Nivel mediu

Inegalități cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

Pentru a ne da seama cum să rezolvăm ecuațiile pătratice, trebuie să înțelegem ce este o funcție pătratică și ce proprietăți are.

Probabil v-ați întrebat de ce este necesară o funcție pătratică? Unde este aplicabil graficul său (parabola)? Da, trebuie doar să te uiți în jur și vei observa asta în fiecare zi Viata de zi cu zi o intalnesti. Ați observat cum zboară o minge aruncată în educația fizică? „De-a lungul arcului”? Cel mai corect răspuns ar fi „parabola”! Și pe ce traiectorie se mișcă jetul în fântână? Da, tot într-o parabolă! Cum zboară un glonț sau un obuz? Așa e, tot în parabolă! Astfel, cunoscând proprietățile funcției pătratice, se vor putea rezolva multe probleme practice. De exemplu, în ce unghi trebuie aruncată o minge pentru a asigura cea mai mare distanță? Sau, unde va ajunge proiectilul dacă îl lansați într-un anumit unghi? etc.

Funcția pătratică

Deci, hai să ne dăm seama.

De exemplu, . Care sunt egalii aici și? Ei bine, desigur!

Dacă, adică mai putin de zero? Ei bine, desigur, suntem „triști”, ceea ce înseamnă că ramurile vor fi îndreptate în jos! Să ne uităm la grafic.

Această figură prezintă graficul unei funcții. Din moment ce, i.e. mai puțin de zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. În plus, probabil ați observat deja că ramurile acestei parabole intersectează axa, ceea ce înseamnă că ecuația are 2 rădăcini, iar funcția ia atât valori pozitive, cât și negative!

La început, când am dat definiția unei funcții pătratice, s-a spus că și sunt niște numere. Pot fi egale cu zero? Ei bine, bineînțeles că pot! Voi dezvălui chiar și un secret și mai mare (care nu este deloc un secret, dar merită menționat): nu există restricții impuse acestor numere (și) deloc!

Ei bine, să vedem ce se întâmplă cu graficele dacă și sunt egale cu zero.

După cum puteți vedea, graficele funcțiilor (și) luate în considerare s-au deplasat astfel încât vârfurile lor sunt acum în punctul cu coordonatele, adică la intersecția axelor și acest lucru nu are niciun efect asupra direcției ramurilor. . Astfel, putem concluziona că ei sunt responsabili pentru „mișcarea” graficului parabolei de-a lungul sistemului de coordonate.

Graficul unei funcții atinge axa într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mari decât oricare egal cu zero.

Urmăm aceeași logică cu graficul funcției. Atinge axa x într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mici sau egale cu zero, adică.

Astfel, pentru a determina semnul unei expresii, primul lucru pe care trebuie să-l faci este să găsești rădăcinile ecuației. Acest lucru ne va fi foarte util.

Inegalitatea cuadratică

Când rezolvăm astfel de inegalități, vom avea nevoie de capacitatea de a determina unde o funcție pătratică este mai mare, mai mică sau egală cu zero. Acesta este:

• dacă avem o inegalitate a formei, atunci, de fapt, sarcina se reduce la determinarea intervalului numeric de valori pentru care parabola se află deasupra axei.
• dacă avem o inegalitate a formei, atunci de fapt sarcina se reduce la determinarea intervalului numeric al valorilor x pentru care parabola se află sub axă.

Dacă inegalitățile nu sunt stricte, atunci rădăcinile (coordonatele intersecției parabolei cu axa) sunt incluse în intervalul numeric dorit în cazul inegalităților stricte, acestea sunt excluse;

Toate acestea sunt destul de formalizate, dar nu disperați și nu vă speriați! Acum să ne uităm la exemple și totul va fi la locul lui.

Când rezolvăm inegalitățile pătratice, vom adera la algoritmul dat, iar succesul inevitabil ne așteaptă!

Algoritm	Exemplu:
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal „=”).
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații.
3) Marcați rădăcinile pe axă și afișați schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”)
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „.
5) Notează intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt;

Am înţeles? Atunci mergeți mai departe și fixați-l!

Exemplu:

Ei bine, a funcționat? Dacă aveți dificultăți, căutați soluții.

