Metoda simplex pentru funcții ale mai multor variabile. Un exemplu de rezolvare a unei probleme directe și duale folosind metoda simplex

Ața, nasturii și țesătura sunt folosite pentru a face trei tipuri de cămăși. Stocurile de ață, nasturi și țesături, normele de consum ale acestora pentru coaserea unei cămăși sunt indicate în tabel. Găsiți profitul maxim și planul optim de producție a produsului care îl asigură (găsiți).

cămașă 1

cămașă 2

cămașă 3

Rezerve

fire (m.)

nasturi (buc.)

640

textil (

Profit (r.)

Rezolvarea problemei

Construirea modelului

Prin și numărul de cămăși de tipul 1, 2 și 3 destinate lansării.

Apoi restricțiile de resurse vor arăta astfel:

În plus, conform sensului sarcinii

Funcția obiectivă care exprimă profitul primit:

Obținem următoarea problemă de programare liniară:

Reducerea unei probleme de programare liniară la formă canonică

Să reducem problema la formă canonică. Să introducem variabile suplimentare. Introducem toate variabilele suplimentare în funcția obiectiv cu un coeficient egal cu zero. Adăugăm variabile suplimentare în partea stângă a restricțiilor care nu au o formă preferată și obținem egalități.

Rezolvarea problemei folosind metoda simplex

Completați tabelul simplex:

Întrucât rezolvăm problema la maximum, prezența numerelor negative în linia index atunci când rezolvăm problema la maximum indică faptul că nu am obținut soluția optimă și că este necesar să trecem de la tabelul celei de-a 0-a iterații. la următorul.

Trecem la următoarea iterație după cum urmează:

coloana principală corespunde

Rândul cheie este determinat de raportul minim dintre termenii liberi și membrii coloanei principale (relații simple):

La intersecția coloanei de chei și a rândului de chei găsim elementul de activare, i.e. 9.

Acum trecem la compilarea primei iterații: În loc de un vector unitar, introducem vectorul .

În noul tabel, în locul elementului de activare scriem 1, toate celelalte elemente ale coloanei cheie sunt zerouri. Elementele șirului cheie sunt împărțite în elementul de activare. Toate celelalte elemente ale tabelului sunt calculate folosind regula dreptunghiului.

Coloana cheie pentru prima iterație îi corespunde

Elementul de rezolvare este numărul 4/3. Deducem vectorul de la bază și introducem în schimb vectorul. Obținem tabelul celei de-a 2-a iterații.

Coloana cheie pentru a 2-a iterație îi corespunde

Găsim linia cheie, pentru aceasta definim:

Elementul de rezolvare este numărul 10/3. Deducem vectorul de la bază și introducem în schimb vectorul. Obținem tabelul celei de-a 3-a iterații.

№

c B

A o

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

Simplex

relaţie

x 4

32/3

x 5

640

x 6

F j - c j

-2

-5

-4

x 2

32/3

1/9

1/3

1/9

x 5

1600/3

170/9

80/3

-10/9

x 6

68/3

7/9

4/3

-2/9

F j - c j

160/3

-13/9

-7/3

5/9

x 2

-1/12

1/6

-1/4

x 5

10/3

-20

x 3

7/12

-1/6

3/4

204/7

F j - c j

-1/12

1/6

7/4

x 2

1/4

1/40

-3/4

x 1

3/10

-6

x 3

-3/4

-7/40

17/4

F j - c j

1/4

1/40

5/4

În rândul index, toți termenii sunt nenegativi, deci se obține următoarea soluție la problema de programare liniară (o scriem din coloana de termeni liberi):

Este necesar să coaseți 24 de cămăși de tipul 1, 7 cămăși de tipul 2 și 3 cămăși de tipul 3. În acest caz, profitul primit va fi maxim și se va ridica la 95 de ruble.

Puteți găsi ajutor pentru a vă rezolva problemele pe acest subiect trimițând un mesaj pe VKontakte, Viber sau completând formularul. Costul rezolvării temelor începe de la 7 BYR. per sarcină (200 de ruble rusești), dar nu mai puțin de 10 ruble din Belarus. (300 RUB) pentru întreaga comandă. Design detaliat. Costul asistenței pentru examen online (în acest caz, este necesară plata în avans 100%) este de la 30 BYR. (1000 de ruble rusești) pentru rezolvarea biletului.

Este luat în considerare un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind metoda simplex, precum și un exemplu de rezolvare a unei probleme duale.

