Πίνακες. Τύποι πινάκων. Η έννοια της μήτρας Από τι αποτελείται μια μήτρα;

Ένας πίνακας είναι ένα ειδικό αντικείμενο στα μαθηματικά. Απεικονίζεται με τη μορφή ενός ορθογώνιου ή τετράγωνου πίνακα, που αποτελείται από έναν ορισμένο αριθμό σειρών και στηλών. Στα μαθηματικά υπάρχει μεγάλη ποικιλία τύπων πινάκων, που ποικίλλουν σε μέγεθος ή περιεχόμενο. Οι αριθμοί των σειρών και των στηλών του ονομάζονται εντολές. Αυτά τα αντικείμενα χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά για την οργάνωση της καταγραφής συστημάτων γραμμικών εξισώσεων και την εύκολη αναζήτηση των αποτελεσμάτων τους. Οι εξισώσεις με χρήση πίνακα λύνονται με τη μέθοδο των Carl Gauss, Gabriel Cramer, δευτερεύουσες και αλγεβρικές προσθήκες, καθώς και πολλές άλλες μεθόδους. Η βασική δεξιότητα κατά την εργασία με πίνακες είναι η μείωση σε Ωστόσο, πρώτα, ας καταλάβουμε ποιοι τύποι πινάκων διακρίνονται από τους μαθηματικούς.

Μηδενικός τύπος

Όλα τα συστατικά αυτού του τύπου μήτρας είναι μηδενικά. Εν τω μεταξύ, ο αριθμός των γραμμών και των στηλών του είναι εντελώς διαφορετικός.

Τετράγωνο τύπο

Ο αριθμός των στηλών και των γραμμών αυτού του τύπου πίνακα είναι ο ίδιος. Με άλλα λόγια, είναι ένα τραπέζι σε σχήμα «τετράγωνο». Ο αριθμός των στηλών (ή γραμμών) του ονομάζεται σειρά. Ειδικές περιπτώσεις θεωρούνται η ύπαρξη πίνακα δεύτερης τάξης (2x2 matrix), τέταρτης τάξης (4x4), δέκατης τάξης (10x10), δέκατης έβδομης τάξης (17x17) κ.ο.κ.

Διάνυσμα στήλης

Αυτός είναι ένας από τους απλούστερους τύπους πινάκων, που περιέχει μόνο μία στήλη, η οποία περιλαμβάνει τρεις αριθμητικές τιμές. Αντιπροσωπεύει έναν αριθμό ελεύθερων όρων (αριθμούς ανεξάρτητους από μεταβλητές) σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Προβολή παρόμοια με την προηγούμενη. Αποτελείται από τρία αριθμητικά στοιχεία, οργανωμένα με τη σειρά τους σε μία γραμμή.

Διαγώνιος τύπος

Οι αριθμητικές τιμές στη διαγώνια μορφή της μήτρας λαμβάνουν μόνο τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου (επισημασμένη με πράσινο χρώμα). Η κύρια διαγώνιος ξεκινά με το στοιχείο που βρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία και τελειώνει με το στοιχείο στην κάτω δεξιά, αντίστοιχα. Τα υπόλοιπα συστατικά είναι ίσα με μηδέν. Ο διαγώνιος τύπος είναι μόνο ένας τετραγωνικός πίνακας κάποιας τάξης. Ανάμεσα στους διαγώνιους πίνακες διακρίνεται ο βαθμωτός. Όλα τα συστατικά του έχουν τις ίδιες τιμές.

Ένας υποτύπος διαγώνιου πίνακα. Όλες οι αριθμητικές του τιμές είναι μονάδες. Χρησιμοποιώντας έναν μόνο τύπο πίνακα μήτρας, κάποιος εκτελεί τους βασικούς του μετασχηματισμούς ή βρίσκει έναν πίνακα αντίστροφο από τον αρχικό.

Κανονικός τύπος

Η κανονική μορφή της μήτρας θεωρείται μία από τις κύριες. Η μείωση σε αυτό είναι συχνά απαραίτητη για την εργασία. Ο αριθμός των σειρών και των στηλών σε έναν κανονικό πίνακα ποικίλλει και δεν ανήκει απαραίτητα στον τετράγωνο τύπο. Είναι κάπως παρόμοιο με τον πίνακα ταυτότητας, αλλά στην περίπτωσή του δεν παίρνουν όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου τιμή ίση με ένα. Μπορεί να υπάρχουν δύο ή τέσσερις κύριες διαγώνιες μονάδες (όλα εξαρτώνται από το μήκος και το πλάτος της μήτρας). Ή μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου μονάδες (τότε θεωρείται μηδέν). Τα υπόλοιπα στοιχεία του κανονικού τύπου, καθώς και τα διαγώνια και μοναδιαία στοιχεία, είναι ίσα με μηδέν.

Τριγωνικός τύπος

Ένας από τους πιο σημαντικούς τύπους μήτρας, που χρησιμοποιείται κατά την αναζήτηση της ορίζοντάς του και κατά την εκτέλεση απλών πράξεων. Ο τριγωνικός τύπος προέρχεται από τον διαγώνιο τύπο, επομένως η μήτρα είναι επίσης τετράγωνη. Ο τριγωνικός τύπος μήτρας χωρίζεται σε άνω τριγωνικό και κάτω τριγωνικό.

Σε έναν άνω τριγωνικό πίνακα (Εικ. 1), μόνο τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιο λαμβάνουν τιμή ίση με μηδέν. Οι συνιστώσες της ίδιας της διαγωνίου και το τμήμα της μήτρας που βρίσκεται κάτω από αυτήν περιέχουν αριθμητικές τιμές.

Στον κάτω τριγωνικό πίνακα (Εικ. 2), αντίθετα, τα στοιχεία που βρίσκονται στο κάτω μέρος του πίνακα είναι ίσα με μηδέν.

Ο τύπος είναι απαραίτητος για την εύρεση της κατάταξης μιας μήτρας, καθώς και για στοιχειώδεις πράξεις σε αυτές (μαζί με τον τριγωνικό τύπο). Ο πίνακας βημάτων ονομάζεται έτσι επειδή περιέχει χαρακτηριστικά "βήματα" μηδενικών (όπως φαίνεται στο σχήμα). Στον τύπο βήματος, σχηματίζεται μια διαγώνιος μηδενικών (όχι απαραίτητα η κύρια) και όλα τα στοιχεία κάτω από αυτήν τη διαγώνιο έχουν επίσης τιμές ίσες με μηδέν. Προϋπόθεση είναι το εξής: εάν υπάρχει μηδενική γραμμή στον πίνακα βημάτων, τότε οι υπόλοιπες σειρές κάτω από αυτόν επίσης δεν περιέχουν αριθμητικές τιμές.

