Vectori proprii și valori proprii ale unui operator liniar. Vectorii proprii ai unui operator liniar

Definiție 5.3. Vector diferit de zero x în spațiul liniar L este numit vectorul propriu al operatorului liniar A: L → L, dacă pentru un număr real A este valabilă relația Ax = λx. În acest caz, se numește numărul λ valoare proprie (valoare proprie) a operatorului liniar A.

Exemplul 5.3. Spațiul liniar K n [x] al polinoamelor de grad nu mai mare decât n conține polinoame de grad zero, i.e. funcții permanente. Deoarece dc/dx = 0 = 0 c, polinoamele de grad zero p(x) = c ≠ 0 sunt vectorii proprii ai operatorului de diferențiere liniară, iar numărul λ = 0 este valoarea proprie a acestui operator. #

Se numește mulțimea tuturor valorilor proprii ale unui operator liniar spectrul operatorului liniar . Fiecare vector propriu este asociat cu propria sa valoare proprie. Într-adevăr, dacă un vector x satisface simultan două egalități Ax = λx și Ax = μx, atunci λx = μx, de unde (λ - μ)x = 0. Dacă λ - μ ≠ 0, înmulțiți egalitatea cu numărul (λ - μ) ) -1 și ca rezultat obținem că x = 0. Dar acest lucru contrazice definiția unui vector propriu, deoarece un vector propriu este întotdeauna diferit de zero.

Fiecare valoare proprie are propriii eigenvectori și există o infinitate de ei. Într-adevăr, dacă x este un vector propriu al unui operator liniar A cu o valoare proprie λ, i.e. Ах = λx, atunci pentru orice număr real diferit de zero α avem αx ≠ 0 și А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Aceasta înseamnă că vectorul αx este, de asemenea, un vector propriu pentru operatorul liniar.

Observația 5.1. Ei vorbesc des despre valorile proprii (numerele), spectrul și vectorii proprii ai unei matrice pătrate . Aceasta înseamnă următoarele. Matricea A de ordinul n este matrice niste operator liniarîntr-un fix bază, operează în spațiu liniar n-dimensional. De exemplu, dacă ne oprim la bază standard în spațiul aritmetic liniar R n , atunci matricea A definește un operator liniar A, mapând un vector x ∈ R n cu o coloană de coordonate x la un vector cu o coloană de coordonate Ax. Matricea A este tocmai matricea A. Este firesc să identificăm un operator cu matricea sa în același mod în care un vector aritmetic este identificat cu o coloană a coordonatelor sale. Această identificare, care este adesea folosită și nu întotdeauna specificată, face posibilă transferarea termenilor „operator” în matrice.

Spectrul unui operator liniar este strâns legat de acesta ecuație caracteristică.

Teorema 5.3. Pentru ca un număr real λ să fie o valoare proprie a unui operator liniar, este necesar și suficient ca acesta să fie rădăcina ecuației caracteristice a acestui operator.

◄ Necesitatea. Fie numărul λ o valoare proprie a operatorului liniar A: L → L. Aceasta înseamnă că există un vector x ≠ 0 pentru care

Ax = λx. (5,2)

Rețineți că în L există operator de identitate I: Ix = x pentru orice vector x. Folosind acest operator, transformăm egalitatea (5.2): Ах = λIx, sau

(A - λI)x = 0. (5.3)

Să scriem egalitatea vectorială (5.3) într-o bază b. Matricea operatorului liniar A - λI va fi matricea A - λE, unde A este matricea operatorului liniar A din baza b, iar E este matricea de identitate și fie x coloana de coordonate a vectorului propriu x . Atunci x ≠ 0, iar egalitatea vectorială (5.3) este echivalentă cu matricea

(A - λE)x = 0, (5,4)

care este o formă matriceală de scriere a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (SLAE) cu o matrice pătrată A - λE de ordinul n. Acest sistem are o soluție diferită de zero, care este coloana de coordonate x a vectorului propriu x. Prin urmare, matricea A - λE a sistemului (5.4) are un determinant zero, i.e. det(A - λE) = 0. Aceasta înseamnă că λ este rădăcina ecuației caracteristice a operatorului liniar A.

