Canonic formular PPP - sarcina programare liniară de forma ax = b unde a este matricea coeficienților, b este vectorul constrângerii.

Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru tranziția unui PPP la un KZLP. Reducerea problemei la formă canonicăînseamnă că toate restricțiile vor avea forma de egalități prin introducerea unor variabile suplimentare.
Dacă nu se impune o constrângere nici unei variabile x j, atunci ea este înlocuită cu diferența de variabile suplimentare, x j = x j1 - x j2, x j1 ≥ 0, x j2 ≥ 0.

Instrucțiuni. Selectați numărul de variabile și numărul de rânduri (număr de constrângeri). Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word.

Numărul de variabile 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Număr de rânduri (număr de restricții) 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cum se reduce o problemă de programare liniară la formă canonică

Se numește modelul matematic al ZLP de bază, dacă constrângerile din acesta sunt prezentate sub formă de ecuații cu condiția ca variabilele să fie nenegative.

Modelul matematic se numește canonic, dacă sistemul său de restricții este prezentat sub forma unui sistem de m ecuații liniar independente (rangul sistemului r=m), sistemul baza de unitate, se definesc variabilele libere iar functia obiectiv este exprimata in termeni de variabile libere. În acest caz, părțile din dreapta ecuațiilor sunt nenegative (b i ≥ 0).

Variabilele incluse într-una dintre ecuațiile sistemului cu un coeficient de unu și absente în alte ecuații se numesc necunoscute de bază, și toate celelalte - gratuit.

Soluția sistemului se numește de bază, dacă variabilele libere din acesta sunt egale cu 0 și are forma:
X baze = (0, 0; b 1 , …, b m), f(X baze) = c 0

Soluție de bază este punctul de colț al mulțimii de soluții ale sistemului, adică definește vârful poligonului soluție al modelului. Printre astfel de soluții se numără și cea în care ia funcția obiectiv valoare optimă.

O soluție de bază se numește soluție de referință dacă este admisibilă, adică. toate părțile din dreapta ale ecuațiilor sistemului (sau inegalităților) sunt pozitive b i ≥ 0.

Forma compactă a modelului canonic este:
AX = b
X ≥ 0
Z = CX(max)

Conceptul unei soluții admisibile, domeniul soluțiilor admisibile, soluție optimă probleme de programare liniară.
Definiția 1. Un vector X care satisface sistemul de constrângeri ZLP, inclusiv condițiile de non-negativitate, dacă există, este numit o soluție admisibilă pentru ZLP.
Definiția 2. Setul tuturor soluțiilor admisibile formează regiunea soluțiilor admisibile (ADA) a PLP.
Definiția 3. O soluție fezabilă pentru care funcția obiectiv atinge un maxim (sau un minim) se numește soluție optimă.

Exemplul nr. 1. Reduceți următoarea problemă LP la forma canonică: F(X) = 5x 1 + 3x 2 → max sub restricțiile:
2x 1 + 3x 2 ≤20
3x 1 + x 2 ≤15
4x 1 ≤16
3x 2 ≤12
Modelul este scris în formă standard. Să introducem variabile nenegative de echilibru x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , pe care le adăugăm la părțile din stânga constrângerilor de inegalitate. Introducem toate variabilele suplimentare în funcția obiectiv cu coeficienți egali cu zero:
În prima inegalitate de sens (≤), introducem variabila de bază x 3 . În a 2-a inegalitate de sens (≤) introducem variabila de bază x 4 . În a treia inegalitate introducem variabila de bază x 5 . În a patra inegalitate - variabila de bază x 6. Obținem forma canonică a modelului:
2x 1 + 3x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 20
3x 1 + 1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 15
4x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 + 0x 6 = 16
0x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 1x 6 = 12
F(X) = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 → max

Exemplul nr. 2. Găsiți două soluții de referință ale sistemului
x 1 + 2x 4 - 2x 5 = 4
x 3 + 3x 4 + x 5 = 5
x 2 + 3x 5 = 2

Orice problemă de programare liniară poate fi redusă la o problemă de programare liniară în formă canonică. Pentru a face acest lucru, în cazul general, trebuie să fiți capabil să reduceți problema de maximizare la problema de minimizare; trece de la constrângeri de inegalitate la constrângeri de egalitate și înlocuiește variabilele care nu se supun condiției de non-negativitate. Maximizarea unei anumite funcții echivalează cu minimizarea aceleiași funcții luate cu semnul opus și invers.

