Cum se înmulțesc matrice de diferite dimensiuni. Acțiuni cu matrice

Vom „exclude” secvenţial necunoscutele. Pentru a face acest lucru, vom lăsa prima ecuație a sistemului neschimbată și o vom transforma pe a doua și a treia:

1) la a doua ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu –2, și o aducem la forma –3 X 2 –2X 3 = –2;

2) la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu – 4, și o aducem la forma –3 X 2 – 4X 3 = 2.

Ca urmare, necunoscuta va fi exclusă din a doua și a treia ecuație X 1 și sistemul va lua forma

Înmulțim a doua și a treia ecuație a sistemului cu –1, obținem

Coeficientul 1 în prima ecuație pentru prima necunoscută X 1 este numit element conducător primul pas al eliminării.

În a doua etapă, prima și a doua ecuație rămân neschimbate, iar la cea de-a treia ecuație se aplică aceeași metodă de eliminare a variabilei. X 2 . Element conducător al doilea pas este coeficientul 3. La a treia ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu –1, apoi sistemul se transformă în forma

(1.2)

Procesul de reducere a sistemului (1.1) la forma (1.2) se numește direct progresul metodei Gauss.

Se numeste procedura de rezolvare a sistemului (1.2). în sens invers. Din ultima ecuație obținem X 3 = –2. Înlocuind această valoare în a doua ecuație, obținem X 2 = 2. După aceasta, prima ecuație dă X 1 = 1. Astfel, este o soluție a sistemului (1.1).

Conceptul de matrice

Să luăm în considerare cantitățile incluse în sistemul (1.1). Un set de nouă coeficienți numerici care apar înaintea necunoscutelor în ecuații formează un tabel de numere numit matrice:

A= .

(1.3)

Numerele tabelului sunt numite elemente matrici. Elementele formează rânduri și coloane matrici. Se formează numărul de rânduri și numărul de coloane dimensiune matrici. Matrice A are o dimensiune de 3´3 („trei cu trei”), primul număr indicând numărul de rânduri, iar al doilea numărul de coloane. Adesea, o matrice este indicată prin indicarea dimensiunii sale A (3 ´ 3). Deoarece numărul de rânduri și coloane din matrice A la fel, se numește matricea pătrat. Numărul de rânduri (și coloane) dintr-o matrice pătrată se numește acestuia în ordine, De aceea A- matrice ordinul al treilea.

Părțile drepte ale ecuațiilor formează, de asemenea, un tabel de numere, adică. matrice:

Fiecare rând al acestei matrice este format dintr-un singur element, deci B(3 ´ 1) se numește matrice-coloană, dimensiunea sa este 3´1. Setul de necunoscute poate fi reprezentat și ca o matrice coloane:

Înmulțirea unei matrice pătrate cu o matrice coloană

Pot fi efectuate diverse operații cu matrice, despre care vor fi discutate în detaliu mai târziu. Aici vom analiza doar regula pentru înmulțirea unei matrice pătrate cu o matrice coloană. De definiție, rezultatul înmulțirii matriceale A(3 ´ 3) pe coloană ÎN(3 ´ 1) este coloana D(3 ´ 1) , ale căror elemente sunt egale cu sumele produselor elementelor rândurilor matricei A la elementele coloanei ÎN:

2)al doilea element coloană D egală cu suma produselor elementelor al doilea rânduri de matrice A la elementele coloanei ÎN:

Din formulele de mai sus este clar că înmulțirea unei matrice cu o coloană ÎN este posibil numai dacă numărul coloanelor matricei A egal cu numărul de elemente din coloană ÎN.

Să ne uităm la încă două exemple numerice de înmulțire a matricei (3 ´3) pe coloană (3 ´1):

Exemplul 1.1

AB =
.

Exemplul 1.2

AB= .

Acest manual vă va ajuta să învățați cum să efectuați operatii cu matrici: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrice, înmulțirea matricelor, aflarea matricei inverse. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple relevante, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice. Pentru automonitorizare și autotestare, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>.

Voi încerca să minimizez calculele teoretice în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea unor termeni neștiințifici. Iubitori de teorie solidă, vă rugăm să nu vă implicați în critici, sarcina noastră este invata sa faci operatii cu matrici.

Pentru pregătirea SUPER FAST pe tema (cine este „pe foc”) există un curs intensiv pdf Matrice, determinant și test!

