Metoda de interpolare liniară online. Determinarea unei valori intermediare folosind interpolarea liniară
Interpolare, interpolare (din lat. inter-polis - « netezit, reînnoit, reînnoit; convertit") - în matematica computațională, o metodă de găsire a valorilor intermediare ale unei mărimi dintr-un set discret existent de valori cunoscute. Termenul „interpolare” a fost folosit pentru prima dată de John Wallis în tratatul său „Aritmetica infinitului” (1656).
În analiza funcțională, interpolarea operatorilor liniari este o secțiune care tratează spațiile Banach ca elemente ale unei anumite categorii.
Mulți dintre cei care se ocupă de calcule științifice și de inginerie trebuie adesea să opereze cu seturi de valori obținute empiric sau prin eșantionare aleatorie. De regulă, pe baza acestor seturi, este necesar să se construiască o funcție în care alte valori obținute să poată cădea cu mare precizie. Această problemă se numește aproximare. Interpolarea este un tip de aproximare în care curba funcției construite trece exact prin punctele de date disponibile.
Există și o sarcină apropiată de interpolare, care constă în aproximarea unei funcții complexe cu o altă funcție, mai simplă. Dacă o anumită funcție este prea complexă pentru calcule productive, poți încerca să-i calculezi valoarea în mai multe puncte și din ele să construiești, adică să interpolați, o funcție mai simplă. Desigur, utilizarea unei funcții simplificate nu va produce rezultate la fel de precise ca funcția originală. Dar, în unele clase de probleme, câștigul obținut în simplitate și viteza de calcul poate depăși eroarea rezultată în rezultate.
De asemenea, merită menționat un tip complet diferit de interpolare matematică cunoscut sub numele de interpolare operator. Lucrările clasice despre interpolarea operatorilor includ teorema Riesz-Thorin și teorema Marcinkiewicz, care stau la baza multor alte lucrări.
Definiții
Luați în considerare un sistem de puncte necoincidente x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) dintr-o regiune D ( \displaystyle D) . Fie cunoscute valorile funcției f (\displaystyle f) numai în aceste puncte:
Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots, N.)
Problema de interpolare este de a găsi o funcție F (\displaystyle F) dintr-o clasă dată de funcții astfel încât
F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots, N.)
- Punctele x i (\displaystyle x_(i)) sunt numite noduri de interpolare, iar totalitatea lor este grila de interpolare.
- Perechile (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) se numesc puncte de date sau puncte de bază.
- Diferența dintre valorile „învecinate” Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - pasul grilei de interpolare. Poate fi variabilă sau constantă.
- Funcția F (x) (\displaystyle F(x)) - functie de interpolare sau interpolant.
Exemplu
1. Să avem o funcție de tabel, ca cea descrisă mai jos, care pentru mai multe valori ale lui x (\displaystyle x) determină valorile corespunzătoare ale lui f (\displaystyle f):
X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))
| 0 | |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Interpolarea ne ajută să știm ce valoare ar putea avea o astfel de funcție într-un alt punct decât punctele specificate (de exemplu, când X = 2,5).
Până în prezent, există multe metode diferite de interpolare. Alegerea celui mai potrivit algoritm depinde de răspunsurile la întrebări: cât de precisă este metoda aleasă, care este costul utilizării acesteia, cât de netedă este funcția de interpolare, câte puncte de date necesită etc.
2. Găsiți valoarea intermediară (prin interpolare liniară).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000)))(8000-6000)*(8000-600.-(frac) 15,5))(1))=16,1993)
În limbaje de programare
Un exemplu de interpolare liniară pentru funcția y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Utilizatorul poate introduce un număr de la 1 la 10.
Fortran
program interpol întreg i real x, y, xv, yv, yv2 dimensiunea x(10) dimensiunea y(10) apel prisv(x, i) apel func(x, y, i) scrie(*,*) "introduceți numărul: " citește(*,*) xv dacă ((xv >= 1).și.(xv xv)) atunci yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) se termină dacă se încheie subrutinăC++
int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolation X1 - X2 "); system("echo Enter număr: "); cin >> ob; system("echo De exemplu 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1 pi = p2 / p1 + (pi * skolko);Metode de interpolare
Interpolarea celui mai apropiat vecin
Cea mai simplă metodă de interpolare este metoda de interpolare a celui mai apropiat vecin.
Interpolare prin polinoame
În practică, cel mai des este folosită interpolarea prin polinoame. Acest lucru se datorează în primul rând faptului că polinoamele sunt ușor de calculat, derivatele lor sunt ușor de găsit analitic, iar mulțimea de polinoame este densă în spațiul funcțiilor continue (teorema Weierstrass).