Regula pentru aducerea unei probleme de programare liniară la forma canonică este următoarea:

• dacă în problema inițială este necesar să se determine maximul unei funcții liniare, atunci ar trebui să schimbați semnul și să căutați minimul acestei funcții;
• dacă există restricții partea dreaptă este negativ, atunci această limită trebuie înmulțită cu -1;
• dacă există inegalități între restricții, atunci prin introducerea unor variabile suplimentare nenegative acestea se transformă în egalități;
• dacă vreo variabilă x j nu are restricții de semn, atunci este înlocuit (în funcția obiectiv și în toate restricțiile) cu diferența dintre două variabile noi nenegative:
  x 3 = x 3 + - x 3 - , Unde x 3 + , x 3 - ≥ 0 .

Exemplul 1. Reducerea problemei de programare liniară la formă canonică:

min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ;
2x 2 - x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1;
2x 1 - x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Să introducem variabile de nivelare în fiecare ecuație a sistemului de constrângeri x 4 , x 5 , x 6. Sistemul va fi scris sub formă de egalități, iar în prima și a treia ecuație a sistemului de constrângeri variabilele x 4, x 6 sunt introduse în partea stângă cu semnul „+”, iar în a doua ecuație variabila x 5 este introdus cu semnul „-”.

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1;
2x 1 - x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

Termenii liberi în forma canonică trebuie să fie pozitivi pentru a face acest lucru, înmulțiți ultimele două ecuații cu -1:

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 - x 6 = 3.

În forma canonică de scriere a problemelor de programare liniară, toate variabilele incluse în sistemul de constrângeri trebuie să fie negative. Să presupunem că x 1 = x 1 " - x 7 , Unde x 1 "≥ 0, x 7 ≥ 0 .

Substituind această expresie în sistemul de constrângeri și funcția obiectiv și scriind variabilele în ordine crescătoare a indicelui, obținem o problemă de programare liniară prezentată în formă canonică:

L min = 2x 1 " + x 2 - x 3 - 2x 7 ;
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 " - x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1 " + x 2 - x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 "≥ 0; x i ≥ 0, i=2, 3, 4, 5, 6, 7.

Condiție de optimitate pentru planul de bază al problemei LP canonice. Metoda simplex și convergența acesteia.

Metoda simplex este universal, deoarece vă permite să rezolvați aproape orice problemă de programare liniară scrisă formă canonică.

Ideea metodei simplex îmbunătățirea consecventă a planului, este că, pornind de la o soluție de referință inițială, miscare dirijata secvential de la soluţiile de referinţă ale problemei la cea optimă.

Valoarea functiei obiectiv nu scade in timpul acestei miscari pentru probleme la maxim.

Întrucât numărul de soluții de sprijin este finit, după un număr finit de pași obținem soluția optimă de sprijin.

O soluție de referință este o soluție de bază nenegativă.

Algoritmul metodei simplex

1. Modelul matematic al problemei trebuie să fie canonic. Dacă este necanonică, atunci trebuie adusă la forma canonică.

2. Găsiți soluția de referință inițială și verificați optimitatea acesteia.
Pentru a face acest lucru, completați tabel simplex 1.
Completam toate rândurile din tabelul primului pas conform datelor sistemului de restricții și funcției obiective.

Următoarele cazuri sunt posibile la rezolvarea problemelor pe maxim:

1. Dacă toți coeficienții ultimului rând al tabelului simplex DJ³ 0, apoi găsit

soluţie optim.

2 Dacă cel puţin un coeficient Dj £ 0, dar pentru variabila corespunzătoare nu există o singură relație evaluativă pozitivă, apoi soluția oprim sarcinile, deoarece F(X) ® ¥ , adică funcția obiectivă nu este limitată în zona soluțiilor fezabile.

Dacă cel puțin un coeficient al ultimului rând este negativ, iar pentru variabila corespunzătoare există cel puțin o atitudine evaluativă pozitivă, atunci trebuie să te miști la o altă soluție de referință.

4. E dacă sunt mai mulți coeficienți negativi în ultimul rând, atunci la coloana variabilă de bază(BP) introduceți asta variabil, care corespunde cel mai mare în valoare absolută coeficient negativ.