O matrice este un tabel dreptunghiular al unora elemente. La fel de elemente vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT este un termen. Este indicat să vă amintiți termenul, va apărea des, nu întâmplător am folosit font bold pentru a-l evidenția.

Desemnare: matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Exemplu: Luați în considerare o matrice de două câte trei:

Această matrice este formată din șase elemente:

Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există singure, adică nu se pune problema vreunei scăderi:

Este doar un tabel (set) de numere!

De asemenea, vom fi de acord nu rearanja numere, dacă nu se specifică altfel în explicații. Fiecare număr are propria sa locație și nu poate fi amestecat!

Matricea în cauză are două rânduri:

si trei coloane:

STANDARD: atunci când vorbim despre dimensiunile matricei la început indicați numărul de rânduri și abia apoi numărul de coloane. Tocmai am defalcat matricea de două câte trei.

Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, atunci matricea este numită pătrat, De exemplu: – o matrice de trei câte trei.

Dacă o matrice are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrici vectori.

De fapt, conceptul de matrice îl cunoaștem încă de la școală să considerăm, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „y”: . În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite pe plan.

Acum să trecem la studii operatii cu matrici:

1) Primul act. Eliminarea unui minus din matrice (introducerea unui minus în matrice).

Să revenim la matricea noastră . După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod din punctul de vedere al efectuării diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atât de multe minusuri și pur și simplu arată urât în ​​design.

Să mutăm minusul în afara matricei prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, de asemenea, zero este zero;

Exemplu invers: . Arată urât.

Să introducem un minus în matrice prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

Ei bine, s-a dovedit mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există un astfel de semn popular matematic: cu cât mai multe minusuri, cu atât mai multe confuzii și erori.

2) Actul doi. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Exemplu:

Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecare element de matrice înmulțit cu un număr dat. În acest caz - un trei.

Un alt exemplu util:

– înmulțirea unei matrice cu o fracție

Mai întâi să ne uităm la ce să facem NU ESTE NEVOIE:

NU ESTE NEVOIE să introduceți o fracție în matrice, în primul rând, doar complică acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, face dificilă verificarea soluției de către profesor (mai ales dacă; – răspunsul final al sarcinii).

Si in special, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:

Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să încep, ne amintim că la matematica superioară se încearcă să evite fracțiile zecimale cu virgule în toate modurile posibile.

Singurul lucru este preferabil Ce trebuie să faceți în acest exemplu este să adăugați un minus la matrice:

Dar dacă numai TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fără urmă, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.

Exemplu:

În acest caz, puteți TREBUIE SAînmulțiți toate elementele matricei cu , deoarece toate numerele matricei sunt divizibile cu 2 fără urmă.

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „diviziune”. În loc să spuneți „acest împărțit cu asta”, puteți spune întotdeauna „acest înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.

3) Actul trei. Transpunerea matricei.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.

Exemplu:

Transpune matricea

Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:

– matrice transpusă.

O matrice transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau un prim în dreapta sus.

Exemplu pas cu pas:

Transpune matricea

Mai întâi rescriem primul rând în prima coloană:

Apoi rescriem a doua linie în a doua coloană:

Și, în sfârșit, rescriem al treilea rând în a treia coloană:

Gata. În linii mari, transpunerea înseamnă întoarcerea matricei pe o parte.

4) Actul patru. Suma (diferența) matricelor.

Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRICILE POT FI POLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă ACEEAȘI DIMENSIUNE.

De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată numai cu o matrice două câte două și nu alta!

Exemplu:

Adăugați matrici Și

Pentru a adăuga matrice, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:

Pentru diferența de matrice regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.

Exemplu:

Găsiți diferența de matrice ,

Cum poți rezolva mai ușor acest exemplu, ca să nu te încurci? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile pentru a face acest lucru, adăugați un minus la matrice:

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „scădere”. În loc să spuneți „scădeți acest lucru din asta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică, scăderea este un caz special de adunare.

5) Actul cinci. Înmulțirea matricei.

Ce matrice pot fi multiplicate?

Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, este necesar astfel încât numărul de coloane de matrice să fie egal cu numărul de rânduri de matrice.

Exemplu:
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

Aceasta înseamnă că datele matricei pot fi multiplicate.

Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!