Έτσι, εξετάσαμε τους πιο σημαντικούς τύπους πινάκων που είναι απαραίτητοι για να δουλέψουμε μαζί τους. Τώρα ας δούμε το πρόβλημα της μετατροπής του πίνακα στην απαιτούμενη μορφή.

Αναγωγή σε τριγωνική μορφή

Πώς να φέρετε μια μήτρα σε τριγωνική μορφή; Τις περισσότερες φορές στις εργασίες πρέπει να μετατρέψετε έναν πίνακα σε τριγωνική μορφή για να βρείτε την ορίζοντή του, αλλιώς ονομάζεται ορίζουσα. Κατά την εκτέλεση αυτής της διαδικασίας, είναι εξαιρετικά σημαντικό να "διατηρηθεί" η κύρια διαγώνιος της μήτρας, επειδή η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του. Επιτρέψτε μου επίσης να υπενθυμίσω εναλλακτικές μεθόδους για την εύρεση της ορίζουσας. Η ορίζουσα του τετραγωνικού τύπου βρίσκεται χρησιμοποιώντας ειδικούς τύπους. Για παράδειγμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο του τριγώνου. Για άλλους πίνακες χρησιμοποιείται η μέθοδος αποσύνθεσης ανά γραμμή, στήλη ή τα στοιχεία τους. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο των δευτερευόντων και αλγεβρικών προσθηκών πινάκων.

Ας αναλύσουμε λεπτομερώς τη διαδικασία αναγωγής ενός πίνακα σε τριγωνική μορφή χρησιμοποιώντας παραδείγματα ορισμένων εργασιών.

Ασκηση 1

Είναι απαραίτητο να βρεθεί η ορίζουσα του πίνακα που παρουσιάζεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αναγωγής του σε τριγωνική μορφή.

Ο πίνακας που μας δίνεται είναι ένας τετράγωνος πίνακας τρίτης τάξης. Επομένως, για να το μετατρέψουμε σε τριγωνικό σχήμα, θα χρειαστεί να μηδενίσουμε δύο στοιχεία της πρώτης στήλης και ένα στοιχείο της δεύτερης.

Για να το φέρουμε σε τριγωνική μορφή, ξεκινάμε τον μετασχηματισμό από την κάτω αριστερή γωνία της μήτρας - από τον αριθμό 6. Για να τη μετατρέψουμε στο μηδέν, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη σειρά επί τρία και την αφαιρούμε από την τελευταία σειρά.

Σπουδαίος! Η επάνω σειρά δεν αλλάζει, αλλά παραμένει η ίδια όπως στον αρχικό πίνακα. Δεν χρειάζεται να γράψετε μια συμβολοσειρά τέσσερις φορές μεγαλύτερη από την αρχική. Αλλά οι τιμές των συμβολοσειρών των οποίων τα στοιχεία πρέπει να μηδενιστούν αλλάζουν συνεχώς.

Απομένει μόνο η τελευταία τιμή - το στοιχείο της τρίτης σειράς της δεύτερης στήλης. Αυτός είναι ο αριθμός (-1). Για να το μηδενίσετε, αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη γραμμή.

Ας ελέγξουμε:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Αυτό σημαίνει ότι η απάντηση στην εργασία είναι -22.

Εργασία 2

Είναι απαραίτητο να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα με την αναγωγή του σε τριγωνική μορφή.

Ο παρουσιαζόμενος πίνακας ανήκει στον τετράγωνο τύπο και είναι πίνακας τέταρτης τάξης. Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να μηδενιστούν τρία στοιχεία της πρώτης στήλης, δύο στοιχεία της δεύτερης στήλης και ένα στοιχείο της τρίτης.

Ας αρχίσουμε να το μειώνουμε με το στοιχείο που βρίσκεται στην κάτω αριστερή γωνία - με τον αριθμό 4. Πρέπει να μηδενίσουμε αυτόν τον αριθμό. Ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι να πολλαπλασιάσετε την επάνω γραμμή επί τέσσερα και στη συνέχεια να την αφαιρέσετε από την τέταρτη. Ας γράψουμε το αποτέλεσμα του πρώτου σταδίου μετασχηματισμού.

Έτσι το στοιχείο της τέταρτης σειράς ορίζεται στο μηδέν. Ας περάσουμε στο πρώτο στοιχείο της τρίτης γραμμής, στον αριθμό 3. Κάνουμε μια παρόμοια λειτουργία. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή επί τρεις, την αφαιρούμε από την τρίτη γραμμή και γράφουμε το αποτέλεσμα.

Καταφέραμε να μηδενίσουμε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης αυτού του τετραγωνικού πίνακα, με εξαίρεση τον αριθμό 1 - ένα στοιχείο της κύριας διαγωνίου που δεν απαιτεί μετασχηματισμό. Τώρα είναι σημαντικό να διατηρήσουμε τα μηδενικά που προκύπτουν, επομένως θα κάνουμε τους μετασχηματισμούς με γραμμές, όχι με στήλες. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη στήλη του πίνακα που παρουσιάζεται.

Ας ξεκινήσουμε πάλι από το κάτω μέρος - με το στοιχείο της δεύτερης στήλης της τελευταίας σειράς. Αυτός ο αριθμός είναι (-7). Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση είναι πιο βολικό να ξεκινήσετε με τον αριθμό (-1) - το στοιχείο της δεύτερης στήλης της τρίτης σειράς. Για να το μηδενίσετε, αφαιρέστε τη δεύτερη από την τρίτη γραμμή. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή επί επτά και την αφαιρούμε από την τέταρτη. Πήραμε μηδέν αντί για το στοιχείο που βρίσκεται στην τέταρτη σειρά της δεύτερης στήλης. Τώρα ας προχωρήσουμε στην τρίτη στήλη.

Σε αυτή τη στήλη, πρέπει να μετατρέψουμε μόνο έναν αριθμό σε μηδέν - 4. Αυτό δεν είναι δύσκολο να γίνει: απλώς προσθέτουμε ένα τρίτο στην τελευταία γραμμή και βλέπουμε το μηδέν που χρειαζόμαστε.

Μετά από όλους τους μετασχηματισμούς που έγιναν, φέραμε τον προτεινόμενο πίνακα σε τριγωνική μορφή. Τώρα, για να βρείτε την ορίζοντή του, χρειάζεται μόνο να πολλαπλασιάσετε τα προκύπτοντα στοιχεία της κύριας διαγωνίου. Παίρνουμε: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Επομένως, η λύση είναι 160.