5. Dacă cel puţin un coeficient Dk< 0 ,Acea k - al coloana accept pentru prezentator.

6. Pentru linie de conducere o acceptam pe cea care corespunde minim raportul de membri liberi bi la coeficienți pozitivi conducând, k – acela coloană.

7. Se numește elementul situat la intersecția rândurilor și coloanei principale element conducător.

Completarea tabelului simplex 2 :

· umpleți coloana de bază cu zerouri și unu

· rescrieți linia principală împărțind-o la elementul principal

· dacă rândul de început are zerouri, atunci îl puteți muta la următorul tabel simplex coloanele corespunzătoare

· găsim coeficienții rămași folosind regula „dreptunghiului”.

Obținem o nouă soluție de referință, pe care o verificăm pentru optimitate:

Dacă toți coeficienții ultimului rând DJ³ 0, atunci soluția găsită maxim.

Dacă nu, atunci completați tabelul simplex al pasului 8 și așa mai departe.

Dacă funcţia obiectiv F(X) necesită găsirea valoarea minima, apoi criteriul optimitatea problemei este coeficienţi nepozitivi D j pentru toate j = 1,2,...n.

Convergența metodei simplex. Degenerarea în problemele LP. Cea mai importantă proprietate a oricărui algoritm de calcul este convergența, adică posibilitatea de a obține rezultatele dorite în timpul aplicării sale (cu o precizie dată) într-un număr finit de pași (iterații).

Este ușor de observat că problemele cu convergența metodei simplex pot apărea potențial în etapa de alegere a valorii lui r (secțiunea 2") în cazul în care aceleași valori minime ale raportului

se va realiza pentru mai multe rânduri din tabelul T (q) simultan. Apoi, la următoarea iterație, coloana b(β(q+1)) va conține zero elemente.

Sarcini MP

General ZLP este numit <,=,>=)bi (i=1,n) (2) cu condiția xj>

Simetric < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > Canonic amestecat.

min f(x) = -max(-f(x))

<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>

Interpretarea geometrică a funcției obiective și a constrângerilor ZLP. Formularea geometrică a ZLP.

Să fie dată problema f=c1x1+c2x2-max (1).

a11x1+a12x2<=b1 }

am1x1+am2x2<=bm}

x1>=0, x2>=0 (3)

Planul problemei (x1,x2) este un punct din plan. Fiecare inegalitate cu-noi 2 reprezentări. este un semiplan. Un semiplan este o mulțime convexă. Convex se numeste multime in care punctele segmentului de legatura (x1 si x2) apartinand acestei multimi apartin si ele multimii. C-ma 2 reprezintă intersecția semiplanurilor. La traversare puteți obține:

1) zonă închisă poligonală convexă.

2) zonă poligonală convexă deschisă

3) un singur punct

4) set gol

5) rază și segment

Interpretarea geometrică a funcției obiectiv: Funcția 1 este o familie de drepte paralele, care se numesc linii de nivel (linii de valoare constantă a funcției obiectiv). Derivatele parțiale ale funcției în raport cu x1 și x2 arată rata de creștere a funcției obiectiv de-a lungul coordonatelor axelor. Vector gradient arată direcția celei mai rapide creșteri a funcției obiectiv Pentru problema 1-3, vectorul gradient = (c1; c2) părăsește punctul (0,0) și este direcționat către punctul cu coordonatele (c1; c2). Vectorul gradient este perpendicular pe liniile de nivel. Intersecția semiplanurilor este de obicei numită zona de soluții admisibile (ADD).

Teorema principală a LP. Diagramă schematică soluția ZLP, care rezultă din această teoremă.

Dacă ZLP are o soluție, atunci funcția obiectiv atinge o valoare extremă la cel puțin unul dintre punctele extreme ale poliedrului plan. Dacă funcția obiectiv atinge o valoare extremă în mai multe puncte extreme, atunci atinge una și aceeași valoare în orice punct, care este o combinație liniară convexă a acestora. La decizia PPP Este convenabil să utilizați manual o intrare de tabel.

BP		SP -Xm+1 -Xm+2 -Xn
x1	b1o	b11 b12 b1n-m
x2	b2o	b21 b22 b2n-m
xm	bm	bm1 bm2 bmn-m
f	hui	bo1 bo2 bon-m

Algoritmul metodei simplex.