Sarcina

Pentru a vinde trei grupe de bunuri, o întreprindere comercială are trei tipuri de resurse materiale și monetare limitate în valoare de b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 de unități. În același timp, pentru vânzarea unui grup de mărfuri pentru 1 mie de ruble. cifra de afaceri a mărfurilor, resursa de primul tip este consumată în valoare de 11 = 2 unități, resursa de al doilea tip în valoare de 21 = 4 unități, resursa de al treilea tip în valoare de 31 = 4 unitati. Pentru vânzarea a 2 și 3 grupuri de mărfuri pentru 1 mie de ruble. cifra de afaceri se consumă în funcție de resursa primului tip în valoare de a 12 = 3, a 13 = 6 unități, resursa de al doilea tip în cantitate de a 22 = 2, a 23 = 4 unități, resursa de al treilea tip în valoare de a 32 = 6, a 33 = 8 unități . Profitați din vânzarea a trei grupuri de mărfuri pentru 1 mie de ruble. cifra de afaceri este respectiv c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (mii de ruble). Determinați volumul planificat și structura cifrei de afaceri comerciale astfel încât profitul întreprinderii comerciale să fie maximizat.

La problema directă a planificării cifrei de afaceri, rezolvate prin metoda simplex, Compune dubla problema programare liniară.
Instalare perechi conjugate de variabile probleme directe și duble.
După perechi conjugate de variabile, din soluția problemei directe obținem rezolvarea problemei duale, în care este produs evaluarea resurselor, cheltuită pentru vânzarea de bunuri.

Rezolvarea problemei folosind metoda simplex

Fie x 1, x 2, x 3 numărul de mărfuri vândute, în mii de ruble, 1, 2, respectiv 3 grupuri. Atunci modelul matematic al problemei are forma:

F = 4 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 ->max

0)))(~)" title="delim(lbrace)(matrice(4)(1)((2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0)))(~)">!}

Rezolvăm metoda simplex.

Introducem variabile suplimentare x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0 pentru a transforma inegalitățile în egalități.

Să luăm ca bază x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.

Introducem datele în tabel simplex

Tabel simplex nr. 1

Funcție obiectivă:

0 240 + 0 200 + 0 160 = 0

Calculăm estimări folosind formula:

Δ 1 = 0 2 + 0 4 + 0 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 3 + 0 2 + 0 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 6 + 0 4 + 0 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 1 + 0 0 + 0 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 0 + 0 1 + 0 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 0 + 0 0 + 0 1 - 0 = 0

Deoarece există estimări negative, planul nu este optim. Cel mai mic scor:

Introducem variabila x 2 în bază.

Definim o variabilă care reiese din bază. Pentru a face acest lucru, găsim cel mai mic raport nenegativ pentru coloana x2.

= 26.667

Cel mai mic nenegativ: Q 3 = 26,667. Deducem variabila x 6 din bază

Împărțiți a treia linie la 6.
Din prima linie, scădeți a treia linie, înmulțită cu 3
Din a 2-a linie, scădeți a 3-a linie, înmulțită cu 2

Calculam:

Primim un tabel nou:

Tabel simplex nr. 2

Funcție obiectivă:

0 160 + 0 440/3 + 5 80/3 = 400/3

Calculăm estimări folosind formula:

Δ 1 = 0 0 + 0 8/3 + 5 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 0 + 0 0 + 5 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 2 + 0 4/3 + 5 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 1 + 0 0 + 5 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 0 + 0 1 + 5 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 (-1)/2 + 0 (-1)/3 + 5 1/6 - 0 = 5/6

Deoarece există o estimare negativă Δ 1 = - 2/3, planul nu este optim.

Introducem variabila x 1 în bază.

Definim o variabilă care reiese din bază. Pentru a face acest lucru, găsim cel mai mic raport nenegativ pentru coloana x 1.

Cel mai mic nenegativ: Q 3 = 40. Deducem variabila x 2 din bază

Împărțiți a treia linie la 2/3.
Din a 2-a linie, scădeți a 3-a linie, înmulțită cu 8/3

Calculam:

Primim un tabel nou:

Tabel simplex nr. 3

Funcție obiectivă:

0 160 + 0 40 + 4 40 = 160

Calculăm estimări folosind formula:

Δ 1 = 0 0 + 0 0 + 4 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 0 + 0 (-4) + 4 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 2 + 0 (-4) + 4 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 1 + 0 0 + 4 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 0 + 0 1 + 4 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 (-1)/2 + 0 (-1) + 4 1/4 - 0 = 1

Deoarece nu există evaluări negative, planul este optim.

