Tensiune: plină, normală, tangenţială. Rezistența materialelor Care sunt tensiunile de rezistență la materiale

Ca măsură a intensității forțelor interne distribuite pe secțiuni, tensiunile sunt forțele pe unitatea de suprafață a secțiunii. Selectați în apropierea punctului B platformă mică Δ F(Fig. 3.1). Lăsa Δ R este rezultanta forțelor interne care acționează pe acest loc. Apoi valoarea medie a forțelor interne pe unitatea de suprafață Δ F site-ul luat în considerare va fi egal cu:

Orez. 3.1. Tensiunea medie pe amplasament

Valoare pm numit medie tensiune. Caracterizează intensitatea medie a forțelor interne. Reducerea dimensiunii zonei, în limita pe care o ajungem

Valoare p se numește stresul adevărat sau pur și simplu stresul într-un punct dat dintr-o secțiune dată.

Unitatea de tensiune este pascal, 1 Pa \u003d 1 N / m 2. Deoarece valorile reale ale tensiunii vor fi exprimate în numere foarte mari, ar trebui utilizate mai multe valori unitare, de exemplu MPa (megapascal) 1 MPa \u003d 10 6 N / m 2.

Tensiunile, ca și forțele, sunt mărimi vectoriale. În fiecare punct al secțiunii corpului tensiune maximă p poate fi descompus în două componente (Fig. 3.2):

1) o componentă normală planului de secțiune. Această componentă se numește tensiune normalăși notat σ ;

2) o componentă situată (în planul secțiunii. Această componentă se notează τ și a sunat efort de forfecare. Efortul tangențial, în funcție de forțele care acționează, poate avea orice direcție în planul de secțiune. Pentru confort τ reprezintă sub forma a două componente în direcţia axelor de coordonate. Denumirile acceptate ale tensiunilor nu sunt prezentate nici în fig. 3.2

Tensiunea normală are un indice care indică la ce axă de coordonate este paralelă tensiunea. Tensiunea normală de întindere este considerată pozitivă, compresivă - negativă.. Denumirile tensiunilor de forfecare au doi indici: primul dintre ei indică care axă este paralelă cu normala aria de acțiune a unei tensiuni date, iar al doilea indică ce axă este paralelă efortul în sine. Descompunerea tensiunii totale în tensiuni normale și tangenţiale are un anumit sens fizic. Stresul normal apare atunci când particulele unui material tind să se îndepărteze unele de altele sau, dimpotrivă, să se apropie. Tensiunile de forfecare sunt asociate cu forfecarea particulelor de material de-a lungul planului de secțiune.

Orez. 3.2. Descompunerea vectorului de stres total

Dacă tăiați mental în jurul unui punct al corpului un element sub forma unui cub infinitezimal, atunci, în cazul general, tensiunile prezentate în Fig. 3.3. Setul de tensiuni pe toate zonele elementare care pot fi trasate prin orice punct al corpului numit stare de stres la un punct dat.

Să calculăm suma momentelor tuturor forțelor elementare care acționează asupra elementului (Fig. 3.3), în raport cu axele de coordonate, deci, de exemplu, pentru axa Xținând cont de echilibrul elementului, avem:

Tensiunea creată într-un corp solid de sarcinile externe este o măsură (cu dimensiunea forței pe unitatea de suprafață) a intensității forțelor interne care acționează de la o parte a corpului tăiată mental la cealaltă rămasă (metoda secțiunii). Sarcinile exterioare cauzează deformarea corpului, de ex. schimbându-i dimensiunea și forma. În rezistența materialelor se studiază relațiile dintre sarcini, tensiuni și deformații, iar cercetările se efectuează, pe de o parte, prin derivarea matematică a formulelor care raportează sarcinile la tensiunile și deformațiile pe care le provoacă, iar pe de altă parte, prin determinarea experimentală a caracteristicilor materialelor utilizate în clădiri şi maşini. Vezi si PROPRIETĂȚI MECANICE METALICE ; ÎNCERCAREA METALURILOR. Conform formulelor găsite, ținând cont de rezultatele testării materialelor, se calculează dimensiunile elementelor clădirilor și mașinilor care oferă rezistență la sarcinile specificate. Rezistența materialelor nu aparține științelor exacte, deoarece multe dintre formulele sale sunt derivate din ipoteze despre comportamentul materialelor care nu sunt întotdeauna îndeplinite cu exactitate. Cu toate acestea, folosindu-le, un inginer competent poate crea proiecte fiabile și economice.

Teoria matematică a elasticității este strâns legată de rezistența materialelor, care ia în considerare și tensiunile și deformațiile. Vă permite să rezolvați acele probleme care sunt dificil de rezolvat prin metode convenționale de rezistență a materialelor. Cu toate acestea, nu există o limită clară între rezistența materialelor și teoria elasticității. Deși aproape toate problemele de distribuție a tensiunilor au fost rezolvate prin metode de analiză matematică, în condiții complexe aceste soluții necesită calcule laborioase. Și apoi metode experimentale de analiză a stresului vin în ajutor.

STRESS ȘI TENSIUNE

Tipuri de tensiuni.

Cel mai important concept în rezistența materialelor este conceptul de stres ca forță care acționează pe o zonă mică și legată de zona acestei zone. Există trei tipuri de tensiuni: tensiune, compresiune și forfecare.

Dacă o sarcină este suspendată pe o tijă metalică, așa cum se arată în Fig. 1, A, atunci o astfel de tijă se numește întinsă sau lucrând în tensiune. Voltaj S creat cu forta Pîntr-o tijă de tensionare cu aria secțiunii transversale egală cu A, este dat de S = P/A. Dacă greutatea sarcinii este de 50.000 N, atunci forța de tracțiune este de asemenea de 50.000 N. În plus, dacă lățimea tijei este de 0,05 m și grosimea este de 0,02 m, astfel încât aria secțiunii transversale este de 0,001 m 2, atunci efortul de tracțiune este de 50.000 / 0,001 \u003d 50.000.000 N / m 2 \u003d 50 MPa. Tija tensionată este mai lungă decât înainte de aplicarea forțelor de tracțiune.

Luați în considerare un cilindru scurt (Fig. 1, b), pe capătul superior al căruia este plasată sarcina. În acest caz, tensiunile de compresiune acționează în toate secțiunile transversale ale cilindrului. Dacă tensiunea este distribuită uniform pe întreaga secțiune transversală, atunci formula este valabilă S = P/A. Cilindrul comprimat este mai scurt decât în absența deformărilor.

Tensiunea de forfecare apare, de exemplu, într-un șurub (Fig. 2, A), pe care tija tensionată este susținută de capătul său superior AB cu o sarcină de 50.000 N (Fig. 1, A). Șurubul ține tija, acționând cu o forță de 50.000 N îndreptată în sus asupra acelei părți a tijei care se află direct deasupra orificiului tijei, iar tija, la rândul său, apasă pe partea de mijloc a șurubului cu o forță. de 50.000 N. Forțele care acționează asupra șurubului se aplică așa cum se arată în fig. 2, b. Dacă șurubul ar fi făcut dintr-un material cu o rezistență scăzută la forfecare, cum ar fi plumbul, atunci ar fi forfecat de-a lungul a două planuri verticale (Fig. 2, V). Dacă șurubul este din oțel și are un diametru suficient de mare, atunci nu se va forfea, dar vor exista tensiuni de forfecare în cele două secțiuni transversale verticale ale sale. Dacă eforturile de forfecare sunt distribuite uniform, atunci ele sunt date prin formula S = P/A. Forța totală de forfecare care acționează în fiecare dintre secțiunile transversale este de 25.000 N, iar dacă diametrul șurubului este de 0,02 m (aria secțiunii transversale este de aproximativ 0,0003 m 2), atunci efortul de forfecare S s va fi de 25.000 N / 0,0003 m 2, i.e. putin peste 80 MPa.

Tensiunile de tracțiune și compresiune sunt direcționate de-a lungul normalului (adică, de-a lungul perpendicularei) la locul în care acţionează, iar efortul de forfecare este paralel cu locul. Prin urmare, tensiunile de tracțiune și compresiune se numesc normale, iar tensiunile de forfecare sunt numite tangențiale.

Deformare.

Deformarea este o modificare a dimensiunii unui corp sub acțiunea sarcinilor aplicate acestuia. Deformația referită la dimensiunea completă se numește relativă. Dacă modificarea fiecărui element mic al lungimii corpului este aceeași, atunci deformarea relativă se numește uniformă. Tensiunea relativă este adesea indicată prin simbol d, și complet - simbolul D. Dacă deformația relativă este constantă pe toată lungimea L, Acea d= D/ L. De exemplu, dacă lungimea unei tije de oțel înainte de aplicarea unei sarcini de tracțiune este de 2,00 m, iar după încărcare este de 2,0015 m, atunci deformația totală D este de 0,0015 m, iar relativa d= 0,0015/2,00 = 0,00075 (m/m).