1. aduce modelul problemei la forma canonică;

2. găsiți-o pe cea inițială plan de referință;

3. scrie problema cu simplu. masa;

5. trece la un nou plan de referință, la un nou simp. masa. Pentru a trece la un nou plan de referință, este suficient să înlocuiți o variabilă de bază cu una liberă. Variabila inclusă în bază și coloana de rezoluție corespunzătoare sunt determinate de cel mai mare element negativ absolut al rândului f. Variabila care exclude din bază și linia de rezolvare corespunzătoare sunt determinate de cel mai mic raport simplex, i.e. relația elementelor coloanei unității cu elementul corespunzător al coloanei de rezoluție. Raportul simplex este o mărime nenegativă. La intersecția rândului de rezolvare și a coloanei de rezolvare există un element de rezoluție în raport cu care transformare simplex Următorul regulă: 1. elementele șirului de permis se împart în elementul de admisie; 2. elementele coloanei de rezoluție se împart în elementul de rezoluție și își schimbă semnul în sens invers; 3. elementele rămase ale tabelului sunt rearanjate conform regulii dreptunghiului:

bij bis bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi

A doua teoremă a dualității.

dacă una dintre problemele duale are un plan optim, atunci și cealaltă este rezolvabilă, adică. are un plan optic. În acest caz, valorile extreme ale funcțiilor obiectiv coincid (j=de la 1 la n) Σcjxj*= (i=de la 1 la m)Σbiyi* dacă în original. problema, functia obiectiv este nelimitata pe setul de planuri, apoi in dubla problema sistemul de restricții este inconsecvent.

Teorema privind rangul matricei TK.

Rangul matricei A a problemei de transport este cu unul mai mic decât numărul de ecuații: r(A)=m+n-1.

39. Algoritm pentru construirea planului de referință inițial al ZLP.

Pentru a găsi planul de referință inițial, vă putem sugera următoarele algoritm:

1. scrieți problema sub forma unui tabel Jordan, astfel încât toate elementele coloanei de termeni liberi să fie nenegative, i.e. inegalitatea aio>=0 (i=1,m) a fost satisfăcută. Acele ecuații în care termenii liberi sunt negativi sunt mai întâi înmulțite cu -1.

		-x1….. -xn
0=	a1o	a11…. a1n
…..	…..	………………………..
0=	amo	am1…..amn
f=		-c1…. -cn

Transformați tabelul utilizând pașii de eliminare Jordan, înlocuind zerourile din coloana din stânga cu x-ul corespunzător. În același timp, la fiecare pas permisiv poate fi selectat orice coloană care conține cel puțin un element pozitiv. Rândul de rezolvare este determinat de cel mai mic dintre raporturile dintre termenii liberi și elementele pozitive corespunzătoare ale coloanei de rezolvare. Dacă un șir 0 este întâlnit în timpul procesului de excepție, toate elementele care sunt zerouri, iar termenul liber este diferit de zero, atunci sistemul nu are soluții la ecuațiile restrictive. Dacă întâlnim un rând 0 în care, în afară de termenul liber, nu există alte elemente pozitive, atunci mulțimea ecuațiilor restrictive nu are soluții nenegative Dacă mulțimea ecuațiilor restrictive comun, apoi după un anumit număr de pași toate zerourile din coloana din stânga vor fi înlocuite cu x și, astfel, se obțin o anumită bază și, în consecință, un plan de referință corespunzător.

40. Algoritm pentru construirea planului optim de referință al ZLP.

Planul inițial de asistență al lui Ho este examinat pentru optimitate.

Dacă nu există elemente negative în rândul f (fără numărarea termenului liber), -planul este optim. Dacă, de asemenea, nu există elemente zero în rândul f, atunci există un singur plan optim; dacă printre elemente există cel puțin un zero, atunci există un număr infinit de planuri optime. Dacă există cel puțin un element negativ în rândul f și nu există elemente pozitive în coloana corespunzătoare, atunci funcția obiectiv nu este limitată în zonă valabilă. Problema nu este rezolvabilă. Dacă există cel puțin un element negativ în rândul f, iar în fiecare coloană cu un astfel de element există cel puțin un element pozitiv, atunci puteți trece la un nou plan de referință care este mai aproape de cel optim. Pentru a face acest lucru, coloana cu un element negativ în rândul f este luată ca permisiv; Ei determină șirul de rezoluție din relația simplex minimă și efectuează pasul de eliminare Jordan. Planul de referință rezultat este din nou examinat pentru optimitate. Aceasta se repetă până când se găsește planul de referință optim sau se stabilește imposibilitatea de rezolvare a problemei.

