [de exemplu, (0;0)] într-o inegalitate specifică și verificați adevărul inegalității rezultate.

Dacă inegalitatea este adevărată, Acea este necesar să umbriți semiplanul care conține acest punct; in caz contrar (inegalitatea este falsă) trebuie să umbrim semiplanul care nu conține punctul dat.

Din moment ce x1 și x2 trebuie să fie nenegative, atunci valorile lor admise vor fi întotdeauna deasupra axei x 1 și în dreapta axei x2, adică. în cadranul 1.

Constrângerile de egalitate permit numai acele puncte care se află pe linia corespunzătoare, așa că evidențiați astfel de linii pe grafic.

Definiți ODR ca o parte a planului care aparține simultan tuturor zonelor permise și selectați-o. În absența ODR, sarcina Nu are solutii, despre care trage concluzia potrivită.

Dacă ODR nu este un set gol, atunci construiți linia țintă, de exemplu. oricare dintre liniile de nivel c 1 x 1 + c 2 x 2 = L, unde L este un număr arbitrar, de exemplu, un multiplu de 1 iar cu 2, i.e. convenabil pentru efectuarea calculelor. Metoda de construcție este similară construcției constrângerilor directe.

V. Construiți un vector C = (c 1,c 2), care începe în punctul (0;0), se termină în punctul (c 1,c 2). Dacă linia țintă și vectorul C sunt construite corect, atunci vor fi perpendicular.

VI. Când căutați CF max, mutați linia țintă in directia vector C, când se caută min CF - împotriva direcției vectorul C. Ultimulîn direcția de mișcare, vârful ODR va fi punctul maxim sau min al CF. Dacă astfel de puncte nu există, atunci trageți o concluzie despre TF nelimitat pentru multe planuri de sus (la căutarea cecului) sau de jos (la căutarea de min).

Determinați coordonatele punctului max (min) TF X = (x1 *; x2 * ) și calculați valoarea CF l(x *). Pentru a calcula coordonatele punctului optim X *, rezolvați sistemul de ecuații de drepte la intersecția căruia este situat X *.

Problema 1

Să găsim soluția optimă a problemei, al cărei model matematic are forma

L(X) = 3x 1 + 2x 2 → max

x 1 + 2x 2< 6, (1)

2x 1 + x 2< 8, (2)

X 1 + x 2<1, (3)

x 2< 2, (4)

x 1 >0, x 2 >0.

Să construim linii de constrângere, pentru care calculăm coordonatele punctelor de intersecție ale acestor drepte cu axele de coordonate (Fig. 2).

x 1 + 2x 2 = 6,(1)

2x1 + x2= 8,(2)

(1) x1=0, x1=6, x2=3, x2=0,

(2) x1=0, x1=4, x2=8, x2=0,

(3) x1=0, x1=-1, x2=1, x2=0,

Linia dreaptă (4) trece prin punctul x 2 = 2 paralel cu axa L(X).

Orez. 2. Rezolvarea grafică a problemei

Să definim ODR. De exemplu, înlocuim punctul (0;0) în constrângerea inițială (3), obținem 0< 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, conținând punctul (0;0), adică situată în dreapta și sub linia dreaptă (3). În mod similar, definim semiplanurile admisibile pentru restul restricțiilor și le indicăm cu săgeți la restricțiile directe corespunzătoare (Fig. 2). Zona generală permisă de toate restricțiile, i.e. ODR este un poligon ABCDEF.

Linia țintă poate fi construită folosind ecuația

Construim vectorul C de la punctul (0;0) la punctul (3;2). Punctul E este ultimul vârf al poligonului soluțiilor fezabile ABCDEF, prin care trece linia țintă, mișcându-se către vector C. Prin urmare E este punctul de maxim CF. Să determinăm coordonatele punctului E din sistemul de ecuații ale constrângerilor directe (1) și (2)

X1 +2x 2 =6, (1) x1=10/3=3 1/3, x2=4/3=1 1/3

2 X1 +x2 =8, (2) E3 1/3; 1 1/3

Valoarea maximă CF este L(E) = 3*10/3+2*4/3 = 12 2 / 3

O metodă importantă de analiză științifică a materialului statistic este imaginile grafice. Primele încercări de utilizare a metodelor grafice în cercetarea economică au început în anii 1780. Cu toate acestea, metoda grafică a primit o utilizare mai largă mai târziu - la mijlocul secolului al XVIII-lea, mai ales după raportul reprezentantului Biroului de Statistică din Berlin, Schwabe, „Teoria imaginilor grafice”, pentru prima dată în istoria statisticii la al 8-lea Congres Internaţional de Statistică (Sankt Petersburg, 1872). După binecunoscuta expresie a fizicianului german F. Auerbach, secolul XX. a fost marcat de „avansul triumfător al metodei grafice în știință”.