Pentru aproape toate materialele utilizate în clădiri și mașini, deformația relativă este proporțională cu solicitarea, până când aceasta depășește așa-numita. limita de proporționalitate. Această relație foarte importantă se numește Legea lui Hooke. A fost stabilit și formulat experimental în 1678 de către inventatorul și ceasornicarul englez R. Hooke. Această relație dintre stres și deformare pentru orice material este exprimată prin formulă S = Ed, Unde E este un factor constant care caracterizează materialul. Acest factor se numește modulul Young după T. Young, care l-a introdus în 1802, sau modulul de elasticitate. Dintre materialele structurale convenționale, oțelul are cel mai mare modul de elasticitate; este de aproximativ 200.000 MPa. Într-o bară de oțel, deformarea relativă de 0,00075 din exemplul anterior este cauzată de solicitarea S = Ed= 200.000 ґ 0,00075 = 150 MPa, care este mai mică decât limita proporțională a oțelului de structură. Dacă tija ar fi realizată din aluminiu cu un modul elastic de aproximativ 70.000 MPa, atunci o solicitare de puțin peste 50 MPa ar fi suficientă pentru a provoca aceeași deformare de 0,00075. Din cele spuse este clar că deformațiile elastice în structuri și mașini sunt foarte mici. Chiar și la o solicitare relativ mare de 150 MPa din exemplul de mai sus, deformarea relativă a tijei de oțel nu depășește o miime. O rigiditate atât de mare a oțelului este calitatea sa valoroasă.

Pentru a vizualiza deformația prin forfecare, luați în considerare, de exemplu, o prismă dreptunghiulară ABCD(Fig. 3). Capătul său inferior este încorporat rigid într-o bază solidă. Dacă asupra vârfului prismei acţionează o forţă externă orizontală F, provoacă deformarea prin forfecare arătată prin linii întrerupte. Deplasarea D este deformația totală în lungime (înălțime) L. Tensiune de forfecare relativă d este egal cu D/ L. Pentru deformarea prin forfecare, se respectă și legea lui Hooke, cu condiția ca efortul să nu depășească limita proporțională pentru forfecare. Prin urmare, S s = E s d, Unde E s este modulul de forfecare. Pentru orice material, valoarea E s Mai puțin E. Pentru oțel, este de aproximativ 2/5 E, adică aproximativ 80.000 MPa. Un caz important de deformare prin forfecare este deformarea în arborii supuși momentelor de torsiune exterioare.

Mai sus, am vorbit despre deformațiile elastice, care sunt cauzate de solicitări care nu depășesc limita de proporționalitate. Dacă solicitarea depășește limita proporționalității, atunci deformația începe să crească mai repede decât tensiunea. Legea lui Hooke încetează să mai fie corectă. În cazul oțelului de structură în regiunea imediat deasupra limitei proporționale, o creștere mică a tensiunii duce la o creștere a deformarii de multe ori mai mare decât deformarea corespunzătoare limitei proporționale. Stresul la care începe o astfel de creștere rapidă a deformarii se numește puterea de curgere. Un material în care fractura este precedată de o mare deformare inelastică se numește ductil.

TENSIUNI ADMISIBILE

Tensiunea admisibilă (admisibilă) este valoarea tensiunii, care este considerată a fi maximă acceptabilă la calcularea dimensiunilor secțiunii transversale a elementului, calculate pentru o sarcină dată. Putem vorbi despre tensiunile admisibile de tracțiune, compresiune și forfecare. Tensiunile permise sunt fie prescrise de o autoritate competentă (să zicem, departamentul de poduri al controlului feroviar), fie sunt selectate de un proiectant care cunoaște bine proprietățile materialului și condițiile de utilizare a acestuia. Tensiunea admisibilă limitează solicitarea maximă de funcționare a structurii.

La proiectarea structurilor, scopul este de a crea o structură care, deși este fiabilă, să fie în același timp extrem de ușoară și economică. Fiabilitatea este asigurată de faptul că fiecărui element i se acordă astfel de dimensiuni la care solicitarea maximă de funcționare în el va fi într-o anumită măsură mai mică decât solicitarea care provoacă pierderea rezistenței acestui element. Pierderea forței nu înseamnă neapărat eșec. Se consideră că o mașină sau o structură de clădire a eșuat atunci când nu își poate îndeplini în mod satisfăcător funcția. O piesă realizată din material plastic, de regulă, își pierde rezistența atunci când solicitarea din ea atinge limita de curgere, deoarece în acest caz, din cauza deformării prea mari a piesei, mașina sau structura încetează să mai fie potrivită pentru scopul său. Dacă piesa este făcută dintr-un material fragil, atunci aproape că nu se deformează, iar pierderea rezistenței coincide cu distrugerea sa.

Marjă de siguranță.

Diferența dintre solicitarea la care materialul își pierde rezistența și efortul admisibil este „marja de siguranță” care trebuie luată în considerare, luând în considerare posibilitatea supraîncărcării accidentale, inexactitățile de calcul asociate cu ipotezele simplificate și condițiile incerte, prezența de defecte materiale nedetectate (sau nedetectabile) și scăderea ulterioară a rezistenței din cauza coroziunii metalelor, degradarea lemnului etc.

factorul stoc.

Factorul de siguranță al oricărui element structural este egal cu raportul dintre sarcina finală care provoacă pierderea de rezistență a elementului și sarcina care creează solicitarea admisibilă. În acest caz, pierderea rezistenței este înțeleasă nu numai ca distrugerea elementului, ci și apariția deformațiilor reziduale în acesta. Prin urmare, pentru un element structural din material plastic, stresul final este limita de curgere. În cele mai multe cazuri, tensiunile de lucru în elementele structurale sunt proporționale cu sarcinile și, prin urmare, factorul de siguranță este definit ca raportul dintre rezistența finală și efortul admisibil (factorul de siguranță pentru rezistența finală). Deci, dacă rezistența la tracțiune a oțelului structural este de 540 MPa, iar tensiunea admisă este de 180 MPa, atunci factorul de siguranță este 3.

DISTRIBUȚIA UNIFORMĂ A TENSIUNII

În rezistența materialelor, se acordă o mare atenție derivării relațiilor dintre sarcinile date, dimensiunile și forma unui element structural care suportă aceste sarcini sau le rezistă și solicitările care apar în anumite secțiuni ale elementului structural. De regulă, scopul calculelor este de a găsi dimensiunile necesare ale elementului, la care solicitarea maximă de funcționare din acesta nu va depăși pe cea admisibilă.

În cursul elementar de rezistență a materialelor sunt luate în considerare o serie de cazuri tipice de distribuție uniformă a tensiunilor: tije de tensionare, tije scurte comprimate, cilindri cu pereți subțiri care funcționează sub presiune internă (cazane și rezervoare), îmbinări nituite și sudate, tensiuni termice și astfel de sisteme static nedeterminate precum tijele de tensionare din mai multe materiale diferite.

Dacă tensiunea este aceeași în toate punctele secțiunii transversale, atunci S = P/A. Proiectantul găsește aria secțiunii transversale necesară împărțind sarcina dată la efortul admisibil. Dar trebuie să fii capabil să distingem cazurile în care stresul este într-adevăr distribuit uniform de alte cazuri similare în care nu este. De asemenea, este necesar (ca și în problema îmbinărilor nituite, în care există tensiuni și tensiuni, și compresiuni și forfecare) să se găsească planuri în care acționează tensiuni de diferite tipuri și să se determine tensiunile locale maxime.

Cilindru cu pereți subțiri.

Un astfel de rezervor se defectează (se rupe) atunci când efortul de tracțiune din manta sa devine egală cu rezistența la tracțiune a materialului. Formula care raportează grosimea peretelui t, diametrul interior al rezervorului D, Voltaj Sși presiunea internă R, poate fi derivat luând în considerare condițiile de echilibru pentru un inel tăiat din învelișul său de două plane transversale separate de o distanță L(Fig. 4, A). Presiunea internă acționează pe suprafața interioară a semiinelului cu o forță ascendentă egală cu produsul RDL, iar tensiunile din cele două secțiuni de capăt orizontale ale semicercului creează două forțe în jos, fiecare dintre ele egală cu tLS. Echivalând, obținem

RDL = 2tLS, Unde S = RD/2t.

Conexiune cu nituri.

Pe fig. 4, b este prezentată o conexiune dublu nituită a două benzi cu suprapunere. O astfel de conexiune poate eșua din cauza tăierii ambelor nituri, a ruperii uneia dintre benzi în locul în care este slăbită de orificiul nitului sau din cauza tensiunilor prea mari de colaps de-a lungul zonei de contact a nitului cu banda. . Tensiunea de colaps într-o îmbinare cu nituri este calculată ca sarcina per nit împărțită la diametrul nitului și grosimea benzii. Sarcina admisibilă pentru o astfel de conexiune este cea mai mică dintre sarcinile corespunzătoare tensiunilor admisibile ale celor trei tipuri indicate.

În general, efortul care acționează în secțiunea transversală a unei tije comprimate tensionate sau scurte poate fi considerat, în mod justificat, distribuit uniform dacă se aplică sarcini egale și direcționate opus, astfel încât rezultanta fiecăreia dintre ele să treacă prin centrul de greutate al secțiunii transversale considerate. . Dar trebuie avut în vedere că o serie de probleme (inclusiv problema tensiunilor de strivire într-o îmbinare nituită) sunt rezolvate prin ipoteza unei distribuții uniforme a tensiunilor, deși acest lucru nu este în mod evident adevărat. Admisibilitatea unei astfel de abordări este testată experimental.