Έτσι, τώρα το ζήτημα της μείωσης του πίνακα σε τριγωνική μορφή δεν θα σας ενοχλήσει.

Μείωση σε κλιμακωτή μορφή

Για στοιχειώδεις πράξεις σε πίνακες, η κλιμακωτή μορφή είναι λιγότερο «σε ζήτηση» από την τριγωνική. Χρησιμοποιείται συχνότερα για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα (δηλαδή του αριθμού των μη μηδενικών σειρών του) ή για τον προσδιορισμό γραμμικά εξαρτώμενων και ανεξάρτητων σειρών. Ωστόσο, ο κλιμακωτός τύπος μήτρας είναι πιο καθολικός, καθώς είναι κατάλληλος όχι μόνο για τον τετράγωνο τύπο, αλλά και για όλους τους άλλους.

Για να μειώσετε έναν πίνακα σε σταδιακή μορφή, πρέπει πρώτα να βρείτε την ορίζοντή του. Οι παραπάνω μέθοδοι είναι κατάλληλες για αυτό. Ο σκοπός της εύρεσης της ορίζουσας είναι να ανακαλύψει εάν μπορεί να μετατραπεί σε πίνακα βημάτων. Εάν η ορίζουσα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από το μηδέν, τότε μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στην εργασία. Εάν είναι ίσο με μηδέν, δεν θα είναι δυνατό να μειωθεί ο πίνακας σε μια σταδιακή μορφή. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να ελέγξετε εάν υπάρχουν σφάλματα στην εγγραφή ή στους μετασχηματισμούς του πίνακα. Εάν δεν υπάρχουν τέτοιες ανακρίβειες, η εργασία δεν μπορεί να επιλυθεί.

Ας δούμε πώς να μειώσουμε έναν πίνακα σε μια σταδιακή φόρμα χρησιμοποιώντας παραδείγματα πολλών εργασιών.

Ασκηση 1.Βρείτε την κατάταξη του δεδομένου πίνακα μήτρας.

Μπροστά μας υπάρχει ένας τετραγωνικός πίνακας τρίτης τάξης (3x3). Γνωρίζουμε ότι για να βρούμε την κατάταξη είναι απαραίτητο να τη μειώσουμε σε σταδιακή μορφή. Επομένως, πρώτα πρέπει να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα. Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του τριγώνου: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Ορίζουσα = 12. Είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, που σημαίνει ότι ο πίνακας μπορεί να αναχθεί σε μια σταδιακή μορφή. Ας αρχίσουμε να το μεταμορφώνουμε.

Ας το ξεκινήσουμε με το στοιχείο της αριστερής στήλης της τρίτης γραμμής - τον αριθμό 2. Πολλαπλασιάστε την επάνω γραμμή επί δύο και αφαιρέστε την από την τρίτη. Χάρη σε αυτή τη λειτουργία, τόσο το στοιχείο που χρειαζόμαστε όσο και ο αριθμός 4 - το στοιχείο της δεύτερης στήλης της τρίτης σειράς - έγιναν μηδέν.

Βλέπουμε ότι ως αποτέλεσμα της αναγωγής, σχηματίστηκε μια τριγωνική μήτρα. Στην περίπτωσή μας, δεν μπορούμε να συνεχίσουμε τον μετασχηματισμό, αφού τα υπόλοιπα στοιχεία δεν μπορούν να μηδενιστούν.

Αυτό σημαίνει ότι συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των σειρών που περιέχουν αριθμητικές τιμές σε αυτόν τον πίνακα (ή την κατάταξή του) είναι 3. Η απάντηση στην εργασία: 3.

Εργασία 2.Προσδιορίστε τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών αυτού του πίνακα.

Πρέπει να βρούμε συμβολοσειρές που δεν μπορούν να μετατραπούν σε μηδέν με κανένα μετασχηματισμό. Στην πραγματικότητα, πρέπει να βρούμε τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών ή την κατάταξη του πίνακα που παρουσιάζεται. Για να το κάνουμε αυτό, ας το απλοποιήσουμε.

Βλέπουμε έναν πίνακα που δεν ανήκει στον τετράγωνο τύπο. Έχει διαστάσεις 3Χ4. Ας ξεκινήσουμε επίσης τη μείωση με το στοιχείο της κάτω αριστερής γωνίας - τον αριθμό (-1).

Οι περαιτέρω μεταμορφώσεις του είναι αδύνατες. Αυτό σημαίνει ότι συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών σε αυτό και η απάντηση στην εργασία είναι 3.

Τώρα η μείωση του πίνακα σε μια κλιμακωτή μορφή δεν είναι μια αδύνατη δουλειά για εσάς.

Χρησιμοποιώντας παραδείγματα αυτών των εργασιών, εξετάσαμε την αναγωγή ενός πίνακα σε τριγωνική μορφή και σε βαθμιδωτή μορφή. Για να μηδενίσετε τις επιθυμητές τιμές των πινάκων μήτρας, σε ορισμένες περιπτώσεις πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη φαντασία σας και να μετατρέψετε σωστά τις στήλες ή τις σειρές τους. Καλή τύχη στα μαθηματικά και στην εργασία με πίνακες!

Αυτό το θέμα θα καλύπτει πράξεις όπως η προσθήκη και η αφαίρεση πινάκων, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν αριθμό, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν πίνακα και η μεταφορά ενός πίνακα. Όλα τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται σε αυτή τη σελίδα προέρχονται από το προηγούμενο θέμα.

Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων.

Το άθροισμα των $A+B$ των πινάκων $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ονομάζεται πίνακας $C_(m \ φορές n) =(c_(ij))$, όπου $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline( 1, n) $.

Παρόμοιος ορισμός εισάγεται για τη διαφορά των πινάκων:

Η διαφορά μεταξύ των πινάκων $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και $B_(m\times n)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\times n)=( c_(ij))$, όπου $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1, ιδ) $.

Επεξήγηση για την καταχώρηση $i=\overline(1,m)$: show\hide

Ο συμβολισμός "$i=\overline(1,m)$" σημαίνει ότι η παράμετρος $i$ ποικίλλει από 1 έως m. Για παράδειγμα, ο συμβολισμός $i=\overline(1,5)$ υποδεικνύει ότι η παράμετρος $i$ λαμβάνει τις τιμές 1, 2, 3, 4, 5.