Ce este un program? Un grafic este o formă de reprezentare vizuală a datelor statistice despre fenomene și procese socio-economice prin imagini geometrice, desene sau hărți geografice schematice și explicații pentru acestea.

Graficul are cinci elemente principale ale designului general: un câmp, o grilă de coordonate, semne grafice și plasarea acestora în câmpul grafic, scară și legendă (Fig. 10.3).

Orez. 10.3. Elementele de bază ale unei diagrame

Fiecare dintre aceste elemente are propriul său scop și joacă un rol corespunzător în construcție și interpretare. Câmpul grafic este spațiul pe care sunt plasate semnele geometrice și alte semne care alcătuiesc imaginea grafică.

O imagine grafică este un set de diferite semne simbolice cu ajutorul cărora sunt reflectate datele statistice. Aceste semne pot fi reprezentate în următoarele forme: linii, puncte, figuri geometrice, grafice și uneori non-geometrice.

O grilă de coordonate este un sistem de coordonate dreptunghiular în care timpul este reprezentat pe axa absciselor, iar indicatorii cantitativi de scară sunt reprezentați pe axa ordonatelor.

Scara este o măsură condiționată de conversie a valorii numerice a unui fenomen statistic într-unul grafic și invers. Servește la setarea valorilor numerice ale fenomenelor exprimate pe grafic.

Explicarea unui grafic este o explicație verbală a conținutului său specific, care include de obicei:

1) titlu cu explicațiile suplimentare necesare;

2) o explicație exactă a esenței, prevăzută condiționat într-un grafic dat semnelor sale grafice (geometrice, picturale, de fundal, pur convenționale)

3) alte explicații, note etc.

În plus, câmpului grafic pot fi aplicate unele informații suplimentare, de exemplu, date numerice, care se reflectă în unele semne grafice și repetă în formă digitală valorile lor exacte exprimate grafic.

Graficele joacă un rol deosebit de important în studierea interrelațiilor complexe ale fenomenelor și proceselor socio-economice, identificând tendințe, modele și schimbări în dinamică, precum și în analiza în curs. Principalele diferențe și avantaje ale metodei grafice față de altele sunt: ​​vizibilitate mai bună; capacitatea de a acoperi în general datele celor studiati; capacitatea de a exprima unele dependențe analitice care nu sunt foarte clare și greu de identificat cu alte metode de prezentare a datelor.

Cu ajutorul graficelor, puteți exercita controlul operațional asupra producției, vânzărilor de produse, îndeplinirii obligațiilor contractuale și sarcinilor atribuite. Astfel, orarele sunt atribuite:

Pentru a rezuma și analiza datele;

Imaginea distribuției datelor;

Identificarea tiparelor de dezvoltare a fenomenelor și proceselor studiate în dinamică;

Reflectarea relațiilor dintre indicatori;

Monitorizarea productiei, implementarea contractelor de vanzare etc.

Există diferite clasificări ale graficelor - în funcție de forma imaginilor grafice, în funcție de conținut și de natura sarcinilor.

Pe baza formei imaginilor grafice, se disting următoarele tipuri de grafice:

1) punct;

2) liniar;

3) plană;

4) volumetrice;

5) artistic (vizual, convențional).

În diagramele de dispersie, volumul unei populații este exprimat fie printr-un singur punct, fie printr-o acumulare de puncte. Un punct poate însemna un caz sau mai multe (de exemplu, o fabrică, 500 de muncitori).

Graficele liniare constau numai din linii: segmente drepte, linii întrerupte, curbe în trepte, netede (în principal pentru a transmite dinamica populației). Adesea, segmentele drepte sunt înlocuite cu benzi de aceeași lățime, care acționează și ca semne grafice, dar cu o singură dimensiune (lungime). În astfel de cazuri, graficele se numesc grafice cu bare dacă dungile sunt plasate vertical sau grafice cu bandă când dungile sunt orizontale.

La rândul lor, graficele coloanelor sunt împărțite în diagrame coloane: simple și solide, din grupuri de coloane etc., iar diagramele cu benzi sunt împărțite în diagrame cu benzi: simple și în trepte, pe componente, glisante, direcționate bilateral (de exemplu, un „ piramida de vârstă” a compoziției populației) .

Tipurile speciale de grafice liniare includ diagramele spiralate (pentru fenomene care se dezvoltă la infinit în timp și în mărime crescândă), diagramele radiale (pentru afișarea modelelor de fenomene care se repetă periodic, ritmicitatea lor, sezonalitatea).

Graficele plane sunt grafice cu două dimensiuni sub formă de planuri de forme geometrice diferite. În funcție de aceasta, ele pot fi pătrate, circulare, sectoriale. Este recomandabil să folosiți aceste grafice pentru a compara fenomene reprezentate prin valori absolute și relative.

Caracteristicile importante ale diagramelor plane sunt „semnul Warzar” bidimensional, banda sau diagrama curentă și diagrama de echilibru.