- Interpolare liniară
- Formula de interpolare a lui Newton
- Metoda diferențelor finite
- IMN-1 și IMN-2
- Polinomul Lagrange (polinomul de interpolare)
- Schema Aitken
- Funcția spline
- Spline cubică
Interpolare inversă (calcularea x datând y)
- polinomul Lagrange
- Interpolare inversă folosind formula lui Newton
- Interpolare inversă folosind formula Gauss
Interpolarea unei funcţii a mai multor variabile
- Interpolare biliniară
- Interpolare bicubică
Alte metode de interpolare
- Interpolare rațională
- Interpolare trigonometrică
Concepte înrudite
- Extrapolare - metode de găsire a punctelor în afara unui interval dat (extensie de curbă)
- Aproximare - metode de construire a curbelor aproximative
Interpolare inversă
pe clasa funcţiilor din spaţiul C2 ale căror grafice trec prin punctele tabloului (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.
Soluţie. Dintre toate funcțiile care trec prin punctele de referință (xi, f(xi)) și aparțin spațiului menționat, este spline cubică S(x), care îndeplinește condițiile la limită S00(a) = S00(b) = 0 , care furnizează extremul (minimum) funcțional I(f).
Adesea, în practică, se pune problema căutării valorii unui argument folosind o valoare dată a unei funcții. Această problemă este rezolvată prin metode de interpolare inversă. Dacă funcția dată este monotonă, atunci interpolarea inversă se realizează cel mai ușor prin înlocuirea funcției cu un argument și invers și apoi interpolând. Dacă funcția dată nu este monotonă, atunci această tehnică nu poate fi utilizată. Apoi, fără a schimba rolurile funcției și ale argumentului, notăm una sau alta formulă de interpolare; Folosind valorile cunoscute ale argumentului și, presupunând că funcția este cunoscută, rezolvăm ecuația rezultată în raport cu argumentul.
Evaluarea termenului rămas atunci când se folosește prima tehnică va fi aceeași ca și în cazul interpolării directe, numai derivatele funcției directe trebuie înlocuite cu derivatele funcției inverse. Să estimăm eroarea celei de-a doua metode. Dacă ni se dă o funcție f(x) și Ln (x) este un polinom de interpolare Lagrange construit pentru această funcție din nodurile x0, x1, x2, . . . , xn, atunci
f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x− x0) . . . (x− xn) .
Să presupunem că trebuie să găsim valoarea lui x¯ pentru care f (¯x) = y¯ (y¯ este dat). Vom rezolva ecuația Ln (x) = y¯. Să obținem o valoare x¯. Înlocuind în ecuația anterioară, obținem:
Mn+1 |
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) = |
|||||||||||
|
Aplicând formula lui Langrange, obținem |
|||||||||||
|
(x¯ − x¯) f0 (η) = |
|||||||||||
|
unde η este între x¯ și x¯. If este un interval care conține x¯ și x¯ și min |
|||||||||||
Din ultima expresie rezultă:
|x¯ − x¯| 6m1(n+1)! |$n(x¯)| .
În acest caz, desigur, se presupune că am rezolvat exact ecuația Ln (x) = y¯.
Utilizarea interpolării pentru a crea tabele
Teoria interpolării are aplicații în compilarea tabelelor de funcții. După ce a primit o astfel de problemă, matematicianul trebuie să rezolve o serie de întrebări înainte de a începe calculele. Trebuie aleasă o formulă prin care vor fi efectuate calculele. Această formulă poate varia de la un site la altul. De obicei, formulele pentru calcularea valorilor funcției sunt greoaie și, prin urmare, sunt folosite pentru a obține niște valori de referință și apoi, prin subtabulare, tabelul este condensat. Formula care oferă valorile de referință ale funcției trebuie să ofere acuratețea necesară a tabelelor, ținând cont de următoarea subtabulație. Dacă trebuie să creați tabele cu un pas constant, atunci trebuie mai întâi să determinați pasul acestuia.
Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Mergeți la Index
Cel mai adesea, tabelele de funcții sunt compilate astfel încât interpolarea liniară să fie posibilă (adică interpolarea folosind primii doi termeni ai formulei Taylor). În acest caz, termenul rămas va avea forma
R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).
Aici ξ aparține intervalului dintre două valori adiacente de tabel ale argumentului, în care se află x, iar t este între 0 și 1. Produsul t(t - 1) ia cel mai mare modulo
valoare la t = 12. Această valoare este 14. Asa de,
Trebuie amintit că, alături de această eroare - eroarea metodei - în calculul practic al valorilor intermediare, va apărea și o eroare inamovibilă și o eroare de rotunjire. După cum am văzut mai devreme, eroarea fatală în interpolarea liniară va fi egală cu eroarea în valorile funcției tabulate. Eroarea de rotunjire va depinde de mijloacele de calcul și de programul de calcul.
Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Mergeți la Index
Index de subiect
diferențe separate de ordinul doi, 8 de ordinul întâi, 8
spline, 15
noduri de interpolare, 4
Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Mergeți la Index
/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Cum se efectuează interpolarea
Formula pentru interpolarea datelor tabelare
Folosit în a doua acțiune, atunci când cantitatea de NHR (Q, t) din condiție este intermediar între 100 t și 300 t.
