Ridicarea unei matrice la un calculator online de putere. Exponentiarea matricei online
Trebuie remarcat faptul că pentru această operație pot fi folosite numai matrici pătrate. Un număr egal de rânduri și coloane este o condiție prealabilă pentru ridicarea unei matrice la o putere. În timpul calculului, matricea va fi înmulțită cu ea însăși de numărul necesar de ori.
Acest calculator online este conceput pentru a efectua operația de ridicare a unei matrice la o putere. Datorită utilizării sale, nu numai că veți face față rapid acestei sarcini, dar veți obține și o idee clară și detaliată a progresului calculului în sine. Acest lucru va ajuta la consolidarea mai bună a materialului obținut în teorie. După ce ai văzut în fața ta un algoritm detaliat de calcul, vei înțelege mai bine toate subtilitățile acestuia și, ulterior, vei putea evita greșelile în calculele manuale. În plus, nu strică niciodată să-ți verifici calculele, iar acest lucru este cel mai bine făcut aici.
Pentru a ridica o matrice la o putere online, veți avea nevoie de o serie de pași simpli. Mai întâi de toate, specificați dimensiunea matricei făcând clic pe pictogramele „+” sau „-” din stânga acesteia. Apoi introduceți numerele în câmpul matricei. De asemenea, trebuie să indicați puterea la care este ridicată matricea. Și apoi tot ce trebuie să faceți este să faceți clic pe butonul „Calculați” din partea de jos a câmpului. Rezultatul obținut va fi de încredere și precis dacă ați introdus cu atenție și corect toate valorile. Împreună cu acesta, vi se va furniza o transcriere detaliată a soluției.
Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.
Scopul serviciului. Folosind acest serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.
Instrucțiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.
Dimensiunea matricei 2 3 4 5 6 7 8 9 10Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss
Algoritm pentru găsirea matricei inverseExemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:
Adunări algebrice.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Atunci matricea inversă poate fi scrisă astfel:
| A -1 = 1 / 10 |
|
| A -1 = |
|
Un caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.
Cum se inserează formule matematice pe un site web?
Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este cel descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.
Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.
Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.
Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:
Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.
Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.
Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.
Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.
Operația de ridicare la puterea n poate fi aplicată formal matricilor pătrate. Pentru a face acest lucru, n trebuie să fie un număr întreg. Rezultatul acestei operațiuni este prezentat în tabel. 9.1. Puteți introduce operatorul pentru ridicarea unei matrice m la puterea n în același mod ca și pentru o mărime scalară: făcând clic pe butonul Ridicare la putere din panoul Calculator sau apăsând tasta. După ce apare substituentul, ar trebui să introduceți valoarea gradului n în el.
Tabelul 9.1. Rezultatele ridicării unei matrice la o putere
0 matrice de identitate a dimensiunii matricei M
1 matricea M însăși
1 M -1 - matricea inversă a lui M
2,3,...MM, (MM)M, ...
2, -3, ... M -1 M -1 , (M -1 M -1)M -1 , ...
Câteva exemple de exponențiere a matricei sunt date în Lista 9.15.
Lista 9.15. Exemple de ridicare a unei matrice pătrate la o putere întreagă
Vectorizarea tablourilor
Algebra vectorială a lui Mathcad include un operator oarecum neobișnuit numit operator de vectorizare. Acest operator este destinat, de regulă, să lucreze cu matrice. Vă permite să efectuați același tip de operație pe toate elementele unui tablou (adică, matrice sau vector), simplificând astfel programarea buclelor. De exemplu, uneori doriți să înmulțiți fiecare element al unui vector cu elementul corespunzător al altui vector. Nu există o astfel de operație direct în Mathcad, dar poate fi realizată cu ușurință folosind vectorizarea (Listing 9.16). Pentru aceasta:
· Introduceți expresia vectorială așa cum se arată în a doua linie a listei (rețineți că în această formă simbolul de înmulțire denotă operatorul de produs scalar al vectorilor).
· Deplasați cursorul astfel încât liniile de intrare să evidențieze întreaga expresie care trebuie vectorizată (Fig. 9.3).
· Introduceți operatorul de vectorizare făcând clic pe butonul Vectorize din panoul Matrix (Fig. 9.3), sau folosind combinația de taste +.
· Introduceți pentru a obține rezultatul.
Orez. 9.3. Operator de vectorizare
Lista 9.16. Utilizarea vectorizării pentru a multiplica elementele unui vector
Operatorul de vectorizare poate fi utilizat numai cu vectori și matrice de aceeași dimensiune.