„Semnul Varzar” bidimensional (numit după inventatorul său, statisticianul rus V.E. Varzar) este un dreptunghi cu baza a, înălțimea b și aria Sab, care este util pentru exprimarea grafică a unor relații similare destul de comune între cele trei mărimi a, de S.

O diagramă în bandă, sau curent, este folosită pentru a exprima schematic volumul și compoziția fluxurilor de marfă între două puncte într-una și a doua direcție.

O diagramă de bilanț este o diagramă cu bandă pe două fețe, ale cărei panglici se ramifică în două direcții în benzi mai înguste, lățimea lor exprimând valorile corespunzătoare ale elementelor de venituri și cheltuieli, elementelor de activ și pasiv și altele asemenea.

Volumetrice - grafice tridimensionale care sunt rar utilizate deoarece sunt mai puțin expresive în comparație cu cele liniare și plane.

Artistice (vizuale, convenționale) - grafice cu semne grafice convenționale care reflectă totalitatea sau semnificațiile sale individuale sub formă de figuri umane, contururi de animale, desene schematice ale obiectelor etc.

Clasificarea graficelor în funcție de conținutul lor este de mare importanță. Luând în considerare acest lucru, graficele sunt împărțite în două clase - diagrame și hărți statistice.

O diagramă este o expresie grafică a volumelor și caracteristicilor unuia sau mai multor agregate folosind simboluri grafice cantitative (geometrice, artistice, de fundal, pur convenționale).

Cu toate acestea, diagrama nu oferă o reprezentare grafică a distribuției teritoriale a populațiilor reprezentate sau a modificărilor teritoriale ale caracteristicilor acestora. În acest scop, se folosesc hărți statistice, concepute pentru a reprezenta distribuția teritorială a populațiilor sau modificările teritoriale ale caracteristicilor acestora. Ele sunt împărțite în două clase - cartograme și diagrame de hărți.

Cartogramele sunt hărți geografice de contur pe care sunt prezentate caracteristicile teritoriale cantitative ale unei populații folosind simboluri grafice.

Diagramele hărților sunt hărți geografice de contur, în care zonele individuale (regiuni, puncte) ale unui teritoriu sunt reprezentate cu același tip de diagramă (una sau mai multe), ilustrând volumul și caracteristicile teritoriale ale populațiilor similare din aceste zone. Deci, de exemplu, sunt descrise fluxul de mărfuri, pasagerii transportați, populația care migrează și altele asemenea.

Diagramele și hărțile statistice îndeplinesc următoarele sarcini importante în cercetarea populației:

Comparația generală a acestora;

Studiul structurii;

Studiul dinamicii;

Studierea relațiilor dintre caracteristicile acestora;

Măsurarea gradului de implementare a planurilor economice și a obligațiilor contractuale în practica de planificare economică.

La rândul lor, atât diagramele cât și cartogramele, în funcție de scopul lor, sunt împărțite în subclase, grupuri și forme (Tabelul 10.27).

La construirea graficelor, trebuie respectate următoarele cerințe:

1) se bazează pe date numerice fiabile;

2) graficele ar trebui să fie semnificative în design și interesante în conținut;

3) trebuie construite în conformitate cu sarcinile atribuite și scopul lor practic;

4) să fie extrem de economic - să conţină un maxim de informaţii şi idei cu un minim de mijloace de exprimare grafică, simple, clare, inteligibile;

5) bine executat din punct de vedere tehnic.

Să aruncăm o privire mai atentă la principalele tipuri și forme de diagrame și hărți statistice care sunt cel mai des folosite în practica muncii analitice.

O diagramă liniară este unul dintre cele mai comune tipuri de grafice, care servește la reprezentarea dinamicii fenomenelor studiate. Pentru a-l construi, se folosește un sistem de coordonate dreptunghiular. Pe axa absciselor sunt așezate segmente egale - perioade de timp (zile, luni, ani etc.), iar pe axa ordonatelor se adoptă o scară care caracterizează unitățile de măsură. Pe câmpul de coordonate sunt desenate puncte care sunt egale cu valoarea indicatorului pentru o anumită perioadă. Apoi toate punctele sunt conectate prin linii drepte, rezultând o linie întreruptă care caracterizează modificarea fenomenului studiat într-o anumită perioadă de timp (Tabelul 10.28, Fig. 10.4).

