„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă și dacă vrei să înveți sa rezolve probleme, Acea rezolva-le.»
D. Polya (1887-1985)

(Matematician. A adus o mare contribuție la popularizarea matematicii. A scris mai multe cărți despre cum să rezolvi problemele și cum să predai rezolvarea problemelor.)

Luați în considerare matricea

Să evidențiem în ea k-rânduriȘi k-coloane (k≤(min(m,n))). Din elementele situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate vom compune un determinant kth Ordin. Toți astfel de determinanți sunt numiți minorii acestei matrice.

Să luăm în considerare toți minorii matrici posibili A, diferit de zero.

Rangul matricei A este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice se presupune a fi zero.

Se numește un minor a cărui ordine determină rangul matricei de bază.

O matrice poate avea mai multe baze minore.

Rangul matricei A notat cu r(A). Dacă r(A)=r(B), apoi matricele AȘi ÎN sunt numite echivalent. Ei scriu A̴∼B.

Proprietățile rangului matricei:

1. Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă.
2. Dacă ștergeți rândul (coloana) zero din matrice, rangul matricei nu se va modifica.
3. Rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare ale matricei.

Prin transformări elementare înțelegem:

• Rearanjarea rândurilor matricei;
• Înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
• Adăugarea elementelor unei linii a elementelor corespunzătoare unei alte linii, înmulțite cu un număr arbitrar.

Atunci când se calculează rangul unei matrice, pot fi utilizate transformări elementare, metoda de reducere a matricei la o formă în trepte și metoda limitării minorilor.

Metodă de reducere a unei matrice la o treaptă Ideea este că, cu ajutorul transformărilor elementare, această matrice este redusă la o matrice în trepte.

Matricea se numește călcat , dacă în fiecare dintre liniile sale primul element diferit de zero este la dreapta decât în ​​precedentul (adică se obțin pași, înălțimea fiecărei trepte trebuie să fie egală cu unu).

Exemple de matrice de etape:

Exemple de matrice non-eșalon:

EXEMPLU: Aflați rangul matricei:

SOLUŢIE:

Să reducem această matrice la o matrice în trepte folosind transformări elementare.

1. Schimbați prima și a treia linie.

2. Primim zerouri sub unu în prima coloană.

Adunând prima linie înmulțită cu (-3) la a doua linie, prima linie înmulțită cu (-5) la a treia linie și prima linie înmulțită cu (-3) la a patra linie, obținem

Pentru a fi mai clar unde mai trebuie să obțineți zerouri, să desenăm pași în matrice. (Matricea va fi treptă dacă există zerouri peste tot sub trepte)

3. Adunând a doua linie înmulțită cu (-1) la a treia linie și a doua linie înmulțită cu (-1) la a patra linie, obținem zerouri sub pașii din a doua coloană.

Dacă desenăm din nou pașii, vom vedea că matricea este în trepte.

Rangul ei este r=3(numărul de rânduri ale matricei pasului, în fiecare dintre care cel puțin un element este diferit de zero). Prin urmare, rangul acestei matrice r=3.

Soluția poate fi scrisă astfel:

(Numerele romane indică numerele de linii)

Răspuns: r=3.

Comanda minora k+1, conţinând un minor de ordin k numit învecinat cu minorul.

Metoda limitării minorilor se bazează pe faptul că rangul unei matrice date este egal cu ordinea unui minor al acestei matrice care este diferit de zero, iar toți minorii care o mărginesc sunt egali cu zero.

Pentru a lucra cu conceptul de rang de matrice, vom avea nevoie de informații din subiectul „Complemente algebrice și minore. Tipuri de minore și complemente algebrice”. În primul rând, acesta se referă la termenul „matrice minoră”, întrucât vom determina rangul matricei tocmai prin intermediul minorilor.

Rangul matricei este ordinea maximă a minorilor săi, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Matrici echivalente- matrice ale căror ranguri sunt egale între ele.

Să explicăm mai detaliat. Să presupunem că printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de doi sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 2 Sau, de exemplu, printre minorii de ordinul al zecelea există cel puțin unul care nu este egal cu zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de 10 sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 10.