Adecvarea. Este ușor de observat că raționamentul de mai sus poate fi efectuat în ordine inversă. Dacă λ este rădăcina ecuației caracteristice, atunci într-o bază dată b este valabilă egalitatea det (A - λE) = 0. În consecință, matricea SLAE omogenă (5.4), scrisă sub formă de matrice, este degenerată. sistemul are o soluție diferită de zero x. Această soluție diferită de zero este o mulțime de coordonate în baza b a unui vector diferit de zero x pentru care este valabilă egalitatea vectorială (5.3) sau egalitatea echivalentă (5.2). Ajungem la concluzia că numărul λ este o valoare proprie a operatorului liniar A.

Fiecare valoare proprie λ a matricei (operatorul liniar) este asociată cu ea multiplicitate, punându-l egal cu multiplicitatea rădăcinii λ a ecuației caracteristice acestei matrice (a acestui operator liniar).

Mulțimea tuturor vectorilor proprii corespunzători unei valori proprii date a unui operator liniar nu este subspațiu liniar, deoarece acest set nu conține vector zero, care, prin definiție, nu poate fi adecvată. Dar acest obstacol formal și ușor de îndepărtat este singurul. Să notăm cu £(A, λ) mulțimea tuturor vectorilor proprii ai operatorului liniar A din spațiul liniar L corespunzător valorii proprii λ, cu vectorul zero adăugat la această mulțime.

Teorema 5.4. Mulțimea £(A,λ) este un subspațiu liniar în L.

◄ Să alegem arbitrar doi vectori x,y ∈ £(A, λ) și să demonstrăm că pentru orice α și β reală și vectorul αх + βу aparține lui £(A, λ). Pentru a face acest lucru, calculăm imaginea acestui vector sub acțiunea operatorului liniar A:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Astfel, pentru vectorul z = αх + βу se menține relația Az = λz. Dacă z este un vector zero, atunci acesta aparține lui £(A,λ). Dacă este diferit de zero, atunci, conform relației dovedite, este o valoare proprie cu o valoare proprie λ și aparține din nou mulțimii £(A, λ).

Subspațiul liniar £(A,λ) este uneori numit subspațiul propriu al operatorului liniar *. Este un caz special subspațiu invariant operator liniar A - un subspațiu liniar astfel încât pentru orice vector x ∈ H vectorul Ax să aparțină și lui H.

Un subspațiu invariant al unui operator liniar este, de asemenea, intervalul liniar al oricărui sistem de vectori proprii. Un subspațiu invariant al unui operator liniar care nu are legătură cu vectorii proprii este imaginea operatorului.

Cel mai simplu operator liniar este înmulțirea unui vector cu un număr \(\lambda\). Acest operator pur și simplu întinde toți vectorii cu \(\lambda\) ori. Forma sa matriceală în orice bază este \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda)\). Pentru certitudine, fixăm baza \(\(e\)\) în spațiul vectorial \(\mathit(L)\) și luăm în considerare un operator liniar cu o formă de matrice diagonală în această bază, \(\alpha = diag( \lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Acest operator, conform definiției formei matricei, se întinde \(e_k\) cu \(\lambda _k\) ori, i.e. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) pentru toate \(k=1,2,...,n\). Este convenabil să se lucreze cu matrici diagonale calculul funcțional este simplu de construit pentru ele: pentru orice funcție \(f(x)\) putem pune \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,..., \lambda _n))= diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Astfel, apare o întrebare firească: să existe un operator liniar \(A\), este posibil să alegeți o astfel de bază în spațiul vectorial astfel încât forma matriceală a operatorului \(A\) să fie diagonală în această bază? Această întrebare duce la definirea valorilor proprii și a vectorilor proprii.

Definiție. Fie că pentru operatorul liniar \(A\) există un vector diferit de zero \(u\) și un număr \(\lambda \) astfel încât \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Apoi se numește vectorul \(u\). vector propriu operatorul \(A\), iar numărul \(\lambda \) - cel corespunzător valoare proprie operator \(A\). Se numește mulțimea tuturor valorilor proprii spectrul operatorului liniar \(A\).

Apare o problemă firească: găsiți pentru un operator liniar dat valorile sale proprii și vectorii proprii corespunzători. Această problemă se numește problema de spectru a unui operator liniar.