(Excepție: dacă Q după condiție este egal cu 100 sau 300, atunci nu este necesară interpolarea).
y o- Cantitatea dumneavoastră inițială de NHR din stare, în tone
(corespunde cu litera Q)
y 1 – mai mic
(din tabelele 11-16, de obicei este egal cu 100).
y 2 – Mai mult valoarea cantității de NHR cea mai apropiată de a dumneavoastră, în tone
(din tabelele 11-16, de obicei este egal cu 300).
X 1 y 1 (X 1 situat vizavi y 1 ), km.
X 2 – valoarea de tabel a adâncimii de distribuție a unui nor de aer contaminat (Gt), respectiv y 2 (X 2 situat vizavi y 2 ), km.
X 0 – valoarea cerută G T adecvat y o(după formula).
Exemplu.
NHR – clor; Q = 120 t;
Tip de SVSP (grad de rezistență verticală a aerului) – inversare.
Găsi G T- valoarea de tabel a adâncimii de distribuție a unui nor de aer contaminat.
Analizăm tabelele 11-16 și găsim date care se potrivesc cu starea dumneavoastră (clor, inversare).
Tabelul 11 este potrivit.
Selectarea valorilor y 1 , y 2, X 1 , X 2 . Important – luați viteza vântului la 1 m/s, luați temperatura la 20 °C.
Înlocuim valorile selectate în formulă și găsim X 0 .
Important – calculul este corect dacă X 0 va avea o valoare undeva între X 1 , X 2 .
1.4. Formula de interpolare Lagrange
Algoritmul propus de Lagrange pentru construirea interpolării
funcțiile din tabelele (1) prevede construirea unui polinom de interpolare Ln(x) sub forma
Evident, îndeplinirea condiţiilor (11) pentru (10) determină îndeplinirea condiţiilor (2) pentru stabilirea problemei de interpolare.
Polinoamele li(x) se scriu astfel
Rețineți că niciun factor din numitorul formulei (14) nu este egal cu zero. După ce au calculat valorile constantelor ci, le puteți utiliza pentru a calcula valorile funcției interpolate în puncte date.
Formula pentru polinomul de interpolare Lagrange (11), ținând cont de formulele (13) și (14), poate fi scrisă ca
|
qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn) |
1.4.1.Organizarea calculelor manuale folosind formula Lagrange
Aplicarea directă a formulei Lagrange duce la un număr mare de calcule similare. Pentru tabelele de dimensiuni mici, aceste calcule pot fi efectuate fie manual, fie într-un mediu de program
În prima etapă, vom lua în considerare un algoritm pentru calcule manuale. În viitor, aceleași calcule ar trebui repetate în mediu
Microsoft Excel sau OpenOffice.org Calc.
În fig. Figura 6 prezintă un exemplu de tabel original al funcției interpolate, definit de patru noduri.
Fig.6. Tabel care conține date inițiale pentru patru noduri ale funcției interpolate
În a treia coloană a tabelului scriem valorile coeficienților qi calculati folosind formulele (14). Mai jos este o înregistrare a acestor formule pentru n=3.
q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)
Următorul pas în implementarea calculelor manuale este calculul valorilor lui li(x) (j=0,1,2,3), efectuat conform formulelor (13).
Să scriem aceste formule pentru versiunea tabelului cu patru noduri pe care o luăm în considerare:
l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),
l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),
l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .
Să calculăm valorile polinoamelor li(xj) (j=0,1,2,3) și să le scriem în celulele tabelului. Valorile funcției Ycalc(x), conform formulei (11), vor fi obținute ca urmare a însumării valorilor li(xj) pe rând.
Formatul tabelului, inclusiv coloanele de valori calculate li(xj) și o coloană de valori Ycalc(x), este prezentat în Fig. 8.
Orez. 8. Tabel cu rezultatele calculelor manuale efectuate folosind formulele (16), (17) și (11) pentru toate valorile argumentului xi
După ce am generat tabelul prezentat în Fig. 8, folosind formulele (17) și (11) puteți calcula valoarea funcției interpolate pentru orice valoare a argumentului X. De exemplu, pentru X=1 calculăm valorile li(1) (i=0, 1,2,3):
l0(1)= 0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.
Însumând valorile lui li(1) obținem valoarea Yinterp(1)=3,1463.
1.4.2. Implementarea unui algoritm de interpolare folosind formule Lagrange în mediul programului Microsoft Excel
Implementarea algoritmului de interpolare începe, ca și în cazul calculelor manuale, prin scrierea formulelor de calcul a coeficienților qi În Fig. Figura 9 prezintă coloanele tabelului cu valorile date ale argumentului, funcției interpolate și coeficienții qi. În dreapta acestui tabel sunt formulele scrise în celulele coloanei C pentru a calcula valorile coeficienților qi.
ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ж q0
ВС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ж q1
ВС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ж q2
ВС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3
Orez. 9 Tabelul coeficienților qi și formulele de calcul
După introducerea formulei q0 în celula C2, aceasta este extinsă prin celulele C3 la C5. După care formulele din aceste celule sunt ajustate în conformitate cu (16) la forma prezentată în Fig. 9.
Ycalc(xi), Implementând formulele (17), scriem formule pentru calcularea valorilor li(x) (i=0,1,2,3) în celulele coloanelor D, E, F și G. În celula D2 pentru calcularea valorii l0(x0) scriem formula:
=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),
obținem valorile l0 (xi) (i=0,1,2,3).
Formatul de link $A2 vă permite să extindeți formula pe coloanele E, F, G pentru a forma formule de calcul pentru calcularea li(x0) (i=1,2,3). Când trageți o formulă pe un rând, indexul coloanei cu argumente nu se modifică. Pentru a calcula li(x0) (i=1,2,3) după trasarea formulei l0(x0), este necesar să le corectăm după formulele (17).
În coloana H plasăm formule Excel pentru însumarea li(x) conform formulei
(11)algoritm.
În fig. Figura 10 prezintă un tabel implementat în mediul de program Microsoft Excel. Un semn al corectitudinii formulelor scrise în celulele tabelului și al operațiilor de calcul efectuate sunt matricea diagonală rezultată li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), repetând rezultatele prezentate în Fig. 8 și o coloană de valori care coincid cu valorile funcției interpolate în nodurile tabelului sursă.
Orez. 10. Tabelul valorilor li(xj) (j=0,1,2,3) și Ycalc(xj)
Pentru a calcula valori în unele puncte intermediare este suficient
În celulele coloanei A, pornind de la celula A6, introduceți valorile argumentului X pentru care doriți să determinați valorile funcției interpolate. Selectați
în ultimul rând (5) al tabelului, celulele de la l0(xn) la Ycalc(xn) și întindeți formulele scrise în celulele selectate până la linia care conține ultima
valoarea specificată a argumentului x.
În fig. 11 prezintă un tabel în care valoarea funcției este calculată în trei puncte: x=1, x=2 și x=3. O coloană suplimentară a fost introdusă în tabel cu numerele de rând ale tabelului de date sursă.
Orez. 11. Calculul valorilor funcțiilor interpolate folosind formule Lagrange
Pentru o mai mare claritate în afișarea rezultatelor interpolării, vom construi un tabel care include o coloană cu valorile argumentului X ordonate în ordine crescătoare, o coloană cu valorile inițiale ale funcției Y(X) și o coloană.
Spuneți-mi cum să folosesc formula de interpolare și care în rezolvarea problemelor de termodinamică (ingineria termică)
Ivan Şestakovici
Cea mai simplă, dar adesea nu tocmai precisă, interpolarea este liniară. Când aveți deja două puncte cunoscute (X1 Y1) și (X2 Y2) și trebuie să găsiți valorile Y ale zilei unui X care este situat între X1 și X2. Atunci formula este simplă.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+Y1
Apropo, această formulă funcționează și pentru valorile X în afara intervalului X1..X2, dar aceasta se numește deja extrapolare și la o distanță semnificativă de acest interval dă o eroare foarte mare.
Există multe alte înjurături. metode de interpolare - vă sfătuiesc să citiți un manual sau să căutați internetul.
Metoda de interpolare grafică este de asemenea posibilă - desenați manual un grafic prin puncte cunoscute și găsiți Y din grafic pentru X-ul necesar. ;)
Roman
Ai două sensuri. Și aproximativ dependența (liniară, pătratică, ..)
Graficul acestei funcții trece prin cele două puncte ale tale. Ai nevoie de o valoare undeva la mijloc. Ei bine, tu o exprimi!
De exemplu. În tabel, la o temperatură de 22 de grade, presiunea vaporilor saturați este de 120.000 Pa, iar la 26.124.000 Pa. Apoi la o temperatură de 23 de grade 121000 Pa.
Interpolare (coordonate)
Există o grilă de coordonate pe hartă (imagine).
Există câteva puncte de control binecunoscute (n>3), fiecare având două valori x,y - coordonate în pixeli și coordonate în metri.
Este necesar să găsiți valorile coordonatelor intermediare în metri, cunoscând coordonatele în pixeli.
Interpolarea liniară nu este potrivită - eroarea din afara liniei este prea mare.
Astfel: (Xc este coordonata în metri de-a lungul ox, Xp este coordonata în pixeli de-a lungul ox, Xc3 este valoarea dorită în ox)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2
Cum să găsiți aceeași formulă pentru a găsi Xc și Yc, luând în considerare nu două (ca aici), ci N puncte de referință cunoscute?
Joka fern lowd
Judecând după formulele scrise, coincid axele sistemelor de coordonate în pixeli și în metri?
Adică, Xp -> Xc este interpolat independent și Yp -> Yc este interpolat independent. Dacă nu, atunci trebuie să utilizați interpolarea bidimensională Xp,Yp->Xc și Xp,Yp->Yc, ceea ce complică oarecum sarcina.