Soluţie:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea nu este strictă, deci rădăcinile sunt incluse în intervalele:

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile nu sunt incluse în intervale:

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

această ecuație are o singură rădăcină

Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori nenegative. Deoarece inegalitatea nu este strictă, răspunsul va fi.

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

Să desenăm schematic un grafic al unei parabole și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori pozitive, prin urmare, soluția inegalității va fi intervalul:

INEGALITĂȚI PĂTRATE. NIVEL MEDIU

Funcția pătratică.

Înainte de a vorbi despre subiectul „inegalități pătratice”, să ne amintim ce este o funcție pătratică și care este graficul acesteia.

Funcția pătratică este o funcție a formei

Cu alte cuvinte, asta polinom de gradul doi.

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă (vă amintiți ce este?). Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă „a) funcția ia numai valori pozitive pentru toate, iar în a doua () - numai negative:

În cazul în care ecuația () are exact o rădăcină (de exemplu, dacă discriminantul este zero), aceasta înseamnă că graficul atinge axa:

Apoi, similar cu cazul precedent, pentru „ .

Deci, am învățat recent cum să determinăm unde o funcție pătratică este mai mare decât zero și unde este mai mică:

Dacă inegalitatea pătratică nu este strictă, atunci rădăcinile sunt incluse în intervalul numeric dacă este strictă, nu sunt;

Dacă există o singură rădăcină, este în regulă, același semn va fi peste tot. Dacă nu există rădăcini, totul depinde doar de coeficient: dacă „25((x)^(2))-30x+9

Raspunsuri:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Nu există rădăcini, așa că întreaga expresie din partea stângă ia semnul coeficientului înainte:

• Dacă doriți să găsiți un interval numeric în care trinomul pătratic este mai mare decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află deasupra axei.
• Dacă doriți să găsiți un interval numeric pe care trinomul pătratic este mai mic decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află sub axă.

INEGALITĂȚI PĂTRATE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Funcția pătratică este o funcție de forma: ,

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă și în jos dacă:

Tipuri de inegalități pătratice:

Toate inegalitățile pătratice sunt reduse la următoarele patru tipuri:

Algoritm de rezolvare:

Algoritm	Exemplu:
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal „”).
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații.
3) Marcați rădăcinile pe axă și arată schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”)
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „.
5) Notați intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt;

O funcție de forma unde este numită funcţie pătratică.

Graficul unei funcții pătratice – parabolă.

Să luăm în considerare cazurile:

I CAZ, PARABOLA CLASICA

Acesta este , ,

Pentru a construi, completați tabelul înlocuind valorile x în formula:

Marcați punctele (0;0); (1;1); (-1;1), etc. pe planul de coordonate (cu cât este mai mic pasul luăm valorile x (în acest caz, pasul 1), și cu cât luăm mai multe valori x, cu atât curba va fi mai netedă), obținem o parabolă:

Este ușor de observat că dacă luăm cazul , , , adică, atunci obținem o parabolă care este simetrică față de axa (oh). Este ușor să verificați acest lucru completând un tabel similar:

II CAZUL, „a” ESTE DIFERIT DE UNITATE

Ce se va întâmpla dacă luăm , , ? Cum se va schimba comportamentul parabolei? Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

În prima imagine (vezi mai sus) se vede clar că punctele din tabel pentru parabolă (1;1), (-1;1) au fost transformate în puncte (1;4), (1;-4), adică, cu aceleași valori, ordonata fiecărui punct este înmulțită cu 4. Acest lucru se va întâmpla cu toate punctele cheie ale tabelului original. Raționăm în mod similar în cazurile imaginilor 2 și 3.

Și când parabola „devine mai lată” decât parabola:

Să rezumăm:

1)Semnul coeficientului determină direcția ramurilor. Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valoare absolută coeficientul (modulul) este responsabil pentru „expansiunea” și „compresia” parabolei. Cu cât este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă, cu atât |a| mai mic, cu atât parabola este mai largă.

CAZUL III, APARE „C”.

Acum să introducem în joc (adică să luăm în considerare cazul când), vom lua în considerare parabole de forma . Nu este greu să ghiciți (vă puteți referi întotdeauna la tabel) că parabola se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei, în funcție de semn:

CAZUL IV, AARE „b”.

Când se va „desprinde” parabola de axă și, în cele din urmă, „se va plimba” de-a lungul întregului plan de coordonate? Când va înceta să mai fie egal?