Prin urmare, înmulțirea nu este posibilă:

Nu este atât de rar să întâlniți sarcini cu un truc, atunci când elevului i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibilă multiplicarea matricelor în ambele moduri.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile

Acest subiect va acoperi operațiuni precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice și transpunerea unei matrice. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.

Adunarea și scăderea matricelor.

Suma $A+B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se numește matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline( 1,n) $.

O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:

Diferența dintre matricele $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n)=( c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1, n)$.

Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notația „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ variază de la 1 la m. De exemplu, intrarea $i=\overline(1,5)$ indică faptul că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Este de remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații clare intuitiv, deoarece ele înseamnă în esență doar însumarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.

Exemplul nr. 1

Sunt date trei matrice:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Este posibil să găsim matricea $A+F$? Găsiți matrice $C$ și $D$ dacă $C=A+B$ și $D=A-B$.

Matricea $A$ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $A$ este $2\xtime 3$), iar matricea $F$ conține 2 rânduri și 2 coloane. Mărimile matricelor $A$ și $F$ nu coincid, așa că nu le putem adăuga, adică. operația $A+F$ nu este definită pentru aceste matrici.

Dimensiunile matricelor $A$ și $B$ sunt aceleași, adică. Datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Să găsim matricea $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)-\left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ cu numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Mai simplu spus, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr.

Exemplul nr. 2

Matricea este dată: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ și $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3\cdot(-1) și 3\cdot(-2) și 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 și 3\cdot 9 și 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Notația $-A$ este o notație scurtă pentru $-1\cdot A$. Adică, pentru a găsi $-A$ trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $A$ se va schimba în opus:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Răspuns: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produsul a două matrice.

Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, neclară. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ de la matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$, pentru care fiecare element $c_(ij)$ este egal cu suma produselor elementelor corespondente ale rândului i al matricei $A$ de elementele j -a coloană a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Să ne uităm la înmulțirea matricei pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să rețineți imediat că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci trebuie mai întâi să ne asigurăm că numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$ (astfel de matrici sunt adesea numite ne-am înțeles asupra). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane ale matricei $A $ nu este egal cu numărul de rânduri ale matricei $F$, adică. $4\neq 9$. Dar puteți înmulți matricea $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$, deoarece numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $ B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ va fi matricea $C_(5\times 9)$, care conține 5 rânduri și 9 coloane:

Exemplul nr. 3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrice) \right)$ și $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right) $. Găsiți matricea $C=A\cdot B$.

Mai întâi, să determinăm imediat dimensiunea matricei $C$. Deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 4$, iar matricea $B$ are dimensiunea $4\x 2$, atunci dimensiunea matricei $C$ este: $3\x 2$:

Deci, ca rezultat al produsului matricelor $A$ și $B$, ar trebui să obținem o matrice $C$, formată din trei rânduri și două coloane: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) și c_( 12) \\ c_(21) și c_(22) \\ c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. Dacă desemnarea elementelor ridică întrebări, atunci puteți consulta subiectul anterior: „Tipuri de matrice”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matricei. Scopul nostru: să găsim valorile tuturor elementelor matricei $C$.

Să începem cu elementul $c_(11)$. Pentru a obține elementul $c_(11)$, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

Pentru a găsi elementul $c_(11)$ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $B$, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Să continuăm soluția și să găsim $c_(12)$. Pentru a face acest lucru, va trebui să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ și a celei de-a doua coloane a matricei $B$:

Similar cu cel precedent, avem:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Toate elementele primului rând al matricei $C$ au fost găsite. Să trecem la a doua linie, care începe cu elementul $c_(21)$. Pentru a-l găsi, va trebui să înmulți elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Găsim următorul element $c_(22)$ prin înmulțirea elementelor celui de-al doilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Pentru a găsi $c_(31)$, înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Și, în final, pentru a găsi elementul $c_(32)$, va trebui să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Toate elementele matricei $C$ au fost găsite, tot ce rămâne să scriem că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matrice) \right)$ . Sau, pentru a scrie integral:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu locația fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matricele a căror dimensiune este mică, puteți face acest lucru:

De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în cazul general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Numai pentru unele tipuri de matrice, care sunt numite permutabil(sau naveta), egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ este adevărată. Pe baza necomutativității înmulțirii trebuie să indicăm exact cum înmulțim expresia cu o anumită matrice: în dreapta sau în stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $3E-F=Y$ cu matricea $A$ din dreapta” înseamnă că doriți să obțineți următoarea egalitate: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpusă față de matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ este matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elementele care $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Mai simplu spus, pentru a obține o matrice transpusă $A^T$, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $A$ cu rândurile corespunzătoare conform acestui principiu: a existat un prim rând - va fi o primă coloană ; a existat un al doilea rând - va fi o a doua coloană; a fost un al treilea rând - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$:

În consecință, dacă matricea originală a avut o dimensiune de $3\times 5$, atunci matricea transpusă are o dimensiune de $5\times 3$.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.