Ecuația valorii proprii

Pentru certitudine, fixăm baza în spațiul vectorial, adică. Vom presupune că este dat o dată pentru totdeauna. Apoi, după cum sa discutat mai sus, luarea în considerare a operatorilor liniari poate fi redusă la luarea în considerare a matricelor - forme matriceale ale operatorilor liniari. Rescriem ecuația (59) sub forma \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Aici \(E\) este matricea de identitate, iar \(\alpha\) este forma matriceală a operatorului nostru liniar \(A\). Această relație poate fi interpretată ca un sistem de ecuații liniare \(n\) pentru necunoscute \(n\) - coordonatele vectorului \(u\). Mai mult, acesta este un sistem omogen de ecuații și ar trebui să-l găsim nebanală soluţie. Anterior, a fost dată o condiție pentru existența unei astfel de soluții - pentru aceasta este necesar și suficient ca rangul sistemului să fie mai mic decât numărul de necunoscute. Aceasta implică ecuația pentru valorile proprii: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Definiție. Ecuația (60) se numește ecuație caracteristică pentru operatorul liniar \(A\).

Să descriem proprietățile acestei ecuații și soluțiile sale. Dacă o scriem în mod explicit, obținem o ecuație de forma \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] În partea stângă există un polinom în variabila \(\lambda \). Astfel de ecuații sunt numite algebrice de gradul \(n\). Să oferim informațiile necesare despre aceste ecuații.

Ajutor despre ecuațiile algebrice.

Teorema. Fie ca toate valorile proprii ale operatorului liniar \(A\) să fie prime. Apoi setul de vectori proprii corespunzători acestor valori proprii formează baza spațiului vectorial.

Din condițiile teoremei rezultă că toate valorile proprii ale operatorului \(A\) sunt diferite. Să presupunem că mulțimea de vectori proprii este dependentă liniar, astfel încât există constante \(c_1,c_2,...,c_n\), care nu sunt toate zero, îndeplinind condiția: \[ \sum_(k=1)^ nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Printre astfel de formule, să considerăm una care include numărul minim de termeni și să acționăm asupra acesteia cu operatorul \(A\). Datorită liniarității sale, obținem: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k= 0. \quad \quad(63) \]

Fie, pentru certitudine, \(c_1 \neq 0\). Înmulțind (62) cu \(\lambda _1\) și scăzând din (63), obținem o relație de forma (62), dar care conține un termen mai puțin. Contradicția demonstrează teorema.

Deci, în condițiile teoremei, apare o bază asociată unui operator liniar dat - baza vectorilor proprii. Să luăm în considerare forma matricei a operatorului pe o astfel de bază. După cum sa menționat mai sus, a \(k\)-a coloană a acestei matrice este descompunerea vectorului \(Au_k\) în raport cu baza. Totuși, prin definiție, \(Au_k=\lambda _ku_k\), deci această expansiune (ceea ce este scris în partea dreaptă) conține un singur termen și matricea construită se dovedește a fi diagonală. Ca urmare, constatăm că, în condițiile teoremei, forma matriceală a operatorului în baza vectorilor proprii este egală cu \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\ ). Prin urmare, dacă este necesar să se dezvolte calculul funcțional pentru un operator liniar, este rezonabil să se lucreze pe baza vectorilor proprii.

Dacă printre valorile proprii ale unui operator liniar există multipli, descrierea situației devine mai complicată și poate include așa-numitele celule Jordan. Referim cititorul la tutoriale mai avansate pentru situații relevante.

Se numește vectorul X ≠ 0 vector propriu operator liniar cu matricea A, dacă există un număr astfel încât AX =X.

În acest caz, se numește numărul  valoare proprie operator (matricea A) corespunzător vectorului x.

Cu alte cuvinte, un vector propriu este un vector care, sub acțiunea unui operator liniar, se transformă într-un vector coliniar, i.e. doar înmulțiți cu un anumit număr. În schimb, vectorii nepotriviți sunt mai complex de transformat.

Să notăm definiția unui vector propriu sub forma unui sistem de ecuații:

Să mutăm toți termenii în partea stângă:

Ultimul sistem poate fi scris sub formă de matrice după cum urmează:

(A - E)X = O

Sistemul rezultat are întotdeauna o soluție zero X = O. Astfel de sisteme în care toți termenii liberi sunt egali cu zero se numesc omogen. Dacă matricea unui astfel de sistem este pătrată și determinantul său nu este egal cu zero, atunci folosind formulele lui Cramer vom obține întotdeauna o soluție unică - zero. Se poate dovedi că un sistem are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul acestei matrice este egal cu zero, adică.

|A - E| = = 0

Această ecuație cu o necunoscută se numește ecuație caracteristică(polinom caracteristic) matricea A (operator liniar).