Aici avem nevoie pentru a construi o parabolă formula pentru calcularea vârfului: , .

Deci în acest punct (ca și în punctul (0;0) al noului sistem de coordonate) vom construi o parabolă, ceea ce o putem face deja. Dacă avem de-a face cu cazul, atunci din vârf punem un segment de unitate la dreapta, unul în sus, - punctul rezultat este al nostru (în mod similar, un pas la stânga, un pas în sus este punctul nostru); dacă avem de-a face cu, de exemplu, atunci de la vârf punem un segment de unitate la dreapta, două - în sus etc.

De exemplu, vârful unei parabole:

Acum, principalul lucru de înțeles este că la acest vârf vom construi o parabolă conform modelului parabolei, deoarece în cazul nostru.

La construirea unei parabole după ce s-au găsit coordonatele vârfului foarteEste convenabil să luați în considerare următoarele puncte:

1) parabolă va trece cu siguranță prin punct . Într-adevăr, înlocuind x=0 în formulă, obținem că . Adică, ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa (oy) este . În exemplul nostru (mai sus), parabola intersectează ordonata în punctul , deoarece .

2) axa de simetrie parabole este o linie dreaptă, deci toate punctele parabolei vor fi simetrice față de ea. În exemplul nostru, luăm imediat punctul (0; -2) și îl construim simetric față de axa de simetrie a parabolei, obținem punctul (4; -2) prin care va trece parabola.

3) Echivalând cu , aflăm punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oh). Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația. În funcție de discriminant, vom obține unul (, ), doi ( title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . În exemplul anterior, rădăcina noastră a discriminantului nu este un număr întreg când construim, nu prea are sens să găsim rădăcinile, dar vedem clar că vom avea două puncte de intersecție cu axa (oh); (din moment ce title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Deci, hai să rezolvăm

Algoritm pentru construirea unei parabole dacă este dat sub forma

1) determinați direcția ramurilor (a>0 – sus, a<0 – вниз)

2) găsim coordonatele vârfului parabolei folosind formula , .

3) găsim punctul de intersecție al parabolei cu axa (oy) folosind termenul liber, construim un punct simetric față de acest punct față de axa de simetrie a parabolei (de remarcat că se întâmplă ca nu este rentabil să se marcheze acest punct, de exemplu, pentru că valoarea este mare... sărim peste acest punct...)

4) În punctul găsit - vârful parabolei (ca și în punctul (0;0) al noului sistem de coordonate) construim o parabolă. Dacă title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oy) (dacă nu au „ieșit la suprafață”) rezolvând ecuația

Exemplul 1

Exemplul 2

Nota 1. Dacă parabola ne este dată inițial sub forma , unde sunt unele numere (de exemplu, ), atunci va fi și mai ușor să o construim, deoarece ni s-au dat deja coordonatele vârfului . De ce?

Să luăm un trinom pătratic și să izolăm pătratul complet din el: Uite, am obținut că , . Tu și cu mine anterior numiam vârful unei parabole, adică acum,.

De exemplu, . Marcam vârful parabolei pe plan, înțelegem că ramurile sunt îndreptate în jos, parabola este extinsă (în raport cu ). Adică realizăm punctele 1; 3; 4; 5 din algoritmul pentru construirea unei parabole (vezi mai sus).

Nota 2. Dacă parabola este dată într-o formă similară cu aceasta (adică prezentată ca un produs al doi factori liniari), atunci vedem imediat punctele de intersecție ale parabolei cu axa (bou). În acest caz – (0;0) și (4;0). În rest, acționăm conform algoritmului, deschizând parantezele.

După cum arată practica, sarcinile privind proprietățile și graficele unei funcții pătratice provoacă dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece ei studiază funcția pătratică în clasa a 8-a, iar apoi pe parcursul primului trimestru al clasei a IX-a „chinuiază” proprietățile parabolei și își construiesc grafice pentru diferiți parametri.

Acest lucru se datorează faptului că atunci când îi forțează pe elevi să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după construirea unei duzini sau două grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspectul graficului. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare, este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o posedă. Între timp, Inspectoratul de Stat propune să se determine semnele coeficienților folosind graficul.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și vom oferi pur și simplu unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y = ax 2 + bx + c numit pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, termenul principal este toporul 2. Acesta este A nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bȘi Cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul unei parabole.

