Tabel de formule de bază pentru integrala definită. Antiderivat

Cursul de algebră școlară include integrarea și diferențierea. Pentru a studia acest material aveți nevoie tabele de derivate și integrale. Pentru a înțelege cum să le folosiți, trebuie să definiți termenii de bază.

Derivat f(x) – caracteristică intensității modificării funcției antiderivate F(x) în orice punct al graficului. Exprimă raportul limitativ al incrementelor unei funcții și argumentul acesteia, care tinde spre zero. Dacă o funcție are o derivată finită în orice punct, atunci este derivabilă. Calcularea derivatei este diferențierea.

Integral∫ este inversul derivatei, care exprimă dimensiunea ariei unei anumite părți a graficului. Procesul de integrare este găsirea funcției antiderivate.

Aceeași funcție poate avea mai multe antiderivate. De exemplu, x^2. Principalele antiderivate ale acestuia sunt x^3/3; x^3/3+1. Ultima cifră este notată cu litera C și formula este următoarea:

Dacă C reprezintă are o valoare arbitrară, integrala este nedefinită, dacă este specifică, este definită.

Tabele de funcții derivate și tabele integrale vă va ajuta să faceți față rapid și corect sarcinilor matematice complexe. Acestea includ cele mai frecvent utilizate valori, astfel încât elevii să nu fie nevoiți să memoreze o mulțime de formule.

Tabelul funcțiilor derivate

Pentru a vă asigura că materialele necesare sunt întotdeauna la îndemână, puteți descărca un tabel cu formule derivate . Conține formule pentru calcularea derivatelor funcțiilor elementare de bază:

trigonometric;
logaritmică;
potolit;
exponenţială.

În plus, există o specială tabel de derivate ale funcțiilor complexe. Conține și formule pentru produsul funcțiilor, suma și coeficientul acestora.

Tabel de integrale nedefinite și definite

Pentru a finaliza rapid și corect sarcinile de integrare, puteți descărcați tabele de integrale, care conține toate cele mai utilizate formule. Ele constau din două coloane: prima conține formule matematice, a doua - explicații scrise.

Tabelele includ integrale de bază urmatoarele functii:

raţional;
exponențial;
logaritmică;
iraţional;
trigonometric;
hiperbolic.

În plus, puteți descărca un tabel cu integrale nedefinite.

Cheat sheets cu tabele de integrale și derivate

Mulți profesori solicită elevilor să memoreze formule complexe. Cel mai simplu mod de a memora este practica constantă și pentru a vă asigura că materialele necesare sunt la îndemână, trebuie să le imprimați.

Cheat sheet cu tabele derivateși integralele vă vor ajuta să vă amintiți rapid toate formulele necesare și să treceți cu succes examenele. Pentru a-l face compact și ușor de utilizat, trebuie să alegeți formatul A5 - jumătate de foaie obișnuită.

În materialul anterior, a fost luată în considerare problema găsirii derivatei și au fost prezentate diferitele aplicații ale acesteia: calcularea pantei unei tangente la un grafic, rezolvarea problemelor de optimizare, studierea funcțiilor pentru monotonitate și extreme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Poza 1.

S-a luat în considerare și problema găsirii vitezei instantanee $v(t)$ folosind derivata de-a lungul unui drum cunoscut anterior, exprimată prin funcția $s(t)$.

Figura 2.

Problema inversă este de asemenea foarte comună, atunci când trebuie să găsiți calea $s(t)$ parcursă de un punct în timp $t$, cunoscând viteza punctului $v(t)$. Dacă ne amintim, viteza instantanee $v(t)$ se găsește ca derivată a funcției de cale $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema inversă, adică pentru a calcula calea, trebuie să găsiți o funcție a cărei derivată va fi egală cu funcția viteză. Dar știm că derivata traseului este viteza, adică: $s’(t) = v(t)$. Viteza este egală cu accelerația în timp: $v=at$. Este ușor de determinat că funcția de cale dorită va avea forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Dar aceasta nu este o soluție completă. Soluția completă va avea forma: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, unde $C$ este o constantă. De ce este așa, vom discuta în continuare. Deocamdată, să verificăm corectitudinea soluției găsite: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

Este de remarcat faptul că găsirea unei căi bazate pe viteză este semnificația fizică a unui antiderivat.