Algoritmul metodei Gomori.

1. Folosind metoda simplex se găsește planul optim pentru problemă. Dacă toate componentele plan optimîntreg, atunci este optim. În caz contrar, treceți la pasul 2

2. Dintre componentele care nu sunt întregi, ar trebui să o selectați pe cea a cărei parte fracțională este cea mai mare și, folosind linia corespunzătoare a tabelului simplex, să formulați limita corectă folosind formula

(n-m,s=1)∑ (αkm+1)Xm+1≥(βk)

3. Convertiți inegalitatea formulată într-o egalitate zero echivalentă și includeți-o într-un tabel simplex cu un plan optim non-întreg

4. Problema extinsă rezultată este rezolvată folosind metoda simplex. Dacă planul rezultat nu este întreg, treceți la pasul 2.

Dacă în timpul procesului de rezolvare apare o linie cu un termen neîntreger și alți coeficienți întregi, atunci ecuația corespunzătoare nu are o soluție în numere întregi. În acest caz, problema inițială este, de asemenea, de nerezolvat în numere întregi, metoda lui Gomori are o aplicație limitată. Cu ajutorul lui, este indicat să rezolvi micile probleme, deoarece... numărul de interacțiuni poate fi foarte mare.

Diverse forme Înregistrările PAP(general, canonic, simetric)

Sarcini MP: determinarea planului optim, determinarea volumului optim de producție, determinarea combinației optime de culturi, formarea pachetului optim de active, maximizarea profitului băncii etc.

General ZLP este numit problema de maximizare (minimizare). funcția liniară f=Σcj*xj-max(min) (1) sub restricții liniare ∑aij *xj(=<,=,>=)bi (i=1,n) (2) cu condiția xj>=0(j=1,n1), xj-arbitrară (j=n1+1,n)(3) unde cj,aij, numere bi-constante .

Simetric Forma de scriere a ZLP se numește problema maximizării funcției (1) sub constrângeri liniare în inegalități cu semn.< либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком >sau = și variabile nenegative. Canonic Forma de scriere a ZLP se numește problema funcției maxime (1) sub constrângeri liniare de egalități și variabile nenegative. Orice altă formă este numită amestecat.

min f(x) = -max(-f(x))

Transformarea unei inegalități într-o ecuație și invers se realizează pe baza lemei: pentru fiecare soluție x1...xn a inegalității a1x1+...+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) și invers. Fiecare soluție x1…xn,xn+1 a ecuației 6 și inegalității 7 corespunde unei soluții x1…xn a inegalității 5.

Pentru a trece de la forma din spate sim la forma canonică din spate, trebuie să introduceți variabile de echilibrare (egalizare). Aceasta se bazează pe teorema inegalității: orice inegalitate poate fi reprezentată ca o ecuație sau o simplă inegalitate.

: Probleme de programare liniară (LPP)

1. Programare liniară

2. Tipuri de probleme de programare liniară

3. Formulare pentru înregistrarea PAP-urilor

4. Forma canonică a problemelor de programare liniară

Programare liniară

Programarea liniară este o ramură a programării matematice utilizată în dezvoltarea metodelor de găsire a unui extremum funcții liniare mai multe variabile cu liniară restricții suplimentare, impus variabilelor.

În funcție de tipul de probleme pe care le rezolvă, metodele LP sunt împărțite în universale și speciale. Prin utilizarea metode universale Orice problemă de programare liniară (LPP) poate fi rezolvată. Cele speciale iau în considerare caracteristicile modelului problemei, funcția sa obiectivă și sistemul de constrângeri.

Caracteristica principală a problemelor de programare liniară este că extremul funcției obiectiv se află la limita regiunii soluțiilor fezabile.

Figura 1 - Extremul funcției obiectiv

Modelul matematic al ZLP este scris după cum urmează:

max (sau min) Z=z(X),(1)

ODR poate fi reprezentat de sistem ecuatii lineare sau inegalități.

Vector X = (x 1, x 2, .... x p) este un vector de control sau efect de control.

Un plan admisibil X, în care criteriul de optimitate Z=z(X) atinge o valoare extremă, se numește optim și se notează cu X*, valoarea extremă a funcției obiectiv cu Z*=z(X*).