Rangul matricei $A$ se notează astfel: $\rang A$ sau $r(A)$. Se presupune că rangul matricei zero $O$ este zero, $\rang O=0$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a forma o matrice minoră trebuie să tăiați rândurile și coloanele, dar este imposibil să tăiați mai multe rânduri și coloane decât conține matricea în sine. De exemplu, dacă matricea $F$ are dimensiunea $5\x 4$ (adică conține 5 rânduri și 4 coloane), atunci ordinea maximă a minorelor sale este de patru. Nu se va mai putea forma minori de ordinul al cincilea, deoarece vor necesita 5 coloane (și avem doar 4). Aceasta înseamnă că rangul matricei $F$ nu poate fi mai mare de patru, adică. $\suna F≤4$.

Într-o formă mai generală, cele de mai sus înseamnă că, dacă o matrice conține $m$ rânduri și $n$ coloane, atunci rangul său nu poate depăși cel mai mic dintre $m$ și $n$, adică. $\rang A≤\min(m,n)$.

În principiu, din însăși definiția rangului urmează metoda de găsire a acestuia. Procesul de găsire a rangului unei matrice, prin definiție, poate fi reprezentat schematic după cum urmează:

Permiteți-mi să explic această diagramă mai detaliat. Să începem să raționăm de la bun început, adică. de la primul ordin minori ai unei matrice $A$.

1. Dacă toți minorii de ordinul întâi (adică, elementele matricei $A$) sunt egale cu zero, atunci $\rang A=0$. Dacă printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 1$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.
2. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci $\rang A=1$. Dacă printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 2$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul trei.
3. Dacă toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci $\rang A=2$. Dacă printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.
4. Dacă toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci $\rang A=3$. Dacă printre minorii de ordinul al patrulea există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 4$. Trecem la verificarea minorilor de ordinul al cincilea și așa mai departe.

Ce ne așteaptă la finalul acestei proceduri? Este posibil ca printre minorii de ordinul k să existe cel puțin unul diferit de zero, iar toți minorii de ordinul (k+1) să fie egali cu zero. Aceasta înseamnă că k este ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, adică. rangul va fi egal cu k. Poate fi o situație diferită: între minorii de ordinul k va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero, dar nu se va mai putea forma (k+1) minori de ordin. În acest caz, rangul matricei este, de asemenea, egal cu k. În scurt, ordinea ultimului minor nenulu compus va fi egală cu rangul matricei.

Să trecem la exemple în care procesul de găsire a rangului unei matrice, prin definiție, va fi ilustrat clar. Permiteți-mi să subliniez încă o dată că în exemplele acestui subiect vom începe să găsim rangul matricelor folosind doar definiția rangului. Alte metode (calcularea rangului unei matrice folosind metoda minorilor învecinați, calcularea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare) sunt discutate în următoarele subiecte.

Apropo, nu este deloc necesară începerea procedurii de găsire a gradului cu minorii de ordinul cel mai mic, așa cum s-a făcut în exemplele nr. 1 și nr. 2. Puteți trece imediat la minori de ordine superioară (vezi exemplul nr. 3).

Exemplul nr. 1

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(matrice) \right)$.

Această matrice are dimensiunea $3\xtime 5$, adică conține trei rânduri și cinci coloane. Dintre numerele 3 și 5, minimul este 3, prin urmare rangul matricei $A$ nu este mai mare de 3, adică. $\rang A≤ 3$. Și această inegalitate este evidentă, deoarece nu vom mai putea forma minori de ordinul al patrulea - au nevoie de 4 rânduri și avem doar 3. Să trecem direct la procesul de găsire a rangului unei matrice date.

Printre minorii de ordinul întâi (adică printre elementele matricei $A$) există și altele diferite de zero. De exemplu, 5, -3, 2, 7. În general, nu ne interesează numărul total de elemente diferite de zero. Există cel puțin un element diferit de zero - și este suficient. Deoarece printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul diferit de zero, concluzionăm că $\rang A≥ 1$ și trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.