Se poate dovedi că polinomul caracteristic al unui operator liniar nu depinde de alegerea bazei.

De exemplu, să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai operatorului liniar definit de matricea A = .

Pentru a face acest lucru, să creăm o ecuație caracteristică |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; valori proprii 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Pentru a găsi vectori proprii, rezolvăm două sisteme de ecuații

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Pentru prima dintre ele, matricea extinsă ia forma

,

de unde x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, adică. X (1) = (-(2/3)s; s).

Pentru al doilea dintre ele, matricea extinsă ia forma

,

de unde x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, adică. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Astfel, vectorii proprii ai acestui operator liniar sunt toți vectorii de forma (-(2/3)с; с) cu valoare proprie (-5) și toți vectorii de forma ((2/3)с 1 ; с 1) cu valoare proprie 7 .

Se poate dovedi că matricea operatorului A în baza formată din vectorii săi proprii este diagonală și are forma:

,

unde  i sunt valorile proprii ale acestei matrice.

Este adevărat și invers: dacă matricea A într-o anumită bază este diagonală, atunci toți vectorii acestei baze vor fi vectori proprii ai acestei matrice.

Se poate dovedi, de asemenea, că dacă un operator liniar are n valori proprii distincte pe perechi, atunci vectorii proprii corespunzători sunt independenți liniar, iar matricea acestui operator în baza corespunzătoare are o formă diagonală.

1. Conceptul de operator liniar

Lăsa RȘi S spații liniare care au dimensiune nȘi m respectiv. Operator A acţionând din R V S numită mapare a formei , care asociază fiecare element X spaţiu R vreun element y spaţiu S. Pentru această mapare vom folosi notația y= A(X) sau y= A X.

Definiție 1. Operator A acţionând din R V S se numește liniar dacă pentru orice elemente X 1 și X 2 spatii Rși orice λ dintr-un câmp numeric K relaţiile sunt satisfăcute

1. A(X 1 +X 2)=AX 1 +AX 2 .
2. A(λx)=λ AX.

Daca spatiu S coincide cu spațiul R, apoi un operator liniar care acționează din R V R numită transformare liniară a spațiului R.

Să fie date două spații vectoriale n- măsurat RȘi m- măsurat S, și să fie specificate bazele și, respectiv, în aceste spații. Să fie dată maparea

Să arătăm acum contrariul, adică. aceea pentru orice operator liniar A, reprezentând spațiul R V Sşi baze arbitrare şi în RȘi Sîn consecință, există o astfel de matrice A cu elemente dintr-un câmp numeric K, că maparea liniară (1) definită de această matrice exprimă coordonatele vectorului mapat y prin coordonatele vectorului original X.

Lăsa X− element arbitrar în R. Apoi

Unde a ij− coordonatele vectorului rezultat în bază.

Apoi folosind operatorul A la element X iar ținând cont de (3) și (4), avem

Atunci egalitatea (5) va lua următoarea formă:

Atunci expresia (6) poate fi scrisă sub formă de matrice:

Unde X∈Rînseamnă că X aparține spațiului R.

Suma operatorilor liniari se notează după cum urmează C=A+B. Este ușor de verificat că suma operatorilor liniari este, de asemenea, un operator liniar.

Să aplicăm operatorul C la vectorul de bază e j, Apoi:

3. Înmulțirea operatorilor liniari

Să fie date trei spații liniare R, SȘi T. Fie operatorul liniar B afișează R V S, și operatorul liniar A afișează S V T.

Definiția 3. Produsul operatorilor AȘi B numit operator C, pentru care următoarea egalitate este valabilă pentru oricare X din R:

Cx=A(Bx), X∈ R.

(12)

Se notează produsul operatorilor liniari C=AB. Este ușor de verificat că produsul operatorilor liniari este și un operator liniar.