DISTRIBUȚIE NEUNIFORMĂ A TENSIUNII

Multe elemente de construcție și părți ale mașinii sunt încărcate în așa fel încât solicitările din toate secțiunile lor transversale sunt distribuite neuniform. Pentru a obține formule pentru calcularea tensiunilor în astfel de condiții, tăiați mental elementul cu un plan care oferă secțiunea transversală dorită în două părți și luați în considerare condițiile de echilibru pentru una dintre ele. Această parte este afectată de una sau mai multe forțe externe specificate, precum și de forțe echivalente cu tensiunile dintr-o secțiune transversală dată. Tensiunile de operare trebuie sa satisfaca conditiile de echilibru si sa corespunda deformatiilor. Aceste două cerințe formează baza pentru rezolvarea problemei. Al doilea dintre acestea implică valabilitatea legii lui Hooke. Elementele tipice cu distribuție neuniformă a tensiunilor sunt grinzile încărcate, arborii sub forțe de torsiune, barele tensionate sau comprimate cu îndoire suplimentară și stâlpii.

BRINZI.

O grindă este o tijă lungă cu suporturi și sarcini, care lucrează în principal în îndoire. Secțiunea transversală a unei grinzi este de obicei aceeași pe toată lungimea sa. Forțele cu care acționează suporturile asupra grinzii se numesc reacții ale suporturilor. Cele mai comune sunt două tipuri de grinzi: cantilever (Fig. 5, A) și o grindă cu doi suporturi, numită una simplă (Fig. 5, b). Sub acțiunea sarcinilor, fasciculul se îndoaie. În același timp, „fibrele” de pe partea superioară sunt reduse, iar pe partea inferioară sunt alungite. Este evident că undeva între părțile superioare și inferioare ale fasciculului există un strat subțire, a cărui lungime nu se modifică. Se numește stratul neutru. Modificarea lungimii fibrei situate între partea superioară (sau inferioară) a fasciculului și stratul său neutru este proporțională cu distanța până la stratul neutru. Dacă legea lui Hooke este valabilă, atunci tensiunile sunt de asemenea proporționale cu această distanță.

Formula curbei.

Pe baza distribuției specificate a tensiunilor, completată de condițiile statice, așa-numitele. o formulă de încovoiere în care solicitarea este exprimată în termeni de sarcini și dimensiuni ale grinzii. De obicei este prezentat sub formă S = Mc/eu, Unde S este tensiunea maximă în secțiunea transversală considerată, c este distanța de la stratul neutru la fibra cea mai solicitată, M- moment încovoietor egal cu suma momentelor tuturor forțelor care acționează pe o parte a acestei secțiuni și eu- momentul de inerție al secțiunii transversale (o anumită funcție a formei și dimensiunilor acesteia din urmă). Natura modificării tensiunilor normale în secțiunea transversală a grinzii este prezentată în fig. 6.

Tensiunile de forfecare acționează și în secțiunile transversale ale grinzilor. Ele sunt cauzate de rezultanta tuturor forțelor verticale aplicate pe o parte a secțiunii transversale a unei grinzi orizontale. Suma tuturor forțelor și reacțiilor externe care acționează asupra uneia dintre cele două părți ale grinzii se numește forfecare în secțiunea grinzii și este de obicei notă cu V. Tensiunile de forfecare sunt distribuite neuniform pe secțiune: sunt egale cu zero la marginile superioare și inferioare ale secțiunii și sunt aproape întotdeauna maxime în stratul neutru.

Deviația fasciculului.

Adesea este necesar să se calculeze deformarea fasciculului cauzată de acțiunea sarcinii, de exemplu. deplasarea verticală a unui punct situat în stratul neutru. Aceasta este o sarcină foarte importantă, deoarece deformarea și curbura fasciculului trebuie cunoscute atunci când se rezolvă probleme legate de o gamă largă de așa-numitele. sisteme static nedeterminate.

În 1757, L. Euler a derivat o formulă pentru curbura unui fascicul curbat. În această formulă, curbura fasciculului este exprimată în termeni de un moment încovoietor variabil. Pentru a găsi ordonata curbei elastice (deformare), este necesar să se ia o integrală dublă. În 1868 O.Mohr (Germania) a propus o metodă bazată pe diagrame ale momentelor încovoietoare. Această metodă analitică grafică are un avantaj imens față de metodele anterioare, deoarece vă permite să reduceți toate calculele matematice la calcule aritmetice relativ simple. Face posibilă calcularea deformației și a pantei în orice punct al grinzii sub orice sarcină.

Grinzi static nedeterminate.

Multe grinzi folosite în clădiri și mașini au mai mult de două picioare, sau doar două picioare, dar cu unul dintre capete închis, eliminând posibilitatea de rotație. Astfel de grinzi se numesc nedeterminate static, deoarece ecuațiile staticii nu sunt suficiente pentru a determina reacțiile în suporturi și momentele din încasări. Cel mai adesea, sunt considerate astfel de grinzi de trei tipuri: cu un capăt încastrat (ciupit) și un suport, cu ambele capete încorporate și grinzi continue cu mai mult de două suporturi (Fig. 7).

Prima soluție la problema grinzilor continue a fost publicată de inginerul francez B. Clapeyron în 1857. El a dovedit așa-numitul. teorema celor trei momente. Ecuația celor trei momente este raportul dintre momentele încovoietoare din trei suporturi consecutive ale unei grinzi continue. De exemplu, în cazul unei grinzi continue cu o sarcină uniformă pe fiecare travee, această ecuație are forma

M A L 1 + 2M B(L 1 + L 2) + M C L 2 = – (W 1 L 1 3)/4 – (W 2 L 2 3)/4.

Aici M A, M BȘi M C- momente încovoietoare în trei suporturi, L 1 și L 2 - lungimi ale traveilor din stânga și din dreapta, 2 - sarcina pe travele din dreapta. Este necesar să scrieți o astfel de ecuație pentru fiecare pereche de intervale adiacente și apoi să rezolvați sistemul de ecuații rezultat. Dacă numărul de intervale este n, atunci numărul de ecuații va fi egal cu n – 1.

În 1930, H. Cross și-a publicat metoda de calcul a unei game largi de cadre static nedeterminate și grinzi continue. „Metoda lui de distribuție a momentelor” vă permite să faceți fără rezolvarea sistemelor de ecuații, reducând toate calculele la adunarea și scăderea numerelor.

TENSIUNEA DE TORSIUNE.

Dacă la capetele arborelui se aplică momente de torsiune exterioare egale, dar direcționate în mod opus, atunci există doar tensiuni tangenţiale în toate secțiunile sale transversale, de exemplu. starea de efort în punctele tijei răsucite este o forfecare pură. În secțiunea transversală circulară a arborelui, deformațiile de forfecare și tensiunile de forfecare sunt egale cu zero în centru și sunt maxime la margine; în punctele intermediare sunt proporţionale cu distanţa de la centrul de greutate al secţiunii. Formula obișnuită pentru solicitarea maximă de forfecare la torsiune este: S = Tc/J, Unde T- moment de răsucire la un capăt, c este raza arborelui și J este momentul polar al secțiunii. Pentru un cerc J = relatii cu publicul 4/2. Această formulă este aplicabilă numai în cazul unei secțiuni transversale circulare. Formulele pentru arbori cu o secțiune transversală de altă formă sunt derivate prin rezolvarea problemelor corespunzătoare folosind metodele teoriei matematice a elasticității, în unele cazuri implicând metodele de analiză experimentală.

REZISTENTA COMPLEXA.

Este adesea necesară proiectarea grinzilor care, pe lângă sarcinile transversale, sunt supuse forțelor longitudinale de tensiune sau compresie aplicate la capete. În astfel de cazuri, solicitarea în orice punct al secțiunii transversale este egală cu suma algebrică a tensiunii normale generate de sarcina longitudinală și a tensiunii de încovoiere generate de sarcinile transversale. Formula generală a tensiunii în cazul acțiunii combinate de încovoiere și tensiune-compresie este: S = ± ( P/A) ± ( Mc/eu), unde semnul plus se referă la efortul de tracțiune.

COLONNE.

Cadrele de construcție și ferme de poduri constau în principal din bare de tensionare, grinzi și stâlpi. Coloanele sunt tije lungi comprimate, un exemplu al cărora în cadrul clădirilor este tijele verticale care poartă podelele între podele.

Dacă lungimea unei tije comprimate este mai mare de 10-15 ori grosimea ei, atunci sub acțiunea sarcinilor critice aplicate la capete, aceasta își va pierde stabilitatea și se va îndoi, chiar dacă sarcinile sunt aplicate nominal de-a lungul axei sale (încovoiere longitudinală). . Datorită acestei îndoiri, sarcina este excentrică. Dacă excentricitatea în secțiunea transversală medie a stâlpului este D, atunci efortul maxim de compresiune din stâlp va fi egal cu ( P/A) + (PDc/eu). Aceasta arată că sarcina admisă pentru coloană ar trebui să fie mai mică decât pentru o tijă scurtă comprimată.

Formula pentru stabilitatea coloanelor flexibile a fost derivată în 1757 de L. Euler. Capacitate maximă P, care poate fi purtat de o coloană flexibilă cu o înălțime L, este egal cu mEA/(L/r) 2 , unde m este un factor constant în funcție de designul bazei, A este aria secțiunii transversale a coloanei și r– cea mai mică rază de rotație a secțiunii transversale. Atitudine L/r numită flexibilitate (flambaj). Este ușor de observat că sarcina admisă scade rapid odată cu creșterea flexibilității coloanei. În cazul coloanelor cu flexibilitate redusă, formula Euler este nepotrivită, iar designerii sunt nevoiți să folosească formule empirice.