Funcția rezultată $s(t)$ se numește antiderivată a funcției $v(t)$. Un nume destul de interesant și neobișnuit, nu-i așa. Conține o semnificație grozavă care explică esența acestui concept și duce la înțelegerea lui. Veți observa că conține două cuvinte „primul” și „imagine”. Ei vorbesc de la sine. Adică aceasta este funcția care este cea inițială pentru derivata pe care o avem. Și folosind această derivată căutăm funcția care a fost la început, a fost „prima”, „prima imagine”, adică antiderivată. Uneori este numită și funcție primitivă sau antiderivată.

După cum știm deja, procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere. Iar procesul de găsire a antiderivatei se numește integrare. Operația de integrare este inversa operației de diferențiere. Este adevărat și invers.

Definiție. O antiderivată pentru o funcție $f(x)$ pe un anumit interval este o funcție $F(x)$ a cărei derivată este egală cu această funcție $f(x)$ pentru toți $x$ din intervalul specificat: $F' (x)=f (x)$.

Cineva poate avea o întrebare: de unde au venit $F(x)$ și $f(x)$ în definiție, dacă inițial am vorbit despre $s(t)$ și $v(t)$. Cert este că $s(t)$ și $v(t)$ sunt cazuri speciale de desemnare a funcției care au o semnificație specifică în acest caz, adică sunt o funcție de timp și, respectiv, o funcție de viteză. La fel este și cu variabila $t$ - denotă timpul. Și $f$ și $x$ sunt varianta tradițională a denumirii generale a unei funcții și, respectiv, a unei variabile. Merită să acordați o atenție deosebită notării antiderivatei $F(x)$. În primul rând, $F$ este capital. Antiderivatele sunt indicate cu majuscule. În al doilea rând, literele sunt aceleași: $F$ și $f$. Adica pentru functia $g(x)$ antiderivata va fi notata cu $G(x)$, pentru $z(x)$ – cu $Z(x)$. Indiferent de notație, regulile pentru găsirea unei funcții antiderivate sunt întotdeauna aceleași.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1. Demonstrați că funcția $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ este o antiderivată a funcției $f(x)=\cos5x$.

Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi definiția, sau mai degrabă faptul că $F'(x)=f(x)$, și vom găsi derivata funcției $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Aceasta înseamnă că $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ este antiderivată a lui $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Exemplul 2. Aflați care funcții corespund următoarelor antiderivate: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Pentru a găsi funcțiile necesare, să calculăm derivatele lor:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Exemplul 3. Care va fi antiderivată pentru $f(x)=0$?
Să folosim definiția. Să ne gândim ce funcție poate avea o derivată egală cu $0$. Reamintind tabelul derivatelor, aflăm că orice constantă va avea o astfel de derivată. Constatăm că antiderivată pe care o căutăm este: $F(x)= C$.

Soluția rezultată poate fi explicată geometric și fizic. Geometric, înseamnă că tangenta la graficul $y=F(x)$ este orizontală în fiecare punct al acestui grafic și, prin urmare, coincide cu axa $Ox$. Fizic se explică prin faptul că un punct cu o viteză egală cu zero rămâne pe loc, adică drumul pe care l-a parcurs rămâne neschimbat. Pe baza acestui fapt, putem formula următoarea teoremă.

Teorema. (Semn de constanță a funcțiilor). Dacă pe un interval $F’(x) = 0$, atunci funcția $F(x)$ pe acest interval este constantă.