Deci operatorul C afișează spațiu R V T. Să alegem în spații R, SȘi T baze și notează-le prin A, BȘi C matrice operator A,BȘi C corespunzătoare acestor baze. Apoi mapările operatorilor liniari A, B, C

Ținând cont de arbitrariul lui x, obținem

Deci operatorul C afișează spațiu R V S. Să alegem în spații R și S baze și notează-le prin A matricea operatorului A egalităţile vectoriale corespunzătoare acestor baze

pot fi scrise sub formă de egalităţi matriceale

Unde x, y, z− vectori X, y, z− prezentate sub formă de coloane de coordonate. Apoi

Având în vedere arbitrariul X, primim

Prin urmare, produsul operatorului C numărul λ corespunde produsului matricei A pe număr λ .

5. Operator nul

Se numește un operator care mapează toate elementele spațiului R la elementul zero al spațiului S operator nulși este notat cu O. Acțiunea operatorului nul poate fi scrisă după cum urmează:

7. Nucleul operator liniar

Definiție 5. Nucleul unui operator liniar A se numește mulțimea tuturor acestor elemente X spaţiu R Topor=0.

Nucleul unui operator liniar se mai numește și defectul operatorului. Nucleul unui operator liniar este notat cu simbolul ker A.

8. Imaginea unui operator liniar

Definiție 6. Imaginea unui operator liniar A se numeste multimea tuturor elementelor y spaţiu R, pentru care se aplică următoarea egalitate: y=Ax pentru toți X din R.

Imaginea unui operator liniar se notează cu im A.

9. Rang operator liniar

Definiție 7. Rangul unui operator liniar A notată prin rang A se numește număr egal cu dimensiunea imaginii im A operator A, adică: rang A=dim(im A).

Matricele diagonale au cea mai simplă structură. Se pune întrebarea dacă este posibil să se găsească o bază în care matricea operatorului liniar să aibă o formă diagonală. O astfel de bază există.
Să fie dat un spațiu liniar R n și un operator liniar A care acționează în el; în acest caz, operatorul A ia R n în sine, adică A:R n → R n .

Definiție. Un vector diferit de zero se numește vector propriu al operatorului A dacă operatorul A se traduce într-un vector coliniar, adică. Numărul λ se numește valoare proprie sau valoare proprie a operatorului A, corespunzătoare vectorului propriu.
Să notăm câteva proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii.
1. Orice combinație liniară de vectori proprii operatorul A care corespunde aceleiași valori proprii λ este un vector propriu cu aceeași valoare proprie.
2. Vectori proprii operatorul A cu valori proprii diferite în perechi λ 1 , λ 2 , …, λ m sunt liniar independenți.
3. Dacă valorile proprii λ 1 =λ 2 = λ m = λ, atunci valoarea proprie λ corespunde nu mai mult de m vectori proprii liniar independenți.

Deci, dacă există n vectori proprii liniar independenți , corespunzătoare diferitelor valori proprii λ 1, λ 2, ..., λ n, atunci acestea sunt liniar independente, prin urmare, pot fi luate ca bază a spațiului R n. Să găsim forma matricei operatorului liniar A pe baza vectorilor proprii ai acestuia, pentru care vom acționa cu operatorul A pe vectorii de bază: Apoi .
Astfel, matricea operatorului liniar A pe baza vectorilor proprii are o formă diagonală, iar valorile proprii ale operatorului A sunt de-a lungul diagonalei.
Există o altă bază în care matricea are o formă diagonală? Răspunsul la această întrebare este dat de următoarea teoremă.

Teorema. Matricea unui operator liniar A din bază (i = 1..n) are formă diagonală dacă și numai dacă toți vectorii bazei sunt vectori proprii ai operatorului A.

Regula pentru găsirea valorilor proprii și vectorilor proprii

Fie dat un vector , unde x 1, x 2, …, x n sunt coordonatele vectorului relativ la bază și este vectorul propriu al operatorului liniar A corespunzător valorii proprii λ, adică. Această relație poate fi scrisă sub formă de matrice

. (*)

Ecuația (*) poate fi considerată ca o ecuație pentru găsirea , și , adică ne interesează soluțiile netriviale, deoarece vectorul propriu nu poate fi zero. Se știe că soluțiile netriviale ale unui sistem omogen de ecuații liniare există dacă și numai dacă det(A - λE) = 0. Astfel, pentru ca λ să fie o valoare proprie a operatorului A este necesar și suficient ca det(A - λE) ) = 0.
Dacă ecuația (*) este scrisă în detaliu sub formă de coordonate, obținem un sistem de ecuații liniare omogene:

(1)
Unde - matrice operator liniar.