Aici se presupune că $\alpha$, $\beta$ sunt niște numere și $A$, $B$, $C$ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat nume, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.

1. $A+B=B+A$ (comutativitatea adunării)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociativitatea adunării)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivitatea înmulțirii cu o matrice în raport cu adunarea numerelor)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivitatea înmulțirii cu un număr în raport cu adunarea matricei)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, unde $E$ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, unde $O$ este o matrice zero de dimensiunea corespunzătoare.
10. $\left(A^T \dreapta)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

În partea următoare, vom lua în considerare operația de ridicare a unei matrici la o putere întreagă nenegativă și vom rezolva, de asemenea, exemple în care este necesar să se efectueze mai multe operații pe matrice.

Principalele aplicații ale matricelor sunt legate de operație multiplicare.

Având în vedere două matrice:

A – mărimea mn

B – mărimea n k

Deoarece lungimea unui rând din matricea A coincide cu înălțimea unei coloane din matricea B, puteți defini o matrice C=AB, care va avea dimensiunile m k. Element matricea C, situată într-un i-lea rând arbitrar (i=1,...,m) și o j-a coloană arbitrară (j=1,...,k), prin definiție, este egală cu produsul scalar a doi vectori din
:i-lea rând al matricei A și j-a coloană a matricei B:

Proprietăți:

Cum este definită operația de înmulțire a unei matrice A cu un număr λ?

Produsul lui A și numărul λ este o matrice în care fiecare element este egal cu produsul elementului corespunzător lui A și λ. Corolar: Factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.

13. Definirea matricei inverse și proprietățile acesteia.

Definiție. Dacă există matrici pătrate X și A de același ordin care îndeplinesc condiția:

unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricea A, atunci se numește matricea X verso la matricea A și se notează cu A -1.

Proprietățile matricelor inverse

Să indicăm următoarele proprietăți ale matricelor inverse:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Dacă matricea inversă există, atunci este unică.

2. Nu orice matrice pătrată diferită de zero are un invers.

14. Prezentați principalele proprietăți ale determinanților. Verificați valabilitatea proprietății |AB|=|A|*|B| pentru matrice

A= și B=

Proprietățile determinanților:

1. Dacă orice rând al determinantului este format din zerouri, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

2. La rearanjarea a două rânduri, determinantul se înmulțește cu -1.

3. Determinantul cu două rânduri identice este egal cu zero.

4. Factorul comun al elementelor oricărui rând poate fi scos din semnul determinant.

5. Dacă elementele unui anumit rând de determinant A sunt prezentate ca sumă a doi termeni, atunci determinantul în sine este egal cu suma a doi determinanți B și D. În determinantul B, linia specificată este formată din primii termeni, în D - din al doilea termen. Liniile rămase ale determinanților B și D sunt aceleași ca în A.

6. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă la una dintre linii se adaugă o altă linie, înmulțită cu orice număr.

7. Suma produselor elementelor oricărui rând prin complemente algebrice la elementele corespunzătoare dintr-un alt rând este egală cu 0.

8. Determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse A m, i.e. determinantul nu se modifică la transpunere.

15. Definiți modulul și argumentul unui număr complex. Scrieți numerele √3+ în formă trigonometricăi, -1+ i.

Fiecare număr complex z=a+ib poate fi asociat cu un vector (a,b)€R 2. Lungimea acestui vector egală cu √a 2 + b 2 se numește modulul unui număr complex z și se notează cu |z|. Unghiul φ dintre un vector dat și direcția pozitivă a axei Ox se numește argument de număr complex z și este notat cu arg z.

Orice număr complex z≠0 poate fi reprezentat ca z=|z|(cosφ +isinφ).