Rezolvarea problemei:

Răspuns

x 1 = 40; x2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x6 = 0; F max = 160

Adică, este necesar să vindeți primul tip de mărfuri în valoare de 40 de mii de ruble. Produsele de tipurile 2 și 3 nu trebuie vândute. În acest caz, profitul maxim va fi F max = 160 de mii de ruble.

Rezolvarea problemei duale

Problema duală are forma:

Z = 240 y 1 + 200 y 2 + 160 y 3 ->min

Title="delim(lbrace)(matrix(4)(1)((2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4) (3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5) (6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4) (y_1, y_2, y_3>= 0)))(~)">!}

Introducem variabile suplimentare y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0 pentru a transforma inegalitățile în egalități.

Perechile conjugate de variabile ale problemelor directe și duale au forma:

Din ultimul tabel simplex nr. 3 al problemei directe, găsim soluția problemei duale:

Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y2 = Δ5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y5 = A2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;

Probleme de programare liniară. Este într-o construcție secvențială care caracterizează procesul luat în considerare. Soluția este împărțită în trei etape principale: selecția variabilelor, construirea unui sistem de constrângeri și căutarea unei funcții obiective.

Pe baza acestei împărțiri, condiția problemei poate fi reformulată astfel: extremul funcției obiectiv Z(X) = f(x1, x2, … ,xn) → max (min) și variabilele corespunzătoare, dacă se știe că acestea satisface sistemul de constrângeri: Φ_i ( x1, x2, … ,xn) = 0 pentru i = 1, 2, …, k;Φ_i (x1, x2, … ,xn)) 0 pentru i = k+1, k+ 2, …, m.

Sistemul de restricții trebuie adus la o formă canonică, adică. la un sistem de ecuații liniare, unde numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuații (m > k). În acest sistem vor exista cu siguranță variabile care pot fi exprimate prin alte variabile, iar dacă nu este cazul, atunci ele pot fi introduse artificial. În acest caz, primele sunt numite o bază sau o bază artificială, iar cele din urmă sunt numite libere.

Este mai convenabil să luați în considerare metoda simplex folosind un exemplu specific. Să fie dată o funcție liniară f(x) = 6x1 + 5x2 + 9x3 și un sistem de constrângeri: 5x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 25 x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 20 valoarea funcţiei f(x).

Rezolvare În prima etapă, specificați soluția inițială (de referință) a sistemului de ecuații într-un mod absolut arbitrar, care trebuie să satisfacă sistemul de restricții dat. În acest caz, este necesară introducerea artificială, adică. variabilele de bază x4, x5 și x6 după cum urmează: 5x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 25 x1 + 6x2 + 2x3 + x5 = 4x1 + 3x3 + x6 = 18;

După cum puteți vedea, inegalitățile au fost transformate în egalități datorită variabilelor adăugate x4, x5, x6, care sunt cantități nenegative. Astfel, ați adus sistemul la forma sa canonică. Variabila x4 este inclusă în prima ecuație cu un coeficient de 1, iar în a doua ecuație cu un coeficient de 0, același lucru este valabil și pentru variabilele x5, x6 și ecuațiile corespunzătoare, ceea ce corespunde definiției bazei.

Ați pregătit sistemul și ați găsit soluția de referință inițială – X0 = (0, 0, 0, 25, 20, 18). Acum prezentați coeficienții variabilelor și termenii liberi ai ecuațiilor (numerele din dreapta semnului „=") sub forma unui tabel pentru a optimiza calculele ulterioare (vezi figura).

Esența metodei simplex este de a aduce acest tabel într-o formă în care toate numerele din rândul L vor fi valori nenegative. Dacă se dovedește că acest lucru este imposibil, atunci sistemul nu are deloc o soluție optimă. Mai întâi, selectați cel mai mic element al acestei linii, care este -9. Numărul este în a treia coloană. Convertiți variabila x3 corespunzătoare într-o variabilă de bază. Pentru a face acest lucru, împărțiți linia cu 3, astfel încât celula să se termine cu 1.

Acum aveți nevoie de celule și să treceți la 0. Pentru a face acest lucru, scădeți din numerele corespunzătoare ale celui de-al treilea rând cu 3. Din elementele celui de-al doilea rând - elementele celui de-al treilea, înmulțite cu 2. Și, în cele din urmă, din elementele rândului L - înmulțite cu (-9). Ați obținut a doua soluție de referință: f(x) = L = 54 cu x1 = (0, 0, 6, 7, 8, 0).