Tipuri de probleme de programare liniară

Metodele de programare liniară sunt utilizate pe scară largă la întreprinderile industriale la optimizarea programului de producție, distribuirea acestuia în ateliere și pe intervale de timp, la încărcarea sortimentelor de echipamente, planificarea fluxurilor de marfă, determinarea planului de cifra de afaceri etc.

Cel mai comun tip de sarcini este sarcină utilizare optimă resurse. Să fie o unitate de producție (atelier, întreprindere, asociație etc.), în funcție de condițiile pieței, capabilități tehniceși resursele disponibile, poate produce n tipuri variate produse cunoscute sub numerele j.

La producerea produselor, întreprinderea este limitată de resursele disponibile, a căror cantitate va fi notată cu m, iar vectorul resurselor B = (b 1, b 2, ..., b t). Sunt cunoscuți și coeficienții tehnologici a ij, care arată rata de consum a i-a resursă pentru producerea unei unități de j-a produs. Eficiența ieșirii unității produse j-i caracterizat prin profit p j .

Este necesar să se determine planul de producție X = (x 1, x 2, ..., x p), maximizând profitul întreprinderii cu resurse date.

Funcția obiectiv arată astfel

sub restricții

Adesea, gama de produse este stabilită de o organizație superioară, adică volumele sale trebuie să fie cuprinse în anumite limite D în j și D în j: atunci se stabilește următoarea restricție:

Modelul problemei utilizării optime a resurselor stă la baza modele de optimizare a programului anual de producţie al întreprinderii. Modelul include restricții privind timpul de funcționare al echipamentului.

Păstrând aceeași notație, scriem prin b j și, respectiv, c j, prețul de vânzare și costul pe unitate jth produse. Următoarele pot fi considerate criterii de optimitate:

1) profit maxim

2) costuri minime de producție

3) producție maximă în termeni de valoare (venituri din vânzările de produse)

Exemplu. Întreprinderea poate produce patru tipuri de produse 1, 2, 3 și 4. Vânzările de orice volum sunt garantate. Pe parcursul trimestrului, întreprinderea are o forță de muncă de 100 de oameni în schimburi, produse semifabricate cu o greutate de 260 kg și echipamente de mașini de 370 de mașini în schimburi. Ratele consumului de resurse și profitul pe unitate a fiecărui tip de produs sunt prezentate în Tabelul 1.

Necesar:

a) alcătuiesc model matematic sarcina de a determina un plan de producție care va realiza un profit maxim;

b) rezolvați problema cu cerințele de ambalare astfel încât numărul de unități ale celui de-al treilea produs să fie de 3 ori mai multa cantitate mai întâi unitățile;

c) afla sortimentul optim pentru conditii suplimentare: produceți cel puțin 25 de unități din primul produs, nu mai mult de 30 de unități din al treilea, iar al doilea și al patrulea într-un raport de 1:3.

tabelul 1

Datele inițiale

Modelul matematic al problemei:

funcție obiectivă:

max: Z=40x 1 +50x 2 +100x 3 +80x 4

cu restrictii:

a) pentru resursele de munca:

2,5x 1 +2,5x 2 +2x 3 +1,5x 4 ? 100;

pentru semifabricate:

4x 1 +10x 2 +4x 3 +6x 4 ? 260;

pentru mașini-unelte:

8x 1 +7x 2 +4x 3 +10x 4 ? 370;

condiție de non-negativitate:

b) cerință suplimentară configurația va fi exprimată prin condiție

3x 1 =x 3, adică 3x 1 x 3 =0;

c) să prezentăm condițiile la limită și condiția de configurare după cum urmează: x 1 ?

x 3?30, 3*x 2 = x 4.

Problema plasării comenzilor sau încărcării unor grupuri interschimbabile de echipamente. Este despre despre distribuția comenzilor între m (i=1,…, m) întreprinderi (magazine, mașini, executanți) cu producție diferită și caracteristicile tehnologice, dar interschimbabile în ceea ce privește onorarea comenzilor. Se cere intocmirea unui plan de plasare a comenzii in care sarcina sa fie finalizata si indicatorul de eficienta sa atinga o valoare extrema.