	Subclasă		Soiuri și formă grafică, cele mai comune
Diagrame	I. Diagrame de comparaţie generală a populaţiilor	1. populaţii omogene	Coloană, panglică, artistică
		2. Populații eterogene	Coloană, bandă, plană
	II. Diagrame de structură	1. Diagrame de distribuție a populației	Poligon, histogramă, cumulat, ogivă, curbă de distribuție, diagramă Lorenz, câmp de corelație
		2. Diagrame pentru grupuri	Diagrame de bare, benzi, împărțite în părți absolute sau procentuale, sector, diagrame de echilibru, „piramida vârstei” etc.
	III. Diagrame de dinamică	1. Diagrame ale dinamicii volumului	Diagrame pe coloană, liniare, cumulative, spirale, artistice
		2. Diagrame de dinamică a structurii	Diagrame cu coloane cu împărțire procentuală, diagrame circulare cu împărțire în sectoare etc.
		3. Grafice sezoniere	Diagrame cu linii, bare, radiale
	IV. Diagrame interrelaţii semne	1. Diagrame de configurare a populației	Spot, fundal
		2. Diagrame forme de comunicare	Diagrame cu curbe întrerupte sau netede
		3. Diagrame ale gradului de apropiere a conexiunii	Contururi închise ale câmpului de corelație sub formă de curbe întrerupte în trepte sau eliptice etc.
	V. Diagrame de implementare a planului	1. Diagrame curente de execuție	Diagrame cu linii, diagrame Gantt
		2. Diagrame de performanță de la începutul perioadei	Cumulate, diagrame Gantt cumulate, diagrame Lorenz
Hărți statistice	VI. Cartograme	1. Cartograme de amplasare a unităților de populație	Cartograme spot
		2. Cartograme de amplasare a volumului total de caracteristici	Cartograme spot
		3. Cartograme ale modificărilor caracteristicilor rezumative	Cartograme spot, fundal
		4. Cartograme izoline	Cartograme liniare
		5. Centrograme	Cartograme spot

Tabelul 10.28. Investiții în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în perioada 2000-2005 pp., în prețuri reale, milioane UAH

Datele graficului arată că volumul investițiilor în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în prețuri reale a crescut din 2000 până în 2005.

Orez. 10.4. Dinamica volumului investițiilor în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în perioada 2000-2005, în prețuri reale, milioane UAH

Graficele cu linii planificate sunt construite pe o grilă special concepută, în care unitățile de timp sunt așezate orizontal, iar obiectele de cercetare sunt plasate vertical. Mai mult, fiecare segment orizontal corespunde 100% îndeplinirii sarcinii planificate. Aceste segmente sunt împărțite în 5 părți egale, fiecare dintre acestea corespunzând la 20% din sarcina planificată.

Gradul de implementare a planului pe grafic este reprezentat de două linii: o linie subțire întreruptă - pe unitatea de timp (zi, deceniu) și o linie aldină solidă - pentru perioada de raportare în ansamblu.

Să ne uităm la procedura de construire a unui grafic liniar planificat folosind un exemplu.

Exemplu. Construiți un program liniar pentru implementarea unei sarcini planificate de către o echipă de muncitori din lucrări de construcții și instalații, folosind datele din tabel. 10.29.

Tabelul 10.29. Îndeplinirea sarcinii planificate de către o echipă de muncitori din lucrări de construcții și instalații

Programul de realizare a sarcinii planificate de către echipa de construcție pentru lucrările de construcție și instalare este prezentat în Fig. 10.5.

Linia subțire continuă a primei zile corespunde cu 90% din plan și ocupă patru celule și jumătate, iar linia a doua zi - 80% și ocupă patru celule, linia a treia zi se întinde exact cinci, iar a patra - cinci celule (100%) plus una suplimentară segmentul de mai jos, care ocupă 20% etc.

Prezentarea nivelului de implementare a planului pe bază de angajamente necesită câteva calcule suplimentare. Deci, în prima zi, linia groasă solidă va avea aceeași lungime ca și linia continuă subțire - 90% și va ocupa patru celule și jumătate. În continuare, trebuie făcute următoarele calcule: în două zile s-au finalizat efectiv 513 m2 (225 + 288). Din această sumă, 250 m2 sunt creditați pentru implementarea planului pentru prima zi. Apoi, în a doua zi, vor rămâne 263 m2, ceea ce, conform planului, în această zi este de 91% (263.288).

Conform liniei aldine, ocupă cinci celule din prima zi și 91% din a doua. În trei zile s-au finalizat efectiv 923 m2 (225 + 288 + 410). Se înregistrează 610 m2 pentru finalizarea planului pentru primele două zile, iar 313 m2 pentru a treia zi, ceea ce, conform planului pentru această zi, este de 76% (313: 410). Linia groasă va ocupa 5 celule din prima și a doua zi și 76% din a treia. Toate calculele ulterioare sunt efectuate în mod similar. Gradul de implementare a planului pentru fiecare zi este indicat prin puncte pe linia groasă.

Diagramă cu coloane- un tip foarte comun de grafice într-o singură dimensiune datorită clarității și simplității lor. Datele statistice din ele sunt prezentate sub formă de dreptunghiuri de aceeași lățime, situate vertical de-a lungul unei linii orizontale (Fig. 10.6).