Cea mai simplă dependență pentru coeficient A. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

În acest caz A = 0,5

Și acum pentru A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = - 0,5

Impactul coeficientului Cu De asemenea, este destul de ușor de urmărit. Să ne imaginăm că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:

y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. Acesta este Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De obicei, acest punct este ușor de găsit pe grafic. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Acesta este Cu> 0 sau Cu < 0.

Cu > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y = x 2 + 4x

Mai dificil cu parametrul b. Punctul în care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în = - b/(2a). Prin urmare, b = - 2ax in. Adică, procedăm astfel: găsim vârful parabolei pe grafic, determinăm semnul abscisei sale, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Cu toate acestea, asta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A. Adică, uită-te la locul în care sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.

Să ne uităm la un exemplu:

Ramurile sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă A> 0, parabola intersectează axa la sub zero înseamnă Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Cu < 0.

Definiție. Parabolă este un ansamblu de puncte dintr-un plan, fiecare dintre acestea fiind la aceeași distanță de un punct dat, numit focar, și de o linie dată, numită directriză și care nu trece prin focar.

Să plasăm originea coordonatelor la mijloc între focalizare și directrice.

Magnitudinea R(distanța de la focalizare la directrice) se numește parametru parabole. Să derivăm ecuația canonică a parabolei.

Din relații geometrice: A.M. = M.F.; A.M. = X + p/2;

M.F. 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

X 2 +xp+p 2 /4 = y 2 +x 2 – xp + p 2 /4

y 2 = 2px(3.7)

Ecuația directrice: X = - p/2 , coordonatele de focalizare F(p/2;0), OhOh ( dreapta ) .

Un fascicul de raze cu o sursă situată la focar, după reflectarea dintr-o parabolă, se va transforma într-un fascicul paralel de raze. Antenele oglinzi parabolice sunt construite pe acest principiu.

În funcție de alegerea poziției punctului de origine și a axelor de coordonate în raport cu focarul și directricea, pot fi obținute încă trei ecuații canonice ale parabolei:

y 2 = -2 px: coordonatele focalizării F(- p/2;0), centrul parabolei este la origine. Axa de simetrie – axa OhOh(stânga).

X 2 = 2 py: coordonatele focalizării F(0; p/2), centrul parabolei este la origine. Axa de simetrie – axa OU, ramurile parabolei sunt îndreptate în direcția pozitivă a axei OU(sus).

X 2 = -2 py: coordonatele focalizării F(0;- p/2), centrul parabolei este la origine. Axa de simetrie – axa OU, ramurile parabolei sunt îndreptate în direcția negativă a axei OU(jos).

Cu toate acestea, mai des trebuie să te ocupi de ecuația obișnuită a parabolelor, cunoscută de la școală:

y = topor 2 + bx + c(3.8) , Unde a, b, c - parametrii parabolelor. Grafice pentru diferite valori ale acestor parametri:

A < 0

A > 0

De obicei, se folosesc mai multe puncte cheie pentru a reprezenta graficul unei parabole: rădăcini, axa de simetrie, vârful parabolei, unde (în sus sau în jos) sunt direcționate ramurile parabolei etc. Se presupune că găsirea acestor puncte cheie din ecuația parabolei

Exemplu. Pe o parabolă la 2 = 8x Găsiți un punct a cărui distanță de directrice este 4.

Din ecuația parabolei aflăm că p = 4.

r = X + p/2 = 4; prin urmare:

X = 2;y 2 = 16;y =4. Puncte căutate: M 1 (2; 4),M 2 (2; -4).

§4. Sisteme de coordonate.

Orice punct din plan poate fi determinat în mod unic folosind diferite sisteme de coordonate, a căror alegere este determinată de diverși factori.

Metoda de precizare a condițiilor inițiale pentru rezolvarea oricărei probleme practice specifice poate determina alegerea unuia sau altui sistem de coordonate. Pentru ușurința calculului, este adesea de preferat să folosiți alte sisteme de coordonate decât sistemul dreptunghiular cartezian. În plus, claritatea prezentării răspunsului final depinde adesea și în mare măsură de alegerea sistemului de coordonate.

Să luăm în considerare așa-numitul sistemul de coordonate polare; este foarte convenabil și este folosit destul de des.