Să începem să explorăm minorii de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanelor nr. 1, nr. 4 există elemente de următorul minor: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(matrice) \right|. Pentru acest determinant, toate elementele celei de-a doua coloane sunt egale cu zero, prin urmare determinantul în sine este egal cu zero, i.e. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (vezi proprietatea nr. 3 la tema proprietăților determinanților). Sau puteți calcula pur și simplu acest determinant folosind formula nr. 1 din secțiunea privind calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Primul minor de ordinul doi pe care l-am testat sa dovedit a fi egal cu zero. Ce înseamnă acest lucru? Despre necesitatea verificării în continuare a minorilor de ordinul doi. Fie se vor dovedi a fi toate zero (și atunci rangul va fi egal cu 1), fie printre ei va exista cel puțin un minor care este diferit de zero. Să încercăm să facem o alegere mai bună scriind un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanelor nr. 1 și nr. 5: $\left|\begin( matrice)(cc) 5 și 2 \\ 7 și 3 \end(matrice) \right|$. Să găsim valoarea acestui minor de ordinul doi:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Acest minor nu este egal cu zero. Concluzie: printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Prin urmare $\rang A≥ 2$. Trebuie să trecem la studiul minorilor de ordinul trei.

Dacă alegem coloana nr. 2 sau coloana nr. 4 pentru a forma minori de ordinul trei, atunci astfel de minori vor fi egali cu zero (deoarece vor conține o coloană zero). Rămâne de verificat doar un minor de ordinul trei, ale cărui elemente sunt situate la intersecția coloanelor nr. 1, nr. 3, nr. 5 și rândurile nr. 1, nr. 2, nr. 3. Să notăm acest minor și să îi găsim valoarea:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Deci, toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Ultimul minor diferit de zero pe care l-am compilat a fost de ordinul doi. Concluzie: ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este 2. Prin urmare, $\rang A=2$.

Răspuns: $\rang A=2$.

Exemplul nr. 2

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Avem o matrice pătrată de ordinul al patrulea. Să observăm imediat că rangul acestei matrice nu depășește 4, adică. $\rang A≤ 4$. Să începem să găsim rangul matricei.

Printre minorii de ordinul întâi (adică dintre elementele matricei $A$) există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 1$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1 și nr. 2, obținem următorul minor de ordinul doi: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Să o calculăm:

$$\stânga| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 2$.

Să trecem la minorii de ordinul trei. Să găsim, de exemplu, un minor ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$\stânga | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Deoarece acest minor de ordinul trei s-a dovedit a fi egal cu zero, este necesar să se investigheze un alt minor de ordinul trei. Fie toate vor fi egale cu zero (atunci rangul va fi egal cu 2), fie printre ei va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero (atunci vom începe să studiem minorii de ordinul al patrulea). Să luăm în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\stânga| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul diferit de zero, deci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.

Orice minor de ordinul al patrulea este situat la intersecția a patru rânduri și patru coloane ale matricei $A$. Cu alte cuvinte, minorul de ordinul al patrulea este determinantul matricei $A$, deoarece această matrice conține 4 rânduri și 4 coloane. Determinantul acestei matrice a fost calculat în exemplul nr. 2 al subiectului „Reducerea ordinii determinantului pe rând (coloană)”, deci să luăm doar rezultatul final:

$$\stânga| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (matrice)\right|=86. $$

Deci minorul de ordinul al patrulea nu este egal cu zero. Nu mai putem forma minori de ordinul al cincilea. Concluzie: cel mai mare ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este 4. Rezultat: $\rang A=4$.

Răspuns: $\rang A=4$.

Exemplul nr. 3

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( matrice) \right)$.

Să observăm imediat că această matrice conține 3 rânduri și 4 coloane, deci $\rang A≤ 3$. În exemplele anterioare, am început procesul de găsire a rangului luând în considerare minorii de ordinul cel mai mic (primul). Aici vom încerca să verificăm imediat minorii de cea mai mare ordine posibilă. Pentru matricea $A$ acestea sunt minorii de ordinul trei. Să luăm în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\stânga| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Deci, cel mai înalt ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, este 3. Prin urmare, rangul matricei este 3, adică. $\rang A=3$.

Răspuns: $\rang A=3$.