Înălțimea coloanelor ar trebui să corespundă mărimii fenomenelor descrise. Dacă barele sunt așezate orizontal, atunci un astfel de grafic se numește grafic cu bandă (Fig. 10.7).

Diagramele cu coloane și benzi vă permit să comparați cantități de valori diferite și să caracterizați același fenomen în dinamică; caracterizează populația.

Diagramele circulare (sau diagramele circulare) sunt diagrame concepute pentru a afișa structura fenomenelor și proceselor studiate. Ele sunt reprezentate sub forma unui cerc împărțit în sectoare, ale căror dimensiuni corespund dimensiunilor fenomenelor descrise (Fig. 10.8).

După cum reiese din grafic (Fig. 10.8), principala sursă de finanțare pentru operațiunile de leasing din Ucraina o reprezintă creditele bancare (80,9%), apoi fondurile proprii (16,1%). Fondurile împrumutate de la persoane juridice reprezintă doar 3,6%.

Orez. 10.6. Dinamica volumului investițiilor în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în perioada 2000-2005 pp., în prețuri reale, milioane UAH

Orez. 10.7. Dinamica volumului investițiilor în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în perioada 2000-2005 pp., în prețuri reale, milioane UAH

În condițiile moderne de dezvoltare a sistemelor informatice și informatice, a devenit posibilă construirea de grafice folosind pachete de programe de calculator, inclusiv foi de calcul EXCEL, „Statistica-6”, etc. Sunt ușor de utilizat și simplifică foarte mult această muncă.

Orez. 10.8. Structura surselor de finanțare pentru operațiunile de leasing în Ucraina la începutul anului 2005 p.,%

Programarea liniară folosește o metodă grafică pentru a determina mulțimi convexe (poliedrul de soluție). Dacă problema principală de programare liniară are un plan optim, atunci funcția obiectiv ia o valoare la unul dintre vârfurile poliedrului soluție (vezi figura).

Scopul serviciului. Folosind acest serviciu, puteți rezolva o problemă de programare liniară online folosind metoda geometrică, precum și obțineți o soluție la o problemă duală (evaluați utilizarea optimă a resurselor). În plus, un șablon de soluție este creat în Excel.

Instrucțiuni. Selectați numărul de rânduri (numărul de restricții).

Numărul de restricții 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dacă numărul de variabile este mai mare de două, este necesar să aduceți sistemul la SZLP (vezi exemplul și exemplul nr. 2). Dacă constrângerea este dublă, de exemplu, 1 ≤ x 1 ≤ 4, atunci este împărțită în două: x 1 ≥ 1, x 1 ≤ 4 (adică, numărul de rânduri crește cu 1).
De asemenea, puteți construi o zonă de soluții fezabile (ADA) folosind acest serviciu.

Următoarele sunt, de asemenea, utilizate cu acest calculator:
Metoda simplex pentru rezolvarea ZLP

Rezolvarea problemei transportului
Rezolvarea unui joc de matrice
Folosind serviciul online, puteți determina prețul unui joc matrice (limitele inferioare și superioare), puteți verifica prezența unui punct de șa, puteți găsi o soluție la o strategie mixtă folosind următoarele metode: minimax, metoda simplex, grafică (geometrică). ), metoda lui Brown.
Extremul unei funcții a două variabile
Calculul limitelor

Rezolvarea unei probleme de programare liniară prin metoda grafică include următorii pași:

1. Liniile sunt construite pe planul X 1 0X 2.
2. Se determină jumătate de avioane.
3. Definiți un poligon soluție;
4. Se construiește un vector N(c 1 ,c 2), care indică direcția funcției obiectiv;
5. Funcția obiectiv de deplasare înainte c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 în direcția vectorului N până la punctul extrem al poligonului soluție.
6. Se calculează coordonatele punctului și valoarea funcției obiectiv în acest punct.

Pot apărea următoarele situații:

Exemplu. Compania produce două tipuri de produse - P1 și P2. Pentru producerea produselor se folosesc două tipuri de materii prime - C1 și C2. Prețurile de vânzare cu ridicata pe unitatea de producție sunt egale cu: 5 unități. pentru P1 și 4 unități pentru P2. Consumul de materii prime pe unitatea de produs de tip P1 și tip P2 este prezentat în tabel.
Tabel - Consumul de materii prime pentru productie

Au fost stabilite restricții privind cererea de produse: volumul zilnic de producție al produselor P2 nu trebuie să depășească volumul zilnic de producție al produselor P1 cu cel mult 1 tonă; Volumul maxim zilnic de producție de P2 nu trebuie să depășească 2 tone.
Trebuie să determinați:
Câte produse de fiecare tip ar trebui să producă întreprinderea pentru a maximiza veniturile din vânzările de produse?

1. Formulați un model matematic al unei probleme de programare liniară.
2. Rezolvați grafic o problemă de programare liniară (pentru două variabile).