În clădiri se găsesc adesea coloane încărcate excentric. În urma unei analize teoretice precise a unor astfel de coloane, s-au obținut „formule secante”. Dar calculele folosind aceste formule sunt foarte laborioase și, prin urmare, de multe ori trebuie să apelăm la metode empirice care dau rezultate bune.

STări de stres complexe

Tensiunea în orice punct al unuia sau altui plan al corpului încărcat, calculată prin formulele uzuale, nu va fi neapărat cea mai mare în acest punct. Prin urmare, problema relației dintre tensiunile din diferite planuri care trec printr-un punct este de mare importanță. Astfel de relații fac obiectul ramurii mecanicii dedicate stărilor complexe de stres.

Relații între stres.

Starea de stres la un punct al oricărui corp încărcat poate fi pe deplin caracterizată prin reprezentarea tensiunilor care acționează pe fața unui cub elementar în acest punct. Adesea există cazuri, care includ pe cele considerate mai sus, de stare de efort biaxială (plană) cu tensiuni egale cu zero pe două fețe opuse ale cubului. Tensiunile existente într-un punct al corpului nu sunt aceleași în planuri cu înclinații diferite. Pe baza prevederilor de bază ale staticii, se pot trage o serie de concluzii importante despre relația dintre tensiunile din diferite planuri. Iată trei dintre ele:

1. Dacă într-un anumit punct al unui plan dat există o efort de forfecare, atunci exact aceeași efort există în planul care trece prin acest punct și perpendicular pe cel dat.

2. Există un plan în care stresul normal este mai mare decât în oricare altul.

3. Într-un plan perpendicular pe acest plan, tensiunea normală este mai mică decât în oricare altul.

Tensiunile normale maxime și minime menționate la paragrafele 2 și 3 se numesc tensiuni principale, iar planurile corespunzătoare se numesc planuri principale.

Necesitatea analizei principalelor tensiuni pe baza acestor relații nu apare întotdeauna, deoarece formulele simple pe care inginerii le folosesc de obicei în majoritatea cazurilor dau exact tensiunile maxime. Dar, în unele cazuri, de exemplu, atunci când se calculează un arbore care rezistă atât la momentele de torsiune, cât și de încovoiere, este imposibil să se facă fără relații pentru o stare complexă de efort.

PROVOCĂRI MAI DIFICILE

În problemele discutate mai sus, tensiunile au fost considerate fie distribuite uniform, fie schimbându-se liniar cu distanța de la axa neutră, unde tensiunea este zero. Cu toate acestea, în multe cazuri legea schimbării tensiunii este mai complicată.

Exemple de probleme cu distribuția neliniară a tensiunilor includ grinzi curbe, vase cu pereți groși care funcționează sub presiune internă sau externă ridicată, arbori cu secțiune transversală necirculară și corpuri încărcate cu modificări bruște ale secțiunii transversale (caneluri, umeri etc. .). Pentru astfel de probleme se calculează factorii de concentrare a stresului.

În plus, discuția de mai sus a fost doar despre sarcini statice, aplicate și îndepărtate treptat. Sarcinile variabile si modificate periodic, repetate in mod repetat, pot duce la o pierdere a rezistentei, chiar daca nu depasesc rezistenta statica la tractiune a materialului in cauza. Astfel de defecțiuni se numesc defecțiuni de oboseală, iar problema prevenirii lor a devenit importantă în epoca noastră a mașinilor și mecanismelor care funcționează la viteze neobișnuit de mari. Vezi si

După cum sa menționat mai sus, forțele interne care acționează într-o anumită secțiune din partea părții aruncate a corpului pot fi reduse la vectorul principal și momentul principal. Fixează un punct Mîn secțiunea luată în considerare cu un vector normal unitar n. În vecinătatea acestui punct, selectăm o zonă mică F. Principalul vector al forțelor interne care acționează pe acest site va fi notat cu P(Fig. 1 A). Cu o scădere a dimensiunii site-ului, respectiv

Fig.1. Compoziția vectorului de stres.
a) vectorul de efort total b) vectorul normal și de forfecare

vectorul principal și momentul principal al forțelor interne scad, iar momentul principal scade într-o măsură mai mare. În limita la , obținem

Limita analogă pentru momentul principal este zero. Vectorul introdus în acest fel p n numit vector de stres într-un punct. Acest vector depinde nu numai de forțele externe care acționează asupra corpului și de coordonatele punctului considerat, ci și de orientarea în spațiul locului. F, caracterizat prin vector P. Mulțimea tuturor vectorilor de stres într-un punct M pentru toate direcțiile vectoriale posibile P determină starea de stres în acel punct.

În general, direcția vectorului de stres p n nu se potrivește cu direcția vectorului normal P. Proiecția vectorului n pe direcția vectorului n se numește efort normal, iar proiecția pe planul care trece prin punctul M și ortogonală cu vectorul n ,  efort de forfecare(Fig. 1 b).

Dimensiunea tensiunii este egală cu raportul dintre dimensiunea forței și dimensiunea ariei. În sistemul internațional de unități SI, tensiunile sunt măsurate în pascali: 1 Pa \u003d 1 N / m 2.

Sub acțiunea forțelor externe, odată cu apariția tensiunilor, are loc o modificare a volumului corpului și a formei acestuia, adică corpul este deformat. În acest caz, se disting stările inițiale (nedeformate) și finale (deformate) ale corpului.

Raportăm corpul neformat la sistemul de coordonate carteziene Oxyz(Fig. 2). Poziția unui punct Mîn acest sistem de coordonate este determinat de vectorul rază r(x, y, z).În starea deformată, punctul M va ocupa o noua pozitie M / , caracterizat prin vectorul rază r" (x, y, z). Vector u=r"r numit vector, deplasare puncte M. Proiecții vectoriale u pe axele de coordonate se determină componentele vectorului deplasare u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z), diferențe egale ale coordonatelor carteziene ale punctului corpului după și înainte de deformare.

O mișcare în care poziția relativă a punctelor corpului nu se modifică nu este însoțită de deformații. În acest caz, se spune că corpul se mișcă ca un întreg rigid (deplasare liniară în spațiu sau rotație în jurul unui punct). Pe de altă parte, deformarea asociată cu o schimbare a formei unui corp și a volumului acestuia este imposibilă fără a-și muta punctele.

Fig.2. Compoziția vectorului de mișcare

Deformările corpului se caracterizează printr-o modificare a poziției relative a punctelor corpului înainte și după deformare. Luați în considerare, de exemplu, ideea Mși un punct apropiat de el N, distanța dintre ele în starea neformată de-a lungul direcției vectorului s va fi notată cu (Fig. 2). În starea deformată a punctului MȘi N mutați într-o nouă poziție (puncte M"Și N), distanța dintre care se va nota cu s". limita de raport

numit deformare liniară relativă la punct Mîn direcţia vectorului s, Fig.3. Luând în considerare trei direcții reciproc perpendiculare, de exemplu, de-a lungul axelor de coordonate Ooh, oohȘi Oz, obținem trei componente ale deformațiilor liniare relative care caracterizează modificarea volumului corpului în procesul de deformare.

Pentru a descrie deformațiile asociate cu o schimbare a formei corpului, luați în considerare punctul Mși două puncte aproape de ea NȘi R, situat în starea neformată în direcția a doi vectori reciproc ortogonali s 1Și s2. Distanțele dintre puncte vor fi notate cu și (Fig. 4). În starea deformată, poziția punctelor va fi notată cu M", N"Și R”. Unghiul dintre segmente M"N"Și DOMNUL"în cazul general va fi diferit de cel direct. La , schimbarea unghiului dintre două direcții ortogonale înainte de a se numește deformare deformare unghiulară. După cum se poate observa din fig. 4, deformația unghiulară este suma a două unghiuri și este asociată cu rotația segmentelor MN"Și DOMNUL"„în. planul format de vectori s 1Și s2, cu privire la acești vectori. Dacă sunt dați trei vectori reciproc ortogonali, direcționați de-a lungul axelor de coordonate, atunci există trei deformații unghiulare și , care împreună cu trei deformații liniare , și determina complet starea deformată în punct.

Fig.3. Compoziția de deformare liniară

Orez. 4. Compoziția deformației unghiulare

STARE DE STRESS LA UN PUNT. TENSOR DE TENSIUNE

Vector de stres p n este un obiect fizic având o lungime, o direcție și un punct de atașare. În acest sens, are proprietăți vectoriale. Cu toate acestea, acest obiect are unele proprietăți care nu sunt tipice pentru vectori. În special, mărimea și direcția vectorului de stres depind de orientarea vectorului n normale ale unui element de suprafață infinitezimal dF. Mulțimea tuturor perechilor posibile de vectori n, r n la un punct defineste stare tensionatăîn acest moment. Cu toate acestea, pentru o descriere completă a stării de stres într-un punct, nu este nevoie să specificați un set infinit de direcții vectoriale. n, este suficient să se determine vectorii de stres pe trei zone elementare reciproc perpendiculare. Tensiunile pe pad-urile orientate în mod arbitrar pot fi exprimate în termenii acestor trei vectori de stres. Pe viitor, lectorul schimbă în mod deliberat orientarea coordonatelor. Deci axa aceea Z axa longitudinală a fasciculului și XȘi Y coordonatele oricărui punct al secțiunii sale transversale.