Sistemul (1) are o soluție diferită de zero dacă determinantul său D este egal cu zero

Am primit o ecuație pentru găsirea valorilor proprii.
Această ecuație se numește ecuație caracteristică, iar partea stângă este numită polinomul caracteristic al matricei (operatorului) A. Dacă polinomul caracteristic nu are rădăcini reale, atunci matricea A nu are vectori proprii și nu poate fi redusă la formă diagonală.
Fie λ 1, λ 2, …, λ n rădăcinile reale ale ecuației caracteristice, iar printre ele pot exista multipli. Înlocuind aceste valori la rândul lor în sistemul (1), găsim vectorii proprii.

Exemplul 12. Operatorul liniar A acţionează în R 3 conform legii, unde x 1, x 2, .., x n sunt coordonatele vectorului din bază , , . Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai acestui operator.
Soluţie. Construim matricea acestui operator:
.
Creăm un sistem pentru determinarea coordonatelor vectorilor proprii:

Compunem o ecuație caracteristică și o rezolvăm:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Înlocuind λ = -1 în sistem, avem:
sau
Deoarece , atunci există două variabile dependente și o variabilă liberă.
Fie x 1 o necunoscută liberă, atunci Rezolvăm acest sistem în orice mod și găsim soluția generală a acestui sistem: Sistemul fundamental de soluții constă dintr-o singură soluție, deoarece n - r = 3 - 2 = 1.
Mulțimea vectorilor proprii corespunzători valorii proprii λ = -1 are forma: , unde x 1 este orice număr altul decât zero. Să alegem un vector din această mulțime, de exemplu, punând x 1 = 1: .
Raționând în mod similar, găsim vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ = 3: .
În spațiul R 3, baza constă din trei vectori liniar independenți, dar am primit doar doi vectori proprii liniar independenți, din care nu poate fi compusă baza din R 3. În consecință, nu putem reduce matricea A a unui operator liniar la formă diagonală.

Exemplul 13. Dată o matrice .
1. Demonstrați că vectorul este un vector propriu al matricei A. Găsiți valoarea proprie corespunzătoare acestui vector propriu.
2. Găsiți o bază în care matricea A are formă diagonală.
Soluţie.
1. Dacă , atunci este un vector propriu

.
Vectorul (1, 8, -1) este un vector propriu. Valoare proprie λ = -1.
Matricea are o formă diagonală într-o bază formată din vectori proprii. Unul dintre ei este celebru. Hai să găsim restul.
Căutăm vectori proprii din sistem:

Ecuația caracteristică: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Să găsim vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ = -3:

Rangul matricei acestui sistem este doi și egal cu numărul de necunoscute, deci acest sistem are doar o soluție zero x 1 = x 3 = 0. x 2 aici poate fi orice altceva decât zero, de exemplu, x 2 = 1. Astfel, vectorul (0 ,1,0) este un vector propriu corespunzător lui λ = -3. Sa verificam:
.
Dacă λ = 1, atunci obținem sistemul
Rangul matricei este doi. Tăiem ultima ecuație.
Fie x 3 o necunoscută liberă. Atunci x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Presupunând x 3 = 1, avem (-3,-9,1) - un vector propriu corespunzător valorii proprii λ = 1. Verificați:

.
Deoarece valorile proprii sunt reale și distincte, vectorii corespunzători acestora sunt independenți liniar, deci pot fi luați ca bază în R 3 . Astfel, în bază , , matricea A are forma:
.
Nu orice matrice a unui operator liniar A:R n → R n poate fi redusă la formă diagonală, deoarece pentru unii operatori liniari pot exista mai puțin de n vectori proprii liniari independenți. Cu toate acestea, dacă matricea este simetrică, atunci rădăcina ecuației caracteristice a multiplicității m corespunde exact m vectori independenți liniar.

Definiție. O matrice simetrică este o matrice pătrată în care elementele simetrice față de diagonala principală sunt egale, adică în care .
Note. 1. Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.
2. Vectorii proprii ai unei matrice simetrice corespunzători diferitelor valori proprii în perechi sunt ortogonali.
Ca una dintre numeroasele aplicații ale aparatului studiat, considerăm problema determinării tipului unei curbe de ordinul doi.