În general, găsirea rangului unei matrice prin definiție este, în cazul general, o sarcină destul de intensivă în muncă. De exemplu, o matrice de dimensiuni relativ mici $5\time 4$ are 60 de minori de ordinul doi. Și chiar dacă 59 dintre ele sunt egale cu zero, atunci al 60-lea minor se poate dovedi a fi diferit de zero. Apoi va trebui să studiezi minorii de ordinul trei, dintre care această matrice are 40 de piese. De obicei ei încearcă să folosească metode mai puțin greoaie, cum ar fi metoda limitării minorilor sau metoda transformărilor echivalente.

Elementar Următoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană), înmulțit cu un anumit număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă folosind o mulțime finită de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci se scrie după cum urmează: A ~ B.

Canonic O matrice este o matrice în care la începutul diagonalei principale există mai multe pe rând (al căror număr poate fi zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

Folosind transformări elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la canonică. Rangul unei matrice canonice este egal cu numărul celor de pe diagonala sa principală.

Exemplul 2 Aflați rangul unei matrice

A=

și să-l aducă la forma canonică.

Soluţie. Din a doua linie, scădeți prima și rearanjați aceste linii:

.

Acum din a doua și a treia linie o scădem pe prima, înmulțită cu 2, respectiv 5:

;

scădeți primul din a treia linie; obținem o matrice

B = ,

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din ea folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este 2 și, prin urmare, r(A)=2. Matricea B poate fi ușor redusă la canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică. Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele potrivite, din toate cele ulterioare, trecem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și obținem matricea canonică:

.

Kronecker - teorema Capelli- criteriul de compatibilitate pentru un sistem de ecuații algebrice liniare:

Pentru ca un sistem liniar să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale.

Dovada (condiții de compatibilitate a sistemului)

Necesitate

Lăsa sistem comun Apoi, există numere astfel încât . Prin urmare, coloana este o combinație liniară a coloanelor matricei. Din faptul că rangul unei matrice nu se va schimba dacă un rând (coloană) este șters sau adăugat din sistemul rândurilor sale (coloanelor), care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), rezultă că .

Adecvarea

Lăsa . Să luăm unele minore de bază în matrice. Din moment ce, atunci va fi și baza minoră a matricei. Apoi, conform teoremei de bază minor, ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei. Prin urmare, coloana de termeni liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei.

Consecințe

Numărul de variabile principale sisteme egală cu rangul sistemului.

Comun sistem va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.

Sistem omogen de ecuații

Oferi15 . 2 Sistem omogen de ecuații

este întotdeauna comună.

Dovada. Pentru acest sistem, mulțimea numerelor , , , este o soluție.

În această secțiune vom folosi notația matricială a sistemului: .

Oferi15 . 3 Suma soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare este o soluție a acestui sistem. O soluție înmulțită cu un număr este, de asemenea, o soluție.

Dovada. Lăsați-le să servească drept soluții pentru sistem. Apoi și. Lăsa . Apoi

Din moment ce, atunci - soluția.

Fie un număr arbitrar, . Apoi

Din moment ce, atunci - soluția.

Consecinţă15 . 1 Dacă un sistem omogen de ecuații liniare are o soluție diferită de zero, atunci are infinite de soluții diferite.

Într-adevăr, înmulțind o soluție diferită de zero cu diverse numere, vom obține soluții diferite.

Definiție15 . 5 Vom spune că soluțiile forme de sisteme sistem fundamental de soluții, dacă coloane formează un sistem liniar independent și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor coloane.

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea consistenței unui sistem de ecuații algebrice liniare. În acest articol vom oferi conceptul de rang de matrice și vom lua în considerare metodele pentru a-l găsi. Pentru a înțelege mai bine materialul, vom analiza în detaliu soluțiile la mai multe exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și concepte suplimentare necesare.

Înainte de a exprima definiția rangului unei matrice, ar trebui să aveți o bună înțelegere a conceptului de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Deci, dacă este necesar, vă recomandăm să vă amintiți teoria articolului, metodele de găsire a determinantului unei matrice și proprietățile determinantului.

Să luăm o matrice A de ordin. Fie k un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Ordine K-a minoră matricea A este determinantul unei matrice pătrate de ordine, compusă din elemente ale matricei A, care sunt situate în k rânduri și k coloane preselectate, iar dispunerea elementelor matricei A se păstrează.