În plus, se presupune că coordonatele Xp și Xc sunt legate de o anumită dependență.
Dacă natura dependenței este cunoscută (sau se presupune, de exemplu, presupunem că Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), atunci este posibil să se obțină parametrii acestei dependențe (pentru dependența dată a, b, c) folosind analiza de regresie (Metoda celor mai mici pătrate). În această metodă, dacă specificați o anumită dependență Xc(Xp), puteți obține o formulă pentru parametrii dependenței de datele de referință. Această metodă permite, în special, găsirea unei relații liniare care se potrivește cel mai bine unui set de date dat.
Dezavantaj: În această metodă, coordonatele Xc obținute din datele punctelor de control Xp pot diferi de cele specificate. De exemplu, o dreaptă de aproximare trasată prin puncte experimentale nu trece exact prin aceste puncte în sine.
Dacă este necesară o corespondență exactă și natura dependenței este necunoscută, trebuie utilizate metode de interpolare. Cel mai simplu din punct de vedere matematic este polinomul de interpolare Lagrange, care trece exact prin punctele de referință. Cu toate acestea, din cauza gradului ridicat al acestui polinom cu un număr mare de puncte de control și a calității slabe a interpolării, este mai bine să nu-l utilizați. Avantajul este formula relativ simplă.
Este mai bine să utilizați interpolarea spline. Esența acestei metode este că în fiecare secțiune dintre două puncte învecinate, dependența studiată este interpolată printr-un polinom, iar condițiile de netezime sunt scrise la punctele de unire ale celor două intervale. Avantajul acestei metode este calitatea interpolării. Dezavantaje - este aproape imposibil să derivați o formulă generală, trebuie să găsiți algoritmic coeficienții polinomului din fiecare secțiune. Un alt dezavantaj este dificultatea generalizării la interpolarea bidimensională.
Cel mai simplu și cel mai frecvent utilizat tip de interpolare locală este interpolare liniară. Constă în faptul că punctele date ( X i , y i) la ( i = 0. 1, ..., n) sunt conectate prin segmente drepte, iar funcția f(X) se apropie o polilinie cu vârfuri în aceste puncte.
Ecuațiile fiecărui segment al liniei întrerupte sunt în general diferite. Deoarece există n intervale ( X i - 1, X i), atunci pentru fiecare dintre ele se folosește ecuația unei drepte care trece prin două puncte ca ecuație a polinomului de interpolare. În special, pentru intervalul i-lea putem scrie ecuația unei drepte care trece prin punctele ( X i -1, y i -1 ) Și ( X i , y i), la fel de
|
y=a i x+b i , x i-1 xx i |
a i = 
Prin urmare, atunci când utilizați interpolarea liniară, trebuie mai întâi să determinați intervalul în care se încadrează valoarea argumentului x, apoi să o înlocuiți în formula (*) și să găsiți valoarea aproximativă a funcției în acest moment.
Figura 3-3-Grafic de interpolare liniară.
Rezolvarea unei probleme profesionale
Menținem datele experimentale
ORIGIN:=0 Începutul matricei de date - numărare de la zero
i:=1..6 Numărul de elemente din matrice
Datele experimentale sunt organizate în doi vectori 
Să efectuăm interpolarea utilizând funcțiile MathCad încorporate
Interpolare liniară
Lf(x i):=linterp(x,y,x)
Interpolarea pin cubic
CS:=cspline(x,y)
Construirea unei spline cubice folosind date experimentale
Lf(x i):=linterp(x,y,x i)
Interpolare B-spline
Setați ordinea de interpolare. Vectorul u trebuie să aibă (n-1) mai puține elemente decât vectorul X, iar primul element trebuie să fie mai mic sau egal cu primul element X, iar ultimul este mai mare sau egal cu ultimul element al lui x.
BS:=bspline(x,y,u,n)
Construim un B-spline pe baza datelor experimentale
BSf(x i):=(BS, x,y,x i)
Construim un grafic al tuturor funcțiilor de aproximare pe un plan de coordonate.
Figura 4.1-Grafic al tuturor funcțiilor de aproximare pe un plan de coordonate.
Concluzie
În matematica computațională, interpolarea funcțiilor joacă un rol semnificativ, adică. Folosind o funcție dată, construiți o altă funcție (de obicei mai simplă) ale cărei valori coincid cu valorile funcției date la un anumit număr de puncte. În plus, interpolarea are atât o semnificație practică, cât și teoretică. În practică, se pune adesea problema restabilirii unei funcții continue din valorile ei tabulate, de exemplu, obținute în cursul unui experiment. Pentru a evalua multe funcții, se dovedește că este eficient să le aproximați prin polinoame sau funcții raționale fracționale. Teoria interpolării este utilizată în construirea și studiul formulelor de cuadratura pentru integrarea numerică, pentru a obține metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale și integrale. Principalul dezavantaj al interpolării polinomiale este că este instabilă pe una dintre cele mai convenabile și mai frecvent utilizate grile - grila cu noduri echidistante. Dacă sarcina permite, această problemă poate fi rezolvată prin alegerea unei rețele cu noduri Chebyshev. Dacă nu putem alege liber nodurile de interpolare sau pur și simplu avem nevoie de un algoritm care nu este prea solicitant în alegerea nodurilor, atunci interpolarea rațională poate fi o alternativă potrivită la interpolarea polinomială.