Cum se construiește o parabolă? Există mai multe moduri de a reprezenta grafic o funcție pătratică. Fiecare dintre ele are avantajele și dezavantajele sale. Să luăm în considerare două moduri.

Să începem prin a reprezenta o funcție pătratică de forma y=x²+bx+c și y= -x²+bx+c.

Exemplu.

Reprezentați grafic funcția y=x²+2x-3.

Soluţie:

y=x²+2x-3 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei

Din vârful (-1;-4) construim un grafic al parabolei y=x² (ca de la originea coordonatelor. În loc de (0;0) - vârful (-1;-4). Din (-1; -4) mergem spre dreapta cu 1 unitate și sus cu 1 unitate, apoi stânga cu 1 și sus cu 1 apoi: 2 - dreapta, 4 - sus, 2 - stânga, 3 - sus; stânga, 9 - sus Dacă aceste 7 puncte nu sunt suficiente, atunci 4 la dreapta, 16 în sus etc.).

Graficul funcției pătratice y= -x²+bx+c este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Pentru a construi un grafic, căutăm coordonatele vârfului și din acesta construim o parabolă y= -x².

Exemplu.

Reprezentați grafic funcția y= -x²+2x+8.

Soluţie:

y= -x²+2x+8 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei

Din partea de sus construim o parabolă y= -x² (1 - la dreapta, 1- jos; 1 - stânga, 1 - jos; 2 - dreapta, 4 - jos; 2 - stânga, 4 - jos, etc.):

Această metodă vă permite să construiți rapid o parabolă și nu provoacă dificultăți dacă știți să reprezentați grafic funcțiile y=x² și y= -x². Dezavantaj: dacă coordonatele vârfurilor sunt numere fracționare, construirea unui grafic nu este foarte convenabilă. Daca trebuie sa stii valori exacte punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox, va trebui să rezolvați suplimentar ecuația x²+bx+c=0 (sau -x²+bx+c=0), chiar dacă aceste puncte pot fi determinate direct din desen.

O altă modalitate de a construi o parabolă este prin puncte, adică puteți găsi mai multe puncte pe grafic și puteți trasa o parabolă prin ele (ținând cont că dreapta x=xₒ este axa ei de simetrie). De obicei, pentru aceasta iau vârful parabolei, punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și 1-2 puncte suplimentare.

Desenați un grafic al funcției y=x²+5x+4.

Soluţie:

y=x²+5x+4 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei

adică vârful parabolei este punctul (-2,5; -2,25).

Cauta . În punctul de intersecție cu axa Ox y=0: x²+5x+4=0. Rădăcinile ecuației pătratice x1=-1, x2=-4, adică avem două puncte pe grafic (-1; 0) și (-4; 0).

În punctul de intersecție a graficului cu axa Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Am obținut punctul (0; 4).

Pentru a clarifica graficul, puteți găsi un punct suplimentar. Să luăm x=1, atunci y=1²+5∙1+4=10, adică un alt punct de pe grafic este (1; 10). Marcam aceste puncte pe planul de coordonate. Ținând cont de simetria parabolei față de dreapta care trece prin vârful ei, mai notăm două puncte: (-5; 6) și (-6; 10) și trasăm o parabolă prin ele:

Reprezentați grafic funcția y= -x²-3x.

Soluţie:

y= -x²-3x este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei

Vârful (-1,5; 2,25) este primul punct al parabolei.

În punctele de intersecție ale graficului cu axa absciselor y=0, adică rezolvăm ecuația -x²-3x=0. Rădăcinile sale sunt x=0 și x=-3, adică (0;0) și (-3;0) - încă două puncte de pe grafic. Punctul (o; 0) este și punctul de intersecție al parabolei cu axa ordonatelor.

La x=1 y=-1²-3∙1=-4, adică (1; -4) este un punct suplimentar pentru reprezentare grafică.

Construirea unei parabole din puncte este o metodă care necesită mai multă muncă în comparație cu prima. Dacă parabola nu intersectează axa Ox, vor fi necesare mai multe puncte suplimentare.

Înainte de a continua să construim grafice ale funcțiilor pătratice de forma y=ax²+bx+c, să luăm în considerare construcția graficelor de funcții folosind transformări geometrice. De asemenea, este cel mai convenabil să construiți grafice ale funcțiilor de forma y=x²+c folosind una dintre aceste transformări - translația paralelă.

Categorie: |