Αξίζει να σημειωθεί ότι οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης ορίζονται μόνο για πίνακες ίδιου μεγέθους. Γενικά, η πρόσθεση και η αφαίρεση πινάκων είναι πράξεις που είναι σαφείς διαισθητικά, γιατί ουσιαστικά σημαίνουν απλώς το άθροισμα ή την αφαίρεση των αντίστοιχων στοιχείων.

Παράδειγμα Νο. 1

Δίνονται τρεις πίνακες:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Είναι δυνατόν να βρεθεί ο πίνακας $A+F$; Βρείτε τους πίνακες $C$ και $D$ εάν $C=A+B$ και $D=A-B$.

Ο πίνακας $A$ περιέχει 2 σειρές και 3 στήλες (με άλλα λόγια, το μέγεθος του πίνακα $A$ είναι $2\ επί 3$) και ο πίνακας $F$ περιέχει 2 σειρές και 2 στήλες. Τα μεγέθη των πινάκων $A$ και $F$ δεν ταιριάζουν, επομένως δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε, π.χ. η λειτουργία $A+F$ δεν έχει οριστεί για αυτούς τους πίνακες.

Τα μεγέθη των πινάκων $A$ και $B$ είναι τα ίδια, δηλ. Τα δεδομένα του πίνακα περιέχουν ίσο αριθμό σειρών και στηλών, επομένως η λειτουργία πρόσθεσης είναι εφαρμόσιμη σε αυτές.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Ας βρούμε τον πίνακα $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(πίνακας) \δεξιά) $$

Απάντηση: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Το γινόμενο του πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ με τον αριθμό $\alpha$ είναι ο πίνακας $B_(m\times n)=(b_(ij))$, όπου $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1,n)$.

Με απλά λόγια, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν συγκεκριμένο αριθμό σημαίνει πολλαπλασιασμός κάθε στοιχείου ενός δεδομένου πίνακα με αυτόν τον αριθμό.

Παράδειγμα Νο. 2

Δίνεται ο πίνακας: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Βρείτε τους πίνακες $3\cdot A$, $-5\cdot A$ και $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( πίνακας) (cccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (πίνακας) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \δεξιά). $$

Ο συμβολισμός $-A$ είναι μια συντομογραφία για το $-1\cdot A$. Δηλαδή, για να βρείτε $-A$ πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία του πίνακα $A$ επί (-1). Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι το πρόσημο όλων των στοιχείων του πίνακα $A$ θα αλλάξει στο αντίθετο:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Απάντηση: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Προϊόν δύο πινάκων.

Ο ορισμός αυτής της λειτουργίας είναι δυσκίνητος και, με την πρώτη ματιά, ασαφής. Επομένως, πρώτα θα αναφέρω έναν γενικό ορισμό και στη συνέχεια θα αναλύσουμε λεπτομερώς τι σημαίνει και πώς να εργαστείτε με αυτό.

Το γινόμενο του πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ από τον πίνακα $B_(n\times k)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\times k )=(c_( ij))$, για το οποίο κάθε στοιχείο $c_(ij)$ ισούται με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων της i-ης σειράς του πίνακα $A$ από τα στοιχεία του j -η στήλη του πίνακα $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Ας δούμε τον πολλαπλασιασμό του πίνακα βήμα προς βήμα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Ωστόσο, θα πρέπει να σημειώσετε αμέσως ότι δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν όλοι οι πίνακες. Εάν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα $A$ με τον πίνακα $B$, τότε πρέπει πρώτα να βεβαιωθούμε ότι ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A$ είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα $B$ (τέτοιοι πίνακες συχνά ονομάζονται συμφωνηθεί). Για παράδειγμα, ο πίνακας $A_(5\times 4)$ (ο πίνακας περιέχει 5 σειρές και 4 στήλες) δεν μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα $F_(9\times 8)$ (9 σειρές και 8 στήλες), καθώς ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A $ δεν είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα $F$, δηλ. $4\nq 9 $. Αλλά μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον πίνακα $A_(5\ φορές 4)$ με τον πίνακα $B_(4\ φορές 9)$, αφού ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A$ είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα $ B$. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των πινάκων $A_(5\ φορές 4)$ και $B_(4\πλάσιο 9)$ θα είναι ο πίνακας $C_(5\ φορές 9)$, που περιέχει 5 σειρές και 9 στήλες:

Παράδειγμα Νο. 3

Δίνονται πίνακες: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (πίνακας) \δεξιά)$ και $ B=\αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(πίνακας) \δεξιά) $. Βρείτε τον πίνακα $C=A\cdot B$.

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε αμέσως το μέγεθος του πίνακα $C$. Εφόσον ο πίνακας $A$ έχει μέγεθος $3\ φορές 4$, και ο πίνακας $B$ έχει μέγεθος $4\ φορές 2$, τότε το μέγεθος του πίνακα $C$ είναι: $3\ φορές 2$:

Έτσι, ως αποτέλεσμα του γινόμενου των πινάκων $A$ και $B$, θα πρέπει να λάβουμε έναν πίνακα $C$, που αποτελείται από τρεις σειρές και δύο στήλες: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(πίνακας) \δεξιά)$. Εάν ο προσδιορισμός των στοιχείων εγείρει ερωτήματα, τότε μπορείτε να δείτε το προηγούμενο θέμα: «Πίνακες. Τύποι πινάκων. Βασικοί όροι», στην αρχή του οποίου εξηγείται ο χαρακτηρισμός των στοιχείων πίνακα. Στόχος μας: να βρούμε τις τιμές όλων των στοιχείων του πίνακα $C$.

Ας ξεκινήσουμε με το στοιχείο $c_(11)$. Για να αποκτήσετε το στοιχείο $c_(11)$, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ και της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

Για να βρείτε το ίδιο το στοιχείο $c_(11)$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα $B$, δηλ. το πρώτο στοιχείο στο πρώτο, το δεύτερο στο δεύτερο, το τρίτο στο τρίτο, το τέταρτο στο τέταρτο. Συνοψίζουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Ας συνεχίσουμε τη λύση και ας βρούμε το $c_(12)$. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ και της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