Avantajele interpolării spline includ viteza mare de procesare a algoritmului de calcul, deoarece un spline este o funcție polinomială pe bucăți și în timpul interpolării, datele pentru un număr mic de puncte de măsurare aparținând fragmentului care este luat în considerare în prezent sunt procesate simultan. Suprafața interpolată descrie variabilitatea spațială a diferitelor scări și, în același timp, este netedă. Această din urmă împrejurare face posibilă analiza directă a geometriei și topologiei suprafeței folosind proceduri analitice
Mulți dintre noi am întâlnit termeni de neînțeles în diverse științe. Sunt însă foarte puțini oameni care să nu se sperie de cuvintele de neînțeles, ci dimpotrivă, îi încurajează și îi obligă să aprofundeze subiectul pe care îl studiază. Astăzi vom vorbi despre un astfel de lucru precum interpolarea. Aceasta este o metodă de construire a graficelor folosind puncte cunoscute, permițând, cu o cantitate minimă de informații despre o funcție, să prezică comportamentul acesteia pe anumite secțiuni ale curbei.
Înainte de a trece la esența definiției în sine și de a vorbi despre ea mai detaliat, să ne aprofundăm puțin în istorie.
Poveste
Interpolarea este cunoscută din cele mai vechi timpuri. Cu toate acestea, acest fenomen își datorează dezvoltarea mai multor dintre cei mai remarcabili matematicieni ai trecutului: Newton, Leibniz și Gregory. Ei au fost cei care au dezvoltat acest concept folosind tehnici matematice mai avansate disponibile la acea vreme. Înainte de aceasta, interpolarea, desigur, era aplicată și folosită în calcule, dar au făcut-o în moduri complet inexacte, care necesitau o cantitate mare de date pentru a construi un model mai mult sau mai puțin apropiat de realitate.
Astăzi putem chiar alege ce metodă de interpolare este mai potrivită. Totul este tradus într-un limbaj informatic, care cu mare precizie poate prezice comportamentul unei funcții într-o anumită zonă limitată de puncte cunoscute.
Interpolarea este un concept destul de restrâns, așa că istoria sa nu este atât de bogată în fapte. În secțiunea următoare, ne vom da seama ce este de fapt interpolarea și cum diferă de opusul său - extrapolarea.
Ce este interpolarea?
După cum am spus deja, acesta este denumirea generală pentru metodele care vă permit să construiți un grafic după puncte. În școală, acest lucru se realizează în principal prin întocmirea unui tabel, identificarea punctelor pe un grafic și desenarea aproximativă a liniilor care le conectează. Ultima acțiune se face pe baza unor considerații privind asemănarea funcției studiate cu altele, al căror tip de grafice ne este cunoscut.
Cu toate acestea, există și alte moduri mai complexe și mai precise de a realiza sarcina de a reprezenta un grafic punct cu punct. Deci, interpolarea este de fapt o „predicție” a comportamentului unei funcții într-o zonă specifică limitată de puncte cunoscute.
Există un concept similar asociat cu aceeași zonă - extrapolarea. De asemenea, reprezintă o predicție a graficului unei funcții, dar dincolo de punctele cunoscute ale graficului. Cu această metodă, se face o predicție pe baza comportamentului unei funcții pe un interval cunoscut, iar apoi această funcție este aplicată intervalului necunoscut. Această metodă este foarte convenabilă pentru utilizare practică și este utilizată în mod activ, de exemplu, în economie pentru a prezice suișuri și coborâșuri pe piață și pentru a prezice situația demografică din țară.
Dar ne-am îndepărtat de subiectul principal. În secțiunea următoare, ne vom da seama ce interpolare se întâmplă și ce formule pot fi folosite pentru a efectua această operație.
Tipuri de interpolare
Cel mai simplu tip este interpolarea celui mai apropiat vecin. Folosind această metodă, obținem un grafic foarte gros format din dreptunghiuri. Dacă ați văzut vreodată o explicație a semnificației geometrice a unei integrale pe un grafic, veți înțelege despre ce fel de formă grafică vorbim.