Să formulăm problema matematic. Fie că n tipuri de produse trebuie produse folosind m grupuri omogene de echipamente. Plan de productie pentru fiecare tip de produs anumită perioadă dat de mulțimea x j (j=1,2, …n). Puterea fiecărui tip de echipament este limitată și egală cu b i. Se cunoaște matricea tehnologică A=||a ij ||, unde a ij este numărul de unități ale produsului j-lea produs pe unitatea de timp pentru echipamentul i-a. Matricea C este o matrice a costurilor, unde c ij sunt costurile asociate producției jth unități produse pe echipamente i-th. X este un vector al volumului de ieșire.

Modelul problemei va lua următoarea formă:

functie obiectiv - minimizarea costurilor pentru implementarea tuturor comenzilor

cu restrictii:

a) prin puterea echipamentului

b) pentru producţie

c) condiţia de non-negativitate

Această problemă se numește problemă de distribuție sau distribuție.

Dacă pentru unele tipuri de produse planul este permis să fie depășit, atunci limitarea (b) va lua forma

Următoarele pot fi, de asemenea, considerate ca profit țintă:

a) profit maxim

b) costul minim al timpului mașinii

Deoarece Orice model conține premise simplificatoare pentru aplicarea corectă a rezultatelor obținute, este necesară o înțelegere clară a esenței acestor simplificări, ceea ce, în cele din urmă, ne permite să tragem o concluzie despre admisibilitatea sau inadmisibilitatea acestora. Cea mai semnificativă simplificare în modelele luate în considerare este ipoteza unei relații direct proporționale (liniare) între volumele consumate de resurse și volumele de producție, care este specificată folosind normele de cost a ij . Evident, această presupunere nu este întotdeauna îndeplinită. Astfel, volumele de consum ale multor resurse (de exemplu, mijloace fixe) se modifică brusc - în funcție de modificările din programul de producție X. Alte premise simplificatoare includ ipoteze despre independența prețurilor j față de volumele x j, care este valabilă doar pentru anumite limite. de schimbarea lor. De asemenea, este important să cunoaștem aceste puncte „vulnerabile”, deoarece indică direcții fundamentale pentru îmbunătățirea modelului.

Formulare de înregistrare PAP

Există 3 forme de înregistrare PAP:

1) sub formă de funcții

max(sau min)Z=,max(sau min)Z=,

2) formă vectorială

(produsul scalar al vectorilor)

sub restricții

A 1 x 1 +A 2 x 2 +..+A n x n = B

Unde sunt vectorii

C = (C1, C2 .. Cn), X = (X1, X2 .. Xn) și.

3) formă matriceală

sub restricții

unde C = (c 1, c 2,...c n),

Forma canonică a problemelor de programare liniară

Dacă toate constrângerile dintr-o problemă de programare liniară sunt ecuații și condițiile de non-negativitate sunt impuse tuturor variabilelor x j, atunci se numește problemă de programare liniară în formă canonică sau problema canonica programare liniară (LLP).

sub restricții

Pentru a trece de la ZLP la CLLP, este necesar să trecem de la restricții de inegalitate la restricții de egalitate și înlocuirea variabilelor care nu se supun condițiilor de non-negativitate.

Reguli aducând PAP la forma canonică:

1) dacă partea dreaptă a restricțiilor este negativă, atunci această restricție trebuie înmulțită cu -1;

2) dacă între restricții există inegalități, atunci prin introducerea unor variabile suplimentare nenegative acestea se transformă în egalități;

3) dacă o variabilă xk nu are restricții de semn, atunci ea este înlocuită în funcția obiectiv și în toate restricțiile cu diferența dintre două variabile noi nenegative: xk=x * k - xl, unde l este indicele rezumativ, x * k>=, xl >=0.

Să ne uităm la un exemplu. Să o aducem la forma canonică:

Să introducem variabilele de nivelare x 4, x 5, x 6 în fiecare ecuație a sistemului de constrângeri. Sistemul va fi scris sub formă de egalități, iar în prima și a treia ecuație a sistemului de restricții, variabilele x 4, x 6 sunt introduse în partea stângă cu semnul „+”, iar în a doua ecuație x 5 se introduce cu semnul „-”.