Această formă de scriere a unui număr complex se numește trigonometrică.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Fiecărui număr complex Z = a + ib i se poate atribui un vector (a; b) aparținând lui R^2. Lungimea acestui vector, egală cu KB de la a^2 + b^2, se numește modulul unui număr complex și se notează cu modulul Z. Unghiul dintre acest vector și direcția pozitivă a axei Ox se numește argumentul numărului complex (notat cu arg Z).

Anul I, superioare matematică, studii matriciși acțiuni de bază asupra acestora. Aici sistematizăm operațiile de bază care pot fi efectuate cu matrice. De unde să începeți să vă familiarizați cu matricele? Desigur, de la cele mai simple lucruri - definiții, concepte de bază și operații simple. Vă asigurăm că matricele vor fi înțelese de toți cei care le dedică măcar puțin timp!

Definiția matricei

Matrice este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine, în termeni simpli - un tabel de numere.

De obicei, matricele sunt notate cu litere mari latine. De exemplu, matrice A , matrice B și așa mai departe. Matricele pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulare, pătrate și există și matrici de rânduri și coloane numite vectori. Mărimea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, să scriem o matrice dreptunghiulară de dimensiune m pe n , Unde m – numărul de linii și n - numar de coloane.

Articole pentru care i=j (a11, a22, .. ) formează diagonala principală a matricei și se numesc diagonală.

Ce poți face cu matricele? Adăugați/Scădeți, inmultiti cu un numar, se inmultesc intre ele, transpune. Acum despre toate aceste operații de bază pe matrice în ordine.

Operații de adunare și scădere pe matrice

Permiteți-ne să vă avertizăm imediat că puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune. Rezultatul va fi o matrice de aceeași dimensiune. Adăugarea (sau scăderea) matricelor este simplă - trebuie doar să adunați elementele corespunzătoare . Să dăm un exemplu. Să efectuăm adăugarea a două matrice A și B de mărime două câte două.

Scăderea se face prin analogie, doar cu semnul opus.

Orice matrice poate fi înmulțită cu un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare dintre elementele sale cu acest număr. De exemplu, să înmulțim matricea A din primul exemplu cu numărul 5:

Operație de multiplicare a matricei

Nu toate matricele pot fi multiplicate împreună. De exemplu, avem două matrice - A și B. Ele pot fi înmulțite între ele numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. În acest caz fiecare element al matricei rezultate, situat în rândul i și coloana j, va fi egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare din rândul i al primului factor și coloana j a al doilea. Pentru a înțelege acest algoritm, să scriem cum sunt înmulțite două matrici pătrate:

Și un exemplu cu numere reale. Să înmulțim matricele:

Operația de transpunere a matricei

Transpunerea matricei este o operație în care rândurile și coloanele corespunzătoare sunt schimbate. De exemplu, să transpunem matricea A din primul exemplu:

Determinant de matrice

Determinant, sau determinant, este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Cândva, oamenii au venit cu ecuații liniare, iar după ele au trebuit să vină cu un determinant. În cele din urmă, depinde de tine să te ocupi de toate acestea, deci, ultima împingere!

Determinantul este o caracteristică numerică a unei matrice pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe probleme.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, trebuie să calculați diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.

Determinantul unei matrice de ordinul întâi, adică format dintr-un element, este egal cu acest element.

Ce se întâmplă dacă matricea este trei câte trei? Acest lucru este mai dificil, dar poți face față.

Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu suma produselor elementelor diagonalei principale și a produselor elementelor situate pe triunghiuri cu o față paralelă cu diagonala principală, din care produsul dintre se scad elementele diagonalei secundare si produsul elementelor situate pe triunghiurile cu fata diagonalei secundare paralele.

Din fericire, în practică este rareori necesar să se calculeze determinanții matricilor de dimensiuni mari.

Aici ne-am uitat la operațiile de bază pe matrice. Desigur, în viața reală s-ar putea să nu întâlnești niciodată nici măcar un indiciu al unui sistem matriceal de ecuații sau, dimpotrivă, s-ar putea să întâlnești cazuri mult mai complexe când trebuie cu adevărat să-ți faci creierul. Pentru astfel de cazuri există servicii profesionale pentru studenți. Cereți ajutor, obțineți o soluție de înaltă calitate și detaliată, bucurați-vă de succes academic și de timp liber.