Să trecem prin punct M trei plane reciproc perpendiculare cu vectori normali ale căror direcții coincid cu direcțiile axelor de coordonate. Zonele elementare sunt formate din secțiuni suplimentare paralele cu planurile originale și distanțate de acestea prin distanțe infinitezimale dx, dy, dz. Ca urmare, în vecinătatea punctului M obținem un paralelipiped infinit de mic, a cărui suprafață este formată din zone elementare dF x=dydz, dF n==dxdz, dF i=dxdy. Vectori de stres p x , py , pz, care operează pe site-uri elementare sunt prezentate în fig. 5.

Să descompunăm fiecare vector de stres în componente de-a lungul axelor de coordonate (Fig. 6). Fiecare site are unul tensiune normală , , , unde indicele denotă direcția vectorului normal către loc și doi tensiuni de forfecare cu doi indici, dintre care primul indică direcția de acțiune a componentei de stres, al doilea indică direcția vectorului normal spre amplasament.

Orez. 5. Starea de echilibru a unui paralelipiped infinit mic

Fig.6. Componentele tensoarelor stării de stres

Setul de nouă componente ale tensiunii (trei pe fiecare dintre cele trei zone reciproc perpendiculare) este un anumit obiect fizic numit tensor de stres la punct. Un tensor poate fi reprezentat ca o matrice prin ordonarea adecvată a celor nouă componente:

Pentru componentele tensorului tensiunii, se acceptă în general următoarea regulă semnului: o componentă este considerată pozitivă dacă, pe un loc cu o normală exterioară pozitivă (adică, îndreptată de-a lungul uneia dintre axele de coordonate), această componentă este îndreptată către direcția pozitivă a axa corespunzătoare. Pe fig. 6, toate componentele tensorului tensiunii sunt prezentate ca pozitive. Pe locurile cu o normală externă negativă (fețele paralelipipedului nu sunt vizibile în figurile 5 și 6), componenta pozitivă este îndreptată în direcția opusă. Tensiunile pe trei zone reciproc ortogonale cu direcții negative ale normalelor caracterizează, de asemenea, starea de stres în punct. Aceste tensiuni, care sunt componente ale tensorului tensiunii, sunt definite în mod similar tensiunilor pe zone cu o normală pozitivă. Ele sunt notate cu aceleași simboluri și au o direcție pozitivă opusă celei prezentate în Fig. 6.

1. Tipuri de încărcări și schematizarea elementelor de construcție.

Principalele tipuri de elemente în care întreaga structură este subdivizată în schema de proiectare includ o tijă sau grindă, o placă, o carcasă și un corp masiv.

O tijă este un corp, a cărui lungime depășește semnificativ dimensiunile caracteristice ale secțiunii transversale.

O placă este un corp a cărui grosime este substanțial mai mică decât dimensiunile planului. O placă curbată (curbilinie înainte de încărcare) se numește coajă.

Un corp masiv se caracterizează prin faptul că toate dimensiunile sale sunt de aceeași ordine.

Sarcinile externe sunt împărțite în concentrate și distribuite.

O forță sau un moment care este considerat condiționat a fi aplicat într-un punct se numește concentrat.

O sarcină distribuită este caracterizată în fiecare punct printr-o valoare numerică și direcția vectorului de intensitate al acestei sarcini. Intensitatea poate fi denumită o unitate de volum, o unitate de suprafață sau o unitate de lungime. În consecință, se numește sarcină volumetrică, de suprafață și distribuită liniar sau liniară.

2. Forțe interne în tijă și definirea lor.

Conform celei de-a treia legi a lui Newton, forțele de interacțiune dintre părțile individuale ale corpului sunt echilibrate. După aplicarea sarcinilor externe, aceste forțe sunt redistribuite, apar forțe suplimentare, având tendința de a readuce corpul la starea inițială.

Forța de interacțiune între părțile individuale ale corpului, care decurge din influența sarcinilor externe, se numește forțe interne sau factori de forță interni.

Metoda secțiunilor este utilizată pentru a determina forțele interne.

În locul în care este necesară determinarea forței interne, o secțiune este realizată printr-un plan și părțile tăiate sunt considerate separat (mental).

Introduceți sistemul de coordonate carteziene XYZ și descompuneți și în componente de-a lungul axelor.

Există 6 forțe interne în fiecare secțiune:

N- forță longitudinală, - forțe transversale (de tăiere), T- cuplu,

Momentul de îndoire.

Pentru a determina 6 forțe interne, este suficient să scrieți 6 ecuații de echilibru pentru un sistem spațial de forțe care acționează asupra uneia dintre părțile tăiate, ținând cont atât de forțele interne, cât și de cele externe.

3. Concepte de tensiuni si deformari la un punct.

Stare de stres la un moment dat numită ansamblul tensiunilor care acționează asupra tuturor locurilor posibile trasate prin acest punct.

Tensiunea sau compresia centrală a unei bare este cel mai simplu tip de deformare a corpului, atunci când starea de solicitare a tuturor punctelor sale este aceeași (starea de efort uniformă).

Setul de alungiri relative și unghiuri de forfecare pentru toate direcțiile posibile ale axelor trasate printr-un punct dat se numește stare deformată într-un punct.

legea lui Hooke: ; Modul elastic: ;

În diferite elemente ale structurilor și mașinilor apar doar forțe longitudinale, care provoacă în ele deformații de tracțiune și compresiune.

Ipoteza secțiunilor plate (ipoteza lui J. Bernoulli): secțiunile transversale ale tijei, care sunt plate și perpendiculare pe axa sa longitudinală înainte de deformare, rămân plate și perpendiculare pe ax după deformare.

5. Diagrama de întindere.

Conform diagramei de tensiune se evaluează caracteristicile mecanice ale materialului.

Deformarea este luată în considerare pentru un material elastic-plastic (oțel cu carbon moale).

t. A - limita de proporționalitate;

t. B - limita elastica;

t. C - limita de curgere;

t. D - rezistenta temporara la tractiune;

m. E este distrugerea probei.

Aceasta este tensiunea maximă până la care materialul urmează legea lui Hooke.

Aceasta este tensiunea maximă la care, după ce sarcina este îndepărtată, materialul va reveni la starea inițială.

Aceasta este tensiunea la care materialul curge fără o modificare vizibilă a sarcinii. Dacă scoatem sarcina, materialul va reveni la poziție.

CD - zona de intarire. Aici, alungirea probei este însoțită de o creștere a sarcinii, dar nemăsurat mai lentă (de sute de ori) decât în secțiunea elastică.

m. D corespunde tensiunii maxime la care materialul nu se prăbușește.

punctul E - corespunde distrugerii probei.

tg este modulul de elasticitate.

6. Compararea diagramelor de tensiune pentru diverse materiale.

s p - limita de proporționalitate, s t - punct de randament, s В - rezistență la tracțiune sau rezistență temporară, s la - tensiune în momentul ruperii.

Materialele fragile, cum ar fi fonta, se sparg la alungiri mici și nu au un platou de curgere, rezistând la compresie mai bine decât la întindere.

Tensiune admisibilă , s 0 - tensiune periculoasă, n - coeficient. marjă de siguranță. Pentru materialele plastice s 0 = s t și n = 1,5, fragil s 0 = s B, n = 3.

7. Energia potențială în tensiune și compresie.

La întindere (compresie) simplă, energia potențială U= .

Energia potențială specifică- cantitatea de energie potenţială acumulată pe unitatea de volum: u = ; . În cazul general al unei stări de solicitare volumetrică, când acţionează trei tensiuni principale:

Energia totală de deformare acumulată pe unitate de volum poate fi considerată ca fiind formată din două părți: 1) energia u cu o modificare a formei cubului (adică energia cheltuită pentru transformarea cubului într-un paralelipiped). u \u003d u o + u f.

;

8. Munca totală cheltuită pentru spargerea probei.

Pe baza muncii depuse la spargerea probei, se poate evalua capacitatea materialului de a rezista la acțiunea șocurilor și a sarcinilor cilindrice. Cu cât se lucrează mai mult la spargerea probei, cu atât materialul va rezista mai bine la acțiunea unei sarcini dinamice.

9. Diagrama de întindere adevărată.

Adevăratele tensiuni în fiecare moment de încărcare vor fi mai mari decât cele condiționate. O abatere vizibilă a tensiunilor adevărate față de cele condiționate apare după punctul de curgere, deoarece îngustarea secțiunii transversale devine mai semnificativă. Diferența dintre tensiuni crește mai ales puternic după formarea gâtului. Adevăratele alungiri încep și ele să crească. Diagrama tensiunilor, construită ținând cont de îngustarea ariei secțiunii transversale și de creșterea locală a deformațiilor, se numește diagramă de tensiuni adevărate.

10. Diagrama de compresie; caracteristicile fracturii sub compresie.

Diagrama lemnului. Lemnul se referă la un material anizotrop, a cărui rezistență la sarcina externă depinde de aranjarea fibrelor în timpul testului. Diagramele comprimării lemnului de-a lungul fibrelor (curba 1) și de-a lungul fibrelor (curba 2) sunt prezentate în fig.

Când proba este comprimată de-a lungul fibrelor în secțiunea OA, lemnul lucrează aproape elastic și creșterea deformațiilor are loc de fapt proporțional cu creșterea sarcinii. cu o creștere suplimentară a sarcinii, deformațiile încep să crească mai repede decât forțele. Aceasta indică regiunea elastoplastică a materialului.

distrugerea probei are loc la o sarcină Pmax (punctul E) plastic ca urmare a pierderii stabilității locale a pereților unui număr de fibre de lemn, care se manifestă prin formarea unui pliu caracteristic. De asemenea, poate fi însoțită de mototolirea capetelor probei și apariția fisurilor longitudinale.