În plus, există și alte metode de interpolare. Cele mai cunoscute și populare sunt legate de polinoame. Ele sunt mai precise și vă permit să preziceți comportamentul unei funcții cu un set destul de slab de valori. Prima metodă de interpolare pe care o vom analiza este interpolarea polinomială liniară. Aceasta este cea mai simplă metodă din această categorie și probabil că fiecare dintre voi a folosit-o la școală. Esența sa este de a construi linii drepte între puncte cunoscute. După cum știți, o singură dreaptă trece prin două puncte dintr-un plan, a cărei ecuație poate fi găsită pe baza coordonatele acestor puncte. După ce am construit aceste linii drepte, obținem un grafic rupt, care, cel puțin, reflectă valorile aproximative ale funcțiilor și, în termeni generali, coincide cu realitatea. Acesta este modul în care se realizează interpolarea liniară.
Tipuri avansate de interpolare
Există o modalitate de interpolare mai interesantă, dar în același timp mai complexă. A fost inventat de matematicianul francez Joseph Louis Lagrange. De aceea, calculul interpolării folosind această metodă poartă numele acestuia: interpolare folosind metoda Lagrange. Trucul aici este următorul: dacă metoda prezentată în paragraful anterior folosește doar o funcție liniară pentru calcul, atunci extinderea prin metoda Lagrange implică și utilizarea polinoamelor de grade superioare. Dar nu este atât de ușor să găsiți formulele de interpolare în sine pentru diferite funcții. Și cu cât se cunosc mai multe puncte, cu atât formula de interpolare este mai precisă. Dar există multe alte metode.
Există o metodă de calcul mai avansată, care este mai aproape de realitate. Formula de interpolare utilizată în ea este un set de polinoame, aplicarea fiecăruia dintre ele depinde de secțiunea funcției. Această metodă se numește funcție spline. În plus, există și modalități de a face așa ceva, cum ar fi interpolarea funcțiilor a două variabile. Există doar două metode. Printre acestea se numără interpolarea biliniară sau dublă. Această metodă vă permite să construiți cu ușurință un grafic folosind puncte din spațiul tridimensional. Nu vom atinge alte metode. În general, interpolarea este o denumire universală pentru toate aceste metode de construire a graficelor, dar varietatea modalităților în care această acțiune poate fi efectuată ne obligă să le împărțim în grupuri în funcție de tipul de funcție care este supusă acestei acțiuni. Adică, interpolarea, un exemplu despre care am analizat mai sus, se referă la metode directe. Există și interpolare inversă, care diferă prin faptul că vă permite să calculați nu o funcție directă, ci inversă (adică x din y). Nu vom lua în considerare ultimele opțiuni, deoarece este destul de complicat și necesită o bază bună de cunoștințe matematice.
Să trecem la poate una dintre cele mai importante secțiuni. Din ea aflăm cum și unde se aplică în viață setul de metode despre care discutăm.
Aplicație
Matematica, după cum știm, este regina științelor. Prin urmare, chiar dacă la început nu vedeți rostul anumitor operațiuni, asta nu înseamnă că sunt inutile. De exemplu, se pare că interpolarea este un lucru inutil, cu ajutorul căruia se pot construi doar grafice, de care puțini oameni au nevoie acum. Cu toate acestea, pentru orice calcule din tehnologie, fizică și multe alte științe (de exemplu, biologie), este extrem de important să se prezinte o imagine destul de completă a fenomenului, având în același timp un anumit set de valori. Valorile însele, împrăștiate pe grafic, nu oferă întotdeauna o idee clară a comportamentului funcției într-o anumită zonă, a valorilor derivatelor sale și a punctelor de intersecție cu axele. Și acest lucru este foarte important pentru multe domenii ale vieții noastre.
Cum va fi acest lucru util în viață?
La o astfel de întrebare poate fi foarte greu de răspuns. Dar răspunsul este simplu: în niciun caz. Aceste cunoștințe nu vă vor fi de nici un folos. Dar dacă înțelegi acest material și metodele prin care se desfășoară aceste acțiuni, îți vei antrena logica, care va fi foarte utilă în viață. Principalul lucru nu este cunoștințele în sine, ci abilitățile pe care o persoană le dobândește în procesul de studiu. Nu degeaba există o vorbă: „Trăiește pentru totdeauna, învață pentru totdeauna”.
Concepte înrudite
Puteți înțelege singur cât de importantă a fost (și este încă) această zonă a matematicii, uitându-vă la varietatea altor concepte asociate cu aceasta. Am vorbit deja despre extrapolare, dar există și aproximare. Poate ai auzit deja acest cuvânt. În orice caz, am discutat și despre ce înseamnă în acest articol. Aproximația, ca și interpolarea, sunt concepte legate de construcția graficelor de funcții. Dar diferența dintre primul și al doilea este că este o construcție aproximativă a unui grafic bazat pe grafice similare cunoscute. Aceste două concepte sunt foarte asemănătoare între ele, ceea ce face cu atât mai interesantă studierea fiecăruia dintre ele.
Concluzie
Matematica nu este o știință atât de complicată pe cât pare la prima vedere. Ea este destul de interesantă. Și în acest articol am încercat să îți dovedim acest lucru. Ne-am uitat la concepte legate de trasarea graficelor, am învățat ce este interpolarea dublă și am analizat exemple în care este folosită.