Această metodă este o metodă de enumerare intenționată a soluțiilor de referință la o problemă de programare liniară. Permite, într-un număr finit de pași, fie să se găsească o soluție optimă, fie să se stabilească că nu există o soluție optimă.

Conținutul principal al metodei simplex este următorul:

Indicați o metodă pentru găsirea soluției de referință optime
Indicați metoda de trecere de la o soluție de referință la alta, la care valoarea funcției obiectiv va fi mai apropiată de cea optimă, adică. indica o modalitate de a îmbunătăți soluția de referință
Stabiliți criterii care vă permit să opriți imediat căutarea soluțiilor de asistență la soluția optimă sau să trageți o concluzie despre absența unei soluții optime.

Algoritmul metodei simplex pentru rezolvarea problemelor de programare liniară

Pentru a rezolva o problemă folosind metoda simplex, trebuie să faceți următoarele:

Aduceți problema în formă canonică
Găsiți soluția de suport inițială cu o „bază unitară” (dacă nu există o soluție de suport, atunci problema nu are o soluție din cauza incompatibilității sistemului de constrângeri)
Calculați estimări ale descompunerilor vectoriale pe baza soluției de referință și completați tabelul metodei simplex
Dacă criteriul de unicitate al soluției optime este îndeplinit, atunci soluția problemei se termină
Dacă este îndeplinită condiția existenței unui set de soluții optime, atunci toate soluțiile optime se găsesc prin enumerare simplă

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind metoda simplex

Exemplul 26.1

Rezolvați problema folosind metoda simplex:

Soluţie:

Aducem problema în formă canonică.

Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă suplimentară x 6 cu coeficient +1 în partea stângă a primei constrângeri de inegalitate. Variabila x 6 este inclusă în funcția obiectiv cu un coeficient de zero (adică nu este inclusă).

Primim:

Găsim soluția inițială de suport. Pentru a face acest lucru, echivalăm variabilele libere (nerezolvate) cu zero x1 = x2 = x3 = 0.

Primim soluție de referință X1 = (0,0,0,24,30,6) cu unitatea de bază B1 = (A4, A5, A6).

Noi calculăm estimări ale descompunerilor vectoriale condiții pe baza soluției de referință conform formulei:

Δ k = C b X k - c k

C b = (c 1, c 2, ..., c m) - vector de coeficienți ai funcției obiectiv pentru variabilele de bază
X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) - vector de descompunere a vectorului corespunzător A k în funcție de baza soluției de referință
C k este coeficientul funcției obiectiv pentru variabila x k.

Estimările vectorilor incluși în bază sunt întotdeauna egale cu zero. Soluția de referință, coeficienții de expansiuni și estimările de expansiuni ale vectorilor de condiții pe baza soluției de referință sunt scrise în tabel simplex:

În partea de sus a tabelului, pentru comoditatea calculării estimărilor, sunt trecuți coeficienții funcției obiectiv. Prima coloană „B” conține vectorii incluși în baza soluției de referință. Ordinea în care acești vectori sunt scriși corespunde numărului de necunoscute permise în ecuațiile de constrângere. În a doua coloană a tabelului „C b” se scriu în aceeași ordine coeficienții funcției obiectiv pentru variabilele de bază. Cu aranjarea corectă a coeficienților funcției obiectiv în coloana „C b”, estimările vectorilor unitari incluși în bază sunt întotdeauna egale cu zero.

În ultimul rând al tabelului cu estimări ale Δ k în coloana „A 0” sunt scrise valorile funcției obiectiv pe soluția de referință Z(X 1).

Soluția suport inițial nu este optimă, deoarece în problema maximă estimările Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 pentru vectorii A 1 și A 3 sunt negative.

Conform teoremei de îmbunătățire a soluției suport, dacă într-o problemă de maxim cel puțin un vector are o estimare negativă, atunci puteți găsi o nouă soluție suport pe care valoarea funcției obiectiv va fi mai mare.

Să determinăm care dintre cei doi vectori va duce la o creștere mai mare a funcției obiectiv.

Incrementul functiei obiectiv se gaseste prin formula: .

Calculăm valorile parametrului θ 01 pentru prima și a treia coloană folosind formula:

Se obține θ 01 = 6 pentru l = 1, θ 03 = 3 pentru l = 1 (Tabelul 26.1).