Soluţie.
Să formulăm un model matematic al problemei de programare liniară.
x 1 - producția produselor P1, unități.
x 2 - producerea produselor P2, unități.
x 1 , x 2 ≥ 0

Limitele resurselor
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6

Restricții de cerere
x 1 +1 ≥ x 2
x 2 ≤ 2

Funcție obiectivă
5x 1 + 4x 2 → max

Apoi obținem următorul PLP:
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x 2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x 1 + 4x 2 → max

Metodele grafice sunt asociate în primul rând cu reprezentarea geometrică a dependenței funcționale folosind linii pe un plan. Graficele sunt folosite pentru a găsi rapid valoarea funcțiilor pe baza valorii corespunzătoare a argumentului, pentru a afișa vizual dependențele funcționale.
Aproape toate tipurile de grafice sunt utilizate în analiza economică: diagrame de comparație, diagrame de serie de timp, curbe de distribuție, grafice de câmp de corelație, cartograme statistice. Diagramele de comparație sunt deosebit de răspândite în analiză - pentru compararea indicatorilor de raportare cu cei planificați, perioadele anterioare și întreprinderile conducătoare ale întreprinderilor interne sau străine. Pentru a descrie vizual dinamica fenomenelor economice (și în analiză trebuie să se ocupe foarte des de serii de timp), se folosesc diagrame de serie de timp.
Folosind o grilă de coordonate, sunt construite și grafice ale dependenței, de exemplu, a nivelului costurilor față de volumul produselor produse și vândute. grafice pe care puteți reprezenta corelații între indicatori. Într-un sistem de axe de coordonate, imaginea arată influența diferiților factori asupra unui anumit indicator.
Metoda grafică este utilizată pe scară largă pentru a studia procesele de producție, structurile organizatorice, procesele de programare etc. De exemplu, pentru a analiza eficiența utilizării echipamentelor de producție, se construiesc grafice de calcul, inclusiv grafice ale mai multor factori.

Notație: fiecare cerc este considerat unul dintre vârfurile graficului; numărul din sectorul superior al fiecărui vârf înseamnă numărul său de serie; Pe baza numerelor a două vârfuri adiacente, se formează codul de lucru; numărul din sectorul inferior al fiecărui vârf este numărul de serie al vârfului anterior, iar linia care leagă aceste două vârfuri înseamnă un loc de muncă specific. Sub linie este durata planificată a acestei lucrări; numărul din sectorul din stânga fiecărui vârf înseamnă durata totală a tuturor lucrărilor anterioare, numărul din sectorul din dreapta diferă de numărul din stânga prin valoarea rezervei (rezerva de timp). Astfel, pentru nodurile situate pe calea critică, numerele din sectoarele din stânga și din dreapta ale vârfului coincid, deoarece marja de timp este 0.