Majoritatea funcțiilor Mathcad nespecifice nu necesită vectorizare pentru a efectua aceeași operație pe toate elementele vectorului. De exemplu, argumentul funcțiilor trigonometrice este, prin definiție, un scalar. Dacă încercați să calculați sinusul unei mărimi vectoriale, Mathcad va vectoriza în mod implicit, calculând sinusul fiecărui element și producând vectorul corespunzător ca rezultat. Un exemplu este prezentat în Lista 9.17.
Lista 9.17. Vectorizarea este opțională pentru majoritatea funcțiilor Mathcad
Operații simbolice cu matrici
Toți operatorii de matrice și vectori discutați mai sus pot fi utilizați în calcule simbolice. Puterea operațiilor simbolice constă în capacitatea de a le efectua nu numai pe anumite numere, ci și pe variabile. Câteva exemple sunt prezentate în Lista 9.18.
Lista 9.18. Exemple de operații simbolice pe vectori și matrice
Simțiți-vă liber să utilizați procesorul de simboluri ca referință matematică puternică. De exemplu, când doriți să vă amintiți o definiție din domeniul algebrei liniare (de exemplu, regulile de înmulțire și inversare a matricei sunt afișate în primele rânduri din Listarea 9.18).
Funcții matrice
Să enumerăm principalele funcții încorporate concepute pentru a face lucrul cu vectori și matrice mai ușor. Ele sunt necesare pentru a crea matrici, a îmbina și a selecta părți ale matricelor, pentru a obține proprietățile de bază ale matricelor etc.
Funcții de creare a matricei
Cel mai vizual mod de a crea o matrice sau un vector este de a folosi primul buton din bara de instrumente Matrix. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, în special atunci când programați proiecte complexe, este mai convenabil să creați matrice folosind funcții încorporate.
Definirea elementelor matricei folosind o funcție
· matrice(M,N,f) - crearea unei matrice de dimensiunea M*N, fiecare element i, j al cărui element este f(i, j) (Listatul 9.19);
o M - numărul de linii;
o N - numărul de coloane;
o f (i, j) - funcție.
Lista 9.19. Crearea unei matrice
Pentru a crea matrice, există încă două funcții specifice, utilizate în principal pentru prezentarea rapidă și eficientă a oricăror dependențe sub formă de grafice tridimensionale (cum ar fi o suprafață sau o curbă spațială). Toate argumentele lor, cu excepția primului (funcții), sunt opționale. Să luăm în considerare prima dintre funcții.
· CreateSpace(F(sau f1, f2, f3), t0, t1, tgrid, fmap) - creează o matrice imbricată reprezentând coordonatele x, y și z ale curbei spațiale parametrice specificate de funcția p;
- F(t) este o funcție vectorială a trei elemente, definită parametric în raport cu un singur argument t;
- f1(t) ,f2(t), f3(t) - funcții scalare;
- t0 - limita inferioară t (implicit -5);
- t1 - limita superioară t (implicit 5);
- tgrid - numărul de puncte ale grilei după variabila t (implicit 2o);
- fmap este o funcție vectorială cu trei argumente care specifică o transformare de coordonate.
Orez. 9.4. Utilizarea funcției CreateSpace cu un set diferit de parametri
Un exemplu de utilizare a funcției CreateSpace este prezentat în Fig. 9.4. Rețineți că nu a fost necesar niciun cod suplimentar pentru a reprezenta graficul helixului, în afară de definirea relației parametrice în funcția vectorială F.
Funcția de creare a matricei pentru un diagramă de suprafață 3D este proiectată exact în același mod, cu excepția faptului că definirea suprafeței necesită două variabile în loc de una. Un exemplu de utilizare a acestuia este ilustrat în Fig. 9.5.
Orez. 9.5. Utilizarea funcției CreateMesh cu un set diferit de parametri
· CreateMesh(F(sau g, sau f1, f2, f3) , s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - creează o matrice imbricată reprezentând coordonatele x, y și z ale suprafeței parametrice specificat de funcția F;
- F(s,t) este o funcție vectorială a trei elemente, definită parametric în raport cu două argumente s și t;
- g (s, t) - funcție scalară;
- f1(s,t),f2(s,t),f3(s,t) - funcții scalare;
- s0, t0 - limitele inferioare ale argumentelor s, t (implicit -5);
- s1, t1 - limitele superioare ale argumentelor s, t (implicit 5);
- sgrid, tgrid - numărul de puncte ale grilei bazat pe variabilele s și t (implicit 20);
- fmap este o funcție vectorială cu trei elemente de trei argumente care specifică o transformare de coordonate.
Exemple de matrice imbricate care sunt create de funcțiile CreateMesh și CreateSpace sunt prezentate în Lista 9.20. Fiecare matrice a celor trei matrice imbricate care formează matricea definește coordonatele x, y și z ale punctelor de pe suprafață sau, respectiv, curbă.