Cu alte cuvinte, dacă în matricea A ștergem (p–k) rânduri și (n–k) coloane, iar din elementele rămase creăm o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul de matricea rezultată este un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde unui minor de ordinul întâi. . Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am format un determinant din elementul rămas. Dacă alegem primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul întâi
Și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere avem un minor de ordinul doi . Acest minor ar putea fi compus și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este .

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
Și .

În mod similar, pot fi găsiți minori de ordinul trei ai matricei A. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane ale acestor rânduri, obținem un minor de ordinul trei

De asemenea, poate fi construit prin tăierea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată o imagine care arată construcția acestor minori de ordinul trei
Și .

Pentru o matrice dată A nu există minore de ordin mai mari de treime, deoarece .

Câte minore de ordinul k sunt ale unei matrice A de ordin?

Numărul de minori de ordinul k poate fi calculat ca , unde Și - numărul de combinații de la p la k și respectiv de la n la k.

Cum se construiesc toate minorele de ordin k ale matricei A de ordinul p prin n?

Vom avea nevoie de multe numere de rând matrice și de multe numere de coloane. Scriem totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A când se construiește un minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de rând adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente ale k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorii de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 până la 2 numere de rând ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de 3 până la 2 numere de coloane sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Să luăm primul și al doilea rând al matricei A. Selectând prima și a doua coloană, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană pentru aceste rânduri, obținem minorele, respectiv

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, toți cei nouă minori de ordinul doi din matricea A au fost găsiți.

Acum putem trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei este ordinul cel mai înalt al minorului diferit de zero al matricei.

Rangul matricei A este notat cu Rank(A) . Puteți găsi, de asemenea, denumirile Rg(A) sau Rang(A) .

Din definițiile rangului matricei și ale matricei minore, putem concluziona că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice nenule nu este mai mic de unu.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare a minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Să descriem pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin enumerarea minorilor.

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, ne uităm la minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul doi, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele p și n.

Exemplu.

Aflați rangul matricei .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei. Total dintre ele lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor.

Există și alte metode de găsire a rangului unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda marginii minore.

Să ne ocupăm conceptul de margine minoră.

Se spune că un M ok minor de ordinul (k+1) al matricei A mărginește un M minor de ordinul k al matricei A dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minorului. M .

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginal M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul al doilea. Să notăm toți minorii de la graniță:

Metoda limitării minorilor este justificată de următoarea teoremă (prezentăm formularea ei fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k+1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a găsi rangul unei matrice nu este necesar să parcurgeți toți minorii suficient de învecinați. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordinul k al unei matrice A de ordin , se află prin formula . Rețineți că nu există mai multe minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A decât există (k + 1) minore ale matricei A. Prin urmare, în majoritatea cazurilor, folosirea metodei limitării minorilor este mai profitabilă decât simpla enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului matricei folosind metoda limitării minorilor. Să descriem pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci ca minor de ordinul întâi luăm orice element al matricei A care este diferit de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero (ordinea acestuia este de doi), atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci Rank(A) = 2. Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este de trei), atunci luăm în considerare minorii săi învecinați. Și așa mai departe. Ca rezultat, Rank(A) = k dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rank(A) = min(p, n) dacă există un non- zero minor mărginind un minor de ordin (min( p, n) – 1) .

Să ne uităm la metoda de margine a minorilor pentru a găsi rangul unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul matricei prin metoda limitării minorilor.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor învecinat care este diferit de zero:

Se găsește o muchie minoră de ordinul doi, diferită de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care se învecinează cu minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Exemplu.

Aflați rangul matricei folosind minori învecinați.

Soluţie.

Ca minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A. Minorul din jur de ordinul doi nu este egal cu zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei
. Deoarece nu este egal cu zero și nu există un singur minor de margine pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang(A) = 3 .

Găsirea rangului folosind transformări matriceale elementare (metoda Gauss).

Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

• rearanjarea rândurilor (sau coloanelor) ale unei matrice;
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, diferit de zero;
• adunând la elementele unui rând (coloană) elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă B se obține din A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor este notată prin simbolul „~”, adică scris A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare de matrice se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B) .