Când proba este comprimată peste fibre până la sarcina maximă (punctul B), corespunzătoare limitei de proporționalitate, există o relație liniară între sarcină și deformare. Apoi deformațiile cresc rapid, iar sarcina crește ușor. Ca rezultat, proba este comprimată și compactată. dacă există defecte în el (noduri, crăpături), se poate prăbuși. Din diagramă, se poate observa că rezistența lemnului la compresie de-a lungul fibrelor este mult mai mare decât rezistența peste fibre (de 8-10 ori).

11. Caracteristicile mecanice ale materialelor noi.

Limita elastică este tensiunea până la care materialul primește doar deformare elastică.

Limita de proporționalitate este tensiunea maximă până la care materialul urmează legea lui Hooke.

Limita de curgere este tensiunea la care curge un material fără o creștere vizibilă a tensiunii.

Rezistența la tracțiune (rezistența la tracțiune) - raportul dintre forța maximă pe care o poate rezista proba și aria sa transversală inițială.

Alungirea la rupere - deformarea medie permanentă la o anumită lungime standard a probei până la momentul ruperii.

Plasticitate - capacitatea unui material de a primi deformații reziduale mari fără distrugere.

fragilitate - capacitatea unui material de a se prăbuși fără formarea de deformații reziduale vizibile.

Duritatea este capacitatea unui material de a rezista la pătrunderea mecanică a corpurilor străine în el.

12. Influența temperaturii, a expunerii la radiații, a tratamentului termic și a altor factori asupra caracteristicilor mecanice ale materialelor.

Efectul temperaturii. Odată cu creșterea temperaturii, caracteristicile de rezistență mecanică ale majorității materialelor scad, iar odată cu scăderea temperaturii, acestea cresc.

Oțelul suferă ductilitate termică la temperaturi ridicate. La temperaturi negative, oțelurile devin mai casante. Această proprietate se numește fragilitate la rece.

Influența tratamentului termic. Ca tratament termic al oțelului, se utilizează călirea acestuia. Pentru a conferi aceste proprietăți oțelului cu conținut scăzut de carbon, acesta este carburat - o creștere a conținutului de carbon din stratul de suprafață, urmată de întărirea acestui strat. Pentru a îmbunătăți structura și proprietățile mecanice ale oțelului, se utilizează normalizarea - încălzirea oțelului la o temperatură de 750-950 C, menținerea acestuia și apoi răcirea în aer.

Influența factorilor tehnologici. Caracteristicile mecanice ale oțelului depind de metoda de producție și prelucrare a acestuia.

În timpul turnării, crește posibilitatea formării diferitelor deformații sub formă de goluri, cochilii, incluziuni, ceea ce duce la o scădere a caracteristicilor mecanice ale rezistenței oțelului.

Laminarea modifică structura oțelului, făcându-l anizotrop. În direcția de laminare, oțelul devine mai puternic; în alte direcții, proprietățile mecanice diferă semnificativ de cele din direcția de laminare.

Desenul este un desen cu compresie.

Influența expunerii radioactive. Influența acestui factor asupra proiectării reactoarelor nucleare, sincrofazotronilor etc. duce la o creștere a caracteristicilor mecanice de rezistență și la o scădere a caracteristicilor de ductilitate. Efectul iradierii depinde de doza acesteia.

13. Probleme nedeterminate statistic în tensiune și compresie.

Se spune că un sistem este nedeterminat static dacă forțele interne nu pot fi determinate folosind doar ecuațiile statice.

Pentru a rezolva astfel de probleme, este necesar să scrieți ecuații suplimentare la ecuațiile de statică care să țină cont de natura deformării sistemului; aceste ecuații se numesc ecuații sau condiții de compatibilitate cu deformarea. Ele sunt alcătuite din considerente geometrice. Numărul de ecuații în compatibilitatea cu deformarea determină gradul de indeterminare statică a sistemului.

Gradul de indeterminare statică = numărul de necunoscute - numărul de ecuații ale staticii.

Algoritm pentru rezolvarea unei probleme static nedeterminate:

Indicați toate forțele necunoscute (reacții ale suporturilor sau forțe interne)

Compuneți posibile ecuații de statică pentru un anumit sistem de forțe

Determinați gradul unui sistem static nedeterminat

Notați ecuațiile de compatibilitate a deformațiilor necesare

Atașați relații combinate deformare-fizică la ecuațiile staticii

Rezolvați sistemul de ecuații rezultat și determinați reacții de sprijin necunoscute sau forțe interne.

14. Verificarea rezistenței și determinarea dimensiunilor necesare ale grinzii în tensiune (compresiune).

15. Metoda de rupere a sarcinilor.

Pentru o structură dintr-un material cu un platou de curgere suficient de extins, sarcina la care apar deformații plastice semnificative în elementele sale este luată ca sarcină de rupere. În acest caz, structura devine incapabilă de a percepe o creștere suplimentară a sarcinii.

La determinarea sarcinii de rupere pentru o structură din material plastic, se adoptă o diagramă schematizată a tensiunilor - diagrama Prandtl.

Schematizarea diagramei se bazează pe presupunerea că materialul lucrează în treapta elastică până la limita de curgere, iar apoi materialul are o zonă de curgere nelimitată. Un material care funcționează după acest model se numește elastic-plastic.

Pentru o structură dintr-un material fragil, o sarcină este considerată o sarcină de rupere la care apar tensiuni egale cu rezistența la tracțiune în cel puțin unul dintre elementele sale.

După ce ați determinat valoarea sarcinii de rupere (finală), puteți seta capacitatea de încărcare a tijei sau a sistemului de tije conform formulei:

unde n este factorul de siguranță considerat ca fiind același ca în metoda tensiunii admisibile.

16. Metoda tensiunilor admisibile.

Baza metodei tensiunii admisibile este ipoteza că că criteriul pentru fiabilitatea proiectării va fi îndeplinirea următoarei condiții de rezistență: ,

Unde - cea mai mare tensiune de funcționare care apare la unul dintre punctele secțiunii periculoase și se determină prin calcul; - permis ( limitare) pentru un material dat, solicitarea obţinută pe baza unor studii experimentale. Tensiunea admisibilă este determinată de formula: ,

unde - tensiuni periculoase (rezistenta la curgere, rezistenta la tractiune (rezistenta la tractiune)); factorul n al factorului de siguranță.

Condiția de rezistență pentru un element tensionat central (comprimat) va avea forma: , , ,

Unde , - tensiuni admisibile de tracțiune și compresiune.

17. Metoda stărilor limită.

limitare este considerată o stare în care structura încetează să îndeplinească cerințele operaționale sau cerințele impuse în timpul construcției unei clădiri sau structuri.

Există două grupe de stări limită:

primul- improprietate pentru exploatare din cauza pierderii capacităţii portante;

al doilea - nepotrivit utilizării normaleîn conformitate cu condiţiile tehnologice sau de viaţă stipulate.

Într-o structură proiectată corespunzător, nici una dintre stările limită indicate nu trebuie să apară, adică trebuie asigurată. fiabilitate.

Fiabilitatea este capacitatea unui obiect de a menține în timpul funcționării calitatea inerentă proiectării.

Ecuația principală a stărilor limită ale primului grup:

, unde N- cea mai periculoasa, probabila in conditii date pe toata durata de viata, forta in structura, elementul acesteia, legatura, cu cea mai nefavorabila combinatie de sarcini si efecte.

F- cea mai mica, probabila in conditii date, capacitatea portanta a aceleiasi structuri, elementul acesteia, legatura.

Ecuația principală a stărilor limită ale grupului 2 are forma: .

D - mișcări; – mișcări permise.

După trecerea dincolo de stările limită ale acestui grup, este posibil să se opereze structuri cu restricții (în ceea ce privește capacitatea de transport, viteza de deplasare a mărfurilor etc.). Se înțelege că dacă se elimină cauza care a determinat trecerea dincolo de starea limită a grupei a 2-a și, în același timp, structura nu a depășit starea limită a grupului 1, structura poate fi din nou operată fără restricții.

18. Conceptul de stres se afirma la un punct si tipurile acestuia.

Interacțiunea dintre părțile unui element structural poate fi caracterizată prin valorile tensiunilor normale și de forfecare în fiecare punct al elementului. Aceste valori depind de direcția secțiunii trasate prin punctul dat.

Setul de tensiuni normale și de forfecare care acționează pe toate platformele care trec prin punctul luat în considerare se numește starea de efort în acest punct.

La calcularea rezistenței, este necesar să se stabilească stările de solicitare în punctele periculoase ale structurii.

Dacă prin punctul considerat al corpului este imposibil să se deseneze o singură zonă în care tensiunile tangențiale și normale ar fi egale cu zero, atunci în acest punct există stare spațială (triaxială) de stres. Dacă într-o zonă (și numai într-o singură) zonă care trece prin punctul considerat al corpului, tensiunile tangențiale și normale sunt egale cu zero, atunci în acest punct există stare plană (biaxială) de efort. Dacă tensiunile de forfecare și cele normale sunt egale cu zero în două zone care trec prin punctul considerat al corpului, atunci în acest punct există stare de efort liniară (uniaxială).; în acest caz, tensiunile tangențiale și normale sunt egale cu zero în toate zonele care trec prin linia de intersecție a acestor două zone.