Într-un sistem formalizat matematic de analiză, planificare și management, diagramele de rețea ocupă un loc special. Ele oferă un mare efect economic în construcția și instalarea întreprinderilor industriale și de altă natură.
Diagrama de rețea (Fig. 6.1) vă permite să le identificați pe cele mai importante din întregul complex de lucrări, cele aflate pe calea critică, și să concentrați asupra lor principalele resurse ale organizațiilor de construcții, să stabiliți relații între diverse organizații specializate și să le coordonați. muncă. Activitățile pe calea critică necesită cea mai lungă așteptare pentru sosirea următorului eveniment. În etapa de analiză și management operațional, programul rețelei face posibilă monitorizarea eficientă a progresului construcției și luarea de măsuri în timp util pentru a elimina posibilele întârzieri ale lucrărilor.
Utilizarea diagramelor de rețea pentru analiză, planificare și management asigură, după cum arată multe exemple, o reducere a timpului de construcție cu 20-30% și o creștere a productivității muncii cu 15-20%.
Atunci când se analizează direct pe șantiere, utilizarea materialelor de planificare și management al rețelei contribuie la identificarea corectă a motivelor care afectează progresul construcției și la identificarea întreprinderilor care nu asigură finalizarea lucrărilor care le sunt atribuite sau livrarea echipamentelor. în termenele stabilite prin grafic.
Elaborarea unui program de rețea în construcție se realizează în prezența: standardelor pentru durata construcției și perioada de punere în funcțiune a unui obiect sau complex de obiecte, estimări de proiectare, un proiect de organizare a construcției și producție de lucrări, hărți tehnologice standard , standardele actuale pentru costurile forței de muncă, materialele și funcționarea mașinilor. În plus, la întocmirea unui program, se utilizează experiența efectuării lucrărilor individuale, precum și datele privind baza de producție a organizațiilor de construcții și instalații.
Pe baza tuturor acestor date, se întocmește un tabel de lucrări și resurse, unde în succesiunea tehnologică a producției muncii caracteristicile acestora, volumul, intensitatea muncii în zile-om, executant (organizație și echipă), numărul de muncitori, schimburi, necesar de sunt indicate mecanismele și materialele, sursele de aprovizionare a acestora, durata totală a lucrării în zile, precum și sarcina anterioară, după finalizarea căreia poate începe această lucrare. Pe baza indicatorilor unui astfel de tabel, se întocmește o diagramă de rețea, care poate avea diferite grade de detaliu în funcție de schema de producție adoptată.
managementul muncii și nivelul de conducere; Pe lângă programul general, interpreții elaborează un program pentru munca pe care o desfășoară.
Elementele principale ale unei diagrame de rețea: eveniment, lucru, așteptare, dependență.
Atunci când se analizează progresul construcției unui obiect, trebuie stabilit dacă programul rețelei a fost întocmit corect, dacă calea critică nu a fost supraestimată, dacă s-au luat în considerare toate posibilitățile de reducere a acestuia la optimizarea programului, dacă orice lucrare poate fi efectuata in paralel sau timpul petrecut la acestea poate fi redus prin cresterea mijloacelor de mecanizare etc. Acest lucru este deosebit de important in cazurile in care durata lucrarilor conform graficului nu asigura finalizarea constructiei la timp.
Principalul material pentru planificarea rețelei utilizat în analiză este informațiile despre progresul lucrărilor conform programului, care este de obicei întocmit cel puțin o dată pe deceniu. De exemplu, se oferă o hartă a sarcinii și informații despre progresul lucrărilor la un proiect de construcție efectuat conform programului rețelei (Tabelul 6.1). Conform hărții, lucrările critice au fost efectuate la începutul lunii înainte de termen, dar apoi instalarea grinzilor macaralei de-a lungul rândului B a fost lăsată să rămână în întârziere, iar lucrările ulterioare - instalarea grinzilor macaralei de-a lungul rândului A - a fost finalizată. cu o zi în întârziere.
Optimizarea programelor de rețea se realizează în faza de planificare prin reducerea traseului critic, adică minimizarea timpului de realizare a lucrărilor de construcție la niveluri date de resurse, minimizarea nivelului de consum de materiale, forță de muncă și resurse financiare la termene fixate pentru finalizarea lucrărilor de construcție. De asemenea, este posibilă o abordare mixtă: pentru o parte a lucrării (mai scumpă) - pentru a minimiza nivelul consumului de resurse cu un termen fix pentru finalizarea lucrării, pentru cealaltă - pentru a minimiza termenul pentru un nivel fix de resurse.
Rezolvarea problemelor de optimizare este mult facilitată de prezența pachetelor de programe de aplicație (APP) adaptate pentru pregătirea diagramelor de rețea optime pe un computer.
În practica străină a analizei sistemelor, o metodă grafo-matematică numită „arborele de decizie” este răspândită. Esența acestei metode este următoarea.
Printr-o evaluare preliminară a nevoilor, o analiză preliminară a posibilelor condiții organizatorice, tehnice sau tehnologice, sunt conturate toate opțiunile posibile pentru rezolvarea unei anumite probleme. Mai întâi dezvoltat

	Exercițiu					informație				Rezervă de timp pentru muncă		Număr Multumesc
Nume lucrări	cifru	Data a început	Data după terminare	planificat a continuat	Re rezervă timp	% acestea-	timpul necesar pentru	la rang	data actuală	găsirea actual	nelocalizat	rezerva timp cu
	lucrări	lucrări (plan)	nia lucrări (plan)	locuitor ness, zile	pe mine	whoa gata ness	după terminare nia lucrări, zile	zader femei	după terminare nia lucrări	pe calea critică	o cale critică	începutul lunii, zile
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Dezvoltarea solului	1-2	1/IV	6/IV	5	0	100	-	-	6/IV	¦-	-	-
Fundatii de beton pentru cazane	2-3	7/IV	17/1V	9	0	100	14/IV	2	2
Betonarea fundațiilor conform rândului A	2-4	7/IV	14/1V	7	2	100	14/IV
Același lucru pentru rândul B	2-5	7/IV	14/IV	7	2	100	-	-	14/IV
Dispozitiv de distribuție a conductelor	6-18	18/IV	21/IV	4	19	100	-	-	29/IV	-7
Dispozitiv de umplere	6-7	18/IV	19/IV	2	0	100	17/IV	2	2
Montarea structurilor prefabricate din beton
lonn: de-a lungul rândului B	7-8	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	_	-	-
de-a lungul rândului A	7-9	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	-	-	-

Construcția căilor de rulare și instalarea macaralei turn 7-10
Montarea cadrelor de susținere pe fundație pentru echipamente 7-16 Montarea grinzilor macaralei:
de-a lungul rândului B 8-11
20/IV 24/IV 4
20/IV 24/IV 4
24/IV 25/IV 2

de-a lungul rândului A 10-12 25/IV 26/IV
Montarea primei părți de grinzi și plăci de acoperire 12-13 27/IV 4/V
Montaj sine de macara pentru pod lt;3 macarale 12-14 27/IV 3/V