Lista 9.20. Rezultatul funcțiilor CreateMesh și CreateSpace (Fig. 9.4 - 9.5)
Crearea de matrici de tip special
În Mathcad este ușor să creați matrici de un anumit tip folosind una dintre funcțiile încorporate. Exemple de utilizare a acestor funcții sunt prezentate în Lista 9.21.
· identitate (N) - matrice de identitate de mărime N*N;
· diag(v) - matrice diagonală, pe a cărei diagonală se află elementele vectorului v;
· geninv(A) - crearea unei matrice inversă (în stânga) a matricei A;
· rref (A) - transformarea matricei sau vectorului A în formă treptat;
- N - întreg;
- v - vector;
- A este o matrice de numere reale.
Mărimea N*M a matricei A pentru funcția geninv trebuie să fie astfel încât N>M.
Lista 9.21. Crearea de matrici de tip special
Aici vom continua subiectul operațiunilor pe matrice începute în prima parte și vom analiza câteva exemple în care mai multe operații vor trebui aplicate simultan.
Ridicarea unei matrice la o putere.Fie k un întreg nenegativ. Pentru orice matrice pătrată $A_(n\times n)$ avem: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; ori) $$
În acest caz, presupunem că $A^0=E$, unde $E$ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.
Exemplul nr. 4
Dată o matrice $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $A^2$ și $A^6$.
Conform definiției, $A^2=A\cdot A$, adică. pentru a găsi $A^2$ trebuie doar să înmulțim matricea $A$ cu ea însăși. Operația de înmulțire a matricei a fost discutată în prima parte a subiectului, așa că aici vom scrie pur și simplu procesul de rezolvare fără explicații detaliate:
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$
Pentru a găsi matricea $A^6$ avem două opțiuni. Opțiunea 1: este trivial să continuați înmulțirea $A^2$ cu matricea $A$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Cu toate acestea, puteți lua o cale puțin mai simplă, folosind proprietatea de asociativitate a înmulțirii matriceale. Să plasăm paranteze în expresia pentru $A^6$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
Dacă rezolvarea primei metode ar necesita patru operații de înmulțire, atunci a doua metodă ar necesita doar două. Prin urmare, să mergem pe a doua cale:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 și 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 și -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( matrice) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$
Răspuns: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 și -140 \\ 70 și 239 \end(array) \right)$.
Exemplul nr. 5
Matrici date $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (matrice) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ dreapta)$. Găsiți matricea $D=2AB-3C^T+7E$.
Începem să calculăm matricea $D$ prin găsirea rezultatului produsului $AB$. Matricele $A$ și $B$ pot fi înmulțite, deoarece numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$. Să notăm $F=AB$. În acest caz, matricea $F$ va avea trei coloane și trei rânduri, adică. va fi pătrat (dacă această concluzie nu pare evidentă, vezi descrierea înmulțirii matricelor din prima parte a acestui subiect). Să găsim matricea $F$ calculând toate elementele sale:
$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(matrice) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(matrice) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(aliniat) $$
Deci $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Să mergem mai departe. Matricea $C^T$ este matricea transpusă pentru matricea $C$, adică. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. În ceea ce privește matricea $E$, este matricea identității. În acest caz, ordinea acestei matrice este de trei, adică. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
În principiu, putem continua să mergem pas cu pas, dar este mai bine să luăm în considerare expresia rămasă ca un întreg, fără a fi distras de acțiuni auxiliare. De fapt, ne rămân doar operațiile de înmulțire a matricelor cu un număr, precum și operațiile de adunare și scădere.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ dreapta)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
Să înmulțim matricele din partea dreaptă a egalității cu numerele corespunzătoare (adică cu 2, 3 și 7):
$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 și 7 \end(array) \right) $$
Să facem ultimii pași: scădere și adunare:
$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (matrice) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(matrice) \right). $$
Problemă rezolvată, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
Răspuns: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.
Exemplul nr. 6
Fie $f(x)=2x^2+3x-9$ și matricea $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Aflați valoarea lui $f(A)$.
Dacă $f(x)=2x^2+3x-9$, atunci $f(A)$ este înțeles ca matrice:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Așa este definit un polinom dintr-o matrice. Deci, trebuie să înlocuim matricea $A$ în expresia pentru $f(A)$ și să obținem rezultatul. Deoarece toate acțiunile au fost discutate în detaliu mai devreme, aici voi da pur și simplu soluția. Dacă procesul de efectuare a operației $A^2=A\cdot A$ nu vă este clar, atunci vă sfătuiesc să priviți descrierea înmulțirii matricelor din prima parte a acestui subiect.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 și 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 și 1 \\ 5 și 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$
Răspuns: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.