Există o situație în care trebuie să găsiți rezultate intermediare într-o serie de valori cunoscute. În matematică aceasta se numește interpolare. În Excel, această metodă poate fi utilizată atât pentru datele tabulare, cât și pentru trasarea graficelor. Să ne uităm la fiecare dintre aceste metode.
Condiția principală în care interpolarea poate fi utilizată este ca valoarea dorită să fie în interiorul matricei de date și nu în afara limitei acesteia. De exemplu, dacă avem un set de argumente 15, 21 și 29, atunci putem folosi interpolarea pentru a găsi funcția pentru argumentul 25. Dar nu mai există nicio modalitate de a găsi valoarea corespunzătoare pentru argumentul 30. Aceasta este principala diferență dintre această procedură și extrapolare.
Metoda 1: Interpolare pentru date tabulare
În primul rând, să ne uităm la aplicațiile de interpolare pentru datele care se află într-un tabel. De exemplu, să luăm o matrice de argumente și valorile funcției corespunzătoare ale acestora, a căror relație poate fi descrisă printr-o ecuație liniară. Aceste date sunt prezentate în tabelul de mai jos. Trebuie să găsim funcția corespunzătoare pentru argument 28 . Cel mai simplu mod de a face acest lucru este folosirea operatorului PREDICȚIE.
Metoda 2: Interpolați graficul folosind setările acestuia
Procedura de interpolare poate fi folosită și la construirea graficelor de funcții. Este relevant dacă tabelul pe care se bazează graficul nu indică valoarea funcției corespunzătoare pentru unul dintre argumente, ca în imaginea de mai jos.
După cum puteți vedea, graficul a fost corectat, iar decalajul a fost eliminat prin interpolare.
Metoda 3: Interpolați graficul folosind o funcție
De asemenea, puteți interpola graficul folosind funcția specială ND. Returnează valori nedefinite în celula specificată.
O poți face și mai ușor fără să alergi Expertul de funcțiiși utilizați doar tastatura pentru a introduce valoarea într-o celulă goală "#N / A" fără ghilimele. Dar depinde de ce este mai convenabil pentru care utilizator.
După cum puteți vedea, în Excel puteți interpola sub formă de date tabelare folosind funcția PREDICȚIE, și grafică. În acest ultim caz, acest lucru se poate face folosind setările diagramei sau folosind funcția ND provocând o eroare "#N / A". Alegerea metodei de utilizat depinde de declarația problemei, precum și de preferințele personale ale utilizatorului.
Instrucțiuni
Adesea, atunci când se efectuează cercetări empirice, trebuie să se confrunte cu un set de valori obținute prin eșantionare aleatorie. Din această serie de valori, este necesar să construiți un grafic al unei funcții în care celelalte valori obținute să se potrivească cu acuratețe maximă. Această metodă, sau mai degrabă soluția acestei probleme, este aproximarea unei curbe, adică. înlocuirea unor obiecte sau fenomene cu altele apropiate de parametrul original. Interpolarea, la rândul său, este un tip de aproximare. Interpolarea curbei este procesul prin care curba unei funcții construite trece prin punctele de date disponibile.
Există o problemă foarte apropiată de interpolare, a cărei esență va fi aproximarea funcției complexe originale cu o altă funcție, mult mai simplă. Dacă o funcție separată este foarte dificil de calculat, atunci puteți încerca să calculați valoarea acesteia în mai multe puncte și să utilizați rezultatele pentru a construi (interpola) o funcție mai simplă. Cu toate acestea, funcția simplificată nu va furniza date la fel de precise și de fiabile ca funcția originală.
Interpolare prin binom algebric sau interpolare liniară
În formă generală: are loc interpolarea unei funcții date f(x), luând o valoare în punctele x0 și x1 ale segmentului prin binomul algebric P1(x) = ax + b. Dacă sunt specificate mai mult de două valori ale funcției, atunci funcția liniară dorită este înlocuită cu o funcție liniară pe bucăți, fiecare parte a funcției se află între două valori ale funcției specificate în aceste puncte ale segmentului interpolat.
Interpolare cu diferențe finite
Această metodă este una dintre cele mai simple și mai răspândite metode de interpolare. Esența sa este de a înlocui coeficienții diferențiali ai ecuației cu coeficienți de diferență. Această acțiune ne va permite să trecem la rezolvarea ecuației diferențiale folosind analogul său de diferență, cu alte cuvinte, să construim schema ei de diferențe finite
Construirea unei funcții spline
În modelarea matematică, o spline este o funcție dată pe bucăți, care, cu funcții care au una mai simplă pe fiecare element de partiție, are domeniul său de definiție. O spline a unei variabile este construită prin împărțirea domeniului de definiție într-un număr finit de segmente și pe fiecare dintre acestea spline-ul va coincide cu un anumit polinom algebric. Gradul maxim utilizat este spline.
Funcții spline pentru specificarea și descrierea suprafețelor în diferite sisteme de modelare computerizată.