6	7	8	9	10	11	12	13
0	100	-	-	22/IV	1	-	1
14	100.	-	-	29/IV	-	-5	-
1	100	in spate-	27/IV	-2

27/IV -1
sprijin cu furnizarea structurilor din beton armat

1. 100 -

opțiuni extinse. Apoi, pe măsură ce se introduc condiții suplimentare, fiecare dintre ele este împărțită într-un număr de opțiuni. O reprezentare grafică a acestor opțiuni vă permite să le excludeți pe cele mai puțin profitabile și să o alegeți pe cea mai acceptabilă.
Această metodă poate fi utilizată în determinarea ordinii de prelucrare a anumitor piese pe mai multe mașini pentru a minimiza timpul total de prelucrare; la stabilirea dimensiunii resurselor pentru a minimiza costurile totale de producție; la distribuirea investițiilor de capital și a altor resurse între instalațiile industriale; la rezolvarea problemelor legate de transport și alte probleme.

Să luăm mai întâi în considerare cel mai simplu caz, când exact două variabile sunt incluse în LLP:

Fiecare dintre inegalitățile (a)-(b) ale sistemului de constrângeri ale problemei (3.8) definește geometric un semiplan, respectiv, cu linii drepte limită, X 1 =0 și X 2 =0. Fiecare dintre liniile de limită împarte planul x 1 Ox 2 în două semiplane. Toate soluțiile la inegalitatea inițială se află într-unul dintre semiplanurile formate (toate punctele semiplanului) și, prin urmare, înlocuirea coordonatelor oricăruia dintre punctele sale în inegalitatea corespunzătoare o transformă într-o adevărată identitate. Ținând cont de acest lucru, se determină semiplanul în care se află soluțiile inegalității, i.e. selectând orice punct din orice semiplan și substituind coordonatele acestuia în inegalitatea corespunzătoare. Dacă o inegalitate este valabilă pentru un punct dat, atunci este valabilă pentru orice alt punct din același semiplan. În caz contrar, soluțiile inegalității se află într-un alt semiplan.

Dacă sistemul de inegalități (a)-(b) este consecvent, atunci domeniul soluțiilor sale este mulțimea de puncte aparținând tuturor semiplanurilor indicate. Deoarece mulțimea punctelor de intersecție ale acestor semiplane este convexă, domeniul soluțiilor admisibile la problema (3.8) este o mulțime convexă, care se numește poligon soluție (termenul introdus anterior „poliedru soluție” este de obicei folosit dacă n 3 ). Laturile acestui poligon se află pe linii drepte, ale căror ecuații sunt obținute din sistemul original de constrângeri prin înlocuirea semnelor de inegalitate cu semne de egalitate exacte.

Astfel, ZLP inițial constă în găsirea unui punct în poligonul de decizie la care funcția obiectiv F ia valoarea maximă (minimă).

Acest punct există atunci când poligonul soluție nu este gol și funcția obiectiv de pe acesta este mărginită de sus. În condițiile specificate, la unul dintre vârfurile poligonului soluție, funcția obiectiv capătă valoarea maximă. Pentru a determina acest vârf, construiți o linie de nivel L: c 1 x 1 +c 2 x 2 =h (unde h este o constantă), perpendicular pe vectorul gradient și care trece prin poligonul soluție și mutați-l paralel de-a lungul vectorului gradient până când trece prin ultimul său punct comun de intersecție cu poligonul soluție (când se construiește un vector gradient, un punct (c 1 ; c 2) este așezat în planul x 1 Ox 2 și un segment direcționat este trasat către acesta din originea coordonatelor). Coordonatele punctului specificat determină planul optim pentru această sarcină.

Rezumând toate cele de mai sus, prezentăm un algoritm pentru metoda grafică de rezolvare a ZLP.

Algoritm pentru metoda grafică de rezolvare a ZLP

1. Construiți un poligon de soluții specificate de sistemul de restricții al ZLP inițial.

2. Dacă poligonul de soluții construit este o mulțime goală, atunci ZLP original nu are soluții. În caz contrar, construiți un vector de gradient și trasați o linie de nivel arbitrară L, deplasând-o, atunci când rezolvați o problemă maximă, în direcția vectorului (sau în direcția opusă pentru o problemă minimă) pentru a determina punctul extrem al poligonului soluție, unde se realizează maximul (minimul) funcţiei obiectiv a problemei .

3. Calculați coordonatele punctului optim găsit , rezolvând un sistem de ecuații a două linii de frontieră care se intersectează în el.

4. Prin substituirea soluției optime găsite în funcția obiectiv a problemei, calculați valoarea optimă a acesteia, adică: .

La construirea grafică a setului de soluții admisibile ale PLP (poligon soluție), sunt posibile următoarele situații.