Găsim incrementul funcției obiectiv la introducerea în bază a primului vector ΔZ 1 = - 6*(- 2) = 12, iar al treilea vector ΔZ 3 = - 3*(- 9) = 27.

În consecință, pentru o abordare mai rapidă a soluției optime, este necesar să se introducă vectorul A3 în baza soluției de referință în locul primului vector al bazei A6, deoarece minimul parametrului θ 03 este atins în primul rând ( l = 1).

Efectuăm transformarea Jordan cu elementul X13 = 2, obținem a doua soluție de referință X2 = (0,0,3,21,42,0) cu baza B2 = (A3, A4, A5). (Tabelul 26.2)

Această soluție nu este optimă, deoarece vectorul A2 are o estimare negativă Δ2 = - 6. Pentru a îmbunătăți soluția, este necesar să se introducă vectorul A2 în baza soluției de referință.

Determinăm numărul vectorului derivat din bază. Pentru a face acest lucru, calculăm parametrul θ 02 pentru a doua coloană, este egal cu 7 pentru l = 2. În consecință, derivăm al doilea vector de bază A4 din bază. Efectuăm transformarea Jordan cu elementul x 22 = 3, obținem a treia soluție de referință X3 = (0,7,10,0,63,0) B2 = (A3, A2, A5) (Tabelul 26.3).

Această soluție este singura optimă, deoarece pentru toți vectorii care nu sunt incluși în bază estimările sunt pozitive

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Răspuns: max Z(X) = 201 la X = (0,7,10,0,63).

Metoda de programare liniară în analiza economică

Metoda de programare liniară face posibilă justificarea celei mai optime soluții economice în condiții de restricții severe legate de resursele utilizate în producție (mijloace fixe, materiale, resurse de muncă). Utilizarea acestei metode în analiza economică face posibilă rezolvarea problemelor legate în principal de planificarea activităților unei organizații. Această metodă ajută la determinarea cantităților optime de producție de produs, precum și a direcțiilor de utilizare cât mai eficientă a resurselor de producție disponibile organizației.

Prin această metodă se rezolvă așa-numitele probleme extreme, care constă în găsirea valorilor extreme, adică a maximului și minimului de funcții ale mărimilor variabile.

Această perioadă se bazează pe rezolvarea unui sistem de ecuații liniare în cazurile în care fenomenele economice analizate sunt legate printr-o dependență liniară, strict funcțională. Metoda de programare liniară este utilizată pentru a analiza variabilele în prezența anumitor factori limitatori.

Este foarte comun să se rezolve așa-numita problemă de transport folosind metoda de programare liniară. Conținutul acestei sarcini este de a minimiza costurile suportate în legătură cu exploatarea vehiculelor sub restricțiile existente privind numărul de vehicule, capacitatea lor de transport, durata de funcționare a acestora, dacă este nevoie de deservirea numărului maxim de clienți.

În plus, această metodă este utilizată pe scară largă în rezolvarea problemei de programare. Această sarcină constă într-o astfel de distribuție a timpului de funcționare pentru personalul unei organizații date, care ar fi cea mai acceptabilă atât pentru membrii acestui personal, cât și pentru clienții organizației.

Această sarcină este de a maximiza numărul de clienți deserviți în condiții de limitare a numărului de membri ai personalului disponibil, precum și a fondului de timp de lucru.

Astfel, metoda programării liniare este foarte comună în analiza plasării și utilizării diverselor tipuri de resurse, precum și în procesul de planificare și prognoză a activităților organizațiilor.

Cu toate acestea, programarea matematică poate fi aplicată și acelor fenomene economice, relația dintre care nu este liniară. În acest scop, pot fi utilizate metode de programare neliniară, dinamică și convexă.

Programarea neliniară se bazează pe natura neliniară a funcției obiectiv sau a constrângerilor, sau ambele. Formele funcției obiective și constrângerile de inegalitate în aceste condiții pot fi diferite.

Programarea neliniară este utilizată în analiza economică, în special, atunci când se stabilește relația dintre indicatorii care exprimă eficiența activităților unei organizații și volumul acestei activități, structura costurilor de producție, condițiile pieței etc.