Παρόμοια με την προηγούμενη, έχουμε:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $C$ έχουν βρεθεί. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη γραμμή, η οποία ξεκινά με το στοιχείο $c_(21)$. Για να το βρείτε, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς του πίνακα $A$ και της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Βρίσκουμε το επόμενο στοιχείο $c_(22)$ πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της δεύτερης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Για να βρείτε το $c_(31)$, πολλαπλασιάστε τα στοιχεία της τρίτης σειράς του πίνακα $A$ με τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Και τέλος, για να βρείτε το στοιχείο $c_(32)$, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της τρίτης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Όλα τα στοιχεία του πίνακα $C$ έχουν βρεθεί, το μόνο που μένει είναι να γράψουμε ότι $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( πίνακας) \δεξιά)$ . Ή, για να γράψω πλήρως:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Απάντηση: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Παρεμπιπτόντως, συχνά δεν υπάρχει λόγος να περιγράψουμε λεπτομερώς τη θέση κάθε στοιχείου του πίνακα αποτελεσμάτων. Για πίνακες των οποίων το μέγεθος είναι μικρό, μπορείτε να κάνετε αυτό:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(πίνακας) \δεξιά) =\αριστερά (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μη αντισταθμιστικός. Αυτό σημαίνει ότι στη γενική περίπτωση $A\cdot B\neq B\cdot A$. Μόνο για ορισμένους τύπους πινάκων, οι οποίοι καλούνται μεταβλητό(ή μετακίνηση), η ισότητα $A\cdot B=B\cdot A$ είναι αληθής. Βασίζεται ακριβώς στη μη-ανταλλαγή του πολλαπλασιασμού ότι πρέπει να υποδείξουμε ακριβώς πώς πολλαπλασιάζουμε την έκφραση με έναν συγκεκριμένο πίνακα: στα δεξιά ή στα αριστερά. Για παράδειγμα, η φράση "πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ισότητας $3E-F=Y$ με τον πίνακα $A$ στα δεξιά" σημαίνει ότι θέλετε να πάρετε την ακόλουθη ισότητα: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot Α$.

Μεταφέρεται σε σχέση με τον πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ είναι ο πίνακας $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, για στοιχεία τα οποία $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Με απλά λόγια, για να λάβετε έναν μετατιθέμενο πίνακα $A^T$, πρέπει να αντικαταστήσετε τις στήλες στον αρχικό πίνακα $A$ με τις αντίστοιχες σειρές σύμφωνα με αυτήν την αρχή: υπήρχε μια πρώτη σειρά - θα υπάρχει μια πρώτη στήλη ; υπήρχε μια δεύτερη σειρά - θα υπάρχει μια δεύτερη στήλη. υπήρχε μια τρίτη σειρά - θα υπάρχει μια τρίτη στήλη και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, ας βρούμε τον μεταφερόμενο πίνακα στον πίνακα $A_(3\times 5)$:

Αντίστοιχα, εάν ο αρχικός πίνακας είχε μέγεθος $3\πλάς 5$, τότε ο μεταφερόμενος πίνακας έχει μέγεθος $5\ φορές 3$.

Μερικές ιδιότητες πράξεων σε πίνακες.

Εδώ θεωρείται ότι οι $\alpha$, $\beta$ είναι ορισμένοι αριθμοί και οι $A$, $B$, $C$ είναι πίνακες. Για τις τέσσερις πρώτες ιδιότητες υπέδειξα ονόματα· οι υπόλοιπες μπορούν να ονομαστούν κατ' αναλογία με τις τέσσερις πρώτες.

Ορισμός 1. Μέγεθος Matrix AΜ nείναι ένας ορθογώνιος πίνακας m σειρών και n στηλών, που αποτελείται από αριθμούς ή άλλες μαθηματικές εκφράσεις (που ονομάζονται στοιχεία πίνακα), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, ή

Ορισμός 2. Δύο πίνακες
Και
ίδιο μέγεθος λέγονται ίσος, αν συμπίπτουν στοιχείο προς στοιχείο, δηλ. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Χρησιμοποιώντας πίνακες, είναι εύκολο να καταγράψετε ορισμένες οικονομικές εξαρτήσεις, για παράδειγμα, πίνακες κατανομής πόρων για ορισμένους τομείς της οικονομίας.

Ορισμός 3. Αν ο αριθμός των γραμμών ενός πίνακα συμπίπτει με τον αριθμό των στηλών του, δηλ. m = n, τότε καλείται ο πίνακας τετράγωνη σειράn, σε διαφορετική περίπτωση ορθογώνιος.

Ορισμός 4. Η μετάβαση από τον πίνακα A στον πίνακα A m, στον οποίο οι σειρές και οι στήλες ανταλλάσσονται διατηρώντας τη σειρά, ονομάζεται μετάθεσημήτρες.

Τύποι πινάκων: τετράγωνο (μέγεθος 33) -
,

ορθογώνιο (μέγεθος 25) -
,

διαγώνιος -
, single -
, μηδέν -
,

σειρά μήτρας -
, μήτρα-στήλη -.

Ορισμός 5. Στοιχεία τετραγώνου πίνακα τάξης n με τους ίδιους δείκτες ονομάζονται στοιχεία της κύριας διαγωνίου, δηλ. αυτά είναι τα στοιχεία:
.

Ορισμός 6. Στοιχεία τετραγώνου πίνακα τάξης n ονομάζονται στοιχεία της δευτερεύουσας διαγωνίου αν το άθροισμα των δεικτών τους είναι ίσο με n + 1, δηλ. αυτά είναι τα στοιχεία: .

1.2. Πράξεις σε πίνακες.

1 0 . Ποσό δύο πίνακες
Και
του ίδιου μεγέθους ονομάζεται πίνακας C = (με ij), τα στοιχεία του οποίου καθορίζονται από την ισότητα με ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Ιδιότητες της πράξης προσθήκης πίνακα.

Για οποιουσδήποτε πίνακες A, B, C ίδιου μεγέθους, ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

1) A + B = B + A (ανταλλαγή),

2) (Α + Β) + Γ = Α + (Β + Γ) = Α + Β + Γ (συνειρμότητα).

2 0 . Η δουλειά μήτρες
ανά αριθμό  ονομάζεται μήτρα
το ίδιο μέγεθος με τον πίνακα A, και b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Ιδιότητες της πράξης του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό.

(A) = ()A (συσχετισμός πολλαπλασιασμού);

(A+B) = A+B (κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την προσθήκη πίνακα);

(+)A = A+A (κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση αριθμών).

Ορισμός 7. Γραμμικός συνδυασμός πινάκων
Και
ίδιου μεγέθους ονομάζεται έκφραση της μορφής A+B, όπου οι  και  είναι αυθαίρετοι αριθμοί.

3 0 . Προϊόν Α  Σε πίνακες Το Α και το Β, αντίστοιχα, μεγέθους mn και nk, ονομάζεται πίνακας C μεγέθους mk, έτσι ώστε το στοιχείο με ij να ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της i-ης σειράς. του πίνακα Α και της j-ης στήλης του πίνακα Β, δηλ. με ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Το γινόμενο ΑΒ υπάρχει μόνο αν ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α συμπίπτει με τον αριθμό των σειρών του πίνακα Β.