Exemplul 4. Determinați care funcții sunt antiderivate ale a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, unde $a$ este un număr.
Folosind definiția unei antiderivate, ajungem la concluzia că pentru a rezolva această problemă trebuie să calculăm derivatele funcțiilor antiderivate care ne sunt date. Când calculați, amintiți-vă că derivata unei constante, adică a oricărui număr, este egală cu zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Ce vedem? Mai multe funcții diferite sunt primitive ale aceleiași funcții. Acest lucru sugerează că orice funcție are infinit de antiderivate și au forma $F(x) + C$, unde $C$ este o constantă arbitrară. Adică operația de integrare este multivalorică, spre deosebire de operația de diferențiere. Pe baza acesteia, să formulăm o teoremă care descrie proprietatea principală a antiderivatelor.

Teorema. (Principala proprietate a antiderivatelor). Fie funcțiile $F_1$ și $F_2$ să fie antiderivate ale funcției $f(x)$ pe un anumit interval. Atunci pentru toate valorile din acest interval este adevărată următoarea egalitate: $F_2=F_1+C$, unde $C$ este o constantă.

Faptul prezenței unui număr infinit de antiderivate poate fi interpretat geometric. Folosind translația paralelă de-a lungul axei $Oy$, se pot obține unul de la celălalt graficele oricăror două antiderivate pentru $f(x)$. Acesta este sensul geometric al antiderivatei.

Este foarte important să acordați atenție faptului că alegând constanta $C$ vă puteți asigura că graficul antiderivatei trece printr-un anumit punct.

Figura 3.

Exemplul 5. Găsiți antiderivată pentru funcția $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, al cărei grafic trece prin punctul $(3; 1)$.
Să găsim mai întâi toate antiderivatele pentru $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
În continuare, vom găsi un număr C pentru care graficul $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ va trece prin punctul $(3; 1)$. Pentru a face acest lucru, înlocuim coordonatele punctului în ecuația grafică și o rezolvăm pentru $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Am obținut un grafic $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, care corespunde antiderivatei $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabel cu antiderivate

Un tabel de formule pentru găsirea antiderivate poate fi compilat folosind formule pentru găsirea derivatelor.

Tabel cu antiderivate

Funcții	Antiderivate
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\în R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln\|x\|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Puteți verifica corectitudinea tabelului în felul următor: pentru fiecare set de antiderivate situat în coloana din dreapta, găsiți derivata, care va avea ca rezultat funcțiile corespunzătoare în coloana din stânga.

Câteva reguli pentru găsirea antiderivatelor

După cum se știe, multe funcții au o formă mai complexă decât cele indicate în tabelul de antiderivate și pot fi orice combinație arbitrară de sume și produse ale funcțiilor din acest tabel. Și aici apare întrebarea: cum se calculează antiderivatele unor astfel de funcții. De exemplu, din tabel știm cum să calculăm antiderivatele $x^3$, $\sin x$ și $10$. Cum, de exemplu, se poate calcula antiderivata $x^3-10\sin x$? Privind în viitor, merită remarcat faptul că va fi egal cu $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Dacă $F(x)$ este antiderivată pentru $f(x)$, $G(x)$ pentru $g(x)$, atunci pentru $f(x)+g(x)$ antiderivată va fi egal cu $ F(x)+G(x)$.
2. Dacă $F(x)$ este o antiderivată pentru $f(x)$ și $a$ este o constantă, atunci pentru $af(x)$ antiderivată este $aF(x)$.
3. Dacă pentru $f(x)$ antiderivată este $F(x)$, $a$ și $b$ sunt constante, atunci $\frac(1)(a) F(ax+b)$ este antiderivată pentru $f (ax+b)$.
Folosind regulile obținute putem extinde tabelul de antiderivate.

Funcții	Antiderivate
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln\|ax+b\|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Exemplul 5. Găsiți antiderivate pentru:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Pe aceasta pagina veti gasi:

1. De fapt, tabelul de antiderivate - poate fi descărcat în format PDF și tipărit;

2. Video despre cum se utilizează acest tabel;

3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.