19. Legea împerecherii tensiunilor tăietoare.

Legea împerecherii sau reciprocitatea tensiunilor de forfecare - pe două zone reciproc perpendiculare, egale ca mărime și opuse în semn, acționează tensiunile de forfecare.

În acest caz, eforturile de forfecare pe două zone reciproc perpendiculare sunt ambele îndreptate fie spre marginea intersecției zonelor, fie dinspre margine.

Legea împerecherii (reciprocității) tensiunilor tangențiale este valabilă nu numai pentru uniaxiale, ci și pentru orice altă stare de tensiuni: biaxiale și volumetrice.

Să tăiem un paralelipiped elementar (Fig. a) cu secțiune oblică. Reprezentăm un singur plan. Considerăm o prismă triunghiulară elementară (Fig. b). Poziția platformei înclinate este determinată de unghiul a. Dacă rotația de pe axa x este în sens invers acelor de ceasornic. (vezi Fig.b), apoi a>0.

Tensiunile normale au un indice corespunzător axei direcției lor. tensiuni de forfecare, de obicei, au doi indici: primul corespunde direcției normalei la locul, al doilea - direcției tensiunii în sine.

Tensiunea normală este pozitivă dacă este de tracțiune, tensiunea de forfecare este pozitivă dacă tinde să rotească partea considerată a elementului în sensul acelor de ceasornic față de punctul intern.

Stresuri pe o platformă înclinată:

21. Tensiuni principale.

La calcularea structurilor de inginerie, nu este nevoie să se determine tensiunile în toate zonele care trec printr-un punct dat; este suficient să cunoaștem valorile lor extreme (adică maxime și minime).

Tensiunile normale maxime si minime se numesc tensiuni principale, iar zonele asupra carora actioneaza sunt numite zone principale.

Există trei tipuri de stări de stres:

1) stare liniară de efort - tensiune (compresie) într-o direcție;

2) stare plană de stres - tensiune (compresie) în două direcții;

3) starea de tensiune volumetrică - tensiune (compresie) în trei direcții reciproc perpendiculare.

Luați în considerare un paralelipiped (cub) infinitezimal. Pe fețele sale pot exista s normale și tensiuni tangenţiale t. Când poziția „cubului” este schimbată, tensiunile se schimbă.

Pe locurile în care tensiunile normale sunt extreme pentru un punct, tensiunile de forfecare sunt egale cu zero. Astfel de locuri sunt numite principale, iar tensiunile normale care le corespund sunt tensiunile principale la punct.

Tensiunile principale se notează: σ 1, σ 2, σ 3 și

22. Tensiuni de forfecare extreme.

Tensiunile de forfecare extreme într-un punct sunt egale cu jumătatea diferenței tensiunilor principale și acționează pe locurile înclinate față de cele principale la un unghi de 45 de grade.

Într-un caz particular, când asupra fețelor elementului acţionează tensiuni de tracțiune și compresiune egale numeric, tensiunile de forfecare extreme sunt egale cu tensiunile principale, iar tensiunile normale în acest caz sunt egale cu zero. Un astfel de caz de efort se numește forfecare pură.

23. Conceptul traiectoriilor principalelor tensiuni.

O reprezentare vizuală a fluxului de forțe interne într-un corp încărcat este dată de traiectoriile tensiunilor principale: acesta este numele dreptei, în fiecare punct al căruia tangenta coincide cu direcția tensiunii principale în acest punct.

Cu o simplă tensiune a unei grinzi, traiectorii tensiunilor principale sunt drepte, paralele și perpendiculare pe axa acesteia. Dacă în toate punctele tijei răsucite conturăm direcția tensiunilor principale, atunci pe suprafață obținem o grilă de curbe reciproc ortogonale care intersectează generatoarele la un unghi de 45 de grade - traiectoriile tensiunilor principale de compresiune și tracțiune. Un element dreptunghiular, care se distinge prin traiectorii, experimentează tensiune-compresie în direcții perpendiculare și nu există solicitări tangenţiale pe fețele sale.

24. Stare de tensiune volumetrică.

În orice punct al corpului încărcat, există trei zone principale în care acționează tensiunile principale (normale) și nu există solicitări de forfecare.

Dacă toate cele trei tensiuni principale sunt diferite de zero, atunci starea tensiunii din punct se numește volumetrică sau tridimensională. Dacă una dintre tensiunile principale este egală cu zero, starea tensiunii este considerată a fi plată sau bidimensională. Dacă un singur stres principal diferă de zero, starea de stres va fi liniară sau unidimensională.

Tensiuni în orice locație cu tensiuni principale cunoscute s 1, s 2, s 3:

unde a 1 , a 2 , a 3 sunt unghiurile dintre normala zonei luate în considerare și direcțiile tensiunilor principale.

Efort maxim de forfecare: .

Acționează pe o platformă paralelă cu solicitarea principală s 2 și înclinată la un unghi de 45 o față de solicitările principale s 1 și s 3.

O platformă înclinată în mod egal pe direcția celor trei tensiuni principale se numește octaedric, iar tensiunile care acționează asupra ei se numesc tensiuni octaedrice.

Un sit octaedric (ABC) este o zonă care este înclinată în mod egal către toate direcțiile principale.

;

Tensiunea normală octaedrică este egală cu media celor trei tensiuni principale.

sau
, Tensiunea de forfecare octaedrică este proporțională cu suma geometrică a tensiunilor de forfecare principale. Intensitatea stresului:

s x +s y +s z \u003d s 1 +s 2 +s 3 - suma tensiunilor normale care acționează pe oricare trei zone reciproc perpendiculare este o constantă egală cu suma tensiunilor principale (primul invariant).

27. Stare deformată la un punct.

Setul de alungiri relative și unghiuri de forfecare pentru toate direcțiile posibile ale axelor trasate printr-un punct dat se numește stare deformată.

28. Deformatii majore. Extensie în orice direcție. (Alungirea - vezi întrebarea 27).

Deformațiile în direcții pentru care nu există unghiuri de forfecare se numesc deformații principale într-un punct.

În punctele unui corp elastic izotrop, direcțiile deformațiilor principale și ale tensiunilor principale coincid întotdeauna.

29. Analogie între dependențe pentru stările tensionate și deformate la un punct. (început - vezi întrebarea 30)

30. Legea lui Hooke pentru stările de tensiuni plane și în vrac.

Deformațiile și în direcțiile tensiunilor principale sunt numite deformații principale.

31. Modificarea volumului materialului în timpul deformării.

32. Energia potențială în stare de tensiune de volum.

Energia potențială acumulată într-un volum elementar este determinată de suma muncii forțelor distribuite pe suprafața acestui volum.

Energia internă este împărțită în 2 părți corespunzătoare a două stări de solicitare:

33. Conceptul de schimbare pură.

Pură schimbare- starea de stres, în care apar doar tensiuni tangenţiale de-a lungul zonelor (feţelor) reciproc perpendiculare ale elementului. Tensiuni de forfecare , unde Q este forța care acționează de-a lungul feței, F este aria feței. Zonele în care acţionează numai tensiuni tangenţiale se numesc zone de forfecare pură. Tensiunile de forfecare asupra lor sunt cele mai mari. Forfecarea pură poate fi reprezentată ca compresie și tensiune simultană care apar în două direcții reciproc perpendiculare. Acestea. acesta este un caz special al unei stări de solicitare plană, în care tensiunile principale sunt: s 1 = - s 3 = t; s 2 \u003d 0. Zonele principale formează un unghi de 45 o cu zonele de forfecare pură.

La deformarea unui element delimitat de zone de forfecare pure, pătratul se transformă într-un romb. d - schimbare absolută,

g"- deplasare relativă sau unghi de forfecare.

34. Analiza stării de efort în forfecare pură.

Unghiul de înclinare al platformelor principale:

Formula pentru determinarea tensiunilor principale:

35. Legea lui Hooke pentru schimbarea pură.

Legea lui Hooke în forfecare: g = t/G sau t = G×g .

ɣ - deformare unghiulară relativă sau unghi de forfecare,

G- modulul de forfecare sau modulul de elasticitate de al doilea fel [MPa] - o constantă materială care caracterizează capacitatea de a rezista la deformații prin forfecare. (E - modulul de tracțiune, m - raportul lui Poisson, G - modulul de forfecare).

36. Energia potențială în forfecare pură.

Forfecarea pură este o stare de efort când pe fețele elementului selectat apar doar tensiuni tangenţiale.

Energia potențială în forfecare: .

Energia potențială specifică a deformarii de forfecare: ,

unde V=a×F este volumul elementului. Având în vedere legea lui Hooke, .

Toată energia potențială în forfecare pură este cheltuită numai pentru schimbarea formei, modificarea volumului în timpul deformării prin forfecare este zero.

38. Energia potențială în timpul torsiunii unui arbore rotund.

Torsiunea este un tip de deformare în care apare un singur cuplu în secțiunile transversale.