Ιδιότητες της πράξης πολλαπλασιασμού πίνακα:

(AB)C = A(BC) (συνειρμότητα);

(A+B)C = AC+BC (κατανομή σε σχέση με την προσθήκη πίνακα);

A(B+C) = AB+AC (κατανομιμότητα σε σχέση με την προσθήκη πίνακα);

AB  BA (όχι ανταλλακτική).

Ορισμός 8. Οι πίνακες Α και Β, για τους οποίους ΑΒ = ΒΑ, ονομάζονται commuting ή commuting.

Ο πολλαπλασιασμός ενός τετραγωνικού πίνακα οποιασδήποτε τάξης με τον αντίστοιχο πίνακα ταυτότητας δεν αλλάζει τον πίνακα.

Ορισμός 9. Στοιχειώδεις μεταμορφώσειςΟι ακόλουθες πράξεις ονομάζονται πίνακες:

Αλλάξτε δύο σειρές (στήλες).

Πολλαπλασιασμός κάθε στοιχείου μιας γραμμής (στήλης) με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης).

Ορισμός 10. Ο πίνακας Β που λαμβάνεται από τον πίνακα Α χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς ονομάζεται ισοδύναμος(σημειώνεται με BA).

Παράδειγμα 1.1.Βρείτε έναν γραμμικό συνδυασμό πινάκων 2A–3B αν

,
.

,
,

.

Παράδειγμα 1.2. Βρείτε το γινόμενο των πινάκων
, Αν

.

Λύση: εφόσον ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα συμπίπτει με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου πίνακα, τότε υπάρχει το γινόμενο των πινάκων. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια νέα μήτρα
, Οπου

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε
.

Διάλεξη 2. Ορίζουσες. Υπολογισμός οριζόντων δεύτερης και τρίτης τάξης. Ιδιότητες καθοριστικών παραγόντωνn-η σειρά.

Ένας πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών με μια συγκεκριμένη ποσότητα Μγραμμές και με ένα ορισμένο ποσό nστήλες. Αριθμοί ΜΚαι nλέγονται παραγγελίεςή μεγέθημήτρες.

Πίνακας παραγγελίας m×nγράφεται με τη μορφή:

ή (i= 1,2 ,...Μ; j= 1,2 ,...n).

Αριθμοί ένα ijαυτά που περιλαμβάνονται σε αυτόν τον πίνακα ονομάζονται στοιχεία του. Στην ηχογράφηση ένα ijπρώτος δείκτης Εγώσημαίνει τον αριθμό γραμμής και το δεύτερο ευρετήριο ι- αριθμός στήλης.

Σειρά μήτρας

Μέγεθος μήτρας 1 ×n, δηλ. που αποτελείται από μία γραμμή ονομάζεται μήτρα-σειρά. Για παράδειγμα:

Στήλη μήτρας

Μέγεθος μήτρας m×1, δηλ. που αποτελείται από μία στήλη ονομάζεται μήτρα-στήλη. Για παράδειγμα

Μηδενικός πίνακας

Εάν όλα τα στοιχεία ενός πίνακα είναι ίσα με μηδέν, τότε ο πίνακας καλείται μηδέν μήτρα. Για παράδειγμα

Τετράγωνη μήτρα

Μήτρα ΕΝΑΣειρά m×nπου ονομάζεται τετράγωνη μήτραεάν ο αριθμός των γραμμών και των στηλών είναι ίδιος: m=n. Αριθμός m=nπου ονομάζεται για νατετραγωνική μήτρα. Για παράδειγμα:

Κύρια διαγώνιος της μήτρας

a 11 , a 22 ,..., a nnμορφή κύρια διαγώνιομήτρες. Για παράδειγμα:

Οταν m×n-στοιχεία μήτρας a ii (i= 1,2 ,...,min(m,n))επίσης μορφή κύρια διαγώνιο. Για παράδειγμα:

Τα στοιχεία που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο ονομάζονται κύρια διαγώνια στοιχείαή απλά διαγώνια στοιχεία .

Πλευρική διαγώνιος της μήτρας

Στοιχεία στη θέση τους a 1n , a 2n-1 ,..., a n1μορφή πλευρική διαγώνιοςμήτρες. Για παράδειγμα:

Διαγώνιος πίνακας

Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται διαγώνιος, εάν τα στοιχεία που βρίσκονται έξω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν. Παράδειγμα διαγώνιου πίνακα:

Μήτρα ταυτότητας

Τετράγωνη μήτρα n-η τάξη, που έχει μονάδες στην κύρια διαγώνιο και όλα τα άλλα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν ονομάζεται μήτρα ταυτότηταςκαι συμβολίζεται με μιή μι n, όπου n- σειρά μήτρας. Ο πίνακας ταυτότητας της τάξης 3 έχει την ακόλουθη μορφή:

Ίχνη μήτρας

Άθροισμα των κύριων διαγώνιων στοιχείων του πίνακα ΕΝΑπου ονομάζεται Επόμενομήτρας και συμβολίζεται με Sp ΕΝΑή Tr ΕΝΑ. Για παράδειγμα:

Άνω τριγωνική μήτρα

Καλείται ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης n×n άνω τριγωνικόπίνακα εάν όλα τα στοιχεία του πίνακα που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν, δηλ. a ij =0, μπροστά σε όλους i>j. Για παράδειγμα:

Κάτω τριγωνική μήτρα

Πίνακας τετράγωνης τάξης n×nπου ονομάζεται κάτω τριγωνικόπίνακα εάν όλα τα στοιχεία του πίνακα που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν, δηλ. a ij =0, μπροστά σε όλους Εγώ . Για παράδειγμα:

Σειρές μήτρας ΕΝΑμορφή χώρο γραμμής R(AΤ).

Στήλες μήτρας ΕΝΑμορφή χώρο στήληςπίνακες και συμβολίζονται με R(A).

Κενός ή μηδενικός χώρος ενός πίνακα

Το σύνολο όλων των λύσεων της εξίσωσης Τσεκούρι=0, Οπου ΕίμαιΧ n-μήτρα, Χ- διάνυσμα μήκους n- έντυπα μηδενικός χώροςή πυρήναςμήτρες ΕΝΑκαι συμβολίζεται με Ker(A)ή N(A).

Αντίθετη μήτρα

Για οποιαδήποτε μήτρα ΕΝΑυπάρχει μια αντίθετη μήτρα -ΕΝΑτέτοια που Α+(-Α)=0.Προφανώς, ως μήτρα -ΕΝΑθα πρέπει να πάρετε το matrix (-1)Α, τα στοιχεία του οποίου διαφέρουν από τα στοιχεία ΕΝΑοικείος.