În videoclipul în sine, vom analiza multe probleme în care trebuie să calculați antiderivate ale funcțiilor, adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt funcții de putere. Toate funcțiile rezumate în tabelul propus mai sus trebuie cunoscute pe de rost, ca și derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru a rezolva probleme practice este imposibil.

Astăzi continuăm să studiem primitivele și trecem la un subiect puțin mai complex. Dacă data trecută ne-am uitat la antiderivate doar ale funcțiilor de putere și construcții ceva mai complexe, astăzi ne vom uita la trigonometrie și multe altele.

După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivatele, nu sunt niciodată rezolvate „imediat” folosind reguli standard. Mai mult, vestea proastă este că, spre deosebire de derivat, este posibil ca antiderivatul să nu fie luat în considerare deloc. Dacă scriem o funcție complet aleatorie și încercăm să-i găsim derivata, atunci cu o probabilitate foarte mare vom reuși, dar antiderivata nu va fi aproape niciodată calculată în acest caz. Dar există o veste bună: există o clasă destul de mare de funcții numite funcții elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de calculat. Și toate celelalte structuri mai complexe care sunt date la tot felul de teste, teste independente și examene, de fapt, sunt alcătuite din aceste funcții elementare prin adunare, scădere și alte acțiuni simple. Prototipurile unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și compilate în tabele speciale. Aceste funcții și tabele sunt cu care vom lucra astăzi.

Dar vom începe, ca întotdeauna, cu o repetare: să ne amintim ce este un antiderivat, de ce există infinit de multe dintre ele și cum să le determinăm aspectul general. Pentru a face acest lucru, am luat în calcul două probleme simple.

Rezolvarea de exemple ușoare

Exemplul nr. 1

Să observăm imediat că $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ și, în general, prezența lui $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ne sugerează imediat că antiderivata necesară a funcției este legată de trigonometrie. Și, într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, vom descoperi că $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nu este altceva decât $\text(arctg)x$. Deci hai sa o scriem:

Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemplul nr. 2

Vorbim aici și despre funcții trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, iată ce se întâmplă:

Trebuie să găsim dintre întregul set de antiderivate pe cel care trece prin punctul indicat:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Să o scriem în sfârșit:

Este atat de simplu. Singura problemă este că, pentru a calcula antiderivate ale funcțiilor simple, trebuie să înveți un tabel cu antiderivate. Cu toate acestea, după ce am studiat tabelul de derivate pentru dvs., cred că aceasta nu va fi o problemă.

Rezolvarea problemelor care conțin o funcție exponențială

Pentru început, să scriem următoarele formule:

\[((e)^(x))\la ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Să vedem cum funcționează toate acestea în practică.

Exemplul nr. 1

Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul cu antiderivate nu există o astfel de expresie pentru ca $((e)^(x))$ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie extins. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:

Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e))) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Acum să colectăm toți termenii într-o singură expresie și să obținem antiderivata generală:

Exemplul nr. 2

De data aceasta gradul este mai mare, așa că formula de înmulțire prescurtată va fi destul de complexă. Deci, să deschidem parantezele:

Acum să încercăm să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:

După cum puteți vedea, nu există nimic complicat sau supranatural în antiderivatele funcției exponențiale. Toate sunt calculate prin tabele, dar elevii atenți vor observa probabil că antiderivata $((e)^(2x))$ este mult mai aproape de simplu $((e)^(x))$ decât de $((a). )^(x ))$. Deci, poate că există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivatul $((e)^(x))$, să găsească $((e)^(2x))$? Da, o astfel de regulă există. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. Îl vom analiza acum folosind aceleași expresii cu care tocmai am lucrat ca exemplu.