Programarea dinamică se bazează pe construirea unui arbore de decizie. Fiecare nivel al acestui arbore servește drept etapă pentru determinarea consecințelor unei decizii anterioare și pentru eliminarea opțiunilor ineficiente pentru acea decizie. Astfel, programarea dinamică are o natură în mai multe etape, în mai multe etape. Acest tip de programare este folosit în analiza economică pentru a găsi opțiuni optime pentru dezvoltarea unei organizații atât acum, cât și în viitor.

Programarea convexă este un tip de programare neliniară. Acest tip de programare exprimă natura neliniară a relației dintre rezultatele activităților unei organizații și costurile acesteia. Programarea convexă (aka concavă) analizează funcțiile obiective convexe și sistemele de constrângeri convexe (puncte de fezabilitate). Programarea convexă este utilizată în analiza activităților economice cu scopul de a minimiza costurile, iar programarea concavă în scopul maximizării veniturilor sub restricțiile existente asupra acțiunii factorilor care influențează în sens invers indicatorii analizați. În consecință, cu tipurile de programare luate în considerare, funcțiile obiectiv convexe sunt minimizate, iar funcțiile obiectiv concave sunt maximizate.

Ți-a plăcut? Adăugați la marcaje

Rezolvarea problemelor folosind metoda simplex: exemple online

Sarcina 1. Compania produce rafturi pentru baie în două dimensiuni - A și B. Agenții de vânzări estimează că pe piață pot fi vândute până la 550 de rafturi pe săptămână. Fiecare raft de tip A necesită 2 m2 de material, iar fiecare raft de tip B necesită 3 m2 de material. Compania poate primi până la 1200 m2 de material pe săptămână. Pentru fabricarea unui raft de tip A sunt necesare 12 minute de timp de mașină, iar pentru fabricarea unui raft de tip B - 30 de minute; Aparatul poate fi folosit 160 de ore pe săptămână. Dacă profitul din vânzarea de rafturi de tip A este de 3 unități monetare, iar din rafturi de tip B - 4 unități monetare. unități, atunci câte rafturi de fiecare tip ar trebui să fie produse pe săptămână?

Sarcina 2. Rezolvați o problemă de programare liniară folosind metoda simplex.

Sarcina 3. Compania produce 3 tipuri de produse: A1, A2, A3, folosind două tipuri de materii prime. Sunt cunoscute costurile fiecărui tip de materie primă pe unitate de producție, rezervele de materii prime pentru perioada de planificare, precum și profitul dintr-o unitate de producție de fiecare tip.

Câte articole de fiecare tip trebuie produse pentru a maximiza profitul?
Determinați starea fiecărui tip de materie primă și valoarea sa specifică.
Determinați intervalul maxim de modificare a stocurilor pentru fiecare tip de materie primă, în cadrul căruia structura planului optim, i.e. Nomenclatura de producție nu se va modifica.
Determinați cantitatea de produse produse și profitul din producție atunci când creșteți stocul unuia dintre tipurile rare de materii prime la valoarea maximă posibilă (în intervalul dat de producție).
Determinați intervalele de modificare a profitului dintr-o unitate de producție de fiecare tip la care planul optim rezultat nu se va modifica.

Sarcina 4. Rezolvați o problemă de programare liniară folosind metoda simplex:

Sarcina 5. Rezolvați o problemă de programare liniară folosind metoda simplex:

Sarcina 6. Rezolvați problema folosind metoda simplex, considerând ca plan de referință inițial planul dat în condiția:

Sarcina 7. Rezolvați problema folosind metoda simplex modificată.
Pentru a produce două tipuri de produse A și B, se folosesc trei tipuri de echipamente tehnologice. Pentru a produce o unitate de produs A, echipamentele de primul tip folosesc a1=4 ore, echipamente de al doilea tip a2=8 ore, iar echipamentele de al treilea tip a3=9 ore. Pentru a produce o unitate de produs B, echipamentele de primul tip folosesc b1=7 ore, echipamente de al doilea tip b2=3 ore, iar echipamentele de al treilea tip b3=5 ore.
Echipamentele de primul tip pot lucra pentru producerea acestor produse timp de cel mult t1=49 ore, echipamentele de al doilea tip nu mai mult de t2=51 ore, echipamentele de al treilea tip nu mai mult de t3=45 de ore.
Profitul din vânzarea unei unități de produs finit A este ALPHA = 6 ruble, iar produsul B este BETTA = 5 ruble.
Întocmește un plan de producție a produselor A și B, asigurând profit maxim din vânzarea acestora.

Sarcina 8. Găsiți soluția optimă folosind metoda dual simplex