Λοξοσυμμετρικός (λοξό-συμμετρικός) πίνακας

Ένας τετράγωνος πίνακας ονομάζεται λοξό-συμμετρικός εάν διαφέρει από τον μετατιθέμενο πίνακα του κατά συντελεστή −1:

Σε έναν λοξό-συμμετρικό πίνακα, οποιαδήποτε δύο στοιχεία βρίσκονται συμμετρικά σε σχέση με την κύρια διαγώνιο διαφέρουν μεταξύ τους κατά συντελεστή −1 και τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με μηδέν.

Ένα παράδειγμα λοξοσυμμετρικού πίνακα:

Διαφορά μήτρας

Με διαφορά ντοδύο πίνακες ΕΝΑΚαι σιτου ίδιου μεγέθους καθορίζεται από την ισότητα

Για να υποδηλώσει τη διαφορά μεταξύ δύο πινάκων, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός:

Πτυχίο μήτρας

Αφήστε έναν τετράγωνο πίνακα μεγέθους n×n.Στη συνέχεια, ο βαθμός του πίνακα ορίζεται ως εξής:

όπου Ε είναι ο πίνακας ταυτότητας.

Από τη συσχετιστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού προκύπτει:

Οπου p,q- αυθαίρετοι μη αρνητικοί ακέραιοι.

Συμμετρικός (Συμμετρικός) πίνακας

Μήτρα που ικανοποιεί τη συνθήκη Α=Α Τονομάζεται συμμετρικός πίνακας.

Για συμμετρικούς πίνακες ισχύει η ισότητα:

a ij =a ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Αυτό το εγχειρίδιο θα σας βοηθήσει να μάθετε πώς να εκτελείτε πράξεις με πίνακες: πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων, μεταφορά πίνακα, πολλαπλασιασμός πινάκων, εύρεση του αντίστροφου πίνακα. Όλο το υλικό παρουσιάζεται σε απλή και προσβάσιμη μορφή, δίνονται σχετικά παραδείγματα, έτσι ώστε ακόμη και ένα απροετοίμαστο άτομο να μπορεί να μάθει πώς να εκτελεί ενέργειες με πίνακες. Για αυτοέλεγχο και αυτοέλεγχο, μπορείτε να κατεβάσετε μια αριθμομηχανή μήτρας δωρεάν >>>.

Θα προσπαθήσω να ελαχιστοποιήσω τους θεωρητικούς υπολογισμούς· σε ορισμένα σημεία είναι δυνατές εξηγήσεις «στα δάχτυλα» και η χρήση μη επιστημονικών όρων. Λάτρεις της στέρεης θεωρίας, παρακαλώ μην ασκείτε κριτική, το καθήκον μας είναι μάθουν να εκτελούν πράξεις με πίνακες.

Για SUPER FAST προετοιμασία για το θέμα (ποιος είναι «φωτιά») υπάρχει ένα εντατικό μάθημα pdf Μήτρα, ορίζουσα και δοκιμή!

Μια μήτρα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας ορισμένων στοιχεία. Οπως και στοιχείαθα εξετάσουμε αριθμούς, δηλαδή αριθμητικούς πίνακες. ΣΤΟΙΧΕΙΟείναι όρος. Συνιστάται να θυμάστε τον όρο, θα εμφανίζεται συχνά, δεν είναι τυχαίο που χρησιμοποίησα έντονη γραμματοσειρά για να τον τονίσω.

Ονομασία:Οι πίνακες συνήθως συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα

Παράδειγμα:Εξετάστε έναν πίνακα δύο προς τρία:

Αυτός ο πίνακας αποτελείται από έξι στοιχεία:

Όλοι οι αριθμοί (στοιχεία) μέσα στον πίνακα υπάρχουν μόνοι τους, δηλαδή δεν τίθεται θέμα αφαίρεσης:

Είναι απλά ένας πίνακας (σετ) αριθμών!

Θα συμφωνήσουμε και εμείς μην αναδιατάξετεαριθμούς, εκτός εάν αναφέρεται διαφορετικά στις επεξηγήσεις. Κάθε αριθμός έχει τη δική του τοποθεσία και δεν μπορεί να ανακατευτεί!

Ο εν λόγω πίνακας έχει δύο σειρές:

και τρεις στήλες:

ΠΡΟΤΥΠΟ: όταν μιλάμε για μεγέθη μήτρας, τότε αρχικάυποδεικνύουν τον αριθμό των σειρών και μόνο τότε τον αριθμό των στηλών. Μόλις αναλύσαμε τον πίνακα δύο προς τρία.

Εάν ο αριθμός των γραμμών και στηλών ενός πίνακα είναι ο ίδιος, τότε ο πίνακας καλείται τετράγωνο, Για παράδειγμα: – μια μήτρα τρία προς τρία.

Εάν ένας πίνακας έχει μία στήλη ή μία γραμμή, τότε καλούνται και αυτοί οι πίνακες φορείς.

Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε την έννοια του πίνακα από το σχολείο· θεωρήστε, για παράδειγμα, ένα σημείο με συντεταγμένες «x» και «y»: . Ουσιαστικά, οι συντεταγμένες ενός σημείου γράφονται σε έναν πίνακα ένα προς δύο. Παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα παράδειγμα γιατί η σειρά των αριθμών έχει σημασία: και είναι δύο εντελώς διαφορετικά σημεία στο επίπεδο.

Τώρα ας προχωρήσουμε στη μελέτη πράξεις με πίνακες:

1) Πράξη πρώτη. Αφαίρεση ενός μείον από τη μήτρα (εισαγωγή ενός μείον στη μήτρα).

Ας επιστρέψουμε στο matrix μας . Όπως πιθανότατα παρατηρήσατε, υπάρχουν πάρα πολλοί αρνητικοί αριθμοί σε αυτόν τον πίνακα. Αυτό είναι πολύ άβολο από την άποψη της εκτέλεσης διαφόρων ενεργειών με τη μήτρα, είναι άβολο να γράφετε τόσα πολλά μειονεκτήματα και φαίνεται απλά άσχημο στο σχεδιασμό.

Ας μετακινήσουμε το μείον έξω από τον πίνακα αλλάζοντας το πρόσημο ΚΑΘΕ στοιχείου του πίνακα:

Στο μηδέν, όπως καταλαβαίνετε, το πρόσημο δεν αλλάζει· το μηδέν είναι επίσης μηδέν στην Αφρική.