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

• Când rearanjați rândurile (sau coloanele) unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când rândurile (coloanele) sunt rearanjate, rămâne egal cu zero.
• Când înmulțiți toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, altul decât zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
• Adăugarea elementelor unui anumit rând (coloană) a unei matrice a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un anumit număr k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare constă în reducerea matricei al cărei rang trebuie să-l găsim la una trapezoidală (într-un caz particular, la una triunghiulară superioară) folosind transformări elementare.

De ce se face asta? Rangul matricelor de acest tip este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și, deoarece rangul matricei nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Oferim ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Aspectul lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu . În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notând-o A (1):

La elementele celui de-al doilea rând din matricea rezultată A (1) adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . La elementele din a treia linie adăugăm elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Să obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate situate în rânduri de la a doua la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal catre unul.

Dacă liniile de la a doua la p-a conțin cel puțin un element diferit de zero, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm exact în același mod, dar numai cu partea din matricea A (2) marcată în figură.

Dacă , atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.

>>Rang matrice

Rangul matricei

Determinarea rangului unei matrice

Luați în considerare o matrice dreptunghiulară. Dacă în această matrice selectăm în mod arbitrar k linii şi k coloane, apoi elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate formează o matrice pătrată de ordinul k-lea. Determinantul acestei matrice se numește minor de ordinul k-lea matricea A. Evident, matricea A are minore de orice ordin de la 1 la cel mai mic dintre numerele m și n. Dintre toate minorele nenule ale matricei A, există cel puțin un minor a cărui ordine este cea mai mare. Se numește cel mai mare dintre ordinele minore diferite de zero ale unei matrice date rang matrici. Dacă rangul matricei A este r, aceasta înseamnă că matricea A are un minor de ordin diferit de zero r, dar fiecare minor de ordin mai mare decât r, este egal cu zero. Rangul matricei A este notat cu r(A). Evident, relația este valabilă

Calcularea rangului unei matrice folosind minori

Rangul matricei se găsește fie prin metoda limitării minorilor, fie prin metoda transformărilor elementare. Când calculați rangul unei matrice folosind prima metodă, ar trebui să treceți de la minorii de ordin inferior la minorii de ordin superior. Dacă a fost deja găsit un D minor de ordinul k al matricei A, diferit de zero, atunci numai minorele de ordin (k+1) care mărginesc D minor necesită calcul, adică. conținându-l ca minor. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu k.

Exemplul 1.Găsiți rangul matricei folosind metoda limitării minorilor

.

Soluţie.Începem cu minorii de ordinul 1, adică. dintre elementele matricei A. Să alegem, de exemplu, un (element) minor M 1 = 1, situat în primul rând și prima coloană. Mărginind cu ajutorul celui de-al doilea rând și al treilea rând, obținem un M 2 minor = diferit de zero. Ne întoarcem acum la minorii de ordinul 3 care se învecinează cu M2. Sunt doar două dintre ele (puteți adăuga o a doua sau a patra coloană). Să le calculăm: = 0. Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea s-au dovedit a fi egali cu zero. Rangul matricei A este doi.

Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare

ElementarUrmătoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană), înmulțit cu un anumit număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă folosind o mulțime finită de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci se scrie după cum urmează: A~B.

CanonicO matrice este o matrice în care la începutul diagonalei principale există mai multe pe rând (al căror număr poate fi zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

.

Folosind transformări elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la canonică. Rangul unei matrice canonice este egal cu numărul celor de pe diagonala sa principală.

Exemplul 2Aflați rangul unei matrice

A=

și să-l aducă la forma canonică.

Soluţie. Din a doua linie, scădeți prima și rearanjați aceste linii:

.

Acum din a doua și a treia linie o scădem pe prima, înmulțită cu 2, respectiv 5:

;

scădeți primul din a treia linie; obținem o matrice

B = ,

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din ea folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este 2 și, prin urmare, r(A)=2. Matricea B poate fi ușor redusă la canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică. Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele potrivite, din toate cele ulterioare, trecem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și obținem matricea canonică:

.