Reguli de lucru cu tabelul de antiderivate

Să scriem din nou funcția noastră:

În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Dar acum să o facem puțin diferit: să ne amintim pe ce bază $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. După cum am spus deja, deoarece derivata $((e)^(x))$ nu este altceva decât $((e)^(x))$, prin urmare, antiderivata sa va fi egală cu același $((e) ^ (x))$. Dar problema este că avem $((e)^(2x))$ și $((e)^(-2x))$. Acum să încercăm să găsim derivata lui $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Să rescriem construcția noastră din nou:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Aceasta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $((e)^(2x))$ obținem următoarele:

\[((e)^(2x))\la \frac(((e)^(2x)))(2)\]

După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $((a)^(x))$. Acum asta poate părea stupid: de ce să complici calculele când există o formulă standard? Cu toate acestea, în expresii ceva mai complexe veți descoperi că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.

Ca o încălzire, să găsim antiderivata lui $((e)^(2x))$ într-un mod similar:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

La calcul, construcția noastră se va scrie după cum urmează:

\[((e)^(-2x))\la -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\la -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Am obținut exact același rezultat, dar am luat o cale diferită. Această cale, care acum ni se pare puțin mai complicată, este cea care în viitor se va dovedi mai eficientă pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.

Notă! Acesta este un punct foarte important: antiderivatele, ca și derivatele, pot fi numărate în multe moduri diferite. Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Tocmai am văzut acest lucru cu exemplul $((e)^(-2x))$ - pe de o parte, am calculat această antiderivată „direct”, folosind definiția și calculând-o folosind transformări, pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e)^(-2x))$ poate fi reprezentat ca $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ și numai atunci am folosit antiderivată pentru funcția $( (a)^(x))$. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul a fost același, așa cum era de așteptat.

Și acum că înțelegem toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai semnificativ. Acum vom analiza două construcții simple, dar tehnica care va fi folosită atunci când le rezolvăm este un instrument mai puternic și mai util decât simpla „alergare” între antiderivatele vecine din tabel.

Rezolvarea problemelor: găsirea antiderivatei unei funcții

Exemplul nr. 1

Să împărțim suma care se află în numărători în trei fracții separate:

Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

Acum să ne amintim această formulă:

În cazul nostru vom obține următoarele:

Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:

Exemplul nr. 2

Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este un produs, ci o sumă. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția în suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și numitorul. În acest caz, este destul de simplu să o faci:

Această notație, care în limbajul matematic se numește „adăugarea unui zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:

Acum să găsim ceea ce căutăm:

Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparent mai mari decât în problema anterioară, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi și mai mică.

Nuanțe ale soluției

Și aici se află principala dificultate a lucrului cu antiderivate tabulare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care sunt ușor de calculat prin tabel, trebuie să știm exact ce căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.

Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu există încă, ci ce a însemnat autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă luarea de antiderivate sau integrare - este doar un instrument sau este o artă adevărată?” De fapt, după părerea mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și mai multă practică. Și ca să exersăm, să rezolvăm trei exemple mai serioase.

Ne antrenăm în integrare în practică

Sarcina nr. 1

Să scriem următoarele formule:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\la \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\la \text(arctg)x\]

Să scriem următoarele:

Problema nr. 2

Să-l rescriem după cum urmează:

Antiderivatul total va fi egal cu:

Sarcina nr. 3

Dificultatea acestei sarcini este că, spre deosebire de funcțiile anterioare de mai sus, nu există deloc variabilă $x$, adică. nu ne este clar ce să adunăm sau să scădem pentru a obține măcar ceva asemănător cu ceea ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată chiar mai simplă decât oricare dintre expresiile anterioare, deoarece această funcție poate fi rescrisă după cum urmează:

Vă puteți întreba acum: de ce sunt aceste funcții egale? Sa verificam:

Să-l rescriem din nou:

Să ne transformăm puțin expresia:

Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, cu a doua poți să-ți dai seama și cu noroc sau practică, dar ce fel de conștiință alternativă ai trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu te speria. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimei antiderivate se numește „descompunerea unei funcții în cea mai simplă ei”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar acesteia i se va dedica o lecție video separată.

Între timp, îmi propun să revenim la ceea ce tocmai am studiat, și anume la funcțiile exponențiale și să complicăm oarecum problemele cu conținutul lor.

Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate

Sarcina nr. 1

Să notăm următoarele:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, utilizați pur și simplu formula standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

În cazul nostru, antiderivatul va fi astfel:

Desigur, în comparație cu designul pe care tocmai l-am rezolvat, acesta pare mai simplu.

Problema nr. 2

Din nou, este ușor de observat că această funcție poate fi împărțită cu ușurință în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:

Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni folosind formula descrisă mai sus:

În ciuda complexității aparente mai mari a funcțiilor exponențiale în comparație cu funcțiile de putere, volumul total de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplu.

Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai am discutat (mai ales pe fundalul a ceea ce am discutat înainte) poate părea expresii elementare. Cu toate acestea, atunci când am ales aceste două probleme pentru lecția video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun o altă tehnică complexă și sofisticată - tot ce am vrut să vă arăt este că nu trebuie să vă fie teamă să folosiți tehnici standard de algebră pentru a transforma funcțiile originale. .

Folosind o tehnică „secretă”.

În concluzie, aș dori să privesc o altă tehnică interesantă, care, pe de o parte, depășește ceea ce am discutat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, este, în primul rând, deloc complicată, adică. Chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des în tot felul de teste și lucrări independente, de exemplu. cunoașterea acestuia va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului de antiderivate.

Sarcina nr. 1

Evident, avem ceva foarte asemănător cu o funcție de putere. Ce ar trebui să facem în acest caz? Să ne gândim: $x-5$ nu este atât de diferit de $x$ - tocmai au adăugat $-5$. Hai sa o scriem asa:

\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Să încercăm să găsim derivata lui $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Asta implică:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ dreapta))^(\prime ))\]

Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă noi înșine folosind formula antiderivată standard pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:

Problema nr. 2

Mulți studenți care se uită la prima soluție ar putea crede că totul este foarte simplu: doar înlocuiți $x$ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum vom vedea asta.

Prin analogie cu prima expresie, scriem următoarele:

\[((x)^(9))\la \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Revenind la derivata noastră, putem scrie:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Urmează imediat:

Nuanțe ale soluției

Vă rugăm să rețineți: dacă nimic nu s-a schimbat în mod esențial data trecută, atunci în al doilea caz, în loc de $-10$, a apărut $-30$. Care este diferența dintre $-10$ și $-30$? Evident, cu un factor de -3$. Intrebare: de unde a venit? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că a fost luată ca rezultat al calculului derivatei unei funcții complexe - coeficientul care a fost la $x$ apare în antiderivată de mai jos. Aceasta este o regulă foarte importantă, pe care inițial nu am plănuit să o discut deloc în lecția video de astăzi, dar fără ea prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.

Deci hai să o facem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Acum, în loc de $x$, să înlocuim expresia $kx+b$. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\la \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \dreapta)\cdot k)\]

Pe ce bază susținem acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției scrise mai sus:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Aceasta este aceeași expresie care a existat inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a completa tabelul de antiderivate sau este mai bine să ne amintim pur și simplu întregul tabel.

Concluzii din „secretul: tehnica:

Ambele funcții pe care tocmai le-am analizat pot fi, de fapt, reduse la antiderivatele indicate în tabel prin extinderea gradelor, dar dacă putem face față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nici măcar nu aș lua în considerare gradul al nouălea. a îndrăznit să dezvăluie.
Dacă ar fi să extindem gradele, am ajunge cu un asemenea volum de calcule, încât o sarcină simplă ne-ar lua un timp nepotrivit de mare.
De aceea, astfel de probleme, care conțin expresii liniare, nu trebuie rezolvate „în cap”. De îndată ce dați peste un antiderivat care diferă de cel din tabel doar prin prezența expresiei $kx+b$ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. de tabel și totul va ieși mult. mai rapid și mai ușor.

Desigur, datorită complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni asupra ei de multe ori în lecțiile video viitoare, dar asta este tot pentru astăzi. Sper că această lecție îi va ajuta cu adevărat pe acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.