Termenii liberi în forma canonică trebuie să fie pozitivi pentru a face acest lucru, înmulțiți ultimele două ecuații cu -1:

În forma canonică de scriere a problemelor de programare liniară, toate variabilele incluse în sistemul de constrângeri trebuie să fie nenegative. Să presupunem că

Substituind această expresie în sistemul de constrângeri și funcția obiectiv și scriind variabilele în ordine crescătoare a indicelui, obținem o problemă de programare liniară prezentată în formă canonică:

optimizare programare liniară simplex

Problemă de programare liniară de forma ax = b unde a este matricea coeficienților, b este vectorul constrângerii.
Exemplu:

În fiecare problemă LP se caută valorile variabilelor cu condiția ca:

• aceste valori au satisfăcut un sistem de ecuații liniare sau inegalități;
• la aceste valori, funcția obiectiv s-ar transforma la minim sau maxim.

Instrucțiuni. Selectați numărul de variabile și numărul de rânduri (număr de constrângeri). Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word.

Una dintre metodele universale de LP este metoda simplex, care, totuși, poate fi folosit dacă problema LP are o formă canonică.

Definiție. Problema LP are o formă canonică dacă toate constrângerile sistemului constau numai din ecuații (cu excepția inegalităților care exprimă non-negativitatea variabilelor) și funcția obiectiv trebuie redusă la minimum.
Un exemplu de astfel de problemă LP în formă canonică este Problema 1 – o problemă de transport echilibrat cu un sistem de constrângeri (1) și funcția țintă (2).
Cu toate acestea, în majoritatea problemelor economice, cel mai adesea sistemul de constrângeri include inițial nu numai ecuații, ci și inegalități.

Afirmație. Orice problemă generală LP poate fi redusă la formă canonică.
Aducând sarcină comună LP la forma canonică se realizează prin introducerea de noi variabile (se numesc suplimentare).
Sistemul de constrângeri (3) al acestei probleme este format din patru inegalități. Prin introducerea de variabile suplimentare y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0, putem merge la sistemul de restricții:

Aceste variabile suplimentare y am o semnificație economică absolut clară, și anume, ele înseamnă cantitatea de timp de lucru neutilizat (timp de oprire a mașinii i-al-lea tip).
De exemplu, dacă mașinile de primul tip au funcționat pentru toate cele 18 ore, atunci x + y = 18, prin urmare, y 1 = 0. Dar permitem posibilitatea utilizării incomplete a timpului de funcționare al primei mașini X + y<18. В этом случае y 1 capătă o valoare pozitivă și poate fi considerată ca o limită de timp neutilizată. De exemplu, cunoscând soluția acestei probleme din paragraful 3.3.2, X = 12, y= 6, putem concluziona din sistemul de restricții (3.9) că y 1 = y 2 = y 3 = 0 și y 4 = 12 – 6 = 6. Adică, mașinile de primul, al doilea, al treilea tip își folosesc timpul de lucru complet. Dar a patra mașină este încărcată doar pe jumătate, 6 ore, iar cu un plan optim dat este inactiv. Poate că, după astfel de concluzii, șeful întreprinderii va dori să o încarce cu alte lucrări, să o închirieze pentru această perioadă etc.
Deci, prin introducerea de variabile suplimentare, putem reduce orice constrângere de tip de inegalitate la o ecuație.

Să luăm în considerare problema amestecului. Sistemul de restricții are forma:
Inegalitățile au fost îndreptate spre „mai mult”, prin urmare, introducând variabile suplimentare y 1, y 2, y 3 ≥ 0, acestea trebuie scăzute din partea stângă pentru a o egaliza cu dreapta. Obținem un sistem de restricții în formă canonică:
Variabilele y i vor avea, de asemenea, sens economic. Dacă vă amintiți conținutul practic al problemei, atunci variabila y 1 va însemna cantitatea de substanță în exces A din amestec, y 2 va însemna cantitatea de substanță în exces ÎNîn amestec y 3 – surplus CUîn amestec.
Sarcina de a găsi valoarea maximă a funcției obiectiv poate fi redusă la găsirea minimului pentru funcția - F datorită evidenței afirmației max F = –min (– F). Privește imaginea: dacă la un moment dat X= X 0 functie y= F(X) atinge maximul, apoi funcția y= –F(X), simetric față de acesta în raport cu axa BOU, în același punct X 0 va atinge un minim și F max = – (– F min) la X = X 0 .

Concluzie. Pentru a reprezenta problema LP în formă canonică este necesar:

• transforma inecuatiile incluse in sistemul de constrangeri al problemei in ecuatii prin introducerea unor variabile suplimentare;
• dacă funcţia obiectivă F→max (maximizează), se înlocuiește cu funcția – F→ min (care este minimizat).