În timpul torsiunii, o secțiune se rotește față de alta cu unghi de răsucire-j. Când o bară rotundă (arborele) este răsucită, apare o stare pură de efort de forfecare (nu există solicitări normale), apar doar tensiuni tangenţiale. Se presupune că secțiunile plane înainte de răsucire rămân plate și după răsucire - legea secțiunilor plane. Tensiunile de forfecare în punctele secțiunii se modifică proporțional cu distanța punctelor față de axă. Din legea lui Hooke în forfecare: t=gG, G - modulul de forfecare, , - momentul polar de rezistență al secțiunii circulare. Tensiunile de forfecare în centru sunt egale cu zero, cu cât sunt mai îndepărtate de centru, cu atât sunt mai mari. Unghi de răsucire , GJ p - rigiditate la torsiune. - unghi relativ de răsucire. Energia potențială în torsiune:
. Stare de forță: , [t] = , pentru un material plastic, t se presupune că este rezistența la curgere la forfecare t t, pentru un material fragil, t v este rezistența finală, [n] este factorul de siguranță. Condiție de rigiditate la torsiune: q max £[q] – unghi de răsucire admis.

39. Analiza stării de solicitare la torsiune. Tensiuni principale și domenii principale.

Starea de efort, când pe fețele elementului selectat apar doar tensiuni tangenţiale, se numeşte forfecare pură.

40. Torsiunea unei tije cu secțiune dreptunghiulară.

41. Conceptul de torsiune a unei tije rotunde dincolo de limitele elasticitatii.

42. Curățare curbă. Determinarea tensiunilor normale.

Încovoierea pură este un tip de deformare când în secțiunea transversală a tijei acționează doar un moment de încovoiere. Daca pe langa momentul incovoietor actioneaza si o forta transversala - incovoiere transversala.

În îndoirea pură, în secțiunile transversale ale tijei apar doar tensiuni normale.

43. Tensiuni tangenţiale la încovoiere.

44. Analiza stării de solicitare în încovoiere.

45. Verificarea rezistenţei grinzilor la încovoiere.

46. Energia potențială în îndoire.

47. Calculul grinzilor compozite.

48. Îndoirea grinzilor cu diferite module de elasticitate în tensiune și compresiune.

49. Determinarea sarcinilor de rupere la îndoirea grinzilor dincolo de limita elasticității.

50. Tensiuni reziduale la încovoiere.

51. Conceptul de îndoire a grinzii, al cărui material nu respectă legea lui Hooke.

52. Conceptul de centru al curbei.

Centrul îndoirii este un astfel de punct, în raport cu care momentul forțelor tangențiale în secțiune în timpul îndoirii transversale este egal cu zero.

Pentru secțiunile cu două axe de simetrie, centrul de îndoire coincide cu centrul de greutate.

Axa centrelor de îndoire are proprietatea că o sarcină transversală care traversează această axă face doar îndoirea barei. În caz contrar, apare o deformare suplimentară de torsiune în jurul acestei axe.

Alături de axa principală a tijei, care trece prin centrele de greutate ale secțiunilor, tija are și o axă a centrelor de îndoire, în punctele cărora trebuie reduse sarcinile transversale la separarea deformațiilor de încovoiere și torsiune. Uneori, această axă este numită axa rigidității, iar punctul în sine este numit centru de rigiditate (centrul de forfecare).

53. îndoire oblică.

O îndoire oblică este un tip de îndoire în care planul de acțiune al momentului încovoietor într-o secțiune transversală dată a grinzii nu trece prin niciuna dintre principalele axe centrale de inerție ale acestei secțiuni. Elementul grinzii adiacent acestei secțiuni se află în condiții de îndoire oblică.

Cazul unei îndoituri oblice, în care apare doar un moment încovoietor în secțiunea transversală a grinzii, se numește îndoire oblică pură. Dacă, în plus, în secțiune acționează o forță transversală, atunci există o îndoire oblică transversală.

54. Acţiunea simultană a forţei de încovoiere şi longitudinală.

55. Acţiunea excentrică a forţei longitudinale.

Dacă forța longitudinală acționează excentric și paralel cu axa longitudinală a grinzii, atunci fasciculul suferă o comprimare sau o tensiune excentrică.

Distanța e de la forța longitudinală la axa grinzii se numește excentricitate.

56. Acţiunea simultană de torsiune cu încovoiere.

Încovoierea cu torsiune este un tip de deformare, atunci când cuplul și momentele de încovoiere acționează simultan în secțiunea transversală a grinzii.

Conform celei de-a treia teorii a rezistenței (teoria celor mai mari tensiuni de forfecare), tensiunea echivalentă se calculează prin formula:

Eq =

Eq = și eq = .

Expresia din numărător se numește momentul echivalent.

Formula de calcul pentru arbori rotunzi ia forma: echiv = .

Voltaj numita intensitatea actiunii fortelor interne intr-un punct al corpului , adică stresul este forța internă pe unitatea de suprafață. Prin natura sa, stresul este o sarcină de suprafață care apare pe suprafețele interne de contact dintre părțile corpului.

deformare numită modificare a dimensiunii și formei corpului sub acțiunea forțelor aplicate.

Voltaj este raportul dintre forța care acționează și aria secțiunii transversale a unui corp sau a unei probe σ = P/F. În funcție de direcția de acțiune a forței, tensiunile normale se împart în întindereaȘi compresiv. Distinge temporarȘi rezidual Voltaj. Tensiuni temporare apar sub acțiunea unei sarcini externe și dispar după îndepărtarea acesteia, rezidual- ramane in corp dupa terminarea sarcinii.

Dacă, după încetarea acțiunii forțelor externe, modificările formei, structurii și proprietăților corpului sunt complet eliminate, atunci o astfel de deformare se numește elastic.

Pe măsură ce tensiunea crește peste limita elastică, deformația devine ireversibilă. Când sarcina este îndepărtată, numai componenta elastică a deformației este eliminată, se numește partea rămasă deformare plastica.

Tensiune normala:

Componenta tensiunilor direcționate de-a lungul normalului spre locul acțiunii sale.

Tensiune Kasat:

Componentă a tensiunilor situate în planul secțiunii.

Reguli de semnare:

Tensiuni normaleσ sunt considerate pozitive (adică σ>0) dacă întind elementul bară selectat.

Tensiuni de forfecareτ sunt considerate pozitive (adică τ>0) dacă au tendința de a roti elementul fasciculului luat în considerare în sensul acelor de ceasornic.

În tensiune-compresie

Forța longitudinală internă N, care tinde să întindă partea luată în considerare cherestea, este considerat pozitiv. Forța longitudinală de compresiune are semn negativ.

Torsiune

Momentul de torsiune intern T este considerat pozitiv dacă tinde să rotească partea considerată a fasciculului în sens invers acelor de ceasornic atunci când este privit din normala exterioară.

La îndoire

Forța tăietoare internă Q este considerat pozitiv, în cazul în care tinde să rotească partea considerată a fasciculului în sensul acelor de ceasornic.

Momentul încovoietor intern M este pozitiv atunci când tinde să comprime fibrele superioare ale lemnului.

Tensiune-compresiune Δ l este considerat pozitiv dacă lungimea tijei crește.

Cu o îndoire transversală plată

Deplasarea verticală a secțiunii fasciculului se presupune a fi pozitivă dacă este îndreptată în sus din poziția inițială.

Regula semnelor la compilarea ecuațiilor de statică

- pentru proiecţiile forţelor pe axele sistemului de coordonate

Se presupune că proiecțiile forțelor externe pe axele sistemului de coordonate sunt pozitive dacă direcția lor coincide cu direcția pozitivă a axei corespunzătoare.

- pentru momente

Momentele concentrate și momentele forțelor din ecuațiile staticii sunt scrise cu semn pozitiv dacă au tendința de a roti sistemul luat în considerare în sens invers acelor de ceasornic.

Regula semnelor la compilarea ecuațiilor de statică pentru sistemele imobile

La compilarea ecuațiilor de echilibru pentru sisteme statice (imobile) (de exemplu, când determinarea reacţiilor de sprijin), ultimele două reguli sunt simplificate sub forma:

Proiecțiile forțelor și momentelor care au aceeași direcție sunt considerate pozitive și, în consecință, proiecțiile forțelor și momentelor din direcția opusă sunt negative.

STARE DE STRESS PLAT

Dacă toți vectorii de stres sunt paraleli cu același plan, starea de stres se numește plată (Fig. 1). În caz contrar: starea de tensiune este plată dacă una dintre cele trei tensiuni principale este zero.

Poza 1.

O stare de efort plană se realizează într-o placă încărcată de-a lungul conturului său cu forțe ale căror rezultate sunt situate în planul său median (planul median este un plan care împarte grosimea plăcii la jumătate).

Direcțiile de stres din fig. 1 sunt considerate pozitive. Unghiul α este pozitiv dacă este reprezentat grafic de pe axa x la axa y. Pe site-ul cu n normal:

Tensiunea normală σ n este pozitivă dacă este de tracțiune. Tensiunea pozitivă este prezentată în fig. 1. Regula semnului pentru formula (1) este aceeași ca și pentru tensiunile conform formulei (1).

Regula semnelor prezentată aici se aplică zonelor înclinate. In articol „Starea de stres al volumului” a fost formulată o regulă de semn pentru componentele tensiunii într-un punct, adică pentru tensiunile pe zone perpendiculare pe axele de coordonate. Această regulă a semnelor este acceptată în teoria elasticității.

Tensiuni principale pe zonele perpendiculare pe planul tensiunii:

Cele mai mari și mai mici tensiuni de forfecare

Aceste tensiuni acționează pe locurile situate la un unghi de 45° față de primul și al doilea loc principal.