Αντίστροφο παράδειγμα: . Φαίνεται άσχημο.

Ας εισάγουμε ένα μείον στον πίνακα αλλάζοντας το πρόσημο ΚΑΘΕ στοιχείου του πίνακα:

Λοιπόν, έγινε πολύ πιο ωραίο. Και, το πιο σημαντικό, θα είναι πιο εύκολο να εκτελέσετε οποιεσδήποτε ενέργειες με τη μήτρα. Επειδή υπάρχει ένα τέτοιο μαθηματικό λαϊκό σημάδι: όσο περισσότερα μειονεκτήματα, τόσο περισσότερη σύγχυση και λάθη.

2) Πράξη δεύτερη. Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Παράδειγμα:

Είναι απλό, για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό, χρειάζεστε κάθεστοιχείο μήτρας πολλαπλασιασμένο με έναν δεδομένο αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση - ένα τρία.

Ένα άλλο χρήσιμο παράδειγμα:

– πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με ένα κλάσμα

Πρώτα ας δούμε τι πρέπει να κάνουμε ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ:

ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ να εισαγάγετε ένα κλάσμα στη μήτρα· πρώτον, περιπλέκει μόνο περαιτέρω ενέργειες με τη μήτρα και, δεύτερον, δυσκολεύει τον δάσκαλο να ελέγξει τη λύση (ειδικά αν – τελική απάντηση της εργασίας).

Και ιδιαιτερα, ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙδιαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα με μείον επτά:

Από το άρθρο Μαθηματικά για ανδρείκελα ή από πού να ξεκινήσετε, θυμόμαστε ότι στα ανώτερα μαθηματικά προσπαθούν να αποφύγουν τα δεκαδικά κλάσματα με κόμματα με κάθε δυνατό τρόπο.

Το μόνο είναι κατά προτίμησηΤι πρέπει να κάνετε σε αυτό το παράδειγμα είναι να προσθέσετε ένα μείον στον πίνακα:

Αλλά αν μόνο ΟΛΑΤα στοιχεία μήτρας διαιρέθηκαν με 7 χωρίς ίχνος, τότε θα ήταν δυνατή (και απαραίτητη!) η διαίρεση.

Παράδειγμα:

Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε ΠΡΕΠΕΙ ΝΑπολλαπλασιάστε όλα τα στοιχεία πίνακα με , αφού όλοι οι αριθμοί μήτρας διαιρούνται με το 2 χωρίς ίχνος.

Σημείωση: στη θεωρία των μαθηματικών της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν υπάρχει η έννοια της «διαίρεσης». Αντί να πείτε "αυτό διαιρείται με αυτό", μπορείτε πάντα να πείτε "αυτό πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα". Δηλαδή η διαίρεση είναι ειδική περίπτωση πολλαπλασιασμού.

3) Πράξη τρίτη. Μεταφορά μήτρας.

Για να μεταφέρετε έναν πίνακα, πρέπει να γράψετε τις σειρές του στις στήλες του μεταφερόμενου πίνακα.

Παράδειγμα:

Μεταφορά μήτρας

Υπάρχει μόνο μία γραμμή εδώ και, σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να γραφτεί σε μια στήλη:

– μεταφερόμενος πίνακας.

Ένας μετατιθέμενος πίνακας συνήθως υποδεικνύεται με έναν εκθέτη ή έναν πρώτο στην επάνω δεξιά γωνία.

Παράδειγμα βήμα προς βήμα:

Μεταφορά μήτρας

Αρχικά ξαναγράφουμε την πρώτη σειρά στην πρώτη στήλη:

Στη συνέχεια ξαναγράφουμε τη δεύτερη γραμμή στη δεύτερη στήλη:

Και τέλος, ξαναγράφουμε την τρίτη σειρά στην τρίτη στήλη:

Ετοιμος. Σε γενικές γραμμές, μετατόπιση σημαίνει στροφή της μήτρας από την πλευρά της.

4) Πράξη τέταρτη. Άθροισμα (διαφορά) πινάκων.

Το άθροισμα των πινάκων είναι μια απλή πράξη.
ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΔΙΠΛΩΘΟΥΝ ΟΛΕΣ ΟΙ ΜΗΤΡΕΣ. Για να γίνει πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων, είναι απαραίτητο να έχουν ΙΔΙΟ ΜΕΓΕΘΟΣ.

Για παράδειγμα, εάν δοθεί ένας πίνακας δύο προς δύο, τότε μπορεί να προστεθεί μόνο με έναν πίνακα δύο προς δύο και κανένας άλλος!

Παράδειγμα:

Προσθέστε πίνακες Και

Για να προσθέσετε πίνακες, πρέπει να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία τους:

Για τη διαφορά των πινάκων ο κανόνας είναι παρόμοιος, είναι απαραίτητο να βρεθεί η διαφορά των αντίστοιχων στοιχείων.

Παράδειγμα:

Βρείτε τη διαφορά μήτρας ,

Πώς μπορείτε να λύσετε αυτό το παράδειγμα πιο εύκολα, για να μην μπερδευτείτε; Συνιστάται να απαλλαγείτε από τα περιττά μειονεκτήματα, για να το κάνετε αυτό, προσθέστε ένα μείον στη μήτρα:

Σημείωση: στη θεωρία των μαθηματικών της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν υπάρχει η έννοια της «αφαίρεσης». Αντί να πείτε "αφαιρέστε αυτό από αυτό", μπορείτε πάντα να πείτε "προσθέστε έναν αρνητικό αριθμό σε αυτό". Δηλαδή η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης.

5) Πράξη πέμπτη. Πολλαπλασιασμός μήτρας.

Ποιοι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν;

Για να πολλαπλασιαστεί ένας πίνακας με έναν πίνακα, είναι απαραίτητο έτσι ώστε ο αριθμός των στηλών του πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα.

Παράδειγμα:
Είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν πίνακα;

Αυτό σημαίνει ότι τα δεδομένα μήτρας μπορούν να πολλαπλασιαστούν.

Αλλά εάν οι πίνακες αναδιαταχθούν, τότε, σε αυτήν την περίπτωση, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι πλέον δυνατός!

Επομένως, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι δυνατός:

Δεν είναι τόσο σπάνιο να συναντήσει κανείς εργασίες με κόλπο, όταν ο μαθητής καλείται να πολλαπλασιάσει πίνακες, ο πολλαπλασιασμός των οποίων είναι προφανώς αδύνατος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός των πινάκων και με τους δύο τρόπους.
Για παράδειγμα, για πίνακες, και ο πολλαπλασιασμός και ο πολλαπλασιασμός είναι δυνατοί